Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Bài toán trị riêng cho toán tử p-Laplace

Tinh đóng của tap hợp các giá trị riêng và tính chính quy của các hàm riéng 10 2.1 Nguyên lý Ljusternik-Schnirelman .... lãi 2.2 Tính đóng của tập hợp các giá trị riêng và tính chính quy

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOAN - TIN HỌC

TP HO CHi MINH

KHOA LUAN TOT NGHIEP

CHUYEN NGANH GIAI TICH

Tên dé tai: BÀI TOÁN TRI RIENG CHO TOÁN TU

p-LAPLACE

Giảng viên hướng dan: TS Nguyễn Ngoc Trọng

Bình viên thực hiện: Ngõ Kim Loan

Mã số sinh viên: 46.01.101.077

Thanh phó Hồ Chí Minh - Tháng 5 nam 2024

Mục lục

MỞ DẦU 3

1 Giới thiệu vấn dé và

kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Một số không gian hàm cơ bản 5

1.1.1 Không gian Lebesgue ” ee 5

112 Không gianSobolev - 6

1.2 Một số bắt đăng thức, định lý định nghĩa trong bài toán 6

13 Giới thiêu bài toán Q ee Vo 7

Pe ee 8

2 Nguyên ly Ljusternik-Schnirelman Tinh đóng của tap hợp các

giá trị riêng và tính chính quy của các hàm riéng 10

2.1 Nguyên lý Ljusternik-Schnirelman lãi

2.2 Tính đóng của tập hợp các giá trị riêng và tính chính quy của các

Hằm TINE :: :: :: :: :: co n6 c2 20

3 Một số tinh chất của

giá trị riêng đầu tiên

và sự tốn tại giá trị riêng thứ hai của bài toán 23

l

3.1 Tính đơn giản, tính cõ lap và tính đơn điệu của giá trị riêng đầu

MỞ ĐẦU

Bài toán giá tri riêng cho toán tử p-Laplace là một phan quan trong của lý

thuyết phương trình đạo hàm riêng và có liên quan đến các phương trình elliptic

quan trọng khác Trong đó, hướng nghiên cứu vé sự tén tại giá trị riêng các

tính chất của đãy giá trị riêng và các hàm riêng liên kết đóng vai trò quan trọng

trong lý thuyết và ứng dụng của phương trình đạo hàm riêng, đồng thời thu hút

sự quan tâm đông đảo của các nhà toán học Nhiều tác giả đã nghiên cứu bài

{13]).“Trường hợp p = 2 đã được nghiên cứu trong những năm gin đây do các

vấn dé nảy sinh trong việc nghiên cứu vẻ di truyền học quần thé (xem 3Ì)

Trong [4], Arouzi và Khademloo đã xét bài toán

—A,u = Am{z)|u|°”®u, ren

p-a0u đê p-2 en eg (1)

| Vu 2y + đ(z)|u|””“u = 0.2 € AN,

Ov

trong đó ham đ : Ø9 — E là ham liên tục với đ(z) > 0, Vz € ØQ hoặc B(x) <

0, Vz € AQ và thiết lập điều kiện cần thiết để có được giá trì riêng chính (giá

trị riêng dau tiên) trong từng trường hợp cu thể Nếu đ(r) = 0, ¥r € Ø9 hoặc

B(x) = +00, ¥x € GN thì bài toán trên trở thành bài toán giá trị riêng Neumann

hoặc Dirichlet với trong liên kết.

Trong khóa luận này, chúng tdi tập trung khảo sát các tính chat của giátrị riêng dau tiên và chi ra sự tồn tại của giá trị riêng thứ hai cho bài

3

toán (1) với giả thiết đ(z) = 3, Ve € AN với 0< đ < +00 Muc tiéu của báo cáonày nhằm trình bay chi tiết các kết quả của [17j.

Cau trúc của báo cáo như sau: Chương 1 giới thiệu lược sử vẫn dé và cung

cấp một số kiến thức chuẩn bị cho chứng minh định lý chính Nội dung chính của

Chương 2 là thiết lập bài toán với nguyên lý Ljusternik-Schnirelman, chứng

minh sự tổn tại day các giá trị riêng không 4m, không giảm, tính đóng của các tập giá trị riêng và một vài kết quả chính quy về hàm riêng để hỗ trợ chứng

minh phía sau Cudi cùng một số tính chat của giá trị riêng dau tiên A); hàm

riêng liên kết với Ay và sự tén tại giá trị riêng thứ hai là Az sẽ được để cập và

chứng minh chi tiết trong Chương 3

Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng 05 năm 2024

Sinh viên thực hiện

Ngô Kim Loan

1 Một sô không gian hàm cơ bản

1.1.1 Không gian Lebesgue /

Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, PA) là không gian độ do và 0< p< +00 Hàm ƒ

đo được gọi là khả tích bậc p néu |f|° khả tích, tức là | |f|“ẩu < +00.

Định nghĩa 1.1.3 Với p = + thi LX(X) là tap hop tắt cả các phiém ham do

được và bị chăn hầu khắp nơi với chuẩn là

5

lí || = inf {c: f(x)| < C, h.k.n trên x}.

Chú ý 1.1.4 | f(x)| < l|/l|„„ hau khắp nơi trên X

1.1.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.5 Cho tap mở Qc B",

Cho 1 < p < ta kí hiệu MP (Q) là tập hợp các hàm ƒ € L?(Q) có đạo hàm

riêng suy rộng D;f € L? (9), ¡ = 1,n.

Wl? (Q) là không gian Banach.

Trong bài viết đưới đây ta sử dụng thêm chuẩn trên Wh? (@} là

|lu|Ì¿ := / \Vul'da + a | |¥ul'ds

Chứng minh chỉ tiết về sự tương đương của hai chuẩn trên xem trong [9]

Chú ý 1.1.6 W!? (9) là không gian lỗi đều Lay f„ € W2” (Q) sao cho f, — f

Ta luôn có phép nhúng liền tue: W! (2) > LP (Q), ¥p € (1500).

Hệ qua 1.2.3 Với mọi v € W!” (Q) tồn tai C > 0 sao cho:

|Yu{z) — Vu{w)| < Cola — w|7

Dinh lý 1.2.5 Moi day bị chan trong không gian W'? (Q) đều có day con hội

tụ yếu

Định lý 1.2.6 Cho X là không gian Banach Tà nói hàm ¿ : X — 3% nửa liêntục dưới với tô-pô yeu nếu khi up, — u ta có

p(w) < lim inf #(#tn}

3 Giới thiệu bài toán

Khóa luận này khảo sát sự tổn tại và tính chất giá trị riêng dau tiên của bài toán với điểu kiện bién của Robin nhu sau:

—Á„u = An(+)|u|P”®u, ren,

mm" , (1.1)

|Vul?-“— + Blul? “un =0, x € dQ,

Ov

i

Trong đó v là véc-tơ pháp tuyến hướng ra ngoài, 1 < p < % và Apu = div (vu vu) :

p> 2 là toán tử p-Laplace 2 c R* với N > 2 là miền bị chặn với biên tron

đ là hang số không am với 0 < đ < oo Hàm trọng m được giả định là thuộc

L® (Q) ; có thể đổi dau và thỏa mãn m+ = max {m;0} # 0 trong 2

với moi v € IVÌ?(Q) Khi đó, néu u # 0 ta sẽ gọi (ud) là cặp riêng, u là hàm

riéng và À 1a giá trị riêng.

Trong chương 2 ta ding nguyên lý Ljusternik-Schnirelman để chứng minh su

tén tại của day không giảm của dãy các giá tri riêng không âm (\,,) + +00 của

trên K và y UK) > n, trong đó n là số nguyên đương, tập Š := {u €X: Glu) = i}

va +(K) dai dién cho giống của tap K Ta hiểu +(K) như sau:

+(K) := inf{k eN: 3k: K — R*\ {0} sao cho A là hàm liên tục và lẻ}

Từ đó ta chứng minh rằng tap hợp các giá trị riêng của bài toán (1.1) là tập

đóng và đưa ra một vài kết quả chính quy của các hàm riêng để phục vụ cho

chương tiếp theo.

Nhờ vào chương 2, ta kết luận giá trị riêng đầu tiên được gần nhĩ sau:

8

Ay = A(m) = — mí [ivurar +s [ ivuras : [meotutar =1

EW PL)

a an 2

Trong chương 3 ta chứng minh một số tính chat của A như tính đơn giản, cô lập

và đơn điệu đối với hàm trọng Hơn thế nữa bat kì hàm riêng liên kết với giá trị

riêng dương A # Ay đều đổi dấu Ta sẽ chứng minh được giá tri riêng Ag có được

từ (1.3) that sự là giá trị riêng thứ 2 của (1.1) , nghĩa là Ay > Ay và

A2 = inff{A: A là các giá trị riêng và A > Aq}.

Chương 2

Nguyên lý

Ljusternik-Schnirelman.

Tinh đóng của tap hợp các

gia tri riêng và tính chính

quy của các hàm riêng

Trong chương này, ta nhắc lại một phiên bản của nguyên lý Ljusternik-Schnirelman

(tham khảo [21], [20], [6]) rồi áp dung để chứng minh sự tồn tai của day các giá

trị riêng không âm Déng thời ta sẽ chứng minh được tập hợp các giá trị riêng của (1.1) là tập đóng Ngoài ra ta sẽ nhắc lại tính chính quy của các hàm riêng

đã được chứng minh trong [13] để phục vụ cho chương 3.

10

1 Nguyên lý Ljusternik-Schnirelman

Gọi X là không gian Banach thực phản xạ và F,G là bai phiém hàm trên X.

Xét bài toán giá trị riêng sau đây

F’(u) = £.G {u).u € Swe R, (2.1)

Trong đó S là tập hợp S:= {ue X : G() = 1} Ta giả sử rằng:

1 (HỊ): F,G : X + R là các phiém hàm chan và F,G € CLl(X,IR) trong đó

F0) = G(0) = 0.

2 (Hy): F’ liên tục mạnh (nghĩa là u, — u trong X thi F’{u,) > FŸ{u)) và

%(F*(u), tr =,u€ eo Š => Ƒ{u) = 0" trong đó ZZS là bao lỗi đóng của tập

8.

3 (Hạ): G’ liên tục, bị chặn và thỏa mãn điều kiện ($9):

Nếu uạ — tu, G'(up) — x, (G'(un), (un}} —> (vu) thi un > t.

4 (Hạ): Tap $ bị chặn và nếu œ # 0 thì

, : = : , %

(Œf(ua), (ttn) > 0, lim G(u) = +, int (G'(u), wỳ > 0

Ta biết rằng (x;y) là nghiêm của (2.1) khi và chi khi u là điểm tới han của F

tương ứng với tập S (Xem [21], hệ quả 43.21).

Với bat kì số nguyên dương n, tap &„ là lớp các tap compact đối xứng của S

sao cho F{u) > 0 trên K và +(K) > n, trong đó y(K) được kí hiệu là giống của

tập K Ta hiểu +() như sau:

+(K) := inf{k EN: 3h: K — R*\ {0} sao cho A là hàm liên tục và lẻ}

Ta định nghĩa

sup inf F(u) A, #9

a, = Ệ Hea, vel (2.2)

Lh

Đồng thời ta định nghĩa:

: -EN: a, > 0}, khi 0

- sup {rn € an > O} : a, > (2.3)

0, khi a; = 0

Bay giờ ta sé phát biểu nguyên lý Ljusternik-Schnirelman (L-S).

Dinh lý 2.1.1 ((20, 6]) Khi có các giả thiết (II) — (Hạ) thì ta có các khẳng

định sau:

1 Nếu a, > 0 thì (2.1) có cặp các véc-tơ riêng tu, va giá trị riêng mạ # 0:

hơn nữa F (uy} =

an-2 Nếu x = % thi (an-2.1) có võ số cặp véc-tơ riêng tu, liên kết với các giá trị

riêng khác 0.

3 œ > ay) > dạ > Ú và ay —= 0 khi n so ow,

4 Nếu x = 00 và F{u) = 0,w € coS thì (F*(u), u) = 0 Khi đó tồn tại day vô

han {ta} của các giá trị riêng phân biệt của (2.1) thỏa man tạ > 0 khi

5 Nếu F(u) = 0, u € coŠ thì u = 0 Khi đó y = và tồn tại day các cặp giá

trị riêng {(ua.ta)} của (2.1) để up — 0 mạ — 0 khi n 00 và nạ # 0 với

moi nr.

Chú ý 2.1.2 Dé thu được day các giá trị riêng âm thì ta thay F bởi —F

Bay giờ ta áp dung nguyên lý Ljusternik-Schnirelman để thiết lập sự tồn tại

của dãy các giá trì riêng khong am của bài toán giá trị riêng (1.1).

Cho X := IV!#(@) và định nghĩa trên WƑ!?(Q) các phiém hàm như sau:

(u) = [m6)|u6)lfar (2.4)

n

Glu) = f IYselfar +2 f us)|Pas (2.5)

n Mm

Từ [17] ta có F/G thuộc lớp hàm C! và A = liv và g= 1œ! trong đó

Khi đó (2.1) trở thành Au = «Bu với G(u) = 1 Do đó với mọi v € WIP (Q),

In, =M [sar ?Suvoa + 3 Í lu ®ueds : (2.8)

Gíu) = f |V(—wl)faz + f |-w(e)|Pas

2 ax

= [I-Yutz)[fax tổ II khan

Do đó F,G là các phiém ham chan.

Đồng thời ta có thể kiểm tra được (0) = G(0) = 0 Vậy #,G théa (41)

Dựa vào (2.6), (2.7) và các mệnh dé sau đây ta sẽ chứng minh F,G thỏa (Hạ) — (HẠ:

Mệnh đề 2.1.3 Giả sử F được định nghĩa như trong (2.4) thì F’ thỏa (H›)

Chứng minh Vì 7“ = pA nên #7 liên tục mạnh tương đương với A liền tục

manh Bay giờ ta chứng minh A liền tục manh.

Lay up, — u trong W!”(Q) Ta can chứng minh Au, > Au trong W!” (Q)"

Lay v € WE? (Q) Ap dung bat dang thức Holder cho cặp

(¿ai un — ful? 2u € tết (O),v € LP (9))

13

và định lý về phép nhúng Sobolev (xem (1.2.3)), cùng với lưu ý n(#} < ||mll,~ (9)

Đặt wy = feta ey và w = Jul? 2x Vì tạ — uv trong WE? (0), uạ —> u trong

LP (Q) nên ta có wy (2) = w(x} hau khắp nơi trong 2

Vì w, =+ w trong L? (2) nên tổn tại day con (vẫn kí hiệu w,) và h € 7? (6)

sao cho en Ft <hF 7 hau khắp nơi trên L? (2) Với lưu ý

Nhờ (13, Bồ dé A.1] ta có w, > w trong Lit (Q) Kết hợp với (2.9) suy ra

\{Aun — Au, v)| — 0 Cùng với lưu ý ||/Au, — Au] = sup | (Aen _ Au, v}| 30 Vi

Dé kiểm tra (Hạ) ta cần các bổ đề phía sau (bố đề này dùng kết quả ở chương

6 của [12|).

Bồ đề 2.1.4 B được định nghĩa như trong (2.7), với bat kì u,v ¢ WE?(Q) có:

(Bu ~ Be, u-v) > (helt = fell *) (lulls = lel).

Đồng thời (Bu — Pu, u — t} = 0 khi va chỉ khi u = u hầu khắp nơi trong 9

Chứng mình Ta có:

(Bu — Pu, u —= tuỳ = (Bu,u) = (Bv,u) — {Bu,v) + (Bu,}

= | (va 29a) ares [ (Iuf"22) as- [ IVol'^2VuVu) dz~ø | (iow) ds

q Bn q dN

= | (vu? ?vev) dz—8 / (Jul? 2a) ds + / (Ive ?vevs) dx +6 / (et? *e?) ds

2 an n aR

= / (IVa? + Vol? - |Vul? Vue — |Vol?” ®guvu) dz

+ af (it? + |u|P — |w|P” up — Iuf"2ew) ds.

lanh VuVvdz + zÍU |P ®usds

(a+ b)“”+(c+d)!” > asetre + ;eglre

đúng với mọi a € (0,1) và với mọi ø,b,e, > 0 (xem ví dụ trong [7]) cùng với

a= [ivurar, t= 3 f \lPas c= [iverae, d= 2 f wlPas, œ=P= L

p

if OR 2 gœ

khi đó ta có kết luận như sau

lo VuVudz + of |u|?”? uuds

Pa : Pas — Fal’ d- i P = „

[ive dz + 5 f bi ds = [iv dz + 3 [ bi ds =

|lells-a m 2 |lells-am

L/p\ P

J |Vel|fdz + 2 f Pas = = pm +3 Jv |“ds = |Ie|lš

an an

Ile ` — lel" Hulls — llvl||; luôn cùng dấu

Nên ta có kết luận sau

-1 -1

(Bu — Bu, w — tỳ > lull ell — Well Mella — ell lulls

> (lull * — et) (IIxl; - tells)

>0

Bay giờ ta tìm điều kiện u,v để (Bu — Bu, uw — v} = 0 Dang thức xảy ra khi

(Bu— Bu, u— 0) = (Ila? = lle") (lulls — llells) = 9

Suy ra ||u||¿ = Ì|el| và do đó đẳng thức ở (2.10) xảy ra Déng thời dâu bằng xảy

ra trong bat dang thức Holder của (2.10) là uw = kv hau khắp nơi trong 9, với

một hằng số & > 0 nào đó nên & = 1 Vậy u =v hau khắp nơi trong 9 a

Mệnh đề 2.1.5 G’ được dinh nghĩa như (2.7) Khi đó G’ thỏa man (Hs)

Chứng minh Vì Œ' = pØ nên ta chỉ cin chứng minh B thỏa mãn (Hs)

Ta chứng minh B liền tục.

Lay v € W/!?'(Q} và uy, —> u trong W!"(Q) Ta cần chứng minh Bu, > Bu trong

Wh? (Q) “Ta có đánh giá sau day:

+ Sllv | nl? “un = ful? “ewlellescany||iMal” “ua = [el Leet (an)

<C, IYelwssen| |Vu,|P"2Vu„ — |Vu|?-2Qu

LP 1(@)

+ Ø.Œz||tÌly:»(ay tal? ?u, _ |u|?°u

Lit (an)

17

Bay giờ ta chứng minh |Vuạ¿|P®Vu„—|Vu|P® u > 0 trong L7 (0) và lun? ®#w„—

Jul’? —› 0 trong Let (dQ).

Dua vào chứng minh trong (2.1.3) thì ta có |uạ|P” ®uạ —|ul? "2 > 0 trong Let (9).

Sử dung phép nhúng liên tục HW? (Q) G LP (AQ) nên ta có |uạ|ˆ”®uạ — |u|P”®w —> 0

trong LF (80).

Vì uạ — œ trong L? (Q) nên Vu, > Vu trong P (O) Dựa vào chứng minh (2.1.3)

ta có |Vua|P ?Vu, — |Vul? ?Vu > 0 trong Let (0).

Với hm ý | uy = Bull = sup |(Buy — Bu, v}| nên ||Bu, = Bul| = 0 hay Bu, >

ju}

Bu trong W?”’ (Q) Vay ta da chứng minh xong B liên tục trên WY (0)

Ta thấy B liên tục và tuyến tinh trên khong gian Banach W?! (Q) nên B bị chan.Vay ta can chứng minh thêm B thỏa man điều kiện (Sq) :

Un — u, Blun) > vy và (Buy, un) — {tt

với một vài v € IV Ì?(Q}*, œ € IV lf(Q), khi đó u„ 3 u trong WIP(Q).

1 W'(Q) là không gian địa phương lồi, đều nén để chứng minh u, > u trong

W/1?(Q) ta chỉ can chứng minh |lua||„ = ||¿||¿ Chú ý rằng

lim {Bun — Bu, un — u)

= im, (( (Buạ u„} — (Bua u} — (Bu.,uạ — u))

= (v,u} — (v,u) — ({Bu, un) — {Bu,u))

= 0.

Mat khác, theo Bố dé (2.1.4) ta có

(Bin = Bu, úy = tỳ > (ra = net") (Ilually = lly) >0

nên theo nguyên lý kẹp ta có |Ía||; => ||u||¿ khi rn => +00.

Do đó B thỏa mãn điển kiện (5a) a

Mệnh dé 2.1.6 Cho G' được định nghĩa như trong (2.7) thi G’ thỏa mãn (Hà).

Chứng minh Vì G' = p„Ở nên ta chỉ cần chứng minh 8 thỏa mãn (Hà).

Lay u € S,u # 0 với S = {u €X: Glu) = 1} bi chặn Ta có

(Bu,u) = [iver *(Vu)? “acts [ tui"? u"de = JÌPAPRbst, jr |fds = II l >0.

an

18

Với lưu ý 1< p< 00, 0 < ||u| < oo ta có đánh giá sau:

lim G(tu) = lim [Nhi ft + 9 [tsefa

Vậy inf (Pu, u} > 0 a

Ap dung Dinh lý 2.1.1 ta có được sự tồn tai của day L-S.

Dinh lý 2.1.7 Cho 2 phiém ham F,G xác định trên W1? (Q) được định nghĩa

như trong (2.1), (2.5) Khi đó ton tại một day giảm gỗm các giá trị riêng không

âm {pn} nhờ vào nguyên lý L-S thỏa man mạ — 0 khi n + +00, trong đó

Heh, MEM

và từng jy, là là giá trị riêng cua bài toán F'{u) = pG"{u)

Chứng minh Theo (2.2) ta dat

sup inf Flu), Ay #4

an = HEA, UE ;

0, fin = Ú

Sự tôn tại của day {#,} nhờ vào khang định 5 của Dinh lý 2.1.1

19

Ta chứng minh dãy {#¿„} thỏa (2.11) Hiển nhiên a, > 0 Do đó theo khẳng

định 1 của Dinh lý 2.1.1 ta có Flu} =a, = sup inf Fíu).

Heh, HEH Dựa vào (2.4), (2.5), (2.6) {2.7} ta có

tin = HạG (Uy) = pai Bun, un} = (ưa, tn) = Fun) = an = sup inf Flu).

Hea, vel

Đồng thời nhờ vào khẳng định 3 của Dinh lý 2.1.1 ta có a, — 0 khi n > +

Vậy ta đã chứng minh xong định ly.

a

Hệ qua 2.1.8 Ton tai một day không giảm các giá trị riêng không am {A„}

của bài toán (1.1) thỏa A, = — khi n + +00 Trong đó nạ là giá trị riêng của

Ha

phương trình F'(u) = nG!{u) và mạ được định nghĩa trong (2.11).

Chứng mình F’(u) = vG'(u) tương đương với

[lu #uea =p [isurteuveds ‡ 3 Í la and

Ap dung Định lý 2.1.7 ta thu được điều phải chứng minh i

2 Tinh đóng của tap hop các giá trị riêng và tính

chính quy của các hàm riêng

Mệnh đề 2.2.1 Tập hợp các giá trị riêng của bài toán Robin (1.1) là tập đóng

Chứng minh Lay (i), +„} là dãy cặp riêng của (1.1) và +„ —> + với giá tri

7 > 0.

20