Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Đánh giá Gradient cho nghiệm yếu của phương trình p(x)-LAPLACE

Tiếp nổi những kết quả trên, trong bài luận này, chúng tôi tiếp tục khảo sát tính chính quy nghiệm cho bài toán {i thông qua đánh giá gradient toàn cục cho nghiệm yêu của bài toán trong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

KHOA LUAN TOT NGHIEP

ĐÁNH GIA GRADIENT CHO NGHIEM YEU

CUA PHƯƠNG TRINH p(z)-LAPLACE

Giảng viên hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Thanh Nhân

Sinh viên thực hiện: “Trương Như Ý

Mã số sinh viên: 46.01.101.200

Thành phố Hỗ Chí Minh, 05/2024

LỜI CAM ĐOAN

Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với dé tài "Đánh giá gradient cho

nghiệm yếu của phương trình p(x)-Laplace" là do chính t6i thực hiên dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Nhãn Kết quả của khóa luận là trungthực và không sao chép từ bat kỳ khóa luận nào khác Những nội dung tham khảo

từ các tài liệu khác đã được tôi trình bay cu thể nguồn trích dẫn

Téi xin chịu trách nhiệm về lời cam đoan của minh.

TP Hỗ Chí Minh ngày 03 tháng 05 năm 2024

Sinh viên thìịƒc hiện

Trương Như Ý

LỜI CẢM ƠN

Dé hoàn thành được khóa luận này, toi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ,dong viên từ Thay, Cõ, gia đình và bạn bè

Lời đầu tiên ti xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Thành

Nhân người đã tan tình hướng din tôi và tạo mọi điểu kiện tốt nhất để tôi hoàn

thành khóa luận này Toi cũng xin tran trọng cảm dn ban giám hiệu trường Đại

học Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh đã tạo điển kiện để tôi thực hiện khóaluận Và xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thay, Cé khoa Toán - Tin học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh đã truyền đạt những kiến

thức quý báu trong những năm học đại học.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè đã luôn độngviên, giúp đỡ và là nguồn đông lực để tôi có thể hoàn thành tốt nhất khóa luận

này.

TP Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2024

Sinh viên thực hiện

Trương Như Ý

i

ii

Các ký hiệu ii

Giới thiệu van dé ii

0.1 Tóm tit khóa luân|)1Ð Tóm tắt khóa luận 2.2.20 0000020200.2002 2 0 2 1

.2_ Giới thiêu tổng 1

0.3 Can trúc của khóa luân 3

41.1 Khong gian hàm và một số định nghĩa liên quan 4

20 20

23

26

1 liệu tham khảo 32

iii

CÁC KY HIỆU

R Tập hợp số thực

2 Miễn mở, bi chặn trong R* (x > 2)

2 Bao đóng cha 2

g0 Biên của miền 2

điam(9) Dường kính của miền 2, diam(Q) = sup{|z — y| : 2 y € 9}

Vu Gradient của hàm +: R” — RE

div(Ƒ) Divergence của hàm #': R" > R"

Brix) Qua cau mở tâm r, bán kính R trong R°

Qg(z) = QR Giao của 2 và qua cẩu mỏ g(z}

lgle = ƒgs(z)dz Trung bình tích phân của ham khả tích ø

trên tap đo được Bc R”

d(zo, AN } Khoảng cách từ rq đến biên của miễn 2

|E| Độ do Lebesgue của tập đo được 8 C E"

C(data) Su phu thuộc của hang số C vào data

CHD) Không gian các hàm tron, có support compact trên 2.

Li „(R") Không gian các hàm khả tích địa phương.

LHD) Không gian Musielak-Orlicz

w?ữ)(Q) Không gian Musielak-Orlicz-Sobolev

LE {Q) Không gian Lebesgue với trong w

1?*(@) Không gian Lorentz

£# (Q) Không gian Lorentz có trọng tổng quát

M°®(9) Không gian Morrey W-téng quát

iv

Giới thiệu vần đề

0.1 Tóm tắt khóa luận

Nội dung chính của khóa luận là chứng mình đánh giá gradient cho nghiêm

yếu của phương trình p(z)-Laplace có dang

q)

-div (|Vu|P#)~2Ww) = —div (FP?) trong Q,

u = 0 trén dQ,

trong đó, f là ham dữ liệu có giá trị véctơ Hơn nữa, giả thiết được đưa ra là biến

số mũ ø{(-) liên tục và thỏa mãn điều kiện

l <1 <Sp(#) Sa << Ẳœ, ren, (2)

trong đó m,n là hai hằng số cho trước Mục tiêu của bài luận này là nghiên cứu

tính chính quy nghiệm của bài toán {i thông qua toán tit cực dai cấp phân số

trong một số không gian hàm tổng quát như không gian Lorentz L+*(@), không

‹q.s

gian Lorentz tổng quát với hai trong số cho trước £#)(@) và không gian Morreytổng quát A/**(@) Cu thể chúng tôi sẽ chứng minh đánh giá đưới dang

|.Ma#lly < Œ{1 + ||MazZllx).

với M, là toán tử cực đại cap phân số sẽ được định nghĩa ở phần sau, X là không

gian Lorentz, không gian Lorentz tong quát hoặc khéng gian Morrey W-tồng quát

0.2 Giới thiệu tổng quan

Dé giải quyết khó khăn trong việc tìm nghiệm giải tích của các phương trìnhđạo hàm riêng, người ta đã xây dựng các phương pháp số để giải gần đúng cáclớp phương trình ấy trên cơ sở lí thuyết là các tính chất nghiệm của phương trìnhdao ham riêng Tinh chất về tính chính quy của nghiệm phương trình là một trongnhững cơ sở quan trọng Từ rất sớm, tính chính quy nghiệm cho phương trình

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

dao hàm riêng đã được nghiên cứu với nhiều phương pháp khác nhau nồi bật là

phương pháp dựa trên lý thuyết Calderón-Zygmund Dựa trên phương pháp nay,

nhiều kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Laplace được ra đời Sau đó,

với sự kết hợp của lý thuyết Calderón-Zygmund và nhiễu kỹ thuật mới, các kết

quả tính chính quy cho phương trình p(z)-Laplace cũng xuất hiện Kết quả dau

tiên được cho bởi Acerbi và Mingione trong [2], các tác giả đã đưa ra một đánh

giá gradient địa phương cho bài toán

~div (Ivar yu) = ~div (spe? k)

bang cách chứng minh

[FPO © £2 = |Vu|P e Lƒ“loc?

với mỗi 1 < g < œ Một trong các giả thiết quan trọng ở đây là biển số mũ pf-) thỏa mãn (2| và diéu kiện log-Hölder mạnh, tức là tổn tại một hàm liên tục không

giảm w: R* =› R† sao cho

|p(+) — p{(w)| < œ(l£ — w|), với z¿/€9o, limu(r)log ==,

r¬ú

Công trình [2] sau đó được mở rộng bởi Baroni và Bögelein trong cho bài toán parabolic

Oye — div(a(xe)|VulP)-* Vu) = div(|fPO-2f), trong Qp := 2 x (0;7)

Uóc lượng toàn cục loại Calderón-Zvgmund cho phương trình p{(z)-Laplace được

đưa ra lan dau tiên bởi Byun, Ok và Ryu [22] đối với phương trình elliptic phi

tuyển tổng quát hơn phương trình {Ð: có đạng

-diva(Vu,z) = —div (|/Ƒ}~?ƒ) trong 9, (3)

u = 0 trên Ø0.

© day, toán tia thỏa man điều kiện BMO và 2 là miền Reifenberg phẳng (xem

ở Định nghĩa {L-3) Dây là điều kiện tối thiểu về độ trơn của miễn 2, được giới

thiệu lan đầu tiên bởi Reifenberg trong [5] Giả thiết này là can thiết khi khảo sát

tính chính quy toàn cục trong W! cho các phương trình elliptic cũng như phương

trình parabolic Kết quả trong sau đó được mở rộng cho không gian Lebesgue

L2)(0) trong BI] Cu thể, nhóm tác giả đã chỉ ra rằng

[FPO © 290) => |Vul|P() | Le)

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

với mọi biến số mũ q(:} > p(-).

Tiếp nổi những kết quả trên, trong bài luận này, chúng tôi tiếp tục khảo sát tính

chính quy nghiệm cho bài toán {i thông qua đánh giá gradient toàn cục cho

nghiệm yêu của bài toán trong một số không gian hàm tổng quát Phương pháp

được sử dụng ở đây là kĩ thuật Good - À cho các hàm phân phối cực đại cấp phân

số Phương pháp này chúng tôi tham khảo chính từ các kết quả trước đó của các

tác giả Tran và Nguyen Chỉ tiết về phương pháp và danh sách các công trình liên quan được Tran và Nguyen trình bày chi tiết trong [28].

0.3 Cấu trúc của khóa luận

Nội dung chính của bài luận được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Kién thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tdi sẽ trình bày

một số kiến thức về định nghĩa các không gian hàm, toán tử cực đại cap phan số

và tính bị chan của nó, định nghĩa hàm phan phối có trọng và mốt số kết quả liên

quan Ngoài ra, trong phan này, chúng tôi cũng sẽ trình bày một số bố dé quan

trong sẽ hỗ trợ chứng minh cho kết quả ở các phan sau

Chương 2: Xây dựng bat đẳng thức good - \ Như được giới thiệu ở trên,

phương pháp được sử dụng để chứng mình cho tính chính quy nghiệm của bài toán

{ip là kĩ thuật Good - A Nội dung của chương này, chúng tôi sẽ trình bày quá

trình xây dung kĩ thuật ấy, bao gồm việc đưa ra các kết quả đánh giá so sánh và

bất đẳng thức Reverse Hölder mở rộng từ đó đưa ra kết qua về các bit đẳng thức

Good - A.

Chương 3: Kết quả chính quy nghiệm Bang kết quả về các bat đẳng thức

Good - À đã xây dung trong Chương] ở chương này chúng tôi sẽ trình bày kết quả

chính của bài luãn là các đánh giá gradient cho nghiêm yếu của bài toán trong

các không gian: Khong gian Lorentz, Khong gian Lorentz tong quát và khong gianMorrey tổng quát,

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Phan dau tiên của chương, chúng tối sẽ trình bày lại định nghĩa về các khong

gian hàm: Không gian Musielak-Orliez-Sobolev, không gian Lebesgue cô trọng,

không gian Lorentz, không gian Lorentz có trọng tong quát và không gian Morreytổng quát Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa như: nghiệm yếu củaphương trình p(z)— Laplace, toán tử cực dai cấp phân số và tinh bị chặn của toán

tử cực đại cấp phân số, miễn Reifenberg phẳng, lớp Muckenhoupt và hàm phânphối có trọng Phan cuỗi của chương chúng tôi trình bày một số bắt đẳng thứcnhư bất đẳng thức Young và kết qua mốt số bố dé quan trong sẽ là các công cu

hỗ trợ cho kết quả chính được trình bày ở hai chương sau.

Tài liệu chính được tham khảo cho phan này là quyền sách [7] và các bài báo [I],

1.1 Không gian ham và một số định nghĩa liên quan

Định nghĩa 1.1 (Không gian Musielak-Orlicz-Sobolev, [6]) Lớp Musielak-Orlicz

Khĩa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

được trang bị bởi chuẩn

Islhynrcogay = lÍẽ|ress¿ey +

Í[V8ÍlLeestey-Hon nữa, ta sẽ dùng ký hiệu wera) cho bao đĩng của Œ(G) trong WEP) (Q).

Định nghĩa 1.2 (Nghiệm yếu) Với f € LO), ta nĩi rằng u € wre) (@) là nghiệm yếu của bài tốn fi) nếu với moi ham thử ¿ € wer"), ta cĩ

| (|Vul#)~#Vu, Vp(a))dx = / (/IP#)-3/, Vọ(z))dz.

Nhận xét 1.1 (Tính bi chặn của M,, [H]) Tốn tử M„ bị chăn từ L*4(Ä") đến

Loa (Rn), UỐt qg > Ì Đà đ € a) Nghia là tồn tai hằng số đương C = Cin, 9,0)

sao cho

at

.-xginc) :

1

Hc eR": Mag(©) > A) se Ế

i Rn"

vdi mọi g € LYR") wa A> 0.

Dinh nghĩa 1.4 (Miền Reifenberg phẳng, [23]) Ta nĩi miền Ø là một miền (5p, Reifenberg phẳng với Ro > 0 và hang số dương dp > 0 cho trước nếu với mọi z € AN

Ro)-và ø € (0,(1— ốp}#a), tồn tai một hệ toa độ {Z = (#i,Z2, #a)} sao cho trong hệ

tọa độ mới z = —đà/(1 — đạ)#„ và

ư,(0) f\{#n > } C B,{0) ANE B,(0) n {Ta > —26à/(1 — ẩq)}.

O day, ta ding ký hiéu {%, > r} để biểu diễn cho tap {4 = (71, Z2,.- 2n) : Tn > r}.

Dinh nghĩa 1.5 (Lép Muckenhoupt) Khi 1 < q < oo va w là một ham khơng âm

trong L} (IR"), ta nĩi rang w thuộc lớp Ay nếu (Ì 4, < % GO day, lw).4, được định

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

với mọi quả cau B = Ø,(z) trong 8" Hơn nữa, w € Ax nếu tổn tại các hằng số

đương ƠI,Ca va œi,a¿ sao cho

(Ft) w(B) < ø(E) < Cp (a w(B), (1)

với moi tập con do được C B, trong đó ¿{E) = | w{z}dz Trong bai luận nay, ta

E

ký hiểu [wa = (Ci, Ca, an, a2).

Định nghĩa 1.6 (Không gian Lebesgue có trọng, [26]) Với trong w € A, cho

trước, không gian Lebesgue L2{(®) với trọng w được định nghĩa bởi

L2(Q) = f € £},.(2) : ÍlglÌrs.(a = ( / lz)9.(z)4z) ‘ }

Định nghĩa 1.7 (Hàm phan phối có trong, [28], [I5]) Hàm phan phối có trong

d > Rt +R, với ø € Ay vag € Li,,.(R"), được định nghĩa như sau

de (A) = w ({x € 2: |g(z)| > À}), với mọi 0 < A < oo.

Ngoài ra, với z € (0,n), hàm phan phối cực dai cắp phan số có trọng DZ“ : RY = R*

được định nghĩa

Dy (A) := đu „(À), với mọi 0 < A < 0.

Định nghĩa 1.8 (Không gian Lorentz) Cho 0 < q < oo và 0< s < ow, không gian

Lorentz L%*{Q) là tập hợp tat cả các hàm g € /J(9) sao cho ||gl|,s«¿ạ; hữu hạn,

Dựa trên ý tưởng trong [LI], ta sẽ xét một trọng mdi « € L} (Rt, Rt) và một

hàm không giảm W được định nghĩa như sau

0

Dinh nghĩa 1.9 (Không gian Lorentz có trong tong quát, [TØ]) Với g là một ham

đo được và ¿ € (0,00) với 0 < s < oo, ta định nghĩa

le fo * [# (#(A))]* H , néus < ov,

6

s r |f (dy AM) Eu s = oO.

cup { [w ( “(A))] alt, nếu s = co

<

|| zy cay :—

6

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

Khi đó, không gian Lorentz có trong tổng quất £#)*(9) với các chỉ số ạ,s và hai

trong ø,ø cho trước là tập hợp tat cả các hàm g do được sao cho |g||z›-:, (2) < œ.

Định nghĩa 1.10 (Không gian Morrey y-téng quát) Cho ý: @ xÍ#* + E7 là

một ham do được Khi đó, một ánh xạ do được g : 9 => được gọi là thuộc khônggian Morrey w-téng quát M°:*{@) với s € (0,00) nêu

i

1 ; :

Ìøllw»v«e@ = sup ( = if |g(z)i is) < 00, (1.2)

yENO<pediaminy \UÉE, 9) Jo cy)

1.2 Các bo đề

Bồ dé 1.1 (Bat đẳng thức Young) Cho 1 < p,q < s sao cho h + } = 1 Giả sử

a,b là hat số thực tùy ý Khi dé

fab) < Wale, BÉ, (1.3)

P q

ab = (era) (er8),

biểu thức (1.3) có thể biểu dién lai như sau

Với ¢ > 0, bằng cách biếu điển

lab| < elal? +e P|b|f, We > 0 (1.4)

Ket qua sẽ được dùng chủ yếu ở bài luận này với a,b là các ham hoặc các

biểu thức tích phan và p,q là các hàm số tương ting

Bồ dé 1.2 Tén tại C,,C, > 0 sao cho

Cr (lel + [eal Jer — £a} < |IeuP)~%; — |£a|P#)~3£;| < Ce (l€i| + [Ea Jer — Ea,

(1.5)

vdi mới €ì, €a € R",2z EN Hơn nữa, uới € € KR", đặt

A(E) =|€lfŒ3-%

M(&.&) = (Val + Vel) Ver - V&l,

khi dé, ton tat Cy, Ca > 0 thỏa man

Cill(E1, £2) < (A(WE1) — A(VE2), Va — VE2) < C2lH(€:, €2) (1.6)

Về chứng minh kết quả này, độc giả có thể tham khảo ở [I]

i

Chương 2

Xây dựng bất đẳng thức good - À

Nội dung chương này bao gồm hai phần Phan dau chúng tôi xây dựng đánh giá

so sánh địa phương và đánh giá toàn cuc nghiệm của bài toán (i) với nghiém của

phương trình thuận nhất Hơn nữa, chúng tôi cũng trình bày kết quả của bat đẳng

thức Reverse Hölder mở rộng Đây có thể nói là một điểm khác biệt so với các kết

quả trước đây đối với phương trình p - Laplace, từ đó cũng gây ra một số khó khăn khi chứng minh kết quả chính Những khó khăn và hướng xử Ìý sẽ được trình bày

ở phan chứng minh Phan thứ hai của chương là kết qua và chứng minh cho bắt

đẳng thức Good - À, bat đẳng thức Good - À trong trường hợp hàm phân phối có

trọng Các đánh giá này này thu được nhờ vào các kết quả của đánh giá so sánh được trình bày trước đó Nội dung phan này được tham khảo trong 2], BY], E] [25] và tài liệu tham khảo được đưa ra gần đây nhất là các kết qua được các tác gia M.-P Tran, T.-N Nguyen trình bày trong [2], [5], [6].

2.1 Đánh giá toàn cục

Định lý 2.1 Cho € w)##'(o) là nghiệm yếu của phương trình UỐi ƒ €

LOMO) théa mãn điều kiện (2) Khi đó ton tar hằng số C > 0 sao de

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

công thức biến phân sau

2.2 Đánh giá so sánh dia phương

Định lý 2.2 Co u € wy ig) là nghiệm yeu của phương trình {ip vdi f €

LPE)(Q) thỏa man điều kiện QQ) Với zo € 2,R > 0, ta hy hiệu QM := 9n Bnfra).

Giả sử rang v Eu + WIP OR) là nghiệm yếu của bài toán sau đâu

—div (IVv|f)-?vv) =0 rong Dis, (2.6)

v =u trên Ôn.

Khi đá, vdi mỗi ‹ > 0, tồn tại một hang số C = C(n,m, 12.6) > 0 sao cho

[Vu — Vo|adx < f (Ful dx + cf Pdr (2.7)

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

Chứng mình Với v là nghiệm yếu của bài toán (2.6), ta có v thỏa mãn công thức

biến phân sau

(|Vo|Pf)~?Vuv, Vụ)dz = 0, (2.9)

Qe

với mọi ham + € wir) On) Ta kiém tra và bởi hàm u—v € wi? (ap),

khi đó ta thu được

(|Vu|Pf)~2Qu — |Vu|fữ)-2Vy, Vụ — Velde = [ ([f|PŒ)*?ƒ,Vu — Velde.

Đặt A = {2 € 2D: p(x} > 2} và B= {z ED: p(z) < 2} với p(x) thỏa mãn điều

kién @): Khi đó, với mỗi z € 4f10p, áp dung dánh giá ta có

[Va — Vu = [Vu — Vu?) Vu — Vol? < CH(u, v) (2.11)

<& (IWwl2 + |Vel2) = +e; YH(w,e)

< ej Cy (|Vu| + [Vu]? + c H(u, 1w) (2.14)

10

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

Áp dung kết quả và vào (2.13), ta dude

† [Vu — Vu|PŒ)đz < Œ f I(u,vjdr + Cy f (|Vul| + [Wo]? đz

|/|P/'~!|Vu _ Vui < cm (p6!) + c|Vu _ Vu|rz)

< q7 (Huy) an: ca|Vu — Vu|P)

~ cạ 7 |ƒ|Ir#) + e2/Vu — Vee, (2.16)

Ap dung kết quả thu được ở (2.16) cho bat dang thức 215}, với mỗi «ạ c¿ € (0,1),

ta thu được đánh giá sau

† |Vu — Vol" dx < s He.nG FP dar + ” cạC [Vu — VoP Pdr

Với mỗi « € (0,1), ta tìm được «¡,c¿ € (0,1) sao cho 4 = zr, ¢€2 = Cen Khi dé, ta

có thể viết lại và thu được kết quả cần chứng minh

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

0

Nhu vay ta đã xây dung được đánh giá so sánh nghiệm của phương trình thuần

nhất với nghiệm của bài toán p(x}—Laplace Phương pháp chứng minh chủ yếu là

sử dung bat đẳng thức Young và đánh giá Í1.6Ì, đánh giá này được đưa ra bởi tác

giả Hamburger trong bai báo [I] Việc đánh giá giá trị biến số mũ p{-) được đưa về

đánh giá các giá trị hằng số ràng buộc được cho ở điều kiện (2h Vi vay việc đánh

giá các số mũ có phần phức tap hơn trong chứng minh đánh giá so sánh cho bai

toán p— Laplace.

Đối với bất đăng thức Reverse Héder 3) phương pháp chứng minh tương đối

phức tap, do đó trong khóa luận này, chúng töi thừa nhận bắt dang thức này Chi

tiết chứng minh có trong [2] hoặc PT], doc giả có thể tham khảo thêm

Điểm đáng nói ở đây có thể kế đến sự xuất hiện của hằng số + trong bắt đẳng

thức Cụ thể, với Qe CO và ø là nghiệm yếu của phương trình thuẫn nhất (2.6),

khi đó tén tại hằng số + sao cho đánh giá đúng với mọi Br € 2 Như vậy ta thay rằng hằng số + là không phụ thuộc vào R Điều này là quan trọng để có thé

đánh giá các giá trị của hằng số trong các kết quả sau theo +.

Diéu chú ý ở bat đẳng thức này là su khác biệt so với kết quả trước cho phươngtrình có tham số hằng, đó là sự xuất hiên của số 1 ở về phải của bat đẳng thức

Chính sự xuất hiện này đã làm cho kết quả của bat đẳng thức hàm phân phối bi

giới hạn Cu thé sẽ được chúng téi trình bày ở những phan sau

Trong các phần tiếp theo của bài luận, để các biểu thức trong chứng minh được

viết gon, với z € Q, ta đặt U(x) = |Vu|?#?, F(x) = |ƒIf#) Với mỗi A > 0, ta định

nghĩa các tap con sau của 2

U(A) = {a EN: MoU > dA}, FA)={xecQ:.Mu„Z >À},Mu(a,b) = {Moll > 67° MoF < fA} = Ulem*A) 1 (DS, Fle’) (2.18)

Ở day, + là hằng số được cho ở Dinh lý các hằng số o,a,b,¢ với những điều

kiện rang buộc sẽ được trình bày chỉ tiết trong các đỉnh lý ở những phan sau

2.3 Bất đẳng thức Good - À

Định lý 2.3 Cho u € wh) (9) là nghiệm yeu của phương trình II vai f €

LƯỜÌQ) thỏa mãn giả thiết Q) Khi đó với mỗi o € [o str) va a > TT Ng

tồn tại dy = ôn(dafa} > 0,b = b(a.a,data) > 0, An = Ag(o.diam{Q)} > 0 tà eg =

ep(data) € (0,1) sao cho nếu Q là một miền (dp, Ro)-Reifenberg phẳng uới moi 0 <

12

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

Ro < diam(O), thi ta có đánh giá sau

[⁄.(œ,b)| < Ce{U(A)|

đứng tốt more € (0,ey) tà A> Ag.

Chứng minh Dé chứng minh kết quả này, ta áp dụng kết quả của Bố đề Phủ đượctham khảo ở [§ 9) 25] Bồ dé có thé phát biểu lại như sau:

Bồ dé 2.1 Xt ¥ (e~*,) CU(A) CA va Ro > 0, gia sử ton tại hằng số e > 0 sao

cho

a) |⁄.(a,®)| < e|Bn,(0):

tt) Yap € Q,r € (0, Ro], nếu |¥-(a, 6) Be(xo)| > e|Br(ra)| thì ON 8;(zo) c ULA)

Khi đó tồn tại hằng số C > 0 thốa man [⁄,{a,b)| < Ce|U)]

Với các giả thiết đã cho trong phát biểu Dịnh I¢ [2.3] giả thiết đẫu tiên của Bồ

dé 2.1] dé dang được kiểm tra bằng việc sử dụng tính chất của tích phan trung

bình và tính bị chăn của toán tử cực đại cấp phân số Thật vay, không mắt tính

tổng quát, ta gia sử tập „(a.b) là tập khác rỗng khi đó tốn tại z¡ € 2 thỏa man

Xét qua cầu B= Öạa„m(e;(zi) ấp dung tính bị chặn của toán tử cực dai cấp phân

số được trình bày trong Nhân xét ta có

Khóa luận tắt nghiệp Trương Như Ý

q1 ⁄ ` “+ ` ’ +h ws T aTa có thể tim được 6 > 0 sao cho kh > 1 và eg sao cho cee ) < eg Nhu vay,

giả thiết i) thỏa mãn.

Tiếp theo ta sẽ kiểm tra giả thiết z7) bằng cách chứng minh mệnh dé phan dao:

Với mỗi zụ € 9 và r € (0, Ro], giả sử ON B,(za}) ¢ U(A), ta cần chứng minh

Phần chứng minh cho kết quả này được thực hiện qua hai bước Ở bước đầu tiên,

ta sẽ đánh giá và thay thé hàm M,U trong tập W,{a,b)O By(zo) bởi hàm MEU với

¢ đủ nhỏ Tức là ta cần chi ra

(W,(a,b) n B,(x9)| < |{MSM > cЮA}n B,(za)|,

với hàm A4; được định nghĩa bởi

suy ra B,{y) C Bs,{22) Từ đây ta thu được

Tu) := sup ƒ U{a)dx < 3” sup vf Ulajdx < 3" MU (xa) < 3"A.

8;(u} Batre}

per por

Hon nữa, từ định nghĩa của toán tử cực đại kết hợp với đánh giá trên ta dude

M,U(y) = sup of Ul(ajde < max{MiLU(y), 3" A}.

p>0 8;(u)

Mặt khác, với mỗi p < r, bién đổi tương tự ta cũng có Ö,(w) C Öz„(zo), hơn nữa

MiUl(y) = sup p” U{ajdx = sup of (X Ba, (roy ajo.

B,(w)

0<p<r J Boy) 0<p<r

Từ hai phan tích trên, ta thu được kết quả sau

IW,(a,b)n B,(xa)| < |(MZM > c ®À}n Bu(o)| < |(MG(xøy„ œ0 > PAP, (2.24)

14