Các ъd tập và tiên đề tách liên kết

MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu 1.1 Kiến thức sở 1.2 Tập b - mở không gian tôpô 1.3 Các b - không gian 12 2.1 bD - tập liên kết với tiên đề tách 2.2 Các định lý bảo toàn 12 17 2.3 Một số tính chất b − T2 không gian 22 2.4 ứng dụng tính chất b − T2 không gian liên quan đến đường chữ số24 Kết luận Tài liệu tham khảo 28 29 LỜI NÓI ĐẦU Tập hợp mở có vai trị quan trọng tơpơ đại cương Trong [10], Tong giới thiệu khái niệm D - tập cách sử dụng tập mở sử dụng khái niệm để định nghĩa số tiên đề tách Sau đó, thay đổi khái niệm tập α - mở giới thiệu số tính chất tìm hiểu [13] Khái niệm tập b - mở giới thiệu Andrijevie [3] Tập hợp đặt tên γ - mở sp - mở tương ứng El - Atik [12] Doncthev Przemski [9] Khái niệm tập b mở mạnh khái niệm tập hợp β - mở yếu khái niệm tập nửa mở tập tiền mở Từ khái niệm tìm hiểu rộng rãi Vì lý chọn đề tài là: Các bD - tập tiên đề tách liên kết Mục đích luận văn trình bày khái niệm bD - tập Từ đó, chúng tơi trình bày khái niệm tập hợp gb - đóng tìm hiểu số quan hệ b - đóng tập gb - đóng số đặc trưng không gian b − T 12 qua tập gb - đóng Sau đó, chúng tơi tìm hiểu trình bày số định lý bảo tồn hai phép biến đổi tơpơ yếu Sử dụng khái niệm cấu trúc mX để trình bày số định lý đặc trưng khơng gian mX − T2 Cuối chúng tơi trình bày số ứng dụng có liên quan đến đường chữ số Với mục đích trên, ngồi phần Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn trình bày chương Chương Tập b - mở không gian tôpô Trong chương này, giới thiệu số khái niệm không gian b − T0 không gian, b − T1 không gian, b − T2 không gian, tính chất b - khơng gian giới thiệu [3] Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày thêm số tính chất khác nhằm chuẩn bị cho Chương Chương bD - tập liên kết với tiên đề tách Ở đây, chúng tơi tìm hiểu khái niệm không gian B − T 12 , b − T 12 nghiên cứu số tính chất chúng mối quan hệ chúng với số khơng gian biết Bên cạnh đó, chúng tơi giới thiệu khái niệm hàm nghiên cứu tính chất hàm khơng gian Từ đó, đến trình bày số định lý bảo tồn, tính chất b - T2 khơng gian đồng thời tìm hiểu ứng dụng chúng liên quan đến đường chữ số Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo, TS Lê Xuân Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, thầy giáo, cô giáo khoa giúp đỡ tác giả suốt q trình cơng tác học tập trường Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy giáo, giáo tổ Giải tích, khoa Tốn, trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn học viên Cao học khoá 17, đặc biệt Cao học 17 Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn để luận văn ngày hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG TẬP b - MỞ TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm không gian b − T0 không gian, b − T1 khơng gian, b − T2 khơng gian, tính chất b - không gian giới thiệu [3] 1.1 Kiến thức sở 1.1.1 Định nghĩa Cho tập X, họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau i) ∅, X ∈ τ ; ii) Nếu G1 ∈ τ, G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ ; iii) Nếu Gα ∈ τ, α ∈ Λ Gα ∈ τ α∈Λ Tập X với tơpơ τ gọi không gian tôpô (X, τ ) hay đơn giản không gian tôpô X 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ ) Mỗi tập hợp thuộc τ gọi tập mở Tập E ⊂ X gọi tập đóng E c := X \ E tập mở 1.1.3 Định nghĩa Tập E gọi lân cận x tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U Giả sử E ⊂ X, x ∈ X, điểm x gọi điểm E E lân cận x Cho không gian tôpô (X, τ ) E ⊂ X Bao đóng E, ký hiệu Cl(E), giao tất tập đóng chứa E Phần E, ký hiệu Int(E), tập tất điểm E 1.1.4 Mệnh đề Cho X không gian tôpô E ⊂ X Ta có tính chất sau (i) E ⊂ Cl(E); (ii) E ⊂ F Cl(E) ⊂ Cl(F ); (iii) Cl(Cl(E)) = E; (iv) Cl(E ∪ F ) = Cl(E) ∪ Cl(F ); (v) E đóng E = Cl(E); (vi) Cl(E) tập đóng nhỏ chứa E 1.1.5 Mệnh đề [1] Cho X không gian tôpô E ⊂ X Ta có tính chất sau: (i) Int(E) ⊂ E; (ii) Int(E) hợp tất tập mở nằm E; (iii) Int(E) tập mở lớn nằm E; (iv) E mở E = Int(E); (v) E ⊂ F Int(E) ⊂ Int(F ); (vi) Int(Int(E)) = Int(E); (vii) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B) 1.1.6 Định nghĩa Cho (X, τ ) (Y, σ) không gian tôpô ánh xạ f : X → Y gọi liên tục với V ∈ σ kéo theo f −1 (V ) ∈ τ 1.1.7 Định nghĩa Cho (X, τ ) (Y, σ) không gian tôpô.ánh xạ f : X → Y gọi phép đồng phôi f song ánh, f f −1 liên tục Hai không gian X, Y gọi đồng phôi tồn phép đồng phôi f : X → Y 1.1.8 Định nghĩa Cho (X, τ ) (Y, σ) không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y gọi ánh xạ mở (tương ứng ánh xạ đóng) với A ∈ τ f (A) ∈ σ (tương ứng [f (A)]c ∈ σ) 1.1.9 Mệnh đề Cho (X, τ ) (Y, σ) không gian tôpô ánh xạ f : X → Y song ánh liên tục Khi đó, khẳng định sau tương đương (i)f đồng phôi; (ii) f mở; (iii) f đóng 1.1.10 Định nghĩa Khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi T0 - không gian với x, y ∈ X, x = y tồn lân cận U x cho y ∈ / U tồn lân cận V y cho x ∈ / V 1.1.11 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi T1 - không gian với x, y ∈ X, x = y tồn lân cận U x V y cho y∈ / U, x ∈ / V 1.1.12 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi T2 - không gian hay không gian Haussdoff ∀x, y ∈ X, x = y tồn lân cận U x, V y cho U ∩ V = ∅ 1.1.13 Mệnh đề Cho khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta có tính chất sau: (a) (X, τ ) T1 - khơng gian {x} tập đóng X với ∀x ∈ X; (b) Mọi không gian T2 - không gian T2 - không gian; (c) Nếu không gian T2 - không gian T1 - khơng gian T0 - không gian 1.1.14 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian rời rạc tập tập mở 1.2 Tập b - mở không gian tôpô 1.2.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô A ⊂ X Tập A gọi b - mở A ⊂ Cl(Int(A)) ∪ Int(Cl(A)); Tập A gọi b - đóng phần bù Ac b - mở 1.2.2 Định nghĩa Giao tất tập b - đóng chứa A, ký hiệu bCl(A) hay Clb (A) Hợp tất tập b - mở bị chứa A gọi b - phần A, ký hiệu bInt(A) hay Intb (A) Họ tất tập b - mở không gian tôpô (X, τ ) ký hiệu BO(X, τ ) Họ tất tập b - đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) ký hiệu BC(X, τ ) Họ tất tập b - mở chứa x ∈ X ký hiệu BO(X, x) 1.2.3 Ví dụ a) Tập mở không gian tôpô tập b - mở khơng gian b) Cho X = {a, b, c} τ = {∅, X, {a}} Khi ta có: BO(X, τ ) = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}}, BC(X, τ ) = {∅, X, {b}, {c}, {b, c}} c) Cho X = {a, b, c, d} τ = {X, ∅, {c}, {d}, {c, d}, {b, c, d}, {a, c, d}} Khi đó, BO(X, τ ) = {∅, X, {b, c, d}, {a, c, d}, {a, b, d}, {a, b, c}, {c, d}, {b, c}, {b, d}, {a, b}, {a, c}, {d}, {c}} 1.2.4 Mệnh đề a) Hợp họ tùy ý tập b - mở tập b - mở; b) Giao tập mở với tập b - mở tập b - mở Chứng minh a) Giả sử {Ai }i∈I tập b - mở Ai b - mở i∈I Thật vậy, với i, Ai ⊂ Cl(Int(Ai )) ∪ Int(Cl(Ai )) Ai ⊂ i∈I [Cl(Ai ) ∪ Int(Cl(Ai ))] ⊂ Cl(Int( i∈I Ai )) ∪ Int(Cl( i∈I i∈I Ai tập b - mở suy i∈I b) Giả sử U tập mở, V tập b - mở U ∩ V tập b - mở Vì U = Int(U ), V ⊂ Cl(Int(V )) ∪ Int(Cl(V )) U ∩ V ⊂ Int(U ) ∩ [Cl(Int(V )) ∪ Int(Cl(V ))] ⊂ [Int(U ) ∩ Cl(Int(V ))] ∪ [Int(U ) ∩ Int(Cl(V ))] ⊂ Cl[Int(U ) ∪ Int(V )] ∪ [Int(Cl(U )) ∩ Int(Cl(V ))] ⊂ Cl[Int(U ∩ V )] ∪ Int[Cl(U ∩ V ))] suy U ∩ V b - mở Ai )) 1.2.5 Bổ đề bCl(A) hay Clb (A) tập tất phần tử x X cho O ∩ A = ∅, ∀O ∈ BO(X, x) với BO(X, x) = {U : x ∈ U, U ∈ BO(X, τ )} 1.2.6 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi là: a) D - tập tồn U, V ∈ τ, U = X cho A = U \ V b) bD - tập tồn U, V ∈ BO(X, τ ), U = X cho A = U \ V 1.2.7 Ví dụ Cho X = {a, b, c, d}, τ = {∅, {a}, {a, d}, {a, b, d}, {a, c, d}} Khi đó, {b} bD - tập khơng phải b - mở Thật vậy, ta có: BO(X, τ ) = {∅, X, {a}, {a, d}, {a, b, d}, {a, c, d}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} Khi lấy U = {a, b} = X, V = {a, c} tập b - mở (thực sự) Đặt S = U \V Khi S = {a, b}\{a, c} = {b} bD - tập tập b - mở Như ta có: Nếu A tập mở A tập b - mở bD - tập Nếu A tập mở A tập D - tập bD - tập 1.3 Các b - không gian Trong mục ta trình bày khái niệm b − R0 khơng gian, b − Ti không gian (i = 0, 1, 2), b − Di không gian (i = 0, 1, 2) mối quan hệ không gian 1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b − R0 không gian tập b - mở chứa b - bao đóng tập 1.3.2 Định nghĩa Khơng gian tôpô (X, τ ) gọi b − T0 không gian cặp điểm phân biệt x, y X tồn tập b - mở X chứa x mà không chứa y tồn tập b - mở chứa y không chứa x 1.3.3 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b − T1 không gian cặp điểm x, y ∈ X, x = y có tương ứng tập b - mở U chứa x mà không chứa y, tập b - mở V chứa y mà không chứa x 1.3.4 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b − T2 không gian với cặp điểm x, y phân biệt X, tồn U ∈ BO(X, x) V ∈ BO(X, y) cho U ∩ V = ∅ 1.3.5 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b − D0 không gian với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn bD - tập X chứa x không chứa y chứa y không chứa x 1.3.6 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b − D1 không gian với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn bD - tập chứa x không chứa y bD - tập chứa y không chứa x 1.3.7 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b − D2 không gian với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn cặp bD - tập phân biệt U, V ⊂ X cho x ∈ U, y ∈ V 1.3.8 Mệnh đề Cho (X, τ ) không gian tơpơ Khi có tính chất: a) Nếu (X, τ ) b − Ti khơng gian (X, τ ) b − Di , i = 0, 1, 2; b) Nếu (X, τ ) b − Di khơng gian b − Di−1 , i = 1, 2; c) Nếu (X, τ ) b − Ti khơng gian b − Ti−1 , i = 1, 2; d)(X, τ ) b − D0 b − T0 ; e) (X, τ ) b − D1 b − D2 Chứng minh a) Ta chứng minh cho trường hợp i = 0, trường hợp khác tương tự Giả sử (X, τ ) b − T0 , với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn tập b - mở U X mà x ∈ U, y ∈ / U tập b - mở V X mà y ∈ V, x ∈ / V Do U (hoặc V ) b - mở X nên U (hoặc V ) bD - tập X Suy với cặp điểm x, y nói trên, tồn bD - tập X mà x ∈ / V, y ∈ V Vậy (X, τ ) b − D0 không gian b) Ta chứng minh trường hợp i = Giả sử (X, τ ) b − D1 Khi với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn bD - tập U chứa x không chứa y bD - tập V chứa y không chứa x Rõ ràng (X, τ ) b − D0 c) Tương tự chứng minh b) d) Điều kiện cần Nếu (X, τ ) b − D0 Khi với cặp điểm x, y phân biệt tồn bD - tập U = ∅ X cho x ∈ U, y ∈ / U tồn bD - tập V = ∅ X cho x ∈ / V, y ∈ V Do ∅ = U (hoặc ∅ = V ) bD - tập nên U = E \ F với E, F ∈ BO(X, τ ) Nếu ta chọn E = ∅, F = ∅ U = E Vậy (X, τ ) b − T0 Điều kiện đủ Nếu (X, τ ) b − T0 (X, τ ) b − D0 Hiển nhiên e) Điều kiện cần Nếu (X, τ ) b − D2 (X, τ ) b − D1 Hiển nhiên Điều kiện đủ Nếu (X, τ ) b − D1 (X, τ ) b − D2 Trong không gian tô pô, không gian (X, τ ) T1 không gian tập đơn điểm {x} : x ∈ X tập đóng Ta thấy điều tương tự b − T1 không gian mệnh đề sau 1.3.9 Mệnh đề Cho (X, τ ) b − T1 với x ∈ X, {x} tập b - đóng Chứng minh Giả sử (X, τ ) b − T1 không gian Lấy x ∈ X, y ∈ X y = x tồn U ⊂ X, U b - mở cho y ∈ U, x ∈ / U suy U ⊂ X \ {x} ⇒ X \ {x} b - mở suy {x} b - đóng Đảo lại, giả sử ∀x ∈ X, {x} b - đóng Nếu lấy y, z ∈ X, y = z X \ {y} X \ {z} tập b - mở Đặt U = X \ {y}, V = X \ {z} ⇒ U, V tập b - mở ta suy z ∈ U, y ∈ U, y ∈ / V (X, τ ) b − T1 không gian 1.3.10 Định nghĩa Một tập A không gian (X, τ ) gọi (a) α - mở A ⊂ Int(Cl(Int(A))); (b) nửa - mở [15] A ⊂ Cl(Int(A)); (c) tiền mở A ⊂ Int(Cl(A)); (d) β - mở [14] A ⊂ Cl(Int(Cl(A))) 10 b - đóng (X, τ ) Nếu tập điểm {x} b - mở thì{x} bD tập (X, τ ) Nếu tập điểm {x} b - đóng ({x})c b - mở (X, τ ) Đặt U1 = U U2 = U ∩ ({x})c Theo [2, Mệnh đề 2.3(b)], tập U2 b - mở Do đó, {x} = U1 \ U2 , {x} bD - tập, U1 ∈ BO(X, τ ) U1 = X (iv) Điều kiện cần: Giả sử x ∈ X Cho điểm y = x, tồn bD tập U cho x ∈ U y ∈ / U Đặt U = U1 \ U2 , Ui ∈ BO(X, τ ) với i ∈ {1, 2} U1 = X Do đó, Λb ({x}) = X Điều kiện đủ: Cho x y hai điểm phân biệt X Chúng ta chứng minh tồn bD - tập A D tương ứng chứa x y cho y ∈ / A x∈ / B Sử dụng Định lý 2.1.5, cần có tập A B cho bốn trường hợp sau với hai điểm x y Trường hợp 1: {x} b - mở {y} b - đóng (X, τ ) Từ Λb ({y}) = X, tồn tập b - mở V cho y ∈ V V = X Đặt A = {x} B = {y} Từ B = V , {y}c , V tập b - mở với V = X {y}c , B bD - tập cần tìm chứa y cho x ∈ / B Rõ ràng, bD - tập cần tìm chứa x cho y ∈ / A Trường hợp 2: {x} b - đóng {y} b - mở (X, τ ) Chứng minh tương tự Trường hợp Trường hợp 3: {x} {y} b - mở (X, τ ) Đặt A = {x}, B = {y} Trường hợp 4: {x} {y} b - đóng (X, τ ) Đặt A = {y}c B = {x}c Với trường hợp trên, tập A B bD - tập cần tìm (v) Bằng (iv) Mệnh đề 1.3.8, (v) hiển nhiên 2.1.7 Nhận xét (i) Điều ngược lại Hệ 2.1.6(iii) không Cho (X, τ ) không gian tôpô với X = {a, b, c} τ = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}} Khi đó, Λb ({c}) = {c} = X {c} = {b, c} \ {b} bD - tập, Λ({c}) = X cố định 16 (ii) Điều có từ Hệ 2.1.6(i) với điểm x ∈ X, Λb ({x}) = X Λ({x}) = X, Λ({x}) = X, Λb ({x}) = X 2.2 Các định lý bảo toàn 2.2.1 Định nghĩa Một hàm f : (X, τ ) → (Y, ϕ) gọi là: (a) α - liên tục [2] f −1 (V ) α - mở (X, τ ), với tập mở V (Y, ϕ), (b) α - mở [2] f (U ) α - mở (Y, ϕ), với tập mở U (X, τ ), (c) γ - không giải [6] f −1 (V ) γ - mở X, với tập γ - mở V Y , (d) γ - mở [14] f −1 (V ) γ - mở (X, τ ), với tập mở V (Y, ϕ) Chúng ta ý khái niệm hàm tập b - mở khái niệm tập γ - mở một, sử dụng thuật ngữ hàm b - khơng giải thay hàm γ - không giải Trong [13] tác giả sử dụng thuật ngữ b - liên tục thay hàm γ - không giải 2.2.2 Định lý Nếu f : (X, τ ) → (Y, ϕ) b - liên tục toàn ánh S bD - tập (Y, ϕ) f −1 (S) bD- tập (X, τ ) Chứng minh Giả sử S = O1 \ O2 D - tập (Y, ϕ), Oi ∈ ϕ, với i ∈ {1, 2} O1 = Y Chúng ta có f −1 (Oi ) ∈ BO(X, τ ), với i ∈ {1, 2} f −1 (O1 ) = x Do đó, f −1 (S) = f −1 (O1 ) ∩ (X \ f −1 (O2 )) Do đó, f −1 (S) bD - tập 2.2.3 Định lý Nếu (Y, ϕ) D1 không gian f : (X, τ ) → (Y, ϕ) hàm b - liên tục song ánh (X, τ ) b − D1 không gian Chứng minh Giả sử Y D1 không gian Cho x y hai cặp điểm phân biệt X Từ f nội xạ Y D1 , tồn 17 D - tập Sx Sy tương ứng chứa f (x) f (y), cho f (x) ∈ / Sy f (y) ∈ / Sx Bằng Định lý 2.2.2, f −1 (Sx ) f −1 (Sy ) bD - tập X tương ứng chứa x y, cho x ∈ / f −1 (Sy ) y ∈ / f −1 (Sx ) Điều có nghĩa X b − D1 không gian 2.2.4 Định lý Một không gian tôpô (X, τ ) b − D1 với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn hàm b - liên tục toàn ánh f : (X, τ ) → (Y, ϕ), với (Y, ϕ) không gian D1 cho f (x) f (y) phân biệt Chứng minh Cho x y hai điểm phân biệt X Bằng giả thiết, tồn hàm b - liên tục tồn ánh f khơng gian (X, τ ) lên không gian (Y, ϕ) cho f (x) = f (y) Điều có từ Định lý 2.2.2, D1 = D2 Do đó, tồn D - tập rời Sx Sy Y cho f (x) ∈ Sx f (y) ∈ Sy Từ f b - liên tục toàn ánh, Định lý 2.2.2, f −1 (Sx ) f −1 (Sy ) D - tập rời X tương ứng chứa x y Vì thế, khơng gian (X, τ ) b − D1 Khái niệm sau Hatir Noiri [7] Một sở lọc B gọi D - hội tụ đến điểm x ∈ X với D tập chứa x, tồn B1 ∈ B cho B1 ⊂ A 2.2.5 Định nghĩa Cho (X, τ ) không gian tôpô Một sở lọc B gọi bD - hội tụ đến điểm x ∈ X, với bD - tập A chứa x, tồn B1 ∈ B cho B1 ⊂ A 2.2.6 Định lý Nếu hàm f : (X, τ ) → (Y, ϕ) b - liên tục toàn ánh với điểm x ∈ X sở lọc B (X, τ ), bD - hội tụ đến x, sở lọc f (B) D - hội tụ đến f (x) Chứng minh Cho x ∈ X B sở lọc bD - hội tụ đến x Từ f b - liên tục toàn ánh, Định lý 2.2.2, với D - tập U ⊂ Y chứa f (x), f −1 (Y ) ⊂ X bD - tập chứa x Từ B bD - hội tụ đến x, 18 tồn B1 ∈ B cho B1 ⊂ f −1 (V ) f (B1 ) ⊂ V Điều nghĩa f (B) D - hội tụ đến f (x) Nhớ lại không gian tôpô (X, τ ) gọi D - compact phủ X D - tập có phủ hữu hạn 2.2.7 Định nghĩa Một không gian tôpô (X, τ ) gọi bD - compact phủ X gồm bD - tập có phủ hữu hạn 2.2.8 Định lý Cho hàm f : (X, τ ) → (Y, ϕ) b - liên tục toàn ánh Nếu (X, τ ) bD - compact (Y, ϕ) D - compact Chứng minh Cách chứng minh sử dụng Định lý 2.2.2 Nhớ lại không gian tôpô (X, τ ) gọi D - liên thông (X, τ ) biểu thị thành hợp hai D - tập không rỗng rời 2.2.9 Định nghĩa Một không gian tôpô (X, τ ) gọi bD - liên thông (X, τ ) biểu thị thành hợp hai bD - tập không rỗng rời 2.2.10 Định lý Nếu f : (X, τ ) → (Y, ϕ) b - liên tục toàn ánh (X, τ ) bD - liên thơng (Y, ϕ) D - liên thông Chứng minh Chứng minh sử dụng Định lý 2.2.2 2.2.11 Nhận xét Định lý 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8 2.2.10 với hàm α - liên tục α - mở f thay hàm b - khơng giải f Với hàm α - liên tục α - mở f , nghịch ảnh f −1 (S) tập b - mở S mở Ta biết khái niệm phép biến đổi tôpô quan trọng tôpô đại cương Định nghĩa sau cung cấp hai dạng yếu phép biến đổi tôpô 19 2.2.12 Định nghĩa Một hàm f : (X, τ ) → (Y, ϕ) gọi br - đồng phôi f b - liên thông song ánh f −1 : (Y, ϕ) → (X, τ ) b liên thông Bây giờ, trình bày định nghĩa sau việc lấy không gian (X, τ ) thay khơng gian (Y, ϕ) 2.2.13 Định nghĩa Với không gian tôpô (X, τ ), định nghĩa hai tập hợp sau hàm: br − h(X, τ ) = {f |f : (X, τ ) → (X, τ ) b - không giải song ánh, f −1 : (X, τ ) → (X, τ ) b - không giải được} b − h(X, τ ) = {f |f : (X, τ ) → (X, τ ) b - liên tục song ánh, f −1 : (X, τ ) → (X, τ ) b - liên tục} 2.2.14 Định lý Với khơng gian tơpơ (X, τ ), có tính chất sau: (i) h(X, τ ) ⊂ br − h(X, τ ⊂ b − h(X, τ ), h(X, τ ) = {f |f : (X, τ ) → (X, τ ) phép biến đổi tôpô} (ii) Dạng tập hợp br − h(X, τ ) nhóm hợp thành hàm (iii) Nhóm h(X, τ ) tất phép biến đổi tôpô (X, τ ) nhóm br − h(X, τ ) Chứng minh (i) Đầu tiên thấy phép biến đổi tôpô f : (X, τ ) → (Y, ϕ) br - đồng phôi Thật vậy, với tập A ∈ BO(Y, ϕ), f −1 (A) ⊂ f −1 (Cl(Int(A)) ∪ Int(Cl(A))) = Cl(Int(f −1 (A))) ∪ Int(Cl(f −1 (A))) f −1 (A) ∈ BO(X, τ ) Do đó, f b - không giải Trong cách tương tự, f −1 b - khơng giải Do đó, có h(X, τ ) ⊂ br − h(X, τ ) Cuối cùng, rõ ràng br − h(X, τ ) ⊂ b − h(X, τ ), hàm b - không giải b - liên tục (ii) Nếu f : (X, τ ) → (Y, ϕ) g : (Y, ϕ) → (Z, η) br - đồng phơi có tích g ◦ f : (X, τ ) → (Z, η) br - đồng phôi Rõ ràng với b đồng phôi song ánh f : (X, τ ) → (Y, ϕ), f −1 : (Y, ϕ) → (X, τ ) 20 br - đồng phôi đồng : (X, τ ) → (X, τ ) br - đồng phơi Một phép tốn nhị ngun α : br − h(X, τ ) × br − h(X, τ ) → br − h(X, τ ) định nghĩa α(a, b) = b ◦ a, a, b ∈ br − h(X, τ ) b ◦ a tích a b Bằng cách sử dụng tính chất trên, dạng tập hợp br − h(X, τ ) nhóm hợp thành hàm (iii) Với a, b ∈ h(X, τ ), có α(a, b−1 ) = b−1 ◦ a ∈ f (X, τ ) 1X ∈ h(X, τ ) = ∅ Do đó, sử dụng (i) (ii), rõ ràng nhóm h(X, τ ) nhóm br − h(X, τ ) Với không gian tơpơ (X, τ ), xây dựng nhóm br − h(X, τ ) thoả mãn tính chất: tồn phép biến đổi tơpơ (X, τ ) ∼ = (Y, ϕ) tồn nhóm đẳng cấu br − h(X, τ ) ∼ = br − h(Y, ϕ) 2.2.15 Hệ Ta có khẳng định sau đúng: (i) Cho br - đồng phôi f : (X, τ ) → (Y, ϕ) tồn đẳng cấu f∗ : br − h(X, τ ) → br − h(Y, ϕ), định nghĩa f∗ (a) = f ◦ a ◦ f −1 , với phần tử a a ∈ br − h(X, τ ) (ii) Cho hai br-đồng phôi f : (X, τ ) → (Y, ϕ) g : (X, τ ) → (Z, η), (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ , br − h(X, τ ) → br − h(Z, η) cố định (iii) Với hàm đồng 1X : (X, τ ) → (X, τ ), (1X )∗ = : br − h(X, τ ) → br − h(X, τ ) cố định, với biểu thị đẳng cấu đồng 2.2.16 Nhận xét (i) Ví dụ sau h(X, τ ) nhóm riêng br−h(X, τ ) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, với X = {a, b, c} τ = {∅, {a}, {a, b}} Chúng ta ý BO(X, τ ) = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, X Nó h(X, τ ) = {1X } br − h(X, τ ) = {1X , }, với 1X đồng (X, τ ) : (X, τ ) → (X, τ ) song ánh định nghĩa bởi: (a) = a, (b) = c, (c) = b (ii) Ví dụ sau br − h(X, τ ) tập riêng b − h(X, τ ) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, với X = {a, b, c} τ = {∅, {a, b}, X} Khi đó, BO(X, τ ) = P (X) \ {{c}} Tồn phần tử hb ∈ b − h(X, τ ) 21 cho hb ∈ / br − h(X, τ ), với hb : (X, τ ) → (X, τ ) song ánh định nghĩa bởi: hb (b) = b, hb (a) = c, hb (c) = a (iii) Điều ngược lại Hệ 2.2.15(i) không luôn Gỉa sử X = Y = {a, b, c}, τ = {∅, {a, b}, X} ϕ = {∅, {a}, {a, b}, Y } Cho f : (X, τ ) → (Y, ϕ) song ánh không gian tôpô định nghĩa f (a) = b, f (b) = c f (c) = a Khi đó, f∗ : br−h(X, τ ) → br−h(Y, ϕ) đẳng cấu hàm f br-đồng phôi Thật vậy, BO(X, τ ) = P (X) \ {{c}}, BO(Y, ϕ) = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, Y }, br − h(X, τ ) = {1X , hb }, br − h(Y, ϕ) = {1X , }, hb định nghĩa (ii) Hơn nữa, f∗ (hb ) = cố định với tập {a} ∈ BO(Y, ϕ), f −1 ({a}) = {c} ∈ / BO(X, τ ) f khơng phải br-đồng phơi 2.3 Một số tính chất b − T2 khơng gian Vì khái niệm tập b - mở khái niệm tập γ - mở giống nên luận văn sử dụng thuật ngữ hàm b - mở thay hàm γ - mở Nhớ lại hàm gọi γ - mở ảnh tập γ - mở γ - mở Trong định lý sau, với không gian tôpô (Y, ϕ) = ∅, xem xét họ mY tập (Y, ϕ) cho mY ∈ {SO(Y, ϕ), P O(Y, ϕ), BO(Y, ϕ)} Tức là, mY phần tử {SO(Y, ϕ), P O(Y, ϕ), BO(Y, ϕ)} Chúng ta nhớ lại (Y, mY ) gọi mY − T2 với cặp điểm phân biệt x, y ∈ Y , tồn U, V ∈ mY chứa x y tương ứng, cho U ∩ V = ∅ Một không gian tôpô (Y, ϕ) gọi nửa - T2 (Y, mY ) mY − T2 , mY = SO(Y, ϕ) Một không gian tôpô (Y, ϕ) gọi tiền - T2 P O(Y, ϕ) mY − T2 Một không gian tôpô (Y, ϕ) gọi b − T2 P O(Y, ϕ) mY − T2 Một hàm f : (X, mY ) → (Y, mY ) gọi M -mở [8] với tập A ∈ mX , f (A) ∈ mY Cho không gian tôpô (X, τ ), (Y, ϕ) tương ứng với mX -cấu trúc mY -cấu trúc, đây, gọi 22 hàm f : (X, τ ) → (Y, ϕ) (mX , mY )-mở f : (X, mY ) → (Y, mY ) M - mở ý nghĩa [8] cho 2.3.1 Định lý Cho R quan hệ tương đương không gian tôpô (X, τ ), (X/R, Ψ) không gian xác định Giả sử (mX , mX/R ) = SO(X, τ ), SO(X/R, Ψ) Giả thiết (a) hàm xác định ρ : (X, τ ) → (X/R, Ψ) (mX , mX/R )-mở, (b) với điểm (x, y) ∈ (X × X) \ R, tồn tập Ux , Uy ∈ mX cho x ∈ Ux , y ∈ Uy Ux × Uy ⊂ (X × X) \ R Khi đó, (X/R, mX/R ) mX/R − T2 Chứng minh Giả sử ρ(x) ρ(y) phần tử phân biệt X/R Vì x y khơng tương đương, (x, y) ∈ (X × X) \ R Bằng giả thiết, tồn hai tập Ux ∈ mX , Uy ∈ mX cho x ∈ Ux , y ∈ Uy Ux × Uy ⊂ (X × X) \ R Khi đó, có Ux ∩ Uy = ∅, {(z, z ) ∈ X × X|z = z } \ R Bằng giả thiết thêm, ρ(Ux ) ρ(Uy ) tập đòi hỏi tương ứng chứa ρ(x) ρ(y), ρ(Ux ), ρ(Uy ) ∈ mX/R ρ(Ux ) ∩ ρ(Uy ) = ∅ 2.3.2 Định lý Cho không gian tôpô (X, τ ) họ mX ∈ {SO(X, τ ), P O(X, τ ), BO(X, τ )}, tính chất sau tương đương: (1) (X, mX ) mX − T2 (2) Với hai điểm phân biệt x y ∈ X, tồn tập U ∈ mX cho x ∈ U, y ∈ / mX − Cl(U ), mX − Cl(U ) định nghĩa ∩{F |U ⊂ F, X \ F ∈ mX } (3) Với x ∈ X, ∩{mX − Cl(U )|U ∈ mX , x ∈ U } = {x} (4) Với cặp (x, y) ∈ (X × X) \ ∆, tồn hai tập Ux , Vy ∈ mX cho x ∈ Ux , y ∈ Vy Ux × Vy ⊂ (X × X) \ ∆, ∆ = {(x, x)|x ∈ X} Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho x, y ∈ X với x = y Khi đó, tồn hai tập U, V ∈ mX cho x ∈ U, y ∈ V U ∩ V = ∅ Nó 23 y∈ / V c , mX − Cl(U ) ⊂ mX − Cl(V c ) = V c y ∈ / mX − Cl(U ) (2)⇒ (3) Gỉa sử y ∈ / {x} Tồn tập U ∈ mX cho x ∈ U y ∈ / mX −Cl(U ) Vì vậy, có y ∈ / ∩{mX −Cl(U )|U ∈ mX , x ∈ U } (3) ⇒ (4) Cho (x, y) ∈ (X × X) \ ∆ Từ y ∈ / ∩{mX − Cl(U )|U ∈ mX , x ∈ U }, tồn tập U ∈ mX cho x ∈ U, y ∈ (mX − Cl(U ))c (mX − Cl(U ))c ∈ mX Tập Ux = U Uy = (mX − Cl(U ))c Khi đó, x ∈ Ux , y ∈ Uy Ux , Uy ∈ mX Bên cạnh đó, có (Ux ×Vy )∩∆ = ∅, Ux ∩Uy = ∅ Do đó, có Ux ×Vy ⊂ (X×X)\∆ (4) ⇒ (1) Cho x = y Khi (x, y) ∈ (X × X) \ ∆, (4) tồn hai tập Ux , Uy ∈ mX cho (x, y) ∈ Ux × Uy ⊂ (X × X) \ ∆ Do đó, có (Ux × Uy ) ∩ ∆ = ∅, Ux ∩ Uy = ∅ 2.4 ứng dụng tính chất b − T2 khơng gian liên quan đến đường chữ số Ở đây, áp dụng Định lý 2.3.1 2.3.2 để nghiên cứu tính chất đường chữ số Trong Ví dụ 2.4.2 (a)-(d), sử dụng Định lý 2.3.1 để chứng minh tính b − T2 đường chữ số Hơn nữa, Ví dụ 2.4.2, sử dụng Định lý 2.3.2 để trình bày cách chứng minh tính khơng tiền - T2 đường chữ số Chúng ta nhớ lại số Khaimsky hay gọi đường chữ số (Z, κ) tập số nguyên Z với tôpô κ = P O(Z, κ) có S = {{2m − 1, 2m, 2m + 1}|m ∈ Z} sở Trong (Z, κ), tập điểm {2m + 1} mở tập điểm {2m} đóng, với m ∈ Z Một tập U mở (Z, κ) x ∈ U x số nguyên chẵn Khi x − 1, x + ∈ U Một tập {2m − 1, 2m, 2m + 1} tập mở lớn chứa 2m, với m ∈ Z Rõ ràng (Z, κ) nửa-T2 b − T2 Tuy nhiên, (Z, κ) không 24 tiền - T2 khơng phải T2 , κ = P O(Z, κ) cho trước 2.4.1 Ví dụ Cho (R, ) đường Euclid q : (R, ) → (Z, κ) hàm định nghĩa q(x) = 2n + với 2n < x < 2n + 2, q(2n) = 2n, n ∈ Z Cho R quan hệ tương đương (R, ) xác định R = (∪{V (2n, 2n + 2) × V (2n, 2n + 2)|n ∈ Z}) ∪ (∪{(2n, 2n)|n ∈ Z}), V (2n, 2n + 2) = {t ∈ R|2n < t < 2n + 2} Với điểm t x R, t tương đương với x (t, x) ∈ R Chúng ta biểu thị tập tất lớp tương đương R/R = {[t]|t ∈ R}, [t] = {x ∈ R|(x, t) ∈ R} lớp tương đương bao gồm t Khi đó, phép chiếu: p : (R, ) → (R/R, Ψ) định nghĩa p(t) = [t], với t ∈ R; Ψ tôpô đồng cảm sinh hàm p; tập U1 R/R mở (R/R, Ψ) p−1 (U1 ) mở (R, ) Nó p(t) = [q(t)], với t ∈ R (a) Đường chữ số (Z, ) (R/R, Ψ) phép biến đổi tôpô (b) Với mR = SO(R, ) R tương ứng (BO(R, )) trên, giả thiết Định lý 2.3.1, nghĩa (b) (c) Hàm p : (R, ) → (R/R, Ψ) (SO(R, ), SO(R/R, Ψ))-mở, p : (R, ) → (R/R, Ψ) (P O(R, ), P O(R/R, Ψ))-mở (BO(R, ), BO(R/R, Ψ))-mở (d) Đường chữ số (Z, κ) nửa - T2 b − T2 Chứng minh (a) Một song ánh liên tục f : (Z, κ) → (R/R, Ψ) định nghĩa f (q(x)) = p(x) Khi đó, f ◦ q = p nghịch đảo f −1 liên tục (b) Trong Định lý 2.3.1, cho (X, τ ) = (R, ) R = (∪{V (2n, 2n + 2) × V (2n, 2n+2)|n ∈ Z})∪(2n, 2n)|n ∈ Z}) Chúng ta cần có ký hiệu sau đây: V (2n, +∞) = {x ∈ R|2n < x}, V [2n, +∞) = {x ∈ R|2n ≤ x}, V (−∞, 2n) = {x ∈ R|x < 2n} V (−∞, 2n] = {{x ∈ R|x ≤ 2n}, n ∈ Z Nó R2 \ R = [∪{(V [2n, +∞) × V (−∞, 2n)) ∪ (V (2n, +∞) × V (−∞, 2n])|n ∈ Z}]∪[∪{(V (−∞, 2n]×V (2n, +∞))∪ (V (−∞, 2n)×V [2n, +∞))|n ∈ Z}] Cho (x, y) ∈ R2 \ R Khi đó, tồn tập cho (x, y) ∈ (V [2n, +∞) × V (−∞, 2n), (x, y) ∈ V (2n, +∞)×V (−∞, 2n], (x, y) ∈ (V (−∞, 2n]×V (2n, +∞) 25 (x, y) ∈ V (−∞, 2n)×V [2n, +∞) Từ đó, V [2n, +∞), V (−∞, 2n), V (2n, +∞) V (−∞, 2n] nửa - mở b - mở (R, ), điều kiện (b) Định lý 2.3.1 cố định với mR = SO(R, ) mR = BO(R, ) (c) Rõ ràng hàm q : (R, ) → (Z, κ) mở liên tục f ◦ q = p Đầu tiên, cho A ∈ SO(R, ) Khi đó, tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ Cl(U ) Sử dụng f chứng minh (a) trên, f (q(U )) ∈ Ψ f (q(U )) ⊂ f (q(A)) ⊂ f (Cl(q(U ))) = Cl(f (q(U ))) Do đó, có p(U ) ∈ Ψ p(U ) ⊂ p(A) ⊂ Cl(p(U )), p(A) ∈ SO(R/R, Ψ) Thứ hai, cho B ∈ P O(R, ) Khi đó, tồn tập mở V cho B ⊂ V ⊂ Cl(B) Tương tự ta p(V ) ∈ Ψ p(B) ⊂ p(V ) ⊂ Cl(p(B)) Cụ thể là, p(B) ∈ P O(R/R, Ψ) Cuối cùng, cho S ∈ BO(R, ) Nó S = sInt(S) ∪ pInt(S) cố định Từ sInt(S) ∈ SO(R, ) pInt(S) ∈ P O(R, có p(sInt(S)) ∈ SO(R/R, Ψ) p(pInt(S)) ∈ P O(R/R, Ψ) Khi đó, có p(S) = p(sInt(S)) ∪ p(pInt(S)) ⊂ Cl(Int(p(sInt (S)))) ∪ Int(Cl(p(pInt(S)))) ⊂ Cl(Int(p(S))) ∪ Int(Cl(p(S))) Cụ thể là, p(S) ∈ BO(R/R, Ψ) (d) Bằng (b) (c), tất giả thiết Định lý 2.3.1 thoả mãn với mR = SO(R, ) Do đó, (R/R, Ψ) nửa-T2 Từ f : (Z, κ) → (R/R, Ψ) phép biến đổi tơpơ, chứng minh (Z, κ) nửa-T2 2.4.2 Ví dụ (a) Đường chữ số không tiền - T2 Sử dụng Định lý 2.3.2 (3), có chứng minh khác tính chất Cho (X, τ ) = (Z, κ) mX = P O(Z, κ) định lý 2.3.2 không thoả mãn Thật vậy, cho điểm x = 2n ∈ Z với số nguyên n, Ux tập tiền mở (Z, κ) cho x ∈ Ux Sử dụng [14; Định lý 3.3], {2n − 1, x, 2n + 1} ⊂ Ux Do đó, có ∩{pCl(U )|U ∈ P O(Z, κ), x ∈ U } ⊃ pCl({2n − 1, x, 2n + 1}) ⊃ {2n − 1, x, 2n + 1} = {x} Do đó, theo Định lý 2.3.2, (Z, P O(Z, κ)) không P O(Z, κ) − T2 Tức là, đường chữ số không 26 tiền - T2 (b) Sử dụng Định lý 2.3.2 (3), với mX = SO(Z, κ), có cách khác chứng minh (d) Ví dụ 2.4.1 Cho x = 2n y = 2m + với số nguyên n m Khi đó, {x, 2n + 1}, {2n − 1, x} {y} tập nửa mở (Z, κ) Từ sCl({x, 2n + 1}) = {x, 2n + 1}, sCl({2n − 1, x}) = {2n − 1, x}, ∩{sCl(U )|U ∈ SO(Z, κ), X ∈ U } ⊂ sCl({x, 2n + 1}) ∩ sCl({2n − 1, x}) = {x, 2n + 1} ∩ {2n − 1, x} = {x} Hơn nữa, ∩{sCl(U )|U ∈ SO(Z, κ), y ∈ U } ⊂ sCl({y}) = {y} cố định Do đó, kết luận ∩{sCl(U )|U ∈ SO(Z, κ), z ∈ U } = {z} cố định với điểm z ∈ Z Từ Định lý 2.3.2, thu (Z, SO(Z, κ)) SO(Z, κ) − T2 Tức là, đường chữ số nửa - T2 b − T2 27 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo, TS Lê Xuân Sơn, chúng tơi đạt kết sau đây: Hệ thống số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ, bao đóng, phần tính chất chúng Bên cạnh chúng tơi trình bày thêm số mệnh đề Mệnh đề 1.1.5 Mệnh đề 1.1.13 Trình bày khái niệm b - khơng gian tính chất thể mối quan hệ chúng Mệnh đề 1.3.8 Ngoài chúng tơi cịn trình bày định nghĩa tập α - mở, nửa mở, tiền mở, β - mở Tìm hiểu khái niệm khơng gian b − T 12 trình bày tính chất với không gian tôpô Định lý 2.1.5 Hệ 2.1.6 Trình bày định lý bảo tồn Định lý 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8 2.2.10 Trình bày tính chất b − T2 - khơng gian Định lý 2.3.1 2.3.2 Trình bày ứng dụng tính chất b − T2 - khơng gian Ví dụ 2.4.1 2.4.2 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Keskin, T Noiri (2008), On bD - sets and associated separation axioms, Bulletin of the Iranian Mathematical Society 179-198 [2] A S Mashhour, I A Hasanein, S N El - Deeb (1983), α - continuous and α - open mappings, Acta Math Hungar 47-53 [3] D Andrijevé (1996), On b-open sets, Mat Vesnik 59-64 [4] D S Jankovié, I L Reilly (1985), On some semi separation properties, Indian J Pure Appl Math 957-964 [5] E Ekici (2005), On R spaces, Int J Pure and Appl Math.163-172 [6] E Ekici, M Caldas (2004), Slightly γ - continuous functions, Bol Soc Paran Math 63-74 [7] E Hatir, T Noisi (1998), On separation axiom C − Di , Commun Fac Sci Univ Ank Series A1 105-110 [8] F Cammaroto, T Noisi (2005), On ∧m - sets and related topological spaces, Acta Math Hungar 261-279 [9] J Dontchev, M Przemski (1996), On the various decompositions of continuous and some weakly continuous functions, Acta Math Hungar 109120 [10] J Tong (1982), A separation axioms between T0 and T1 , Anm Soc Sci Bruxelles 85-90 [11] Kelley (1976), General topology, Springer-Verlag, New York Heidelberg, Berlin [12] M E Abd El-Monsef, A A El-Atik, M M El-Sharkasy (2005), Some topologies induced by b-open sets, Kyungpook Math J 539-547 [13] M Caldas, D N Georgiou, S Jafari (2003), Characterizations of low separation axioms via α - open sets and α - closure operator, Bol Soc Paran Mat 1-14 29 [14] M Fujimoto, S Takigawa, J Dontchev, T Noisi, H Maki (2006), The topological structure and groups of digital n - spaces, Kochi J Math 31-55 [15] M E Abd El-Monsef, S N El-Deeb, R A Mahmoud (1983), β - open sets and β - continuous mappings, Bull Fac Sci Assuit Univ 77-90 [16] R Engelking (1977), General topology, Polish Scientipic Publishers, INS, Warszawa 30 ... tơi chọn đề tài là: Các bD - tập tiên đề tách liên kết Mục đích luận văn trình bày khái niệm bD - tập Từ đó, chúng tơi trình bày khái niệm tập hợp gb - đóng tìm hiểu số quan hệ b - đóng tập gb... V = {a, c} tập b - mở (thực sự) Đặt S = U V Khi S = {a, b}{a, c} = {b} bD - tập tập b - mở Như ta có: Nếu A tập mở A tập b - mở bD - tập Nếu A tập mở A tập D - tập bD - tập 1.3 Các b - không... nửa - mở tập tiền mở độc lập, ta dễ dàng nhận khái niệm sD - tập pD - tập độc lập với 11 CHƯƠNG bD - TẬP VÀ SỰ LIÊN KẾT VỚI CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu khái niệm khơng