Khổng gian Lebesgue
ành nghắa 1.1.1 ([3]) Cho X l mºt khổng gian º o, l mºt º o dữỡng v khổng nhĐt thi‚t phÊi hœu h⁄n trản X Cho 0 < p < 1; L p (X; ) l mºt t“p cĂc h m o ữổc trản X ữổc ành nghắa
T“p L 1 (X; ) l t“p tĐt cÊ cĂc h m f o ữổc trản X sao cho tỗn t⁄i B > 0 ” t“p fx : f (x) > Bg cõ º o b‹ng 0 Hai h m ữổc gồi l b‹ng nhau trong
L p (X; ) n‚u chúng b‹ng nhau hƒu kh›p nỡi trản X, nghắa l hai h m b‹ng nhau trản X, ngo⁄i trł t“p cõ º o b‹ng 0.
K‰ hiằu L p (R n ) nghắa l khổng gian L p (R n ; j j), trong õ j j l º o Lebesgue n chi•u º o Lebesgue trong R n cụng ữổc k‰ hiằu l dx N‚u khổng cõ sỹ nhƒm lÔn, ta cõ th” vi‚t L p (X; ) ỡn giÊn l L p Khổng gian L p (Z) ữổc trang bà º o k‰ hiằu l ‘ p (Z) ho°c ỡn giÊn l ‘ p
Cho 0 < p < 1, ta ành nghắa tỹa chu'n cıa mºt h m f trong L p bði
Sau Ơy l mºt sŁ t‰nh chĐt cıa k kL p (X; ) vợi 0 < p 1.
Mằnh • 1.1.2 (BĐt flng thức Holder [3]) Cho 0 < p; p1; p2; :::; pk 1 vợi k 2, v fj
(i) Vợi f1; f2; :::; fk 2 L P th… kf1:::fkkL p kf1kL p 1 :::kfkkL p k :
(ii) N‚u pj l hœu h⁄n, vợi j = 1; k th… dĐu flng thức trong (i) xÊy ra trong trữớng hổp c1jf1j p 1 = ::: = ckjfkj p k hƒu kh›p nỡi vợi mỉi cj 0.
(iii) kf gkL 1 kfkL q kgkLq 0 ; v
Chứng minh Ta chứng minh (i) b‹ng phữỡng phĂp quy n⁄p Trữợc h‚t ta s‡ chứng minh bĐt flng thức úng vợi trữớng hổp k = 2 Nghắa l vợi
1 1 1 th… kf1f2kL p kf1kL p 1 kf2kL p 2 :
Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt ta cõ th” giÊ sò p = 1, khiõ ta s‡ chứng minh
V… kf 1 f 2 kL 1 kf 1 kL p 1 kf 2 kL 1 v kf 1 f 2 kL 1 kf 1 kL 1 kf 2 kL p 2 vợi mồi x nản trữớng hổp p1 =
Do õ ta cõ th” giÊ sò 1 < p1; p2 < 1 N‚u kf1kL p 1 = 0 ho°c kf2kL p 2 = 0 th… f1 =
0 hƒu kh›p nìi ho°c f2 = 0 hƒu kh›p nìi Suy ra f1f2 = 0 hkn Do â kf 1 f 2 kL 1 = 0 hkn nản kf 1 f 2 kL 1 kf 1 k L p1 kf 2 k L p2 :
Tł õ ta cõ th” giÊ sò r‹ng kf1kL p 1 > 0; kf2kL p 2 > 0 B‹ng cĂch thay th‚ f1 bới f f 1 p , f2 bði f 2 ta cõ th” giÊ sò kf 1 kL p 1 = kf2k L p 2 = 1 °t kf p k p 1 1 k L 1 2 k L 2 c 1 c vợi c 0 Ta cõ f 0 (c) = c p 1 f(c) = p1 +p2 1 Khi â: c 0 1 +1 f 0 (c) 0 +
Ta th§y min f (c) = 0 khi c = 1 Cho a; b > 0, l§y c = ab p 2 =p 1 th…
Suy ra + b ab p 2 p 2 =p 1 = ab v… p 2 = p 2 = 1 DĐu flng thức p1 p2 p1 p2 x£y ra n‚u v ch¿ n‚u
Sò dửng bĐt flng thức (1.5) vợi a = kf1kL p 1 ; b = kf2kL p 2 ta cõ:
V“y kf 1 f 2 kL 1 kf 1 kL p 1 kf 2 kL p 2 BƠy giớ giÊ sò bĐt flng thức úng vợi k 1,nghắa l kf1:::fk 1kL p 0 kf1kL p 1 :::kf2kL p k 1 ; (1.6)
1 1 1 vợi p 0 =p +::: Ta s‡ chứng minh bĐt flng thức cụng úng vợi k b‹ng
=1 kf 1 :::f k 1 f k kL p = kgf k kL p kgk L p 0 kfkk L p k : p dửng (1.6) th… bĐt flng thức  ữổc chứng minh.
Tł cĂch chứng minh ð trản ta thĐy dĐu flng thức xÊy ra khi v ch¿ khi jf1j p 1
=:::= jfkj p k hkn. kfkkL p 1 kfkkL p k p dửng (i) ta cõ kjfj kL 1 =jfgj jgj q
M°t kh¡c, ta l⁄i câ kjfj k L 1 = Z jfj d =Z
= Z X d q ZX jfgj d q kjfgj kL q jfgj = = kfgkL 1 ; q q
Thay v o (1.7) ta ữổc: kfkL q q kf gkL q
L 1 q dÔn ‚n bĐt flng thức sau q kfk L q q g
Tł ¡nh gi¡ n y, ta suy ra q q q kfkL q kgkL q kf gkL 1 : q 1
Tł ¥y ta suy ra pcm.
=1 l mºt d¢y h m trong L p (X; ). (i) (BĐt flng thức Minkowski) Vợi 1 p 1, th…:
X X fj 0; (ii) (BĐt flng thức Minkowski) Vợi 0 < p < 1 v j = 1; 2; :::; N , th…:
Chứng minh Ta s‡ chứng minh (i) b‹ng quy n⁄p BĐt flng thức úng vợi N = 2.
Th“t v“y, vợi p = 1 ho°c p = 1 th… Ăp dửng bĐt flng thức tam giĂc ta cõ i•u phÊi chứng minh Vợi 1 < p < 1 ta cõ jf1 + f2j p jf1j jf1 + f2j p 1 + jf2j jf1 + f2j p 1 : p dửng bĐt flng thức Holder ta cõ
Z jf 2 j jf 1 + f 2 j p 1 Z jf 2 j p Z jf 1 + f 2 j (p 1)q ; p q vợi q = p Tł hai Ănh giĂ trản ta cõ p 1
Z jf 1 + f 2 j p Z jf 1 j p Z jf 1 + f 2 j (p 1)q + Z jf 2 j p Z jf 1 + f 2 j (p 1)q p q p q
1 1 kf1kL p Z jf 1 + f 2 j p q + kf 2 k L p Z jf 1 + f 2 j p q
1 kf1kL p + kf2kL p Z jf 1 + f 2 j p q:
Chia hai v‚ cıa bĐt flng thức cho q khĂc 0 ta ữổc
Z jf 1 + f 2 j p : Z jf 1 + f 2 j p q kf1kL p + kf2kL p :
Suy ra kf 1 + f 2 kL p kf 1 kL p + kf 2 kL p (v… p + q = 1 ) BƠy giớ giÊ sò bĐt flng thức úng vợi N, nghắa l :
Ta s‡ chứng minh bĐt flng thức cụng úng vợi N + 1 Th“t v“y:
” chứng minh (ii) trữợc h‚t ta chứng minh bĐt flng thức úng vợi trữớng hổp
N = 2 Th“t v“y, n‚u f 1 = 0 ho°c f 2 = 0 th… bĐt flng thức úng N‚u f 1 > 0 v f2 > 0, ta câ: jf1 + f2j p = f1 (f1 + f2 ) p 1 + f2 (f1 + f2 ) p 1 : p dửng (1.4) ta ữổc
: Cºng v‚ theo v‚ hai bĐt flng thức trản ta ữổc p 1
Chia hai v‚ cho p 0 kf1 + f2kL p kf1kL p + kf2kL p :
Ti‚p theo giÊ sò bĐt flng thức úng vợi N, nghắa l :
Ta s‡ chứng minh bĐt flng thức cụng Th“t v“y, ta cõ:
N+1kfjkL p = N kf j kL p + kf N+1 kL p N fj + kf N+1 kL p N+1 f j j=1 j=1 j=1 L p j=1 L p
H m ph¥n phŁi
” t…m hi”u khổng gian Marcinkiewicz, cặn gồi l L p y‚u, trữợc h‚t ta phÊi thổng qua ành nghắa h m phƠn phŁi sau Ơy. ành nghắa 1.2.1 ([3]) Cho f l mºt h m o ữổc trản X, h m phƠn phŁi cıa f l h m df xĂc ành trản [0; +1) nhữ sau: df ( ) = (fx 2 X : jf (x)j > g) ;0:
CĂc mằnh • dữợi Ơy s‡ nảu ra mºt sŁ t‰nh chĐt cỡ bÊn cıa h m phƠn phŁi.
Mằnh• 1.2.2 ([3],[7]) Cho f v g l cĂc h m o ữổc trong (X; ) Vợi mồi ; > 0, cĂc mằnh • sau Ơy úng:
(i) N‚u jgj jfj hƒu kh›p nìi th… dg d f
(ii) d cf ( ) = d f jcj vợi mồi c 2 Cn f0g
Chứng minh ƒu tiản ta s‡ chứng minh (i) Vợi > 0 tũy ỵ, v… jgj jfj hƒu kh›p nỡi nản: fx 2 X : jg (x)j > g fx 2 X : jf (x)j > g :
Do õ (fx 2 X : jg (x)j > g) (fx 2 X : jf (x)j > g) V“y dg df ” chứng minh (ii) ta l§y tòy þ c 2 Cn f0g, > 0, khi â dcf ( ) = (fx 2 X : jcf (x)j > g)
” chứng minh (iii) ta lĐy tũy ỵ ; > 0 , th… fx 2 X : jf (x) + g (x)j > + g fx 2 X : jf (x)j > g[fx 2 X : jg (x)j > g :
Tł ành nghắa cıa h m phƠn phŁi ta k‚t lu“n ữổc df+g ( + ) df ( ) + dg ( ) : CuŁi cũng ta s‡ chứng minh (iv), vợi mồi ; > 0, ta cõ : fx 2 X : jf (x) g (x)j > g fx 2 X : jf (x)j > g [ fx 2 X : jg (x) > jg :
Mằnh • 1.2.3 ([3],[7]) GiÊ sò f v fn l nhœng h m o ữổc trong (X; ). CĂc mằnh • sau Ơy úng:
(i) d f l h m giÊm v liản tửc phÊi trản [0; 1).
(ii) N‚u jfj lim inf n!1 jf n j hƒu kh›p nìi th… d f lim inf n!1 jd f n j.
(iii) N‚u jfnj " jfj th… df n " df
Chứng minh Ta chứng minh df l h m giÊm Th“t v“y, lĐy tũy ỵ 0 th… ta cõ fx 2 X : jf (x)j > g fx 2 X : jf (x)j > g.
Suy ra df ( ) df ( ) (do t‰nh ỡn iằu cıa º o) Ti‚p theo, ta chứng minh df liản tửc phÊi trản [0; 1) °t A = fx 2 X : jf(x)j > g LĐy 0 l mºt sŁ dữỡng tũy ỵ, do A A
Suy ra: df 0 + n 1 = A 0 +1=n ! (A 0 ) = df ( 0 ) khi n ! 1 i•u n y chứng tọ df lản tửc phÊi trản [0; 1) Ti‚p theo, vợi mỉi > 0, °t
A = fx 2 X : jf(x)j > g; An = fx 2 X : jfn (x) > g; n 2 N : Khi õ An+1 An vợi 8n 2 N nản n=m A n 1 1 m=1 l dÂy giÊm Theo giÊ thi‚t
T jf (x)j n lim inf jfn (x)j = sup inf jf (x)j :
!1 m2N n m i•u n y cõ nghắa vợi mồi x 2 X thọa jf(x)j > tỗn t⁄i mºt sŁ nguyản m sao
1 1 cho 8n m th… jf(x)j > Do õ A S T A n , v vợi mỉi m 1, ta cõ:
) m n m An n An ) : inf ( sup inf ( ) = lim inf ( n=m !1
V… jfnj " jfj nản suy ra jfnj < jfj ; 8n 2 N Do õ theo Mằnh • 1.2.2 ta cõ df n < df Ta s‡ chứng minh lim df n ( ) = df ( ) ; 8 > 0 Vợi mỉi > 0, °t n!1
A = fx 2 X : jf (x)j > g v An = fx 2 X : jfn (x)j > g :
Rê r ng fAng 1 n=1 l dÂy giÊm v A T A n (do jf n j " jfj) Suy ra n=1
Mằnh • 1.2.4 ([3]) Cho f 2 L p (X; ) vợi 0 < p < 1 Khi õ ta cõ:
Chứng minh Mằnh • n y ữổc suy ra tł ành lỵ Fubini, nhữ sau:
Qua ành nghắa v cĂc t‰nh chĐt cıa h m phƠn phŁi, chúng ta ti‚p tửc ành nghắa khổng gian L p y‚u nhữ sau.
Khổng gian L p y‚u
ành nghắa 1.3.1 ([3]) Cho 0 < p < 1, khổng gian L p (X; ) y‚u (cặn ữổc gồi l khổng gian Marcinkiewicz) ữổc ành nghắa l t“p hổp tĐt cÊ cĂc h m o ữổc f sao cho: kfkL p;1 = inf C > 0 : df ( )
Khổng gian L 1 (X; ) y‚u ữổc ành nghắa bði L 1 (X; ) Khổng gian L p y‚u ữổc k‰ hiằu l L p;1 (X; ) Hai h m trong L p;1 (X; ) ữổc gồi l b‹ng nhau n‚u chúng b‹ng nhau hƒu kh›p nỡi L p;1 (R n ; j j) ữổc k‰ hiằu l L p;1 (R n )
(i) Cho f 2 L p;1 (R n ) v k l mºt h‹ng sŁ phức khĂc 0 bĐt k…, ta cõ: kkfkL p;1 = jkj kfkL p;1 : (ii) Cho f; g 2 L p;1 (R n ), c p = max 2 ; 2 p ta câ:
Chứng minh Trữợc h‚t ta chứng minh (i) Theo ành nghắa 1.3.1 th… ta cõ
Ti‚p theo ta chứng minh (ii) b‹ng cĂch x†t hai trữớng hổp sau Trữớng hổp 1, n‚u 1 p < 1, vợi mồi dữỡng th… ta cõ: d f+g ( ) d f 2 + d g 2 : p dửng Mằnh • 1.2.2 (ii) ta ữổc df+g ( ) d2f ( ) + d2g ( ): Suy ra:
NhƠn cÊ hai v‚ vợi khĂc 0 ta ữổc:
Do (1.11) ta câ: kf + gkL p;1 2 kfkL p;1 + kgkL p;1 : Trữớng hổp 2, n‚u 0 < p < 1, vợi mồi dữỡng th… ta cõ:
Hìn nœa ta câ ¡nh gi¡
K‚t hổp hai k‚t quÊ trản dÔn ‚n: d g ( /2) p : df+g ( ) p 2 p 2df ( /2) p +2
NhƠn 2 v‚ cıa bĐt flng thức vợi > 0
Theo (1.11) ta câ kf + gkL p;1
V“y kf + gkL p:1 cp kfkL p;1 + kgkL p;1 ; vợi cp = max 2; 2p
Tł mằnh • trản v (1.11) ta cõ kfkL p;1 0 vợi 8f 2 L p;1 v kfkL p;1 = 0 khi f = 0 hƒu kh›p nỡi Do õ k:kL p;1 l mºt tỹa chu'n, nản L p;1 l mºt khổng gian tỹa chu'n tuy‚n t‰nh vợi 0 < p < 1.
Ti‚p theo ta s‡ t…m hi”u quan hằ giœa khổng gian L p v khổng gian L p y‚u, ữổc th” hiằn qua mằnh • sau.
Mằnh• 1.3.3 ([3]) Vợi mồi 0 < p < 1, f 2 L p , ta cõ kfkL p;1 kfkL p , do õ
Chứng minh p dửng bĐt flng thức Chebyshev’s, ta cõ: p Z d f ( ) jf (x)j p d (x): fx:jf(x)j> g
Tł bĐt flng thức n y, ta cõ th” k‚t lu“n kfkL p;1 kfkL p
Sau Ơy chúng ta ti‚p tửc t…m hi”u mºt sŁ t‰nh chĐt cıa k k L p;1.
Mằnh • 1.3.4 ([1]) Cho 0 < p < q 1 v h m f 2 L p;1 (X; ) \ L q;1 (X; ) th… f 2 L r (X; ) vợi mồi p < r < q v khi õ
1 1 1 1 vợi h = 1 r q 1; k = p 1 r 1 : BĐt flng thức cụng úng trong trữớng hổp q = 1. p q p q
Chứng minh Trong trữớng hổp q < 1, Ăp dửng (1.14) ta cõ:
Z Z pd f ( ) jf (x)j p d (x) jf (x)j p d (x) = kfk p L p;1 : fx2X:jf(x)j> g X
Suy ra df ( ) kfk pL p;1 : Bi‚n Œi t÷ìng tü ta công câ d f ( ) kfk qL q;1 : p q Tł hai Ănh giĂ trản ta suy ra d f ( ) min kfk p L p; 1 ; kfk q
B‹ng c¡ch t¡ch t‰ch ph¥n t⁄i sŁ
A = kfk q L q;1 q p ; kfk p L p;1 khi â theo (1.2.4) th…
Trong trữớng hổp q = 1, v… df ( ) = 0 khi > kfkL 1 nản ta ch¿ cƒn sò dửng bĐt flng thức df ( ) p : kfk p L p;1 khi kfkL 1 Khi õ tł (1.16) dÔn ‚n
M tł (1.15) khi cho q ! 1 ta s‡ thu ữổc (1.17).
Mằnh • 1.3.5 ([1]) Cho (X; ) l khổng gian º o N‚u E l cıa X thọa mÂn (E) < 1, f 2 L p;1 (X; ) vợi 0 < q < p < 1 th…
Chứng minh p dửng Mằnh • 1.2.4 ta cõ
Tł ¥y ta câ k‚t lu“n r‹ng n‚u (X) < 1 v 0 < q < p th…
Th“t v“y, tł Mằnh • 1.3.3, ta cõ L p (X; ) L p;1 (X; ) LĐy f 2 L p;1 (X; ), Ăp dửng Mằnh • 1.3.5 ta cõ X f q d < 1 Do õ f 2 L q (X; ).
Nhữ Â tr…nh b y ð trản, k k L 1 ch¿ l tỹa chu'n trong khổng gian L p y‚u,
R: j p; j do õ ta cƒn ành nghắa mºt chu'n cıa khổng gian L p y‚u nhữ sau. ành nghắa 1.3.6 ([1]) Cho khổng gian º o (X; ) v 0 < p < 1, vợi
0 < r < p ta ành nghắa chu'n cıa khổng gian L p y‚u vợi p > 1 l :
Chứng minh p dửng mằnh • 1.3.5 vợi q = r ta cõ:
M°t kh¡c do (1.19) ta câ: jjjfjjj Lp;1 (E) r 1 + p 1 Z E jfj r d vợi mồi t“p E X thọa (E) < 1 °t A = fx 2 X : jf (x)j > g vợi f 2 L p;1 Rê r ng (A) < 1 nản p jjjfjjjLp;1 df ( ) r 1 + p 1 A
Tł (??) ta suy ra jjjfjjjL p;1 kfkL p;1: p r
H m ho¡n và gi£m
ành nghắa 2.1.1 ([7]) H m hoĂn và giÊm cıa h m f l h m f :
[0; 1) ! [0; 1) ữổc ành nghắa bði f (t) = inf f 0 : df ( ) tg : Thổng qua quy ữợc inf ? = 1 ta cõ f (t) = 1 khi df ( ) > t vợi mồi 0 V‰ dử
Khi õ ta xĂc ành ữổc h m: ph¥n phŁi cıa f l
: 0; ỗ thà cıa 3 h m sŁ trản nhữ sau
2 ành lỵ 2.1.3 ([7]) H m f (t) = md f (t) ; t 0 vợi m l º o Lebesgue.
Chứng minh V… df l h m giÊm nản sup f 0 : d f ( ) > tg = f 0 : d f ( ) > tg :
Do õ theo ành nghắa cıa h m phƠn phŁi ta cõ f (t) = inf f : df ( ) tg = sup f : df ( ) > tg = f : df ( ) > tg = md f (t):
Mằnh • sau s‡ tr…nh b y mºt sŁ t‰nh chĐt cıa h m hoĂn và giÊm.
Mằnh • 2.1.4 ([7], [13]) f , g lƒn lữổt l h m hoĂn và giÊm cıa f v g, vợi t1, t2 thọa 0 t1; t2 < 1 th… khi õ
(i) f (t) > n‚u v ch¿ n‚u t < df ( ) Nghắa l ft 0 : f (t) > g = 0; df ( ) :
(ii) N‚u jgj jfj hƒu kh›p nìi th… g f v jfj = f
(vi) N‚u jfnj " jfj hƒu kh›p nìi th… fn " f :
(vii) Vợi A X th… f A (t) f (t) [0; (A)) (t) vợi mồi t 0:
Chứng minh Trữợc h‚t ta s‡ chứng minh (i) GiÊ sò df ( ) > t Do df l h m giÊm nản < inf fs : df (s) tg = f (t): GiÊ sò f (t) > Khi õ inf fs : df (s) tg > , m d f l h m giÊm nản d f ( ) > t Do õ ta cõ ft 0 : f (t) > sg = ft 0 : t < df (s)g = 0; df (s) :
” chứng minh (ii) ta s‡ Ăp dửng Mằnh • 1.2.2 V… jgj < jfj hƒu kh›p nỡi nản dg < df Do õ inf f 0 : dg ( ) tg < inf f 0 : df ( ) tg Tł Ănh giĂ trản ta cõ g f
Theo ành nghắa cıa h m df th… df = djfj V“y jfj = f
” chứng minh (iii) ta x†t hai trữớng hỡp sau N‚u k = 0 th… flng thức hi”n nhiản úng N‚u k 6= 0 th… theo Mằnh • 1.2.2 ta cõ dkf ( ) = df k Do õ vợi t 2 [0;
(kf) (t) = inf f0 : dkf ( ) tg = inf n k 0 : df to k k
S = fs 0 : df+g (s) t1 + t2g ; P = fs > 0 : df g (s) t1 + t2g ; v Ăp dửng Mằnh • 1.2.2 (iii) v (iv) ta s‡ chứng minh (iv) nhữ sau.
(f g) (t1 + t2) = inf P s1s2 vợi s1 2 A; s2 2 B: Tł Ơy ta k‚t lu“n ữổc
” chứng minh (v), ta lĐy tũy ỵ t0 2 [0; 1) N‚u f (t0 ) = 0 th… f (t) = 0 vợi mồi t t0 Suy ra f liản tửc phÊi t⁄i t0 BƠy giớ ta giÊ sò f (t0 ) > 0 Chồn sŁ thọa 0
< < f (t0 ), °t ftng 1 n=1 l dÂy sŁ thỹc giÊm dƒn v• 0 Theo ành nghắa ta cõ f (t0 )
= inf fs 0 : df (s) t0g Tł â d¤n ‚n f (t0 ) s Do df l h m giÊm nản df (f (t0 ) ) df (s ) > df (s) : Theo t‰nh chĐt cıa infimum ta suy ra df (f (t0 ) ) > t0 M°t khĂc v… tn # 0 nản tỗn t⁄i n0 2 N sao cho df (f (t0 ) ) > t0 + tn vợi mồi n n0 p dửng t‰nh chĐt (i) vợi mồi n > n0 ta câ f (t0 ) < f (t0 + tn ) Tł ¥y suy ra f (t0 ) f (t0 + tn ) < V“y f liản tửc phÊi trản [0; 1
Ti‚p theo ta ti‚p tửc chứng minh (vi) V… jfnj " jfj hƒu kh›p nỡi nản jfn (x)j jfn+1 (x)j jf (x)j ; 8n:
Theo t‰nh ch§t cıa h m ph¥n phŁi ta câ df n ( ) df n+1 ( ) df ( ) ; 8n: Do â fn (t) fn+1 (t) f (t), 8n: °t h = lim fn, khi õ hi”n nhiản h f M df n n!1 l h m giÊm v fn h vợi mồi n nản df n (h (t)) df n (f (t)) t Cho n ! 1 th… df (h (t)) t nản f (t) h(t) V“y f = h.
” chứng minh (vii) ta Ăp dửng t‰nh chĐt n‚u f A ( x ) f ( x ) ; 8x 2 X th… ( ) d f ( ) ; 8 0 :
Do t‰nh ch§t (ii) ta suy ra f A ( t ) f ( t ) ; 8t 0 f t ; t A : Tł
A (x) > (A) ; 80 nản ta cõ Ănh giĂ
()=0 ( ) hai Ănh giĂ trản ta k‚t lu“n ữổc f (t) f ( t )
CuŁi cũng ta chứng minh (viii) b‹ng cĂch lĐy t 2 [0; 1) th… ta cõ vợi = p 1 : jfj p (t) = inf 0 : fx 2 X : jf (x)j p > g t
24 ành lỵ 2.1.5 ([7]) Cho f l h m o ữổc, ta cõ
Chứng minh Trữợc h‚t ta s‡ chứng minh vợi trữớng hổp f l h m ỡn giÊn d÷ìng. k
LĐy s l mºt h m ỡn giÊn dữỡng trản X sao cho s (x) = jP j A
1> 2 > ::: > k > 0 v Aj l c¡c t“p ríi nhau, j = 1; k Khi â theo ành nghắa cıa h m phƠn phŁi ta cõ ds ( ) = (fx 2 X : js (x)j > g)
= j B j ( ); j=1 j nghắa t‰ch phƠn cıa h mỡn giÊn th…
K‚t hổp hai Ănh giĂ trản ta suy ra
Nhữ v“y ta  chứng minh ữổc flng thức ƒu trong (2.2) vợi trữớng hổp h m ỡn giÊn dữỡng Ta s‡ chứng minh flng thức cặn l⁄i vợi h m s nhữ trản Theo ành nghắa cıa h m hoĂn và giÊm ta cõ s (t) = inf f 0 : ds ( ) tg
BƠy giớ ta s‡ chứng minh (2.2) úng vợi trữớng hổp tŒng quĂt f l h m o ữổc b‹ng cĂch Ăp dửng Mằnh • 1.2.3 (ii), ành l‰ 2.1.3 v ành l‰ hºi tử ỡn iằu Ngo i ra ta cụng cõ th” chứng minh b‹ng cĂch Ăp dửng Mằnh • 1.2.4 vợi p = 1 nhữ sau:
0 1f (t) dt: ành lỵ 2.1.6 ([7]) Vợi 0 < p < 1 th…
Hìn nœa, khi p = 1 ta câ ess sup jf (x)j = inf f : df ( ) = 0g = f (0) : x2X
Chứng minh Vợi 0 < p < 1, lĐy f l mºt h m o ữổc, do õ jfj p cụng l h m o ữổc p dửng ành l‰ 2.1.5 Łi vợi jfj p ta ữổc
Ta ti‚p tửc chứng minh f (t) p dt b‹ng cĂch ch¿ ra sỹ tữỡng ữỡng cıa jfj p v (f ) p Th“t v“y, theo Mằnh • 2.1.4 (i) ta cõ: df ( ) = (ft 0 : f (t) > g) = ft 0 : df ( ) > tg
Do â f v f l t÷ìng ÷ìng Suy ra jfj p v (f ) p l t÷ìng ÷ìng V“y
” chứng minh (2.4), ta sò dửng ành l‰ 2.1.3(viii) v ành l‰ 2.2, khi õ ta câ t>0t f t t>0 t f t t>0 t jfj t
>0 d jfj 1/p sup 1/p ( ) = sup ( ) p 1/p = sup p ( ) = sup p ( )
X†t trữớng hổp p = 1, b‹ng cĂch sò dửng ành nghắa cıa essential supremum v do t‰nh d÷ìng cıa h m ph¥n phŁi ta câ ess sup jf (x)j = inf f : (fx 2 X : jf (x)j > g) = 0g = inf f : df ( ) = 0g
Chứng minh N‚u a = 1 th… theo ành l‰ 2.1.5 bĐt flng thức  ữổc chứng minh GiÊ sò a < 1, Ăp dửng ành l‰ 2.1.5 v Mằnh • 2.1.4(vii) ta ữổc:
BŒ • trản s‡ giúp chúng ta chứng minh ữổc bĐt flng thức Hardy-
Littlewood ữổc • c“p dữợi Ơy Łi vợi cĂc h m ỡn giÊn. ành lỵ 2.1.8 ([7])(BĐt flng thức Hardy-Littlewood) Cho f v g lƒn lữổt l c¡c h m s›p x‚p gi£m cıa c¡c h m f v g, khi â:
Chứng minh °t: Ef = fx 2 X : f (x) > rg, Eg = fx 2 X : g (x) > sg.
Z0 1 Z 0 1 minEf ; Eg drds p dửng ành l‰ 2.1.3 ta thu ữổc k‚t quÊ
= (fx 2 X : f (x) > rg \ fx 2 X : g (x) > sg) drds
Tł bĐt flng thức Hardy-Littlewood ta cõ nhi•u cƠu họi thú và Chflng h⁄n mºt h m sŁ cõ t‰nh chĐt g… ” dĐu flng thức trong (2.5) ữổc thọa ” trÊ lới cƠu họi n y trữợc h‚t chúng ta t…m hi”u v• ành nghắa º o nonatomic v ành lỵ sau. ành nghắa 2.1.9 ([5]) Cho mºt khổng gian º o (X; ), mºt t“p A ữổc gồi l mºt atom cıa n‚u (A) > 0 v vợi mỉi t“p o ữổc E A th… ta cõ
(E) = 0 ho°c (E) = (A) N‚u khổng cõ atom th… ữổc gồi l nonatomic. ành lỵ 2.1.10 ([7]) Cho l º o v a l sŁ thỹc thọa 0 a (X) Khi õ
(ii) N‚u (X) < 1 th… tỗn t⁄i mºt t“p A X sao cho (A) = a v
(iii) N‚u (X) = 1 v f (a) > lim f (t) th… tỗn t⁄i mºt t“p A X sao cho t!1
Chứng minh Trữợc h‚t chúng ta chứng minh (ii) v (iii) GiÊ sò tỗn t⁄i > 0 sao cho df ( ) = a: Trong trữớng hổp n y ta cõ f (a) = inf f 0 : d f ( ) = ag v a = df ( ) df (f (a)) a:
Suy ra df (f (a)) = a Do õ °t A = fx 2 X : jf (x)j > f (a)g th… theo ành nghắa cıa h m ph¥n phŁi ta câ df A ( ) = df (max ( ; f (a))).
Do f v f tữỡng ữỡng nản m f [0; a ) ( ) min m f ( ) ; a = min f ( ) ; a
L§y > 0 tòy þ v °t t0 = min df ( ) ; a " Khi â f (t0 ) [0;a) (t0 ) = f (t0 ) f df ( ) " > :
Theo ành nghắa cıa h m phƠn phŁi th… ta cõ mf [0 ;a ) ( ) = m t > 0 : f (t) [0;a) (t) > t 0 :
V… ữổc lĐy tũy ỵ nản ta cõ mf [0;a) ( ) = df (max ( ; f (a))) = df A ( ) vợi mồi 0 Do õ f A v f [0;a) l tữỡng ữỡng Nghắa l
Tł Ơy ta thĐy A tông theo a Ti‚p theo ta x†t trữớng hổp a khổng n‹m trong ph⁄m vi cıa df V… (X) < 1 v d f l h m giÊm nản ta cõ lim df ( ) = a: °t
0 = f (a) v giÊ sò > 0 V… a > 0 (n‚u a = 0 vÔn n‹m trong ph⁄m vi cıa df ( ) vợi (X)) nản < 1 L⁄i cõ a khổng n‹m trong ph⁄m vi cıa df nản ta cõ df ( 0 ) < a < df ( ) vợi 0
< < 0 Do õ n‚u a1 l giợi h⁄n bản trĂi cıa df ( 0 ) ( tỗn t⁄i bði v… df l h m giÊm) Th… a df ( 0 ) < a df ( 0 ) = a1 i•u n y d¤n ‚n f (t) = 0 vợi a0 < t < a1:
” thĐy i•u n y, chúng ta ch¿ cƒn th” hiằn t“p hổp bản phÊi l giao cıa mºt d¢y c¡c t“p gi£m dƒn B = x
Tł (2.6) v (2.8) t“p G = fx 2 X : jf (x)j = 0 g câ º o a1 a0 V… l nonatomic nản ta cõ th” chồn mºt t“p con B cıa G vợi º o a a0 Ta ành nghắa t“p A = fx 2 X : jf (x)j > 0g [ B l mºt t“p ríi r⁄c câ º o l df ( 0 ) + (a a0 ) = a Hìn nœa
Tł (2.6), ta suy ra a0 n‹m trong ph⁄m vi cıa df Theo phƒn ƒu cıa chứng
Z a 0 minh t‰ch phƠn ƒu tiản cõ giĂ trà 0 f (t) dt: Ngo i ra, v… jfj = 0 trản B v tł (2.7) nản t‰ch phƠn thứ hai cõ giĂ trà a0 ) = Z a f (t) dt:
Tł nhœng k‚t quÊ trản ta cõ j f (x) d j
Trong trữớng hổp 0 = 0 , chúng ta thu ữổc flng thức thay cho (2.6)
Trong trữớng hổp n y, ta chồn B v giĂ cıa f rới nhau, vợi (B) = a a0 Ta ành nghắa l⁄i t“p A = fx 2
> 0 g [ B; ta thĐy r‹ng f (t) triằt tiảu khi t a0 Khi õ ta cụng thu ữổc k‚t quÊ nhữ trữợc
Trong phƒn ƒu tiản cıa chứng minh, ta  thĐy ữổc r‹ng t“p A l giÊm vợi a thuºc ph⁄m vi cıa df Łi vợi cĂc giĂ trà khĂc cıa a, cõ th” chồn t“p B trong phƒn thứ hai cıa chứng minh tông theo a Nhữ v“y ta  ho n th nh chứng minh (ii).
Tł i•u kiằn f (a) > lim f (t) f (1) ta suy ra mºt lƠn c“n cıa f (a) thọa t!1 df ( ) < 1, do â
Ta °t G = fx 2 X : jf (x)j > f (a)g v H = fx 2 X : jf (x)j f (a)g ; khi â ta cõ (G) a (H) : V… l º o nonatomic nản ta cõ th” t…m t“p A sao cho G A H v (A) = a Ta chứng minh hai h m f A v f [0;a) l tữỡng ữỡng v (f A ) (t) = f (t) [0;a) (t). Th“t v“y, theo Mằnh • 2.1.4 (vii) ta cõ (f A ) (t) f (t) [0;a) (t) : GiÊ sò t < a th… f A f G > f (a), do õ (f A ) (t) f (a) : N‚u x 2= A th… jf (x)j f (a) (f A ) (t) nản
V… f A v f [0;a) l hai h m tữỡng ữỡng nản cĂc t‰ch phƠn cıa chúng b‹ng nhau p dửng BŒ • 2.1.7 ta cõ :
V“y trong trữớng hổp f (a) > f (1), tł (iii) th… (i) Â ữổc chứng minh Trong trữớng hổp f (a) = f (1), ta °t t“p G 0 = fx 2 X : jf (x)j > f (x)g v t“p H 0 = n x 2 X : jf ( x ) j > f ( x ) "a o vợi > 0 nhọ tũy ỵ, khi õ th…
(G 0 ) a(H 0 ) = 1: Do õ tỗn t⁄i mºt t“p A (") = A sao cho G 0 A H 0 v (A) = a M (f G 0 ) v f [0; (G 0 )) l hai h m tữỡng ữỡng nản
M°t khĂc do trản khoÊng ( (G 0 ) ; a), h m f b‹ng f (1) nản
A 0 ành nghắa 2.1.11 ([13]) Mºt khổng gian º o (X; ) hay ữổc gồi l cºng hữðng n‚u nõ l mºt - hœu h⁄n v vợi mỉi h m f v g ta cõ
X jf (x) g (x)j d (x); e vợi supremum ữổc lĐy trản tĐt cÊ cĂc h m ge m tữỡng ữỡng vợi g trản X Trong mửc ti‚p theo chúng ta ti‚p tửc t…m hi”u mºt h m cõ tƒm quan trồng rĐt lợn Łi vợi khổng gian Lorentz.
H m cüc ⁄i
ành nghắa 2.2.1 ([7]) H m f : [0; 1) ! [0; 1] ữổc ành nghắa nhữ sau f (t) = t Z
Mằnh • sau Ơy s‡ tr…nh b y mºt sŁ t‰nh chĐt cıa h m cỹc ⁄i.
Mằnh • 2.2.2 ([7]) Cho fn l mºt h m o ữổc vợi n = 1; 2; ::: th…
(iii) N‚u jf (x)j jg (x)j hƒu kh›p nỡi trản X th… f (t) g (t) 8t > 0:
(iv) N‚u fn l mºt dÂy thọa jfn (x)j jf (x)j hƒu kh›p nỡi trản X, n = 1; 2; ::: v lim jf n (x)j = jf (x)j hƒu kh›p nỡi trản X th… f n (t) f (t) v n!1 lim f n (t) = f (t) 8t > 0: n!1
Chứng minh V… f liản tửc do t‰nh liản tửc t‰ch phƠn nản ” chứng minh (i) ta ch¿ cƒn chứng minh f l h m giÊm LĐy tũy ỵ 0 < t1 < t2, ta cõ
” chứng minh (ii) ta Ăp dửng t‰nh chĐt h m giÊm cıa f nhữ sau
Ti‚p theo ta chứng minh (iii) b‹ng cĂch Ăp dửng Mằnh • 2.1.4(ii) V… jf (x)j jg(x)j hƒu kh›p nỡi ta cõ f (t) g (t) 8t > 0 M f , g l cĂc h m khổng Ơm nản vợi t > 0 th… ta cõ Ănh giĂ
1 t 1 t f (t) = t Z0 f (s) ds t Z0 g (s) ds = g (t) : CuŁi cũng ta chứng minh (iv) b‹ng cĂch Ăp dửng Mằnh • 2.1.4(ii) Ta cõ fn (t) f (t) ; n = 1; 2; ::: v lim n!1 fn (t) = f (t) vợi t 0 V… f ( t ) = t Z
1 v tł chứng minh (iii) ð trản ta cõ fn (t) f (t), sò dửng ành l‰ hºi tử ỡn iằu ta suy ra f (t)
!f (t) vợi mồi t > 0. n ành lþ 2.2.3 ([7]) N‚u l º o cºng h÷ðng th…
(f + g) (t) f (t) + g (t) vợi mồi t > 0 Do õ toĂn tò "**" l dữợi cºng t‰nh.
Chứng minh p dửng ành lỵ 2.1.10 vợi ành nghắa cıa f ta cõ f t t Z
Do õ, Ăp dửng bĐt flng thức tam giĂc v t‰nh dữợi cºng t‰nh cıa supremum ta câ f + g t = t (A)=t Z
Khổng gian Lorentz L p;q
Trong mửc n y s‡ giợi thiằu v• khổng gian Lorentz L p;q v chu'n trong khổng gian Lorentz. ành nghắa 2.3.1 ([7]) Cho khổng gian (X; ) o ữổc hœu h⁄n v 0 < p 1, 0 < q 1, ta ành nghắa f L p;q = 8 0 1
T“p hổp tĐt cÊ cĂc h m f m kfkL p;q < 1 ữổc gồi l khổng gian Lorentz Łi vợi cĂc ch¿ sŁ p v q.
Trong khổng gian Lorentz, trữớng hổp p = 1 v q < 1 khổng ữổc chú ỵ nhi•u bði v… n‚u kfkL 1;q < 1 th… suy ra f = 0 hƒu kh›p nỡi trản X i•u n y cõ th” ữổc chứng minh nhữ sau GiÊ sò L 1;q l khổng tƒm thữớng Khi õ tỗn t⁄i mºt h m sŁ khĂc khổng f 2 L 1;q , nghắa l tỗn t⁄i sŁ c > 0 v t“p A X cõ º o dữỡng thọa jf(x)j > c vợi mồi x 2 A th…:
Do õ dÔn ‚n mƠu thuÔn v f phÊi l h m sŁ khổng.
Khổng gian Lorentz L p;q cõ th” xem l khĂi quĂt hõa cıa khổng gian L p khi ta cho q = p vợi 0 < p 1 Th“t v“y kfkL p;p = p Z 1 t 1/p f (t) p dt 1/p tp0
0 p dửng ành l‰ 2.1.6 th… ta cõ:
Vợi p = 1 v f l h m giÊm nản theo ành l‰ 2.1.6 th… kfkL 1;1 = sup f (t) = f (0) = ess sup jf (x)j = kfkL 1: t>0 x2X
Do â kfkL p;p = kfkL p i•u n y suy ra L p;p = L p ành lỵ 2.3.2 [7] Khổng gian Lorentz L p;q l tuy‚n t‰nh v k:kL p;q l tỹa chu'n.
Chứng minh Vợi mồi f; g 2 L p;q , mồi sŁ , ta cƒn chứng minh f + g 2 L p;q v f 2 L p;q
Trữợc h‚t ta s‡ chứng minhành l‰ cho trữớng hổp 0 < p; q < 1 b‹ng cĂch sò ửng Mằnh • 2.1.4(iv), ta cõ kf + gkL p;q = Z 0
Hỡn nœa vợi l mºt ⁄i lữổng vổ hữợng bĐt k…, ta cõ k fkL p;q = Z 0 1 t 1/p ( f) (t) qdt 1/q
Ti‚p theo, ta chứng minh cho trữớng hổp 0 < p1, q = 1 p dửng Mằnh • 2.1.4(iv) ta câ kf + gkL p;1 = sup t 1/p (f + g) (t) sup t 1/p (f (t/2) + g (t/2)) t>0 t>0
Ta cụng cõ vợi l ⁄i lữổng vổ hữợng bĐt k… th… k fkL p;1 = j j kfkL p;1 i•u n y chứng tọ L p;q khổng gian tuy‚n t‰nh vợi mồi 0 < p 1, 0 < q < 1 Hỡn nœa tł chứng minh trản ta cụng thĐy r‹ng k:kL p;q l tỹa chu'n. ành lþ 2.3.3 ([7]) k:kL p;q l chu'n n‚u v ch¿ n‚u 1 q p < 1 ho°c p = q = 1.
Chứng minh ” chứng minh k:kL p;q l chu'n, ta cƒn chứng minh bĐt flng thức tam giĂc ữổc thọa Phƒn cặn l⁄i ta  chứng minh ð phƒn cuŁi cıa ành lỵ
2.3.2 Trữợc h‚t ta giÊ sò 1 q p, khi õ p q
1 0 i•u n y dÔn ‚n h m t p q 1 l liản tửc v giÊm, do õ t p q 1 = t p q 1 V… l cºng hữðng nản theo ành nghắa
2.1.11, vợi f, g l hai h m bĐt k… trong L p;q ta cõ kf + gkL p;q =
Z e e trong õ supremum ữổc lĐy trản tĐt cÊ cĂc h m eh o ữổc tữỡng ữỡng vợi t p q 1 p dửng bĐt flng thức Minkowski v t‰nh dữợi cºng t‰nh cıa supremum ta ữổc
ZX d 1 + Z X jg (x)j q sup jf ( x ) jq h (x) q h (x) e e sup Z e
Ti‚p tửc Ăp dửng ành nghắa 2.1.11 ta cõ kf + gkL p;q sup Z X jf ( x ) j q d
” ho n th nh chứng minh ta cƒn ch¿ ra r‹ng k:kL p;q khổng phÊi l chu'n trong cĂc trữớng hổp cặn l⁄i, nghắa l bĐt flng thức tam giĂc khổng cặn úng nœa N‚u l nonatomic ta cõ th” chia th nh cĂc trữớng hổp sau
Ta chứng minh ba trữớng hổp trản
Nh÷ v“y ta câ th” ¡nh gi¡ chu'n cıa f; g v kfkL q p;q = kgkL q p h
GiÊ sò bĐt flng thức tam giĂc úng, nghắa l kf + gkL p;q kfkL p;q + kgkL p;q :
(2 + 2") q a p + (2 + ") q ( a+ 2h) p a p 2 q (1 + ") q (a + h) p + (a + 2h) p ( a+ h q q q q q óng v ta câ th” vi‚t l⁄i l q " q q q (1
N‚u ta ành nghắa f (x) = tp 1 dt; th… ta cõ th” vi‚t l⁄i bĐt flng thức (2.9) th nh f (a + 2h) + f (a) 2f (a + h) v do f l0 liản tửc nản suy ra f l h m lêm Theo t‰nh chĐt h m lêm cıa f, ta cõ f 0
(x) = x q l h m giÊm , nghắa p 1 l q p i•u n y mƠu thuÔn vợi giÊ thi‚t q > p do õ bĐt flng thức tam giĂc khổng úng nœa.
Vợi q = 1, lĐy cĂc t“p A, B o ữổc sao cho A B X thọa
1 0 cụng l mºt chu'n cıa khổng gian Lorentz.
Áp dụng định lý 2.2.3 và bất đẳng thức Minkowski ta suy ra ước tính cần chứng minh Theo định lý 2.3.4 ([4]) Với 1 < p < q < ∞ và 1/p + 1/q = 1, bất kỳ hàm f thuộc L^p;q thì k(f) thuộc kL^p;q và ||f||_kL^p;q và ||k(f)||_jjj:jjjL^p;q là hai chuẩn tương đương Hơn nữa k^kfL^p;q = jjjfjjjL^p;q = p.p
Chứng minh Trữớng hổp q = 1 chúng tổi  chứng minh ð Mằnh • 1.3.7 Ta ch¿ cƒn chứng minh trữớng hổp 1 < q < 1 p dửng bĐt flng thức Holder vợi
Z t q 1 vợi t > 0 D„ thĐy dĐu flng thức trong (2.11) xÊy ra khi q = 1 p dửng ành lỵ Fubini ta ữổc jjjfjjjL p;q = "Z
” ho n th nh chứng minh, ta Ăp dửng Mằnh • 2.2.2(ii) f (t) f (t) vợi mồi t > 0, ta suy ra ữổc kfkL p;q jjjfjjjL p;q :
Ch÷ìng 3 Ùng dửng sỹ tỗn t⁄i nghiằm cıa phữỡng tr…nh p-Laplace
— chữỡng n y chúng tổi tr…nh b y l⁄i k‚t quÊ v• sỹ tỗn t⁄i nghiằm renormalized cıa ph÷ìng tr…nh d⁄ng p-Laplace
R n; (n 2) l mºt t“p bà ch°n trong khổng gian : v phƒn bũ cıa nõ thọa i•u kiằn p-capacity uniform thickness [8] v l º o trong M0(X) , p 2 2n 1 ; n , q 2 n 1 ; p
Phữỡng tr…nh n y ữổc bi‚t ‚n nhữ phữỡng tr…nh Kardar-Parisi-Zhang [6] trong v“t lþ ho°c nh÷ mºt d⁄ng Œn ành thíi gian cıa ph÷ìng tr…nh Jacobi- Hamilton.
” chứng minh k‚t quÊ n y chúng tổi sò dửng ành l‰ i”m bĐt ºng Schauder b‹ng cĂch xƠy dỹng mºt Ănh x⁄ T : V ! V l liản tửc vợi V l t“p lỗi, õng
” thu“n tiằn chúng tổi s‡ nh›c l⁄i ành lỵ i”m bĐt ºng Schauder CĂc ành lỵ n y câ th” tham kh£o trong [2]. ành lỵ 3.0.1 ([2]) Cho A l mºt t“p lỗi, compact khĂc rỉng cıa khổng gian Banach X N‚u Ănh x⁄ T : A ! A l liản tửc th… T cõ i”m bĐt ºng.
Hằ quÊ 3.0.2 ([2]) Cho A l mºt t“p lỗi, õng, bà ch°n v khĂc rỉng cıa mºt khổng gian Banach X N‚u T : A ! A l toĂn tò compact th… T cõ i”m bĐt ºng.
X¥y düng ¡nh x⁄ T
Trong mửc n y chúng tổi s‡ tr…nh b y cĂch xƠy dỹng t“p V lỗi, õng v Ănh x⁄ T liản tửc thổng qua cĂc bŒ • sau. n o
(X) : jjjrujjjL s;t " vợi mồi > 0, s, t thọa max n n p
1 p n vợi = n s l t“p lỗi v õng theo topo m⁄nh cıa khổng gian Sobolev W 0 1;1 (X). Chứng minh Trữợc h‚t ta chứng minh V l t“p lỗi LĐy u; v 2 V v 2 [0; 1], ta cƒn chứng minh w = u + (1 )v 2 V Nghắa l jjjwjjjL s;t : Th“t v“y, vợi s, t thọa (3.2) v (3.3) th… jjj:jjjL s;t l chu'n cıa khổng gian Lorentz L s;t Do õ jjjrwjjjL s;t jjjrujjjL s;t + (1 ) jjjrvjjjL s;t ";
Ti‚p theo ta chứng minh V l t“p õng LĐy fukgk2N l mºt dÂy trong V thọa uk hºi tử v• u trong topo m⁄nh W0 1;1
(X) Ta s‡ chứng minh u 2 V Th“t v“y, Ăp dửng bŒ • Fatou ta câ
( hay ta câ th” vi‚t
Do â ta câ jjjrujjjL s;t lim sup jjjrukjjjL s;t jjjrukjjjL s;t : k!1
BŒ• 3.1.2 ([16]) Tỗn t⁄i 0 > 0, 0 > 0 sao cho k kL s;t 0th… Ănh x⁄
T : V ! V ; T (v) = u vợi v 2 V ữổc ành nghắa tŁt.
Chứng minh Vợi cĂc giÊ thi‚t (3.2) v (3.3) v Ăp dửng ành lỵ 2.3 cıa b i bĂo [17] th… tỗn t⁄i mºt h‹ng sŁ C dữỡng sao cho bĐt k… nghiằm renormalized u cıa phữỡng tr…nh (3.1) thọa krukL qs;qt Ck kL s;t : (3.5)
Trữợc h‚t ta s‡ chứng minh tỗn t⁄i 0 dữỡng y0 thọa p 1
X†t h m sŁ g : [0; 1) ! R ữổc cho bði g(y) = (cy + ca) 1 y; vợi c = s 1 qs 1 p 1 v a = k kL s;t V vợi > 0, ta chồn qs
Rê r ng n‚u a0 th… h m g cho bði (3.7) thọa g(0) > 0 v y lim g (y) = 1. c 1 !1
Hìn nœa ta công câ g 0 (y) = ( cy + ca ) 1 1, do â g 0 (y) = 0 khi v ch¿ khi
Do õ giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m g trản [0; 1) l g (y ) = (cy + ca)
V… v“y ta cõ th” suy ra tỗn t⁄i y0 2 (0; y ] thọa (3.6).
1 °t 0 = y0 q , theo ành nghắa cıa T th… vợi mỉi v 2 V 0 , u = T (v) 2 W 0 1;1 (X) l mºt nghiằm renormalized cıa phữỡng tr…nh (3.1) p dửng (3.5) v ành lỵ
2.3.4 ta câ krukL p qs;qt 1
Ckjrvj q + kL s;t Cjjjjrvj q + jjjL s;t : (3.8) p dửng bĐt flng thức tam giĂc v ành lỵ (2.3.4) v o (3.8) ta ữổc jjjrujjjL p qs;qt 1 qs p 1 p 1 krukL qs;qt qs 1
1 jjj jrvj q jjjL s;t + jjj jjjL s;t qs 1 p (3.9) s 1qs 1p 1 1 krvkLqqs;qt + k kLs;t
Cs qs s 1qs 1 jkrvkjL q qs;qt + k kL s;t :
Chó þ r‹ng jkrvkjL q qs;qt y0 vợi y0 thọa (3.6) v 0 = y q th… ta cõ th” vi‚t (3.9) th nh p 1 kjrujkL p qs;qt 1 y0 q = "0; do õ T (v) = u 2 V 0 V“y Ănh x⁄ T ữổc ành nghắa tŁt.
BŒ • 3.1.3 ([16]) nh x⁄ T l liản tửc v T (V 0 ) l t“p compact trong topo m⁄nh
Chứng minh LĐy fvkgk2N l mºt dÂy trong V 0 sao cho vk ! v 2 V" 0 theo topo m⁄nh W0 1;1
(X) Vợi mỉi k 2 N ta k‰ hiằu uk = T (vk ) l nghiằm renormalized cıa ph÷ìng tr…nh
< u k = 0 trản @X; vợi : krvkkL qs;qt 0: Vợi mỉi q < r < qs ta cõ krvkkL r < 0;
Do õ tỗn t⁄i mºt dÂy con vk j j2N cıa dÂy fvkgk2N sao cho rvk j hºi tử v• rv hƒu kh›p nỡi trong X Khi õ tł (3.12) v ành lỵ hºi tử Vitali th… rvk hºi tử v• rv trong
Theo k‚t quÊ v• nghiằm renormalized trong ành lỵ 3.4 cıa t i liằu [8] th… tỗn t⁄i mºt dÂy con uk j j sao cho fuk j gj hºi tử v• u hƒu kh›p nỡi trong X, vợi u l mºt nghiằm renormalized cıa phữỡng tr…nh
Hỡn nœa do ruk j hºi tử v• ru hƒu kh›p nỡi trong X nản tữỡng tỹ nhữ trản, ta ti‚p tửc Ăp dửng ành lỵ hºi tử Vitali trong trữớng hổp qs > 1 v kruk j kL qs;qt 0 :
Tł Ơy th… uk hºi tử v• u trong W0 1;1
Chứng minh T (V 0 ) l t“p compact theo topo m⁄nh W0 1;1
50 tữỡng tỹ nhữ trản Ta lĐy fumg = fT (vm )gm2N l mºt dÂy trong T (V 0 ) vợi fvmg V" 0 th… ta cõ (3.10) v (3.11) p dửng ành lỵ 3.4 trong t i liằu [8] th… tỗn t⁄i mºt dÂy con u m j v h m u 2 W 0 1;1
(X) sao cho rum j ! ru hƒu kh›p nỡi trong X CuŁi cũng Ăp dửng ành lỵ hºi tử Vitali ta k‚t lu“n ữổc dÂy con um j hºi tử v• u trong W0 1;1
Sỹ tỗn t⁄i nghiằm renormalized cıa phữỡng tr…nh (3.1)
Trong mửc cuŁi cũng n y chúng tổi tr…nh b y k‚t quÊ ch‰nh cıa chữỡng, õ l sỹ tỗn t⁄i nghiằm renormalized cıa phữỡng tr…nh (3.1) thổng qua ành lỵ sau. ành lþ 3.2.1 ([16]) Cho n 2, p 2 2n 1; n , 2 M 0 ( X ) v X R n l
3n 2 mºt t“p bà ch°n v phƒn bũ cıa nõ thọa i•u kiằn p-capacity uniform thickness.
1 p n n vợi = s Khi õ tỗn t⁄i 0> 0 sao cho n‚u k kL s;t 0 th… phữỡng tr…nh (3.1) cõ mºt nghiằm renormalized u thọa krukL q qs;qt 0 k kL s;t : (3.13)
Chứng minh ([16]) Theo BŒ • 3.1.1, BŒ • 3.1.2 v BŒ • 3.1.3, tỗn t⁄i h‹ng sŁ
51 th… Ănh x⁄ T : V 0 ! V 0 l liản tửc, t“p T (V 0 ) l compact theo topo m⁄nh
(X) v t“p V 0 l lỗi, õng p dửng ành lỵ i”m bĐt ºng Schauder th… T cõ i”m bĐt ºng u trong V 0 Do õ u l mºt nghiằm cıa phữỡng tr…nh (3.1) Hỡn nœa Ăp dửng ành lỵ 2.3.4 v BŒ • 3.1.2 ta cõ Ănh giĂ sau kr u kL kjr jkL y
V“y ta  ho n th nh chứng minh.
Trong lu“n vôn n y tĂc giÊ Â tr…nh b y l⁄i k‚t quÊ v• chứng minh sỹ tỗn t⁄i v duy nhĐt nghiằm cıa phữỡng tr…nh d⁄ng p-Laplace trong mºt khổng gian khĂi quĂt hỡn khổng gian Lebesgue cŒ i”n, õ l khổng gian Lorentz Cƒn chú ỵ r‹ng k‚t quÊ n y ch¿ úng cho ành nghắa mºt lo⁄i nghiằm khĂc vợi nghiằm y‚u, gồi l nghiằm renormalized Ngo i ra trong lu“n vôn tĂc giÊ ch¿ x†t trong trữớng hổp 3n2
< p < n trong mºt mi•n xĂc ành thọa mÂn i•u kiằn p-capacity 2n 1 Phữỡng phĂp chứng minh n y dỹa trản kÿ thu“t good- ữổc ữa ra bði tĂc giÊ Q.-H Nguyen gƒn Ơy CuŁi cũng chúng tổi tr…nh b y l⁄i chứng minh sỹ tỗn t⁄i nghiằm renormalized cıa phữỡng tr…nh d⁄ng p-Laplace trong khổng gian Lorentz trong trữớng hổp trản.
Tuy k‚t quÊ trong lu“n vôn chữa phÊi l k‚t quÊ mợi, những quĂ tr…nh thỹc hiằn lu“n vôn ặi họi sỹ kiản tr… v nŒ lỹc cıa ch‰nh tĂc giÊ CĂc k‚t quÊ ữổc tr…nh b y l⁄i trong lu“n vôn ữổc tĂc giÊ tham khÊo trong nhi•u b i bĂo mợi, cõ º khõ cao v  ữổc tĂc giÊ tr…nh s›p x‚p mºt cĂch ch°t ch‡ ” mang l⁄i k‚t quÊ cuŁi cũng cıa lu“n vôn.
[1] R E Castillo, F A Vallejo Narvaez and J C Ramos Fern¡ndez, Multiplica-tion and Composition Operators on Weak Lp Spaces,Bull Malays Math Sci Soc 38, 927
[2] D Gilbarg, N.S Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[3] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second edition, vol 249,
[4] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004.
[5] Roy A Johnson, Atomic and Nonatomic Measures, American Math- ematical Society, Vol 25, No 3 (Jul., 1970), pp 650-655, DOI: https://www.jstor.org/stable/2036664.
[6] M Kardar, G Parisi, Y.-C Zhang, Dynamic scaling of growing interfaces, Phys Rev Lett 56 (1986) 889 892.
[7] E.Kristiansson, Decreasing Rearrangement and Lorentz L(p,q) Space,
[8] G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741 808.