Tổng quan một số nghiên cứu mới về điều kiện tối ưu trong tối ưu tập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRƯƠNG CÔNG HÙNG TỔNG QUAN MỘT SỐ NGHIÊN CỨU MỚI VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG TỐI ƯU TẬP A SURVEY ON SELECTED RECENT CONTRIBUTIONS TO OPTIMALITY CONDITIONS FOR SET OPTIMIZATION Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2022 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Cán chấm nhận xét 1: TS LÊ XUÂN ĐẠI Cán chấm nhận xét 2: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 20 tháng 12 năm 2022 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG Phản biện 1: TS LÊ XUÂN ĐẠI Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN Ủy viên: TS CAO THANH TÌNH Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh Phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Mã số học viên: 2171061 Nơi sinh: Nghệ An Mã số: 8460112 Họ tên học viên: TRƯƠNG CƠNG HÙNG Ngày, tháng, năm sinh: 09/12/1982 Chun ngành: Tốn ứng dụng I TÊN ĐỀ TÀI: TỔNG QUAN MỘT SỐ NGHIÊN CỨU MỚI VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG TỐI ƯU TẬP A SURVEY ON SELECTED RECENT CONTRIBUTIONS TO OPTIMALITY CONDITIONS FOR SET OPTIMIZATION II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Lời mở đầu - Kiến thức sở - Quan hệ thứ tự họ tập tối ưu tập - Điều kiện tối ưu tối ưu tập III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/07/2022 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/11/2022 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Tp HCM, Ngày tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG (Họ tên chữ ký) TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG (Họ tên chữ ký) LỜI CẢM ƠN Lời xin gửi lời cảm ơn đến Cô hướng dẫn TS Huỳnh Thị Hồng Diễm, người nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè mình, người ln bên cạnh động viên, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn thầy, Bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, trình thực luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý tất thầy bạn đồng nghiệp Tp Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2022 Tác giả Trương Cơng Hùng i TĨM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Một số quan hệ thứ tự họ tập hợp giới thiệu sử dụng hiệu Minkowski Mối quan hệ thứ tự thông qua nón thứ tự khơng gian vector Thơng qua kết cho ta thấy tùy thuộc vào hình nón thứ tự, quan hệ thứ tự thứ tự phần họ tập hợp có giới hạn khác rỗng Một số mối quan hệ quan hệ thứ tự quan hệ thứ tự xem xét Tiếp theo nội dung quan trọng thiếu việc định nghĩa M -đạo hàm theo hướng dùng hiệu Minkowski Nội dung cuối để hồn thiện đầy đủ cho luận văn điều kiện cần đủ tối ưu dùng M -đạo hàm theo hướng ABSTRACT In our Master thesis, some new order relations on family of sets are introduced by using Minkowski difference The relations between these orders and the ordering cone of the vector space are obtained It is shown that depending on the corresponding cone, these order relations are partial orders on the family of nonempty bounded sets In next section, we introduce a new directional derivative defined by using Minkowski difference Some properties and existence theorems of this directional derivative are given Moreover, necessary and sufficient optimality conditions are presented for set-valued optimization problems with respect to M -order relation via directional derivative ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Trương Công Hùng, mã học viên: 2171061, học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2021 - 2023 Tôi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, công việc trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn TS Huỳnh Thị Hồng Diễm tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng 11 năm 2022 Học viên thực Trương Công Hùng iii Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN iii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU v LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ không gian định chuẩn 1.2 Tập lồi hàm lồi 1.3 Quan hệ thứ tự 13 1.4 Quan hệ thứ tự theo nghĩa upper lower (Kuroiwa) 15 Chương QUAN HỆ THỨ TỰ CỦA HỌ TẬP TRONG TỐI ƯU TẬP 17 2.1 Định nghĩa hiệu Minkowski 17 2.2 Tính chất hiệu Minkowski 18 2.3 Mối quan hệ thứ tự dùng hiệu Minkowski 21 Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG TỐI ƯU TẬP 31 3.1 M -đạo hàm theo hướng 31 3.2 Điều kiện cần tối ưu 34 3.3 Điều kiện đủ tối ưu 37 KẾT LUẬN 43 iv 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên R Tập số thực R+ Tập hợp số thực không âm ¯ = R ∪ {±∞} Tập số thực mở rộng R Rn Không gian Euclide n chiều ∅ Tập rỗng B ¯ B Hình cầu đơn vị mở B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r ∥x∥ Chuẩn véc tơ x ⟨x, y⟩ Tích vơ hướng x y gphf Đồ thị hàm f domf ¯ clΩ, Ω Miền xác định hàm f intΩ Phần tập Ω convΩ Bao lồi tập Ω coneΩ Nón sinh tập Ω d(x, C) Khoảng cách từ điểm x đến tập hợp C Hình cầu đơn vị đóng Bao đóng tập Ω vi LỜI MỞ ĐẦU Hầu hết lĩnh vực sống từ kinh tế, xã hội khoa học, kỹ thuật quan tâm đến vấn đề tối ưu yếu tố cụ thể Ví dụ làm kinh doanh, muốn vốn đầu tư thấp lợi nhuận thu cao Trong tốn học, tối ưu xuất từ sớm trở thành lĩnh vực thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, kết tối ưu có nhiều ứng dụng thực tế, đóng góp cho phát triển xã hội Khi toán tối ưu đưa quy hoạch toán học, ta cần quan tâm đến hàm mục tiêu Mơ hình tốn tối ưu có nhiều loại, yếu tố để phân loại từ khác hàm mục tiêu Ban đầu với mô hình đơn giản, hàm mục tiêu hàm vơ hướng, ta có tốn tối ưu vơ hướng Nếu hàm mục tiêu mở rộng hàm vector gọi toán tối ưu vector Hơn nữa, với phát triển lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, vấn đề giao thông kinh tế, với tập liệu phức tạp, mô hình tốn tối ưu ngày mở rộng tổng quát Cụ thể hàm mục tiêu lúc giá trị tập (ánh xạ đa trị) toán gọi toán tối ưu tập Đây mơ hình tương đối phức tạp trừu tượng, nhiên lại ứng dụng nhiều toán thực tế Chẳng hạn, lý thuyết trị chơi, tài chính, lý thuyết điều khiển, kỹ thuật tìm thấy nhiều ví dụ liên quan đến ứng dụng toán tối ưu tập, xem [4, 6, 20, 19, 33, 36] Do đó, năm gần tối ưu tập trở thành chủ đề phổ biến thu hút lý thuyết tối ưu Những nội dung điều kiện tối ưu, điều kiện tồn nghiệm, định thì, DM F (x, d) = lim sup t→0+ ˙ (x) [td, 2td] × [td, 2td] F (x + td)−F = lim sup t t t→0+ = lim sup[d, 2d] × [d, 2d] = [d, 2d] × [d, 2d] t→0+ Cho x > d < 0, đó, DM F (x, d) = lim sup t→0+ ˙ (x) F (x + td)−F = lim sup ∅ = ∅ t t→0+ Cho x < d < 0, đó, DM F (x, d) = lim sup t→0+ ˙ (x) F (x + td)−F [td, 2td] × [td, 2td] = lim sup t t t→0+ = lim sup[d, 2d] × [d, 2d] = [2d, d] × [2d, d] t→0+ Cho x < d > Thì, DM F (x, d) = lim sup t→0+ ˙ (x) F (x + td)−F = lim sup ∅ = ∅ t t→0+ Vì vậy,    [d, 2d] × [d, 2d]    DM F (x, d) = [2d, d] × [2d, d]     ∅ Nếu x ≥ 0, d > Nếu x ≤ 0, d < trường hợp khác Vì vậy, ánh xạ đa trị F M -đạo hàm có hướng 3.2 Điều kiện cần tối ưu Mệnh đề sau cho tính dương M -đạo hàm có hướng Mệnh đề 3.2.1 [17] Cho F : Rn ⇒ Rp ánh xạ đa trị Nếu F M -đạo hàm theo hướng x¯ ∈ int(dom(F )), DM F (¯ x, λd) = λDM F (¯ x, d) với d ∈ Rn với λ > 34 Chứng minh Cho d ∈ Rn λ > Khi đó, ta có ˙ (¯ ˙ (¯ F (¯ x + λtd)−F x) F (¯ x + λtd)−F x) = lim sup λ t λt t→0+ t→0+ ˙ (¯ F (¯ x + sd)−F x) = λDM F (¯ x, d) = λ lim sup s s→0+ DM F (¯ x, λd) = lim sup Bây giờ, đưa định lý tồn M -đạo hàm có hướng Định lý 3.2.2 [17] Cho F : Rn ⇒ Rp ánh xạ đa trị compact x¯ ∈ int(dom(F )) Nếu tồn số dương L ε > cho ˙ (¯ (F (x)−F x)) ∩ L∥x − x¯∥Bp ̸= ∅ (3.1) với x ∈ Bn (¯ x, ε), F M -đạo hàm theo hướng x¯ DM F (¯ x, d)∩ L∥d∥Bp ̸= ∅ với d ∈ Rn Chứng minh Cho d ∈ Rp Tồn t0 > cho t0 d ∈ Bn (0, ε) ˙ (¯ Nếu ta đặt x = x ¯ + td ta có (F (¯ x + td)−F x)) ∩ Lt∥d∥Bp ̸= ∅ với t ∈ (0, t0 ) từ (3.1) Do đó, ta có ˙ (¯ F (¯ x + td)−F x) ∩ L∥d∥Bp ̸= ∅ t với t ∈ (0, t0 ) Hãy xem xét lưới {zt }t∈(0,t0 ) cho zt ∈ ˙ (¯ F (¯ x+td)−F x) t ∩ L∥d∥Bp với t ∈ (0, t0 ) Bởi zt ∈ L∥d∥Bp L∥d∥Bp bị chặn với t ∈ (0, t0 ), tồn điểm đóng {zt }t∈(0,t0 ) , gọi z¯ Vì giới hạn ánh xạ đa trị bao gồm điểm đóng, ta có z¯ ∈ lim supt→0+ ˙ (¯ F (¯ x+td)−F x) t = DM F (¯ x, d) Vì vậy, ta có DM F (¯ x, d) ̸= ∅ Ta có DM F (¯ x, d) ∩ L∥d∥Bp ̸= ∅ Định nghĩa sau đây, tổng quan Lipschitz địa phương, sử dụng để thu định lý tồn M -đạo hàm theo hướng 35 Định nghĩa 3.2.1 Cho F : Rn ⇒ Rp ánh xạ đa trị compact x¯ ∈ int(dom(F )) Nếu tồn ε > số dương L cho F (x) − F (¯ x) ⊂ L∥x − x¯∥Bp với x ∈ Bn (¯ x, ε), F gọi M -Lipschitz (địa phương) x ¯ Định lý 3.2.3 [17] Cho F : Rn ⇒ Rp ánh xạ đa trị compact mà M Lipschitz (địa phương) x¯ ∈ int(dom(F )) Cho Bn (¯ x, ε) ˙ (¯ lân cận mà F M -Lipschitz (địa phương) Nếu F (x)−F x) ̸= ∅ với x ∈ Bn (¯ x, ε), F M -đạo hàm theo hướng x¯ Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.4 [17] Cho F : Rn ⇒ Rp ánh xạ đa trị compact mà M Lipschitz (địa phương) x ¯ ∈ int(dom(F )) Nếu tồn t¯ > cho F (¯ x) ⪯m x + td) C F (¯ (3.2) với t ∈ (0, t¯) với d ∈ Rn , F M -đạo hàm theo hướng x¯ {0} ⪯m x, d) C DM F (¯ Chứng minh Ta chọn hướng tùy ý d ∈ Rn Do F M -Lipschitz ˙ (¯ x¯, tồn t0 > cho F (¯ x + td)−F x) ⊂ Lt∥d∥Bp với t ∈ (0, t0 ) Vì vậy, ˙ (¯ F (¯ x + td)−F x) ⊂ L∥d∥Bp t với t ∈ (0, t0 ) Từ (3.2) ta có (F (¯ x + td)F˙ (¯ x)) ∩ C ̸= ∅ với ˙ t ∈ (0, t¯) Cho t′ := {t¯, t0 } Vì vậy, ta có F (¯x+td)−F (¯x) ∩ C ⊂ L∥d∥Bp t ′ với t ∈ (0, t ) Xét lưới {zt }t∈(0,t′ ) cho zt ∈ ˙ (¯ F (¯ x+td)−F x) ∩C t ⊂ L∥d∥Bp với t ∈ (0, t′ ) Vì L∥d∥Bp đóng, tồn điểm đóng 36 {zt }t∈(0,t′ ) Giả sử z¯ điểm đóng {zt }t∈(0,t0 ) Vì giới hạn tập ánh xạ đa trị bao hàm điểm đóng C đóng, ta có z¯ ∈ lim sup t→0+ ˙ (¯ F (¯ x + td)−F x) ∩ C = DM F (¯ x, d) ∩ C t Do đó, DM F (¯ x, d) ̸= ∅ {0} ⪯m x, d) d ∈ Rn Vì d ∈ Rn C DM F (¯ tùy ý, DM F (¯ x, d) ̸= ∅ với d ∈ Rn Vậy F có M -đạo hàm theo hướng x ¯ Nhận xét 3.2.1 Cho F : Rn ⇒ Rp ánh xạ đa trị compact M -Lipschitz (địa phương) x ¯ ∈ int(dom(F )) Nếu F (¯ x + t1 d) ⪯m x + t2 d) C F (¯ với d ∈ Rn t1 , t2 ∈ R cho ≤ t1 < t2 , F M -đạo hàm theo hướng x ¯ {0} ⪯m x, d) C DM F (¯ 3.3 Điều kiện đủ tối ưu Pilecka [37] xác định đạo hàm có hướng cách sử dụng hiệu số ℓ để có điều kiện tối ưu toán tối ưu theo quan hệ thứ tự bé Bây giờ, đưa mối quan hệ đạo hàm có hướng M -đạo hàm theo hướng Định nghĩa 3.3.1 [37] Giả sử A, B ⊂ Rn Khi hiệu ℓ xác định sau: A ⊖ℓ B := {x ∈ Rn | x + B ⊂ A + C} = (A + C) − B Nhận xét 3.3.1 Có mối quan hệ hiệu ℓ hiệu Minkowski: (i) Cần có nón thứ tự để định nghĩa hiệu ℓ Tuy nhiên, hiệu Minkowski định nghĩa mà khơng sử dụng nón (ii) A − B ⊂ A ⊖ℓ B 37 (iii) Nếu A, B compact, lồi khơng rỗng, ta có (A − B)+ C ⊂ A⊖ℓ B Nhưng A ⊖ℓ B ̸⊂ (A − B) + C Ví dụ, cho A = {(0, 0)} B = ˙ [0, 2] × [0, 2] đó, ta có C = A ⊖ℓ B ̸⊂ (A−B) + C = ∅ (iv) Mặc dù hiệu Minkowski hai tập bị chặn bị chặn, hiệu ℓ hai tập rỗng khơng đóng Ngồi hiệu ℓ tập rỗng từ (ii) hiệu Minkowski rỗng Định nghĩa 3.3.2 [37] Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rp compact, lồi Đạo hàm có hướng F x ∈ int(dom(F )) theo hướng d ∈ Rn định nghĩa DF (x, d) := lim sup t→0+ F (x + td) ⊖ℓ F (x) t Nhận xét 3.3.2 Tính lồi nón thứ tự cần thiết để có đạo hàm có hướng thơng qua hiệu ℓ từ Nhận xét 3.3.1(i) Ngồi ra, đạo hàm theo hướng lớn M -đạo hàm, tức DM F (x, d) ⊂ DF (x, d) từ Nhận xét 3.3.1(ii) Bây giờ, ta tính tốn M -đạo hàm đạo hàm có hướng đưa Pilecka [37] ánh xạ đa trị ví dụ Ví dụ 3.3.1 Cho C = R2+ tập đa trị map F : R ⇒ R2 định nghĩa F (x) = conv{(x, x), (x + 1, x)} với x ∈ R Một số hình ảnh xem Hình 3.2 DM F (x, d) = lim sup t→0+ ˙ (x) F (x + td)−F {(td, td)} = lim sup t t t→0+ = lim sup{(d, d)} = {(d, d)} = {d(1, 1)}, t→0+ DF (x, d) = lim sup t→0+ {(td, td)} + C F (x + td) ⊖ℓ F (x) = lim sup t t t→0+ = lim sup{(d, d)} + C = {(d, d)} + C = [d, ∞] × [d, ∞] t→0+ 38 Hình 3.2: Một vài hình ảnh F (x) = conv{(x, x), (x + 1, x)} Định lý 3.3.1 [17] Cho F : Rn ⇒ Rp ánh xạ đa trị compact, x¯ ∈ int(dom(F )) Nếu tồn ε > số dương L cho ˙ (¯ L∥x − x¯∥Bp ⊂ F (x)−F x) (3.3) với x ∈ Bn (¯ x, ε)\{¯ x}, x¯ nghiệm cực tiểu chặt (m1 − SOP) {0} ≺m x, d) với d ∈ Rn \{0} C DM F (¯ ˙ (¯ Chứng minh Vì L∥x − x ¯∥Bp ⊂ F (x)−F x) với x ∈ Bn (¯ x, ε)\{¯ x}, ˙ (¯ ta có (F (x)−F x))∩ int(C) ̸= ∅ với x ∈ Bn (¯ x, ε)\{¯ x} Vì vậy, F (¯ x) ≺m x, ε)\{¯ x} Vì vậy, x¯ nghiệm cực tiểu C F (x) với x ∈ Bn (¯ 39 (m1 − SOP) Ta chọn tùy ý d ∈ Rn Từ 3.3, tồn t0 > cho ˙ x) Lt∥d∥Bp ⊂ F (¯ x + td)−(¯ (3.4) với t ∈ (0, t0 ) Từ 3.4 ta có L∥d∥Bp ⊂ ˙ (¯ F (¯ x + td)−F x) t (3.5) Cho z ∈ L∥d∥Bp phần tử Nếu ta đặt zt = z với t ∈ (0, t0 ) từ 3.5 ta có z ∈ DM F (¯ x, d) Vì vậy, ta có L∥d∥Bp ⊂ DM F (¯ x, d) Do đó, ta có DM F (¯ x, d) ∩ int(C) ̸= ∅ {0} ≺m x, d) C DM F (¯ Bây giờ, ta đưa ví dụ minh họa cho Định lý 3.3.1 Ví dụ 3.3.2 Cho ánh xạ đa trị F : R ⇒ R2 xác định  F (x) = (a, b) ∈ R2 | a2 + b2 ≤ x2 + với x ∈ R giải toán tối ưu tập (m1 − SOP)min F (x), x ∈ R  Hình 3.3: Một số ảnh tâp F (x) = (a, b) ∈ R2 | a2 + b2 ≤ x2 + Như Hình 3.3, F (x) tập compact với x ∈ R ∈ 40 int(dom(F )) Cho L ∈ (0, 1] với ε > ta có L∥x∥B2 ⊂ F (x) với x ∈ B(0, ε)\{0} Vì vậy, điều kiện Định lý 3.3.1 thỏa mãn Khi đó, nghiệm cực tiểu m1 − SOP Ngồi ra, ta thấy {(0, 0)} ≺m C DM F (0, d) với d ∈ R\{0} ˙ (0) F (0 + td)−F t t→0+ F (td) = lim sup t t→0+  (a, b) ∈ R2 | a2 + b2 ≤ (td)2 = lim sup t t→0  = lim sup (a, b) ∈ R2 | a2 + b2 ≤ d2 DM F (0, d) = lim sup t→0+ = B2 ((0, 0), |d|) Cho d ∈ R\{0} Khi đó, ta có DM F (0, d) ∩ int(C) ̸= ∅ Một điều kiện cần cho nghiệm cực đại địa phương (m1 − SOP) cho định lý sau Định lý 3.3.2 [17] Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rp compact x ¯∈ int(dom(F )) Nếu x¯ nghiệm cực đại địa phương (m1 − SOP) F M -đạo hàm theo hướng x ¯, {0} ⊀m x, d) với C DM F (¯ d ∈ Rn Chứng minh Bởi x ¯ nghiệm cực đại địa phương (m1 − SOP), x, d) với x ∈ Bn (¯ x, ε)\{¯ x} tồn ε > cho F (¯ x) ⊀m C DM F (¯ Ta chọn d ∈ Rn Vì vậy, tồn t0 > cho x ¯ + td ∈ Bn (¯ x, ε) với t ∈ (0, t0 ) Do đó, ta có F (¯ x) ⪯̸m x + td) với t ∈ (0, t0 ) Ta có C F (¯ ˙ (¯ (F (¯ x + td)−F x)) ∩ C = ∅ từ định nghĩa ⪯m C Bởi C nón, nên ta có  ˙ (¯ F (¯ x + td)−F x) t 41  ∩C =∅ ˙ (¯ F (¯ x+td)−F x) t ∩ int(C) = ∅ Khi đó, ta có DM F (¯ x, d) ∩
˙ int(C) = ∅, tức DM F (¯ x, d)−{0} ∩ int(C) = ∅ Do đó, {0} ⊀m C lim supt→0+ DM F (¯ x, d) Điều kiện đủ để có nghiệm cực đại địa phương (m1 − SOP) đưa định lý sau Định lý 3.3.3 [17] Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rp compact M -đạo hàm x¯ ∈ int(dom(F )) Cho d ∈ Rn thỏa ∅= ̸ lim sup k→∞ ˙ (¯ F (¯ x + tk dk ) −F x) ∩ C ⊂ DM F (¯ x, d), tk (3.6) dk tk chuỗi cho dk → d tk → 0+ Nếu {0} ⪯̸m C DM F (¯ x, d) với d ∈ Rn , x¯ nghiệm cực đại địa phương (m1 − SOP)
n ˙ Chứng minh Vì {0} ⊀m D F (¯ x , d) với d ∈ R , ta có D F (¯ x , d) −{0} ∩ M M C C = ∅, nghĩa là, DM F (¯ x, d) ∩ C = ∅ (3.7) Giả sử x ¯ không nghiệm cực đại địa phương (m1 − SOP) Khi đó, tồn chuỗi xk ∈ Bn (¯ x, 1/k) cho F (¯ x) ⪯m C F (xk ) với k ∈ N Hơn xk → x¯ Do đó, tồn {dk } ⊂ Rn với ∥dk ∥ = tk → 0+ với xk = x ¯ + tk dk với k ∈ N Bởi {dk } đóng, có dãy hội tụ Khơng tính tổng qt ta nói dk → d¯ Ta có F (¯ x) ⪯m x + tk dk ) nghĩa là, C F (¯   ˙ (¯ F (¯ x + tk dk ) −F x) ∩ C ̸= ∅ tk ¯ ∩ C ̸= ∅ từ 3.6 Điều mâu với k ∈ N Do đó, ta có DM F (¯ x, d) thuẫn với 3.7 Do đó, x ¯ nghiệm cực đại địa phương (m1 − SOP) 42 KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp kết số báo tạp chí tốn học quốc tế hướng tối ưu tập, so sánh tập theo kiểu Minkowski Trong luận văn, chúng tơi trình bày cách đầy đủ hiệu Minkowski tính chất, sở đưa quan hệ thứ tự dùng hiệu Minkowski Tiếp theo, chúng tơi trình bày đạo hàm theo hướng mà phần tử số gia hàm chúng tơi dùng hiệu Minkowski, tính chất đạo hàm trình bày Và cuối xét điều kiện tối ưu toán tối ưu tập dùng loại đạo hàm Trong thời gian tới, việc xét điều kiện tối ưu, có nhiều định nghĩa đạo hàm suy rộng thích hợp, chúng tơi nghĩ mở rộng thêm số đạo hàm vi phân suy rộng đề xuất áp dụng cho nghiên cứu theo cách tiếp cận vec tơ, có khái niệm nhóm tối ưu miền Nam đưa ra, để tiếp cận theo hướng so sánh tập theo hiệu Minkowski Khi đó, phát triển tính chất phép toán đạo hàm cần nhiều kết Hiệu áp dụng nghĩ tới thiết lập điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu dạng Fritz John tốt dạng Karush-Kuhn-Tucker Các điều kiện sở để chứng minh quan hệ đối ngẫu yếu, mạnh, ngược cho lược đồ Wolfe Mond-Weir 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Altangerel, R I Bot and G Wanka, “Conjugate duality in vector optimization and applications to the vector variational inequality,” J.Math Anal Appl, vol 329, pp 1010-1035, 2007 [2] Q H Ansari, P K Sharma and J -C Yao, “Minimal element theorems and Ekeland’s variational principle with new set order relations,” J Nonlinear Convex Anal, vol 19, pp 1127-1139, 2018 [3] Q H Ansari and J -C Yao, Recent Developments in Vector Optimization Berlin: Springer-Verlag, 2012 [4] J P Aubin and A Cellina, Differential Inclusions Berlin - New York – Tokyo: Springer-Verlag, 2012 [5] T Q Bao and B S Mordukhovich, “Relative Pareto minimizers for multiobjective problem: existence and optimality conditions,” Math Program, vol 122, pp 301-347, 2010 [6] G Y Chen and J Janhn, “Optimality conditions for set-valued optimization problem,” Math Methods Oper Res, vol 48, pp 187-200, 1998 [7] A Chinchuluun, P M Pardalos, A Migdalas and L Pitsoulis, Pareto Optimality, Game theory and Equilibria New York: Springer-Verlag, 2008 [8] S Dempe and M Pilecka, “Optimality conditions for set-valued ptimisation problems using a modified Demyanov difference,” J Optim Theory Appl, vol 171, pp 402-421, 2016 44 [9] C Gutiérrez, B Jiménez, E Miglierina and E Molho, “Scalarization in set optimization with solid and nonsolid orderin cones,” J Glod OPtim, vol 62, pp 525-552, 2015 [10] A H Hamel and F Heyde, “Duality for set-valued measures of risc,” Siam J Financ Math, vol 1, pp 66-95, 2010 [11] E Hernández and L Rodríguez-Marín, “Nonconvex scalarization in set optimization with sat-valued maps,” J Math Anal Appl, vol 325, pp 1-18, 2007 [12] J Jahn, “Directional derivatives in set optimization with the set less order relation,” Taiwanese Journal of Mathematics, vol 19, pp 737-757 ,2015 [13] J Jahn, Vector Optimization Heidelberg: Springer, 2004 [14] J Jahn and T.X.D Ha, “New order relations in set optimization,” J Optim Theory Appl, pp 148, pp 209-236, 2011 [15] J Jahn, “Vectorization in set optimization,” J.Optim Theory Appl, vol 167, pp 783-795, 2013 [16] E Karaman, M Soyertem, I A Gỹvenỗ, D Tozkan, M Kỹỗỹk and Y Kỹỗỹk, “Partial order relations on family of sets and scalarizations for set optimization,” Positivity, vol 22, pp 783-802, 2018 [17] E Karaman, M Soyertem and I A Gỹvenỗ, Optimality Conditions in Set-valued Optimization Problem with Respect to a Partial Order Relation via Directional Derivative,” Taiwanese Journal of Mathematics, vol 24, pp 709-7222, 2020 [18] E Karaman, I A Gỹvenỗ and M Soyertem, “Optimality conditions in set-valued optimization problems with respect to a partial order relation by using subdifferentials,” Optimization, vol 70, 2018 45 [19] E Klein and A C Thompson, Theory of Correspondences: Including Applications to Mathematical Economics, Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts New York: Wiley, 1984 [20] A A Khan, C Tammer, Set-Valued Optimization: An Introduction with Applications Berlin: Springer, 2015 [21] D Kuroiwa, “Existence theorems of set optimization with set-valued maps,” J.Inf Optim Sci, vol 24, pp 73-84, 2003 [22] D Kuroiwa, “On set-valued optimization,” Nonlinear Anal Theory, vol 47, No 2, pp 1395-1400, 2001 [23] D Kuroiwa, “Some criteria in set-valued optimization,” Investigations on nonlinear analysis and convex analysis, vol 985, pp 171-176, 1997 [24] D Kuroiwa, “The natural criteria in set-valued optimization,” RIMS Kokyuroku, vol 1031, pp 85-90, 1998 [25] D Kuroiwa, T Tanaka and T.X.D Ha, “On cone convexity of set-valued maps,” Nonlinear Anal Theory, vol 30, pp 1487-1496, 1997 [26] I Kuwano, T Tanaka and S Yamada, “Unified scalarization for sets in set-valued optimization,” RIMS Kokyuroku, vol 1685, pp 270-280, 2010 [27] Y Kỹỗỹk, I A Gỹvenỗ and M Kỹỗỹk, Weak conjugate duality for nonconvex vector optimization,” Pac J Optim, vol 13, pp.75-103, 2017 [28] M Kỹỗỹk, M Soyertem and Y Kỹỗỹk, On the scalarization of set-valued optimization problems with respect to total ordering cones,” in Operations Research Proceedings 2010, B Hu, K Morasch, S Pickl, M Siegle, (eds.) Heidelberg: Springer, 2011, pp 347-352 [29] A Löhne and C Tammer, “A new approach to duality in vector optimization,” Optimization, vol 56, pp 221-239, 2007 46 [30] D T Luc, Theory of Vector Optimization Berlin: Springer, 1989 [31] B S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation II Berlin: Springer, 2005 [32] B S Mordukhovich, “Multiobjective optimization problems with equilibrium constraints,” Math Program, vol 117, pp 331-354, 2009 [33] N Neukel, “Order relations of sets and its application in sociaeconomics,” Appl Math Sci, vol 7, pp 5711-5739, 2013 [34] Z G Nishnianidze, “Fixed points of monotonic multiple-valued operators,” Bull Georgian Acad Sci, vol 114, pp 489-491, 1984 [35] D Pallaschke and R Urbánski, Pairs of Compact Convex Sets Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002 [36] E Polak, “Optimization: Algorithms and consistent approximations,” Applied Mathematical Sciences, vol 124, Springer-Verlag, New York, 1997 [37] M Pilecka, Optimality conditions in set-valued programming using the set criterion Preprint: Technical University of Freiberg, 2014 [38] T Tanino, “Conjugate duality in vector optimization,” J Math Anal Appl, vol 167, pp 84-97, 1992 [39] Y D Xu and S J Li, “A new nonlinear scalarization function and applications.” Optimization, vol 65, pp 207-231, 2015 [40] R C Young, “The algebra of many-valued quantities,” Math Ann, vol 104, pp 260-290, 1931 47 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I Sơ lược cá nhân: Họ tên: TRƯƠNG CÔNG HÙNG Ngày, tháng, năm sinh: 09/12/1982 Nơi sinh: Nghệ An Địa liên lạc: Trường THPT Tân Châu, Thị Trấn Tân Châu, Huyện Tân Châu, Tỉnh Tây Ninh II Quá trình đào tạo: Thời gian Tên trường Chuyên ngành Hình thức đào tạo Đại Học Bách Khoa 2017 - đến Tốn Ứng Dụng Chính Quy Tp Hồ Chí Minh Đại Học Khoa Học 2001 - 2006 Tự Nhiên Tp Hồ Tốn Tin Chính Quy Chí Minh III Q trình cơng tác: Thời gian Cơ quan Chức vụ Lập 2007 - 2009 trình Cơng Ty Gameloft viên Giáo 2009 - 2015 viên Trường THPT Tân Đông - Tây Ninh toán Giáo 2015 - viên Trường THPT Tân Châu - Tây Ninh toán 48