Một số nghiên cứu về nghiệm yếu của hệ phương trình g navier stokes chứa trễ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ? LÊ ĐỨC QUANG MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES CHỨA TRỄ VƠ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ ĐỨC QUANG MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES CHỨA TRỄ VƠ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO TRỌNG QUYẾT THANH HĨA, 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Đức Quang i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Đào Trọng Quyết, người bảo tận tình cho tác giả nhận xét quí báu để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn cách thuận lợi Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Lê Lai - Thanh Hóa, gia đình, bạn đồng nghiệp, bạn học viên, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành khóa học Do khả thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ có thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa hướng dẫn TS Đào Trọng Quyết Thanh Hóa, tháng năm 2015 Học viên Lê Đức Quang ii Mục lục Mở đầu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Các khơng gian hàm, tốn tử bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 1.1.1 Các không gian hàm 1.1.2 Các toán tử 1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến Một số kết thường dùng 1.2.1 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.2.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 1.2.3 Một số bổ đề định lí quan trọng HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU CHỨA TRỄ VƠ HẠN 11 2.1 Đặt tốn 11 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 14 2.3 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng 28 2.3.1 Sự tồn tính nghiệm dừng yếu 28 2.3.2 Tính ổn định mũ nghiệm dừng yếu 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, , điều kiện tương đối tổng quát, chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng khơng, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng, miêu tả dịng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, khơng nén hệ Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng, động lượng có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p ∂t  ∇ · (u) = f (x, t) (1) =0 u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm véctơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt f ngoại lực Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có nhiều báo sách chuyên khảo viết hệ phương trình Navier-Stokes, nhiên hiểu biết nghiệm hệ phương trình cịn khiêm tốn Nói riêng, vấn đề tồn nghiệm mạnh tồn cục tính nghiệm yếu trường hợp ba chiều thách thức lớn nhà toán học vật lý Tuy nhiên, nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng phương trình, hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, nhiều lớp phương trình hệ phương trình khác học chất lỏng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ý nghĩa tầm quan trọng chúng, khó khăn thách thức mặt toán học đặt nghiên cứu chúng Một số lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, đưa lần J Roh năm 2001 Hệ phương trình g-Navier-Stokes có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p ∂t  ∇ · (gu) = f (x, t), (2) = g = g(x) hàm số dương cho trước Như đề cập [20], có hai lí dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, đặc biệt trường hợp hai chiều: Hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), Ω miền hai chiều, tính chất tốt hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes miền mỏng ba chiều Về mặt tốn học, hệ phương trình dạng tổng quát hệ phương trình Navier-Stokes, cụ thể g = const, ta thu lại hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển Vì có kết lớp phương trình này, cần cho g = 1, ta nhận kết tương ứng hệ phương trình Navier-Stokes Ngược lại, việc chuyển kết biết hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt vấn đề tốn học lí thú Chính lí trên, lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes thu hút quan tâm, nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước năm gần (xem, chẳng hạn, [1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 20, 21, 22, 26, 27, 28]) Đặc biệt, ngoại lực chứa trễ (điều thường xuất ta điều khiển hệ theo nghĩa biến điều khiển phụ thuộc vào khứ nghiệm) vấn đề trọng tâm nghiên cứu lớp hệ phương trình Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Một số nghiên cứu nghiệm yếu hệ phương trình g-Navier-Stokes chứa trễ vơ hạn” Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khơng gian hàm, toán tử bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến số kết sơ hệ phương trình g-Navier-Stokes Chương 2: Hệ phương trình g-Navier-Stokes chứa trễ vơ hạn Trong chương chúng tơi thiết lập tốn biên ban đầu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều chứa trễ vơ hạn Định nghĩa nghiệm yếu toán Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng yếu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại không gian hàm cần dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes thiết lập đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến phương trình Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ số bất đẳng thức thường dùng để sử dụng chương sau luận văn 1.1 Các không gian hàm, toán tử bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 1.1.1 Các không gian hàm Để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, dùng khơng gian hàm sau: Kí hiệu L2 (Ω, g) = (L2 (Ω))2 H01 (Ω, g) = (H01 (Ω))2 với tích vơ hướng Z (u, v)g = u.vgdx, u, v ∈ L2 (Ω, g), Ω ((u, v))g = Z X ∇uj · ∇vj gdx, u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H01 (Ω, g), Ω j=1 chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u)g , ||u||2 = ((u, u))g Từ giả thiết hàm g xét luận văn (xin xem chi tiết Chương 2), dễ thấy chuẩn | · | || · || tương đương với chuẩn thông thường (L2 (Ω))2 (H01 (Ω))2 Đặt V = {u ∈ (C0∞ (Ω))2 : ∇ · (gu) = 0} Ký hiệu Hg bao đóng V L2 (Ω, g), Vg bao đóng V H01 (Ω, g) Dễ thấy Vg ⊂ Hg ≡ Hg0 ⊂ Vg0 , phép nhúng trù mật liên tục Ta dùng ký hiệu ||·||∗ cho chuẩn Vg0 , h., i đối ngẫu Vg Vg0 Các không gian không gian Hilbert 1.1.2 Các toán tử Ta định nghĩa toán tử liên quan đến hệ g-Navier-Stokes sau Đặt A : Vg → Vg0 toán tử xác định hAu, vi = ((u, v))g Kí hiệu D(A) = {u ∈ Vg : Au ∈ Hg }, D(A) = H (Ω, g) ∩ Vg Au = −Pg ∆u, ∀u ∈ D(A), Pg tốn tử chiếu trực giao từ L2 (Ω, g) xuống Hg Đặt B : Vg ×Vg → Vg0 tốn tử xác định hB(u, v), wi = b(u, v, w), b(u, v, w) = Z X j,k=1 Ω uj ∂vk wk gdx ∂xj Dễ thấy u, v, w ∈ Vg , b(u, v, w) = −b(u, w, v) Do b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ Vg Đặt C : Vg → Hg toán tử xác định (Cu, v)g = (( Do ∇g ∇g · ∇)u, v)g = b( , u, v), ∀v ∈ Vg g g ∇g − (∇ · g∇)u = −∆u − ( · ∇)u, g g 23 điều dẫn đến mâu thuẫn với (2.17) Trước hết, từ (2.16) ta có um (tm ) * u(t0 ) yếu Hg (O), (2.22) |u(t0 )| ≤ lim inf |um (tm )| m→+∞ Do đó, ta có lim sup |um (tm )| ≤ |u(t0 )|, (2.23) m→+∞ ta thu lim |um (tm )| = |u(t0 )|, điều với (2.22) cho ta m→+∞ (2.21) Bây giờ, nhận xét trường hợp t0 = τ kéo theo từ (2.18) với s = τ um (τ ) = Pm φ(0) Vậy, ta giả thiết t0 > τ Điều quan trọng, ta xấp xỉ giá trị t0 từ bên trái {t0k }, nghĩa lim t0k % t0 Do u(.) liên tục t0 nên tồn k cho k→+∞  |J(t0k ) − J(t0 )| < , ∀ k ≥ k Mặt khác, lấy m ≥ m(k ) cho tm > t0k , Jm không tăng với t0k hội tụ (2.21) đúng, ta có Jm (tm ) − J(t0 ) ≤ |Jm (t0k ) − J(t0k )| + |J(t0k ) − J(t0 )|,  rõ ràng, lấy m ≤ m0 (k ), ta có |Jm (t0k ) − J(t0k )| < Từ Bước ta có kết luận Z tm Z t0 m hf (r), u (r)idr → hf (r), u(r)idr, τ τ (2.23) Do đó, (2.21) cuối (2.13) mong muốn Do đó, ta có F (., um ) → F (., u) L2 (τ, T ; L2 (O, g)) (2.24) Từ kết hội tụ trên, ta chứng minh u nghiệm toán (2.1) Thật vậy, với ψ hàm khả vi liên tục khoảng [0, T ], nhân (2.3) với ψ(t), ta có Z T Z T dum (t) ( , ψ(t)wj )g dt + ν hAum (t), wj ψ(t)idt dt τ τ 24 Z T Z m T (Cu (t), wj ψ(t))g dt + b(um (t), um (t), wj ψ(t))dt τ τ Z T Z T = hf (t), wj ψ(t)idt + (F (t, um t ), wj ψ(t))g dt +ν τ τ Lấy dãy chéo, ta kí hiệu um , dãy thỏa mãn (2.11) (2.24) với dãy tập mở quy bị chặn Oj ⊂ Ω chứa giá hàm wj sở Chuyển qua giới hạn, ta có Z T Z T du(t) , wj ψ(t))g dt + ν hAu(t), wj ψ(t)idt ( dt τ τ Z T Z T +ν (Cu(t), wj ψ(t))g dt + b(u(t), u(t), wj ψ(t))dt τ τ Z T Z T = hf (t), wj ψ(t)idt + (F (t, ut ), wj ψ(t))g dt τ τ với wj hàm ψ khả vi liên tục [0, T ] Vì vậy, ta có u thỏa mãn (2.2) Cuối cùng, ta chứng minh bổ đề sau, sử dụng chứng minh định lí Bổ đề 2.2.4 Dưới giả thiết Định lí 2.2.2, dãy um cho (2.3) compact theo nghĩa sau: Giả sử O ⊂ Ω tập mở bị chặn cho trước, tồn dãy phụ thuộc O, ta giữ nguyên kí hiệu, thỏa mãn um |O → u|O L2 (τ, T ; L2 (O, g)), u giới hạn cho (2.11) Để chứng minh bổ đề trên, ta phải sử dụng kết sau: Bổ đề 2.2.5 [16, Định lí 2.2] Cho Θ tập mở bị chặn R , X ⊂ E không gian Banach với phép nhúng compact Xét ≤ r < q ≤ ∞, giả sử F ⊂ Lr (Θ; E) thỏa mãn: (i) ∀ω ⊂⊂ Θ, sup ||τh f − f ||Lr (ω;E) → h → 0, τh f f ∈F phép biến đổi: (τh f )(x) = f (x + h), 25 (ii) F bị chặn Lq (Θ; E) ∩ L1 (Θ; X) Khi F tiền compact Lr (Θ; E) Chứng minh Bổ đề 2.2.4 Cố định χ ∈ C (R+ ) với χ(s) = s ∈ [0, 1] χ(s) = s ≥ Xét O trình bày trên, với R > cho O ⊂ B(0, R) Kí hiệu O0 = Ω ∩ B(0, 2R), um,R (x) = um (x)χ(|x|2 /R2 ) Tính compact với X = H01 (O0 , g) ⊂ E = L2 (O0 , g) phép nhúng compact bảo tồn nguồn gốc dãy um Ω ∩ B(0, R) Để đơn giản cách trình bày, ta chứng minh trực tiếp với um thay um,R Từ điều kiện (ii) Bổ đề 2.2.5 dẫn đến (2.7) (2.8) thỏa mãn Ta tập trung chứng minh (i) Thật vậy, ta chứng minh miền Ω thỏa mãn tính chất sau: sup ||τh um − um ||L2 (0,T −h;L2 (Ω,g)) → h → m∈N Với h > nhỏ tùy ý Từ (2.3) dẫn đến, với (t, t + h) ⊂ (τ, T ) ta có Z Z t+h Z m (u (t + h) − u(t))wj gdx + ν ∇um (s).∇wj gdxds Ω t Ω Z t+h ∇g m , u (s), wj )ds + b(um (s), um (s), wj )ds +ν b( g t t Z t+h Z Z t+h = f (s)wj gdxds + F (s, um s )wj gdxds Z t+h t Ω t Nhân với γmj (t + h) − γmj (t) lấy tổng theo j ta có Z |um (t + h) − u(t)|2 gdx Ω Z t+h Z = −ν ∇um (s)(∇um (t + h) − ∇um (t))gdxds t Ω Z t+h ∇g m −ν b( , u (s), um (t + h) − um (t))ds g t Z t+h − b(um (s), um (s), um (t + h) − um (t))ds t Z t+h Z + f (s).(um (t + h) − um (t))gdxds t Ω 26 Z t+h Z m m F (s, um s ).(u (t + h) − u (t))gds + t Ω Vế phải bị chặn m m Z t+h ν|∇u (t + h) − ∇u (t)| |∇um (s)|ds t Z t+h |∇g|∞ m +ν ||u (s)|||um (t + h) − um (t)|ds 1/2 t m0 λ1 Z t+h + c|um (s)|||um (s)||||um (t + h) − um (t)||ds t Z t+h + kf (s)k∗ kum (t + h) − um (t)kds t Z t+h m m + |F (s, um s )||u (t + h) − u (t)|ds t Vì vậy, sử dụng (H2) (2.7), ta có Z |um (t + h) − um (t)|2 gdx Ω m m ≤ ||u (t + h) − u (t)|| Z t+h Gm (s)ds, t hàm Gm : R → R xác định Gm (s) = ν||um (s)|| + ν |∇g|∞ m ||u (s)|| m0 λ1 −1/2 + cK1 ||um (s)|| + kf (s)k∗ + λ1 |F (s, um (s))|, với K1 số độc lập với m cho |um (s)| ≤ K1 Để kết thúc chứng minh, ta cần đánh giá: Z T −h Z m m ||τh u − u ||L2 (τ,T −h;L2 (Ω,g)) = |τh um − um |2 gdxdt τ Ω Z T −h Z t+h ≤ ||um (t + h) − um (t)|| Gm (s)dsdt τ t Với vế phải, theo định lý Fubini, sử dụng hàm s=     s ≤ 0, s < s ≤ T − h,    T − h s > T − h, 27 dẫn đến Z τ T −h m Z m t+h ||u (t + h) − u (t)|| Gm (s)dsdt t Z T Z s kum (t + h) − um (t)kdtds ≤ Gm (s) s−h τ Z T ≤ 2(hK2 )1/2 Gm (s)ds, τ K2 số độc lập với m thỏa mãn RT τ ||um (s)||2 ds ≤ K2 , sử dụng bất đẳng thức Young với ý Rs ≤ s − s − h ≤ h với s−h kum (t + h) − um (t)k dt, Z s kum (t + h) − um (t)k dt s−h Z s Z s ≤( dt)1/2 ( kum (t + h) − um (t)k dt)1/2 s−h s−h Z T −h Z 1/2 ≤ 2h1/2 ( |∇um |2 gdxdt)1/2 ≤ 2h1/2 K2 , τ Ω ta đến kết luận, với nhận xét Thật vậy, ta có Z T Z Gm (s)ds = τ T RT τ Gm (s)ds bị chặn |∇g|∞ + cK1 )||um (s)|| m0 λ1 τ i −1/2 m + kf (s)k∗ + λ1 |F (s, us | ds Z T √ |∇g|∞ ≤ (ν + ν + cK1 ) T − τ ( ||um (s)||2 ds)1/2 m0 λ1 τ Z T √ kf (s)k2∗ ds)1/2 + T − τ( τ Z T √ −1/2 1/2 + T − τ λ1 ( |F (s, um , s )|ds) h (ν + ν τ với giả thiết (H3) − (H4) cho ta tính bị chặn hai số hạng cuối 28 2.3 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng 2.3.1 Sự tồn tính nghiệm dừng yếu Trong phần này, nghiên cứu tồn tại, tính tính ổn định nghiệm dừng (yếu) toán (2.1) Để nghiên cứu vấn đề ta giả thiết hàm f ∈ Vg0 F ∈ Hg không phụ thuộc thời gian Ta coi F (w) F (w0 ), w0 ∈ Cγ (Hg ) phần tử nhận giá trị w với thời gian t ≤ Cố nhiên, theo giả thiết F , ta có |F (x1 ) − F (x2 )| ≤ LF |x1 − x2 |, ∀x1 , x2 ∈ Hg Ta xét phương trình sau: du + νAu + νCu + B(u, u) = f + F (ut ), ∀t ∈ (τ, T ) dt (2.25) Nghiệm dừng toán (2.25) phần tử u∗ ∈ Vg cho ν((u∗ , v))g + ν(Cu∗ , v)g + b(u∗ , u∗ , v) = hf, vi + (F (u∗ ), v)g , ∀v ∈ Vg Định lý 2.3.1 [1] Với kí hiệu giả thiết nêu trên, ν(1 − |∇g|∞ LF ) > , 1/2 λ1 m0 λ1 thì: (a) Bài tốn (2.25) có nghiệm dừng u∗ Hơn nữa, nghiệm thỏa mãn ước lượng sau: h |∇g|∞ LF i ∗ ν(1 − )− ||u || ≤ kf k∗ 1/2 λ1 m0 λ1 (b) Nếu điều kiện sau thỏa mãn h |∇g|∞ LF i2 c1 ν(1 − ) − > kf k∗ , 1/2 1/2 λ1 m0 λ1 λ1 (2.26) (2.27) c1 số xác định Bổ đề 1.1.1, nghiệm dừng tốn (2.25) 29 Chứng minh (i) Sự tồn Ước lượng (2.26) thu cách thay nghiệm dừng u∗ , tồn tại, vào hệ ta có νhAu∗ , u∗ i + ν(Cu∗ , u∗ )g = hf, u∗ i + (F (u∗ ), u∗ )g Vì ν||u∗ ||2 ≤ kf k∗ ||u∗ || + LF ∗ ν|∇g|∞ ∗ ||u || + ||u || 1/2 λ1 m0 λ1 Để chứng minh tồn nghiệm dừng, Vg khả li nên tồn dãy độc lập tuyến tính w1 , w2 , , lập thành sở Vg Với m ≥ 1, ta kí hiệu Vm = span{w1 , , wm } xác định nghiệm xấp xỉ um (2.25) bởi: m u = m X γmi vi , i=1 ν((um , wi )) + νb( ∇g m , u , wi ) + b(um , um , wi ) g (2.28) = hf, wi i + (F (um ), wi )g , i = 1, , m Để tồn um , ta định nghĩa toán tử Rm : Vm → Vm ((Rm u, v)) =νhAu, vi + ν(Cu, v)g + b(u, u, v) − hf, vi − (F (u), v)g ∀u, v ∈ Vm Với u ∈ Vm , ((Rm u, u)) = νhAu, ui + ν(Cu, u)g − hf, ui − (F (u), u)g LF ν|∇g|∞ ||u||2 − ||u||2 ≥ ν||u||2 − kf k∗ ||u|| − 1/2 λ1 m0 λ1 |∇g|∞ LF
= ν(1 − ) − ||u||2 − kf k∗ ||u|| 1/2 λ1 m0 λ1 Vì vậy, đặt β= kf k∗ ν(1 − |∇g|∞ 1/2 ) m0 λ1 − LF λ1 , 30 ta có ((Rm u, u)) ≥ với u ∈ Vm thỏa mãn ||u|| = β Do đó, theo hệ định lí điểm bất động Brouwer (xem [23, Chương 2, Bổ đề 1.4]), với m ≥ tồn um ∈ Vm cho Rm (um ) = 0, với kum k ≤ β Thay wi um (2.28) với ý b(um , um , um ) = 0, ta có ∇g m m ,u ,u ) g LF m |∇g|∞ m ≤ kf k∗ kum k + ku k ku k + ν 1/2 λ1 m0 λ1 νkum (t)k2 = hf, um i + (F (um ), um )g − νb( Do h |∇g|∞ LF i m ν(1 − )− ||u || ≤ kf k∗ 1/2 λ m0 λ1 Ta trích dãy {um } từ dãy {um }, dãy hội tụ yếu Vg đến phần tử u Nếu Ω bị chặn, phép nhúng Vg Hg compact, hội tụ theo chuẩn Hg : um → u yếu Vg , mạnh Hg , Chuyển qua giới hạn (2.28) với dãy m0 , ta thấy u nghiệm yếu (2.25) Trong trường hợp Ω khơng bị chặn, phép nhúng Vg vào Hg khơng compact Tuy nhiên, điều vượt qua cách sử dụng lập luận [23, tr 168-171] (ii) Tính Giả sử u∗ v ∗ hai nghiệm dừng (2.25) Ta có νhAu∗ − Av ∗ , vi + b(u∗ , u∗ , v) − b(v ∗ , v ∗ , v) + ν(Cu∗ − Cv ∗ , v)g = (F (u∗ ) − F (v ∗ ), v)g với v ∈ Vg Đặt v = u∗ − v ∗ , ta có νhAu∗ − Av ∗ , u∗ − v ∗ i =b(v, v ∗ , v) − ν(Cu∗ − Cv ∗ , u∗ − v ∗ )g + (F (u∗ ) − F (v ∗ ), u∗ − v ∗ )g Do −1/2 ν||u∗ − v ∗ ||2 ≤ c1 λ1 ||u∗ − v ∗ ||2 ||v ∗ || 31 + ν|∇g|∞ ∗ LF ∗ ||u − v ∗ ||2 + ||u − v ∗ ||2 1/2 λ1 m0 λ1 Vì h |∇g|∞ LF i ∗ −1/2 ν(1 − )− ||u − v ∗ ||2 ≤ c1 λ1 ||u∗ − v ∗ ||2 ||v ∗ || 1/2 λ1 m0 λ1 Từ (2.26) (2.29) ta có h |∇g|∞ LF i2 ∗ −1/2 ||u − v ∗ ||2 ≤ c1 λ1 kf k∗ ||u∗ − v ∗ ||2 , ν(1 − )− 1/2 λ1 m0 λ1 (2.29) (2.30) tính suy từ (2.27) (2.30) 2.3.2 Tính ổn định mũ nghiệm dừng yếu Sau ta chứng minh kết ổn định nghiệm dừng yếu Định lý 2.3.2 [1] Với giả thiết Định lí 2.3.1, f , F khơng phụ thuộc thời gian (2.27) Kí hiệu u(t) nghiệm (2.1) với τ = φ ∈ Cγ (Hg ), tồn giá trị λ ∈ (0, 2γ) để có đánh giá sau với t ≥ 0: |u(t) − u∗ |2 ≤ e−λt (|φ(0) − u∗ |2 + ∗ LF ||φ − u∗ ||2γ ), 2γ − λ (2.31) n kut − u kγ ≤ max e−2γt kφ − u∗ k2γ , −λt e o LF ∗ (|φ(0) − u | + ||φ − u ||γ ) , 2γ − λ ∗ u∗ nghiệm dừng (2.25) Chứng minh Đặt w(t) = u(t) − u∗ , ta có d (w(t), v)g + ν((w(t), v))g + ν(Cu(t), v)g − ν(Cu∗ , v)g dt + b(u(t), u(t), v) − b(u∗ , u∗ , v) = (F (ut ) − F (u∗ ), v)g , ∀t > 0, v ∈ Vg (2.32) 32 Từ đẳng thức lượng, (H3-iii), Bổ đề 1.1.1 1.1.4, ta đưa vào số hạng eλt với λ > chọn sau, ta có h d λt λt (e |w(t)| ) =e λ|w(t)|2 − 2ν||w(t)||2 dt + 2ν(Cu∗ − Cu(t), w(t))g + 2(b(u∗ , u∗ , w(t)) − b(u(t), u(t), w(t))) i ∗ + 2(F (ut ) − F (u ), w(t))g h 2ν|∇g|∞ λt ≤ e λ|w(t)|2 − 2ν||w(t)||2 + ||w(t)||2 1/2 m0 λ1 i 2c1 ∗ + 1/2 ||w(t)|| ||u || + 2LF ||wt ||γ |w(t)| λ1 Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Cauchy với δ > cố định chọn sau (2.26), ta có LF d λt (e |w(t)|2 ) ≤ eλt ||wt ||2γ dt δ h δLF λt + e λλ−1 − 2ν + λ1 2c1 kf k∗ 2ν|∇g|∞ i + 1/2 ||w(t)||2
+ 1/2 |∇g|∞ LF λ1 ν(1 − m0 λ1 1/2 ) − λ m0 λ1 Vì vậy, lấy tích phân từ đến t, ta có Z LF t λs λt 2 e ||ws ||2γ ds e |w(t)| ≤ |w(0)| + δ h 2c1 kf k∗ δLF + λλ−1 − 2ν + +
1/2 ∞ λ1 λ1 ν(1 − ν|∇g|1/2 ) − LλF1 m0 λ1 Z t i 2ν|∇g|∞ + eλs ||w(s)||2 ds 1/2 m0 λ1 Rt Để xử lý số hạng eλs ||ws ||2γ ds, ta làm sau: Z t eλs sup e2γθ |w(s + θ)|2 ds θ≤0 Z t = eλs max{ sup e2γθ |w(s + θ)|2 , sup e2γθ |w(s + θ)|2 }ds θ≤−s θ∈[−s,0] (2.33) 33 Z t = max{e−(2γ−λ)s ||φ − u∗ ||2γ , sup e(2γ−λ)θ eλ(s+θ) |w(s + θ)|2 }ds θ∈[−s,0] Vì vậy, λ < 2γ, sử dụng bất đẳng thức (2.33), ta thu Z t L F ||φ − u∗ ||2γ e(λ−2γ)s ds eλt |w(t)|2 ≤ |w(0)|2 + δ h 2c1 kf k∗ δLF  + + λλ−1 − 2ν + 1/2 λ1 λ ν(1 − |∇g|∞ ) − + 2ν|∇g|∞ 1/2 m0 λ1 LF i + λ1 δ Zt 1/2 m0 λ1 LF λ1  max eλr ||w(r)||2 ds r∈[0,s] −1 Nhận xét ta chọn δ = làm cho δλ−1 đạt cực LF + LF (λ1 δ) tiểu hệ số tích phân cuối trở thành 2c1 kf k∗ 2LF h λλ−1 + − 2ν + 1/2 ∞ λ1 )− λ1 ν(1 − |∇g|1/2 m0 λ1 LF λ1 i+ 2ν|∇g|∞ 1/2 (2.34) m0 λ1 Sử dụng (2.27), ta có −2ν + 2c1 kf k∗ 2LF h + 1/2 ∞ λ1 λ1 ν(1 − |∇g|1/2 )− m0 λ1 LF λ1 i+ 2ν|∇g|∞ 1/2 m0 λ1 < Vì vậy, ta chọn λ ∈ (0, 2γ) cho (2.34) âm Do đó, ta đến kết luận eλt |w(t)|2 ≤ |w(0)|2 + LF (1 − e(λ−2γ)t )||φ − u∗ ||2γ , 2γ − λ (2.31) kéo theo Cuối cùng, (2.32) thu sau kwt k2γ = sup e2γθ |w(t + θ)|2 θ≤0 n o 2γθ 2γθ = max sup e |w(t + θ)| , sup e |w(t + θ)| θ∈(−∞,−t] θ∈[−t,0]) n o −2γt ∗ 2γθ = max e kφ − u kγ , sup e |w(t + θ)| , θ∈[−t,0] số hạng thứ hai đánh giá cách sử dụng (2.31) với ý e(2γ−λ)θ ≤ θ ≤ 34 Kết luận Trong luận văn nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn Theo báo [1] Tài liệu tham khảo, luận văn trình bày kết sau: Thiết lập toán biên ban đầu hệ g-Navier Stokes hai chiều chứa trễ vô hạn Chứng minh tồn nghiệm yếu (Định lý 2.2.2) Chứng minh tồn nghiệm dừng yếu (Định lý 2.3.1) Chứng minh tính ổn định mũ nghiệm dừng yếu (Định lý 2.3.2) 35 Tài liệu tham khảo [1] C.T Anh and D.T Quyet (2012), g-Navier-Stokes equations with infinite delays Viet J Math., 40 (2012), 57-78 [2] C.T Anh and D.T Quyet (2012), “Long-time behavior for 2D non-autonomous g-Navier-Stokes equations”, Ann Pol Math., 103, 277-302 [3] C.T Anh, D.T Quyet and D.T Tinh, Existence and finite time approximation of strong solutions to 2D g-Navier-Stokes equations, Acta Math Viet 38 (2013), 417-428 [4] H Bae and J Roh (2004), Existence of solutions of the g-Navier-Stokes equations, Taiwanese J Math 8, 85-102 [5] T Caraballo and J Real (2003), Asymptotic behaviour of Navier-Stokes equations with delays, Proc R Soc London Ser A 459, 3181-3194 [6] T Caraballo, A.M Márquez-Durán and J Real (2008), Asymptotic behaviour of the three-dimensional α-Navier-Stokes model with delays, J Math Anal Appl 340, 410-423 [7] M.J Garrido-Atienza and P Marín-Rubio (2006), Navier-Stokes equations with delays on unbounded domains, Nonlinear Anal 64, 1100-1118 [8] Y Hino, S Murakami and T Naito (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1473, Springer, Berlin 36 [9] J Jiang and Y Hou (2009), The global attractor of g-Navier-Stokes equations with linear dampness on R2 , Appl Math Comp 215, 1068-1076 [10] J Jiang and Y Hou (2010), Pullback attractor of 2D non-autonomous g-Navier-Stokes equations on some bounded domains, App Math Mech -Engl Ed 31, 697-708 [11] J Jiang, Y Hou and X Wang (2011), Pullback attractor of 2D nonautonomous g-Navier-Stokes equations with linear dampness, Appl Math Mech., Engl Ed 32, 151-166 [12] M Kwak, H Kwean and J Roh (2006), The dimension of attractor of the 2D g-Navier-Stokes equations, J Math Anal Appl 315, 436-461 [13] H Kwean (2012), The H -compact global attractor of two-dimensional g-Navier-Stokes equations, Far East J Dyn Syst 18, 1-20 [14] H Kwean and J Roh (2005), The global attractor of the 2D g-Navier-Stokes equations on some unbounded domains, Commun Korean Math Soc 20, 731-749 [15] J.-L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris [16] P Marín-Rubio, J Real and J Valero (2011), Pullback attractors for a two-dimensional Navier-Stokes equations in an infinite delay case, Nonlinear Anal 74, 2012-2030 [17] D.T Quyet (2014), Asymptotic behavior of strong solutions to 2D g-Navier-Stokes equations, Comun Korean Math Soc., 29 No4, 505-518 37 [18] D.T Quyet (2015), Pullback attractor for strong solutions of 2D non-autonomous g-Navier-Stokes equations, Acta Math.Viet, inpress [19] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [20] J Roh (2005), Dynamics of the g-Navier-Stokes equations, J Differential Equations 211, 452-484 [21] J Roh (2006), Derivation of the g-Navier-Stokes equations, J Chungcheon Math Soc 19, 213-218 [22] J Roh (2009), Convergence of the g-Navier-Stokes equations, Taiwanese J Math 13, 189-210 [23] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [24] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [25] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York [26] D Wu (2009), The finite-dimensional uniform attractors for the non-autonomous g-Navier-Stokes equations, J Appl Math., 1-17 [27] D Wu (2010), On the dimension of the pullback attractors for g-Navier-Stokes equations, Discrete Dyn Nat Soc., Art ID 893240, 16 p [28] D Wu and J Tao (2012), The exponential attractors for the g-Navier-Stokes equations, J Funct Spaces Appl., Art ID 503454, 12 p