Độ đo radon và định lý biểu diễn riesz

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHUYÊN NGÀNH TOÁN ĐỀ TÀI: GVHD : Ths PHẠM THỊ THU HƯỜNG SVTH : NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO CHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCH An Giang, tháng 05 năm 2008 LỜI CẢM ƠN Quyển luận văn hoàn thành nhờ ủng hộ, động viên mặt tinh thần gia đình bạn bè, giúp đỡ nhiệt tình quý thầy mơn Tốn khoa Sư Phạm trường Các thầy dẫn cho tơi hình thức trình bày luận văn cho đẹp, cho lời khuyên cảm thấy khó khăn Đặc biệt Phạm Thị Thu Hường tận tình bảo, giải đáp điều mà thắc mắc cho ý kiến quý báo từ nội dung đến hình thức trình bày luận văn Xin chân thành cảm ơn Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cho suốt thời gian học tập trường Nguyễn Thị Anh Đào  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào LỜI NÓI ĐẦU Độ đo tích phân Lebesgue nội dung quan trọng giải tích Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có tập gán số không âm gọi độ dài, chẳng hạn độ dài đoạn thẳng Nhưng có tập mà trực quan ta khơng biết độ dài xác định nào, chẳng hạn tập số hữu tỉ đoạn [0, 1] Người ta xây dựng lý thuyết độ đo để đo tập Về tích phân Riemann, tích phân có số hạn chế Với tích phân này, nhiều vấn đề giải tích khơng giải cách thỏa đáng, chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dấu tích phân Tuy nhiên vấn đề kể trình bày rõ số giáo trình nên khn khổ khố luận tơi khơng trình bày lại Bạn đọc quan tâm tham khảo “ Hàm Thực & Giải Tích Hàm ” Hồng Tụy Trong khóa luận tơi trình bày độ đo mà với độ đo độ đo tập Borel xấp xỉ độ đo tập compact, độ đo Radon Đối với độ đo Radon ta có tính chất thú vị, thể định lý Lusin, ý nghĩa định lý ta xấp xỉ hàm đo hàm liên tục, điều quan trọng việc tính tích phân hàm đo Tơi trình bày mối quan hệ độ đo Radon khơng gian mêtric có dãy vét cạn compact với phiếm hàm tuyến tính dương khơng gian hàm số thực liên tục có giá compact Một độ đo Radon sinh phiếm hàm tuyến tính dương khơng gian hàm số thực liên tục có giá compact, điều ngược lại có không ? Điều khẳng định định lý biểu diễn Riesz Nội dung khoá luận gồm có chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức độ đo tích phân Lebesgue gồm số định nghĩa định lý làm sở cho chương sau Do GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào khơng phải nội dung nên số kết không chứng minh Chương 2: ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Đây nội dung ln văn Chương nói định nghĩa độ đo Radon, số tính chất trình bày chứng minh chi tiết định lý biểu diễn Riesz Chương 3: MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Đây chương cuối, trình bày áp dụng định lý biểu diễn Riesz Do nhiều nguyên nhân, nguyên nhân lần làm nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian, trình độ nên thiếu sót chắn khơng thể tránh khỏi Rất mong nhận ý kiến đóng góp từ quý thầy cô bạn An Giang, tháng 05 năm 2008 Sinh viên thực Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ĐỘ ĐO 1.1 Đại số tập hợp 1.2 σ - Đại số tập hợp 1.3 Hàm tập hợp cộng tính 1.4 Độ đo có dấu 1.5 Độ đo dương 1.6 Không gian độ đo 1.7 Độ đo TÍCH PHÂN LEBESGUE 12 2.1 Hàm số đo 12 2.2 Tích phân Lebesgue 15 Chương ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 24 ĐỘ ĐO RADON 24 1.1 Định nghĩa 24 1.2 Một số tính chất độ đo Radon 25 ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 32 2.1 Định lý biểu diễn Riesz 33 2.2 Bổ đề 35 Chương MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 41 Định nghĩa 41 Định lý 41 Định lý 42 KẾT LUẬN 44 PHỤ LỤC 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào CÁC KÝ HIỆU ∆ (0, r ) CC ( X ) CC ( D ) CC∞ ( D ) : hình trịn mở tâm O bán kính r : khơng gian hàm liên tục có giá compact X : khơng gian hàm liên tục có giá compact miền D : không gian hàm khả vi vơ hạn lần, có giá compact miền D C2 ( D) : lớp hàm có đạo hàm đến cấp liên tục miền D C∞ : lớp hàm khả vi vô hạn lần : hàm đặc trưng A dA ∆u B(X) : độ đo Lebesgue hai chiều : toán tử Laplace hàm u : σ - đại số Borel : lớp tập compact supp φ : giá hàm φ , suppφ = { x ∈ X : φ ( x ) ≠ 0} χ A ( x) K GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ĐỘ ĐO 1.1 Đại số tập hợp 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp tùy ý khác rỗng, lớp C tập X thỏa mãn điều kiện sau gọi đại số tập hợp : a) X ∈ C b) A ∈ C ⇒ AC = X\A ∈ C c) A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C 1.1.2 Bổ đề C đại số tập hợp C thỏa mãn điều kiện a), b) c’) với c’) A, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C 1.2 σ - Đại số tập hợp 1.2.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Một họ F tập X gọi σ đại số tập hợp thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ F b) A ∈ F ⇒ AC = X \ A ∈ F ∞ c) An∈ F , n = 1, 2,… ⇒ U An ∈ F n =1 Ta thấy F σ - đại số tập hợp F đại số tập hợp Tương tự đại số tập hợp ta có bổ đề sau: 1.2.2 Bổ đề F σ - đại số tập X F thỏa mãn điều kiện ∞ a), b) c’) với c’) An∈ F , n = 1, 2,… ⇒ I An ∈ F n =1 GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào 1.3 Hàm tập hợp cộng tính 1.3.1 Hàm tập hợp Định nghĩa Ta gọi hàm tập hợp ( gọi tắt hàm tập) ánh xạ xác định họ tập hợp nhận giá trị không gian số thực phức không gian số thực mở rộng = ∪ {−∞; +∞} Riêng trường hợp cuối ta quy ước tập giá trị ánh xạ chứa nhiều hai giá trị −∞ +∞ 1.3.2 Hàm tập hợp cộng tính Định nghĩa Hàm tập µ xác định họ tập M chứa tập rỗng gọi cộng tính thỏa mãn : a) µ ( ∅ ) = b) A, B ∈ M, A ∩ B = ∅ ⇒ µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B) 1.3.3 Hàm tập hợp σ - cộng tính Định nghĩa Hàm tập µ xác định họ tập M chứa tập rỗng gọi σ - cộng tính thỏa mãn : a) µ ( ∅ ) = b) Ai ∈ M (i=1,2….), Ai ∩ Aj = ∅ , ∞ ⎛∞ ⎞ ∞ A ∈ M ⇒ µ U i ⎜ U Ai ⎟ = ∑ µ ( Ai ) i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 1.4 Độ đo có dấu 1.4.1 Biến phân tồn phần hàm tập hợp Định nghĩa Cho µ hàm tập xác định đại số C tập X, E ∈ C Ta gọi biến phân tồn phần µ E số v ( µ , E ) , định n nghĩa nhờ cơng thức: v ( µ , E ) = sup ∑ µ ( Ei ) i =1 Ở cận lấy theo tất họ hữu hạn { Ei , i = 1, 2, , n} ⊆ C rời đôi một, Ei ⊆ E 1.4.2 Biến phân trên, biến phân Định nghĩa Giả sử µ hàm tập cộng tính với giá trị thực Ta gọi biến phân µ + biến phân µ − hàm tập xác định đẳng thức sau: GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào (v ( µ, E ) + µ ( E )) µ − ( E ) = (v ( µ, E ) − µ ( E )) µ+ (E) = 1.4.3 Định lý phân tích Jordan Nếu µ hàm tập hợp cộng tính ( tương ứng σ - cộng tính) bị chặn xác định đại số C với E ∈ C: µ + ( E ) = sup {µ ( F ) : F ⊆ E , F ∈ C } µ − ( E ) = −inf {µ ( F ) : F ⊆ E , F ∈ C } Các hàm µ , µ cộng tính ( tương ứng σ - cộng tính) khơng âm µ ( E ) = µ + ( E ) − µ − ( E ) , v ( µ, E ) = µ + ( E ) + µ − ( E ), E ∈ C + − Chứng minh Chỉ cần xét trường hợp cộng tính, trường hợp σ - cộng tính tương tự Nếu F ⊆ E , E , F ∈ C thì: µ ( F ) = µ ( F ) + µ ( E ) − µ ( E \ F ) ≤ µ (E) + µ (F ) + µ (E \ F ) ≤ µ ( E ) + v ( µ , E ) = 2µ + ( E ) Do đó: sup µ ( F ) ≤ µ + ( E ) F ⊆E Mặt khác với ε > tìm họ hữu hạn tập rời đôi { Ei : i ∈ I } ⊆ C cho: UE i i∈I = E v ( µ , E ) − ε < ∑ µ ( Ei ) Suy ra: µ i∈I + ( E ) − ε = v ( µ, E ) + µ ( E ) − ε ≤ ∑ µ ( Ei ) + µ ( E ) i∈I ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ = ∑ µ ( Ei ) − ∑ µ ( Ei ) + ⎢ µ ⎜ U Ei ⎟ + µ ⎜ U Ei ⎟ ⎥ i∈I + i∈I − ⎝ i∈I − ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ i∈I + ⎠ ⎛ ⎞ = µ ⎜ U Ei ⎟ ≤ 2sup µ ( F ) F ⊆E ⎝ i∈I + ⎠ Vì ε nhỏ tuỳ ý, ta có: µ + ( E ) ≤ sup µ ( F ) Vậy µ + ( E ) = sup µ ( F ) F ⊆E F ⊆E Từ hai đẳng thức định nghĩa hàm µ + µ − ta có µ − = ( − µ ) + µ − ( E ) = − inf µ ( F ) F ⊆E Cuối từ hai đẳng thức định nghĩa hàm µ + µ − ta có GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào µ ( E ) = µ + ( E ) − µ − ( E ) , v ( µ , E ) = µ + ( E ) + µ − ( E ) , E ∈ C 1.4.4 Độ đo có dấu Định nghĩa Cho C đại số tập X Hàm tập µ xác định C gọi độ đo có dấu σ - cộng tính 1.5 Độ đo dương 1.5.1 Độ đo dương Định nghĩa Độ đo µ gọi độ đo dương µ (A) ≥ với A ∈ C Trên sở định lý phân tích Jordan cách biểu diễn độ đo giá trị phức µ dạng µ = Re µ + i Im µ viêc nghiên cứu độ đo với giá trị thực phức đưa việc nghiên cứu độ đo dương Vì từ trở sau nói đến độ đo ta xét độ đo dương 1.5.2 Độ đo hữu hạn Định nghĩa Độ đo µ gọi độ đo hữu hạn µ ( X ) < +∞ 1.5.3 Độ đo σ - hữu hạn Định nghĩa Độ đo µ gọi độ đo σ − hữu hạn X biễu diễn ∞ dạng: X = U An với An ∈ C, µ ( An ) < +∞ n =1 1.5.4 Các tính chất độ đo dương Giả sử µ độ đo dương đại số C Khi đó: 1) A, B ∈ C, B ⊆ A ⇒ µ (B) ≤ µ (A) 2) A, B ∈ C, B ⊆ A , µ (B) < + ∞ ⇒ µ (A\B)= µ (A) - µ (B) ∞ 3) Ai∈ C ( i=1, 2,…, n), A∈ C, A ⊆ U Ai ⇒ µ ( A ) ≤ i =1 4) A i∈ C (i=1, 2,…, n), Ai ∩ A j= ∅ ∀ i ≠ j, A∈ C, ⇒ ∑ µ(A ) i i =1 ∞ UA i ⊆A i =1 ∞ ∑ µ(A ) i =1 ∞ i ≤ µ (A) Chứng minh 1) Vì B ⊆ A nên A = ( A \ B ) ∪ B µ ( A ) = µ ( A \ B ) + µ ( B ) ≥ µ ( B ) 2) Nếu µ ( B ) < ∞ từ µ ( A ) = µ ( A \ B ) + µ ( B ) suy ra: µ ( A) − µ ( B ) = µ ( A \ B ) GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào ⇒ µ độ đo τ - trơn 1.2.9 Định lý Lusin Giả sử µ độ đo xác suất Radon khơng gian tơpơ hồn tồn quy X f : X → hàm số đo ( theo Borel ) Khi đó, ∀ε > , ∃Kε ∈ K cho µ ( X \ Kε ) < ε f |Kε liên tục Chứng minh Giả sử { f n } dãy hàm bậc thang đo X hội tụ tới f Theo định lý Egorov, ∀ε > , ∃Aε ∈ B(X) cho µ ( X \ Aε ) < ε f n hội tụ tới f Aε Ta có f n hàm bậc thang đo Aε nên biểu diễn f n dạng kn kn j =1 j =1 f n = ∑ xnj χ Anj , Aε = U Anj , {A } ⊆ nj B(X) Bây có K nj ∈ K cho K nj ⊆ Anj µ ( Anj \ K nj ) < ε n kn ( µ độ kn đo Radon ) Đặt K n = U K nj , X hồn tồn quy, f n số j =1 ∞ K nj K nj đóng, rời nên f n |Kn liên tục Đặt Kε = I K n , n =1 Kε ∈ K và: µ ( X \ Kε ) = µ ( X \ Aε ) + µ ( Aε \ Kε ) ∞ ≤ µ ( X \ Aε ) + ∑ µ ( Aε \ K n ) n =1 < ε ∞ + ∑ kn n =1 ε n kn Cuối cùng, K ε ⊆ K n nên f |Kε =ε liên tục ( giới hạn dãy hàm liên tục f n |Kε ) ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Cho không gian mêtric X Ta ký hiệu hàm liên tục φ : X→ có giá compact Cc(X) Khi Cc(X) khơng gian vectơ GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang 32  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào Cho µ độ đo Radon X Xét hàm số sau: Λ : CC ( X ) → φ a Λ (φ ) = ∫ φ d µ X Khi Λ phiếm hàm tuyến tính Thật vậy: tính chất tuyến tính tích phân ta có: ƒ Λ (φ1 + φ2 ) = ∫ (φ1 + φ2 ) d µ = ∫ φ1d µ + ∫ φ2 d µ , ∀φ1 , φ2 ∈ CC ( X ) X X X ƒ Λ (αφ ) = ∫ αφ d µ = α ∫ φ d µ = αΛ (φ ) , ∀α ∈ , φ ∈ CC ( X ) X X Phiếm hàm tuyến tính xác định dương theo nghĩa Λ (φ ) ≥ với φ ≥0 Như độ đo Radon µ X sinh phiếm hàm tuyến tính Cc(X) Vậy với Λ phiếm hàm tuyến tính xác định dương Cc(X), liệu có tồn hay khơng độ đo Radon µ X thoả mãn: Λ (φ ) = ∫ φ d µ ? X Định lý sau trả lời cho điều này: 2.1 Định lý biểu diễn Riesz Giả sử X không gian mêtric có vét cạn compact Nếu Λ phiếm hàm tuyến tính dương Cc(X) tồn độ đo Radon µ X cho: Λ (φ ) = ∫ φ d µ ( φ ∈ Cc(X)) X (Ta nói X có vét cạn Compact nghĩa tồn dãy tập Compact ( K n )n≥1 cho: K n ⊆ int K n+1 với n U K n = X ) n Chứng minh Việc chứng minh định lý chia thành hai phần: Sự tồn tính ¾ Trước hết ta chứng minh tính nhất: Giả sử µ1 µ2 hai độ đo Radon X thoả mãn Λ (φ ) = ∫ φ d µ1 = ∫ φ d µ ( ∀φ ∈ CC ( X ) ) X X Ta chứng minh µ1 = µ2 Thật ta có: ∫ φ d µ1 = ∫ φ d µ2 , ∀φ ∈ Cc ( X ) X X Lấy K tập compact X, ta xét hàm φn có dạng: φn ( x ) = max {0,1- n.dist ( x, K )} , x ∈ X Ta thấy: φn ( x ) ∈ Cc ( X ) , ∀n =1, 2, … GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang 33  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào Thật vậy, ta cần chứng minh φn (x) hàm liên tục supp φn tập compact X Chứng minh φn ( x ) hàm liên tục: ƒ Nếu x ∈ K \ ∂K φn ( x ) = , ∀x ∈ K φn (x) hàm liên tục φn ( x ) = − ndist ( x, K ) n Khi đó:Với x0 ∈ X \ K , dist ( x0 , K ) < n ε ⎫ ⎧ ∀ε > 0, ∃δ = ⎨dist ( x0 , K ) , ⎬ > cho ∀x ∈ X \ K , dist ( x, K ) < n + 1⎭ n ⎩ thỏa dist ( x, x0 ) < δ ta có: ƒ Nếu x ∈ X \ K dist ( x, K ) < φn ( x ) − φn ( x0 ) = − ndist ( x, K ) − + ndist ( x0 , K ) = n dist ( x0 , K ) − dist ( x, K ) ≤ n dist ( x0 , K ) − ( dist ( x0 , K ) − δ ) ≤ nδ ≤ n ε n +1 n φn ( x ) = Đó hàm liên tục n ƒ Tại x ∈ ∂K : Với x0 ∈ ∂K , ∀ε > 0, ∃δ = thỏa: dist ( x, x0 ) < δ ta có: ε n +1 φn ( x ) − φn ( x0 ) = − ndist ( x, K ) − ≤ nδ ≤ n Vậy φn ( x ) liên tục điểm x ∈ ∂K > cho ∀x ∈ X ε n +1 0, n n ε ⎫ ⎧ ∃δ = ⎨dist ( x0 , K ) , ⎬ > cho ∀x ∈ X thỏa dist ( x, x0 ) < δ ta có: n + 1⎭ ⎩ φn ( x ) − φn ( x0 ) = max {0, − ndist ( x, K )} ≤ − ndist ( x, K ) ƒ Tại x ∈ X , dist ( x, K ) = ≤ − n ( dist ( x0 , K ) − δ ) = nδ ≤ n ε n +1 tuỳ ý, với n ta chọn tập mở Un cho En ⊆ U n µ* (Un) < µ* (En) + ε 2n (3) ∞ Đặt U = UU n Cho φ ∈ CC ( X ) với φ p U Khi tập (U n )n≥1 lập n =1 nên phủ mở suppφ Do suppφ tập compact nên tồn phủ hữu hạn U1,….,UN Theo bổ đề 2.2 ta tìm ψ , ,ψ N ∈ CC ( X ) cho ψ n p U n với n N suppφ p ∑ψ n n =1 N Khi ta có: φ = ∑ φ ψ n φ ψ n p U n với n n =1 Do đó: ⎛ N ⎞ N Λ (φ ) = Λ ⎜ ∑ φψ n ⎟ = ∑ Λ (φψ n ) (Do Λ phiếm hàm tuyến tính) ⎝ n=1 ⎠ n=1 N ≤ ∑ µ * (U n ) (do định nghĩa (1)) n =1 ∞ ≤ ∑ µ * (U n ) n =1 Vì điều với φ thỏa mãn φ p U , nên ta có: ∞ sup {Λ (φ ) , φ p U } ≤ ∑ µ * (U n ) n =1 ∞ ⇒ µ * (U ) ≤ ∑ µ * (U n ) n =1 ⎛ ∞ ⎞ Do đó: µ * ⎜⎜ U En ⎟⎟ ≤ µ * (U ) ( ⎝ n=1 ⎠ ∞ UE n ⊆U ) n =1 ∞ ≤ ∑ µ * (U n ) n =1 ∞ ≤ ∑ µ * ( En ) + ε (do (3)) n =1 Cho ε → ta được: ∞ ⎞ ∞ * *⎛ µ ⎜ U En ⎟ ≤ ∑ µ ( En ) , với En ⊆ X , n ≥ ⎝ n=1 ⎠ n=1 GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang 37  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào Vậy µ* độ đo ngồi ¾ Tiếp theo ta chứng tỏ tập mở µ* - đo Tức phải chứng minh U mở X E tập tuỳ ý X thì: µ* ( E ) ≥ µ* ( E ∩U ) + µ* ( E \ U ) Để chứng minh điều ta giả sử V tập mở chứa E giả sử: φ p (V ∩ U ) , ψ p (V \ suppφ ) Ta thấy suppφ ⊆ V ∩ U , suppφ ⊆ V \ suppφ supp (φ + ψ ) ⊆ V ∩ U ∪ V \ suppφ ⊆ V Suy φ +ψ p V Do đó: µ * (V ) ≥ Λ (φ + ψ ) = Λ (φ ) + Λ (ψ ) (do định nghĩa (1) Λ phiếm hàm tuyến tính) Và điều với ψ mà ψ p (V \suppφ ) , nên ta được: µ * (V ) ≥ Λ (φ ) + µ * (V \ suppφ ) ≥ Λ (φ ) + µ * (V \ U ) Nhưng điều lại với φ mà φ p (V ∩ U ) nên suy ra: µ * ( V ) ≥ µ * ( V ∩ U ) + µ * (V \ U ) ≥ µ* ( E ∩U ) + µ* ( E \ U ) Cuối điều với tập mở V chứa E nên ta có: inf{µ * (V ) , V mở, V ⊇ E} ≥ µ * ( E ∩ U ) + µ * ( E \ U ) ⇒ µ* ( E ) ≥ µ* ( E ∩U ) + µ* ( E \ U ) Vậy ta có điều phải chứng minh Ta áp dụng định lý Caratheodory Gọi L tập hợp tập µ*- đo L σ- đại số Nhưng ta tập mở µ*- đo nên tập Borel µ*- đo hạn chế µ* σ - đại số Borel độ đo Borel v ký hiu l ắ Ta chng t độ đo Radon Thật vậy, K tập compact X ta chứng minh được: µ ( K ) ≤ inf {Λ (φ ) : K p φ } (là điều ta cần chứng minh) Để chứng minh điều ta lấy φ ∈ CC ( X ) với K p φ Cho α ∈ ( 0,1) Nếu ta đặt U = { x ∈ X : φ ( x ) > α } U tập mở ( U = φ −1 (α , +∞ ) , φ liên tục nên nghịch ảnh tập mở tập mở), K ⊆ U ψ ≤ ψφ với ψ p U α Do đó: GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang 38  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào µ ( K ) ≤ µ (U ) ≤ sup {Λ (ψ ) :ψ p U } ≤ sup {Λ (ψφ /α ) :ψ p U } ≤ Λ (φ ) α Cho: α → ⇒ µ ( K ) ≤ Λ (φ ) ⇒ µ ( K ) ≤ inf {Λ (φ ) : K p φ } Từ điều ta thấy: ƒ µ ( K ) < +∞, ∀K compact, K ⊆ X ƒ Hơn nữa: với V tập mở, V ⊆ X ta có: µ (V ) = sup {Λ (φ ) , φ p V } φ ∈ Cc ( X ) ,0 ≤ φ ≤ 1¸ suppφ ⊆ V (phía sau ta chứng minh Λ (φ ) = ∫ φ d µ = X ∫ φd µ suppφ suppφ tập compact X ) Nên µ (V ) = sup {µ ( K ) , K compact , K ⊆ V } Vậy µ độ đo Radon theo định nghĩa ¾ Cơng việc cịn lại ta cịn chứng tỏ Λ (φ ) = ∫ φ du X Thật vậy, lấy φ ∈ CC ( X ) ký hiệu K = suppφ Cố định β > cho φ ( K ) ⊆ ( − β , β ) Với ε > , chọn γ < γ < < γ N cho γ = − β , γ n = β γ n − γ n−1 < ε (1 ≤ n ≤ N ) Với n đặt: En = { x ∈ K : γ n−1 ≤ φ ( x ) < γ n } Khi đó, định nghĩa µ * ta tìm tập mở U n chứa En cho µ (U n ) < µ ( En ) + ε N Ta giả thiết thêm φ < γ n U n Do bổ đề 2.2 tồn ψ , ,ψ N ∈ Cc ( X ) cho ψ n p U n với n và: N K p ∑ψ n n =1 N Khi φ = ∑ φψ n φψ n ≤ γ nψ n n =1 GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang 39  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào N N n =1 n =1 Do Λ (φ ) = ∑ Λ (φψ n ) ≤ ∑ γ n Λ (ψ n ) Vì ψ n p U n với n nên Λ (ψ n ) ≤ µ (U n ) ⎛ N ⎞ Ta có, K p ∑ψ n suy µ ( K ) ≤ Λ ⎜ ∑ψ n ⎟ n =1 ⎝ n =1 ⎠ N ⎛ N ⎞ Do đó: Λ (φ ) ≤ ∑ ( γ n + β )Λ (ψ n ) − βΛ ⎜ ∑ψ n ⎟ n =1 ⎝ n=1 ⎠ N N ≤ ∑ ( γ n + β ) µ (U n ) − βµ ( K ) n =1 N ε ⎞ ⎛ ≤ ∑ ( γ n−1 + ε + β ) ⎜ µ ( En ) + ⎟ − βµ ( K ) N⎠ ⎝ n =1 N ≤ ∑ γ n−1µ ( En ) + ( ε + β )µ ( K ) + ( β + ε + β ) ε − βµ ( K ) n =1 ≤ ∫ φd µ + ε ( µ ( K ) + 2β + ε ) X Cho ε → ta Λ (φ ) ≤ ∫ φ d µ X Lập lại lặp luận với φ thay −φ ta được: Λ (φ ) ≥ ∫ φ d µ X Do Λ (φ ) = ∫ φ d µ X Như định lý chứng minh GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường Trang 40  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào Chương MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Định nghĩa Cho U tập mở , cho r >0 Ta xác định: U r = { z ∈ U : dist ( z , ∂U ) > r} Cho hàm u: U → khả tích cho φ : → suppφ ⊆ ∆ ( 0, r ) (hình trịn mở tâm O, bán kính r) hàm liên tục với Khi tích chập u φ hàm u * φ :Ur → cho u * φ ( z ) = ∫ u ( z − ω )φ (ω ) dA (ω ) , z ∈ U r Ta đổi biến số t = z - ω u * φ ( z ) = ∫ u ( t )φ ( z − t ) dA ( t ) , z ∈ Ur Nếu ta chọn φ ∈ C ∞ Khi ta có u * φ ∈ C ∞ ™ Trong không gian CC ( D ) ta định nghĩa chuẩn là: φ ∞ = sup φ , D (φ ∈ CC ( D ) ) Định lý Cho φ ∈ CC ( D ) cho U tập compact tương đối, mở D ( với D miền ) cho suppφ ⊆ U Khi tồn (φn )n=1 , φn ∈ CC∞ ( D ) cho suppφn ⊆ U , ∀n φn − φ ∞ ∞ → Hơn φ ≥ , ta chọn (φn )n=1 cho φn ≥ 0, ∀n ∞ Chứng minh Ta mở rộng φ lên toàn cách đặt φ ≡ Ta xét hàm χ : → hàm thoả mãn: GVHD Ths Phạm Thị Thu Hường \D Trang 41  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào χ ∈ C ∞ , χ ≥ 0, χ ( z ) = χ ( z ) , suppχ ⊆ ∆ ( 0,1) ∫ χ dA = ( Một ví dụ hàm χ thoả mãn tính chất là: −1 ⎧ 1− z ⎪Ce < , z ⎪ χ ( z) = ⎨ ⎪ ≥ , z ⎪⎩ với C số chọn cho: ∫ χ dA = ) Với r > ta định nghĩa: ⎛z⎞ χr ( z ) = χ ⎜ ⎟ , z ∈ r ⎝r⎠ Ta thấy: φ ∗ χ r ∈ C ∞ ( ) , ∀r > Ta có: supp (φ ∗ Hơn nữa: φ χr − φ ∗ χ r ) ⊆ suppφ ⊆ U ∞ = sup z∈ ∫ (φ ( z − ω ) − φ ( z ) ) χ (ω ) dA (ω ) r ∆ ( 0, r ) ≤ sup φ ( z − ω ) − φ ( z ) z∈ ω