ĐỊNH LÍ MATHERON VÀ TIỀN ĐỀ TÁCH

ĐỊNH LÍ MATHERON VÀ TIỀN ĐỀ TÁCH ĐẬU THẾ CẤP (*) BÙI ĐÌNH THẮNG (**) NGUYỄN THỊ THANH LÝ (***) TÓM TẮT Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu tiên đề tách 1 1 2 T và chứng minh một số dạng tổng quát của định lí Matheron trong không gian tôpô. ABSTRACT This paper introduces the separation axiom 1 1 2 T and proves some general forms of the Matheron theorem in topological spaces. 1. MỞ ĐẦU Cho E là một không gian tôpô. Kí hiệu , , F K G lần lượt là họ các tập con đóng, các tập con compact và các tập con mở của E tương ứng. Với mọi AEÌ , đặt { } :, A F F F AÎ Ç ¹ Æ=FF ; { } :,Î Ç = Æ A F F F AFF= Với mọi ,ÎK K và mọi họ hữu hạn 12 , , , Î n G G G G , đặt 1 2 1 2 , , , nn KK G G G G G G Ç Ç Ç Ç=F F F F F Dễ dàng thấy rằng với mọi ,ÎK K 12 , , , Î n G G G G { } khi khi K K E K K ì ï È Æ ¹ Æ ï = í ï =Æ ï î F F F , 1 2 1 2 , , , nn G G G G G G Æ Ç Ç Ç =F F F F , do đó họ (*) PGS.TS, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh (**) ThS, Trường Đại học Sài Gòn (***) ThS, Trường Đại học Đồng Tháp nếu nếu { } 12 , , , 1 2 : , , , n K G G G n K G G GÎ Î Î ¥, , n F K G là cơ sở của tôpô trên F . Ta gọi tôpô này là tôpô miss-and-hit trên F và F với tôpô này gọi là không gian miss-and-hit của E. Trường hợp E là không gian khả mêtric, khả li, tôpô miss-and-hit có nhiều ứng dụng, đã được nghiên cứu trong [4], [5]. Do đó, việc tìm các điều kiện đặt lên trên E để không gian miss-and-hit của nó có những tính chất tốt nào đó là có ý nghĩa. Định lí Matheron trong [4], [5] đã cho những điều kiện như thế trong trường hợp E là không gian mêtric khả li. Trong [2] chúng tôi đã nghiên cứu bài toán tương tự khi E là một không gian tôpô bất kì. Tiếp tục [2], bài viết này chúng tôi sẽ khảo sát triệt để hơn bài toán nói trên, kết quả nhận được là sâu sắc hơn ngay cả khi E là không gian mêtric. 2. 1 1 2 T – KHÔNG GIAN A Không gian tôpô E gọi là 1 1 2 T – không gian nếu mọi tập con compact của E đều là tập đóng. Nếu E là 1 1 2 T – không gian thì mọi tập chỉ gồm một phần tử đều là compact nên là tập đóng, do đó E là 1 T – không gian. Nếu E là 2 T – không gian (hay Hausdorff ) thì mọi tập con compact của E đều là tập đóng nên E là 1 1 2 T – không gian. Bây giờ ta sẽ chỉ ra 1 1 2 T – không gian là một khái niệm thật sự trung gian giữa 1 T và 2 T – không gian. 2.1. Ví dụ. Tồn tại 1 T – không gian khả li, không là 1 1 2 T – không gian. Giả sử E là một tập vô hạn. Trên E xét tôpô có phần bù hữu hạn (hay tôpô Zariski), tức là tôpô gồm tập rỗng và tất cả các tập con của E có phần bù hữu hạn. Mọi aEÎ thì \{ }Ea là tập mở nên {}a là tập đóng. Vậy E là 1 T – không gian. Dễ thấy mọi tập con vô hạn của E đều trù mật trong E. Ta sẽ kiểm tra rằng mọi tập con K của E đều compact. Thật vậy, nếu K là tập hữu hạn thì hiển nhiên K compact. Nếu K vô hạn thì xét phủ mở bất kì { } i iI G Î của K. Chọn 0 iIÎ sao cho 0 i GKÇ ¹ Æ . Do 0 \ i EG là tập hữu hạn nên ( ) 0 \ i J K E G=Ç là tập hữu hạn. Mọi jJÎ chọn j iIÎ sao cho j i jGÎ . Khi đó { } { } 0j ii jJ GG Î È là phủ con hữu hạn của K. Vậy K compact. Chọn 0 K là tập vô hạn của E sao cho 0 \EK cũng là tập vô hạn. Ta có 0 K là tập compact nhưng không đóng, tức E không là 1 1 2 T – không gian. 2.2. Ví dụ. Tồn tại 1 1 2 T – không gian không là 2 T – không gian. Giả sử E là tập không đếm được với tôpô có phần bù đếm được, tức là tôpô gồm tập rỗng và tất cả các tập con của E có phần bù (không quá) đếm được. Dễ dàng thấy rằng E không là 2 T – không gian. Ta sẽ chỉ ra E là 1 1 2 T – không gian. Giả sử A là tập con vô hạn bất kì của E. Chọn dãy { } n x các điểm phân biệt trong A. Đặt \{ : , } nk G E x k k n= Î ¹¥ Ta có { } n G là phủ mở của A không có phủ con hữu hạn. Do đó A không compact. Từ chứng minh trên suy ra tập con K của E compact khi và chỉ khi K là tập hữu hạn. Do đó mọi tập con compact của E đều đóng hay E là 1 1 2 T – không gian. Ta có kết quả thú vị sau 2.3. Mệnh đề Cho E là 2 T – không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó E là 1 1 2 T – không gian khi và chỉ khi E là 2 T – không gian. Chứng minh. Giả sử trái lại E không là 2 T – không gian. Khi đó, do E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, nên tồn tại , a b EÎ , tồn tại cơ sở lân cận giảm đếm được { } n U của a không chứa b và { } n V của b không chứa a sao cho nn UVÇ ¹ Æ với mọi n Î ¥ . Chn n n n x U Vẻầ v t { } { : } n A a x n= ẩ ẻ Ơ . Xột ph m tu ý { } i iI G ẻ ca A. Chn 0 iIẻ sao cho 0 i aGẻ . Khi ú tn ti 0 n sao cho 00 ni UGè . Ta cú 0 nn xUẻ vi mi 0 nn . Mi 0 jn< , chn j i sao cho j ji xGẻ . Ta cú { } 0 1 0 j n i j G - = l ph con hu hn ca A. Vy A l tp compact. Do { } n xAè , n xbđ nờn , b A b Aẻẽ . Ta cú A l tp compact nhng khụng l tp úng nờn E khụng l 1 1 2 T khụng gian. 3. NH L MATHERON 3.1. Gii thiu nh lớ Trong [4] cú nh lớ sau õy: nh lớ Matheron nguyờn thu. Cho E l khụng gian mờtric y compact a phng v kh li. Khi ú khụng gian miss-and-hit ca E l compact, kh li v Hausdorff . Trong [5] cỏc tỏc gi ó xột nh lớ nguyờn thu núi trờn trong trng hp E l khụng gian mờtric khụng compact a phng. Trong bi ny chỳng tụi a ra hai nh lớ sau 3.1.1. nh lớ. Cho E l 1 1 2 T khụng gian, compact a phng v kh li. Khi ú khụng gian miss-and-hit ca E l compact, kh li v Hausdorff . 3.1.2. nh lớ. Cho E l khụng gian mờtric compact a phng kh li. Khi ú khụng gian miss-and-hit ca E l compact v kh mờtric . Trong chng minh nh lớ 2.1 v nh lớ 2.2 ta cũn nhn c cỏc tng quỏt ca nh lớ Matheron nguyờn thu theo nhng khớa cnh riờng l. 3.2. Chng minh nh lớ 3.1.1. nh lớ 3.1.1. c suy ra t cỏc Mnh 3.2.1 3.2.3. sau õy: 3.2.1. Mnh . Cho E l khụng gian tụpụ tu ý. Khi ú khụng gian miss-and-hit ca E l 1 T khụng gian v compact. Chng minh. Gi s Ly 1 2 1 2 , , F F F FẻạF . Ta cú th gi thit 21 \FFạặ . Chn 21 \x F Fẻ . Khi ú { } 1 x F U =F , 21 \F E F U ặ =F l cỏc lõn cn ca 1 F v 2 F tng ng tha món 1 2 F FUẽ v 2 1 F FUẽ . Vy F l T 1 - khụng gian. Để chứng minh F compact, theo Bổ đề Alexandroff , ta chỉ cần chứng minh mọi phủ của F dạng { } { } : , : , i j K i G j K i I G j JÎ Î È Î ÎF F G có phủ con hữu hạn. Đặt j jJ G Î W= È . Khi đó W mở. Vì ( ) ( ) i j K G IJÎÎ = È ÈUF F F ij nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j j i K G IJ G K IJ ÎÎ ÎÎ Æ= Ç Ç ÇÇ I I F F F F FF ij ij \\ = ( ) . i i K iI K iI W Î W Î = Ç Ç =Ç FF F Từ đó tồn tại 0 iIÎ sao cho 0 i K ÌW . Thật vậy, nếu trái lại thì ( ) \ i EKW Ç ¹ Æ với mọi iIÎ nên \ i K iI E W Î WÎ ÇF là một điều mâu thuẫn. Do 0 i K compact nên tồn tại { } 12 , , , n j j j JÌ sao cho { } 12 , , , n j j j G G G phủ 0 i K . Với mọi F Î F thì 0 i FKÇ = Æ hoặc k j FGÇ ¹ Æ với k nào đó thuộc { } 1,2, ,n . Do đó 0 1 j jj n K GG F Î È È ÈF F F . Định lí được chứng minh. 3.2.2. Mệnh đề Cho E là 1 1 2 T – không gian khả li. Khi đó không gian miss-and-hit của E là khả li. Chứng minh. Giả sử A là tập con trù mật trong E. Với mọi F Î F giả sử 12 , , , n K G G G F là một lân cận của F. Do K đóng nên \ i GK là tập mở khác rỗng. Chọn ( ) \ ii x A G KÎÇ , 1,2, ,in= . Ta có { } 12 , , , n x x x KÇ = Æ , { } 12 , , , ni x x x GÇ ¹ Æ với mọi 1,2, ,in= . Kí hiệu I(A) là họ các tập con hữu hạn của A. Ta có I( )A Ì F , I(A) đếm được và trù mật trong F với tôpô miss-and-hit. 3.2.3. Mệnh đề Cho E là 1 1 2 T – không gian compact địa phương. Khi đó không gian miss-and-hit của E là Hausdorff . Chứng minh. Giả sử , , F F F F ¢¢ ιF . Khi đó có thể giả thiết tồn tại \a F F ¢ Î . Chọn V là lân cận của a sao cho V mở, V compact và V F ¢ Ç = Æ . Nếu F ¢ = ÆÎ F thì chọn VF U Æ = F , V F U ¢ = F ; nếu F ¢ ¹Æ thì chọn VF U Æ = F , V \V F E U ¢ = F , ta có F U là lân cận của F , F U ¢ là lân cận của F ¢ trong F , FF UU ¢ Ç = Æ . Do không gian compact Hausdorff là chuẩn tắc nên từ Mệnh đề 2.3 và Mệnh đề 2.5 ta có 3.2.4. Hệ quả Nếu E là 1 1 2 T – không gian compact địa phương thì không gian miss-and-hit của E là compact và chuẩn tắc. 3.3. Chứng minh định lí 3.1.2 Do mọi không gian mêtric khả li đều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai và mọi không gian chính quy thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai đều khả mêtric nên Định lí 3.1.2. được suy ra từ mệnh đề sau đây: 3.3.1. Mệnh đề: Cho E là không gian Hausdorff compact địa phương thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Khi đó không gian miss-and-hit của E là compact, chuẩn tắc và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Chứng minh. Theo Hệ quả 3.2.4., ta chỉ cần chứng minh F với tôpô miss-and-hit thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Do E là Hausdorff compact địa phương thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nên ta có thể giả thiết E có một cơ sở tôpô b đếm được, chứa tập rỗng và có bao đóng của mọi tập thuộc b compact. Giả sử C là tập con mở của F và F Î C . Ta xét hai trường hợp sau đây 1 0 ) Tồn tại K Î K và 12 , , , n G G G Î G sao cho 12 , , , n K G G G F ÎÌCF Chọn ii a F GÎÇ và i B bÎ sao cho ( ) \ i i i i a B B G E KÎ Ì Ì Ç , ta có , i BKÇ = Æ 1,2, ,in= . Với mọi xKÎ , chọn x B bÎ sao cho \ xx x B B E FÎ Ì Ì . Do K compact nên tồn tại phủ hữu hạn { } 1 j m x j B = của K . Đặt * j jx BB= , ta có * \, m j ji K B E F = ÌÌU * m j ji B = U compact. Dễ dàng kiểm tra ** 1 11 , , , , m nn BB K B B G G F ÈÈ ÎÌFF 2 0 ) Tồn tại K Î K sao cho K F ÎÌF C Nếu FE= thì K =Æ , do đó F Æ ÎÌFFC= Nếu FE¹ thì \K E FÌ . Do đó tồn tại ** 1 , , m BBbÎ sao cho * \ m j ji K B E F = ÌÌU . Khi đó ta có ** 1 m BB K F ÈÈ ÎÌFF Từ 1 0 ) và 2 0 ) suy ra họ { } * * * * 11 1 ** 11 , , , , , , , , mm n nm B B B B BB B B B B b È È È È Î FF là cơ sở tôpô đếm được của F với tôpô miss-and-hit. 4. CÁC VÍ DỤ 4.1. Tính Compact của E và tính Hausdorff của F 4.1.1. Mệnh đề Nếu E là 1 T -không gian, không compact địa phương tại ít nhất một điểm thì không gian miss- and-hit của E không Hausdorff . Chứng minh. Giả sử E không compact địa phương tại 0 xEÎ . Lấy tuỳ ý { } 10 \x E xÎ . Đặt { } 01 ,F x x= , { } 1 Fx ¢ = . Ta sẽ chứng minh mọi lân cận 12 , , , n K F G G G U =F của F và 12 , , , m K F G G G U ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ =F của F ¢ đều có FF UU ¢ Ç = Æ . Nếu 0 1 n i i xG = Ï U thì do i FGÇ ¹ Æ với mọi 1, ,in= nên 1 i xGÎ với mọi 1, ,in= . Từ đó F FU ¢ Î và do đó FF F U U ¢ ¢ ÎÇ . Nếu 0 1 n i i xG = Î U thì đặt { } 0 : 1, , , ii G G i n x G= Ç = Î . Ta có G mở chứa 0 x . Do G K K ¢ ËÈ ( vì nếu trái lại thì KK ¢ È là lân cận compact của 0 x ) nên tồn tại ( ) 2 \x G K K ¢ ÎÈ . Đặt { } 12 ,F x x ¢¢ = . Dễ thấy FK ¢¢ Ç ¹ Æ và FK ¢¢ ¢ Ç ¹ Æ . Mặt khác i FG ¢¢ Ç ¹ Æ với mọi 1, ,in= , vì mọi i G chứa 1 x hoặc 2 x , nên F FU ¢¢ Î ; j FG ¢¢ ¢ Ç ¹ Æ với mọi 1, ,jm= , vì mọi j G ¢ đều chứa 1 x , nên F FU    . Do đó trường hợp này ta cũng có FF UU ¢ Ç = Æ . Từ Mệnh đề 3.2.3. và Mệnh đề 4.1.1. ta có 4.1.2. Hệ quả. Cho E là 1 1 2 T – không gian. Khi đó E compact địa phương khi và chỉ khi không gian miss-and-hit của E là Hausdorff . 4.2. Tính 1 1 2 T – Không gian và tính Hausdorff của F 4.2.1. Mệnh đề: Cho E là tập vô hạn với tôpô có phần bù hữu hạn. Khi đó E không là 1 1 2 T – không gian nhưng không gian miss-and-hit của E là Hausdorff . Chứng minh. Theo Ví dụ 2.1, E không là 1 1 2 T – không gian. Giả sử , , F F F F ¢¢ ιF . Ta chỉ cần xét hai trường hợp sau: - Nếu F =Æ thì chọn E F U = F , FE U ¢ = F ; - Nếu F ¹Æ , F ¢ ¹Æ và \FF ¢ ¹Æ thì chọn \ \ EF F E F U ¢ = F , \EF FE U ¢ ¢ = F . Ta có F U là lân cận của F , F U ¢ là lân cận của F ¢ và FF UU ¢ Ç = Æ . Theo Mệnh đề 4.2.1, Mệnh đề 3.2.3 chỉ là một điều kiện đủ để F Hausdorff . 4.3. Tính khả li của E và tính khả li của F 4.3.1. Mệnh đề: Cho E là tập không đếm được với tôpô có phần bù hữu hạn. Khi đó E là compact, khả li nhưng không gian miss-and-hit của E không khả li. Chứng minh. Lấy tập đếm được tuỳ ý D của F . Ta sẽ chứng minh D không trù mật trong F . Đặt { } :,R F F F E= È Î ¹D . Do mỗi , F F EιF là tập hữu hạn nên R là tập đếm được. Do đó \ER¹Æ . Chọn \x E RÎ . Ta có { } R E x U =F là một lân cận của { } x trong F , { } x UÇ = ÆD . Do đó D không trù mật trong F . Theo Mệnh đề 4.3.1, tính 1 1 2 T – không gian của E trong Mệnh đề 3.2.2 là cốt yếu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dau The Cap, Bui Dinh Thang, On th Matheron theorem for topological spaces, VNU Journal of science, Mathematics – Phisics 23 (2007) 194-200. [2] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2008. [3] G. Matheron, Random sets and intergral geometry, John Willey and Sons, NewYork, 1975 [4] J.L. Kelley, General topology, Van Nostrand, Princeton, N.J., 1995. [5] Nguyen Nhuy and Vu Hong Thanh, On Matheron theorem for non – localli compact metric space, Vietnam Journal of Mathematics 27(1999) 115-118.