Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Đánh giá calderón-zygmund cho bài toán non-uniformly

Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi da thừa kế những kết qua trong nhiều bài báo đã được công bỗ của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc.. Bao đóng của 2Biên của m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

ĐÁNH GIÁ CALDERON-ZYGMUND

CHO BÀI TOÁN NON-UNIFORMLY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Thành phố H6 Chí Minh - 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG DAI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

DANH GIA CALDERON-ZYGMUND CHO BAI TOAN NON-UNIFORMLY

Chuyên ngành: Toán giải tích

MSSV: 44.01.101.027

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYÊN THÀNH NHÂN

Thành phố Hà Chí Minh - 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với để tài “Đánh giá

Calderón-Zygmund cho bài toán non-uniformly” do chính

tôi thực hiện Các kết quả trong khóa luận là trung thuc và không sao chép bất kỳ khóa luận hay luận văn nào khác.

Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi da thừa kế những kết qua trong nhiều bài báo đã được công bỗ của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc Tôi xin cam doan rằng moi sự giúp đỡ cho

việc thực hiện khóa luận đã được cám ơn và các thông tin trích dẫn

trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc và được phép công hỗ.

Sinh viên thie hiện

Phạm Lê Tuyết Nhi

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khóa luận tại trường Dại

học Sư phạm Thanh phố Hỗ Chí Minh, tôi đã nhận được rất nhiều sự

giúp dé, động viên từ quý Thay Cô, gia đình và bạn hè,

Trước tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất

đến TS Nguyễn Thành Nhân, người đã giới thiệu cho tôi dé tài này,trực tiếp hướng dẫn tan tình và tạo mọi điền kiện thuận lợi nhất để tôi

có thể hoàn thành tốt khóa luận Bên cạnh đó tôi xin trân trọng cảm

ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh

đã tạo mọi điều kiện cho tôi thực hiện tốt khóa luân Xin chân thànhcảm ơn quý Thay, Cô Khoa Toán - Tin học trường Dai học Su phạmthành phó Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh

nghiệm giảng dạy quý báu trong suốt những năm học vừa qua và quý Thay, Cô trong Hội đồng cham khóa luận đã góp ý giúp cho khóa luận

được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn hè và tập thể

lớp Toán K44C đã hết lòng ủng hộ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

học tập cũng nhu trong quá trình thực hiện khóa luận này.

Sinh viên thực hiện

Phạm Lê Tuyết Nhi

Mục lục

Giới thiệu 1

|

¬

Chương 3 Đánh giá

Calderón-Zygmund trong không gian Lorentz

3.1|Các bổ dé chuẩn bi} << << {<< {<< 19

3.2|Xây dựng bat đẳng thức ham phân phối| 2ã

3.3|Đánh giá Calderón-Zygmund trong không gian Lorentz} 27

ài liệu tham khảo

Bao đóng của 2

Biên của miền 9

Đường kính của miễn 2

Quả cầu mở tam z, bán kính R > 0 trong R”

Gradient của hàm u: R"TM —

Divergence của hàm F

Độ do Lebesgue của tập do được BE C R”

Tích phan trung bình của hàm khả tích f trên tap

do được Bc R”

Toán tit cực dai Hardy-Littlewood

Toán tử cực dai cấp phân số với a € [0,n]

Khong gian các hàm trơn, có support compact trên Q

Khong gian Lebesgue các ham do được, có lũy thừa p

khả tích trên O Khong gian Lorentz trên Q Khong gian Lebesgue dia phương các ham do được,

có lũy thừa 1 kha tích trên tập con compact của R”

Kết thúc chứng minh.

Giới thiệu

Tóm tắt khóa luận

Nội dung chính của khóa luận là trình bày danh giá

Calderón-Zygmund cho lép các bài toán non-uniformly elliptic phi tuyến trong không gian Lorentz với dữ liệu có dang divergence và điều kiện hiên thuần nhất, có dạng

div(A(a, Vu)) = div(B(z,F)) trong Q, 4a)

]

u =0 trên Ø9,

trong đó toán tử A và B được trang bị điều kiện sao cho bài toán

có mô hình giống phương trình (p(x), g(z))-Laplace, tức là

div(A(x, Vu)) ~ div (IVulr)?vu + a(z)|Vu|!t“)~> Vu)

và.

div(BŒ,F)) = div (BPR + a(z)|F|6)-2E) ,

trong đó n > 2,1 < p(x) < q(x) và ham a: 2 — [0,) thỏa diéu kiện

va (3) sé được trình bay ở phan tiếp theo.

Tính chính quy nghiệm của bai toán ÍI| được thể hiện qua đánh giá

Calderón-Zygmund dưới sự tác động của toán tử cực đại cấp phân số

M, trong không gian Lorentz L°"(Q), cụ thể ta đi chứng minh

M,H(:.F) € r*“(0) => MyH(-, Vu) € L*(9),

với ham H được xác định hỏi

H(œ,w) = yO) + afz)lyl"TM, (z,y) e 2x R".

Phương pháp chính được sử dung trong khóa luận là xây dựng batdang thức hàm phân phối (hay còn gọi là kỹ thuật good-A), từ đó áp

dụng vào việc đánh giá tựa chuẩn trên không gian Lorentz và suy ratính chính quy nghiệm Các kết quả trong khóa luận được trình bày lạimột cách rõ ràng, chi tiết từ ý tưởng đến kỹ thuật giải quyết các khókhăn phát sinh khi mở rộng bài toán non-uniformly từ tham số hằng

thành tham so ham.

Giới thiệu tổng quan

Khi nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng thi tính chính quy

` kì ^ ~ * ^ kì + ` +

nghiệm là chủ de nhận được nhieu sự quan tâm của các nhà toán học

nhất Rất nhiều hài báo, luận văn nghiên cứu vé tính chất này cho lúp phương trình Laplace, phương trình elliptic tựa tuyến tinh va phi

tuyến đã được công bố Khi mở rộng bài toán phi tuyến, các nhà toán

học tập trung nghiên cứu các diéu kiện khác nhau của hàm dữ liệu như

dữ liệu độ do, dữ liệu dang divergence; diéu kiện hiên khác nhau và

không gian khảo sát khác nhau như không gian Lorentz, không gian Lorentz có trọng, không gian Morrey.

hóa luận này sẽ tập trung nghiên cứu bài toán hai pha với tham

số hàm, còn được biết đến như là dang phương trình Euler-Lagrangecủa phiém hàm năng lượng có dạng

whey J(w;2) — II (IFI')-2E + a(z)|E|“)-*E, Vw) dz,

Q

trong đó

‘ _ 1 n{ar a(x) © ba

Z(u;9) := [ (ai! 'T¬ 1” ) dự.

Day là md rộng của bài toán hai pha từ tham số hằng (p,q) thành

tham số hàm (p(z),g(z)), nó là sự kết hợp của hai phép biến dõi

J > II |Velffldz và wr fiver + a02)IVel)áe

2 N

trong đó p(z) > lval<p<q, 0<a(-) € L*(9).

Bai toán hai pha với tham số hằng được nghiên cứu lan dau bởi Zhikov từ năm 1986 (tham khảo [I§]) Xuyên suốt gần 40 năm, cho

đến nay đã có rất nhiều nghiên cứu liên quan đến các hài toán

non-uniformly khác nhau dưới sự tác động của tham số hằng (p,q), chang

hạn như bài báo của Marcellini [TT] (2| hay nghiên cứu dựa vào lý

thuyết Calder6n-Zygmund của Baroni, Colombo, Filippis và Mingione

[IIØ 8161810].

Trong trường hợp tham số mũ có dang p(x) va q(z) thì mỗi quan

tam hàng dau của các nghiên cứu vẻ biến phân được lay ý tưởng từ các mô hình xuất hiện trong các hiện tượng vật lý như chất lỏng phi

Newton, cụ thể hơn là các vật liệu và chất long điện biến, cơ học dan

hỏi, mô hình phục chế ảnh Các mô hình trên có mỗi liên hệ mật thiết

đến phương trình elliptic phi tuyến hoặc phương trình parabolic vớitham số hàm mũ Gan dây nhất, Byun & Lee vừa công bố đánh giáCalder6n-Zygmund cho bài toán hai pha với tham số ham mũ trong

không gian Lebesgue md rộng L7 ff BỊ.

Trong khóa luận này, Lôi sẽ mở rộng kết qua bai báo của Byun lên không gian Lorentz với kĩ thuật chính được sử dụng là xây dung bat

đẳng thức ham phân phối (hay còn gọi là kỹ thuật good-A) Kỹ thuật

này đã được tác gia Tran & Nguyen sử dụng rat nhiều trong các bài

báo nh 7] Trong quá trình giải quyết khó khăn phát sinh khi

md rộng bài toán, tham số hàm mũ p(x), g(a) sẽ được xử lý thông qua

Pmin: Pmax Và đưa về tương tự nhĩ tham số hang Khác biệt lớn nhất

so với nghiên cứu bài toán hai pha tham số hằng trước đó chính là bất

dang thức Reverse Holder, dan đến việc xử ly đánh giá gradient phát

sinh khó khăn Ý tưởng xử lý khó khăn và phan chứng minh sẽ được

tôi trình bày rõ ràng trong các mục tiếp theo của khóa luận

Bài toán chính được khảo sát trong khóa luận này có dang (i), với

hai toán tử A,B: Q x R"® > R" là hàm vecto Carathéodory thỏa điều

kiện: ton tại hai hằng số đương L, Ly sao cho

IA(z,£€)| + |B(œ, €)| + |ô;.A(z,£)||€| < Loafer! + a(z)|e|##)=Đ);

Li(|€|fŒ)-® + a(z)|£|#)~3)|z|? < (A(z, €)2, 2),

(2)

trong đó z € 2 và €,2z € R"\ {0} Ham a: 9 — [0, 00) và tham so hàm

mũ p,q: 2 — BR thỏa điều kiện

0<a() C9”, oe (0,1);

G> —_—

1 < Pmin Š p(x) < q(x) Š Pmax < ®; (

q(z) < (1 + 4 p(z) «cEQ.

Để thu được đánh gid gradient toàn cue cho nghiệm của bài toán

(i), tôi sé thêm vai điều kiện cho tham số hàm p(-),q{-), toán tử phi

tuyến A và biên của Q Cu thể, tôi giả sử p(-).4(-) thỏa điều kiện

log-Hölder như san

|p(zi) — p(3)| + |q(œ1) — g(z2)| Š Ø(|zì — #2|): 4)

với ( : Rt —› Rt là hàm không giảm thỏa (0) = 0, và

sup t0(1)|—log()] < sạ (5)

0<<lÈ

với Ro € (0,1] và eg € (1,4) Toán tử A được viết thành 4(z,£) =

Ap(x,&) + a(x) Ag(x, €), trong đó bộ { Ap, Ay, p(-) g(-)} được chọn thỏa

điều kiện (Ro, cọ) (bạn đọc có thể tìm hiểu thêm trong HỊ).

Câu trúc của khóa luận

Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong ba chương.

e Chương 1; Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này,

tôi sẽ nhắc lại một vài kiến thức cd bản như không gian Lorentz,

không gian Musielak-Orlicz-Sobolev, toán tử cue đại cấp phân số.

Hơn nữa, tôi sẽ trình hày thêm về tính bị chặn của toán tử cực đại

cấp phan số cũng như bo dé đưa toán tử cuc đại về cut-off của nó

Tài liệu tham khảo của chương này là bài báo của G Dal Maso

va cộng su [5], bai báo [16] và quyền sách của Grafakos [IQ].

Chương j2} Đánh giá so sánh với nghiệm phương trình thuần nhất Trong chương này, tôi sẽ trình bày lại bat đẳng

thức Young, một vài bổ đề cần thiết cho đánh giá so sánh Sau đótôi tiền hành chứng minh đánh giá so sánh nghiệm của bài toán

với nghiệm của phương trình thuần nhất, dong thời nêu ra bat

dang thức Reverse Hölder cũng như đánh giá toàn cục Tài liệu

tham khảo chính của chương này là bai báo [T5] của tác gia Tran

& Nguyen va bai báo HỊ của tác giả Byun & Lee.

Chương |3} Đánh giá Calder6én-Zygmund trong không gian Lorentz Trong chương này, tôi trình bày dánh giá Calderón-

Zvgmund cho bài toán non-uniformly {I trong không gian Lorentz

thông qua việc xây dựng bat đăng thức hàm phân phối Sau đó sử

dụng bất đẳng thức đánh giá sự phụ thuộc của gradient nghiệmvào ham dif liệu để suy ra tính chính quy nghiệm của bài toán (i).

Tai liệu tham khảo chính của chương này là bài báo [15] của tác

giả Tran & Nguyen.

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn

bị

Chương này sẽ cung cấp cho bạn đọc một số kiến thức chuẩn bị cơ

bản như định nghĩa hàm phân phối: định nghĩa của các khơng gian5 : BS

Lorentz, khơng gian Musielak-Orlicz-Sobolev; định nghĩa, tinh bi chancủa tốn tử cực đại cap phân số Ngồi ra, tơi sẽ trình bày thêm bo dé

2 ` ⁄ ° - o£ h đ _ ^ ¢ › " bee

giúp chuyển từ tốn tử cực đại cap phan so ve cut-off của nĩ Tài liệu

tham khảo của chương này bao gồm bài báo của G Dal Maso và cộng

su [13], bài báo [IG] và quyền sách của Grafakos [TQ]

11 Khơng gian Lorentz

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm phân phối) Cho hàm ƒ do dược trên Ø và

tập K C ]R" Ham phân phối đ;(K, A) với A > 0 được dinh nghĩa bởi

ds(K,A) = |{z€ Kn®: |f(x)| > A} (1.1)

Trường hợp 2 C K ta cĩ thể viết gọn d r(K,À) thành đ/(Ậ) Ta

cũng cĩ thể sử dụng hàm phân phối để viết lại định nghĩa khơng gian

Lorentz ngắn gọn hơn như sau:

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian Lorentz) Cho hai tham số 0 < s < œ

và 0 < t < oo Không gian Lorentz L*!(9) là tập tất cả các hàm ƒ do

được Lebesgue trên 2 thỏa

IF |[ <(o) = sup [d;(A)|* < 00, (1.3)

Dé thay không gian Lorentz chính là mở rộng của không gian Lebesgue

vì khi s t = p thi không gian Lorentz sẽ trỏ thành không gian

Lebesgue L?(Q).

Lưu ý ánh xa ||.||~«(ay chi là tựa chuẩn, không thỏa man bat dang thức

tam giác trong trường hợp tổng quát

1.2 Không gian Musielak-Orlicz-Sobolev

Dinh nghĩa 1.2.1 (Không gian Orlicz) Lớp

Musielak-Orlicz OX (Q) là tập hợp các hàm ƒ : 9 + RẺ với k € N* đo được

Định nghĩa 1.2.2 (Không gian Musielak-Orcliz-Sobolev) Khong

gian Musielak-Orlicz-Sobolev W1(@) là tập hợp các hàm u € L*(Q)

thỏa đạo hàm yếu Vu € L(O), với chuẩn được xác định bởi

llwtllur+z(ay = ÍÍ# rx¿øy +

|V+#llrs(a)-Hơn nữa, không gian Sobolev M2'*“(@) được định nghĩa là bao đóng

của C(O) trong Wh#(Q)

Lưu ý rằng nghiệm của bài toán II được hiểu là nghiệm phân bố

(được định nghĩa ở phần tiếp theo) và dưới điều kiện (ĐÌ của bài toán

thì nghiệm phân phối sẽ thuộc không gian Musielak-Orlicz-Sobolev.

Định nghĩa 1.2.3 (Nghiệm phan bó) Một hàm u € Wh(Q) được

gọi là nghiệm phân bó của bài toán (I) dưới điều kiện (Ð) nếu

[ (A(œ, Vu), Vợ} dx = / (B(x, F), Vip) da, (1.4)

2 2

với mọi y € CZ*(Q) được gọi là hàm thử cha bài toán (ip.

1.3 Toán tử cực đại cấp phân số

Định nghĩa 1.3.1 ([Iñ|) Toán tử cực dai cap phân số M, với hằng

số cho trước a € [0,n] được xác định bởi:

Mu/@) =supø*Ƒ - |/(Qlú€, FER", fe Lÿ„(R”)

B

ø>0 ofr)

Nếu a = 0 thì Mg là ham cực đại Hardy-Littlewood M, được định

nghĩa như sau:

a0

Mƒ(œ) = sụp f |ƒ(C|d( «eR.

B,{x)

Dé thuận tiện cho việc chứng minh sau này, ta sẽ định nghĩa hai toán

tit cut-off của M, nhì sau:

MP/(z)= supp" † If(QldC TỶ/(z) = supp^ † I/(©)lá:

Bot) B,(2)

0<a<R p>R

(1.5)

Toán tử cực đại cấp phân số có nhiều ứng dụng trong giải tích diéu

hòa và phương trình đạo hàm riêng Tính chất quan trọng được sử dụng

xuyên suốt khóa luận này chính là tính hị chặn của toán tử cực dại

cấp phân số Dé đơn giản, {+ € 2: Maf(x) > A} sẽ được viết thành

{M,ƒ > A}.

Bồ dé 1.3.2 ([I7]) Cho ham f € L°(R") vdi 8 > 1 va œ e€ [0,3).

Khi đó, ton tại hằng số C = C(n,a,0) > 0 sao cho bat đẳng thức

a

= yrotac) ”, (1.6)

Re

đúng vdi mort À > 0.

Chứng minh Chứng minh có thể tham khảo trong [Ij] a)

Một kết quả rất đẹp về ham phân phối của toán tử cực đại cap phan

số đó là ta có thể chuyển từ hàm phân phối của toán tử cực đại cấp

phân số dy, về hàm phân phối của cut-off dyn, thông qua bổ đề sau:

Bồ đề 1.3.3 Cho a € [0,n), 29 € 9 va R >0 Gia sử f là hàm do

được thỏa {Maf < A}n Bn(sg) # Ø uới A> 0 Khi đó

đM„/(Bn(3o), 0) = dwr(Bn(3o), oA), (1.7)

đúng vdi moi a > 3".

Chứng minh Với ¢ € Bp(zo) tùy ý, ta có

M„ƒ(Q = max {M4 f(¢), TA f(Q}.

Do dé

dm, s(Br(xo),0X) < dye ¢(Br(x0), 0A) + dpa y(Br(xo),or) (1.8)

Ta sẽ chứng minh dpe ¢(Ba(xo), 7A) = 0 với ø > 3".

Thật vay, vi {Ma f < A}A Bg(zo) # Ø nên ta có thể lay z¡ € Br(xo)

thỏa M, f(a1) < A Mặt khác ta luôn có B,(¢) C ay(zq) với mọi

r > R Kết hợp Dinh nghĩa của cut-off Tỷ ƒ và điều kiện ø > 3*

Thay vào (1.8) ta được

dng, ¢(Br(x0), 0A) S dye p(Bn(a) 0A).

Chiều ngược lại của bat đẳng thức trên hiển nhiên đúng Từ đó ta thu

được (1.7) và kết thúc chứng minh 0

Chương 2 Danh giá so sánh với

nghiệm phương trình thuần nhất

Chương này sẽ tập trung trình bày kết quả đánh giá so sánh nghiệm

của hài toán (i) với nghiệm của phương trình thuần nhất Cụ thể, tôi

sẽ trình bày các bổ đẻ, chứng minh đánh giá so sánh với nghiệm phươngtrình thuần nhất, đánh giá toàn cục và nêu lại bat dang thức ReverseHolder Chương này chủ yêu tham khảo bài báo [7] của tác giả Tran

& Nguyen và bài báo [4] của tác gia Byun.

Để phần chứng minh tiếp theo được viết gon gàng hơn, ta đặt

v„(ø) = beh, Wu(e,9) = (el? + lới)“T ly - ¥P,

và

6(z,£) = |p! + a(x) |p|",

K(x, 9,0) = Waly 0) + a(z)YV,(g.).

trong đó p,q là các ham cho trước thỏa điền kiện (BÌ:

Bổ dé 2.1.2 Cho p.q là các hàm thỏa điều kiện (BÌ: Véi moi

< ely? = +£ —Pmin [ys]? =

Vi q(x) > pmin nên ta có thể thu được kết quả tương tự trên với q(z):

lz|l0l#Œ)"1 < all) + ces|uJ#Œ).

Do đó

=ÌI=

Dé chứng minh (2.2), trước tiên ta sẽ chứng minh

Vu(ý — )< <£ £Vp(# 2) + C(Pmìin, Đmax)£ "1W(e, wy »), (2.3)

đúng với mọi z € (0,1) bằng cách xét các trường hợp sau: