Đang tải... (xem toàn văn)
0, ∃N : ∀n > N , ∀z ∈ Ω ⇒ r ( z ) < ε ) n Chuỗi (1.2.1) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∞ ∑ k =1 fk hội tụ Nếu chuỗi (1.2.2) hội tụ chuỗi (1.2.1) hội tụ Định lí 1.2.1 ( Tiêu chuẩn Cauchy) (1.2.2) ∞ ∑ f ( z) k = n +1 k Chuỗi (1.2.1) hội tụ Ω ( ∀ε > 0, ∃N : ∀n, ∀m > n > N , ∀z ∈ Ω ⇒ ) f n +1 ( z ) + + f m ( z ) < ε Định lí 1.2.2 (Dấu hiệu Weierstrass) Nếu chuỗi dương ∞ ∑a n =1 n hội tụ số hạng chuỗi (1.2.1) thoả mãn f n ( z ) ≤ an , ∀z ∈ Ω, ∀n > n0 , n0 số nguyên dương chuỗi (1.2.1) hội tụ Ω 1.3 Một số tính chất tích phân hm biến phức Định lí 1.3.1 Cho f,g hai hàm liên tục đường cong γ ;a,b số phức Khi ∫γ ( af ( z ) + bg ( z ) ) dz = a ∫γ f ( z ) dz + b ∫γ g ( z ) dz Định lí 1.3.2 Cho γ : [ a, b ] → đường cong Kí hiệu γ - đường cong γ với chiều ngược lại Với P P hàm f liên tục γ ta có ∫γ f ( z ) dz = − ∫ f ( z ) dz γ− Định lí 1.3.3 Cho đường cong γ : [ a, b ] → , γ : [b, c ] → cho γ (b) = γ (b) Khi tổng γ γ γ ( t ) , t ∈ [ a, b ] ; γ ( t ) = γ ( t ) , t ∈ [b, c ] Với f liên tục γ ta đường cong γ= γ + γ xác định γ ( t ) = có f ( z ) dz ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz ∫γ = γ γ Định lí 1.3.4 Với hàm f liên tục đường cong γ ta có f (z) l , ∫γ f ( z ) dz ≤ ∫γ f ( z ) dz ≤ sup γ z∈ ∫γ f ( z ) dz hiểu tích phân đường loại γ , l độ dài γ Định lí 1.3.5 Cho { f n } dãy hàm liên tục miền D có tổng f Khi với đường cong trơn khúc γ ⊂ D có = ∫ f ( z ) dz γ ∞ ∑ f n ( z ) dz ∫= ∞ ∑ ∫ f ( z ) dz = n γ γ n 1= n Định lí 1.3.6 ( Định lí Cauchy cho miền đơn liên) Nếu w = f ( z ) hàm chỉnh hình miền đơn liên D với chu tuyến trơn khúc γ nằm D, ta có ∫γ f ( z ) dz = Định lí 1.3.7 Giả sử D miền đơn liên bị chặn với ∂D chu tuyến trơn khúc Khi f hàm chỉnh hình D liên tục D= D ∪ ∂D ∫ f ( z ) dz = ∂D Định lí 1.3.8 ( Định lí Cauchy cho miền đa liên) Nếu D miền n – liên bị chặn, f hàm chỉnh hình D, liên tục D ∫ f ( z )dz = ∂D Định lí 1.3.9 ( Cơng thức tích phân Cauchy) Giả sử hàm f chỉnh hình miền D z0 ∈ D Khi với chu tuyến γ ⊂ Dγ ⊂ D , ta có cơng thức Cauchy f ( z0 ) = f (η ) dη ∫ 2π i γ + η − z0 Nếu thêm vào f liên tục D= D ∪ ∂D với ∂D chu tuyến với z ∈ D ta có f ( z) = f (η ) dη 2π i ∂∫D η − z Định nghĩa 1.3.1 Giả sử Γ đường cong đơn, trơn khúc f hàm liên tục Γ Với z ∈ \ Γ có ϕ (η ) = f (η ) hàm liên tục Γ η−z Đặt F ( z ) = f (η ) dη 2π i ∫Γ η − z (1.3.1) ta hàm xác định \ Γ Hàm F(z) gọi tích phân loại Cauchy Định lí 1.3.10 (Cơng thức tích phn loại Cauchy) Giả sử Γ đường cong đơn, trơn khúc f hàm liên tục Γ Khi hàm F xác định cơng thức (1.3.1) hàm chỉnh hình = D \ Γ Hơn miền D,F có đạo hàm cấp, chúng tính theo cơng thức F (n) ( z ) = f (η ) n! dη ∫ 2π i Γ (η − z )n +1 (1.3.2) Định lí 1.3.11 Giả sử hàm f chỉnh hình miền D Khi f có đạo hàm cấp đạo hàm hàm chỉnh hình miền D Các đạo hàm f điểm z biểu diễn công thức f (n) ( z ) = f (η ) n! dη , n 1, 2, γ chu tuyến tuỳ ý bao quanh z cho Dγ ⊂ D = ∫ 2π i γ (η − z )n +1 Định li 1.3.12.Giả sử {a, b} ⊂ ϕ hàm biến phức liên tục khơng gian tích Ω × [ a, b ] , với t ∈ [ a, b ] , hàm z → ϕ ( z , t ) chỉnh hình Ω Hàm F xác định Ω cho công thức b = F ( z) ∫ ϕ ( z, t )dt , z ∈ Ω Khi F chỉnh hình Ω a b = F ( z) ' ∂ϕ ∫ ∂z ( z, t )dt , z ∈ Ω a Định nghĩa 1.3.2 Giả sử { f n } dãy hàm liên tục miền D Ta nói { f n } hội tụ tập compact (trong D) tới hàm f với tập compact K ⊂ D , với ε > , có N = N ( K , ε ) cho f n ( z ) − f ( z ) < ε với z ∈ K , n > N Định lí 1.3.13 (Định lí Weierstrass) Nếu f n chỉnh hình D với n { f n } hội tụ tập compact R R (trong D) tới hàm f f chỉnh hình D Định nghĩa 1.3.3 Giả sử Ω tập mở A(Ω) không gian vectơ hàm chỉnh hình Ω Họ hàm F ⊂ A(Ω) gọi bị chặn tập compact sup { f ( z ) : z ∈ K , f ∈ F } < ∞ với tập compact K ⊂ Ω Họ hàm F ⊂ A(Ω) gọi đồng liên tục z0 ∈ Ω với ε > tồn δ > cho với z ∈ Ω thỏa z − z0 < δ f ( z ) − f ( z0 ) < ε , với f ∈ F Họ hàm F ⊂ A(Ω) gọi đồng liên tục tập compact với tập compact K ⊂ Ω, với ε > 0, tồn δ = δ ( K , ε ) cho f ( z ) − f ( z ' ) < ε , với z , z ' ∈ K m z − z ' < δ Bổ đề 1.3.1 Mọi họ F ⊂ A(Ω) bị chặn tập compact Ω đồng liên tục điểm thuộc Ω Bổ đề 1.3.2 Giả sử F tập đồng liên tục C (Ω) , nghĩa f ∈ F liên tục Ω F đồng liên tục điểm Ω , dy { f n } ⊂ F cho f n hội tụ điểm đến f Ω Khi f liên tục Ω f n → f tập compact Ω Tổng quát hơn, f n hội tụ điểm đến f tập trù mật Ω f n → f tập compact Ω Định lí 1.3.14 ( Định lí Montel) Cho F ⊂ A(Ω) bị chặn tập compact Khi dãy tập compact Ω Định lí 1.3.15 ( Định lí Vitali) { f n } ⊂ F có dãy hội tụ Cho { f n } dãy bị chặn A(Ω) , Ω l tập mở lin thông Nếu dy { f n } hội tụ điểm S ⊂ Ω với S l tập có điểm tụ Ω { f n } hội tụ cc tập compact Ω đến hàm f ∈ A(Ω) 1.4 Chuỗi thặng dư Định lí 1.4.1(Định li Taylor) ∞ ∑ c (z − z ) Nếu hàm f chỉnh hình B( z0 , R) thì= f ( z) n n =0 n n với z ∈ B( z0 , R), hệ số cn xác định công thức cn = f (η ) dη , n 0,1 , với < r < R = n +1 ∫ 2π i z − z0 = ( η z ) − r Định li 1.4.2 (Định li nhất) Giả sử f g hàm chỉnh hình miền D, f ( zn ) = g ( zn ) dãy điểm khác { zn } ⊂ D lim zn= a ∈ D Khi f ( z ) = g ( z ), với z ∈ D +∞ ∑ c (z − z ) Định nghĩa 1.4.1 Chuỗi hàm có dạng k = −∞ gọi chuỗi Laurent theo lũy thừa ( z − z0 ) hay k k chuỗi Laurent z0 Định lí1.4.3 Nếu hàm f(z) chỉnh hình hình vành khăn ≤ r < z − z0 < R < +∞ f(z) biểu diễn dạng f ( z) = +∞ ∑ c (z − z ) k k = −∞ k (1.4.1) Các hệ số chuỗi (1.4.1) xác định công thức cn = f (η ) dη , n = 0, ±1, ±2, , ∫ 2π i γ ρ (η − z0 ) n +1 γ ρ đường trịn z − z0 = ρ , r < ρ < R Định nghĩa 1.4.2 Giả sử hàm f chỉnh hình hình vành khăn < z − z0 < r Khi xảy ba khả sau: i) Tồn lim f ( z )= a ∈ , z0 gọi điểm thường z → z0 ii) Tồn lim f ( z ) = ∞ , z0 gọi cực điểm hàm f z → z0 iii) Không tồn lim f ( z ) , z0 gọi điểm bất thường cốt yếu hàm f z → z0 Ta xét khai triển Laurent hàm f(z) hình vành khăn < z − z0 < r = f ( z) +∞ ∑ c (z − z ) n = −∞ n n (1.4.2) cn = f (η ) dη , n = 0, ±, ±2, , ∫ 2π i γ ρ (η − z0 ) n +1 γ ρ đường tròn z − z0 = ρ ;0 < ρ < r Định li 1.4.4 Nếu tồn lim f ( z )= a ∈ f thác triển chỉnh hình tới z0 z → z0 Định lí 1.4.5 i) Điểm z0 cực điểm hàm f(z) < z − z0 < r khai triển (1.4.2) tồn số m > cho c− m ≠ ck = 0, với k < −m Số nguyên m > gọi bậc cực điểm z0 ii) Điểm z0 điểm bất thường cốt yếu khai triển (1.4.2) tồn vô số k > cho c− k ≠ Định nghĩa 1.4.3 Giả sử f hàm chỉnh hình hình trịn thủng < z − z0 < r Thặng dư hàm f z0 , kí hiệu res [ f , z0 ] , xác định res [ f , z0 ] = f ( z )dz , 2π i ∫γ với γ đường tròn z − z0 = ρ ;0 < ρ < r Định lí 1.4.6 Giả sử hàm f có khai triển Laurent lân cận điểm z0 f ( z) = +∞ ∑ c (z − z ) n = −∞ n n Khi res [ f , z0 ] = c−1 Định lí 1.4.7 Nếu z0 cực điểm đơn hàm f res [ f= , z0 ] lim( z − z0 ) f ( z ) z → z0 Định lí 1.4.8 Nếu f ( z ) = ϕ ( z) ϕ ( z0 ) ψ ′ ( z0 ) ≠ res f ( z ) , z0 = ϕ ( z0 ) ≠ 0,ψ ( z0 ) = ψ ( z) ψ ′ ( z0 ) Định lí 1.4.9 ( Định lí thặng dư) Giả sử f hàm chỉnh hình miền D trừ số hữu hạn điểm z , z ,…,z n nằm D Khi với R chu tuyến γ D cho { z1 , z2 , , zn } ⊂ Dγ ⊂ D có ∫γ n f (η )dη = 2π i ∑ res f ( z ) , zk k =1 R R R R R Theo (2.5.6), ta có ς ( z − b)ς ( z − a) f d ( z − b, z − a ) =2 z − a −b d ς ( 2z − a − b) nên ta ∞ σ a ( n )σ b ( n ) ς z a b d z − a − b f d ( z − b, z − a ) = − − ( ) ∑ ∑ z n n 1= d ∞ ∞ = ς ( z − a − b ) ∑ d z − a −b d =1 ς ( z − b)ς ( z − a ) d z − a −bς ( z − a − b ) = ς ( z − a)ς ( z − b)ς ( z − a − b) ∞ ∑ z ς ( 2z − a − b) d =1 d = ς ( z )ς ( z − a)ς ( z − b)ς ( z − a − b) ς ( 2z − a − b) Nhận xét: Cho a = b = 0, ta ∞ ( d ( n)) n =1 nz ∑ = ς ( z) ς ( 2z ) Cho a = b, ta ∞ (σ ( n ) ) n =1 nz ∑ a ς ( z ) ς ( z − a ) ς ( z − 2a ) = ς ( ( z − a )) CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ SỐ NGUN TỐ 3.1.Giới thiệu định lí số ngun tố Định lí số nguyên tố phát biểu sau Định lí số nguyên tố Nếu π ( x ) số số nguyên tố nhỏ x lim x −1π ( x ) ln x = x →+∞ Đây định lí tiếng Việc phát chứng minh trình làm việc lâu dài hệ nhà tốn học Có lẽ kết biết lim π ( x ) = +∞ Hay nói cách khác, tập số nguyên tố vô hạn x →+∞ Điều phát Euclide Đến năm 1737, Euler đưa kết tổng quát hơn, chuỗi nghịch đảo số nguyên tố 1 1 + + + + + 11 chuỗi phân kì Đến cuối kỉ 18, nhiều nhà tốn học tiếng có Gauss Legendre đưa đốn tương đương với định lí Gần 100 năm sau, vào năm 1896, sau nhiều cố gắng nhà tốn học, định lí số ngun tố cuối chứng minh cách độc lập Hadamard de la Vallée Poussin Nhưng chứng minh họ khó Lúc giờ, nhà tốn học khơng thấy có mối liên hệ giải tích phức phân bố số nguyên tố Cho đến năm 1949, P.Erdos A.Sellberg tìm cách chứng minh “sơ cấp” định lí số nguyên tố dựa vào cơng cụ giải tích phức Năm 1980, D.J.Newman cơng bố chứng minh định lí số nguyên tố Chứng minh sử dụng giải tích phức Tuy nhiên, đơn giản đáng kể Trong luận văn này, định lí số nguyên tố chứng minh dựa theo cách tiếp cận D.J.Newman Cũng hầu hết chứng minh khác, ta phải chứng minh hai phần bản: Thứ nhất, hàm zeta khơng có khơng điểm Rez = Thứ hai, liên hệ hàm zeta phân bố số nguyên tố “ định lí Tauberian” 3.2 Dạng tương đương định lí số nguyên tố Định lí 3.2.1 Định lí số nguyên tố đúng, nghĩa lim x −1π ( x ) ln x = x →+∞ v lim x →+∞ ψ ( x) x = ψ hàm định nghĩa 2.5.1 Chứng minh Ta viết lại hàm ψ = ψ ( x) ln x ln x ∑ ln p ln p ≤ ∑ ln p ln p p≤ x p≤ x = ln= x ∑1 ln xπ ( x ) (3.2.1) p≤ x Mặt khác, với < y < x, ta có π ( x) = π ( y) + ln p < y+ ln y y < p ≤ x ln y ∑ ≤ π ( y) + ∑ y< p≤ x ≤ y+ Lấy y = x ( ln x ) ln p ψ ( x) ln y (3.2.2) Với x ≥ e , dễ dàng chứng minh x cho ψ ( x ) ≤ Cx, với x > Nói cách khác ψ ( x ) = O ( x ) Chứng minh Ta viết lại = ψ ( x) ln x ∑ ln p ln p, x > p≤ x Cố định x > gọi m số nguyên thoả 2m < x ≤ 2m +1 Khi ψ ( x ) = ψ ( 2m ) +ψ ( x ) −ψ ( 2m ) ≤ ψ ( 2m ) +ψ ( 2m +1 ) −ψ ( 2m ) = ln 2m +1 ln 2m ln 2m ln 2m +1 (do + ln ln p p ∑ ∑ ln p = ln p ) (3.2.5) p ≤ 2m ln p 2m < p ≤ 2m+1 ln p Với số nguyên dương n v nguyên tố p thoả n < p ≤ 2n , ta có p ước ( 2n ) !( n ) ! = n !C2nn mà p không ước n! nên p ước C2nn Do ∏ n< p≤2 n p ≤ C2nn < (1 + 1) = 22 n ⇒ ln 2n ∏ p < ln 22 n n< p≤2 n ⇒ ∑ ln p < 2n ln n< p≤2 n Vì m k m +1 ln p < ∑ ln < ln ∑ ∑ m k − k = k 1= p≤2 < p≤2 k1 m ln p ∑= ∑ ln p < 2m +1 ln 2 < p≤2 m m+1 Mặt khác, ta thấy ln x ln p > ⇔ ln x ≥ ⇔ x ≥ p2 ⇔ x ≥ p ln p ln x π ( x ) ln x ∑ ln p ln p ≤ ∑ ln p ln p = p≤ x ln x p≤ x Do 2m < x ≤ 2m +1 theo (3.2.5) ta có ψ ( x) ≤ ln 2m ln 2m +1 + ln p ∑ ∑ ln p p ≤ 2m ln p 2m < p ≤ 2m+1 ln p ln 2m =∑ ln p + ln p p ≤ 2m ln 2m ∑ m ln p ln p + m ∑ m+1 ln p (do m < p≤2 < p≤2 ln 2m +1 m m +1 ln p = với < p ≤ ) ≤ ln x ∑ ln p ln p + ∑ ln p + ∑ p≤ x ln p 2m < p ≤ 2m+1 p ≤ 2m ( x ) ln x + ln + ln = π ( x ) ln x + ln < π ( x ) ln x + x ln ≤ x ln x + x ln ≤π m +1 m+1 m+2 ln x = + ln x x ln x = nên ta x →∞ x Vì lim ψ ( x) = O ( x) 3.3 Định lí Tauberian Định lí 3.3.1 (Định lí Tauberian) Cho F hàm bị chặn trơn khúc [ 0; +∞ ) Khi biến đổi Laplace G ( z) = +∞ ∫ F ( t )e − zt dt tồn chỉnh hình miền Rez > Nếu G có thc triển chỉnh hình tới lân cận Rez = +∞ ∫ F ( t )dt tồn G(0) Chứng minh Chứng minh G tồn chỉnh hình Rez > k Theo định lí 1.3.12, ta có g k ( z ) = ∫ F ( t ) e − zt dt chỉnh hình với k ∈ * Mặt khác với z ∈ { z : Re z > 0} , ta có k k +∞ 0 − zt − zt ∫ F (t )e dt ≤ ∫ F (t ) e dt ≤ M ∫e − Re zt M dt = (3.3.1) Re z ( M thoả F ( t ) ≤ M , với t ∈ [ 0; +∞ ) ) k Theo (3.3.1), dãy hk ( z ) = M ∫ e − Re zt dt hội tụ đến M Re z k k Suy f k ( z ) = ∫ F ( t ) e dt hội tụ điểm Rez > Từ đó, ta g k ( k ) = ∫ F (t )e − zt dt hội tụ điểm − zt 0 Rez > Cũng theo (3.3.1), gk bị chặn tập compact Rez > Do theo định lí 1.3.15 ( R R định lí Vitali), { g k } hội tụ tập compact Rez > đến hàm G G chỉnh hình Rez > Vậy G ( z ) = +∞ ∫ F (t ) e − zt dt tồn chỉnh hình Rez > 0 Tiếp theo ta chứng minh +∞ ∫ F ( t )dt tồn +∞ ∫ F ( t )dt = G ( ) 0 Vì F bị chặn [ 0; +∞ ) nên không tính tổng qt ta giả sử F ( t ) ≤ 1, với t ∈ [ 0; +∞ ) Với λ > ta định nghĩa λ Gλ ( z ) = ∫ F ( t )e − zt dt Theo định lí 1.3.12, Gλ chỉnh hình Điều phải chứng minh tương đương với lim Gλ ( ) = G ( ) λ →+∞ nghĩa +∞ ∫ F ( t )dt tồn hội tụ đến G(0) Bây ta đánh giá Gλ ( ) − G ( ) Do G chỉnh hình tập mở chứa Rez ≥ nên với R > 0, tồn δ ( R ) > đủ nhỏ cho G chỉnh hình đường cong đóng γ R γ R giới hạn {z : = z Reiθ , −ϕ − π ≤θ ≤ϕ + π v { z : Re z = δ ( R )} với ϕ = arcsin Hình δ ( R) R Kí hiệu γ R+ phần đường cong γ R nằm Rez > γ R− phần đường cong γ R nằm Rez < Theo cơng thức tích phân Cauchy ta có G ( z ) − Gλ ( z ) G (0) − Gλ (0) = dz ∫ 2π i γ R z = Đặt G′( z ) G= ( z ) eλ z , Gλ′ ( z ) Gλ ( z ) eλ z Ta có G (0) − Gλ (0) = G′ (0) − Gλ′ (0) = = G ( z ) − Gλ ( z ) λ z e dz 2π i γ∫R z G ( z ) − Gλ ( z ) λ z z e dz + (G ( z ) − Gλ ( z ) ) eλ z dz ∫ ∫ 2π i γ R z 2π i γ R R = = ( ∫ ( G ( z ) − Gλ ( z ) ) e γ R λz G′( z ) − Gλ′ ( z ) dz 2π i γ∫R z 1 z (G ( z ) − Gλ ( z ))eλ z + dz ∫ 2π i γ R z R (3.3.2) z dz = 0) R2 Ch ý z = R z z z Re z + = 2+ = Vì với z ∈ γ R+ ta có z R R R z ( G( z ) − Gλ ( z ) ) eλ z 1 z λ Re z Re z + ≤ G ( z ) − Gλ ( z ) e R2 z R +∞ = ∫λ F ( t ) e − zt dt eλ Re z Re z R2 +∞ Re z ≤ ∫ F (t ) e − Re zt dt eλ Re z R2 λ +∞ − Re zt λ Re z Re z dt e ≤ ∫ e R2 λ = − λ Re z λ Re z Re z e e 2 = Re z R R2 Từ suy 1 z ( G ( z ) − Gλ ( z ) ) eλ z + dz ∫ 2π i γ + z R R ≤ ≤ 2π ∫ ( G( z ) − Gλ ( z ) ) e γ R+ 2π R 1 z + dz z R πR = R R ∫ dz =2π γ R+ λz (áp dụng định lí 1.3.4) (3.3.3) Bây ta đánh giá tích phân (3.3.2) γ R− Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có 1 z ( G ( z ) − Gλ ( z ) ) eλ z + dz ∫ 2π i γ − z R R ≤ 1 1 z 1 z G ( z )eλ z + dz + Gλ ( z )eλ z + dz ∫ ∫ 2π i γ − 2π i γ − z R z R R R = I1 ( R ) + I ( R ) với I1 ( R ) = 1 1 z 1 z Gλ ( z )eλ z + dz G ( z )eλ z += dz , I ( R ) ∫ ∫ 2π i γ − 2π i γ − z R z R R R Trước tiên ta xét I2 (R) Do Gλ ( z ) chỉnh hình nên ta thay R R đường cong lấy tích phân nửa đường trịn từ –iR đến iR nằm nửa mặt phẳng trái Với z thuộc nửa đường tròn này, z ≠ ±iR ta có λ λt Re z 1 z − zt Gλ ( z ) eλ z + = ∫ F ( t ) e dt e R2 z R 0 λ − Re zt λ Re z Re z ≤ ∫e dt e R2 0 Re z = − e − λ Re z − 1) eλ Re z ( Re z R2 Re z 1 − eλ Re z ) ( Re z R2 = ≤ R2 (do eλ Re z < ) Ta thấy bất đẳng thức với Rez = (cho z → iy ) Do lại áp dụng định lí 1.3.4, ta có I2 ( R ) ≤ πR = 2π R R (3.3.4) Cuối ta đánh giá I1 ( R ) Trước hết ta có nhận xét sau: Nếu z ∈ γ R Re z Re z Re z z + 2= = + z R R2 R2 R ≤ Như với z ∈ γ R− , ta ln có 1 + (do chọn δ ( R) < R Re z ≤ R ) δ ( R) R z 1 + ≤ + z R δ ( R) R Tiếp theo, G chỉnh hình γ R− nên tồn M(R) > cho G ( z ) ≤ M ( R ) , với z ∈ γ R− Chọn δ1 cho < δ1 < δ ta tách tích phân I1 (R) thành tổng hai tích phân sau R 2π i I1 ( R) = ∫ z∈γ R− Re z ta có 1 ε 1 z G ( z ) − Gλ ( z ) ) eλ z + dz ≤ =; ( ∫ 2π i γ + R z R R 1 ε 1 z Gλ ( z ) eλ z + dz ≤ = ∫ 2π i γ − R z R R Bây ta chọn δ1 cho < δ1 < δ ( R ) thoả mãn δ ε 1 M ( R ) + R arcsin < 2π R δ ( R) R Khi 1 1 ε RM ( R ) + e − λδ1 < với λ đủ lớn (λ ≥ λ0 ) δ ( R) R Vì G ( ) − Gλ (0) < ε với λ ≥ λ0 Định lí 3.3.2 Cho f hàm trơn khúc, không âm, không giảm [1; +∞ ) cho f(x) = O(x) Khi biến đổi Mellin +∞ g ( z ) = z ∫ f ( x ) x − z −1dx tồn chỉnh hình miền Rez > Nếu với số c ∈ g ( z ) − c có thc triển chỉnh hình tới z −1 lân cận Rez = lim x →+∞ f ( x) = c x Chứng minh Ta định nghĩa hàm F [ 0; +∞ ) sau = F (t ) e − t f ( et ) − c Do f trơn khúc [1; +∞ ) nên F trơn khúc [ 0; +∞ ) Do f không giảm f ( et ) = O ( et ) nên eP t f(et) bị chặn [ 0; +∞ ) Suy F bị chặn [ 0; +∞ ) P P P Ta thấy hàm F thoả mãn giả thiết định lí Tauberian nên biến đổi Laplace = G ( z) +∞ ∫ (e f (e ) − c) e −t t − zt dt tồn chỉnh hình Rez > Đặt x = et , ta +∞ dx 1 G ( z ) ∫ f ( x= = ) − c x − z x x +∞ ∫ f ( x )x − z −2 +∞ dx − c ∫ x − z −1dx +∞ c g ( z + 1) c − z −2 − = ( z + 1) ∫ f ( x ) x dx= − z +1 z z +1 z = c g ( z + 1) − − c z +1 z Do G tồn chỉnh hình Rez > nên g tồn chỉnh hình Rez > Mặt khác g ( z ) − c c thc triển chỉnh hình đến lân cận Rez = nên g ( z + 1) − thc z z −1 triển chỉnh hình tới lân cận Rez = Do G thc triển chỉnh hình tới lân cận Rez = Cũng theo định lí Tauberian +∞ ∫ F ( t ) dt +∞ ∫ ( e f ( e ) − c )dt tồn hội tụ đến G(0) hay +∞ tồn Đổi biến f ( x) dx tồn −c x x ∫ Sử dụng giả thiết f không giảm, ta chứng minh x0 > cho t 0 x = et ta suy −t f ( x) → c x → +∞ Thật lấy ε > , giả sử có x f ( x0 ) − c ≥ 2ε x0 Ta cĩ f ( x ) ≥ f ( x0 ) ≥ x0 ( c + 2ε ) ≥ x ( c + ε ) với x0 ≤ x ≤ x0 c + 2ε c +ε Suy f ( x) f ( x) 1 ε −c ≥ε ⇒ −c ≥ x x x x ⇒ c + 2ε x0 c +ε ∫ x0 f ( x) dx ∫1 x − c x hội tụ nn Từ với x đủ lớn, R R R R c + 2ε x0 c +ε ∫ x0 c + 2ε x0 c +ε ∫ x0 ε c + 2ε ε ln dx = x c +ε f ( x) dx − c → x , x → +∞ x x x1 +∞ Do f ( x ) dx −c ≥ x x x2 ∫ R R R R f ( x ) dx c + 2ε − c < ε ln c +ε x x (mâu thuẫn) Vì với x đủ lớn ta có R f ( x0 ) − c < 2ε x0 Tương tự, ta giả sử có x > cho R R R R R (3.3.5) f ( x0 ) − c ≤ −2ε Khi x0 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ x0 ( c − 2ε ) ≤ x ( c − ε ) với c − 2ε x0 ≤ x ≤ x0 c −ε Suy f ( x) f ( x) 1 ε − c ≤ −ε ⇒ −c ≤ − x x x x f ( x) dx ε c −ε ⇒ ∫ − c ≤ ∫ − dx = −ε ln x x c − 2ε x c − 2ε c − 2ε x0 x0 x0 x c −ε c −ε Nhưng với x đủ lớn ta có R R x0 ∫ε c−2 c −ε f ( x) dx c −ε − c > −ε ln c − 2ε x x x0 (mâu thuẫn) Vậy với x đủ lớn ta có R R f ( x0 ) − c > −2ε x0 (3.3.6) Từ (3.3.5) (3.3.6) ta suy f ( x) − c < 2ε x với x đủ lớn Hay lim x →+∞ f ( x) =c x 3.4 Chứng minh định lí số nguyên tố Ta nhớ lại hàm ψ định nghĩa 2.5.1 ln x ln p p ≤ x ln p ψ ( x) = ∑ Rõ ràng ψ hàm không âm, trơn khúc, không giảm [1; +∞ ) Hơn theo định lí 3.2.2, ta cĩ ψ ( x) = O ( x ) Do theo định lí 3.3.2, thay f = ψ ta có biến đổi Mellin +∞ g ( z ) = z ∫ ψ ( x ) x − z −1dx tồn chỉnh hình miền Rez > Mặt khác, theo định lí 2.5.1, ta có g ( z) = − ς ′( z) ς ( z) ς ′ Nhưng ς ( z ) ≠ Rez = (theo định lí 2.3.2) r e s ,1 = −1 (theo định lí 2.2.6) nên tồn r > để ς ς ′( z ) có khai triển Laurent sau ς ( z) ς ′ ( z ) −1 ∞ = + ∑ cn ( z − 1) n với < z − < r ς ( z ) z − n =0 Từ suy ς ′( z) + = ς ( z ) z −1 ∞ ∑ c ( z − 1) n =0 n n với < z − < r Do ς ′( z) ς ′( z) 1 thc triển chỉnh hình tới z =1 nên thc triển chỉnh hình tới + + ς ( z ) z −1 ς ( z ) z −1 lân cận Rez =1 Vì g ( z ) − có thc triển chỉnh hình đến lân cận Rez =1 Nên z −1 theo định lí 3.3.2, ta có lim x →+∞ ψ ( x) x = Vì theo định lí 3.2.1, ta cĩ lim x −1π ( x ) ln x = x →+∞ Định lí số nguyên tố chứng minh KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày tính chất hàm zeta chứng minh định lí số nguyên tố dựa theo cách tiếp cận D.J.Newman Trong trình thực luận văn, tơi nhận thấy hiểu kiến thức học cách sâu sắc hơn, đặc biệt mơn giải tích phức Tơi hy vọng tìm hiểu sâu đề tài môn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2009), Số học hình học, NXB Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh M.Andersson(1997), Topics in Complex Analysis, Springer-Verlag New York R.B.Ash, W.P.Novinger(1971), Complex Variables, ebook.moet.gov.vn Theodore W.Gamelin(2001), Complex Analysis, Springer- Verlag New York R.Nevanlinna, V.Paatero(1969), Introduction to Complex Analysis, Addison – Wesley Publishing Company ... CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ SỐ NGUYÊN TỐ 3.1.Giới thiệu định lí số nguyên tố Định lí số nguyên tố phát biểu sau Định lí số nguyên tố Nếu π ( x ) số số nguyên tố nhỏ x lim x −1π ( x ) ln x = x →+∞ Đây định lí... chất hàm zeta chứng minh định lí số nguyên tố Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hàm zeta Riemann định lí số nguyên tố Phạm vi nghiên cứu gồm thác triển hàm zeta, không điểm hàm zeta, ... (n) ∑1 dn Hàm Euler ϕ hàm số học xác định sau ϕ (1) = ϕ ( a ) số số tự nhiên nhỏ a, nguyên tố với a a > Hàm Mobius µ hàm số học xác định µ (1) = 1, µ ( n ) = ( −1) n tích r số nguyên tố phân r