Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Các điều kiện tối ưu cho bài toán cực trị

Đỗi tượng nón pháp tuyén Fréchet, nón pháp tuyên limiting được xây dựng để có thể xây dựng dưới vi phần cho cáchàm, hoặc để phục vu cho điều kiện tôi ưu của bài toán có ràng buộc tùy ý..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

——————o(\o——

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CÁC DIEU KIEN TOI UU

CHO BAI TOAN CUC TRI

Giảng viên hướng dẫn TS Pham Duy Khánh

ThS Võ Thành Phát

Sinh viên Nguyễn Minh Hiểu

TP Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2023

2 Điều kiện tôi wu bậc nhất

3.2 Điều kiên KKT và điều kiện chính quy bậc nhất|

4 Tong kết và ban lua

ai liệu tham khảo

Lời cám ơn

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cám ơn chan thành và sâu sắc nhất đến hai Thay, TS.Phạm Duy Khánh và ThS Võ Thành Phát vì đã cho tôi cơ hội để được thực hiện

khóa luận Trong suốt quá trình học tấp và thực hiền khóa luận, các Thầy đã luôn

tan tình hướng dẫn, hỗ trợ cho tôi rất nhiều vẻ kiến thức, vẻ tài liệu tham khảo

cũng như đưa ra những câu hỏi, gợi ý để tôi có thể hoàn thành khóa luận Khôngchỉ trong khuôn khổ khóa luận, các Thay còn chi day cho tôi nhiều kiến thức quýbáu trong cuộc sông Được các Thay hướng dẫn khóa luận là một niềm vinh hạnh,

sự may man, và cơ hôi vô cùng lón với tôi.

Tiếp theo, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến tất cả các Thay, Cô khoa Toán

-Tin học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hỗ Chi Minh Khoảng thời gian

bốn năm học tập ở trường, dưới sự giảng dạy của các Thay, Cô đã cho tôi nhiềukiến thức, kĩ năng quý báu để phục vụ cho không chỉ quá trình thực hiện khóa

luận này, mà xa hơn là cho sự nghiệp tương lai của bản thân.

Tôi xin được cám ơn các anh chị, các bạn sinh viền khoa Toán vì đã luồn đồnghành và hỗ trợ tôi rất nhiều mặt trong khoảng thời gian học tập ở trường

Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đặc biết với Ba và Mẹ của tôi

nói riêng, những người đã nuôi day tôi nên người, và cả gia đình của tôi nói chung

vì đã cùng đồng hành, hỗ trợ tôi trong suốt khoảng thời gian học tập từ các lớp

dưới.

các bài toán quy hoạch phi tuyên (nonlinear programming, hay NLP), dui trong

chương trình cơ bản hay nâng cao, học sinh phổ thông thường dùng các cách giải

như

* Học sinh đánh giá giá trị của hàm qua một số bat đẳng thức cơ ban (dua theo

giả thiết, hoặc có sử dung bắt đẳng thức Cauchy-Schwarz, Bunhiacopxki, ),thường với diéu kiện các biến phải không âm

a er `« ‘ h ` > _ 6 yew & a `

* Doi với các bài toán có hàm mục tiểu khả vi liên tục cap 2 trên toàn R, học

2 ` ` # £ > ` ˆ 2 Re yes 4 2

sinh sử dung dao hàm và các kết qua được thừa nhận về môi liên hệ cua dao

hàm và cực tiểu, cực đại địa phương.

Các cách giải nói trên được mở rộng hơn cho chương trình Đại học (hàm mục tiéu

và tôi đa một hàm ràng buộc có nhiều biển) Tuy nhiên, điều kiện hàm có các đạo

hàm riêng cấp 1, cấp 2 liên tục (và dẫn đến hàm khả vi liên tục cấp 2) vẫn tổn tai,

và do đó khiến giới hạn các lớp bài toán có thể xét là khá nhỏ Các kết quả này

trong Toán học là các kết quả cổ điển, và nhiều nhà toán học nghiên cứu để cho

ra nhiều kết quả mới để giải các lớp bài toán quy hoạch phi tuyến với điều kiệnhàm yêu hơn

Để phục vụ cho việc giải các bài toán quy hoạch phi tuyển mà hàm mục tiêukhông khả vi tại điểm đang xét, công cụ dươi vi phân được xây dung để thay thé

vai trò của đạo hàm ở các hàm không khả vi Đỗi tượng nón pháp tuyén Fréchet,

nón pháp tuyên limiting được xây dựng để có thể xây dựng dưới vi phần cho cáchàm, hoặc để phục vu cho điều kiện tôi ưu của bài toán có ràng buộc tùy ý Các

3

MỤC LỤC

kiến thức này được dùng để có thể xây dưng điều kiện tôi uu cho các bài toán quy

hoạch phi tuyến mà hàm mục tiêu không khả vi và ràng buộc (nêu có) thỏa một

số điều kiện nhất đình, và những kết quả đạt được đã được ghi nhận trong nhiều

tài liệu (1], @) G3 (4) (B] (8).

Xét một trường hợp cụ thể của bài toán quy hoạch tuyến tính có ràng buộc là

trường hợp hàm mục tiéu của bài toán và ràng buộc của bài toán là các hàm khả

vi liên tục cấp 1 tại điểm đang xét, thông qua công cụ đưới vi phân và xét bài

toán như một trường hợp đặc biệt của bài toán composite ((8)), các tác giả thiết

lập được điều kiện tôi ưu cho bài toán Điều kiện này chính là diéu kiên

Karush-Kuhn-Tucker nổi tiếng, và đi kèm với diéu kiện này là các điểu kiên chính quy cần xét để một nghiệm chấp nhận được của bài toán có thể sử dụng điều kiện

Karush-Kuhn-Tucker để kiểm tra xem nghiệm này có là cực tiểu địa phương củabài toán hay không Điều kiện chính quy này phụ thuộc vào tập ràng buộc của bàitoán, do đó việc tìm ra các điều kiên mới yêu hơn (để áp dụng cho nhiều bài toán

hon), hoặc dé kiểm tra hơn cũng là một dé tài nghiên cứu phổ biến Các kết quả

về điều kiện chính quy này được tổng hợp trong nhiều tài liệu, chẳng hạn như

(ii).

Trong khóa luận nay, chúng tôi chủ yếu trình bay và tổng hợp một số kết quả thuđược về điều kiện tôi ưu bậc nhất của bài toán tối ưu không ràng buộc, có ràngbuộc tùy ý (với một số điều kiện nhất định của hàm mục tiêu và tập ràng buộc)

và bài toán tôi ưu có ràng buộc phiém hàm (hàm mục tiêu và các ràng buộc làhàm khả vi liên tục tại điểm cần xét) Các điều kiện tối ưu và các kết quả liênquan được thiết lập thông qua công cu đưới vi phần và nón pháp tuyến Chúngtôi cổ gắng làm rõ hơn các chứng minh từ các tài liệu tham khảo, ngoài ra đưa

vào một số nhận xét ở nội dung phù hợp Cấu trúc khóa luận này được chia thành

ba chương.

° Chương [1| trình bày các kiến thức nền tảng về giới hạn ngoài của tập hợp,

nón pháp tuyến và đưới vi phân Dưới vi phân là công cụ chính được sử dụng

để có thể thiết lập các điều kiện tối ưu trong các chương sau Giới hạn ngoài

của tập hợp và nón pháp tuyển có vai trò dùng để xây dựng định nghĩa dưới

vi phân, và được trình bày cùng với các kết quả phục vụ cho mục đích tínhtoán trong trường hợp cụ thể.

k Chương|2| trình bày các kết quả về điều kiện tôi ưu cho bài toán không ràng

buộc và có ràng buộc tùy ý được xây dựng nhờ công cụ đưới vi phân.

k Chương |3Ì trình bày kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán có ràng buộc

Trang 4

MỤC LỤC

phiém ham được xây dựng thông qua góc nhìn của bài toán conposite và

dưới vi phân, và kết quả này trả về một diéu kiện tôi ưu quen thuộc là điềukiện Karush-Kuhn-Tucker Sau đó, chúng tôi trình bày những hiểu biết về

điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cùng với các điều kiện chính quy như LICQ,

MECQ, PLICQ (và mỗi liên hệ của chúng)

° Chương |4Ìtrình bày những kết quả đạt được cũng như định hướng tìm hiểu

tương lai của chúng tôi về dé tài hiện tại nói riêng, và về chủ dé bài toán

quy hoạch phi tuyến nói chung

Mặc dù đã rat cô gắng và trình bày cẩn thận, khóa luận không tránh khỏi sai sót

do sự thiêu kinh nghiệm của người thực hiền khóa luận Chúng tôi kính mong quý

Thay Cô, các bạn sinh viên và người đọc nói chung thông cảm.

Thành pho Hỏ Chi Minh, tháng 4 năm 2023

Sinh viên thực hiệnNguyễn Minh Hiểu

Trang 5

Chương 1

Một số kién thức chuẩn bị

1.1 Giới hạn ngoài của tập hợp

Trong phần này, người làm trình bày những phần kiến thức cơ bản về giới hạn

ngoài của tập hợp Giới hạn ngoài của dãy tập hợp được sử dụng trong các khái

niệm về nón pháp tuyên được định nghĩa cho tập tùy ý như một công cụ tính toán

Ta bắt đầu bằng các định nghĩa về giới hạn trong và giới hạn ngoài của dãy cáctập hợp

Định nghĩa 1.1.1 (Giới hạn ngoài của tập hợp) Cho một day các tập hợp (Ce

là các tập con của R" Giới hạn ngoài (outer limit) của đấy này, ký hiệu limsup C*

han ngoài có thé biéu điện như sau

lim sup C* = {x| 3x* €C*(k EN): đấy này có đấy con hội tụ về x}

k-»oo

Ta xét ví dụ tính toán giới hạn ngoài của day các tập hợp như sau.

Ví dụ 1.1.3 Xét day tập hợp {C*}¿¿x cho bởi trong BR cho bởi công thức sau

ke [0, k] ,klẻ

~ |Í[-œ&-—1),0] ,k chan’

Khi đó lim sup CẺ = R.

k—= co

1.1 GIỚI HAN NGOÀI CUA TAP HỢP

Minh hoa hình hoc cho ví du này có thể tham khảo [4| Figure 4-1(b), Trang 110)

— lim sup.C* fee

Hon nữa, ta suy ra được tập gidi hạn ngoài la tập đóng.

Từ Mệnh đẻ ta có thêm một kết quả quan trọng được trình bày ở (4)

Propo-sition 4.4, Trang 11]

Trang 7

1.2 NON PHÁP TUYẾN

Mệnh dé 1.1.6 Với mọi day tập hợp (C*),< là các tập con của IR", tập giới han

ngoài lim sup CỄ là các tập đóng và chỉ phụ thuộc vào bao đóng của các tập C*, theo

k=»eo

nghĩa như sau

cl(C*) = cl(D*), ¥KEN => lim sup C* = liminf D*

k—»eo keo

Kết quả này hiện tại với người làm phục vụ cho việc tính toán là chủ yếu, khi mà

việc tính giới hạn của một dãy các tập hợp có thể thông qua một dãy các tập hợp

khác có bao đóng trùng nhau Chẳng hạn, nêu xét dãy tập hợp {CÝ}, € {N} trong

thì ta có thé tìm giới hạn day tập hop nói trên thông qua day {C*}, {N} trong

IR cho bởi ct=| 7,00), ken.

1.2 Nón pháp tuyên

Trong phan này, người làm trình bày các định nghĩa về pháp tuyến Fréchet, nón

tiền pháp tuyến, nón pháp tuyến limiting, cũng như một số tính chất liên quan

các đối tượng này Dé bắt đầu, trong phan này người làm sử dụng ký hiệu

x 4 XxX, xEN

Lưu ý với ký hiệu nay, x không nhất thiết phải khác X Do đó khi sử dung ký hiệunày với X là điểm cô lập của một tập thì có thể xảy ra một sô vẫn dé, mà người

làm sẽ dé cập trong phan tiếp theo.

Đầu tiên, ta làm quen với khái niệm pháp tuyến

Định nghĩa 1.2.1 (Các khái niệm về pháp tuyên) Giả sử C là tập khác rỗng trong

IR".

» Cho x €C, ta gọi tap

Ñ(x,C):= {x eR" timsip 42 so} (1.2.1)

ux

là nón tiền pháp tuyến (nón Fréchet) của C tai x Các phan tử của (1.2.1)

được gọi là pháp tuyến Fréchet Với mọi x €, ta qui ước N(x, €) := Ú

Trang 8

Ghi chú 1.2.2 Dựa vào định nghĩa này, khi xét x € € là các điểm cô lập của C, ta

không tim được một day u Sx, u # x để có được giới han limsup (hàm

c in

ux

lẫy giới hạn không xúc định) Do đó nón tiền pháp tuyển trong trường hợp này có

thể can một qui ước Tương tự, khi xét nón pháp tuyến, việc định nghĩa dựa trêncác nón tiên pháp tuyến N(x*,C) khi mà chỉ có thể lây giới hạn x* = x,k = 1,2,

cũng bị ảnh hưởng Vậy rõ ràng cần có một cách tính, hay qui ước khác ở đây

¬ : x°,u—x Bis suÄ2 tân 2ã c

Nếu ta coi như giới hạn lim `: phụ thuộc vào việc tim được u > x,

M <0, thì có thể nói rằng do không chọn được u* Sx, ut # x dé ton tai gidi han,

lấy x* ER" tùy ý thì x* không vi phạm điều kiện của nón tiền pháp tuyến Nói tómlai, ta có thể xem như N(x,C) = R* với mọi điểm cô lập x của C Điều này cũng

dẫn đến N(x,C) = R" với mọi điểm cô lập x của C

Ghi chú 1.2.3 Từ định nghĩa, có thể thay Ñ(x,C€) va N(x, C) thực sự là nón Ta chỉxét trường hợp x không là điểm cô lập của C Trước hết, ta kiểm tra N(x,C) Lay

x* EN(x,C) và A^ >0 tùy ý, do x” € Ñ(x,C) nên limsup tí 5=) <0 Suy ra

Ta đến với một ví du tính toán nón tiền pháp tuyến và nón pháp tuyến, chi sử

dụng định nghĩa như sau.

Ví dụ 1.2.4 Cho C = {x € R": ||x|| = M} với M = 0 tùy ý Khi đó với mọi x € C

(a) Với M =0, N(x,C) =N(x,C) =R" với mọi n € Ñ

Khi M = 0, với mọi n € N thì C = {x € R*: ||x|| = 0} = {Og0} Lay x EC

tùy ý, khi đó x = Ope Dễ thấy x là điểm cô lập của C, và do đó ta suy ra được Ñ(x,C)=N(x,C)=IR".

(b) Với M > Ova n = 1, Ñ(x,C)= N(x,C)= RE

Khi M > 0 và n= 1, € ={x ER: ||x|] = M} = {—M,M} Lấy x EC tùy ý, khi

đó tôn tại lân cận U = Buw(x) sao cho UNC = {x} Do đó x là điểm cô lập của

C và do đó ta suy ra được N(x,C) = N(x,€) = RE"

(c) Voi M > 0 và voi mọi n > 1,n €N,

Ñ(x,C)=N(x,C)= {ax,a € R}

Voi moi x € C, ta xét tập hợp sau

xt={veR":vLx}={veER®: (v,x}=0)}

Trang 10

1.2 NON PHÁP TUYẾN

Lưu ý rằng xỉ \ {05 } £0 Chang han, néu xét x = MeÌ,¡ = 1,2, n, hay

x =—M©',¡ = 1,2, n với e' là vecto đơn vị thứ i của R", do n > 2 nên ta luôn

có e* k # ¡ sao cho x L e* Còn với x # +Me', Vi = 1,2, n, ta luôn tìm được

kị,kạ €N,kị # kạ sao cho x¿, # 0 x;, #0 Ta xét vecto như sau

Dé thay lúc này v # Ope, v L x

Bây gid, gid sử x° € N(x, C), khi đó với mọi dãy u ` x,uz#x thì

Tử đấy sợ rẻ (x*,v} < 0 với mọi v € xt, v # Ops Do v € xÌ, y # Ope nên

—y € x+, —w # 0z„, và bằng cách chọn day tương tự như trên, ta có được (x”,—y) < 0 với mọi v € xt, v # Ogs Suy ra (x*,v) = 0 với mọi v € xỶ,

v # Ops Điểu này dẫn đến {x*,v) = 0 với mọi v 6 x4 Do đó x* thuộc không

gian con của R" sinh bởi tập {x}, hay nói cách khác

~ Gl ú

x” € {ax,a € R}.

Trang 12

1.2 NON PHÁP TUYẾN

Ngược lại, lấy x° = {ax,a € IR} tùy ý khi đó tồn tai a € R sap cho x* = ax

Xét bắt kỳ đấy u + x, u # x, ta có đánh giá sau

Lấy x" N(x,C) tùy ý, khi đó tồn tai day x S x va x** — x* sao cho

x N(x*,C) với moi k € N Với mọi k € N, ta có x** = œ,xỀ, a E BR Do

x — x, x** — x* và ||xÊ||= M —= M > 0 nên a, > œ thực nào đó, va dẫn đến

x** = ax ke = x* Suy ra x* € {ax,a € R} Ngược lại, lấy x* € fax, ae} =

ý, khi đó, tần tai a € R sao cho x* = ax Ta chon được day x* S x như (1.2.3)

và x** = ax* — x* sao cho x* © N(x* '€) với moi k EN Do đó x* aN

Suy ra với moi x € C thi

N(x,C) = {ax,a€ RE}.

Vậy với M > 0 và voi moin > 1,n EN, với mọt x € C thì

N(x,C)=N(x,C) = {ax,a € R}.

Trong trường hop này, có thé thay nón tiền pháp tuyến và nón pháp tuyến của

x €C chính là đường thẳng đi qua x và gốc tọa độ

Trường hợp tập C lỗi địa phương quanh X, tức ton tại lan cận U của X sao cho

€ nU là tập lôi, ta có kết quả tính nón pháp tuyên dé hơn như sau

Trang 13

1.2 NON PHÁP TUYẾN

Mệnh dé 1.2.5 (5Ì Proposition 1.5 - Trang 8]) Cho U là một lân cận của X ECC

IR" sao cho € nU là tập lỗi Khi đó

N(X,C)= {x* ER": (x",,x—X) <0,YxCnU).

Kết quả này có thể coi như kết quả mỏ rộng cho định nghĩa nón pháp tuyến trong

Giải tích lồi (xem (5Ì)

Ghi chú 1.2.6 Đối với các điểm cô lập X của C, ta có thể tìm được một lân cận U

của X sao cho UNC = {X} là tập lỗi Do đó

1.3 DƯỚI VI PHAN

13 Dưới vi phân

Một trong những ứng dụng của nón pháp tuyến chính là để xây dựng dưới vi phầncho các hàm y : R" > ϧ = (—eo, 00] với

dom y = {x ER": g(x) < co} # 0.

Trong phan này, nếu không giải thích gi thêm, với các định nghĩa, định lý, tínhchat, hàm ợ luôn nửa liên tục đưới trên một lân cận của điểm š € dom ¿ dangxét Nhắc lại về tính nửa liên tục đưới, hàm ¿ được gọi là nửa liên tục đưới tạiđiểm š néu

v(x) < liminf y(x).

x*x

Tính nửa liên tục đưới trên một lân cận của điểm X € dom ¿ tương ứng với tính

đóng địa phương xung quanh điểm (x, ¿(š)) của tập

epi ¿ = {(x,a) ER" x R: ¿(x) š a}.

Ngoài ra, người làm trình bày thêm ký hiệu sự hội tu điểm theo hàm ¿ sẽ được

sử dụng nhiễu trong phan nay

thì su hội tu x > š tương đương với sự hội tu x > ¥ khi 2 là tập đóng dia phương

quanh š Tính nửa liên tục trên một lan cận của điểm š € dom ¿ lúc này tương

ứng với tính đóng địa phương xung quanh š của 9.

1.3.1 Dưới vi phan Fréchet

Đầu tiên, ta đến với dưới vi phan Fréchet được tính toán sử dụng lim inf

Định nghĩa 1.3.1 (Dưới vi phân Fréchet) Cho y : RB" + BR và X € dom ợ, ta định

Với mọi v € [—1, 1] ta có 1—sgn(x)(v) = 0 với mọi x € E Từ đây, dé dàng suy ra

được lim inf(1 —sgn(x)(v)) = 0, và dân đến v€ ầy(0).

Khi đó @ p(X) = N(X, 2) với mọi F € 2.

Chứng minh Với mọi š € 9, ta có

ey(x)= {v ER": lim ing LOO— PC) — x=) > 0}

day suy ra với mọi day x > š, ta có

lim inf LEO PC) 88) tien ing W,2=3) 9,

Suy ra duoc limsup Ix—Zll >0, hay lim sup < 0 Do dove

x8 vie llx-#ll

Ñ(z,f) Ngược lại, lay v € N(X,Q) tùy ý, khi đó với mọi x EN, ta có (v,x — š) <

o(||x — x||) Suy ra với mọi x € 9, ta có (vy, x — X) — (@(x)— ¿(X)) < o(l|x — *||).

Với mọi x # 9, ta cũng có Íy,x — X} —(¿(x)— ¿(X)) = —©s < ø(||x — x||) Do đó

Dưới vi phân Fréchet với ham lỗi cũng cho ra kết qua đặc biệt trùng với dưới vi

phân của giải tích lỗi

Dinh lý 1.3.4 Cho ¿ : IR" > BR là hàm lôi trên R" và š € dom ¿ Khi đó

ầg(£)={v<E":(y,x—š}) < v(x) — (8), Vx ER}.

Chứng minh Bao hàm thức ẩ¿(£) 5 {v 6 R": {w,x—š} < v(x) — @(£),Vx €

R"} có thé dé dang thấy được từ định nghĩa ẩ¿(£) Ta chứng minh chiéu ngược

lại Lấy w € @y(X), khi đó từ định nghĩa, ta suy ra được với moi 7 > 0 thì hàm

sau đạt cực tiểu địa phương tại š

#@n(x)= (x)— ý(%)T— (,x—*) + n||x — XI.

Do ÿ lỗi nên #„(x) lỗi với mọi n > 0 Điều này dẫn đến š là cực tiểu toàn cục

của ham y,, với mọi ? > 0 và

#„(x)= p(x) — p(X) — (v, x — #) + n||x — š||> 0 = @„(š).Yx ER", Vn > 0.

Trang 17

1.3 DƯỚI VI PHÂN

Từ đây suy ra @(x)— @()T— {y,x — š} + n||x — š||> 0, ¥x ER", hay (v,x — š) <

@(x)— p(X), Vx ER"

Vay

8 y(%) = {v ER": (vx —¥} < y(x)— g(£),Vx ER}.

1.3.2 Dưới vi phan Mordukhovich

Dưới vi phân Mordukhovich của ¢ : R® > R tại x € dom ¿, được định nghĩa dựa

theo nón pháp tuyến N((£, (X)), epi y).

Dinh nghia 1.3.5 (16) Definition 1.18]) Cho ¿ : E" — R và X € dom y Tap hop

gam tat cd subgradient cơ bản, còn goi là đưới vi phân Mordukhovich hay dưới vi

phân basic, của yp tai X được định nghĩa là

6 p(X) := {v € BR": (v,-1) e N((š, (š)), epi y)} (1.3.1)

Ta bắt đầu với một ví du tính toán đơn giản như sau

Ví dụ 1.3.6 Choy: R >E, ¿(x) = |x| Khi đó 8¢y(0) = [—]1, 1].

Thật vậy, trước hết, ta di tính N((0, ¿(0)),epi y) = N((0,0), epi y) Để ý rằng ọ

lỗi trên R, và do đó epi ọ là tập lôi Ta có thể tính

N((0,0),epi @) = {(v,A) ER xB: ((v,A), (x, 2) —(0,0)) < 0, V(x, a) € epi ý}

= {(v,A)ERxE: vx + Âư <0, V(x, a) € epi ¿}.

Lấy (v,A) © N((0,0), epi @) tùy ý, xét tại hai điểm (x1, a!) = (1,1) € epi ¿ và

(x”,ø?) = (—1,1) € epi ý, ta có + Â < 0 và —v +A < 0 Từ đây suy ra được

Ầ <Y <~À và ^ <0, hay |v| < —Â và A < 0 Do đó

1.3 DƯỚI VI PHÂN

Quay trở lại ô(0), ta dé dang tính được

éy(0) = {v€R' : (v,—1) € N((0, 0), epi ¿)}

={veR": |v| <—(—1)} = [—1, 1].

Với vi dụ về hàm lỗi nói trên, ta có kết quả tiếp theo cho thấy dưới vi phân

Mordukhovich với hàm lỗi trùng với dưới vi phân của giải tích lôi

Dinh lý 1.3.7 Cho y : R" > BR là hàm lỗi trên R" và š 6 dom ọ Khi đó

= {vER": (vy.x—X) < y(x)— (x), ¥x ER} (1.3.5)

Dau bằng thứ ba có được do g(x) < a, ¥(x,a) € epi¿ Dau bang cuỗi cùng dé

dang có được khi xét các điểm x ¢ dom y thi ¿(x) = ©e, và din đến bắt đẳng

1.3 DƯỚI VI PHÂN

Chứng minh Để chứng minh kết quả này, ta sử dụng một bổ dé về mối liên hệ

giữa nón pháp tuyên và tích Descartes như sau

8Øy(x)= {vy ER": (v,—1) € N((x, ¿(š)),epi #)}

= {v ER": (v,-1) € N(z, 9) x N(0,[0, ©o))}

= {v €R": (v,—1) € N(z,9) x(—œe,0]}

= N(x,Q).

Dưới vi phân Mordukhovich thường được sử dung nhiều hợn trong các kết quả vềđiều kiện tôi ưu, tuy nhiên việc tính dưới vi phân này thông qua nón pháp tuyên

không phải dé dang Thay vào đó, ta có thể sử dụng dưới vi phân Fréchet (mộtcông cụ tính toán dé hơn) để thực hiện công việc này Kết quả quan trọng sau đầygiúp ta làm được điều đó

Định lý 1.3.10 a Theorem 1.28]) Cho ¿ : R" > R và š Edom ợ Khi đó

2 y(X) = limsup ầy(x)

x»#

`+ oa ‘= z ak

Ngoai ra, nêu ¿ liên tục tai š, ta có thé viết

âợ(£) = limsup 2y(x).

x—-+¥

Ta xét vi dụ sau sử dung cách tính vi phan theo giới han

Ví dụ 1.3.11 Choy: R—R, g(x) = —|x| Khi đó ê2(0) = {—1, 1}

Trang 20

Đầu tiên, ta có ham y khả vi tại các điểm x # 0, (y(x) = —x khi x > 0 và

¿(x) =x khi x < 0) Do đó, dưới vi phân của ¿ tại x # 0 trùng với dao hàm của

¢ tại các điểm này, hay

v = —1 Ngược lại, với v = 1, ta chọn được day x* = =" 0,v` =1 —= 1 sao

cho vŸ € @y(x*) với mọi k € N Còn với w = —1, ta chon được day x* = h — 0,

yŸ =—1 —= —1 sao cho v* e #¿(x*) với mọi k EN.

Vậy ¢ (0) = {—1,1) a

1.3.3 Luật cộng dưới vi phân (Sum Rule)

Tương tự quy tắc cộng cho đạo hàm khi hàm khả vi, ta cũng có luật cộng cho đưới

vi phân như sau.

Dinh lý 1.3.12 (6| Proposition 1.28, ii]) Cho : BR" — và š € dom vy Xét ham

tỳ : RE" — R kha vi tai x Khi đó, ta co

2 w(x) Thật vay, lẫy v € ê(t) + y)(X) Khi đó

liminf Cot DOI= + ex) — (v, x= %) Si

Trang 21

Mặt khác, xét hàm ¿ = (t)+)+(—)), ta thay š € dom (+) và (—y) khả vi tại

X Từ day, áp dụng kết quả vừa chứng minh ta suy ra được ầy(#) c V(-)(š)+

ẩ( + ¿@)() Do đó ẩự(X) c —VW(£) + () + ¿)(£), hay 3 y(%) + VỤ(£) ¢ ẩ( + ¿)(š) Suy ra

(ap + p(X) = Vụ(£) + (8).

Khi tý khả vi liên tục xung quanh š, gia sử v £(ý + y)(%) Theo Dinh ly [1.3.10

tổn tại các day x* “5? x, vk — y sao cho với mọi k N thì v* â( + y)(x*),

hay v € Vự(xŸ)+ 8 y(x*), hay v— W+b(xŸ) e ẩợ(xÈ) Vì tỳ khả vi liên tục xung

quanh š nên V#(xŠ) > V(š) Mặt khác, tỷ khả vi tại š kéo use Xu liền tục tại

X yt và a + y liên tục tại š dẫn đến y liên tục tại š, và do đó x* + x TỪ day, ta tìm được các day x* 5 x, v¥—Wyp(x*) — v—V(ÿ), sao cho v¥§—Wyp(x*) € ầq(x*)

với mọi k € N, hay v— V(X) € @y(X) Do đó 2( + ý)(x) C VỤ(x)+ A y(X).

Mặt khác, xét hàm = ( + ý@)+(T—) ta thay £ € dom (y + ý) và (—y) khả

vi liên tục xung quanh š Từ đây, áp dụng kết quả vừa chứng minh ta suy ra được

8 p(X) C V(—)(š)+ â( + p(X) Do đó Øÿ(š) c—VU(š)+ 2( + ¿)(š), hay

Ngoài luật công dưới vi phân nói trên, theo {5} Theorem 2.33, trang 216], ta có

thêm một quy tắc cộng dưới vi phần như sau

Dinh lý 1.3.13 Cho ÿy, ga : J" — Rva x € IR", với ý là ham Lipschitz địa phương

tại X và 2 hàm nửa liên tục đướt xung quanh xX Khi đó

ô(ÿì + ý;)(š)C 8ự¡(X)+ôợ;(*)

Trang 22

1.3 DƯỚI VI PHÂN

Các kết quả nói trên được sử dung chủ yếu khi xét diéu kiện tôi ưu cho bài toán córàng buộc Ta có thể tạo ra bài toán tương đương bài toán ban đầu với hàm mục

tiêu là tổng của hàm mục tiêu ban đầu và hàm có liên quan đến tập ràng buộc

Điều kiên của hàm mục tiêu, tập ràng buộc, và tại điểm đang xét khi áp dụng các

luật cộng dưới vi phan phù hợp có thể cho ra điều kiện tối uu khác nhau Phan

này sẽ được trình bày kĩ hơn trong chương sau.

Trang 23

Chương 2

Điều kiện tôi ưu bậc nhất

2.1 Điều kiện tôi ưu bậc nhất cho bài toán không có ràng

buộc

Ta nhắc lại định lý Fermat tổng quát nhưng được trình bay theo dưới vi phân

Mordukhovich và dưới vi phân Fréchet như sau.

Định lý 2.1.1 Cho ¿ : RE" > RB và x € dom ọ Nếu š là cực tiểu địa phương của y

thì

Ogn € Ềợ(£) và Oga € G(X).

° ` ` a + 2 A ° A * ` -Ä ~ˆ^ 2 ` , 2 ~= yy

Khi ÿ là hàm lôi, các điều kiện nót trên trở thành điều kiện cần và đủ để š là cực

tiểu toàn cục của yp.

Chứng minh Giả sử š là cực tiểu địa phương của ¿ Khi đó tổn tại lân cân U của

š sao cho @(x) = ¿(š) với moi x € U Suy ra với mọi y > 0, tổn tại lân cận U của

š sao cho với moi x € U, ta có

@(x)— p(X) = p(x) — ý(#)— (Ogn, x — š) = —r||x — *||

Từ Định nghĩa ta có

tain£f2)=9)=0.x =8) sọ,

xế llx — zl

hay Oz € ầy(#) Mặt khác, theo Định Iý{1.3.10 ta có

đe(š) = limsup ay(x).

x¬—*x

24

2.1 DIEU KIÊN TÔI UU BAC NHẬT CHO BÀI TOÁN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC

Xét các dãy x* = š và v* = Ops, với mọi k € N Ta thấy x* > x, v* — O, và với

mọi k €N thì v* € @y(x*) Do đó theo Định lý|1.3.10| 0„„ € @¿(#).

Trong trường hợp ¢ là hàm lỗi trên IR", theo các Định lý và ta co

êg(š)=ầy(#)= {v ER": (v,x—š) < @(x)— ¿(£),Vx 6 R"}.

Do đó Oz € ầy(#) hay Op, € 2 y(X) tương đương với 0 < y(x)— v(x), ¥x ER’,

hay y(x) = v(x), ¥x € RB” Suy ra 0x € J y(X) hay Og, € 8y(X) là điều kiện cần

và đủ dé š là cực tiểu toàn cục của y "

Ta xét hai ví dụ đơn giản sau

Ví du 2.1.2 Xét ham sau trên R

—1 ,x<0

sá)={ 1 ,x>0.

Dễ thay với mọi x # 0, ¿ khả vi tai x và ầy(x) = @y(x) = {V¿(x)} = {0} Sử

dung điều kiện đủ nói trên, ta có thể kiểm tra xem x # 0 tùy ý có là cực tiểu địa

phương của bài toán hay không Ta có với moi x # 0, ton tại r = |x| > 0 sao cho g(y) = v(x) = v(x) với mọi y € (x —r,x +r) Do đó moi x # 0 đều là cực tiểu

địa phương của bài toán.

Mặt khác, y không là hàm lỗi do tổn tại x = —1,y = 1 và A = 0.5 sao cho

@(Âx +(1—^)y) = ¿(0) = 1 > 0.5(—1)+0.5(1)= Ä¿(x)+(1—2^)¿(y) Với mọi

x €(0, 00), ¿ khả vi tại x Do đó với mọi x € &\ {0}, đ¿(x)= ầy(x) =Vy(x) =

0 Từ đây, ta dé dang có được

2y(0) = lim sup 2 (0) = limsup ê¿(0) = 0;

Ví dụ này dùng để chỉ ra rằng điều kiện đủ để š là cực tiểu địa phương của ọ có thể

sử dụng để tìm ra các điểm có thể là cực tiểu địa phương của bài toán, nhưng không

thể đưa ra kết luận khi y là hàm tùy ý (cụ thể hơn là hàm không lồ.

2.2 DIEU KIÊN TÔI UU BAC NHẬT CHO BÀI TOÁN CÓ RÀNG BUỘC

Dé thấy hàm ọ là hàm lỗi và Ogn € ầy() (hay Om € £¿(%)) Do đó 0 là cực tiểu

toàn cục của ¿ Hơn nữa với kết qua về 6 @(x) và @ p(x) thì ta cũng thay được 0 làcực tiểu toàn cục duy nhat của yp

a A LẠ + ˆ A Ne + +, ` aA

2.2 Điêu kiên tôi ưu bac nhat cho bài toán co rang buộc

Xét bài toán ban đầu có ràng buộc

min (x),x €9,

với ¿ :R° > R và ñ C C E" Trước hết, ta kiểm tra mỗi liên hệ nghiệm của bàitoán này với bài toán

min p(x) + ô(x,9),x ER" (2.2.1)

Mệnh dé 2.2.1 š € 2 la nghiệm địa phương (toàn cục) của bài toán ban đầu khi

và chỉ khi x là nghiệm địa phương (toàn cục) của bài toán|2.2 1]

Chứng minh Giả sử š € ® là nghiệm địa phương của bài toán ban dau Khi đóton tại lân cận U của š sao cho

(x) = ¿(%) với mọi x € Un®.

Suy ra

p(x) + 6(x, 2) = ¿(x) + ô(%, 9) với mọi x E U n8.

Với mọi x € UNM, ta cũng có

p(x) + 6(x, 2) = 00 = (x) + 6(X, 2) = v(x).

Suy ra với moi x € U thi v(x) + 6(x,2) = y(X) + 5(¥,2), hay xX là nghiệm địa

phương của bai toán [2.2.1]

Ngược lại giả sử š € ® là nghiệm địa phương của bài toán |2.2.1Ì Khi đó tồn tại

lần cần U của š sao cho

p(x) + 6(x, 2) = ¿(x) + 6(X, 2) với mọi x € U.

Suy ra với moi x € UND thì ¿(x)+ 6(x, 2) = y(X) + 6(%,2), hay yp(x) = y(X).

Do đó x là nghiệm địa phương của bài toán ban dau

Trang 26

2.2 DIEU KIÊN TÔI UU BAC NHẬT CHO BÀI TOÁN CÓ RÀNG BUỘC

Việc chứng minh kết quả của nghiêm toàn cục hoàn toàn chứng minh tương tựbang cách thay U bằng IR" "

Liên hệ nghiệm cho thấy hai bài toán tương đương với nhau Hơn nữa, ta biết

rằng hàm chỉ 6(x, 2) không nhất thiết luôn khả vi tại # nào đó, nhưng ta đã tính

được với mọi X € 9 thì

ẩy(£)=Ñ(Œ,9):; @y()=N(£,9).

Cầu hỏi ở đây là: Liêu ta có thể tim được một kết quả tương tự như định lý[1.3.12thay hàm y bằng ð(x,f3) và V(£) bằng N(z,9) và N(%,Q) tương ứng đượchay không? Câu trả lời là CÓ, sử dung Dinh lý và Định lý|1.3.12

Ta bắt đầu với kết quả sau

Dinh lý 2.2.2 Choy :R" — I§ với C QC R" và š Edom ¿ n9

(i) Nếu š là nghiệm địa phương của bài toán |2.2 1]và khả vi X thì

(i) Giả sử š là nghiệm địa phương của bài toán và ¿ khả vi tai š Do š

là cực tiểu địa phương của ¢ trên Ø nên š là cực tiểu địa phương của hàm

y + 6(-,Q) Theo Định lý ta suy ra

Ops € O(y + S(-,2))(X).

Kết hợp với Dinh ly [1.3.12}va y khả vi tại X, ta lại có

0x € Vip(x) + 2(ö(£, 8),hay

—Vợ(£) € Ñ(z, 9)

Vay néu x là nghiệm địa phương của bài toán [2.2.1]va y kha vi š thì

—V (x) € N(x,2)

Trang 27

2.2 DIEU KIÊN TÔI UU BAC NHẬT CHO BÀI TOÁN CÓ RÀNG BUỘC

(ii) Giả sử š là nghiệm địa phương của bài toán và y khả vi xung quanh

š Do # là cực tiểu địa phương của trên M nên š là cực tiểu dia phương

của ham ¿ + õ(-,Q) Theo Định lý ta suy ra

Opn € (yp + õ(.,9))(8).

Kết hợp với Dinh Iý[1.3.12Ì và ¿ khả vi xung quanh X, ta lại có

Og» € Vip(x) + ê(ð(z,®)),

Từ Định lý khi xét bài toán |2.2.1|là bài toán lỗi (hàm ợ lỗi trên tập 2 lôi),

ta có được điều kiện cần và đủ như sau

Mệnh dé 2.2.3 Choy: R" > R với ð C QC IR" và X Edom YN Hơn nữa ¢ lôi

Ngoài ra, khi Q lỗi, ta còn có dạng biểu diễn cụ thể

N(z,9) = N(#£,Q) = {v ER": (v,x—š) < 0,Yx EN}

Do đó, ta có thể tổng hợp kết quả mệnh đề nói trên thành 1 kết quả duy nhất như

sau

Trang 28

2.2 DIEU KIÊN TÔI UU BAC NHẬT CHO BÀI TOÁN CÓ RÀNG BUỘC

Hệ quả 2.2.4 Cho y : BR" > E với ñ COC RB" và š Edom @ n9 Hơn nữa ọ lỗi

trên 2 lôi Nếu @ khả vi tại š thì š là nghiệm toàn cục của bài toán|2.2.1Ìkhi và chỉ

khi (Vụ(#).x — š) = 0,Yx €2.

Có thể thay ở các điều kiện tôi ưu nói trên, ta đều can điều kiện y là hàm khả

vi tại š (hoặc mạnh hơn, xung quanh X) Đó là điều kiện mạnh để đổi lay việckhông can ràng buộc cho tập 2

Nhu cau ở đây có thể hướng tới việc giảm điều kiện của hàm y và thêm điều kiệnnào đó cho hàm chỉ (tương ứng là thêm điều kiện cho tập 2) để có thêm diéu

kiện tôi ưu mới Cần lưu ý là ta luôn giả định y là hàm nửa liên tục đưới xung

quanh điểm đang xét x.

Ta còn luật công dưới vi phân đã được nhắc tới ở chương trước Bằng cách

cho hàm ¥ trong(1.3.13}1a ham ¿ cua bài toán [2.2.1] để đảm bảo diéu kiện nửa

liên tục đưới, khi đó ta có thể cho hàm chỉ ð(x, 9) thỏa điều kiện hàm Lipschitzđịa phương tại š.

Một hàm ¿ : R? > IR được gọi là Lipschitz địa phương tại š néu tổn tại L > 0 và

r > 0 sao cho với mọi x € R" thỏa ||x — š|| < r thì |lự(x)— (š)|| < M||x — #|I.

Từ định nghĩa này, người làm rút ra được kết quả sau

Mệnh dé 2.2.5 Hàm chỉ õ(x,) là ham Lipschitz địa phương tại š € Q khi và chỉ

khi x € int(Q)

Chứng minh Giả sử ham chỉ ô(x,@) là ham Lipschitz dia phương tại š € 9.

Khi đó tổn tại L > 0 và r > 0 sao cho với moi x € R" thỏa l|x — #|| < r thìIlô(x,f3)— ð(z,9)l| < M||x — #||, hay tổn tại một lân cân U của š và L > 0 sao

cho ||ö(x, 2) — ö(z, 8)l| < Ml|x — Xl] với mọi x € U Nếu x £ 2 thì ñ(x,0) = œo,

và dẫn đến co < M||x — š|| là diéu vô ly Do đó với mọi x € U thi x < 9, hay

x € int(Q).

Ngược lai, giả sử ¥ € int(Q) Khi đó tổn tại một lần cân U của š sao cho U c 9

Suy ra ton tại r > 0 sao cho 5(x,2) = 0 với mọi x thảo ||x — š|| < r Chon

L = 1, ta tim được L > 0 và r > 0 sao cho với moi x € R" thỏa ||x — š|| < r

thì |lô(x,@)— ô(z,9)|| < M||x — š|| Do đó ham chỉ õ(x, 9) là ham Lipschitz địa

phương tại x € Ð.

Vậy ta có điều phải chứng minh "Kết hợp kết quả này với Định lý[1.3.13] Định ly [2.1.1] công thêm với lưu ý khi

X € int(Q) thì N(x, 9) = {03}, ta có két qua sau

Mệnh dé 2.2.6 Cho ý : R" > lR với Ú CNC R" và š € domyNN Nếu x là

Trang 29

2.2 DIEU KIÊN TÔI UU BAC NHẬT CHO BÀI TOÁN CÓ RÀNG BUỘC

nghiệm địa phương của bài toán |2.2.1]và š € int(Q) thì

0x € A(X).

Ta xét thêm một trường hop của Dinh ly [1.3.13] lan này cho y nhận thêm điều

kiện hàm Lipschitz địa phương cùng với điều kiện nửa liên tục dưới sẵn có Cònhàm chỉ ð(x,©) nhận điều kiện nửa liên tục dưới xung quanh š € 9 Hàm chi

5(x, 2) nửa liên tục đưới xung quanh x € 2 tương đương với việc epigraph của hàm chi này đóng địa phương xung quanh (x,0) Mặt khác, epi 6(-,Q) = 9 x [0, ©o), do đó tính đóng địa phương của epi 5(-,2) xung quanh (š,0) tương

đương với tính đóng địa phương của Ø xung quanh x.

Từ đây, ta có thêm một kết quả sau

Mệnh dé 2.2.7 Cho y : R" > # với C C RE" và š € dom ¿nQ Nếu š là

nghiệm địa phương của bài toán y là hàm Lipschitz địa phương tại š và 2

đóng địa phương xung quanh x thì

0x: € Ø¿(#) + N(z,®).

Trang 30