Cách 1: Không gian tôpô X gọi là thỏa man tiên đề tách Tạ nếu X là T; và chuẩn tắc, tức là hai tập con đóng rời nhau bất kỳ của X đều có các lân cận rời nhau.. Cách 2: Không gian tôpô X
Trang 1Trường đại học sư phạm TP.H6 Chí Minh
Khoa Toán - Tin
Giáo viên hướng dân: PGS.TS DAU THE CAP Sinh viên thực hiện: PHÚN XUÂN LAN
Lớp: Toán4A - Khoa: Toán - Tin
Mã số sinh viên: K31.101.040
THU VIỆN |Trưởng Dai-Hoc Su-Pham
TP_HOCHIMINH
-TP Hà Chi Minh, tháng 5 năm 2009
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Thầy Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ
em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này
Em cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trong Khoa Toán - Tin
Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dạy dỗ, dìu dắt, tạo điều
kiện cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường
Em cũng xin cảm ơn thầy Nguyễn Viết Huy, thầy Lê Hoàn Hóa, thầy
Nguyễn Anh Tuấn, thầy Nguyễn Văn Đông va quý thay cô trong Hội đồng phản
biện đã đọc và đã cho em những ý kiến đóng góp vô cùng quý báu
Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và bạn bè đã ủng hộ,động viên tôi trong suốt thời gian qua
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2009
Phún Xuân Lan
Trang 3MỤC LỤC
ETN Cee rn oe Om eer CONGR OM nie eneet er teers |
GD KH ng HỖ Go s2ct tu 56c asa tas sean deh 3
§2 Định nghĩa các tiền đề tách co nsevecriniirssee 9
§3 Các điều kiện tương đương với định nghĩa 55-555 15
§4 Mối liên hệ giữa các tiên để tach ssesessceeesrssresseseeenecnseeessneeennnevesseeees 25
Trang 4LỜI NÓI ĐÀU
Trong tôpô và các lĩnh vực có ứng dụng hoặc liên quan đến tôpô, người ta
thường đưa thêm các điều kiện dé được lớp không gian tôpô hep hơn cỏ tinh chất
mong muốn Trong các điều kiện đưa thêm vào có các tiên dé tách
Các tiên đề tách dé cập đến việc tách điểm, tách điểm và tập đóng hoặc tách
các tập đóng Các tiên đề tách liên quan đến bài toán mêtric hóa, tức là tìm điều
kiện để tôpô của không gian được sinh bởi một mêtric Không gian mêtric thỏa
mãn tat cả các tiên để tách, Tuy nhiên không gian thỏa mãn một tiên đề tách nào
đó cùng với các điều kiện nào đó cũng có thé mêtric hóa
Các tiên dé tách đầu tiên được nghiên cứu là T), T›, Tạ và Ty và về sau được bổ
sung thêm To, T,, Tas T, va Ts.
Các tác giả đều thống nhất ở định nghĩa To, T¡ và Tạ, còn các tiên dé tách kháchiện có những cách định nghĩa khác nhau Chẳng hạn tiên đẻ tách T¿ và tính chuẩntắc có các cách sau
Cách 1: Không gian tôpô X gọi là thỏa man tiên đề tách Tạ nếu X là T; và
chuẩn tắc, tức là hai tập con đóng rời nhau bất kỳ của X đều có các lân cận rời
nhau.
Cách 2: Không gian tôpô X gọi là thỏa man tiên dé tách Tạ hay chuẩn tắc nếu
hai tập con đóng rời nhau bất kỳ của ¥ đều có các lân cận rời nhau (như vậy theođịnh nghĩa này, Tạ có thể không là T)).
Cách 3: Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên dé tách Ta hay chuẩn tắc nếu XY
là T, va hai tập con đóng rời nhau bat kỳ của X đều có các lân cận rời nhau (nhưvậy theo định nghĩa này chuẩn tắc là Ta theo cách định nghĩa 1, nhưng chuân tắc
theo cách định nghĩa | có thể không chuân tắc theo định nghĩa nảy)
Trang 5Tình hình tương tự trên cũng xảy ra đối với không gian Tạ và chỉnh quy, hay
không gian T, và hoàn toàn chính quy.
2
Hiện nay có một số tài liệu định nghĩa mọi không gian tôpô đều là T, (thậm chi
có tài liệu còn định nghĩa mọi không gian tôpô déu là T;) khi đó chang có sự phân
biệt nào trong ba cách định nghĩa nêu trên.
Khóa luận này chúng tôi trình bày định nghĩa theo cách |, là cách của John L.
Kelley trong quyền sách nối tiếp của ông: General topology, 1955 (xem bản dịchtiếng Việt [3]) Theo cách định nghĩa này T, kéo theo T, với mọi i>/,
LJe (0g.k225.132,43] Chú y rằng theo cách định nghĩa 2 điều nảy không
đúng.
Trong các tiên để tách, tiên để tách T, được đưa ra muộn nhất và cũng it “ty
2
nhiên” nhất Tuy nhiên với tinh chất đặc trưng:
Không gian thỏa mãn tiên dé tách T, khi và chỉ khi mọi tập con chỉ có một
phần tử hoặc đóng, hoặc mở; so sánh với: Không gian thỏa mãn tiên dé tách T, khi
và chi khi mọi tập con chi một phần tử là đóng, ta lại thấy rất tự nhiên
Trang 6§1 KHÔNG GIAN TÔPÔ
1.1 Tôpô Không gian tôpô
Cho một tập X Một họ z các tập con của X gọi là một tôpô trên XY nếu thỏaman các diéu kiện:
(r,) X và Ø thuộc tr:
(r,) Hợp của tùy ý các tập thuộc + là thuộc tr ;
(r,) Giao của hữu hạn các tập thuộc r là thuộc r.
Một tập ¥ cùng với một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô Không gian
tôpô được gọi van tat là không gian Dé chỉ rõ r là tôpô của không gian X, ta viết
(X,r).
Cho (X, z ) là một không gian tôpô Tap Ger được gọi là tập mở của X Tập
con # của X được gọi là tập đóng nếu XVF là tập mở
Từ định nghĩa ta có:
lí Ø và X là tập đóng.
2/ Giao của tùy ý các tập đóng là tập dong;
3/ Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
Vi dụ 1 Với mọi tập X, Z4X)={VÌ# c X} là một tôpô trên X, gọi là tôpô rời
rạc Tập X cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian rời rạc.
Vi dụ 2 Cho X là một tập Một hàm d: X? + R là một métric trên X nếu thỏa
Trang 7Với mỗi ae X và e>0, dat B(a,e)=(xe X|d(x:a) <£}, B(a,e) gọi là hình
câu (mở) tâm a, bản kinh « Tập con G của X gọi là tập mở nêu mọi ae G, ton tại
« >0 sao cho 8(a,e)c G,
Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên
% Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d Không gian métric X luôn được coi là
không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric.
1.2 Cơ sở và tiền cơ sở
Cho r là một tôpô trên X Một họ con Ø của r gọi là một cơ sở của r nếu
mọi tập thuộc r đều bằng hợp của một họ các tập thuộc /Ø Nói cách khác, họ con
B của r là cơ sở của r nếu mọi Ger, mọi xeG tồn tại Ve/ sao cho
xeVcG.
Một họ con ơ của r gọi là một tiền cơ sở của r nếu họ tất cả các giao hữu
han các tập thuộc o là một cơ sở của r Như vậy, họ con o của r là tiền cơ sở
của r nếu mọi Ger va mọi xeG tổn tại M.,,, JW,cœ sao cho
xe#f\w, f\ f\W, c6
Hiển nhiên, một tôpô hòan tòan xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của
nó.
1.3 Lân cận
Cho X là một không gian tôpô và xe X, Ác X.
Tập con U của X được gọi là một lần cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho
xeGCU Nếu lân cận U của x là tập mở thì gọi là lân cận mở của x
Tập con U của X được gọi là một lan cận của A nếu tồn tai một tập G mở sao
cho 4cGCU Nếu lân cận U của 4 là tập mở thì gọi là lân cận mở của A
Trang 81.4 Phan trong và bao đóng
Cho X là một không gian tôpô và tập con 4 của X Ta gọi phần trong của 4 là
hợp của tất cả các tập mở được chứa trong 4, kí hiệu là 4°, Từ định nghĩa ta có:
A là tập mở lớn nhất chứa trong A; Ac Ø thì 4c B® và A mở nếu và chỉ nếu
l)a>«œ với mọi aeD;
2)a>0, 8>y thì œ 3 y với mọi a,p,yeD;
3) Moi a, BED, tốn tại y e D sao cho: y 3 œ và y= 8
Ta gọi một lưới trong X là một ánh xạ a — x, từ một tập định hướng D vào X,
kí hiệu lả tu)
Lưới CN trong không gian tôpô X gọi là hội tụ đến x e X , x gọi là giới hạn
của lưới nếu mọi lân cận V của x, tén tại œ,c 2 sao cho x, €V với mọi a>a,
Kí hiệu là x, +x.
1.6 Vị trí tương đối giữa điểm và tập con
Cho không gian tôpô X, tập con A của X và điểm x thuộc X
* Điểm x gọi là điểm trong của 4 nếu x có một lân cận V sao cho Vc A
© Điểm x gọi là điểm ngòai của A nếu x cỏ một lân cận V sao cho Vƒ)4=Ø
Trang 9© Diễm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có /ƒ14#Ø và
A(x:4)zø.
© - Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A, kí hiệu là 6A
Rõ ràng rằng điểm xe X chỉ có thể hoặc là điểm trong của A, hoặc là điểmngòai của 4, hoặc là điểm biên của 4 Dễ dàng kiểm tra rằng x là điểm trong của 4
Với mọi ánh xạ ƒ: X ->Y các điêu kiện sau đây là tương đương:
(a) ƒ liên tục trên X;
(b) ƒˆ'(G) mở trong X với mọi tập G mở trong Ÿ;
(c) ƒˆ'(G) mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của Y;
(d) ƒˆ'(G) mở trong X với mọi tập G thuộc một tiên cơ sở của Y;
(e) ƒ''(F) đóng trong X với mọi tập F đóng trong Y;
(0 f(a) F(A) với mọi tập con A của X;
(g) f"'{B} 7 '(B) với mọi tập con B của Y.
Chứng mình:
(a)=>(b) : Lay G mở bắt ki trong Y
Yee ƒ'(G)> ƒ(x)ceŒ
Trang 10Do f liên tục tại x suy ra tồn tại mở trong X chứa x sao cho ƒ(U) c G, suy ra
cơ sở của Ÿ sao cho ƒ(x)e G.(1 (G,=Y\Z.
Từ đó xeUcX\/ƒ*'{F) với U= ƒ'(G,)ñ \ƒ ”(G,) là một tập mở Vậy
U= X\ "'(B) là một lân cận của x có f(U) CV Vậy f liên tục tại x.
1.8 Không gian con
Cho (X,r) là một không gian tôpô và A là một tập con của X Khi đó, họ
t, ={Gf\4|G er} là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô r trên X.
Không gian 4 với tôpô cảm sinh gọi là không gian con của không gian X.
Định lí 1.2.
(a) Tập con mở của một tập mở là mở trong X; tập con đóng của một tập đóng
là đóng trong X.
Trang 11(b) Tập E đông trong A khi và chỉ khi ton tại tập F đóng trong X sao cho
E=ANF
(c) ƒ:X =+Y_ là một ánh xa liên tục thì f\, là ảnh xạ liên tục.
Chứng minh:
(a) Giả sử 4 là một tập hợp mở (đóng) trong X Nếu G là tập hợp mở (đóng)
trong A thi G có dạng: G = ANU, trong đó U là một tập mở (đóng) trong X Vì A
và U đều là những tập mở (đóng) trong X nên G= ANU là một tập mở (đóng)
trong Ä.
(b) £ đóng trong A <> 4lE mở trong A <> tén tại V mở trong X sao cho
4\E=ff4a E=A\(Y4)=(X`#)ñ4 (F=X\Ÿ đóng trong Ä)
(c) Giả sử U là tập mở bất kì trong Y
Ta eó: (/|,)`(U)=4n/ˆ(0).
Vif liên tục nên f-*(U) mở trong X, do đồ 4íì/ '(U) mở trong A Vậy /|,
liên tục đối với tôpô trong A.
Trang 12Tập con A của một không gian tôpô (X,r) gọi là tập g - đóng nếu mọi tập con
mở U của X chứa A đều có ACU
Giả sử X ={a,b,c},r = {Ø,{a},{a.b}, X}
Ta có: (X,r) là Tạ - không gian nhưng không là T, - không gian.
?
Thật vay, dễ thấy (X,r) là Tọ — không gian
Mặt khác, tập con {a,c} của X là tập g — đóng (vì tập mở duy nhất chứa {a,c}
là X và hiển nhiên {a,c} = X ) nhưng không là tập đóng Do đó, (X,r) không là
T, - không gian.
2
Trang 13Định nghĩa 2.4.
Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa man tiên dé tách T; hay T; — không gian
nếu mọi a,be X,a#, tồn tại lân cận (mở) U của a không chứa ở và lân cận (mở)
V của 6 không chứa a.
Ví dụ 2.2.
Giả sử X ={a,b},r =({@, {a}, X}.
Ta có (X,r) là T, - không gian nhưng không là T, - không gian.
Thật vậy, dé thay (X,r) không la T¡ - không gian Các tập con g - đóng của X
là Ø,(ð),X đều là tập đóng, do đó (X,r) là T, - không gian.
2
Định nghĩa 2.5.
Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa mãn tiên đề tách T; hay T; - không gian
nếu mọi a,ởc X,a#b, ton tại các lân cận (mở) U và V tương ứng của a và ở sao
cho UNV =Ø.
T; - không gian còn được gọi là không gian Hausdorff.
Ví dụ 2.3.
Giả sử X là tập vô hạn, r ={Ø}U{U CX: X\U hữu hạn } Ta có r là tôpô
trên X và (X,r) là T, - không gian nhưng không là T; — không gian.
Thật vậy, việc kiểm tra z là tôpô trên X là dễ dàng Với mọi a,be X,a#b, ta
có Ư= X\{b};V = X\{a} tương ứng là các lân cận của a không chứa b và của ở
không chứa a Do đó, X là T, — không gian.
Bây giờ, giả sử abe X,aœ#b và giả sử U, V là các lân cận mở của a và ở
tương ứng sao cho (}V = Ø Khi đó, U +@Ø và X \U DV là một tập vô hạn, mâu
thuẫn với U là tập mở của X Vậy (X.z) không là T: - không gian.
10
Trang 14Không gian tôpô (X,r) gọi là chính quy nếu mọi ae X và mọi tập con đóng B
của X không chứa a, tồn tại các lân cận (mở) U của a và V của B sao cho
ưf\y =O.
Định nghĩa 2.8.
Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa mãn tiên để tách T; hay T› - không gian
nếu nó là chính quy và T, — không gian
Định nghĩa 2.9.
Không gian tôpô (,r) gọi là không gian hòan tòan chính quy nếu mọi ae X
và mọi tập con đóng B của X không chứa a, tồn tại hàm liên tục / :* -»[0:1] sao
cho /a)=0 và f(x)=/ với mọi xe 8.
Trang 15Định nghĩa 2.11.
Không gian tôpô (X,r) gọi là không gian chuẳn tắc nếu với mọi tập con đóng
A, B của X, AN B=@ đều tén tại các lân cận (mờ) U và V của A và B tương ứng
sao cho UNV =.
Định nghĩa 2.12.
Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa mãn tiên dé tách T, hay Tạ - không giannêu nó là chuẩn tắc và T; - không gian
Vi dụ 2.4.
Cho X ={a,b,c} và r={Ø,(a},(b,e},X} Ta có (X.r) là chính quy, hòan tòan
chính quy và chuẩn tắc nhưng không là Tụ, Ti hay T, - không gian
2
Thật vậy, dễ thấy (X,r) không là T, - không gian do đó không là Ty, T,, hay
1
Tạ — không gian Do tat cả các tập con đóng của X là Ø,{a},{ð,c},X cũng đều là
tập mở; (a}f\{b.c}=Ø và (a}U{b,c}=X nên (X,r) là chính quy và chuẩn tắc
Giả sử A và B là các tập con của không gian tôpô (X,r) Khi đó, A và B được
gọi là tách nhau nếu AN B=2 và 4f\8=Ø.
12
Trang 16Định nghĩa 2.14.
Không gian tôpô (X,r) gọi là hòan tòan chuẩn tắc nếu mọi tập con 4, B tách
nhau của X đều tồn tại các lân cận (mở) U, W của A và B tương ứng sao cho
UNV <Ø.
Định nghĩa 2.15.
Không gian tôpô (X,7) gọi là thỏa mãn tiên đề tách T; hay T; — không gian
nếu nó hòan tòan chuẩn tắc và T, - không gian.
Ví dụ 2.5.
Cho (X.d) là không gian métric tương ứng Ta có X la T; — không gian.
Thật vậy, giả sử 44, B là các tập con tách nhau của X Ly a là một điểm tùy ý của A Do ANB=G=>ACKX\B=>aeX\B và X\B mở nên tổn tại z >0 sao
cho 8(a;r,)c X\B Giả sử u=Ualazr,}: Khi đó U là một tập mở chứa A.
Tương tự nếu ở là một điểm tùy ý của Z thì tổn tại s, >0 sao cho 8(b;s,)c X\4.
Khi đó, tập =UA(2»,) là một tập mở chứa B Ta sẽ chỉ ra rằng UNV =Ø.
Thật vậy, gia sử ngược lại nếu có điểm xeUf\V thì sẽ tồn tại các điểm ze 4 và
be B sao cho xeB( 2x, VÀ x€ a(t, Do đó, ta phải có
d(a;b) S4(œ:x)+d(xð) <5, +58 < max {r,;5,}
Do đó, hoặc ae B(b;s,) hoặc be B(a;r,) suy ra mâu thuẫn với giả thiết 4, B
tách nhau Vậy (X,r) hòan tòan chuẩn tắc.
Ví dụ 2.6.
Mọi không gian tôpô rời rac X là T‹ — không gian.
13
Trang 17Thật vậy, với mọi tập con đóng A, Ø của X, AfIB=Ø thì do A, B mở nên
chúng cũng chính là các lân cận tương img của A và B, lại do A, Ø đóng nên
AN B= An8«Ø.
Có thé li luận cách khác: X là không gian rời rac nên X được mêtric hỏa bởi
1 khi x# y
0 khi x=y
Theo ví đụ 2.5, ta có ngay X là Ts — không gian.
mêtric rời rac: d(x, y) -|
14
Trang 18§3 CÁC ĐIÊU KIỆN TƯƠNG ĐƯƠNG
VỚI ĐỊNH NGHĨA
Định lí 3.1.
Cho X la một không gian tôpó Khi đó, các điêu kiện sau twong đương:
() X là Tạ- không gian,
(ii) Moi abe X,a%b đều có ae{b} hoặc be {a};
(ii) Moi a,be X,a%b đều có {a} # {b}.
Chứng minh:
(i) > (ii):
Do X la Ty - không gian nên tồn tại lân cận mở U của a không chứa ở (hoặc lân
cận mở V của 6 không chứa a) Từ đó, {b}c X\U và do đó a¢{b} (hoặc
Với tùy ý a,beX,a#b, do {a} {6} nên ta giả sử ching han {a}\{b} 42.
Chọn ce{a}\{b} Do ce {6} nên tổn tại lân cận mở U của c, Uf\{ð}=Ø nên beU Do ce{a} nên UN{a}#@ tức ae Do U mở nên U là lân cận của a,
không chứa b Vậy X là Ty - không gian.
15
Trang 19((=>) Giả sử ae X và {a} không đóng, ta sẽ chứng minh {a} mở Thật vậy, do
X\{z:} không mở nên chi có một tập mở duy nhất chứa X \{a} là X và X c X nên
X\{{a} là tập g - đóng Do X là T, - không gian nên X \{a} đóng Suy ra {a} mở.
ì
(() Giả sử A là tập g - đóng bat kì của X, ta chứng minh A đóng.
Wới mọi ae A nếu {a} mở thì {a} là lân cận của a nên {a}()4#Ø, do đó
aevA.
Néu {a} đóng thi {a}={a} Khi đó, {a}f\4#Ø ( vì nếu {za]fì4=Ø thì
Ac X\{a}, do X\{a} mở và A là g- đóng nên 4c X\{a} suy ra AN{a}=@
mâu: thuẫn với ae 4) Do {z}fì4={a}f\4#Ø nên trường hợp nay ta cũng có
ae vA, Vậy ACA và A là tập đóng
Hệ qyua 3.3.
ÄKhông gian tôpô X là T, - không gian khi và chỉ khi mọi tập con B của X đều
là giiao của tat cả các tập mở hoặc đóng của X chứa B
(Chứng minh:
((=›) B là tập con tùy ý của X, ta sẽ chứng minh mọi a¢ 8 thì hoặc a không
thuddc một tập mở chứa B, hoặc a không thuộc một tập đóng chứa B Thật vậy, do
a£1B nên ae X\B Vì X là T, - không gian nên theo định lí 3.2, {a} mở hoặc
?
đóngg Suy ra X +{a} là tập đóng hoặc mở chứa B, không chứa a.
16