Các tiên đẻ tách liên quan đến bài toán mêtric hóa, tức là tìm điều kiện để tôpô của không gian được sinh bởi một mêtric.. Cách 1: Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề tách Tạ nếu X
Trang 1Trường đại học sư phạm TP.Hồ Chí Minh
Khoa Toán - Tin
kK HOA LUAN TOT NGHIEP
Giáo viên hướng dân: PGS.TS ĐẬU THÉ CAP Sinh viên thực hiện: PHÚN XUÂN LAN
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Thầy Đậu Thế Cắp đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này
Em cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cơ trong Khoa Tốn - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dạy dỗ, dìu dắt, tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường
Em cũng xin cảm ơn thầy Nguyễn Viết Huy, thầy Lê Hoàn Hóa, thầy
Nguyễn Anh Tuấn, thầy Nguyễn Văn Đông và quý thầy cô trong Hội đồng phản biện đã đọc và đã cho em những ý kiến đóng góp vô cùng quý báu
Cuỗi cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và bạn bè đã ủng hộ, động viên tôi trong suốt thời gian qua
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2009
Trang 3MỤC LỤC
LẦN NI uc aie cs ERE 01A0 |
S1: TH Ông SE NỔ sass css essence Seca a ea Ras spd 3
Trang 4LOI NOI DAU
Trong tôpô và các lĩnh vực có ứng dụng hoặc liên quan đến tôpô, người ta thường đưa thêm các điều kiện để được lớp không gian tôpô hẹp hơn cỏ tỉnh chất mong muốn Trong các điều kiện đưa thêm vào có các tiên đề tách
Các tiên đề tách để cập đến việc tách điểm, tách điểm và tập đóng hoặc tách các tập đóng Các tiên đẻ tách liên quan đến bài toán mêtric hóa, tức là tìm điều kiện để tôpô của không gian được sinh bởi một mêtric Không gian mêtric thỏa min tat cả các tiên để tách Tuy nhiên không gian thỏa mãn một tiên đề tách nào đó cùng với các điều kiện nào đó cũng có thể mêtric hóa
Các tiên đề tách đầu tiên được nghiên cứu là T¡, Tạ, Tạ và Tạ và về sau được bổ
sung thêm Tọ, T,, Tu › 1, va Ts
? 2 2
Các tác giả đều thống nhất ở định nghĩa Tọ, Tị và Tạ, còn các tiên đẻ tách khác hiện có những cách định nghĩa khác nhau Chẳng hạn tiên đề tách Tạ và tính chuẩn
tắc có các cách sau
Cách 1: Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề tách Tạ nếu X là T¡ và chuẩn tắc, tức là hai tập con đóng rời nhau bất kỳ của X đều có các lân cận rời
nhau
Cách 2: Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên để tách Tạ hay chuẩn tắc nếu
hai tập con đóng rời nhau bất kỳ của X đều có các lân cận rời nhau (như vậy theo
định nghĩa này, Tạ có thể không là T))
Cách 3: Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề tách Tạ hay chuẩn tắc nêu X la T, va hai tập con đóng rời nhau bất kỳ của X đều có các lân cận rời nhau (như
vậy theo định nghĩa này chuẩn tắc là Ta theo cách định nghĩa !, nhưng chuẩn tắc
Trang 5Tình hình tương tự trên cũng xảy ra đối với không gian T; và chỉnh quy, hay
không gian T, và hoàn toản chính quy
;
Hiện nay có một số tài liệu định nghĩa mọi không gian tôpô đều là T¡ (thậm chí
có tài liệu còn định nghĩa mọi không gian tôpô đều là T;) khi đó chẳng có sự phân
biệt nào trong ba cách định nghĩa nêu trên
Khóa luận này chúng tôi trình bày định nghĩa theo cach 1, là cách của John L
Kelley trong quyền sách nỗi tiếp của ông: General topology, 1955 (xem bản dịch tiếng Việt [3]) Theo cách định nghĩa này T, kéo theo T, với mọi ¡>/, Í.j€ (02.k222,132,43) Chú ý rằng theo cách định nghĩa 2, điều này không
đúng
Trong các tiên để tách, tiên đẻ tách T, được đưa ra muộn nhất và cũng ít “tự
?
nhiên” nhất Tuy nhiên với tính chất đặc trưng:
Không gian thỏa mãn tiên để tách T, khi và chỉ khi mọi tập con chỉ có một
2
phần tử hoặc đóng, hoặc mở; so sánh với: Không gian thỏa mãn tiên để tách T; khi
Trang 6§1 KHƠNG GIAN TƠPƠ
1.1 Tôpô Không gian tôpô
Cho một tập * Một họ z các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa
mãn các điều kiện:
(r,) X và Ø thuộc r ;
(r,) Hợp của tùy ý các tập thuộc r là thuộc r ; (r,) Giao của hữu hạn các tập thuộc r là thuộc r
Một tập X cùng với một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô Không gian
tôpô được gọi vẫn tắt là không gian Để chỉ rõ r là tôpô của không gian +X, ta viết
(X,r)
Cho (X, z ) là một không gian tôpô Tập Gez được gọi là tập mở của X Tập
con # của X được gọi là tập đóng nếu X1 là tập mở
Từ định nghĩa ta có: lí Ø và X là tập đóng
2/ Giao của tùy ý các tập đóng là tập đóng;
3/ Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng
Ví dụ 1 Với mọi tập ⁄, Z{)={V|ƒ c X} là một tôpô trên X, gọi là tôpô rời
rạc Tập X cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian rời rạc
Trang 7Với mỗi ae X va e>0, đặt B(a,£)= {xe X|d(x:a)<e£}, B(a,£) gọi là hình
câu (mở) tâm a, bản kính £ Tập con Œ của X gọi là tập mở nếu mọi a eG, ton tại
c >0 sao cho 8(a,e)c G
Với mọi không gian mêtric (X,đ), họ các tập mở theo mêtric đ là một tôpô trên
X Tépé nay gọi là tôpô sinh bởi mêtric đ Không gian mêtric X luôn được coi la
không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric
1.2 Cơ sở và tiền cơ sở
Cho r là một tôpô trên X Một họ con Ø của r gọi là một cơ sở của r nếu mọi tập thuộc r đều bằng hợp của một họ các tập thuộc / Nói cách khác, họ con
8 của r là cơ sở của r nếu mọi Ger, mọi xeG tồn tại Ve/ sao cho
xeVcG
Một họ con ơ của r gọi là một tiễn cơ sở của r nếu họ tất cả các giao hữu
hạn các tập thuộc øZ là một cơ sở của r Như vậy, họ con ơ của r là tiền cơ sở
của r nếu mọi Ger và mọi xeG tổn tại M,W Wceơ sao cho
xe#f\w,í\ \W, cG
Hiển nhiên, một tôpô hòan tòan xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của
nó
1.3 Lân cận
Cho X là một không gian tôpô và xe X, Ác X
Tập con U của X được gọi là một lân cận của x nêu tồn tại tập mở G sao cho
xeGCU Nếu lân cận của x là tập mở thì gọi là lân cận mở của x
Tập con U của X được gọi là một lân cận của A4 nễu tôn tại một tập G mở sao
Trang 81.4 Phân trong và bao đóng
Cho X là một không gian tôpô vả tập con 4 của X Ta gọi phần trong của 4 là
hợp của tất cả các tập mở được chứa trong 4, kí hiệu là 4° Từ định nghĩa ta có: 4" là tập mở lớn nhất chứa trong 4; 4c 8 thì 4° 8° và 4 mở nếu và chỉ nếu A=4
Ta gọi bao đóng của 4 là giao của tất cả các tập đóng chứa 4, kí hiệu là 4 Từ
định nghĩa ta có: 4 là tập đóng nhỏ nhất chứa 4; 4c 8 thì 4c 8 và 4 đóng nếu và chỉ nếu 4= A Tập con Ø gọi là trù mật trong X nếu Ð = X Không gian X gọi là khả li nếu nó có một tập con đếm được trù mật 1Š Lưới Ta gọi Ð là một tập định hướng nếu trên 2 có một quan hệ > thỏa mãn các tính chất sau:
l) œ > œ với mọi œce D;
2)œ>8, 8>y thì œ 3 y với mọi œ,8,y eD;
3) Mọi a, 8 e D, tôn tại y D sao cho: y > œ và y 3 8
Ta gọi một lưới trong X là một ánh xạ ø => x, từ một tập định hướng Ð vào +,
kí hiệu lả TU
Lưới (%o) trong không gian tôpô X gọi là hội tụ đến xe X, x gọi là giới han
của lưới nếu mọi lân cận ƒ của x, tỒn tại œ,¿c D sao cho x„eVW với mọi ø > œ,
Kí hiệu la x, > x
1.6 Vị trí tương đối giữa điểm và tập con
Cho không gian tôpô X, tập con 4 của X và điểm x thuộc X
se Điểm x gọi là điểm trong của 4 nếu x có một lân cận ƒ sao cho V c 4
Trang 9© Diém v gọi là điểm biên của 4 nếu mọi lân cận V của x đều có VfìA#@Ø và
/f\(X\ 4) zØ
© Tập tất cả các điểm biên của 4 gọi là biên của 4, kí hiệu là ðA
Rõ ràng rằng điểm xeX chỉ có thể hoặc là điểm trong của 4, hoặc là điểm ngòai của A, hoặc là điểm biên của 4 Dễ dàng kiểm tra rằng x là điểm trong của 4
2 ’ « 4
néu va chi néu re A’
1.7 Anh xa lién tuc
Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ /: X ->Y Ánh xạ ƒ gọi là liên tục tại xe * nếu mọi lân cận (mở) V cua f(x) trong Y déu ton tại lân cận (mở) U
của x trong ÄX sao cho f(U)cV, hay mot cách tương đương, /"'(ƒ⁄) là một lân
cận của x
Ảnh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xe X
Định lí I.I
Với mọi ánh xạ ƒ : X ->Y các điều kiện sau đây là tương đương:
(a) ƒ liên tục trên X;
(b) ƒ*'(G) mở trong X với mọi tập Œ mở trong Ÿ;
(c) ƒ"'(G) mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của Y; (d) ƒ*'(G) mở trong X với mọi tập G thuộc một tiên cơ sở của Y;
(e) ƒ"'(F) đóng trong X với moi tap F dong trong Y; (0) 7(4)c= (4) với mọi tập con Á của Ä;
(g) f'(B)>f7*(B) voi moi tap con B cua Y
Chứng minh:
(a)=(b) : Lay Œ mở bắt kì trong Y
Trang 10Do / liên tục tai x suy ra tổn tại mở trong Ý chứa x sao cho ƒ(U) c G, suy ra Uc f"(G)
Vậy /-'(G) mở trong X
(6) => (c).(c) => (d): 1a hién nhiên
(d)=>(e) : Voi mọi # đóng trong Y, ta chứng minh X\ ƒ''(F) mở Lay xexX\/''{F) Ta có ƒ(x)<Y\£Ƒ Do tập này mở nên tôn tại G, Œ, thuộc tiên
cơ sở của Ÿ sao cho ƒ(x) e GŒ.Í1 (1Œ, =Y\1F
Từ đó xeUc=X\ƒ''(F) với U= ƒ'(G,)ñn f/ƒ '(G,) là một tập mở Vậy X\/#''(F) mở
()=(/) : Với mọi AcxX, /'(/(2} là tập đóng chứa 4 Vì vậy Ac f"'(f(A)) vado đó f(A) f(A) (f)>(g) : Với mọi Bey, /(7'œÌc /('đ)cB Do ú Ê'(đ)ơ (8) (g)=> (a) : Lay tay y xe X Gid str V là lân cận mở tùy ý của ƒfx) Đặt 8 = WƯ, ta có ƒ'(B)c ƒ '(B)= ƒ"'(B) nên ƒ''(B)= ƒ-'(B) là một tập đóng Từ đó Ư = X\ ƒ"'(B) là một lân cận của x có ƒ(U)cV Vậy ƒ liên tục tai x
1.8 Không gian con
Cho (X.r) là một không gian tôpô và 4 là một tập con của X Khi đó, họ
t, ={GNA|Ge r} là một tôpô trên 4, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô r trên 3X Không gian 4 với tôpô cảm sinh gọi là không gian con của không gian X Định lí 1.2
(a) Tap con mở của một tập mở là mở trong X; tập con đóng của một tập đóng
Trang 11(b) Tập E đỏng trong A khi và chỉ khi tôn tại tập F đóng trong X sao cho
E=Af\F
(c) ƒ:.X =+Y_ là một ánh xạ liên tục thì ƒ|, là ảnh xạ liên tục Chứng minh:
(a) Giả sử 4 là một tập hợp mở (đóng) trong X Nếu G là tập hợp mở (đóng)
trong A thi G co dang: G = AfU, trong do U la mot tập mở (đóng) trong X Vì A
và U/ đều là những tập mở (dong) trong X nén G= ANU là một tập mở (đóng)
trong X
(b) £ đóng trong 4 = A\E mé trong A <>tén tai V mé trong X sao cho
4\E=FVf4 © E=4\(Vñ4)=(X`\V)ñ4 (F=X\V đóng trong Ä)
(c) Giả sử U là tập mở bất kì trong Ÿ Ta có: (/|,} (U)=4anZˆ'(U)
Vì / liên tục nên /ƒˆ`(U) mở trong X, do đó 4f\ƒˆˆ(U) mở trong 4 Vậy /{,
Trang 12§2 ĐỊNH NGHĨA CÁC TIÊN ĐÈ TÁCH
Định nghĩa 2.1
Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa mãn tiên đẻ tách Tạ hay Tạ - không gian
nếu mọi a,be Y,azb, tổn tại lân cận (mở) Ú của a không chứa ở hoặc lân cận
(mở) V của ô không chứa a
Định nghĩa 2.2
Tập con A cua mot không gian tôpô (X,r) gọi là tập g — dong nếu mọi tập con
mở Ú của X chứa 4 đều có 4c-t/ Định nghĩa 2.3 Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa mãn tiên để tách T, hay T, - không gian ì 2 néu moi tap g — đóng của X đều là tập đóng Ví dụ 2.1
Gia sit X ={a,b,c},r={@,{a},{a,b}, X}
Ta có: (X,r) là Tạ— không gian nhưng không là T, - không gian
ì
Thật vậy, dễ thấy (X,r) là Tạ — không gian
Mặt khác, tập con {a,c} của X là tập g - đóng (vì tập mở duy nhất chứa {a,c}
la X và hiển nhiên {a,c} = X ) nhưng không là tập đóng Do đó, (X,z) không là
T, - không gian
Trang 13Định nghĩa 2.4
Không gian tôpô (X,r} gọi là thỏa mãn tiên để tách T; hay T; - không gian
nếu mọi a,be X,a #b, tôn tại lân cận (mở) L/ của a không chứa ở và lân cận (mở)
V cua ð không chứa a
Ví dụ 2.2
Gia su X ={a,b},r ={@,{a}, X}
Ta cd (X,r) 1a T, - không gian nhưng không là T, — khéng gian
2
That vay, dé thay (¥,r) khéng la T, — khong gian Các tập con g - đóng của X
là Ø,(b},X đều la tập đóng, do 46 (X,r) là T, - không gian
2
Định nghĩa 2.5
Không gian tôpô (X.r) gọi là thỏa mãn tiên dé tách T; hay T; - không gian nêu mọi a,be X,a#b, ton tại các lân cận (mở) U và V tương ứng của a và b sao
cho UNV =o
Tạ - không gian con duge goi la khong gian Hausdorff
Vi dy 2.3
Giả sử X là tập vô hạn, r ={Ø}LJ{U c X:X \U hữu hạn } Ta có r là tôpô
trên X và (X,r) là T; - không gian nhưng không là T; - không gian
Thật vậy, việc kiếm tra r là tôpô trên X là để dàng Với mọi a,be X,a#b, ta có /= X\{b};V = X\{a} tương ứng là các lân cận của a không chứa ở và của Ð
không chứa a Do đó, Ä là T; —- không gian
Bây giờ, giả sử a,be X,a#b va gia su U, V la cac lan can mo cua a va b
tuong Ung sao choU (|V =@ Khi dé, U #@ va X¥\U >V la m6t tap v6 hạn, mâu
thuẫn với U/ là tập mở của X Vậy (X,r) không là T; - không gian
Trang 14Định nghĩa 2.6
Không gian tôpô (X,z) gọi là thỏa mãn tiên đẻ tách T, hay T, - không gian
nếu mọi a,be XY,a#zb, tên tại các lân cận (md) U va V tương ứng của a và ở sao cho UNV =o
1, - không gian còn được gọi là không gian hoan toan Hausdorff
?
Dinh nghia 2.7
Không gian tôpô (X,z} gọi là chính quy nếu mọi ae X và mọi tập con đóng 8 của X không chứa a, tồn tại các lân cận (mở) Ú của a và W của B sao cho
UMW =O
Dinh nghia 2.8
Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa mãn tiên dé tach T; hay T; — khéng gian nếu nó là chính quy và T¡ - không gian
Định nghĩa 2.9
Không gian tôpô (X,r) gọi là không gian hòan tòan chính quy nếu mọi ae X
và mọi tập con đóng Z của X không chứa a, tồn tại hàm liên tục /: X ->[0;1] sao
Trang 15Dinh nghia 2.11
Không gian tôpô (X,r} gọi là không gian chuẩn tắc nếu với mọi tập con đóng
A B của XY, Af\B=Ø đều tôn tại các lân cận (mở) U va V cua A va B tuong ing
sao cho (]W = Ø
Định nghĩa 2.1 2
Không gian tôpô (X,r) gọi là thỏa mãn tiên đẻ tách T hay Ta - không gian
nêu nó là chuẩn tắc và T¡ - không gian
Vi dy 2.4
Cho X ={a,b,c} va r={@,{a},{b,c},X} Ta cé (X,r) la chinh quy, hdan toan chính quy và chuẩn tắc nhưng không là Tạ, T hay T, —- không gian
2
Thật vậy, dễ thấy (X,r) không là T, - không gian do đó không là Tà, T, hay
7
T - không gian Do tắt cả các tập con déng cla X14 @,{a},{b,c},X cũng đều là
tập mở; {a}f1{b,c}=@Ø và (a}U{b,c}=X nên (X,r) là chính quy và chuẩn tắc Các ánh xạ {:X [01] ; f(a)=0: ƒ@®)= /(e)=1 g:X—>[0;1] ; gŒ®)=g(c)=0; g(a) =1 liên tục nên X cũng hòan tòan chính quy Định nghĩa 2.13
Giả sử A4 và Ö là các tập con của khơng gian tưpơ (X,r) Khi đó, A4 và 8 được
gọi là tách nhau nếu 4f]8=Ø và 4f1B =Ø
Trang 16Định nghĩa 2.14
Không gian tôpô (X.r) gọi là hòan tòan chuẩn tắc nếu mọi tập con 4, Z tách
nhau của X đều tồn tại các lân cận (mở) , W của A4 và Ö tương ứng sao cho
UNV =2
Dinh nghia 2.15
Không gian tôpô (X,r) gọi là thoa man tién dé tach T; hay T; — khéng gian nêu nó hòan tòan chuẩn tắc và T; - không gian
Vị dụ 2.5
Cho (ÄX,đ) là không gian mêtric tương ứng Ta có Ä là T; - không gian
Thật vậy, giả sử 4, Z là các tập con tách nhau của X Lẫy z là một điểm tùy ý
của 4 Do Afì#=@ØAcX\B—aexX\B và X\8 mở nên tồn tại r >0 sao
cho 8(a;r,)c X\ Giả sử u=Ua{ arn} Khi do U là một tập mở chứa A
Tương tự nếu ở là một điểm tùy ý của B thi ton tại s, >0 sao cho B(b;s,)c X\A
Khi đó, tập v.=(UA[5:2s,) là một tập mở chứa B Ta sé chi ra rang UNV = 2
Thật vậy, giả sử ngược lại nếu có điểm xeU f\W thì sẽ ton tại các điểm ae 4 và
bcÐ sao cho xe BÍ ¡2 ,) và xe€ a(%2s,) Do đó, ta phải có
d(a;ð)<4(6:x)+d(s;ð) <<", tầN < max {z„; 5, Ì
Do đó, hoặc ae ð(;s,) hoặc be 8(a;z,) suy ra mâu thuẫn với giả thiết 4, Ø tách nhau Vậy (X,z) hòan tòan chuân tắc
Ví dụ 2.6
Mọi không gian tôpô rời rạc Ä là T; - không gian
Trang 17Thật vậy, với mọi tập con đóng A, Ø của X, A(f\B=Ø thì do 4, 8 mở nên
chúng cũng chính là các lân cận tương ứng của 4 và Ö, lại do A4, Ø đóng nên
4ñ8= ans=ø
Có thê lí luận cách khác: X là không gian rời rạc nên X được mêtric hỏa bởi l khi x#y
Êtric rời rạc: đ(x, y) =
TG ROLES BOY) aioe
Theo ví dụ 2.5, ta có ngay X la T; — không gian
Trang 18§3 CÁC ĐIÊU KIỆN TƯƠNG ĐƯƠNG
VỚI ĐỊNH NGHĨA
Định lí 3.1
Cho X là một khơng gian tơpư Khi đó, các điều kiện sau tương đương: () X là Tạ- không gian;
(ii) Mọi a,beX,az+b đều có ag{b} hoặc be [a};
(ìii) Mọi a,be X,azb đều có {a} # [b}
Chứng minh:
(i) => (ii):
Do X là Tạ - không gian nên tôn tại lân cận mở U cia a khéng chita ở (hoặc lân
cận mở V cia ở không chứa a) Tir d6, {6} X\U va do đó ae{»b} (hoặc {a}cX\V và do đó be {a}) (ii) = (iii) : Néu trai lai {a} = {b} thi ae{a} suy ra ae {b} và tương tự be {a}, mau thuẫn với (ii) (iii) => (i):
Với tùy ý a,beX,a#b, do {a} {5} nên ta giả sử ching han {a}\{b} «2 Chọn ce{z}\{b} Do c£{ð} nên tổn tại lân cận mở U của c, Uf\{ð}=Ø nên
beU Do ce{a} nên Uf\{a}#@Ø tức aeU Do Ư mở nên U là lân cận của 4,
không chứa ở, Vậy X là Te —- không gian
Trang 19Dinth lí 3.2 Không gian tôpô X là T, - không gian khi và chỉ khi mọi ae X thì hoặc {a} là 2 tập mnở hoặc {a} là tập đông C~Chứng mình:
(() Giả sử ae X và {a} không đóng, ta sẽ chứng minh {a} md, That vay, do
XI{a:} không mở nên chỉ có một tập mở duy nhất chứa X \{a} là X và X c X nên
X\{{a} là tập g— đóng Do X là T, - không gian nên X\{a} đóng Suy ra {a} mở
ì
((e=) Giả sử 4 là tập g - đóng bất kì của X, ta chứng minh 4 đóng
Wới mọi ae 4 nếu {a} mở thì {a} là lân cận của z nên {z}í)A#Ø, do đó
ac cA
Néu {a} dong thi {a}={a} Khi đó, {a}f14#Ø ( vì nếu {a]fl4=Ø thì
Ac X\{a}, do X\{a} mở và 4 là g- đóng nên 4c X\{a} suy ra 4f1{a} =Ø
mâu: thuẫn với ae 4) Do {a}f\4={a}(ÌA#Ø nên trường hợp này ta cũng có acz4 Vậy Ác A và A là tập đóng Hệ qquả 3.3 NChông gian tôpô X là T, - không gian khi và chỉ khi mọi tập con B của X đệu 2 là giiao của tất cả các tập mở hoặc đóng của X chứa B (Chứng minh:
((=>) ? là tập con tùy ý của X, ta sẽ chứng minh mọi z# 8 thì hoặc a không thuộ¿c một tập mở chứa Ö, hoặc z không thuộc một tập đóng chứa Ö Thật vậy, do
ag1B nên aeX\# Vì X là T, - không gian nên theo định lí 3.2, {a} mở hoặc
?
đóng Suy ra X 1{a} là tập đóng hoặc mở chứa B, không chứa a
Trang 20(©) Với mọi aeX, ta có X\(a}c X bằng giao của một họ các tập đóng
hoặc mở của *, khi đó: X\{a} bằng một tập nào đó của họ, tức là X\{a} mở
hoặc đóng Khi đó {a} đóng hoặc mở Theo định lí 3.2, X là T, - không gian 2 Dinh li 3.4 Không gian tôpô X là T, - không gian khi và chỉ khi moi tap con chi gom mét phần từ của X là tập đóng Chứng mình:
(=>) Gia str ¥ la T, — khong gian va ae X Voi moi be X \{a}, tén tai lin can
V cha b, V khong chita a Do d6 Vc X\{a} Vậy X\{a} mở hay {a} đóng
(<=) Gid sir moi ae X,, {a} đóng Với mọi a,be X,a#b, ta có U = X\(b} và
ƒ= X\{a} là các lân cận tương ứng của a không chứa ở và của ở không chứa a Do đó, X là T¡ - không gian
Hệ quả 3.5
Cho X là tập hữu hạn Khi đô (X,t) là Tị - không gian khi và chỉ khi t là
tôpô rời rac,
Chứng minh:
Trang 21Định lí 3.6
Không gian tôpô (X,r} là T; - không gian nêu và chỉ nếu mọi lưới hội tụ trong
X có giới hạn là một điềm duy nhất
Chứng minh:
(=©) Giả sử X là T; - không gian và lưới (x,) co X, x, =>a và x, =>b Ta
sẽ chứng mỉnh ø = b Thật vậy, nếu a# thì tồn tại các lân cận U của a và của
b, UN¥ =@ Chon a,, va a, €D sao cho vx, c6 với mọi œ2Zđ„ , 1„€F với moi a >a, Chon BeD saocho B24, va f2a,,tacd x,eUNV là một điều
mâu thuẫn Vậy a = b
() Giả sử mọi lưới hội tụ trong X đều có giới hạn duy nhất nhưng X không
Hausdorff Khi đó, tồn tại a,be X,a#b sao cho mọi lân cận / của a và ƒ của b
đều có U f\V # @ Ki hiéu N,, AM, là họ tất cả các lân cận của a và b tương ứng
Định nghĩa tập D=N, x A, boi quan hé (U',V')2(U,V) néu U'cU va VicV
VGi moi (U.V) < D, chọn x„,„, eUƒ\V Ta được lưới ( Xolssyo Với mọi lân
cin Up cha a va Vo cla b, x„„ạcU, với mọi (U,V)2(U,„Ý,), x„„„ị„ với mọi
(U.V)3(U,.V„) Do đó x„„) -»>a và x„„y =>b, a #b Ta gặp mâu thuẫn với giả thiết
Định lí 3.7
Không gian tôpô (X,r) là T: - không gian khi và chỉ khi X là Tị - không gian
và mọi ae X và mọi lân cận tùy ý V của a đều chứa một lân cận đóng, tức là ton
tại lân cận U của a sao cho aeU cU cE
Chứng minh:
Trang 22(=) Giả sử X là T; - không gian Ta chứng minh điều kiện của định lí thỏa Hiển nhiên X là T, - không gian Lấy a là một điểm tùy ý của X, giả sử E là
một lân cận mở tủy ý của #đ, suy ra F=X\V la tap dong, khong chu a Do X la
T¡ - không gian nên tồn tại , W là các tap mo sao cho: aeU, FCW va U[ÀW=Ø Khi đó, X\W là tập đóng chứa U Từ đó, ta có aeUCUC X\IPC X\1FCV Suy ra điều kiện định lí được thỏa
(©) Giả sử điều kiện định lí được thỏa, ta chứng mính X là T; - không gian
Ta đã có X là T, — khong gian theo giả thiết nên chỉ cân chứng minh X chính
quy Giả sử a là một phần tử tùy ý của X Lấy một tập hợp đóng tùy ý # không
chứa a Lúc đó, X\£ là một lân cận của a, do đó theo giả thiết, tổn tại một lân
cận đóng của a sao cho Uc X`\Ƒ Suy ra X\U là tập mở chứa £/_ lại có
Ưfđ(X\U)=Ø nên X là khơng gian chính quy
Định lí 3.8
Không gian tôpô (X,r) là T; - không gian khi và chỉ khi X là T — không gian và mọi tập hợp đóng F trong X và mọi lân cận V tùy ÿ của F đều chứa một lân cận
đóng của F Chứng minh:
(=>) Gia si X là T: - không gian
Hiển nhiên X là T, - không gian Với mọi £ đóng trong X, với mọi V là một lân
cận tùy ý của F trong X Ta chỉ xét trường hợp E là tập mở ( vì trong trường hợp
tông quát V là một lân cận của # thì tồn tại tập G mớ sao cho £cGcf Khi đó,
Trang 23Do GNH=S2>GcX\iH X\WeoH>X\HclVv SuyraFcGex\HcP Vì Fvà X\H đóng nên F'cGcGcX\HeV Vì Œ là tập mở chứa F nêna GŒ là một lản cận đóng của Ƒ Vậy chiều thuận của định lí được chứng minh (©) Giả sử điều kiện củaa định lí được thỏa Ta chứng minh X là Tạ - không gian Ta đã có XY là T; — không ggian theo giá thiết nên chỉ cần chứng minh X chuẩn tắc
Với mọi A4, Ö là hai tập đónng rời nhau của không gian X Khi đó, X8 là một lân cận mở của A Theo giả : thiết, ton tại một lân cận đóng £ của 4 sao cho AcCEcX\B Ta cé E là máột lân cận của 4, X\£ là một lân cận của B va
£f\(X\£)= Ø nên X là khôngg gian chuân tắc
Định lí 3.9 (Bổ đề Urysohn)
Không gian tôpô (X,r) là : Tạ - không gian khi và chỉ khi X là T; - không gian
và mọi A, B là tập con đóng ccủa X, A(\B=Ø, tôn tại hàm liên tục See —>[0;1] sao cho f(x)= 0 voi moi x € A vva fix) = 1 voi moi xe B
Chứng mình:
(<=) Gia st X có tính chất ( đã nêu Ta chứng minh X là Tx - không gian
Ta đã có X là T, - không ggian theo giả thiết nên chỉ cần chứng minh X chuẩn
tắc Lấy 4, là hai tập đóng, kkhác rỗng, rời nhau của X Khi đó, theo điều kiện giả
thiết, tồn tại hàm số liên tục ƒ: ->[0;1] sao cho ffa)=0 voi moi ae A, f()=1 voi
moi be B
Trang 24Lúc đó,
U=|xeX:0< /œ)<3]}
y-{rex:te scsi}
là những tập mở rời nhau của X ( vì Coleg là những tập mở rời nhau của
[0:1] và ƒ liên tục) Suy ra Ư là một lân cận mở của 4 (do /ƒa)=0 với mọi ae 4) và
/ là một lân cận mở của B (do ffb)=1 voi moi be B) Vay X là không gian chuẩn
tắc
(=>) Giả sử X là Tạ — không gian Ta chứng minh X có tính chất đã nêu
Hiển nhiên X là T, - không gian Với mọi A, Ø là hai tập con đóng, rời nhau
của X thì X\8 là tập mở chứa A
Trước hết, ta chứng minh với mỗi số hữu tỉ dạng r = k.2'" [0,1] thì tồn tại tập Ư, mở sao cho: AcU,c X\B va U, CŨ, với mọi r < s
Thật vậy, đặt U,= X\ Do X là Tạ —- không gian nên tồn tại ƒ, W_ mở, rời
nhau tương ứng chứa A, Ư Đặt U, =V (k=l,n=l) 1 Ta có BCWằ>Y\Wc X\B Vf\W =Œ@Ø >V c X\W Suy ra 4cU,cX\WcX\B ì Do W mở nên X\ dong va ACU, cUŨ, cX\W cU, 2 2
Bằng qui nạp theo n, ta xây dựng U, với r=k.2ˆ"
Giả sử chọn được U, với r=k.2", 0<k<2”, I<n<N-¬I Ta xây dựng U, với
r=(2/+l).2 '”,0< /<2"" (với trường hợp
r=2/2 7” = j2 19 = j 2719! 0< j<2*“! đã có theo giả thiết qui nạp)
Trang 25Ta có: /.2“*<(/+l)2FŸ với mọi 0</<2*' suy ra U,y»* CU ne (đặt
Uo = Á!) hay Ư,z* và X\U thả» là hai tập đóng rời nhau
Tương tự như trên, ta xảy dựng được U„ sao cho Ư,z-* CƯ, CỬ, CŨt,«z'*
Đặt Ư, =U,, „+ -
Từ đó, ta xây dựng được họ các U„ có tính chất đặt ra Đặt U, =X với mọi r>
I và xátc định hàm ƒ sao cho ƒ(x)=infÍ{r|xeU,}
Vì AcU,cX`\B=U, với mọi Ø < r<l nên fx) = 0 voi moi xe A, f(x) = 1 với
mọi xœ 8 và 0< ƒ(x)<l với mọi xe X
Vớii mọi ø e[0,1], do các giá trị r = k.2”(0<k <2") trù mật trong [0,1] nên
ƒ(x) <‹axeU, ,Vr<œ œ xe| ]U,
ƒ(x) >‹a ©xeÙ, Wroacoxel, ,Wr>s>a (do U, cU,,vr >s}e>xe|J(x\U Vi vay f"'(-»,a)=(JU, va f'(a,+0)=((X\U.) 1a cde tap mé và do đó ƒ là
“xa
hàm liền tục (theo định lí 1.1)
Định líí 3.10
Khúông gian tôpô (X,t) là T; - không gian khi và chỉ khi mọi không gian con
của X điều là Tạ - không gian
Chứng mình:
(=}) Giả sử (X,r) là T: - không gian Ta sẽ chỉ ra rằng mọi không gian con
của X Kchông chỉ là Tạ —- không gian mà còn là T; — không gian
Giải sử Y là không gian con của X Với mọi aeŸ suy ra œeX Do X là T; -
không gian nên {z} đóng trong X (theo định lí 3.4), suy ra {a}={a}(\Y đóng
trong ¥’ Do dé Y la T, — không gian (theo định lí 3.4) (1)
Trang 26Mặt khác, giả sử 4, Ø là các tập con của Ÿ thỏa Af18 =Ø và 4„fÌ8=Ø
(trong Y) Khi đỏ ta cỏ
ANB, =(ANY)MB., = AN(YNB,)= ANB, =@
và tương tự 4,(}8 =Ø
Do X hòan tòan chuẩn tắc nên tổn tại các tập r - mở (/, V của X tương ứng
chứa 4, B và thỏa Uƒ)V =Ø Khi đó Uf\Y và Vf\Y là các tập con r, - mở của Ÿ
tương ứng chứa Á, và thỏa /ƒ1Yƒ\Vf\Y=Ø Từ đó ta cỏ (Y,r,) là hòan tòan
chuẩn tắc (2)
Từ (1) và (2) suy ra (Y,r, )) là T: - không gian
() Ngược lại, giả sử mọi không gian con của (X,z) đều là Tạ - không gian
Ta chứng minh X cũng là T; —- không gian
Thật vậy, với mọi ae X khi đỏ luôn tồn tại một không gian con (Y,z,) của X
sao cho Y đóng trong Ä và aeY Theo giả thiết, Y là T, - không gian nên {a}
đóng trong Ý suy ra {a} đóng trong X (do Ÿ đóng trong Ä) Do đó, X là T; - không gian (3)
Mặt khác, giả sử 4 và # là các tập con của X thỏa 4ƒ18 =Ø và Af1B=Ø Đặt
Y= X\(ANB) Khi 46 YMA và Yf\Z là các tập con z, - đóng trong Y và thỏa
(rn4)n(ynz)=rn(4n8]=ø2 Do (Y,ry) chuẩn tắc nên tồn tại các tập z, -
mở rời nhau U, ƒ tương ứng chứa Yf14A và Yíf\B Vì Y là r - mở trong X nên Ú/, ƒ cũng r - mở Hơn nữa do AfB=Ø nên ACKX\B suy ra
A= Af\(X\B)c AN(X\B)= ANY cU và tương tự 8c Vậy (X,r) là hòan
tòan chuẩn tắc (4)
Từ (3), (4) suy ra (X,r) là T; - không gian
Trang 27§4 MÓI LIÊN HỆ GIỮA CÁC TIÊN ĐÈ TÁCH Kí hiệu T= {0.5.1.2,22,3,32.4,5} > 22 Định lý 4.1 Nếu (X,r) là T, - không gian thì X là T, - không gian với mọi i,j €T,i <j Chứng mình: ° ï,=T,=T và T, = T,là hiển nhiên 2 eT, =>7,: ì
Giả sử X không là 7ạ - không gian, khi đó, theo định lý 3.1 (ii), tồn tại
a,beX, a#b sao cho {a} ={b} Dat A={a}¬(% \{a}) Ta sẽ chứng minh 4 là g
- đóng nhưng không là tập đóng
Từ đó, 4 không là T, - không gian 2
Thật vậy, trước hết, ta chứng minh 4 là g - đóng Giả sử U 1a lan can mé cba A,
ta sé chi ra ACU Do 4c{a} nên ta chỉ cần chứng tỏ {a}cU Cuối cùng, do
{a}¬(X\{a})= AcU nên ta chỉ cần chỉ ra aeU Giả sử trái lại a£U tức là
aeX\U Do X\U đóng nên {a}c X\U Vì {a}={b} nên be{a}c X \U Mặt khác vì a#b nên se X\{a} và be{b} ={a} Do đó, be 4 và suy ra öeU Từ đó
beU(X 1U), ta gặp mâu thuẫn Vậy aeU và 4 là tập g - đóng
Bây giờ, ta chỉ ra 4 không là tập đóng Giá sử là tập con mở bắt kỳ của X
chứa a Khi đó, Ư¬4D{a}#Ø Do đó ae4 Lại do {a}“(X\{a})=4 nên
a£A và 4z 4 Vậy A không phải là tập đóng
Trang 28s11:
ì
Giả sử (X,r) là Tị - không gian và 4c X, ta sẽ chứng minh 4 không đóng thì
A cũng sẽ không g - đóng Thậy vậy, do 4 không đóng nên 4# 4 Lấy ae 4\4
Ta cé {a} là tập con đóng của A\A (theo định lý 3.4) Bây giờ, ta sẽ chứng minh
A không là g - đóng Thật vậy, nếu trái lại 4 là g - đóng thì do U = X\{a} mở và
chứa 4 nên 4c X \{a} Từ đó {z}c X\ 4 mâu thuẫn với ae 4 e=>T,:
5
Gia str X la T; - không gian và a,be X, a#b Do {b} 1a tap dong nén X\{d} la
lân cận mở của a Theo dinh lý 3.7, tổn tại lân cận U cia đ sao cho
UcUcxX\(b} Từ đó, ta cũng có X\AU là lân cận mở của b sao cho
VeVcx\U Vậy, ta có các lân cận U và V cba a va b sao cho UNV =, nénX la T - không gian 2 ° mors Giả sử X là T - không gian và ae X, Ö là tập con đóng của X không chứa a 2
Khi đó, có hàm / :X ->[0,I] liên tuc sao cho f(a)=0 va f(x)=1 voi moi xe B
Dat U=|x:/)<3Ì: v={=:(x)>3} ta có các tập con mở rời nhau tương
ứng chứa a và 8 Vậy X là Tạ - khơng gian ® ĐT,:
3
Gia sử X là Tị - không gian và ae X, Ø là tập con đóng của X không chứa a
Do {a} và 8 là các tập đóng rời nhau trong X nên theo bổ đề Urysohn (định lý 3.9) tên tại hàm liên tục ƒ: X ->[0,I] sao cho f(a)=0 va f(x)=1 voi moi xe B
Vay f la 1 - không gian
Trang 29Hệ quả 4.2 Moi khong gian métric là T, - không gian với mọi ¡eT Chứng mình: Suy ra từ dinh ly 4.1 va vi du 2.5 Sau đây chúng ta xét một số ví dụ chỉ ra sự phân biệt của các tién dé tach 1), ;e7 [rong §2, ta đã có:
Vi du 2.1 chi ra ton tại Tạ - không gian không là 7, - không gian Vi dy 2.2 chi ra ton tai 7, - không gian không lả T, - không gian Vi du 2.3 chi ra ton tai T, - không gian không là T› - không gian
Ví dụ 4.1 Tôn tại T; - không gian không lả 7, - không gian
Trên tập X ={[0:1| xét tôpô r có cơ sở là họ các tập sau;
- Các tập con mở của (0; Ì) theo tôpô thông thường;
- Cac tap dang &, =[0;2)\(QN(0,1]),0<as1;
- Các tap dang C, -(1-Za]ufen(a$))\{— ine N|.0<b<I:
2 2 n+l
- Cac tap dang D,, =(a,8)\Q.0<a<f<1;
- Các tap dang E,, =((2.6)NQ)\}~:ne N}.0<a < Ø<l
n
Ta có (X,z} là không gian Hausdorff nhưng không là ry - không gian vi:
Mọi lần cận của 0 đều chứa một lân cận dạng Ø, và mọi lân cận # của | đều
non
chứa một lan can dang C, Vi BNC, 2l < in| 4.2 | #@ nén 0 va 1 khong
có các lần can co bao đóng rời nhau
Trang 30Vi dy 4.2 Tén tại 7, - không gian không là T; - không gian
2
Trên tập X = [0;l] xét tôpô r có cơ sở là họ các tập mở của (0,1] với tôpô thông thường và họ các tập dạng B,=|0.4)\| :ne N|.0<asI Dễ dàng thấy H (X.r) là T, - không gian Ta sẽ chỉ ra (X.z) không là T› - không gian Đẻ làm ? điều đó, theo định lý 3.7 ta sẽ chí ra lân cận V =(0.t1\{4:ne N} của 0 không chứa n
bất kỳ lân cận đóng nảo Thật vậy, U 1a lan can bat ky cla 0, UcV déu tén tai a
> 0 sao cho B, CU Chon mp du Ion sao cho | <a Khi dé LeU nhung tev nụ nụ nụ
Do đó U ợV
Vi dy 4.3 Tén tai 7, - không gian không là Tạ - không gian
2
Ki higu: X={(x,y)eR?:y20},X, ={(x,0):xeR},X,=X\X, Trén X, xét
tôpô có cơ sở là họ các tập mở của X; theo tôpô thông thường trên R’ và các tập dang B(a.a,)+2{(a,.0)} ở đây Ø(a,ø,) là hình cầu tâm a=(a,,a,)e X,, bản kính
a; Khi đó X là T - không gian nhưng không là T¿ - không gian
?
Chứng minh:
Với mọi (x;0}< X,.(#((=:1):1)U{(x:0)})fX, ={(x:0)) nén Xp không có điểm
giới hạn Từ đó, mọi tập con của X¿ đều đóng Ta sẽ chứng minh X không chuẩn tắc
Thật vậy, nếu Ý chuẩn tắc thì với mọi 4c NT: ton tại các tập mở rời nhau ,
va V, saocho AcU, va X,\ACY,,
Goi Ð là tập các điểm có tọa độ hữu ti cla X) Khi 46, D trù mật trong X
Trang 31Đặt D, = Dƒ\U, Ta sẽ chứng minh voi A¥B là các tap con ca Xj, thi D,#D,
Thật vậy, ta có thể giả thiết 4\Ø#Ø Ta có 4\8cU,f\W, và hiển nhiên
U„ñ\W,=Ø, do đó Uu#+U» => Dat Ds => D,#D, Từ đó, ánh xa AWD, te
?(*,) vào Z(D), suy ra 2° =card(Z(X,))<card(Z(D))}=ec là một điều mâu
thuẫn Vậy X không là Tạ — không gian
Bây giờ ta chứng minh X là 7, - không gian 2
se X là Tị - không gian:
Với mọi a = (a;;a;z}, b = (b,;bz) thuộc X, xảy ra một trong ba trường hợp sau:
Trường hợp l: a,be X, Khi đó, luôn tổn tại các tập mở , ƒ theo tôpô thông
thường trên R tương ứng của z không chứa ở và của ð không chứa a
Trường hợp 2: a,beX, Khi đó, a = (a,;0), b = (b„;0) Đặt e =|a ~5|,
U = B((a,;£):£)U{a}.V = B((@,;£);£)U{b} Khi đó, U và ƒ là hai lân cận mở tương
ứng trong X của a không chứa 6 và của ở không chứa a
Trường hợp 3: ae<X,bexX, Khi đó, a = (a,0) b = (b,by Đặt
=U = B((a;e);e)U{a}.V = B(b;e) Khi đó, U và V là hai lân cận mở trong X
tương ứng của a không chứa ở và của b không chứa a
Như vậy trong mọi trường hợp của a, 6 đều tổn tại các lân cận tương ứng của a
không chứa ở và của » không chứa a nên X là T¡ = khơng gian
e® X là hịan tòan chính quy:
Giả sử x=(x:0)eX, và W là lân cận của x dang B(a;r)U{x}, trong dé
a=(x;r),r >0 Với mọi ¿e B(a;r), gọi + là giao điểm thứ hai của đường thẳng đi qua x, £ với đường tròn tâm a, bán kính r Ta có hàm số ƒ: X —{0;1],
Trang 320 khi t =x f(H=51 khi te X\(B(a;r)U{x}) d(x:1) | d(x;1) ˆ khi te B(a,r} - Nếu xe, và ƒ là một lân cận của x dang B{a;r),r>0 thi ta cé ham f:X [0:1], 1 khi te f=) (xt) uy, r RO rang, f là hàm liên tục 06 ffx) = 0 va f= 1 trén XIV Vay X là T, - không 2 teV gian
(Kí hiệu đ(+,r) là khỏang cách Euclide trong R?)
Theo J Mill, G.M.Reed, Open problems in topology, North — Holland,
Amsterdam, New York, Oxford, Tokyo, 1990 thì đến thời điểm 1990 chưa có ví
dụ về T; - không gian không là T, - không gian và ví dụ về Tạ - không gian 2
Trang 33KẾT LUẬN
Khóa luận của chúng tôi nhằm cung cấp một tải liệu có hệ thống về các tiên đề
tách của không gian tôpô
Trang 34Tài liệu tham khảo:
[1] Dau Thé Cap , Tôpô đại cương , NXB Giáo dục , 2008
[2] W Dunham , T, - spaces , Kyungpook Math.J , 17 (2) , 161-169 , 1977 2 (3] 1.L.Kelly , Tôpô đại cương , NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp , Hà Nội, 1973 (4] N Levin , Generalized closed sets in topology , Rend Cirs Math Palermo , 19, 89-96 , 1970 (5] Nguyễn Xuân Liêm , Tôpô đại cương - độ đo và tích phân , NXB Giáo dục , 1994,
[6] J Mill G M Reed , Open problems in topology , North — Holland , Amsterdam , New York , Oxford , Tokyo , 1990
(7] Nguyễn Nhyy , Lé Xuan Son , Bai tap tôpô đại cương , NXB Giáo dục , 2008 (8] Đỗ Đức Thái , Bài tập tôpô đại cương - độ đo và tích phân , NXB Đại học sư
phạm , 2002
[9] Trần Tráng , Tôpô đại cương , NXB Đại học sư phạm TP.Hồ Chí Minh , 2005