Các tiên đề tách và định lý matheron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thanh Lý CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ ĐỊNH LÝ MATHERON Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài, em gặp khơng khó khăn nhờ giúp đỡ thầy cơ, gia đình bè bạn với nổ lực thân , em học hỏi, bổ sung nhiều kiến thức bổ ích cho thân hoàn thành đề tài chọn Đầu tiên em xin phép bày tỏ lòng biết ơn vơ đến thầy PGS.TS Đậu Thế Cấp, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, giảng dạy, hướng dẫn nhiệt tình giúp đỡ, động viên em suốt trình thực đề tài Em xin kính gửi đến Q thầy Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, cho em đánh giá, phê bình quý báu bảo nhiệt tình giúp em hồn thiện luận văn, lời cảm ơn chân thành trân trọng Em xin kính gửi lời cảm ơn chân thành trân trọng đến Q thầy ngồi trường ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy, trang bị cho em kiến thức quý báu; cảm ơn Quý thầy cán phịng KH CN Sau Đại học giúp đỡ trình học tập tổ chức bảo vệ đề tài Em xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu, Quý thầy cô đồng nghiệp trường Đại Học Đồng Tháp, nơi em công tác, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn Gia đình em nguồn động viên to lớn, giúp em vuợt qua khó khăn sống để hoàn thành luận văn Em xin ghi ơn tất cả! BẢNG KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG    C  X ,  0,1  Tập số thực Tập số tự nhiên Tập số hữu tỷ Tập hàm liên tục từ X vào  0,1 A0 A bA 0  Phần A Bao đóng A Biên A Lực lượng tập đếm Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tiên đề tách vấn đề trọng tâm Tôpô đại cương, định lý Matheron có ứng dụng giải tích hàm lý thuyết độ đo tích phân, lý thuyết xác suất, có liên hệ chặt chẽ với tiên đề tách Đề tài nghiên cứu hai vấn đề thể thống Mục đích Cho tài liệu tổng quan tiên đề tách định lý Matheron, sở cho số nghiên cứu, tìm tịi Đối tượng nghiên cứu Tơpơ đại cương, lý thuyết độ đo tích phân Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài cập nhật kết liên quan thời gian gần để giới có quan tâm tham khảo, cho vài kết Đề tài có khả áp dụng lý thuyết độ đo, tích phân xác suất Tổng quan đề tài 5.1 Sơ lược tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Trong tơpơ lĩnh vực có liên quan, tùy theo mục đích nghiên cứu ứng dụng ta cần thêm điều kiện để lớp không gian hẹp có tính chất mong muốn Trong điều kiện đưa vào có tiên đề tách Các tiên đề tách đề cập đến việc tách điểm, tách điểm tập đóng tách tập đóng Các tiên đề tách nghiên cứu T0 , T1 ,T1 , T2 ,T ,T3 , T , T4 , T5 Có nhiều tài liệu 2 tiên đề tách Tuy nhiên đa số tài liệu trình bày số tiên đề tách trình bày theo cách rời rạc Thậm chí cịn số tiên đề tách có định nghĩa khác tài liệu khác Định lý Matheron có liên hệ chặt chẽ với tiên đề tách, đề cập đến không gian tập đóng Trong [5] Matheron chứng minh: Cho X không gian compăc địa phương, khả mêtric, đầy đủ khả ly Khi khơng gian miss-and-hit F X compăc, khả ly Hausdorff Từ nảy sinh vấn đề cách tự nhiên ta thay đổi số giả thuyết không gian X khơng gian miss-and-hit nào? Việc tìm điều liện đặt lên X để khơng gian miss-and-hit có tính chất tơt có ý nghĩa Vấn đề đựợc quan tâm nhiều tác giả Các tác giả giải vấn đề cho trường hợp X không gian mêtric có điểm khơng compắc địa phương [7] không gian tôpô tổng quát [3] Trong [2], tác giả tiếp tục giải vấn đề không gian tôpô cho nhiều kết thú vị 5.2 Nội dung đề tài Đề tài nghiên cứu tiên đề tách mở rộng định lý Matheron Cấu trúc đề tài gồm mở đầu, chương nội dung (1-3), kết luận tài liệu tham khảo Chương chương kiến thức chuẩn bị Chương trình bày tóm tắt, động số kiến thức tôpô đại cương số lý thuyết liên quan, sở để theo dõi chương sau Chương trình bày định nghĩa số tính chất đặc trưng tiên đề tách Đồng thời đưa phản ví dụ để làm rõ cho nội dung chương Chương xem ứng dụng chương Trình bày định lý Matheron mở rộng CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho tập X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện: 1  X    thuộc  ; Hợp tùy ý tập thuộc  thuộc  ;   Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  Một tập X với tôpô X gọi không gian tôpô Để rõ  tôpô không gian tôpô X, ta viết  X ,  Cho  X ,  không gian tôpô Tập G  gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X\F tập mở Từ định nghĩa ta có: 1)  X tập đóng 2) Giao tùy ý tập đóng tập đóng 3) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng Ví dụ Với tập X, P ( X )  G G  X  tôpô X, gọi tôpô rời rạc Tập X với tơpơ rời rạc gọi khơng gian rời rạc Ví dụ Với tập vô hạn X, họ bao gồm tập  tất tập G X có X\G hữu hạn, tơpơ X Tơpơ gọi tơpơ Zariski Ví dụ Cho X tập Một hàm d : X2   mêtric X thỏa mãn điều kiện :  m1  d  x, y   0; d  x, y    x  y  m2  d  x, y   d  y, x   m1  d  x, z   d  x, y   d  y, z  , x, y, z  X Một tập X với mêtric d X gọi không gian mêtric  X , d  ; d  x, y  gọi khoảng cách từ x đến y   Với a  X   , đặt B  a,    x  X d  x, a    , B  a,  �ịa phương khơng gian missand-hit X compăc T4 - không gian Chứng minh Do không gian Hausdorff compăc T4 - không gian nên từ Mệnh đề 3.2.1 Mệnh đề 3.2.3 ta suy điều phải chứng minh  3.2.5 Nhận xét Khi tách riêng tính chất khơng gian miss-and-hit F điều kiện đặt X giảm nhẹ Bây ta xét để không gian miss-andhit F có đầy đủ ba tính chất compăc, khả ly Hausdorff điều kiện mở rộng cho X T - khơng gian (trong điều kiện cho X định lý Matheron phải khả mêtric đầy đủ) Tuy nhiên X phải thỏa tiên đề đếm thứ hai Ta có định lý sau 46 3.2.6 Định lý Cho X T – không gian, compăc địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Khi không gian miss-and-hit X compăc, khả ly Hausdorff Chứng minh Theo Định lý 2.5.6 X Hausdorff nên định lý suy từ Mệnh đề 3.2.2 Mệnh đề 3.2.3  3.3 Tính khả mêtric tơpơ miss-and-hit 3.3.1 Mệnh đề Cho X T – không gian compăc địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Khi khơng gian miss-and-hit X compăc, T4 - không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Chứng minh Theo Định lý 2.5.6 X Hausdorff nên từ Hệ 3.2.4 ta cần chứng minh F với tôpô miss-and-hit thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Do X compăc địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai nên ta giả thiết X có sở tôpô  đếm được, chứa tập rỗng có bao đóng tập thuộc  compăc Giả sử C tập mở F F C Ta xét hai trường hợp sau 10) Tồn K K G1 , G2 , , Gn G cho F  FGK1 ,G2 , ,Gn  C Chọn  F  Gi Bi   cho  Bi  Gi , Bi  K  , i  1,2, , n Với x  K , chọn Bx   cho Bx  F   Do K compăc nên tồn   phủ hữu hạn Bx j m j 1 K Đặt B*j  Bx j , ta có 47 m K   B  X \ F, * j j i m  B*j compăc j i Dễ dàng kiểm tra * * F  FBB11, , Bn Bm  FGK1 , ,Gn 20) Tồn K K cho F  F K  C Nếu F  X K   , F  F   C  F Nếu F  X K  X \ F Do tồn B1* , , Bm*   cho m K   B*j  X \ F Khi ta có j i * * F  F B1   Bm  F K Từ 10) 20) suy họ  * * * * FBB11, , Bn Bm , F B1   Bm  B1 , , Bn , B1* , , Bm*  sở tôpô đếm F với tôpô miss-and-hit  Xét trường hợp đặc biệt X không gian mêtric Khi từ Mệnh đề 3.3.1, ta có kết thú vị sau 3.3.2 Định lý Cho X không gian mêtric compăc địa phương khả ly Khi khơng gian miss-and-hit X compăc khả mêtric Chứng minh Do không gian mêtric khả ly thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai T3 - không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai khả mêtric nên từ Mệnh đề 3.3.1 ta suy định lý chứng minh  3.4 Mối quan hệ không gian X không gian F 3.4.1 Tính compăc địa phương X tính Hausdorff F 48 Nếu X không compăc địa phương điểm khơng gian miss-and-hit X không Hausdorff Chứng minh Giả sử X không compăc địa phương x0  X Lấy tùy ý x1  X \  x0  Đặt F   x0 , x1 , F    x1 Ta chứng minh lân cận U F =FGK1 ,G2 , ,Gn F U F  =FGK,G  , ,G  F  có U F  U F    m n Nếu x0   Gi F  Gi   với i  1, , n nên x1  Gi với i 1 i  1, , n Từ F  U F F  U F  U F  n Nếu x0   Gi đặt G  Gi : i  1, , n, x0  Gi  Ta có G mở chứa i 1 x0 Do G  K  K  (vì trái lại K  K  lân cận compăc x0 ) nên tồn x2  G \  K  K   Đặt F    x1 , x2  Dễ thấy F   K   F   K    Mặt khác, F   Gi   với i  1, , n , Gi chứa x1 x2 , nên F  U F ; F   Gj   với j  1, , m Gj chứa x1 nên F  U F  Do trường hợp ta có U F  U F     3.4.2 Hệ Cho X không gian Hausdorff Khi X compăc địa phương không gian miss-and-hit X Hausdorff Chứng minh Suy từ Mệnh đề 3.4.1 Mệnh đề 3.2.3  .. .lý thuyết Đặc biệt, bổ sung vào hệ thống tiên đề tách tiên đề T Các kết Định nghĩa 2.4.1, Định lý 2.5.6 Tiên đề có liên hệ chặt chẽ với nội dung mở rộng định lý Matheron Đối với định lý Matheron, ... đưa vào có tiên đề tách Các tiên đề tách đề cập đến việc tách điểm, tách điểm tập đóng tách tập đóng Các tiên đề tách nghiên cứu T0 , T1 ,T1 , T2 ,T ,T3 , T , T4 , T5 Có nhiều tài liệu 2 tiên đề. ..không gian X Mệnh đề 3.2.2 cốt yếu 51 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề tiên đề tách định lý Matheron thể thống Đối với tiên đề tách, thống trình tự tiên đề cách có hệ thống Các khái niệm, tính