I HÅC NNG TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHAN THỊ QUỲNH NHƯ MËT SÈ TIN TCH TRN SIU KHỈNG GIAN PIXLEY-ROY LUN VN THC S TON HÅC Nđng - 2023 I HC NNG TRìNG I HÅC S× PHM PHAN THỊ QUỲNH NHƯ MËT SÈ TIN TCH TRN SIU KHặNG GIAN PIXLEY-ROY Chuyản ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HC GiÊng viản hữợng dăn: TS Lữỡng Quốc Tuyn N®ng - 2023 MƯC LƯC MÐ U Chữỡng Kián thực cỡ sð 1.1 Kh¡i ni»m v· khæng gian tæpæ 1.2 Cì sð cõa tæpæ 1.3 LƠn cên 12 1.4 Tªp hđp âng v bao âng cõa mët tªp hđp 15 1.5 PhƯn cừa têp hủp 19 1.6 nh xÔ liản töc 21 1.7 Khæng gian 24 Ch÷ìng Mët sè ti¶n · t¡ch 27 2.1 C¡c ành ngh¾a 27 2.2 Mèi li¶n h» giúa c¡c Ti -khæng gian 30 Chữỡng Siảu khổng gian Pixley-Roy 45 3.1 nh nghắa v tẵnh chĐt cừa siảu khổng gian Pixley-Roy 45 3.2 Mët sè ti¶n · t¡ch tr¶n si¶u khỉng gian Pixley-Roy 50 KT LUN 58 TI LIU THAM KHO 59 Mé U Lỵ chồn à ti Nôm 1978, David J Lutzer  ữa khĂi niằm và tổpổ Pixley-Roy trản têp PR[X] gỗm tĐt cÊ cĂc têp khĂc rộng hỳu hÔn cừa mởt khổng gian tổpổ X , sau ny ngữới ta gồi l siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X] (xem [8]) TĂc giÊ Â thu ữủc nhiÃu kát quÊ quan trồng và giÊ- c trững ám ữủc, tẵnh ho n ch¿nh cõa si¶u khỉng gian Pixley-Roy PR[X] v mèi quan hằ cừa cĂc tẵnh chĐt tổpổ trản khổng gian tổpổ X vợi cĂc tẵnh chĐt tổpổ trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X] t÷ìng ùng cõa nâ (xem [5]) Tø õ, siảu khổng gian Pixley-Roy  thỹc sỹ thu hút nhiÃu nh toĂn hồc trản thá giợi quan tƠm nghiản cựu, nhiÃu kát quÊ thú v  thu ữủc và khỉng gian con, t½nh kh£ metric, t½nh compact, t½nh paracompact, t½nh Lindelof, t½nh di truy·n cõa tỉpỉ Pixley-Roy, (xem [7], [8]) Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, mởt nhỳng hữợng ữủc nhiÃu ngữới quan tƠm l nghiản cựu và mối liản hằ giỳa cĂc tẵnh chĐt tổpổ trản khổng gian tổpổ X vợi cĂc tẵnh chĐt tổpổ trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X] tữỡng ựng cừa nõ Nôm 2012, M Sakai  nghiản cựu và tẵnh chĐt FrchetUrysohn trản siảu khổng gian Pixley-Roy v  chựng minh r¬ng PR[X] l k -khỉng gian v ch¿ nâ l khỉng gian d¢y, v ch¿ nâ l khỉng gian Fr²chet-Urysohn Nhí â, t¡c gi£ ¢ thu ữủc kát quÊ c sưc liản quan án khổng gian Moore v khỉng gian kh£ metric r¬ng, X l khỉng gian thọa mÂn tiản à ám ữủc thự nhĐt v ch¿ PR[X] cơng vªy, v ch¿ PR[X] l khæng gian Moore; PR[X] kh£ metric v ch¿ nâ l khæng gian Lasnev (xem [7]) M°c dũ  cõ rĐt nhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu và si¶u khỉng gian PixleyRoy PR[X] cõa khỉng gian tỉpỉ X chữa cõ tĂc giÊ no à cêp án vi»c nghi¶n cùu v· c¡c ti¶n · t¡ch tr¶n si¶u khổng gian Pixley-Roy PR[X] Vợi mong muốn tẳm hiu và khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cừa siảu khổng gian Pixley-Roy, nghi¶n cùu mèi quan h» giúa c¡c ti¶n · tĂch trản X vợi cĂc tiản à tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X], dữợi sỹ hữợng dăn cừa thƯy giĂo TS Lữỡng Quốc Tuyn, chúng tổi quyát nh chồn · t i Mët sè ti¶n · t¡ch tr¶n si¶u khỉng gian Pixley-Roy lm à ti luên vôn thÔc sắ cho mẳnh ối tữủng nghiản cựu Siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X] cõa khỉng gian tỉpỉ X , c¡c ti¶n · tĂch trản khổng gian tổpổ PhÔm vi nghiản cựu Mèi li¶n h» giúa c¡c ti¶n · t¡ch tr¶n khỉng gian tổpổ X vợi cĂc tiản à tĂch trản siảu khỉng gian Pixley-Roy PR[X] t÷ìng ùng cõa nâ Mưc ẵch nghiản cựu cừa à ti Trong à ti ny, chóng tỉi nghi¶n cùu si¶u khỉng gian Pixley-Roy PR[X] cõa khæng gian tæpæ X , mèi quan h» giúa c¡c tiản à tĂch cừa khổng gian tổpổ X vợi cĂc tiản à tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy PR[X] tữỡng ựng cừa nõ ữa mởt số kát quÊ mợi ho°c mð rëng mët sè k¸t qu£ cõa c¡c t¡c giÊ i trữợc Phữỡng phĂp nghiản cựu ã Tham khÊo ti liằu, hằ thống lÔi mởt số kián thực và tổpổ Ôi cữỡng liản quan án kát quÊ nghiản cựu ã Thu thêp cĂc bi bĂo khoa hồc cừa cĂc tĂc giÊ i trữợc liản quan án tổpổ Pixley-Roy ã Th hiằn tữớng minh cĂc kát quÊ nghiản cựu à ti bơng cĂc vẵ dử, chựng minh cử th ã PhƠn tẵch, Ănh giĂ, tờng hủp v trao ời vợi thƯy hữợng dăn kát quÊ ang nghiản cựu hon chnh à ti cừa mẳnh CĐu trúc luên vôn Nởi dung luên vôn ữủc chúng tổi trẳnh by ba chữỡng Ngoi ra, khõa luên câ Líi c£m ìn, Mưc lưc, ph¦n Mð ¦u, ph¦n Kát luên v Ti liằu tham khÊo ã Chữỡng 1: Kián thực cỡ s Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt quan trồng cõa khỉng gian tỉpỉ nh¬m phưc vư cho vi»c chùng minh Chữỡng v Chữỡng ã Chữỡng 2: Mởt số tiản à tĂch Chữỡng ny trẳnh by cĂc khĂi ni»m v· c¡c Ti -khỉng gian tr¶n khỉng gian tỉpỉ X v mối liản hằ giỳa chúng ã Chữỡng 3: Siảu khổng gian Pixley-Roy Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt cừa tổpổ Pixley-Roy ữa mởt số tẵnh chĐt mợi và tiản · t¡ch tr¶n si¶u khỉng gian PR[X] 55 Suy ch¿ câ mët tªp âng X v chùa V l X , k²o theo V = X Nhữ vêy, V = X Do õ, n o [H, V ] = {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c} (3.2) Nhí (3.1) v (3.2), ta suy [H, V ] 6⊂ Cl[H, V ] V½ dư 3.2.6 Tỗn tÔi X l T0 -khổng gian m PR[X] khæng l T1 -khæng gian Chùng minh n o Gi£ sû X = {a, b} v τ = ∅, X, {a} Khi â, • X l T0 -khỉng gian Thêt vêy, ta cõ U = {a} l lƠn cên mð cõa a ∈ X , m b ∈ / U ã X khổng l T1 -khổng gian Thêt vêy, ta cõ cĂc lƠn cên m cừa a X l U1 = {a}, U2 = X v lƠn cên mð cõa b ∈ X l V = X Khi â, a ∈ V , suy X khæng ph£i T1 -khæng gian, k²o theo X khæng l T2 -khæng gian Ta câ n o PR[X] = {a}, {b}, X ; ( ) h i h i h i h i B= {a}, {a} , {a}, X , {b}, X , X, X GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng PR[X] l T1 -khæng gian X²t {b}, X ∈ PR[X], õ tỗn tÔi cĂc lƠn cên m U cừa {b} v V cõa X cho {b} ∈ / V, X ∈ / U 56 Rã r ng r¬ng ch¿ cõ nhĐt phƯn tỷ cừa B thọa mÂn n o {b} ∈ {b}, X = [{b}, X] ⊂ U n o Bi vẳ X {b}, X nản X U , Ơy l mởt mƠu thuăn Nhữ vêy, PR[X] khổng l T1 -khổng gian Vẵ dử 3.2.7 Tỗn tÔi PR[X] l T3 -khổng gian X khổng l T2 khỉng gian Chùng minh Gi£ sû X l tªp vổ hÔn vợi tổpổ Zariski = {A X : A = hoc X \ A hỳu hÔn} Khi â, • PR[X] l T3 -khỉng gian Theo chùng minh cõa ành l½ 2.2.8, X l T1 -khỉng gian Khi â, theo H» qu£ 3.2.4, ta câ PR[X] l T3 -khỉng gian • X khỉng l T2 -khỉng gian Theo chùng minh cõa ành l½ 2.2.8 , X khỉng l T2 -khổng gian Vẳ vêy, tỗn tÔi khổng gian tỉpỉ X cho PR[X] l T3 -khỉng gian nh÷ng X l T1 -khæng gian, khæng l T2 -khæng gian Gi£ sû (X, τ ) l mët khæng gian tæpæ Khi õ, náu X l T1 -khổng gian, thẳ PR[X] l khỉng gian chu©n tc Do â, PR[X] l T4 khỉng gian ành l½ 3.2.8 Chùng minh Gi£ sû A, B âng PR[X] cho A ∩ B = Ta cƯn chựng minh, tỗn tÔi cĂc lƠn cên mð U cõa A v V cõa B cho U V = Thêt vêy, ró rng rơng A ∈ PR[X] \ B v B ∈ PR[X] \ A Bi vẳ A, B õng nản PR[X] \ A, PR[X] \ B mð PR[X] M°t kh¡c, v¼ A ∩ B = ∅ 57 v B l cì sð cõa PR[X] nản tỗn tÔi U m A U ⊂ X cho A ∈ [A, U ] ⊂ PR[X] \ B Suy B ⊂ PR[X] \ [A, U ] Tø ành l½ 3.1.3 (1), ta câ [A, U ] âng PR[X] n¶n PR[X] \ [A, U ] mð PR[X] Do â, n¸u ta °t U = [A, U ], V = PR[X] \ [A, U ], thẳ U l lƠn cên m cừa A v V l lƠn cên m cừa B , thọa mÂn U V = Vẳ vêy, PR[X] l khổng gian chuân tưc Hỡn nỳa, theo nh lẵ 3.2.3, PR[X] l T1 -khæng gian, â PR[X] l T4 -khỉng gian 58 KT LUN Sau mët thíi gian tẳm hiu v nghiản cựu và mởt số tiản à tĂch trản siảu khổng gian Pixley-Roy, luên vôn  ữủc cĂc kát quÊ nhữ sau 1) Trẳnh by lÔi mởt c¡ch câ h» thèng v chùng minh chi ti¸t mët số kát quÊ cừa tổpổ Ôi cữỡng nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn 2) Trẳnh by mối liản hằ(giỳa cĂc loÔi Ti -khæng) gian khæng gian tæpæ X, â i ∈ 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 2 3) Nghi¶n cùu tỉpỉ Pixley-Roy v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa nõ 4) ữa mởt số kát quÊ mợi liản quan án mởt số tiản à tĂch trản khổng gian PR[X] CĂc kát quÊ ny ữủc trẳnh by cĂc nh lẵ 3.2.1, ành l½ 3.2.3, H» qu£ 3.2.4, ành l½ 3.2.8 5) ữa tẵnh chĐt quan trồng liản quan án bao õng cừa mởt têp PR[X], ữủc th hiằn nh lẵ 3.2.5 6) ữa cĂc Vẵ dử 3.2.2, 3.2.6, 3.2.7 º ch¿ sü khỉng t÷ìng ÷ìng giúa tẵnh chĐt T0 -khổng gian trản X vợi tẵnh chĐt T0 -khổng gian trản PR[X], tẵnh chĐt T0 -khổng gian trản X vợi tẵnh chĐt T1 -khổng gian trản PR[X] v tẵnh chĐt T3 -khổng gian trản X vợi tẵnh chĐt T3 -khổng gian trản PR[X] 59 TI LIU THAM KHO Tiáng Viằt [1] [1] Phan Th Quýnh Nhữ, TrƯn Nam Tián, Lữỡng Quốc Tuyn (2022), Mởt vi nhên xt trản siảu khổng gian Pixley-Roy, TÔp chẵ khoa hồc v cổng nghằ - Ôi hồc Nđng, Vol 20, No 11.1, tr 29-32 Ti¸ng Anh [2] R Engelking (1989), General Topology, Warszawa [3] L Kocinac (2001), The Pixley-Roy topology and selection principles, Questions Answers Gen Topology 19, 219-225 [4] L Kocinac, L Q Tuyen, O V Tuyen (2021), Some results on Pixley- Journal of Mathematics 2022, 1-10 [5] D J Lutzer (1978), Pixley-Roy topology, Topology Proc 3, 139-158 [6] C Pixley, P Roy (1969), Uncompletable Moore spaces, in: Proc Auburn Topology Conf., Auburn University 75-85 Roy hyperspaces, [7] M Sakai (2012), The Fr²chetUrysohn property of PixleyRoy hyperspaces, Topology and its Applications 159, 308314 [8] M Sakai (2013),The weak Hurewicz property of Pixley-Roy hyperspaces, Topology and its Applications 160, 2531-2537 CONG HoA xA HOI CUU NGHIA ~T NAM -Dc)c l~p - Tty - H~llh phllC DAI HOC DA NANG TRU'ONG D~I HQC su PH~M s6: c&lS IQB-DHSP [)ClN6ng, ngcly1t)thang3 nd m 2022 QUYET -DINH vs vi~c giao d~ tai va tnich Ilhi~m htn)'ng drill hl~n van thac si HLE=UTRUONG TRUONG D~I HQC SU PH~M - DHDN Can CIl'Nghi dinh h9CDti Niing: s6 321CP 041411994cua Chinh phu v~viec ldp Dai Can ctr Nghf quyet s6 08INQ-H[)DH 121712021 cua H(Ji dong [)qi h9C [)a N6ng v~ viec ban hanh Quy chi t6 chirc va hoat dong cua Dai hoc [)it Nang VCtNghi quyet s613INQ-H[)[)H 071912021ala H(Jia6ng Dai hoc Di: Nang v~ viec sua a61, b6 sung l11(Jts6 ai~u cua Quy chi t6 chicc VCthoat dong ala Dai h9C Ei« Niing; Can CIl'Nghi quyet s6 12INQ-H[)T 081612021 cua H(Ji dong truong Truong Dai hoc Sir phC;Z111 v~ viec ban hanh Quy chi t6 chuc vit hoat dong cua Truong [)C;Zi hoc Su pham - Dai h9C[)it Nang; Can CII'Thong tu s6 1512014ITT-BGD[)T 151512014c~laB(J GiGOd1;lCva [)ao tgo v~ vi¢c ban hanh Quy chi aCtotgo trinh ac)thgc sf; Can Cil'Quyit ajnh s6 1060IQ[)-DHSP 0111112016cLlaHi¢u trwyng Truong D(li h9CSu phc;zm- [)gi h9CDa Nang v~ vi¢c ban hanh Quy ainh aito tgo trinh ac}thgc sf; Can CLf: To trin17I1gity111312022cua Khoa TOGnh9C v~ vi¢c a~ nghf giao a~ tid lu¢n van thqc sf cho h9C Vie,l cao h9Cngitnh Toan giai tfch khoa 41; Xet a~ nghi cila Truong pi10ng Phong [)ao tgo QUYET -DINH: -Di~u Giao cho 17 hQc vien cao hQc nganh TO