Khóa luận tốt nghiệp Toán học: Đánh giá gradient trong không gian lorentz có trọng cho bài toán hai pha

Lời cam đoanTôi xin cam đoàn khóa luận tốt nghiệp "Đánh giá gradient trong không gian Lorentz có trọng cho bài toán hai pha" được chính tõi thie hiện.. Danh sach ky hiéu R Tập hợp số thự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

ĐẠI HỌCSP

TP HO CHi MINH

Dang Thi Thanh Trúc

DANH GIA GRADIENT TRONG KHONG

GIAN LORENTZ CO TRONG CHO BAI

TOAN HAI PHA

Thanh phố Hồ Chi Minh - 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG DAI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HỖ CHÍ MINH

Đặng Thị Thanh Trúc

ĐÁNH GIÁ GRADIENT TRONG KHÔNG

GIAN LORENTZ CÓ TRỌNG CHO BÀI

TOÁN HAI PHA

Chuyên ngành: Toán giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC:

TS NGUYÊN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2022

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoàn khóa luận tốt nghiệp "Đánh giá gradient trong không

gian Lorentz có trọng cho bài toán hai pha" được chính tõi thie hiện Các kết quả trong khóa luân là trung thực và không sao chép bat kì khóa luận nào

khác.

Các thông tin trích din trong khóa luận này déu được ghì rõ nguồn gốc và

được phép cong bố Toi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm vẻ lời cam đoan của

mình.

Sinh viên thitc hiện

Đặng Thị Thanh Trúc

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, toi xin chan thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS

Nguyễn Thành Nhân, người đã giới thiêu cho tôi dé tài này trực tiếp hướng

dẫn tận tình và tạo mọi điểu kiện tốt nhất để téi có thể hoàn thành khóa luận

Xin chân thành cảm ơn quý Thay, Cô Khoa Toán - Tin học trường Dai học Sư

phạm thành phố Hỗ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa qua và quý Thay, Cé trong Hội đồng cham luận

văn đã góp ý giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng, tôi xin chin thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã hết lòng ủng hộ

và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện

luận văn này.

Xin chúc những điều tốt đẹp nhất sé luén đồng hành cùng mọi người.

Sinh viên thie hiện

Dang Thị Thanh Trúc

Tôm ti liện vần ; ; ¿ ¡ ¿sẽ cỉ cc co co co 6c c an anak awa 1

Giới thiệu tổng quan ee ee eee 2

Céu trúc khóa luận - -.-.-.ccŸcÍcằ 5

1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Không gian Musielak-Orlicz-Sobolew if

1.2 Không gian Lorentz có trong ee ee eee 9

1.3 Toán tử cực đại cấp phân số 00 eee eee 1] 1.4 Một số bat đăng thức can thiét 12

2 Các kết quả về đánh giá so sánh 13

2.1 Bất dang thức sosánh , ce ee ee ee 14

2.2 Bất đẳng thức reverse Holder - 30

3 Đánh giá gradient trong không gian Lorentz có trọng

3.1 Các bổ để xây đựng bat đẳng thức ham phân phối

3.2 Bổ đề phủ Vitali

3.3 Bat đẳng thức ham phân phối

3.4 Đánh giá gradient trong khéng gian Lorentz có trong

Danh sach ky hiéu

R Tập hợp số thực

ọ Miền mở, bị chan trong E"

dQ Biên của miễn 2

diam (Q) Đường kính của miễn 9

Brivo) Quả cau mở tâm xq, bán kính R > 0 trong R”

Qg(zạ) —pg Quả cầu mở Zg(zra}) giao với Q

A Toán tit elliptic khong đồng nhất

8 Ham vectd Carathéodory

Vu Gradient của hàm uw: " —

div(F) Divergence của ham vectơ F:; BR" > R"

£"(4) =|A| Dé do Lebesgue của tap do được Ac ®"

Ham đặc trưng của £ C R”

M, Toán tử cực đại cap phân số với a € Í0,n]

LQ) Khéng gian Musielak-Orlicz định nghĩa qua ham 1

Wht) Khong gian Musielak-Orlicz-Sobolev định nghĩa qua ?

CHD) Không gian các ham kha vi võ hạn lan, có support compact trên 2

ứ Hàm trọng

Ase Láp Muckenhoupt Ax

L3'(Q) Không gian Lorentz có trọng trên 2

0 Kết thúc chứng minh.

Giới thiệu

Tóm tắt luận văn

Nội dung chính của khóa luận là khảo sát tính chính quy nghiệm trong không

gian Lorentz có trong đối với bài toán hai pha Cu thể là ta sẽ đưa ra đánh giá

nghiệm toàn cục cho phương trình elliptic với hàm dữ liệu divergence có dang

sau đây:

div(A(z,Vu)) = div(B(r,F)) trong 9;

u = 0 trên dQ,

(A)

trong đó 2 mở trong BR’, x > 2 và F: 234 B® là trường vector.

Toán tit A,B: Q x 8" thỏa một số điều kiện sao cho phương trình (A) gan giống

với phương trình (p,g)— Laplace có dang:

div (|Vul?-?Vu + a(+)|Vu|??Vw) = div (|F|PT?E + a(+)|FI# ®F)

Chúng tôi sé dưa đánh giá dạng Calderén-Zvgmund cho nghiêm của bài toán

(A) trong không gian Lorentz có trọng thông qua toán tử cực đại, nghĩa là:

Ma (|F|? + a(z)|F|*) e rÿ'(Q) => Ma (|Vw|? + a(z)|Vu|f) e L3"(2),

duéi dang đánh giá sau:

[Ma (|Vul? + a(+)|V+|?) | LEQ) < C||Ma (IFIP + a{x)|F|*) lezen):

Phương pháp chúng tôi dùng để đánh giá ngiệm của bài toán là sử dụng hàmphân phối cực đại cắp phân số Phương pháp nay được tác giả Tran và Nguyen

áp dung gan day trong các bài toán chính quy nghiệm như một ứng dụng.

Giới thiệu tổng quan

Trong phép tính biến phan, người ta quan tâm đến việc tìm ra cực đại, cực tiểu

của các phiếm hàm năng lương Trong đó, các điểm cực tiểu của phiếm hàmchính là nghiệm yếu của phương trình Euler-Lagrange - phương trình dao hàmriêng Elliptic, xem [15] Một trong những chủ dé được quan tam của phép tính

biến phân và phương trình elliptic đó là tính chính quy các điểm cực tiểu của

một lớp các phiếm hàm năng lượng Trong khóa luận này, chúng tôi sẽ khảo sát

bài toán hai pha là bài toán cực tiểu hóa một lớp các phiém hàm năng lượng

tích phan cùng với diéu kiện (p,q) — growth Các bài toán hai pha có nhiều ứng dung trong Vật lí như là tính đàn héi phi tuyến, đông luc học và đồng nhất hóa.

Dự định của chúng tôi sẽ xây đựng một đánh giá toàn cục trong không gian

Lorentz có trong cho phương trình elliptic không đồng nhất - một dang của các

bài toán hai pha Phương trình được cho bởi công thức sau:

div (|Vu|P~®Vu + a(+)|Vu|f~®Vw) = div (|F|PT?F + a(x)|F [97 F) , (1)

trong đó 2 mở trong BR", n > 2 và P: 0 > lR^ là trường vector Hàm hệ số

œ: 9 — (0,00) cùng các số p,g thỏa điều kiện sau:

0 < a(-) € C92, đ € (0, 1]

8 (2)

l<p<ge aes p

Phương trình (1) được biết dén như là phương trình Euler-Langrange của phiém

Phiếm hàm F lan đầu tiên được khảo sát bởi Zhikov, V V , (xem [29],[30],[31]).

Các nghiên cứu dién tả sự thay đổi một số điển kiện của F trong đánh giá

gradient dựa vào tính chất không âm của ham số a.

Sau day, tôi sẽ giới thiêu một số nghiên cứu đi trước về đánh giá dang

Calderén—Zygmund cho phương trình (1) Năm 2016, tác giả Colombo và

Min-gione (xem [9}) đã thiết lap đánh giá Calderón-Zygmund địa phương cho gradient

nghiệm của phương trình (1) dưới các điểu kiên của hàm số a, tham số p,q hợp

lý Cụ thể, kết quả chính của nghiên cứu được đưa ra như sau:

(FP + œ(z)|FIf) € L2„(3) > (IV¿lf + a(z)|Vul?) © 1/,„(9), (3)

đúng với mọi + > 1, dưới điều kiện 5 <1+ ¬ Với trường hợp : >il+ _ cong

trình của Esposito, Leonetti và Mingione (xem [13]) da chỉ ra rang kết qua (3)

không xảy ra Tiếp đó, có nhiều nghiên cứu da phat triển kết quả (3) Nam

2017, tác giả Byun và Oh đã mở rong kết quả (3) với điều kiện biên: Ø là miền

cos" 8 € j0,1], xem [6] Năm 2020, tác giả De Filippis và Mingione da chứng

minh rang đánh giá (3) van đúng trong trường hợp : =l+ ¬› xem [10] Sau đó,

năm 2021, tác giả Tran và Nguyen (xem [26]) đưa ra đánh giá toàn cục trong không gian Lorentz cho vẫn để (1) thông qua tính bị chặn của toán tử cực đại

cấp phân số Ta thấy rằng, trong trường hợp đặc biết a = 0, phương trình (1)

trở thành phương trình p— Laplace cỗ điển và đã có nhiều kết quả về tính chính

quy nghiệm qua đánh giá Calderón-Zygmund, xem [8], [17], [11], [4] [5]

Kĩ thuật sử dung hàm phân phối cue đại cấp phân số đã được tác giả Tran

và Nguyen áp dụng đánh giá nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trong

nhiều bài toán khác nhau, xem [19], [21], (27, [20], [25] Phương pháp này được

đưa ra dựa trên ý tưởng kĩ thuật good-A sử dung trước đó (xem [22], [23], [24],

[18]), tuy nhiên nó lại mang đến một góc nhìn mới như là một ứng dung của kết

qua chính quy nghiêm và đánh giá dang Calder6én-Zygmund Trong khóa luân,

chúng tdi sẽ đưa ra các đánh giá trên tap mức bằng cách sử dung tinh bị chan

của toán tử cực đai, các bắt đẳng thức so sánh và bổ dé phủ Vitali thông qua

ngôn ngữ hàm phân phối cực dai cấp phan số

Sau đây, chúng tôi sẽ khảo sát phương trình tổng quát hơn phương trình (1)

Phương trình có dang là:

div(A(x, Vu)} = div(B(zx, F)) trong 2:

u = 0 trên dQ,

(A)

trong đó 2 mở trong R", n > 2 và F: 2 > R" là trường vector Hàm hệ số

œ:€ — (0,00) cùng các số p,g thỏa diều kiên của (2).

Toán tử phi tuyển A: 2x R" đo được với mọi x € 9 và khả vi với mọi y € R"\ {0},

thỏa các điều kiện sau:

|-A(z.w)| + |ô„.A(z w)| ly] < L (ly? + a(z)|y#t~!)

# (|w|P~® + a{(z)|w|#~) |z|” < (8.A{z, w)z, z (4) [A(r.y)— A(wa,y)| < ban) — ae) lu”

với y,z € R"\{0} , z.rzị.za € và 0 < ứ < L < ow Ta có nhận xét rằng, trong

điều kiện (4); với 1 < p < ø được thay thế bang:

ữ lỆ P + Iwf}) e-2 2-2

` +a(z) (is + | ° ln — wel” < (Alam) — A(z) m1 — t3)

(5)

trong đó ø = ø(n,p,g.) là hằng số đương Nếu 2 < p < q, ta có thể viết:

Ỡ (yy — wel? + a(x} (yr — wel?) < (2A(z, vì) — 2Á (Z2), Mì — 3) (6)

ÖỎ về phải của bài toán {A}, trường vector 8: Qx#" > R" là hàm Carathéodory

thỏa điều kiện sau:

Câu trúc của khóa luận

Cấu khúc của khóa luận nằm trong 3 chương sau:

« Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm, định nghĩa và

tính chất cain thiết để phục vu chứng mình các kết quả chính Chúng tôi

sẽ giới thiện về không gian Musielak-Orlicz, không gian

Musielak-Orlicz-Sobelev, không gian Lorentz có trọng, đình nghĩa và tính bị chặn của toán

tử cực đại cùng với một vài bắt đẳng thức chuẩn bị Tài liệu tham khảo của

chương này gồm quyền sách của tác giả L Grafakos [14], bài báo của các

tác giả A Benkirane và M.S El Vally [1], bài báo của các tác giá S.-S Byun

và J Oh [6] cùng với bài báo của các tác già Tran và Nguyen [26],[20],[19].

« Chương 2: Các kết quả về đánh giá so sánh

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra đánh giá về so sánh giữa nghiệmcủa bài toán (A) và bài toán thuẫn nhất, bat đẳng thức reverse Holder cho

nghiệm của phương trình thuẫn nhất và đánh giá toàn cục giữa nghiệm và

dữ liêu Tài liêu tham khảo chính chúng tôi dùng để sử dung trong chương

này là bài báo của các tác gid S.-§ Byun và J Oh [6] cùng với bài báo của

các tác gia Tran và Nguyen [26].

e Chương 3: Đánh giá gradient trong không gian Lorentz có trọng.

Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả chính của khóa luận là đưa

ra đánh giá gradient nghiệm bài toán đang xét trong không gian Lorentz

có trọng dita trên bat đẳng thức hàm phân phối Ta sẽ xây dựng bắt đẳng

thức này bằng bổ đề phủ Vitali cùng với một số bồ đề cần thiết sẽ được

chứng minh trong chương này Tài liệu tham khao chính của chương nay

là bài báo trong [26] và [20] của các tác giả Tran và Nguyen.

Chương 1

Kiên thức chuẩn bị

O chương này, ta sé đưa ra định nghĩa các không gian hàm

Musielak-Orlicz-Sobolev, không gian Lorentz có trọng, định nghĩa của hàm trọng phân phối,

toán tit eye đại cap phân số và một số bắt đẳng thức can thiết.

1.1 Không gian Musielak-Orlicz-Sobolev

Định nghĩa 1.1.1 ({1], Hàm Musielak-Orlicz) Cho ¿ là một ham số thực được đình nghĩa trong 9 x R°, thỏa man hai diéu kiện sau:

i) ¿(.:) là một N = function nghĩa là một ham lỗi, không giảm và liên tục,

ii) ¿(-, |) là một ham do được.

Hàm ¿ thỏa 2 điều kiện trên được gọi là hàm Musielak-Orlicz.

8 Chương 1 Kién thức chuẩn bị

Nhận xét 1.1.2 Ta nhận thấy hàm H : @ x R" — [0,0e) được định nghĩa trong

(8) là một hàm Musielak-Orlicz.

Sau đây, ta sẽ đưa ra định nghĩa của không gian Musielak-Orlicz và không

gian Musielak-Orlicz-Sobolev thông qua toán tử # để đưa ra định nghĩa nghiệm

của bài toán (A).

Định nghĩa 1.1.3 ({3], Không gian Musielak-Orlicz) Cho k: @ —+ R*

là một ham do được Lebesgue, ta nói hàm k thuộc về lớp Musielak-Orlicz

KTM (Q RE) nếu nó thỏa [ ®t(z.k(z))dr < +se Không gian Musielak-Orlicz L?1(Q, RE)

ụ

là không gian veetơ nhỏ nhất chứa K* (Q,IRF) và chuẩn || || L*(0.R*) được định

nghĩa như sau:

|XÌÌ,»(o ge) = inf { £ >0 : + (« 2) dx <1

ft

ụ

Dinh nghĩa 1.1.4 ({3], Không gian Musielak-Orlicz-Sobolev) Không

gian Musielak-Orlicz-Sobolev W1“ (9 R*) là tập chứa tat cả ham do được k €

L(Q,IRE) sao cho Vk © L® (Q,R'") Chuẩn của không gian W''*“ (Q,RE) được

cho bởi công thức sau:

|lKÌjy:.»(e g+) = Ill aw (ore) + ÌVEÍ„(o gxe):

Hơn nữa, không gian W⁄\ “0 R*) được định nghĩa như bao đóng của CX (2,IR*)

trong W1?1(Q RẺ) Ta kí hiệu WE (OR) = H/L(Q),

Để hiển rõ hơn về không gian Musielak-Orlicz-Sobolev, ta có thé đọc các tài

liệu tham khảo sau: [I].[6] [12] Về việc quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của bài

toán (A) trong không gian Musielak-Orlicz-Sobolev, ta có thé đọc thêm các tài

liệu [3], [16] Sau day, ta sẽ đưa ra định nghĩa nghiệm của bài toán (A).

Định nghĩa 1.1.5 (Nghiệm phân phối) Hàm + ¢ W**(Q) được gọi là

nghiệm phân phối của bài toán (A) đưới các giả thiết (2), (4) nếu công thức

1.2 Không gian Lorentz có trọng 9

bién phan sau

/ (A (a, Vu), Vọ)dz = Jtse.nl.ve)áe

e ẹ

đúng với mọi ham thử ¿ € C?°(Q).

Bồ đề 1.1.6 Chou e W'*(Q) là một nghiệm phần phối của bài toán (A) dưới

các giả thiết (2), (4) và F e LTM (Q) Khi đó công thức biến phan sau

TA v),2)áe= [BP Ve)ae,

2 2

luôn đúng với moi ham thi ¿ € Wa (a).

Ta có thé tham khảo chứng minh Bồ đề 1.1.6 trong [6, Proposition 3.5].

1.2 Không gian Lorentz có trọng

Cho A C R® là tập con do được Lebesgue, ta kí hiệu £°(A) = |A| là độ do

Lebesgue của A.

Dinh nghĩa 1.2.1 (/23], [20], [14], Trọng Muckenhoupt) Cho hàm trong

w là một ham kha tích dia phương không âm và do được Ta nói trọng w € Aw nếu tốn tại hai hằng sé cạ, ô > 0 sao cho:

10 Chương 1 Kién thức chuẩn bị

Mệnh dé 1.2.2 ([14]) Chow € Ax Khí đó:

Với mọi À > 1 và B là quả cau trong [", ta có:

w(AB) < 2" IÄ w(B),

trong đó AB là qua cầu cùng tam với B và ban kính gap X lần bán kính B

Định nghĩa 1.2.3 (Í20], Ham trọng phân phối) Chow 6 Ax, K CR" và

hàm do được ƒ trên 2 Hàm trọng phan phối ae (K,.) được cho bói công thức

Hơn nữa, néu 2 C K, cho tiện lợi ta viết de (A), dy (A) thay vì đ?(K,À), dy (K.À).

Dinh nghĩa 1.2.4 ({23],[20], Không gian Lorentz có trong) Cho tham số

se(0,),£ € (0,%| vaw € Aw, không gian Lorentz có trọng Lÿ (Q) được định

nghĩa là tập gồm tắt cả hàm ƒ đo được Lebesgue trên Q sao cho || Ƒ | Lạy = +0,

soy, = SIPp À | {z EN: | fla My)’.

I llz~¢ey = sup w( {x € ®:|/()| > A})

1.3 Toán tử eye đại cap phan số ll

Ta có chú ý sau: ||ƒ|(¡;s¿ạy viết dưới dang ham phan phối

Trong trường hợp œ = 1, không gian Lorentz có trọng LẺ *{(Q) trở thành không

gian Lorentz L*1(Q) Hơn nữa, nếu s = t thì L**(Q) = L*(Q) là không gian

Lebesgue cô dién.

1.3 Toán tứ cực đại cấp phan số

Sau đây, ta sẽ giới thiệu một vài kí hiệu can dùng trong mục này Với mọi # > 0,

ta đặt Qe (xq) = 0n Øg(za), trong đó Øg(za) là một qua cầu mở trong R” có

tâm 29 bán kính là Ñ Ta sử dụng kí hiệu Fac) f{yjdy dé định nghĩa tích phan

trung bình của f theo biến y trên quả cầu /g{z):

l

Định nghĩa 1.3.1 ({14], [26]) Với mỗi 0 < a <n và ƒ € L} (R*") toán tử

cực đại M,, của f được cho bởi công thức sau:

M,ƒ (z) = suo f |/(w|du, eR".

Bo{x)

ạ>h

Tính bị chặn của toán tử cực đại đóng vai trò quan trọng trong việc đưa ra đánh giá gradient cho nghiệm của bài toán Sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu tính

chất đó của toán tử cực đại thông qua mệnh dé đưới đây Cách chứng minh của

ménh dé ta có thể tham khảo trong [26].

12 Chương 1 Kiễn thức chuẩn bị

Mệnh dé 1.3.2 (26]) Giả sử s > 1 và 0 < a < 7 Khi đó tốn tại hang sé

s

C = C(n,a) > 0 sao cho với mọi Ƒ € LS (R") ta có

te eR”: Maf(z) >A} <€ x J ena (1)

luôn đúng với mọi a,b € E và e > 0.

Bồ đề 1.4.2 Cho a,b là các số thực không âm, ta có các đánh giá sau:

i) Với0< p< 1, ta có 2A! (a + bP) < (a+ bịP < aP +B,

ii) Với p> 1, ta có a? + bP < (a + bỊP < Po (a + bP).

viết data đại điện cho tập các tham số sé tác động đến sự phụ thuộc của hằng

số C trong các bồ dé, định lý của cả chương 2 và 3 Ta có:

data = data (n, GP: 8, , L, [a]a:es |Ì#Ì| re: ||? (+ Vell ay le}, R, <0)

Với zạ € 9 có định và R > 0 cho trước, đặt ©sg(zạ) = Qeg = Bap(zo)n9 Với

uw € WEX(Q) là nghiêm phân phối của bài toán (A), giả sử ø € u + WP (Mog) là

nghiêm phân phối duy nhất của phương trình thuần nhất:

div (A(x, Ve)) = Ú trong Qo, (D)

Khi đó, ta sẽ nhận được các kết quả sau:

14 Chương 2 Các kết quả về đánh giá so sánh

2.1 Bất đăng thức so sánh

Định lý 2.1.1 ({26]) Cho wu ¢ W'(Q) là nghiệm phân phối của bài toán

(A) với các giả thiết (2),(4) và F e LY (Q,R") Giả sử rằng v € u + WE" (Qạn)

là nghiệm phân phôi duy nhất của bài toán (D) Khi đó tôn tại hang sé C =

C(dafa) > 0 sao cho:

f Hla, Vu — Vujde < ef (+, Vujda + cee f (+ Fydx (2.1)

f yyy Deon 23"

re :

2-VỚI moi £ € (0,1), = max {o mm:

p—

Chứng mình, Ta kí hiệu ? là mở rộng của v trong 2, nghĩa là 7 = v trong Ø và

7 =u trên 9\9¿,; Ap dung Bồ dé 1.1.6, ta chọn hàm thử ¿ = z= ø € wr (Oap)

cho bài toán (A) và bài toán (D), ta có các công thức biến phan sau:

ƒ (A(x, Vu), Vu — Vu)dz = f (B(x, F), Vu — Vu)dr,