Bộ giáo dục đào tạo Trường đại học vinh Nguyễn thị dung tồn nghiệm soliton từ hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai sóng tới Luận văn thạc sỹ vật lý Vinh, 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường đại häc vinh Nguyễn thị dung tồn nghiệm soliton từ hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai sóng tới Luận văn thạc sỹ vật lý Chuyên ngành: Quang học Mà số: 60.44.11 Người híng dÉn khoa häc: TS Vị Ngäc S¸u Vinh, 2005 Lời cảm ơn Trong trình học tập trường Đại Học Vinh đà nhận nhiều kiến thức quý báu từ thầy cô giáo Điều đà động viên nhiều trình thực luận văn Bản luận văn hình thành nhờ trình nỗ lực phấn đấu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Vũ Ngọc Sáu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo giúp đỡ quý báu Xin chân thành cảm ơn đến thầy giáo GS.TS Cao Long Vân, GS.TS Golsteins, PGS.TS §inh Xu©n Khoa, PGS.TS Hå Quang Q, PGS.TS Ngun Huy Công đà góp ý, dẫn cho trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Vật lý, ban chủ nhiệm Khoa Đào tạo sau đại học đà tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian qua Xin cảm ơn tập thể Cao học 11 Vật lý đà san sẻ niềm vui, giúp vượt qua khó khăn học tập trình làm luận văn Xin cảm ơn người thân yêu đà động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Tháng 10 năm 2005 Nguyễn Thị Dung Mục lục Mở đầu Chương I: Quang học phi tuyến soliton quang học 1.1 Hệ phương trình Maxwell 1.2 C¬ së cđa quang häc phi tun 1.2.1 Sự phân cực điện môi 1.2.2 Hàm phân cực 1.3 Phương trình lan truyền sóng môi trường phi tuyến 13 1.4 Các hiệu ứng phi tuyÕn 14 1.4.1 HiÖu øng chØnh lu quang häc 14 1.4.2 HiƯu øng ®iƯn quang 15 1.4.3 HiƯu øng Kerr 16 1.5 Soliton quang häc 19 1.5.1 Soliton thêi gian phương trình lan truyền 20 1.5.2 Soliton không gian phương trình lan truyền 22 Chương II Các trình trộn sóng phi tuyến 24 2.1 Các trình liên hợp 24 2.2 Trộn sóng phi tuyến bậc hai 25 2.2.1 Phát tần số tổng 25 2.2.2 Phấn tần số hiệu 31 2.2.3 Phát hoà âm bậc hai 34 2.3 HiƯu øng trén sãng 42 Ch¬ng III Sự tồn nghiệm soliton từ hệ phương trình liên kết sóng Hòa âm bậc hai sóng tới 46 3.1 Phương trình liên kết hai sóng 46 3.2 Kiểm chứng Painlevé 48 3.3 Phương pháp sóng tuyến Hirota 55 3.4 NghiƯm sãng dÞch chun 61 KÕt ln 63 Tài liệu tham khảo 65 Mở đầu Trong năm gần đây, quang học phi tuyến phát triển vũ bÃo đà có ứng dụng to lớn lĩnh vực công nghệ laser, viễn thông, truyền tải xử lý thông tin Các vật liệu phi tuyến tạo trở thành thành phần hệ điện quang khác Ngoài quang học phi tuyến đà trở thành công cụ nghiên cứu lĩnh vùc khoa häc nh ho¸ häc, sinh häc… cha nãi ®Õn chÝnh lÜnh vùc vËt lý Quang phi tuyÕn bao gồm tượng hiệu ứng xảy cho ánh sáng có cường độ lớn qua môi trường Dưới tác động trường ánh sáng cường độ lớn trường xạ laser, tính chất quang học môi trường chiết suất, độ phân cực trở nên phụ thuộc vào cường độ trường Chính phụ thuộc đà gây nên hiệu ứng phi tuyến Tuỳ thuộc vào tính chất môi trường cường độ trường mà xảy hiệu ứng phi tuyến khác Các hiƯu øng phi tun cã thĨ x¶y nh hiƯu ứng Kerr, hiệu ứng Pockels, trình phát tần số tổng, phát tần số hiệu, phát hoà âm bậc hai, phát hoà âm bậc ba Phát hoà âm bậc hai tinh thể phi tuyến hiệu ứng quan trọng Mặc dù phát hoà âm bậc hai phát từ sớm vào năm 1961 Franken cộng tìm ra, đến ứng dụng ngày mở rộng Ngày người ta đà thực việc nâng cao tần số phát hoà âm bậc hai lên cao nhờ áp dụng loạt biện pháp kü tht víi viƯc lùa chän c¸c tinh thĨ phi tun cã ®é phÈm chÊt cao, sư dơng nhiỊu hƯ quang học, họ đà tìm tinh thể phi tuyến cho phát hoà âm bậc hai Phát hoà âm bậc hai biện pháp đơn giản để nâng cao tần số xạ laser Vì ánh sáng có cường độ lớn lan truyền môi trường thường xảy hiệu ứng phi tuyến hiệu ứng nhiễu xạ, hiệu ứng tán sắc, hiệu ứng tự biến điệu phaNên ứng dụng ánh sáng cường độ mạnh vào kỹ thuật truyền tải xử lý thông tin, tín hiệu bị phá huỷ thay đổi Tuy nhiên số trường hợp, ta lựa chọn môi trường tín hiệu vào có tính chất phù hợp có hiệu ứng triệt tiêu Khi tín hiệu lan truyền môi trường có hàm bao xung không bị thay đổi, ta gọi chúng soliton quang học Soliton quang học giải pháp hữu ích truyền tải xử lý thông tin Vì năm gần đây, vấn đề tìm ta phương trình cho nghiệm soliton vấn đề tiêu điểm Xuất phát từ lý đà lựa chọn đề tài: Sự tồn nghiệm soliton từ hệ phương trình liên kết sóng hòa ©m bËc hai vµ sãng tíi” Néi dung cđa ln văn trình bày theo bố cục gồm: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo Chương I Quang học phi tuyến soliton quang học Chương trình bày tổng quan quang học phi tuyến phân cực ánh sáng môi trường phi tuyến, hiệu ứng phi tuyến tiêu biểu Viết phương trình lan truyền ánh sáng môi trường phi tuyến Trình bày sở phương trình lan tuyền soliton không gian, thời gian Chương II Các trình trộn sóng phi tuyến Trình bày hệ thống trình trộn sóng phi tuyến, thành lập hệ phương trình liên kết phát tần số tổng, tần số hiệu, phát hoà âm bậc hai cho trường hợp xung lan truyền bị hạn chế thành phần không gian thời gian Giải phương trình số trường hợp cụ thể Đặc biệt đà giải thích cặn kẽ chế phát hoà âm bậc hai theo quan điểm xạ lượng tư Gi¶i thÝch hiƯu øng trén sãng theo quan điểm xạ lượng tử Chương III Sự tồn nghiệm soliton từ hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai sóng tới Trong chương trình bày việc dùng kiểm chứng Painlevé kiểm tra tính khả tích hệ phương trình liên kết sóng hoà âm bậc hai sóng tới Từ kết thu lựa chọn phương pháp giải hệ phương trình, cụ thể phương pháp song tuyến Hirota, tìm nghiệm sóng dịch chuyển Chương I Quang học phi tuyến soliton quang học 1.1.Hệ phương trình Maxwell Đến đầu kỷ XIX, người ta nghiên cứu điện tích điện trường chúng tách rời dòng điện từ trường liên đới, họ cho trường liên hệ với Cho đến Faraday từ trường biến thiên theo thời gian phát sinh điện trường điện trường biến thiên sinh từ trường biến thiên Tuy nhiên Faraday lại không tìm phương trình liên hệ thành phần trường Năm 1860 Maxwell đà chứng minh lí thuyết hợp phương trình mô tả đồng thời điện trường từ trường ông đà chứng minh giả thuyết Faraday Trường điện từ điểm không gian đặc trưng bốn véctơ Véc tơ cường độ điện trường E, véc tơ cảm ứng từ D, véc tơ cường độ từ trường H véc tơ cảm ứng từ B Các đại lượng hàm toạ độ thời gian, chúng không biến thiên cách tuỳ ý mà tuân theo quy luật xác định Quy luật biến thiên chúng đà Maxwell khái quát hoá hệ phương trình tổng quát Hệ phương trình Maxwell: Dr , t r , t Br , t B E r , t r , t t r , t D H r , t J r , t t 1.1 1.2 1.3 1.4 Và phương trình liên hệ (phương trình vật chất) D E, B H , J E (1.5) J r , t r , t véctơ mật độ dòng điện mật độ điện tích; , độ điện thẩm, độ từ thẩm độ dẫn điện môi trường Trong chân không 10 9 F , 4 10 H m m 36 ý nghĩa phương trình là: phương trình (1.1) cho thấy nguồn gốc sinh ®iƯn trêng lµ ®iƯn tÝch vµ trêng nµy lµ trêng Phương trình (1.2) cho thấy từ trường trường xoáy, đường sức từ đường cong kín Còn hai phương trình (1.3), (1.4) hai phương trình trường điện từ, chúng xây dựng dựa định luật dòng toàn phần định luật cảm ứng từ Faraday Phương trình (1.3) cho thấy từ trường biến thiên sinh điện trường điện trường xoáy, phương trình (1.4) cho biết nguồn gốc sinh từ trường dòng điện biến thiên điện dịch Các phương trình (1.5) thể phản ứng môi trường có điện trường tác dụng Các đặc trưng môi trường vật chất đươc thể qua tham số điện từ Nừu tham số điện từ , , số môi trường gọi đồng đẳng hướng, véctơ trường song song cặp với E // D, B // H Môi trường gọi tuyến tính tham số điện từ , không phụ thuộc vào cường độ điện trường Và phương trình (1.5) phương trình tuyến tính Trong trường hợp tham số điện từ phụ thuộc vào cường độ trường môi trường gọi môi trường phi tuyến Nừu tham số , theo hướng khác có giá trị khác môi trường gọi không đẳng hướng.Trong môi trường tham số điện từ , có dạng tenxơ [5] Chúng ta có cách mô tả tương đương trường hợp xác đưa vào khái niệm phân cực môi trường, biểu môi trường trước nhiễu loạn gây có mặt trường Có thể coi môi trường tập hợp điện tử ion dương Khi trường trọng tâm điện tích âm (đám mây điện tử) trùng với vị trí trọng tâm ion mang điện tích dương (hạt nhân) Khi có mặt trường ngoài, ion dương chuyển động theo hướng trường, điện tích âm theo hướng ngược lại Trong chất dẫn điện có số điện tích tự do, tác động trường ngoài, chuyển động điện tích tạo thành dòng Còn chất điện môi, có điện tích liên kết với nhau, song tâm đám mây điện tử bị dịch chuyển khỏi hạt nhân Khi xuất lưỡng cực cảm ứng Chính tổng lưỡng cực cho ta phân cực môi trường, lúc ta viÕt: D E P (1 ) E (1.6) Trong P véc tơ phân cực môi trường, độ cảm điện chất điện môi Trong trường hợp tổng quát tenxơ Cách mô tả cuối đặc biệt thuận tiện cho phép ta khái quát hoá trường hợp môi trường phi tuyến, lúc véc tơ phân cực bao gồm hai thành phần: phân cực phi tuyến phân cực tuyến tính P P L P NL (1.7) phân cực tuyến tính P L phụ thuộc tuyến tính vào E , phân cực phi tuyÕn P NL phô thuéc phi tuyÕn vµo E Khi ta cã thĨ bá qua P NL cường độ trường nhỏ, ta có quang häc tuyÕn tÝnh Khi c¸c trêng cã cêng ®é lín ta kh«ng thĨ bá qua P NL , lóc ®ã ta cã quang häc phi tun Nh vËy ta thÊy r»ng tÝnh phi tun kh«ng chØ phơ thc vào môi trường mà phụ thuộc vào cường độ trường tác động Người ta lấy ngày quan sát phát hoà âm bậc hai ngày sinh quang học phi tuyến Không phải ngẫu nhiên mà điểm khởi đầu quang học phi tuyến sảy sau xuất laser đầu tiên, lẽ ta biết laser nguồn xạ có cường độ lớn 1.2 Cơ sở quang học phi tuyến Đại lượng phương trình (1.5) thể phản ứng môi trường có tác động điện trường Dưới tác động trường có cường độ 52 (3.12) Khai triển(3.12), thực cân hệ số số mũ F xác định giá trị có p, q, r, s Quá trình biến đổi ta thu hệ phương tr×nh cho p, q, r, s p q r , q p s s 2q r p , (3.13) Suy p = q = r = s = -2 Tính số hạng đầu chuỗi Laurent Các hệ số F-2 cân nhau, nên ta thu được: U 1 V0W0 V0 1 U Y0 W0 2 1 U 02 Y0 1 V02 Suy U0 (3.14) 0 0 P P 6 , V0 , W0 , Y0 víi Q0 lµ mét hµm t ý cđa z Q0 Q0 Q0 Q0 Tính cộng hưởng Thay nghiệm dạng chuỗi Laurent (3.10) với giá trị tìm p = q = r = s = - vµo (3.8), xác định bốn hệ thức truy hồi cho U n, Vn, Wn,Yn Chóng cã d¹ng chung: QnU n Gn U ,U , ,U n1 , F , t , z , Qn lµ mét ma trËn kk vµ U n U 1n , U n , ,U Kn T Mỗi chuỗi hàm (3.10) có hàm đến (m-1) tuỳ chọn, theo yêu cầu lý thuyết điều kiện đầu Cauchy Kovalevskaya Các hàm tuỳ chọn (m-1) Un, Vn, Wn, Yn sÏ xt hiƯn n lµ mét c¸c nghiƯm cđa det(Q) = C¸c nghiƯm n1, n2,…,nm gọi số cộng hưởng Đối với hệ phương trình (3.7), sau tính ta thu phương trình: QnU n hay: n n 3U n W0Vn V0Wn Y U n 2n 3V U Y n n n 2U 0U n n n 3D Wn 2V V n n 3D Y n n 0 0 0 0 (3.15) 53 Tõ ®iỊu kiƯn det(Q) = chóng ta suy phương trình bậc tám cho n n 20n 174n 860n 2416n 3360 n 396n 6480 n (3.16) Phương trình cã c¸c nghiƯm: 1, 0, 5, 6, i 23 , 5 i 23 , 5 i 47 , 5 i 47 (3.17) §èi víi bÊt kỳ phương trình giá trị n = -1 tồn tương ứng với tính tuỳ ý F, thường gọi cộng hưởng phổ biến Giá trị n = t¬ng øng víi nghiƯm U0, V0, W0, Y0 chóng tØ lệ nghịch với hàm số tuỳ ý Q0 Còn tất nghiệm khác n số nguyên, không âm hệ ta xét có tính chất Painlevé Nhìn vào kết thu (3.17) sù xuÊt hiÖn nghiÖm phøc cã nghÜa r»ng hệ phương trình (3.8) tính chất Painlevé toàn phần hay hệ không khả tích Tuy nhiên (3.17) xt hiƯn hai nghiƯm n = vµ n = hai nghiệm nguyên dương, nên cã thĨ hƯ sÏ cã mét phÇn tÝnh chÊt PainlevÐ Chúng ta cần phải qua bước tiếp theo, kiểm tra lại tính phù hợp từ cộng hưởng tìm Tìm số tích phân kiểm tra điều kiện tương thích Đối với hệ có tính chất Painlevé, hàm Ui(F) tuỳ ý kiểm tra đến bËc céng hëng cao nhÊt, thùc hiÖn b»ng viÖc thay thÕ: rn U F p U n F n n 0 W F r rn W F n 0 n n rn V F q Vn F n n 0 Y Y p rn Y F n (3.18) n n vào (3.7), rn số cộng hưởng nguyên dương cao Đầu tiên chóng ta viÕt c¸c biĨu thøc cđa U, V, W, Y với giá trị từ n=1 đến n=4 Sau thay biểu thức tìm vào (3.10), cïng víi p = q = r = s= - nghiệm U0, V0, W0, Y0 theo P0 Chúng ta thu bốn hệ phương trình cho biÕn Un, Vn, Wn, Yn víi n Hệ phương trình n=1: 54 2U 2iU Fz V0W1 V1W0 2V 2iV F U Y U Y z 1 2iW0 Fz U 0U P W1 i Y0 Fz V0V1 P Y1 0 (3.19) Hệ phương trình n=2: iU Fz iU z V0W V1W1 V 2W iV F iV U Y U Y U Y 0z 1 x iW1 Fz i W z U 0U U i Y F i Y 2V V V z (3.20) HƯ ph¬ng trình n=3 iU 1z V0W3 V1W2 V2W1 V3W0 iV U Y U Y U Y U Y 1z 2 iW U U U U 0 1z i Y1z V0V3 2V1 V2 (3.21) Hệ phương trình n=4 2U iU Fz iU z V0W4 V1W3 V2W2 V3W1 V4W0 2V iV F iV U Y U Y U Y U Y U W z 2z 2 3 iW3 Fz iW2 z 2U 0U U 1U PV4 U i Y i Y V V V V PU V 4 (3.22) C¸c nghiƯm cđa hƯ phương trình dài không viết biểu thức nghiệm Sau tìm nghiệm Un, Vn, Wn, Yn với n , thay vào hệ phương trình cho n=5 Hệ phương trình cho n=5: 6U W0W5 V0W5 (2iU Fz iU z V1W4 V2W3 V3W V4W1 ) Y U 6V U Y 2iV F iV U Y U Y U Y U Y 5 z 3z 3 2U 0U PV5 (2iW4 Fz iW3 z 2U 1U 2U 2U 2V0V5 PY5 2iY4 Fz iY3 z 2V1V4 2V2V3 a b (3.23) c d Sau tìm dạng tường minh hệ (3.23) chương trình chạy kiểm chứng đà kiểm tra lại tìm điều kiện phụ thuộc tuyến tính hệ phương trình dạng: PQ03 Eq[a ] PQ0 Eq[b] Q04 [c] Eq[d ] (3.24) 55 §Ĩ (3.24) thoà mÃn bắt buộc: P = 1/2 P = -1 Sau tìm hai giá trị P ta thay vào (3.23) tìm U5, V5, W5, Y5 Sau ®ã kiĨm tra sù phơ thc tun tính giá trị n = Kết cho thÊy t¹i n=6 sù phơ thc tun tÝnh chØ tho· mÃn với giá trị P =1/2 Kết P=1/2 yêu cầu hệ số tán sắc Như kiểm chứng Painlevé phương trình (3.8) đà cho ta kết hệ không khả tích theo nghĩa Painlevé Nhưng với giá trị n = khẳng định hệ có phần tính chất Painlevé, tức hệ có khả cho chóng ta nghiƯm soliton víi ®iỊu kiƯn tØ sè hƯ số tán sắc hai sóng P=1/2 Đối với hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến có phần tính chất Painlevé giải phương pháp tán xạ ngược, cặp Lar, hay biến đổi Backlund mà phải sử dụng phương giải khác hữu hiệu Phần sử dụng phương pháp song tuyến tính Hirota để giải phương trình (3.7) 3.3 Phương pháp song tuyến tính Hirota Năm 1971, Hirota đà giới thiệu phương pháp trực tiếp cho việc xây dựng lời giải nhiều soliton từ phương trình vi phân phi tuyến ý tưởng phương pháp phải tạo phép biến đổi từ biến số mới, lời giải nhiều soliton biến số thường xuất dạng đặc biệt Đây phương pháp đại số phương pháp giải tích, tỏ có hiệu nhanh chóng đưa lời giải N-Soliton từ việc áp dụng vào giải phương trình KdV, phương trình mKdV, phương trình SineGordon, phương trình Schrodinger phi tuyến, tìm thấy sở phương pháp tài liệu [12], [6], [2] Phương pháp Hirota bao gồm hai bước sau: Chọn biến đổi thích hợp để chuyển phương trình phi tuyến thành phương trình song tuyến tính 56 Giải phương trình song tuyến tính theo biến số phụ thuộc từ suy biểu thức nghiệm cho phương trình Bất đầu từ hệ phương trình (3.7), ta đưa hệ đến hệ phương trình lưỡng tuyến tính QD z , Dt F G (3.25) Với Q đa thức toán tử [12], [2] n m QDt , D z F G F z , t G z ' , t ' z z ' t t ' z z ', t t ' (3.26) §Ĩ cã thĨ song tuyến tính hoá (3.7), ta tìm nghiệm phương trình (3.7) dạng: U G H , W F F (3.27) G H hàm phức theo biến z t, F mét hµm thùc cđa biÕn z vµ t Khai triĨn F, G, H díi d¹ng nhiƠu lo¹n cđa tham sè h×nh thøc F f f G g g g H h1 h3 h5 (3.28) f, g h tổng hàm đa thức hàm mũ theo biến z t Thay (3.27) vào (3.7), ta có hệ phương tr×nh: * G G G H 0 i F z F tt F F H H G i F P F F tt z (3.29) Khai triÓn hệ phương trình (3.29) sử dụng tính chất cđa to¸n tư Hirota Dz , Dt , sau: 57 D x f g f x g fg x (3.30) D x Dt f g fg xt f x g t f t g x f xt g P D f g P D g f Qua mét vµi phÐp biÕn đổi đại số đơn giản hệ phương trình (3.29) chun thµnh hƯ: F iD D G.F G D F F FG * H z t t G F iD z PDt2 H F H PDt2 F F FG 0 H (3.31) DÊu “ ±” tríc FG*/H (3.31) t¬ng øng víi dÊu “ ” trước U2 (3.7) Để có phương trình song tun tÝnh Hirota ë d¹ng (3.25), chóng ta thõa nhËn tất biểu thức dấu ngoặc đơn (3.31) không Ta thu hệ phương trình song tuyÕn tÝnh: iD z Dt2 G.F iD z PDt2 H F (3.32) Đồng thời chóng ta cã: Dt2 F F FG * H FG vµ Dt2 F F G PH FG * H FG G PH Suy (3.33) Biểu diễn G H hệ toạ ®é cùc: G G expi , H H expi Thay (3.34) vµo (3.33) chóng ta rót được: Phụ thuộc vào dấu phía trước = 2 +k hc (3.34) G H P (3.35) FG ë (3.31) vµ dÊu cđa P ta sÏ cã: H 2 2k ; víi k = 0, ± 1,… (3.36) Giá trị = +k tương ứng với dấu (+) (3.31) P > 0, dấu () ë (3.31) vµ P < Hay D1D212 > 58 Giá trị 2k t¬ng øng víi dÊu (+) ë (3.31) P < 0, dấu () (3.31) P > Hay D1D212 < Trở lại với hệ phương trình song tuyến tính (3.32), tiếp tục thực phép biến đổi, (3.32) tương đương: i G z F GFz G tt F G t Ft GFtt i H z F HFz P H tt F H t Ft HFtt a b (3.37) Nh©n hai vế (3.37a) với G* (3.37b) với H* Đồng thời lấy liên hợp phức hai vế (3.37a) (3.37b), sau tiếp tục nhân hai vế với G H, t¬ng øng TiÕp tơc trõ vÕ víi vÕ cđa hai phương trình thu từ phép biến đổi đầu với hai phương trình thu từ phép biến đổi sau, đồng thời kết hợp với (3.34) thu hệ phương trình: * * * * GG * F GG z F GG F GG t F 2GG Ft t t HH * F HH * F P HH * F HH * F HH * F t z t t t (3.38) Nhân hai vế hệ phương trình (3.38) với F/F4 thực số phép biến đổi đơn giản, ta dễ dàng thu hai phương trình: z z GG * GG * 0 t F t F2 HH * HH * 0 P t F t F2 Mặt khác từ (3.35) (3.36) ta thu được: GG * * HH P t t Thay (3.40) vµo (3.39), suy ra: GG * GG * t F t z F * * GG P GG P z F P t F t 0 0 (3.39) (3.40) 59 Suy ra: z z GG * t F t 0 GG * t F t 0 GG * F2 GG * F2 4P 2 P 1 GG * t F t (3.41) Để (3.41) có nghiệm không tầm thêng, vµ chØ : 2P P (3.42) Kết cho chóng ta thÊy chØ cã trêng hỵp cã dÊu (+) phÝa tríc U2 ë (3.7) lµ cã ý nghÜa vËt lý, ®ång thêi nã cịng cho thÊy sù phù hợp với điều kiện hệ khả tích phần đà tìm kiểm chứng Painlevé Từ điều kiện P H 2G e i thay vào hệ phương trình (3.32) ta ®ỵc: iD z Dt2 G.F i iD z Dt Ge F (3.43) Khai triĨn (3.43): thay c¸c to¸n tư Dz , Dt thực phép biến đổi cách lấy đạo hàm riêng cho thành phần, sau đồng vế phương trình tìm phương trình cho pha: z z , t t2 z , t (3.44) Bằng phương pháp đường đặc trưng xác định dạng nghiệm phương trình (3.44), vói mục đích sử dụng phương pháp xác định dạng U có phải soliton hay không soliton Chi tiết phương pháp tìm thấy tài liệu [8] Đường đặc trưng (3.44) tìm là: t = t0 +2(o,t0)z Nghiệm phương trình (3.44) cã d¹ng chung: z , t 0, t (3.45) t t 4z (3.46) 60 Điểm kỳ dị (3.46) z = điểm kỳ dị động, phụ thuộc vào điều kiện đầu hệ mặt phẳng phức, suy tõ (3.46) t t0=O(z) z -> dọc theo đường đặc trưng Cũng giống phát họa âm bậc ba [9], đường đặc trưng phương trình pha (3.44) đường thẳng (3.45) t số dọc theo đường đặc trưng Mặt khác từ (3.44) thấy rút t liên hệ với bình phương biên độ GG * HH * G qua biÓu thøc , const bình phương F F F t biên ®é sãng cịng sÏ kh«ng thay ®ỉi däc theo ®êng đặc trưng pha Như điều mang lại kết nghiệm số dọc theo vài đường thẳng Đây tính chất tiêu biểu sóng đơn riêng lẻ nghiệm nhiều Soliton, tương tác soliton có kết làm biến dạng đường chúng Từ chóng ta ®i ®Õn kÕt ln, hƯ chØ cã thĨ có nghiệm soliton sóng đơn riêng lẻ Thay điều kiện (3.35) (3.36) vào (3.27) ta cã: G G i e u e i F F G 2i H H i W e e u e 2i U e i F F H U (3.47) Thay (3.47) vào phương trình đầu (3.7): iU z U tt U *W iu z e i iu e i Suy z utt e i 2ut e i t u e i tt i u x u t t u tt u z u tt u t2 2u ei u (3.48) Thay (3.44) vào (3.48) thu hai phương trình: u tt u u x u t t u tt 3 49 3 50 61 DÊu (+) tríc ë (3.49) = 2 +k vµ dÊu () 2 2k Lu ý: dÊu (±) tríc ë (3.49) kh¸c víi dÊu ± trước U2 (3.7) (3.31), suy tõ (3.7) víi trêng hỵp dÊu (+) tríc U2, kÕt hợp với P=1/2 Để thấy khả cho nghiệm soliton cđa (3.7), chóng ta cã thĨ biÕn ®ỉi ®a phương trình đà biết Thay U * U e i vµ W * U e i vào phương trình đầu (3.7) suy ra: iU z U tt U U (3.51) T¬ng tù nh vËy chóng ta thu phương trình cho W Những phương trình có dạng gần giống phương trình Schrodinger phi tuyến, mà phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) vấn đề xa lạ, ta xem chi tiết phương pháp giải NLS tài liệu [6] 3.4 Nghiệm sóng dịch chuyển Bằng phương pháp đổi biến số Hirota, ta đà suy (3.44), (3.49), (3.50) (3.51) sở để ta tìm nghiệm sóng dịch chuyển (3.7) Có thể tìm nghiệm sóng chạy cách giả thiết u phụ thuộc vào biÕn sè kÕt hỵp t z (víi v lµ vËn tèc sãng) v z Hay u f t vµ t ; z v v Nh©n hai vÕ cđa (3.51) víi U* råi trõ vÕ với vế cho phương trình thu từ việc lấy liên hợp phức (3.51) nhân U, ta được: u u* v f2 v z uu * Víi C1 = C1(z) XÐt trêng hỵp nÕu C1 = 0: f t 0 C1 3.52 62 v Phương trình (3.52) tương đương 2 KÕt hỵp víi z t2 , ta suy 1 VËy: 4v 1 z 0 4v t z 0 víi 0 lµ h»ng sè 2v 4v Khi C1 0 Phương trình (3.52) tương đương Lấy tích phân theo ta cã: 2v C 12 2v f C1 d f2 Sử dụng tính chất đạo hàm riêng z = z, , ta suy ®Ĩ u hay f bắt buộc C1 = Vậy nghiệm pha biên độ sóng tới u lµ: t z 2v 4v (3.53) Xét phương trình cho biên độ: utt 2u hay u 2u nh©n hai vÕ víi u råi lÊy tích phân lần thứ theo ta có: u2 2 u0 u 3 (3.54) víi u0 lµ h»ng sè tÝch phân Phương trình (3.54) có dạng giống phương trình Weierstrass, nghiƯm cđa nã tØ lƯ víi hµm Weierstrass: u3 u 3 2 , 0, 2 (3.55) Như biên độ hàm bao sóng tỉ lệ với hàm Weierstrass , giá trị chúng lặp lại hàm Weierstrass hàm tuần hoàn Chúng nghiệm đặc biệt Chu kỳ u() tăng không xác định trình gia tăng u0 Nó có xu hướng tiÕn vỊ kh«ng u0 Do vËy nghiƯm có dạng chuỗi sóng tuần hoàn mà không bị giới hạn soliton riêng lẽ 63 Kết luận Với mục đích tìm điều kiện tồn nghiệm soliton từ hệ phương trình lan truyền chùm laser đơn sắc kết hợp với hoà âm bậc hai môi trường phi tuyến, tìm phương pháp giải hệ cách hiệu triệt để nhất, đà đề xuất nghiên cứu đề tài "Sự tồn soliton từ hệ phương trình liên kết sóng hoà âm bậc hai sóng tới" Chúng đà rút sè kÕt luËn sau : 1.Khi xung ¸nh s¸ng lan truyền môi trường phi tuyến, thông số xung trình lan truyền chịu ¶nh hëng cđa nhiỊu hiƯu øng kh¸c Trong trêng hợp đặc biệt, hiệu ứng tự triệt tiêu lẫn nhau, lúc trình lan truyền hình dạng xung không đổi ta thu soliton quang học Khi giải toán phát tần số tổng, tần số hiệu phát họa âm bậc hai nhận thấy, trình trường hợp không hợp pha lượng chuyển hoá sóng có hiệu suất cao Chỉ xảy điều kiện hợp pha hiệu suất chuyển đổi lượng nâng cao cách triệt để, ta giải thích cách tường minh trình mô hình xạ lượng tử Kiểm chứng Painlevé phương pháp triệt để hiệu để kiểm ta khả cho nghiệm soliton phương trình vi phân phi tuyến Khi sử dụng kiểm chứng Painlevé kiểm tra điều kiện khả tích hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai sóng tới, kết cho thấy hệ tính chất Painlevé đà trường hợp đặc biệt tỉ số hệ số tán sắc P=D1/D2=1/2 hệ khả tích phần theo nghĩa Painlevé Tức hệ có khả cho nghiệm soliton Phương pháp song tuyến Hirota đà chứng tỏ kiểm chứng Painlevé mang lại Ngoài việc mang kết phù hợp với kiểm chứng Painlevé, 64 phương pháp đưa lại hai điều kiện pha sóng họa âm bậc hai hai lần pha sóng tới biên độ họa âm bậc hai hai lần biên độ sóng tới Nghiệm hệ có dạng đoàn sóng chạy hàm bao đơn, biên độ chúng tỉ lệ với giá trị tuyệt đối hàm Weierstrass, giá trị chúng lặp lại tuần hoàn Tóm lại: Nội dung luận văn đà tập trung vào vấn đề chủ yếu mà đề tài đà đặt Tuy nhiên vấn đề lĩnh vực quang học, cần tiếp tục quan tâm giải triệt để 65 Tài liệu tham khảo [1] V Cao Long, P.P Goldstein, S.Vu Ngoc (2004) On Existence of Solitons for the Second Harmonic Equations of a Laser Beam,Acta Phys Pol A 105 [2] Cao long Vân, Đinh Xuân Khoa, M.Trippenback, (2003) Nhập môn quang học phi tuyến, ĐH Vinh [3] Guang S.He, Song H.Liu, (1999) Physics of nonlinear optics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, Singapore [4] Cao Long V©n, Nguyễn Huy Công, (1991)Nhập môn quang lượng tử, ĐHV [5] Robert W.Boyd, (1992)Nonlinear optics, Academic Press.Inc [6] Bùi Đình Thuận, (2004)Khảo sát lan truyền xung môi trường phi tuyến kiểu Kerr-Soliton quang học, Luận văn thạc sỹ Vật lý, Đại học Vinh [7] Douglas Baldwin, Willy Hereman, (2005) Symbolic software for the PainlevÐ test of nonlinear ordinary and partial differential equations, ArXiv:ninl SI/0505004 v1 [8] Lokenath Debnath,(1997)Nonlinear Partial Differential Equations for Scientitss and Engineers, Birkhauser Boston- Basel-Berlin [9] V.Cao Long, P.P.Goldstein, M Trippenbach, (2004) On Existence of Solitons for the 3nd Harmonic of a Light Beam in Planar Waveguides,Acta Phys.Pol.A05,437 [10] R Conte (1999), in: The PainlevÐ Property One Century Later, Ed R Conte, SpringerVerlag, New York [11] C.Etrich, U.Peschel, F.Lederer, B.A.Malomed, Phys.Rev.E 55, 6155 (1997) [12] J Hietarinta,(1997) Introduction to the Hirota bilinear method, Arxiv: solve-int / 9708006 V1 66 [13] Bahaa E.A.Saleh, Malvin Carl Teich,(1992) Fundamentals of Photonics (TII, III), A Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc [14] John Weiss, M Tabor and George Carnevale, The PainlevÐ property for partial differential equations, J.Math.Phys (to the published) [15] Baldwin D and Hereman W, PainleveTest.m,(2001) A Mathematica Package for the PainlevÐ Test of Systems of ODEs and PDEs http://www.mines.edu/fs home/whereman/software/painleve/mathematica [16]Clarkson P A,(1985) The PainlevÐ Property and a Partial Differential Equations with an Essential Singularity, Phys Lett 109A(5), 205–208