Thực chất “bài toán đẳng chu” cỗ điển được phát biểu như sau: Trong tat cả các miễn phẳng với cùng một chu vi tức là độ dai chu tuyển của mién cho trước còn gọi lả các miền đẳng chu, hãy
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM
KHOA TOÁN - TIN
c4c4lÌg»›
LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP
Chuyên ngành Hình học
GVHD : PGS-TS LE ANH VU SVTH : NGUYEN THỊ HONG NHI LỚP : TOÁN -4B
Trang 2MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐÀU H02 0 11021112111110111 211111121111 1113 1211101121 2 1
Chương | CÁC KIÊN THỨC CHUAN BỊ
§1 Ánh xạ khả vi giữa các không gian Euelide - 2-55 5z 55sz 5
§2 Gradien và Divergence H11 1111 ee 9
*›¡ï 5 ốẽ ẽ.ẽẽ “+1 H a) re 16
§5 Anh xạ khả vi giữa các la tap c.eccccccscsecccscsssscssseccsessesssesscasscsscerscecnseeeee 19Miss Cobian WE Gime aii a a ee a 23
Chương II BAT DANG THỨC DANG CHU TRONG KHONG GIAN
EUCLIDE
§1 Hằng số đẳng chu và các đặc trumg -.ccsssceecseesessessereessreenvcerserenseeens 24
§2 Phép chứng minh bat đẳng thức đẳng chu tổng quát 34
Chương Ill MỘT SO BÀI TOÁN DANG CHU CƠ BẢN TRONG HÌNH
HỌC SƠ CAP PHANG VÀ KHÔNG GIAN
§1 Các bài toán đảng chu cơ bản trong hình học sơ cấp phẳng 42
§2 Các bài toán đăng chu trong hình học không gian 5 55- %6
KÉT LUẬN 0H 2 20H 0013211011510 111 1111311 23111001111211517112 62
Trang 3Bắt đăng thức đăng chu GVHD: PGS-TS Lê Anh Vũ
LỜI NÓI ĐÀU
Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu có lịch sử lâu đời từ thé ki 3, 4
trước công nguyên nhưng hiện nay đang được hỏi sinh vả phát triển Thực chất
“bài toán đẳng chu” cỗ điển được phát biểu như sau: Trong tat cả các miễn phẳng
với cùng một chu vi (tức là độ dai chu tuyển của mién) cho trước (còn gọi lả các
miền đẳng chu), hãy tim miễn có diện tích lớn nhất Câu trả lời thật đơn giản: hìnhtròn chính là miễn có điện tích lớn nhất trong các miền đẳng chu Điều nảy đượcbiết từ thời kỳ cổ đại mặc dù phép chứng minh chặt chẽ nó không hé tam thường
Có thể phát biểu bài toán đẳng chu phẳng theo một cách khác tương đương như
sau: trong các miễn phẳng có chung diện tích (còn gọi là các miễn đẳng diện), tim
miền có chu vi nhỏ nhất Cách phát biểu thử ba la biểu điển bài toán như một bắt
đẳng thức giải tích ma được gọi là bất đẳng thức đẳng chu Vì chúng ta biết chính xác điện tích của hình tron với chu vi đã cho nên bai toán đẳng chu cổ điển được biểu diễn bởi bất đẳng thức đẳng chu phẳng
P >4nA, (1)
trong đó A là diện tích của miền được xét va L là chiều dai biên của nó Đẳng thứcxây ra khi và chỉ khi miễn là hình tròn Như vậy, để giải bải toán đẳng chu ta cầnchứng mình bat đẳng thức đẳng chu (1) cho một lớp các miền phẳng cảng rộng
cảng tốt va chứng minh rằng đẳng thức đạt được khi và chỉ khi miễn lả hình tròn.
Một điều đáng lưu ý 1a, mặc dủ bat đẳng thức đẳng chu (1) trên mặt phẳng sơ cắp
được biết đến từ thời cổ đại nhưng mãi cho tới năm 1841, mới có phép chứng
minh tương đối chặt chẽ đầu tiên của Steiner Năm 1882, F_ Euler mới đưa ra một
phép chứng minh (1) hoản toàn chặt chẽ Sang dau thé ky trước, một số nha toán
học khác con giới thiệu vải chứng minh chặt chẽ khác của (1)
Trong những năm của thập niên 30 của thé kỷ 20, bat ding thức đẳng chu
phẳng (1) được tổng quất trong không gian Euclide n chiều RR” (n > 2) như sau :
SVU: Nguyễn Uh Hong Nhà Trang !
Trang 4Bút dawg thi dame chi GUD PGS TS Le nh bi
Ata) 1S" a Ca=s
———— DS tlk ỷ—— Mm» (2)
ves" “ pegs ys! wis *
trong đó Q là miễn (do được) kha thé bat kỷ trong B.A là thé tích (n - 1) chiều (in - 1} - độ do) va V là thẻ tích n chiêu (n - độ do), +', 1a thẻ tích cua hình cau
đơn vị BY vac, „ là điện tích cua (n - 1) - mật cầu S*' (biến của f2) trong R”",
~, = +, Dang thức xảy ra khi va chỉ khi © là hình cầu dong n chiếu Với n =
2, (2) nhận được khi lây căn hai vẻ cua (1) Khi n = 3, (2) được chứng minh chat
chè lin đầu tiên bởi Schwarz năm 1890 Nhà Toán học Nga LA, Liuxternik chỉnh
là người dau tiên đã chứng minh (2) trong trường hợp tông quát nim 1939,
Nhìn chung bắt đẳng thức đẳng chu trong không gian sơ cắp (n = 3) va trong không gian Euclide n chiều tông quát có phép chứng minh khó và phức tap hơn rất
nhiều so với trường hợp phẳng Hơn nữa, rat hiểm tải liệu, đặc biệt là không có
một tải liệu tiếng Việt nảo giới thiệu day đủ các phép chứng minh (2) khi n 2 3.
Bởi vậy, chúng tôi mạnh dan chọn đẻ tải “Bar đẳng thức đẳng chu tông quái trong
không gian Euclide n chiều” với mục đích chính là giới thiệu một phép chứng
minh day du về bất đẳng thức đẳng chu (2) trong không gian Euclide n chiều tổng
quát.
Vẻ bế cục, ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương với nộidung tóm tắt như sau:
> Chương | giới thiệu các kiến thức chuẩn bị vẻ ảnh xạ khả vi cần thiết cho
nội dung chính của bản luận văn.
> Chương 2 là chương chính của bản luận van trong đó trình bày bài toán
đẳng chu tong quát trong không gian Euclide n chiếu và chứng minh bắt đẳng
thức đẳng chu tông quat trong không gian Euclide n chiều
> Chương 3 giới thiệu một xố bài toán đẳng chu cơ bản và mở rộng trong hình học sơ cắp phăng lẫn không gian.
Trong quá trình lam luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rat nhiệt tỉnh tử
Thay hướng dan Lẻ Anh Vũ, Thay đã nhận xét cũng như gop ý cho tôi rat nhiều để
SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 2
Trang 5Bat dang thức đáng liu 5 11111 PGS-TS Lẻ nh Va
tối có thé hoàn thành tot dé tải luận văn cua mình Tỏi xin chan thành cam ơn
Thay rất nhiều va tôi cùng xin cam ơn ban quan lý thự viện cua nha trường một so
thay có trong khoa đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tải
liệu tham khao, cuối cùng tôi xin được cam ơn gia đình va bạn bé đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua.
Do thời gian có hạn vả trình độ ban thân cỏn nhiều hạn chế, bán luận van chắc chin khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rit mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thay cô và các bạn sinh viên.
Thành phố Hé Chi Minh, ngày 09 thang 05 năm 2008
Sinh vién thyc hién
Nguyén Thj Hong Nhi
SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 3
Trang 6Bát đàng tức: đăng chu GVHD PGS-TS Le Anh Vii
CAC Ki HIEU
20; Biển cua miễn ©.
l reg
lạ = , rợo ; Ham đặc trưng của tập 2.
4Lz.Ø0) = inf be ~ wb: Khoáng cách từ điểm x đến biên cua 2, với II.II là chuân
Euclide.
1/1: Môđun của ham số f.
lqrud/| = HAI Na +Ís£] :Môđun của gradf
1/1, = ( ƒL/ đV ` ”: chuẩn của hàm số f trong không gian , 1 < p <x
ơrodfl, = ( fisradfi av)": chuẩn 17 của trưởng vecto gra4ƒ, 1< p <2.
Cc” (2): Không gian những ham liên tục trên 2.
C* ({): Không gian những hàm có đạo ham cắp k liên tục trên f, £ > L4 € N
€* (2) = (]C.k € Ñ: Không gian những hàm khả vi vô hạn trên 2.
txo
Œ, (2): Không gian những ham liền tục có giá compact trong 2.
CE(Q) = C!(Q)nC,(Q),k>LkeN.
CX (8) = C* (QIN C, (Q).
LU (Q): Không gian những hàm khả tích trên © và có giá trị trong R.
(.): Tich vô hướng trong không gian Euclide R”
JAƒ : Ma trận chuyển vị của ma trận A,
[AB] : Đoạn thăng AB.
ZABC : Góc ABC.
SVTH: Nguyễn Thị Hỏng Nhi Trang 4
Trang 7Bat dang thức dang chịu GIHD PGS-TS Lẻ Anh Vii
Chuong |
CAC KIEN THỨC CHUAN BỊ
Chương nay trinh bay các kién thức chudn bị can thiết cho các chương sau
Các mệnh dé tinh chất, định lý chi được phat biéu mà không chứng mình Ban đọcquan tắm xin tham khảo các tai liệu {I], (5], (6) Các kién thức được nhắc toi ở
Cho / là ánh xạ liên tục tử tập mở Uc R" vào &” Ta nói / khả vi tại
x„€#*ˆ nếu tổn tại một ánh xạ tuyến tính 4 từ &* vào &* sao cho với mỗi
y«Ẩ' thỏa x, ‡ y EU, ta có:
Sx, + v)- f(x„)= Aly) + pple,»
với øÁx v}=>Ø khi y 0.
SVTH: Nguyễn Thị Hing Nhi Trang 5
Trang 8Bat ding thức dang chu GUHD PGSTX Lé Anh Vii
Ta gọi Ad là đạo hàm cua / tai x,
Nẻu / kha vi tại mọi điểm re U ,tandi /£ khá vi trên tap U.
Dao ham của / tại x phụ thuộc vao x va được kí hiệu là f"(x) hay D/(x).
Nếu U ox {'(x) là ánh xạ liên tục thi ta aói / là ánh xạ kha vi liên tục
trên Uhay / thuộc lớp C”.
1.1.2 Định lí
Cho U, V là hai tập mo trong R° và RẺ.
Nếu ảnh xạ ƒ :U -»V' khả vi tại a g:V ->» R* khả ví tại f(a) thì ảnh xạ
gf :U > R? khả vi tại a và (ge ƒ}{a)= g (/(e))» 7 (e).
1.1.3 Hạng của một ánh xạ
Cho / là ánh xạ kha vi từ U c ÑRˆ vào #* Khi đó, ƒ được xác định bởi hệ
thống các ham thực /”,/”, /” khả vi trên U Dao hàm /*(x) được đặc trưng
bởi ma trận Jacôbi
fx a isisp
"\&JJ'T Issn’
với (x'), là toa độ trên R" với co sở là (e’), 7 (y') là tọa độ trên #”.
/ thuậc lớp C trên U kh và chỉ khỉ các đạo hàm ing { 2") thn tại và liên
Trang 9Bat done thức dame chu : (1/11! PGS-TS Le Anh bi
pu LR R8}
r + flr) :
Đạo hảm cua /' tại ở, nêu có, được gọi là đạo ham cap hai cua J tai ở và kí
hiệu là ¢"(a) hay `/(ø}e LÍR*.r(R*.&' Ì)
Bảng qui nạp đạo hàm cấp r của f tai a là D' f(a)= D(D' ‘f(a)) (với
rz J) Nếu đạo hàm nay tổn tại vả liên tục tại moi diém thi ánh xạ / được gọi là
kha vi lớp C7 hay la một C”— anh xạ ( voir > /).
1.3 ĐỊNH LÍ VE GIA TRỊ TRUNG BÌNH
Lấy a b là hai điểm trong U & R" thỏa [a.bÌC U và cho ƒ là một C'- ảnh
xạ tử U vào R7”
Khi đỏ: |f(b)- /(a]|< Mịb-a|.
vai M= su xi.=p Ire]
1.4 MENH DE
Anh của R” bởi một C'- ánh xạ ƒ vào R° có độ do Lebesgue bằng 0
nếu n < p Kết quả này được giữ nguyên cho một tập mở U & Ñ".
1.5 ĐỊNH LÍ HÀM NGƯỢC
1.5.1 Định lí
Cho ƒ là một C’ = ánh xạ (r 21) từ tập mở A trong ш vào R* Nếu tại
ae A đạo hàm f'(a): Rˆ > R~ là một C”- đẳng câu thi ton tại một lan cận mở
Uc A của a và một lân cận mở V của ƒ(a) sao cho ảnh xạ f -U -»V là một
C’ - đẳng cau
SVTH: Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 7
Trang 10Bat dang than dàng chin GCAHD POSTS Le Anh ba
1.5.2 Hệ quả †1
Cho / A+R” lì một C - anh xạ (r>/)
tử một tập hợp mơ trong &ˆ vào #ˆ (men) Nếu ————— CC V
hạng cua / tại ức A bang m (tie là / (ở) là ảnh Y
h #
xạ lên) thi ton tar một lần can mở c 4 của a,
một lin cận mơ # cua O trong #ˆ *, một lân cận Fa
mở F cha f(a) và một C’~ đăng cau hs U + V x sao cho biểu dé bén giao
hoán (ở day, Z lả phép chiéu lẻn nhân tử thứ nhat), nghĩa là:
Nếu hạng của / tại a bằng ø (tức là f"(a) là anh
xạ /- / vào) thi tổn tại một lan cận mở C A của ‘
a, một lắn cận mở W của O trong R** và một C" Onl
~ đăng cấu A; UxW — V , với V là một lân cận mở của f(a) sao cho biểu đồ bền
giao hoán.
Ở day, í là ánh xạ lồng chính tắc, nghĩa la:
Pile cot aR (' x"0 0} i= ham.
SVTH- Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 8
Trang 11Bat dang thức dang chu GUD POSTS Le Anh ta
§2 GRADIEN VA DIVERGENCE
2.1 GRADIEN CUA MOT HAM KHA VI
2.1.1 Định nghĩa
Cho f: R" ® lá hàm kha vi trên R” Gradien cua /, ký hiệu grad/, được
định nghĩa như sau
-gred J Os, Or, Ôi,
2.1.2 Một số tính chất
Voi £ = R" và các hàm ƒ.kt thuộc lớp CÍ trên R" tạ cỏ.
(madƒ.€) = dƒ(£) = €ƒ:
grad( ƒ +h) = grad ƒ + gradh;
qrad fh = ƒ gradh + h grad ƒ.
2.2 ĐỘ ĐO RIEMANN TRÊN R"
2.2.1 Định nghĩa
Với tập B bắt kì đo được Riemann trong R" , ta kí hiệu V(B) là độ đo của B
và xem như là thẻ tích n chiều của B Nếu [° lả một đa tạp con (n - 1) chiéu của
R" thì với tập A đo được trong Í` ta ký hiệu độ đo của nó là A( A ) và xem như
là thể tích (n - 1) chiều của A Phần tử thẻ tích n chiều vả (n - 1) chiều tương ứngđược ky hiệu bởi dV va dA.
2.2.2 CONG THỨC ĐÓI BIEN CUA TICH PHAN NHIÊU BIEN
Lay D,{2 là các miền trong R”, n >1, ;:Ø ~ 2 là vi phôi C' va lấy
J_‹z› là ma trận Jacôbi của + tại x Khi đó với hàm / c /' bắt kỉ trên 2, ta có:
J, for riders, lav = [ sav
SVTH Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 9
Trang 12Bat ưng Caine dame chu GVHD POS-TS Le nh Vi
2.3 DIVERGENCE CUA MOT TRƯỜNG VECTƠ
Voi hàm ƒ thuộc lớp CÍ và các trưởng vectơ X.Y trên R" ta có:
div(X + Y) = divX + div.
Cho © là miễn trong R" có biên trơn ON, v là trường vectơ đơn vị phía
ngoài dọc theo Ô mà trực giao với 89 theo từng điểm (có duy nhất một trưởng
vectơ như thé) Khi đó với bắt ki trưởng vectơ X thuộc lớp CÍ trên R” ta cỏ:
Trang 13Bat dang thức chàng hie (1/12 PGS TS Lẻ Anh Va
Cặp (U.ø) gọi là một bản đồ địa phương của M, xung quanh điểm xe M,.
3.2 HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG
Xét bản đỗ địa phương (U.g) xung quanh điểm x e M_ Ta có đồng phỏi
g- U-+»FcR'"
ur» our) = (x! (ux? (u) x' (w))
Bộ (x”(ø).xỶ (w) x"(u)} gọi là toa độ địa phương của w.
Các ánh xạ x! :U +R, với i = n là n hàm thành phần của ø va gọi la
các ham toa độ.
Lúc này, bộ |U;x'.x` x"| được gọi là hệ tọa độ địa phương (xung quanh
uve M_) ứng với ban dé địa phương (U/.@).
SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhe Trang 11
Trang 14But damg tare dang chit GUHD POSTS lẻ Anh la
3.3 ATLAS CUA MOT DA TAP
Một hé các ban đó địa phương {(C_.@, )}_ gọi là một atlas cua da tạp M_ neu
ho các tap hop (LU, ), lá mot phụ mơ cua À/,
Một atlas được kí hiệu là: A
Adas 3 = (U_.e@,)}, gọi là atlas tối dai néu nó không bị chứa trong mot atlas
nao khác ngoái chính no.
3.4 MỆNH ĐÊ
Một đa tạp M, là một tập paracompact địa phương va liên thông đường địa
phương.
Chứng mình
Lấy Pe M,, U là một lân cận của P
đồng phôi với một tập mở cua R* Khong
mắt tính tổng quất, ta có thé giả sử ring
Vi (B,) là các tập compact va liên thông đường, do đó họ các tập fp 'ÍBÌ}
cũng là các tập compact và liên thông đường.
Vậy M, là tập paracompact địa phương vả liên thông dudng địa phương
SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 12
Trang 15Bát dang din deere chu GUHD: PGS-TX Lẻ Anh Vii
3.5 MENH DE
\for de tap liên thông thi liên thông đường
3.6 PHÉP CHUYEN BẢN ĐÔ - ĐÔI HE TOA ĐỘ DIA PHƯƠNG
Cho M, là đa tạp tôpô n - chiều,
Gia sử (U,.ø,) và (U,,ø„ } là hai bản đồ địa phương của 3, có giao khác
rồng, tức là U„ NU, # Ø.
Gọi {U„;x}.x} x‡ } là hệ tọa độ địa phương img với (U,,¢,) (1")
{U,;xÿ,x} x7 | là hệ tọa độ địa phương ứng với (U,,@, ) (2)
Khi đó, với mỗi xe U, NU, , ta có:
Tọa độ địa phương của x trong (1°) la: (x! (x) x2 (x) x?(x)).
Tọa độ địa phương của x trong (2') là: (xJ{x) x/ (x) x?(x)).
Đặt ø„ =ø,ø, “: ø.(U, f\U,) > ø„(U„ nU,).
Rõ rang, @, là ánh xạ đồng phôi vả được gọi là phép chuyển bản dé hayphép biến đổi tọa độ địa phương
Lúc nảy, ta có:
(x¿(x) xz(x)}= øx (x! (x) x?(x)).
SVTH: Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 13
Trang 16Har dang thie dang chu GUD PGS-TS Le Anh Vee
Lúc này, / được gọi là hàm trên đa tạp.
Với mỗi bản đỗ (U„.Ø„ ) xét ánh xạ thu hẹp /|,_ : U„ +R
Đặt: /, = /|,, °ø'-: AU,)>R
Khi đó, /,Íx (x).x () x“(x))€ &, tức là /_ 1a ham số thực ø biển số
thực.
Khi ta đổi ban đỗ (U,.¢, } ta có:
SVTH: Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 14
Trang 17Bat dung thức dang chu GUHD POS-TS Le Anh Va
Nhự vậy, môi / ứng với một ho các ham thực ø biến sé thực {/}
Ngoài ra, ta có
we./ sao cho £ NU, z Ø thi:
(,=/.s0, hay ƒ/,=/,°0,„
3.7.2 Nhận xét
(i) Hàm / có sự tương ứng /-/ với họ các ham |/„|„ thoa tính chất
ƒ,=f,°,, với mọi ø,/Ø sao cho /_ []U,„ Ø.
(ii) Ta đồng nhất /, = /[,, và xem /{, , như là ham thực ø biển so thực
———————>>—=~ ——— ————————————————=~—mm————————
SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 15
Trang 18Bat dang tun dag chu GUHD PGS-TS Lẻ Anh tii
§4 DA TAP KHA VI
4.1 ĐỊNH NGHĨA
4.1.1 Atlas khả vi
Cho 4» ÍC,.ø,)|, là một atlas của đa tạp tôpô ø - chiều 4ƒ, Khi đỏ, 4
được gọi là một atlas kha vi lớp C“ nếu với mọi cập chỉ số a, Ø sao cho
U„fU, z Ø ta đều có phép chuyên ban đỏ
ø„ : Ø.(U,f\U,}) + ø„(U.AU,)
là ánh xạ khả vì lớp C°.
4.1.2 Atlas tương đương
Cho A và # là hai atlas khả vi lớp C* của đa tạp M, Khi đó A được gọi là
tương đương với B, kí hiệu la A ~ B, nếu với mỗi bản đỏ (U.g)e A, bản đồ(V.w)e® sao cho U, NU, # Ø, ta đều có ánh xạ
wee’ :ø(U V)—¬ (UV)
Trang 19Bat (lang th dams chin (1/101 POSTS Lé Anh tn
4.1.4 Nhận xét
Cho một adas 3 kha vị lớp C’ Khi đó, 4 xác định duy nhất một cau trúc kha
vì lớn CÔ và được kí hiệu là A
Taco: 1= {3⁄4 - 4}: là atlas tôi đại chửa J.
Nhu vậy, dé cho một đa tạp kha vi lớp C’, ta chi cần cho một atlas kha vị
4.2 CÁC VÍ DỤ
(1) Đa tạp #* với atlas gồm một bản đổ {(R*.id)} là da tạp khả vi lớpC”
n~ chiêu.
Cau trúc (R*.id) được gọi là cẩu trúc vi phân chính tắc trên #*
(2) Đa tạp S* ={x- feet wer /S(e) =i} là đa tạp m - chiểu kha
vi lớp C” với cấu trúc gồm họ các ban đỗ \(U.'.ø,' lLza
6 đó: U` =[x=(r' x”"")e §*/0< x' si}
U` ={x=(v', x"*)e S*/0 > x' 2-1}
a: 0U > oD" ki =(x', “ẤM <HcR
' VN II | eee cài ,
(3) Đa tạp P* =Í.- "Ýx ER Vi=l,n va ick >o| la da tap
n~ chiều kha vi lớp C” với cấu trúc gdm họ các bản để {(U @ )}, „— ở đỏ:
Trang 20Bat đang thee dame chin (01/111 POSTS Lẻ Anh ta
4.3 ĐA TẠP TÍCH
Cho hạt da tap kha vị lớp CÔ là MỸ và lần lượt có số chiều là n va pp Khi
đỏ, ta có thé xác định một cau trúc kha vi lớp CÔ trên không gian Mx
Goi (U.@) là một ban dé trên AZ.
(If.ự } là một ban đô trên M,.
RO rang ảnh xạ
@~ự UxV ¬ R'x*xR '«sRẩ'"'
fev) (e(x)w(r))
là một phép đồng phỏi.
Mat khác, với mọi (x,.v } (c,.v„Ì< # x£& ánh xạ (p,.w„Ì»(ø,.ự, )
bằng Íe,.o, ‘)oly,.w, ' Ì cho nên rõ rang nó thuộc lớp C7 Do đó, họ tat cả các
cap ((U, x!„Ì(ø, xv„Ì| là một atlas khả vi lớp C7 trên Af, x W,.
Lúc này, đa tạp M_ xW, với cấu trúc khả vi vừa xác định được gọi là tích
của hai đa tạp M, và W,.
Vi dụ: Vì S“ là đa tạp ! - chiều khả vi lớp C* nên xuyén ø - chiều
T* =$! x S'« «S! (n lin) cũng là đa tạp khả vi lớp C* với cấu trúc kha vi là tích
của các cầu trúc trên mỗi Š“
SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 18
Trang 21Bar dang thức damg chu GUHD PGS-TS: Lé Anh Vii
§5 ANH XA KHẢ VI GIỮA CAC ĐA TẠP
5.1 ĐỊNH NGHĨA
Cho M, là đa tạp khả vi lớp Cˆ n- chiều
W,, là đa tạp khả vi lớp €' p - chiều.
Xét ánh xạ liên tục / : M, —»W,.
5.1.4 Biểu diễn địa phương của /
Xét một bản đỗ tùy ý (Ug) của M,, một bản dé tùy ý (V.w) của W, sao cho
/£(U)cV.
Lúc đó, cỏ một ánh xạ n biển nhận giá trị là một vectơ p - chiều
w°+f|,sø': AU) — WV)
cap bản đỗ {(U.o)(V.y)}.
Ta dong nhất /{, =ws/{, op! và do đó xem /{, như là ánh xạ m biến
nhận gia trị vectơ p - chiều
THU VIEN
Trường Đại-Học Su-Pham
TP HO-CHi-MINH
Trang 22Bat daring thie dame chu GUHD POSTS Lé Anh Vai
5.1.2 Tính khả vi của /
la bạo f là ánh xa khả vi lớp C’ với Á < mints) nêu moi biếu điển địa
phương /|, =ywe /|, s@ “ đều là ánh xạ kha vị lớp C°.
5.1.3 Nhận xét
Định nghĩa trên là hoàn toàn "hợp lý “ vind không phụ thuộc vào atlas chọn
ơtrên M_ và W_ vì mọi phép chuyển ban dé trên M_ và W, đều kha vì lớp CC,
C tương ứng
5.2 CHỦ Ý
Trên đa tạp kha vi với atlas A= U,„.ø, )Ì, thì mỗi ø„ là một đồng phôi từ
U, lên ø,(U,„)C R* Hơn thé nữa, ợ, là một vi phôi từ U, lên ø,(Ư,) Thật
vậy, theo định nghĩa của ánh xạ khả vi, ta phải kiểm tra được rằng ywog, eg là
kha vi đổi với cập bản đổ địa phương |(Ư.g)(/.)) Chọn (U.p)=(U,.9,) và
yw =id thì hiển nhiên g, “ là khả vi do ánh xạ idog, og, ' sid là khả vi.
5.3 MA TRẠN JACÔBI - HẠNG CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI
Giả sử f là ánh xạ khả vi lớp C* từ đa tạp khả vi lớp C A⁄, đến đa tạp kha
vi lớp C' W, vả ánh xạ thu hẹp /|, =w s /{, og! =(// /;?} là biểu diễn địa
phương của / ứng với cặp ban để (U.@)(V.w')Ì.
Vi mỗi ảnh xạ // : QU) Ñ với i= ¡ p, đều là các anh xạ khả vi lopC*
nên ta có thé xét các đạo hàm riêng 2 với i=Í, p; /=t n.
Lúc đó, ta thu được ma trận:
SVTH- Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 20
Trang 23Bat đương than shine chu G1111! POSTS Le Anh ta
Ma trần J, (7) gọi là ma tran Jacébi cua / trên £
Lhát ra ma trận J, ( / } là ham gia tri ma trận được xác định bơi ảnh xạ
Ta nỏi / là một phép nhúng từ ă, vào W, nếu / là một phép dim và thỏa
các điều kiện sau:
(i) f là đơn ánh.
(ii) Ảnh xạ / : M, — /(A, ) là một đồng phỏi
Nhận xót
1 Một phép dim là một phép "nhúng địa phương”.
2 Một phép nhúng /: AZ, +, là một C* - đẳng cấu từ Aƒ, lên đa tạp
con /(M_) của W, ( /(A, ) là t6pd cam sinh bởi W, }.
Lï dự: Cho G là đa tạp con mở của M, với cấu trúc vi phân cam sinh từ Aý, Khi đó ảnh xạ J, - G —> M_ biến mỗi xé G thánh xe M_ là một phép nhúng.
SVTH- Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 21
Trang 24Bart dang dun lung chu GUD PGS-TS Lẻ Anh Vin
5.4.3 Phép ngập
Ta nói / là một phép ngập nêu rank ( /)= m, với mọi ve M
Vidw Ảnh xạ / RS’ biển mỗi ? thành e“ là một phép ngập.
5.5 ĐA TẠP CON
5.5.1 Định nghĩa
Một da tạp con p - chiều của một da tạp khả vi lớp CC ø - chiều M_ là một
tập con W, của M, sao cho với mỗi điểm của W, thi tổn tại một ban đổ địa
phương (U.g) của M, với @{U) là một tập mở dạng 4x8 với
AcR?.8c R*“ sao cho ø(U fW, )= Ax {0}
Đặt ƒ =U(ÀW, và ự =@|„ Khi đó, họ tất cả các cập (V.w}) có được như
trên là một ban đồ thuộc lớp C7 trên W,.
Như vậy, W„ cùng với cấu trúc khả vi lớp C đỏ tạo thành một đa tạp khả vi
lớp C7 p - chiều va gọi là đa tạp con p — chiều của đa tạp M,
Khi p=n thì một đa tạp con W, chính la một tập mở của M, với atlas
trên M., là một đa tạp con khả vi p - chiều của da tạp M, néu ảnh xạ đi từ M,
vào Rˆ^” xác định bởi Pe»(ƒ'(P) f" "(P)) có hạng bằng (n- p) tại mọi
điểm PelW,.
SVTH: Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 22
Trang 25Bat dang thin dame ohn GVHD PGS-TS Lẻ Ank Va
§6 DINH Li SARD
6.1 ĐỊNH NGHĨA
Cho anh xạ kha wi / từ đa tạp kha vị ø - chiều M, vào da tap
khả vip - chiều H,
1 Diém Pe M, được gọi là điểm cực hạn của / nếu rank,(/)< p.
2 Diễm @el được gọi là giá trị cực hạn nêu Q thỏa điều kiện / (C)
chứa ít nhất một điểm cực hạn.
3 Điểm Pe M, không 1a điểm cực hạn được gọi là điểm chính qui.
4 Điểm Qe, khong là gia trị cực hạn được gọi là giá trị chỉnh qui.
gian Euclide số chiều nào dé (không nhỏ hơn n) Cho ƒ là anh xạ khả vi lớp
C!(k>1) từ M, vào W, Khi đỏ, nếu k>n- p+! thì tập các giả trị cực hạn của £ có độ đo Lebergues bằng không
SVTH Nguyễn Thị Hong Nhi Trang 23
Trang 26Bat dang thức: dang chi (111D PGS-TS Lẻ Anh Vin
Chương Il
BAT DANG THỨC DANG CHU TRONG
KHONG GIAN EUCLIDE
Chương nay là chương chính của bản luận van, No được dành cho việc
trình bày chứng minh day đú của bat dang thức dang chu tong quát trong không
gian Euclide n chiều Vé nội dung, chương sẽ giới thiệu những van dé sau day:
© Hang sé đẳng chu
© Các đặc trưng cơ ban của hàng s6 đẳng chu
¢ Phép chứng minh bat dang thức đăng chu trong R"
§1 HANG SO DANG CHU VA
CAC ĐẶC TRUNG
1.1 HANG SO DANG CHU
Xét không gian Euclide n chiều R" Ký hiệu V là độ do Riemann n chiều và
A là độ do Riemann (n — 1) chiều trên R®
1.1.1 v - Thương đẳng chu
Cho © 1a một đa tạp con mở của R* có bao đóng compact vả biên trơn Khi
đó, với mỗi u >1, v- Thương đăng chu của ©, kí hiệu là ‹3,„(Q), được xác định
MIN)
a) viay lí“
SVTH: Nguyễn Thi Hong Nhi Trang 24
Trang 27Kat hang Gre dame chin GHD POSTS Le Anh te
1.1.2 Hang sé dang chu
Với mỗi ở; ot.» - Hang số dang chu cua 2° ki hiểu 4,62") được định
nghĩa là wf 3,192), trong đó 92 chạy khắp trên lớp các da tạp con mo cua R" có
bao dong compact và biên tron,
Vin» — x ,tacé định nghĩa hang số Cheerger /,(2") như sau:
+ cA(Ø9)
EAR) = uf Va)"
trong đó (2 chạy khắp trén lớp các đa tap con mở cua 8“ được mỏ ta như trẻn.
1.2 CÁC DAC TRUNG CƠ BAN CUA HÀNG SO DANG CHU
1.2.1, Bồ đề 1
Vii các miễn Ấ\,, j = l, N, trong R", và & > \ bắt kì ta có:
Lviny* > |»m)| ,
Chứng minh
Bắt đăng thức là một img dụng đơn giản của bat đăng thức Minkowski, Thật
vậy, với |, là hàm đặc trưng của $2, taco:
Trang 28Bat dang thức (lăng chu GVHD.) PGS-TS Lẻ nh Vii
Vậy tử (2.1) và (3.3) suy ra
devas’ > vie | (điều phải chứng minh).
1.2.2 Định lí
Trong dịnh nghĩa của 1,(R°) v € (x), nó van thỏa man khi cho & chạy
khắp trên lớp các đa tạp con mở của RY" mà liên thông.
Chứng minh
- Ta xét trưởng hợp v hừu hạn (1< v < x), còn trường hợp v = ta
chứng minh tương tự.
Lay Jv (RTM) = inf 3,() trong đó © chạy khắp trên các miễn (tức là các đa
tạp con mở liên thông) có bao dong compact va biên trơn Khi đó, hiển nhiên
1,(R") < d„( R®) Vì vậy, ta cần chứng minh bắt đăng thức ngược lại.
Lay 2 mở có bao đóng compact va biển trơn, ta can chứng minh rằng:
A(Ø) > Iv(R") VAY”, (2.3)
Nếu 9 là tập liên thông thì khi đó & liên thông và (2.3) là hiển nhiên đúng.
A
Nếu không, ta viết: 82 = UT, , (2.4)
re
trong đó F¿ I'; là các đa tap con (n - 1) chiều liên thông compact của R* và ta
sẽ kiểm chứng (2.3) bằng phép qui nạp trên k
Với k = 1 thi © liên thông, do đó (2.3) đúng.
Giả sử (2.3) đúng với mọi đa tạp con mở có k thành phản biên, với mọi
k < ky và giả sử ở được cho trước bởi (2.4) với k = ko + 1 Nếu 92 liên thông thi
ta có điều phải chứng minh Néu không, ta sẽ giả sử rằng © có thé được viết như
là hợp rời nhau của các tập hợp mở @„, % Ta lin lượt đánh số các thành phan
biên của 2© sao cho:
SVTH: Nguyễn Thị Hing Nhi Trang 26
Trang 29Bát đăng dare dang tt GVHD, PGS-TS Lé Anh Vii
My py oT), ƯŒ, =ẨF, ;U Uy.
Khi đó ta có:
WAR > Secor ey VY! vá (0G) > SOR) Vay ht
(theo gia thiét qui nap).
Suy ra:
A(Ø9) = A(ở9,) + ATAN)
> Hu (RY) VN)? + đu (Re) V(J*!⁄
hữu hạn bằng cách lấy J „(R*) = inf va ° trong đó { chạy khắp trên các miễn
(tức là các đa tạp con mở liên thông) với bao đóng compact và biên trơn Khi đó,
Trang 30Bort dụng thuc dame chu GVHD POSTS Le Anh Vir
1.2.4 Định li Federer — Fleming
Ven mọt < (Ì x,,ta có - Lia) © SURO) (2.5)
Chứng minh
Ta chi xét trường hợp ø hữu hạn, còn trường hợp » = x ta chứng minh
tương tự va được nhắc đến như lả định lí Cheeger.
Lay §? là đa tạp con mơ bat ki của R” có bao đóng compact va biển trơn
Với = > 0 đủ nhỏ, xét hàm số
l ren
ƒ(rì = {(1/ckiz.0Q) r ER, dred <e
0 FER" QQ d(x IN > ‹
Khi dé / 14 hàm Lipschitz với mọi z va ta có thể xắp xi ham / bằng các
ham ©, , € C,~(R") sao cho:
le., cà 9 |grado, , ~ gradf, |, — 0 khi 7 — x.
Tử điều nay suy ra:
Trang 31iy florea HY = im VME €N: d(r.Ø)) < z }) = Aan
Do đó khi cho £ | 0, tử (2.6), ta được:
với mọi fe Co * ER").
SVTH: Nguyễn Thi Hong Nhì Trang 29
Trang 32Bat dùng duce đẳng chin ' (11412 PGS-TS Le Auk Vii
—— Dé chứng minh (2X) ta can công thức sau:
« Công thức Coarea
Cho t\ là một miễn trong “ có bao đồng compact và ƒ - Ñ ¬ là một
ham sé thuộc CUD NC (OD với ƒ |lớa = 0 Với bat kỳ gíd trị chinh quit cua
fl ta lấy:
F() =|/I'IH, Alt) = AF())
va dA, là độ do Riemann £n - 1) chiêu trên 0(t), Khi đỏ:
và với bat kỳ hàm € LD) ta có:
ƒeLzadf|4V ss fat f oda, (2.10)
2 ® Fr)
Chứng minh
Tập các giá trị cực hạn trong R của ƒ có độ do Lebesgue bang 0 (theo định
lí Sard) Tập các giá trị chính qui của f , kí hiệu Ry, là mở trong R và với ! € R,thi tạo ảnh f~'(€] 2 là đa tạp (n— 1) chiều trong R” với {7'(t1} 2 compact
Lẩy (a.)C A, và ø € (a.đ), khi đó ta có thể xây dựng một đồng phôi
¥: f [nh x (a8) = ƒ!|(aœ8)1,
sao cho /(Wig.t)) = !, với mọi (¢,t) € ƒÌ{u] x (a,8).
Trên /-!((a.2)| định nghĩa trường vectơ
