(Luận văn) nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ HỒNG TRÂM lu an n va tn to NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU p ie gh CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ HỒNG TRÂM lu an n va to gh tn NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU p ie CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN d oa nl w Mã số nf va an lu Chuyên ngành : : Đại số lí thuyết số 8460104 z at nh oi lm ul Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG z m co l gm @ an Lu n va ac th si i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn” cơng trình nghiên cứu tơi lu an hướng dẫn TS Trần Đình Lương chưa công bố va n cơng trình khoa học khác thời điểm gh tn to Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn p ie thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, xin chịu trách nhiệm nl w luận văn d oa Quy Nhơn, ngày 23 tháng 07 năm 2019 an lu Học viên thực đề tài nf va z at nh oi lm ul Võ Thị Hồng Trâm z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu MỞ ĐẦU an n va Một số kiến thức nhóm 1.2 Một số kiến thức số học ie gh tn to 1.1 p NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHÓM ABEL HỮU oa nl w HẠN Vành tự đồng cấu p-nhóm abel hữu hạn 2.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn d 2.1 nf va an lu lm ul NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHĨM XICLÍC 16 25 Căn ngun thủy 3.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc 30 3.3 Tích nửa trực tiếp 36 z at nh oi 3.1 25 z @ 43 an Lu QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 44 m DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO co l gm KẾT LUẬN 45 n va ac th si MỞ ĐẦU Một vấn đề trung tâm lý thuyết nhóm nghiên cứu lu an cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nhóm cho trước, va n đặc biệt nhóm hữu hạn Vấn đề đóng vai trị cốt gh tn to yếu việc nghiên cứu mở rộng nhóm có nhiều ứng dụng khác p ie việc giải toán lý thuyết nhóm Trong w trường hợp nhóm abel hữu hạn, việc xác định nhóm tự đẳng cấu oa nl chúng biết rõ, nhiên việc mô tả cách tường d minh khảo sát ứng dụng cịn vấn đề đáng nf va an lu quan tâm Đề tài nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nhóm lm ul tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Nội dung tìm hiểu z at nh oi trình bày chi tiết kết liên quan đến việc mô tả nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn trường hợp tổng quát, z gm @ mơ tả tường minh nhóm số trường hợp đặc biệt Đề tài l đề cập đến việc ứng dụng nhóm việc nghiên cứu tích nửa m co trực tiếp nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm xiclíc Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo an Lu Luận văn "Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn" bao gồm: n va ac th si Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức nhóm, số kiến thức số học sử dụng luận văn Chương 2: Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Chương trình bày số vấn đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn: biểu diễn tự đẳng cấu dạng lu ma trận, sử dụng kết để tính cấp nhóm tự đẳng an n va cấu nhóm abel hữu hạn gh tn to Chương 3: Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Chương trình bày số vấn đề cấu trúc nhóm tự p ie w đẳng cấu nhóm xiclíc Từ ứng dụng vào việc mơ tả tích nửa trực oa nl tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc d Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình an lu thầy hướng dẫn TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân nf va dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy lm ul giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Chúng z at nh oi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy z gm @ giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 20 dày cơng giảng l dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình m co học tập thực đề tài Nhân xin chân thành an Lu cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn n va ac th si Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hồn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an n va Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức tn to nhóm, số kiến thức số học sử dụng luận văn Các kết ie gh chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [2], p [3], [5] nl w Một số kiến thức nhóm d oa 1.1 an lu Một nhóm (G, ·) tập hợp G 6= ∅ trang bị phép nf va tốn hai ngơi · thỏa mãn điều kiện sau đây: lm ul (i) a · (b · c) = (a · b) · c với a, b, c ∈ G, z at nh oi (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho a · e = a = e · a với a ∈ G, (iii) Với a ∈ G tồn phần tử a0 ∈ G cho a · a0 = a0 · a = e z gm @ Để đơn giản, ta ký hiệu ab thay cho a · b Phần tử e xác định (ii) l nhất, gọi phần tử đơn vị nhóm G, thường ký hiệu m co Với a ∈ G, phần tử a0 xác định (iii) nhất, an Lu gọi phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a−1 Một nhóm G gọi giao hốn (hay abel ) ab = ba với a, b ∈ G Nếu nhóm G n va ac th si có hữu hạn phần tử ta gọi G nhóm hữu hạn, gọi số phần tử G cấp nhóm G, ký hiệu |G| Cho G nhóm, H tập G Ta gọi H nhóm G, ký hiệu H G, điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép toán G hạn chế lên H cảm sinh phép tốn H, (ii) H nhóm với phép toán cảm sinh lu Cho G nhóm, S tập G Ta ký hiệu hSi an nhóm bé G chứa S, gọi S tập sinh hSi Đặc va n biệt, nhóm có tập sinh gồm phần tử gọi nhóm xiclíc gh tn to Rõ ràng G = hai G = {ak | k ∈ Z}, G nhóm xiclíc p ie G abel nl w Mệnh đề 1.1.1 Cho G nhóm xiclíc cấp n với a phần tử d oa sinh Khi G = {a0 , a1 , , an−1 } lu nf va an Cho G1 , G2 , , Gn nhóm Ký hiệu G = G1 ×G2 ×· · ·×Gn = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ∈ Gi với i = 1, 2, , n} lm ul z at nh oi Khi G1 × G2 × · · · × Gn nhóm với phép toán xác định sau: (x1 , x2 , , xn )(y1 , y2 , , yn ) = (x1 y1 , x2 y2 , , xn yn ) z G1 , G2 , , Gn l gm @ Nhóm G định nghĩa gọi tích trực tiếp nhóm m co Mệnh đề 1.1.2 Cho G1 , G2 , , Gn nhóm hữu hạn |Gi | = ni an Lu với i = 1, 2, , n Nhóm G1 × G2 × · · · × Gn xiclíc n va nhóm Gi , i = 1, 2, , n, xiclíc (ni , nj ) = với i 6= j ac th si Cho G H hai nhóm Một ánh xạ f : G → H gọi đồng cấu nhóm với a, b ∈ G f (ab) = f (a)f (b) Nếu đồng cấu f đơn ánh (tương ứng, tồn ánh, song ánh) ta gọi f đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Hai nhóm G H gọi đẳng cấu với nhau, ký hiệu G ∼ = H, tồn đẳng cấu nhóm từ G đến H Một đồng cấu (tương ứng đẳng cấu) từ lu an nhóm G đến gọi tự đồng cấu (tương ứng tự đẳng va n cấu) G Ta ký hiệu Aut(G) nhóm tự đẳng cấu G tn to ie gh Mệnh đề 1.1.3 Mọi nhóm xiclíc cấp m với m ngun dương đẳng p cấu với nhóm cộng Z/mZ oa nl w Cho N H hai nhóm bất kỳ, cho θ : H → Aut(N ) đồng d cấu nhóm Khi đó, tập hợp an lu nf va G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H} lm ul nhóm với phép toán xác định sau: với (x1 , h1 ), (x2 , h2 ) ∈ G, z at nh oi (x1 , h1 )(x2 , h2 ) = (x1 θ(h1 )(x2 ), h1 h2 ) z Nhóm G xác định gọi tích nửa trực tiếp N @ l gm H ứng với tác động θ, ký hiệu G = N ×θ H Trong trường hợp đặc biệt θ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp m an Lu Sau số kiện nhóm abel co tích trực tiếp n va ac th si 26 Chứng minh Theo Định lý 1.2.2, phương trình đồng dư x có khơng q p−1 q p−1 q nghiệm Vì với ≤ u ≤ p − cho u p−1 q p−1 q ≡ (mod p) < p − tồn số nguyên u p−1 6≡ (mod p) Đặt a = u qh Gọi l cấp a theo mơđun p Vì h aq = up−1 ≡ (mod p), nên từ suy l | ph Nếu l 6= ph l | ph−1 Từ suy lu u p−1 q h−1 = ap ≡ (mod p), an n va điều trái với tính chất u Do l = ph Điều chứng tỏ gh tn to a có cấp q h theo mơđun p p ie Mệnh đề 3.1.2 Nếu p số nguyên tố tồn nguyên thủy nl w theo môđun p d oa Chứng minh Nếu p = rõ ràng nguyên thủy theo biểu diễn tắc nf va an lu môđun Cho nên ta giả thiết p số nguyên tố lẻ Giả sử p − có pαi i i=1 z at nh oi lm ul p−1= k Y Khi đó, theo Mệnh đề 3.1.1, với i = 1, 2, , k, tồn số nguyên có cấp pαi i theo môđun p Đặt a = a1 a2 · · · ak Khi đó, theo Mệnh z đề 1.2.1, ta có cấp phần tử a p − Điều chứng tỏ gm @ a nguyên thủy theo môđun p Vậy ta có điều phải chứng m co l minh theo môđun lũy thừa số nguyên tố an Lu Ta cần hai bổ đề sau để chứng minh tồn nguyên thủy n va ac th si 27 Bổ đề 3.1.3 Cho p số nguyên tố, α số nguyên dương Nếu a ≡ b (mod pα ) ap ≡ bp (mod pα+1 ) Chứng minh Giả sử a ≡ b (mod pα ) Ta cần chứng minh ap ≡ bp (mod pα+1 ), hay ap − bp ≡ (mod pα+1 ) Áp dụng cơng thức Newton ta có ap − bp = (a − b)(ap−1 + ap−2 b + · · · + abp−2 + bp−1 ) Mà a ≡ b (mod pα ), ta cần chứng minh lu an ap−1 + ap−2 b + · · · + abp−2 + bp−1 ≡ (mod p) n va p−1 ap−1 + ap−2 b + · · · + abp−2 + bp−1 ≡ a + ap−1 + ·{z · · + ap−1 + ap−1} | gh tn to Theo giả thiết a ≡ b (mod pα ) a ≡ b (mod p) Từ suy p ie p lần nl w ≡ pap−1 ≡ (mod p) d oa Vậy ta có điều phải chứng minh an lu Bổ đề 3.1.4 Cho p số nguyên tố lẻ, α ≥ số nguyên nf va Khi với a số nguyên lm ul α−2 (1 + ap)p ≡ + apα−1 (mod pα ) z at nh oi Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo α Với α = 2, đồng dư thức hiển nhiên Giả sử đồng dư thức cho với α ≥ Ta z ≡ + apα (mod pα+1 ) Áp dụng Bổ đề 3.1.3 từ giả thiết quy nạp suy an Lu α−1 (1 + ap)p m co l α−1 (1 + ap)p gm @ chứng minh với α + 1, nghĩa chứng minh ≡ (1 + apα−1 )p (mod pα+1 ) n va ac th si 28 Áp dụng cơng thức Newton ta có (1 + apα−1 )p − (1 + apα ) = + Cp1 apα−1 + · · · + (apα−1 )p − (1 + apα ) = Cp2 a2 pα+1 pα−3 + · · · + ap pα+1 p(p−1)α−p−1 ≡ (mod pα+1 ) Do (1 + apα−1 )p ≡ + apα (mod pα+1 ), ta có điều phải chứng minh lu Mệnh đề 3.1.5 Cho p số nguyên tố lẻ Khi tồn nguyên an thủy môđun pα với α nguyên dương n va tn to Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.2, tồn nguyên thủy theo môđun ie gh p Ký hiệu nguyên thủy g Khi g + p p nguyên thủy theo môđun p Nếu g p−1 ≡ (mod p2 ), w d oa nl (g + p)p−1 ≡ g p−1 + (p − 1)g p−2 p ≡ + (p − 1)g p−2 p 6≡ (mod p2 ) an lu Do đó, từ đầu ta giả thiết g p−1 6≡ (mod p2 ) nf va Ta chứng tỏ g nguyên thủy môđun pα với lm ul α ≥ Vì g p−1 ≡ (mod p) g p−1 6≡ (mod p2 ) ta α−2 g (p−1)p z at nh oi biểu diễn g p−1 = + kp với p | k Áp dụng Bổ đề 3.1.4, ta có α−2 = (1 + kp)p ≡ + kpα−1 6≡ (mod pα ) z gm @ Gọi e cấp g theo mơđun pα Khi ta có p − | e | (p − 1)pα−1 l Do e = (p − 1)pt với ≤ t ≤ α − Kết hợp với đẳng thức từ m co suy t = α − Vậy e = (p − 1)pα−1 = ϕ(pα ) Điều chứng tỏ minh an Lu g nguyên thủy theo môđun pα Vậy ta có điều phải chứng n va ac th si 29 Đối với trường hợp môđun 2α với α ≥ 3, ta có kết sau Mệnh đề 3.1.6 Với α ≥ 3, số (−1)a 5b với ≤ a ≤ ≤ b < 2α−2 lập thành hệ thặng dư thu gọn theo môđun 2α α−3 Chứng minh Bằng phép quy nạp ta chứng tỏ 52 ≡ + 2α−1 (mod 2α ) Thật vậy, với α = 3, hiển nhiên ≡ (mod 23 ) Giả sử đồng dư thức với α = n, nghĩa 52 ≡ + 2n−1 (mod 2n ) n−2 ≡ + 2n (mod 2n+1 ) lu n−3 an Ta chứng minh va n 52 ie gh tn to Áp dụng Bổ đề 3.1.3 , ta có p n−2 = (52 n−3 )2 ≡ (1 + 2n−1 )2 ≡ + 2n (mod 2n+1 ) w 52 oa nl Vậy ta có điều phải chứng minh α−2 d Từ suy 52 α−3 6≡ (mod 2α ), an lu ≡ (mod 2α ) Mặt khác ta lại có 52 nf va từ suy cấp theo mơđun 2α 2α−2 lm ul Bây ta chứng minh số (−1)a 5b với ≤ a ≤ ≤ b < 2α−2 không đồng dư với đôi theo môđun 2α z at nh oi 0 Thật vậy, giả sử (−1)a 5b ≡ (−1)a 5b (mod 2α ) Rõ ràng ta có 0 (−1)a 5b ≡ (−1)a 5b (mod 4) Do (−1)a ≡ (−1)a (mod 4) Từ suy z gm @ a a0 tính chẵn lẻ, a = a0 l Do 5b ≡ 5b (mod 2α ) Vì cấp theo mơđun 2α 2α−2 , cho m co nên từ suy b ≡ b0 (mod 2α−2 ), b = b0 Hơn nữa, tập số minh an Lu gồm 2α−1 số nguyên tố với 2α Vậy ta có điều phải chứng n va ac th si 30 3.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Trước tiên ta cần số kết chuẩn bị liên quan đến đồng cấu nhóm xiclíc hữu hạn Mệnh đề 3.2.1 Cho G = hai nhóm xiclíc cấp n, H = hbi nhóm xiclíc cấp m Ký hiệu d = (m, n) Với t ∈ Z, ký hiệu ft : G → H xác định công thức m lu ft (ar ) = btr d với r ∈ Z an n va Khi (ii) Hom(G, H) = {ft | t ∈ Z} gh tn to (i) ft đồng cấu nhóm G với t ∈ Z p ie (iii) ft = fu t ≡ u (mod d) với t, u ∈ Z nl w (iv) Ký hiệu φ : Hom(G, H) → Zd xác định công thức d oa φ(ft ) = t¯ với t ∈ Z lu nf va an Khi φ đẳng cấu nhóm cộng (v) Hom(G, H) = {f0 , f1 , , fd−1 } z at nh oi lm ul Chứng minh (i) Trước tiên ta chứng minh ft ánh xạ Giả sử ar = as với r, s ∈ Z z Khi ar−s = e Cho nên n | r − s (vì cấp a n) Từ suy m m m m tn | t(r − s) , m | t(r − s) Cho nên bt(r−s) d = e, hay d d d m tr m ts b d = b d Vậy ta có điều phải chứng minh l gm @ m co Tiếp theo, ta chứng minh ft đồng cấu nhóm Thật vậy, với m m m an Lu r, s ∈ Z, n va ft (ar as ) = ft (ar+s ) = bt(r+s) d = btr d bts d = ft (ar )ft (as ) ac th si 31 (ii) Lấy f ∈ Hom(G, H) Giả sử f (a) = bk với k ∈ Z Khi = f (an ) = (f (a))n = bnk m n m n Mà b có cấp m, m | nk Từ suy | k Vì ( , ) = cho d d d d m m nên từ suy | k, tức k = t với t ∈ Z Do f = ft d d (iii) Giả sử ft = fu với t, u ∈ Z Khi ft (ar ) = fu (ar ) với r ∈ Z m m m lu Điều tương đương với btr d = bur d , hay b(t−u)r d = e Từ suy m m | (t − u)r với r ∈ Z Do d | t − u, hay t ≡ u (mod d) d Ngược lại, giả sử t ≡ u (mod d) Khi tồn q ∈ Z cho an n va t = u + qd Do với r ∈ Z to m m m gh tn ft (ar ) = fu+qd (ar ) = b(u+qd)r d = bur d bqrm = bur d = fu (ar ) p ie Cho nên ft = fu w (iv) Trước tiên ta chứng minh φ ánh xạ Giả sử ft1 = ft2 với d an lu t¯2 = φ(ft2 ) oa nl t1 , t2 ∈ Z Khi đó, theo (iii), ta t¯1 = t¯2 Từ suy φ(ft1 ) = t¯1 = nf va Tiếp theo ta chứng minh φ đồng cấu Với r, t1 , t2 ∈ Z, ta có m m m lm ul ft1 +t2 (ar ) = b(t1 +t2 )r d = bt1 r d bt2 r d = ft1 (ar )ft2 (ar ) = (ft1 ft2 )(ar ) z at nh oi Từ suy ft1 +t2 = ft1 ft2 Do φ(ft1 ft2 ) = φ(ft1 +t2 ) = t1 + t2 = t¯1 + t¯2 = φ(ft1 ) + φ(ft2 ) z gm @ Cho nên φ đồng cấu l Mà Ker(φ) = {ft ∈ Hom(G, H) | φ(ft ) = ¯0} = {f0 } Do φ (v) Áp dụng (iv) ta có điều phải chứng minh an Lu Vậy φ đẳng cấu m co đơn cấu Hơn nữa, với t¯ ∈ Zd chọn ft ∈ Hom(G, H) ta φ(ft ) = t¯ n va ac th si 32 Mệnh đề 3.2.2 Cho G = hai nhóm xiclíc cấp n Khi (i) End(G) = {ft | t ∈ Z} = {f0 , f1 , , fn−1 } ft : G → G tự đồng cấu nhóm xác định công thức ft (ar ) = atr với r ∈ Z (ii) Có đẳng cấu vành φ : End(G) → Zn φ xác định công thức lu φ(ft ) = t¯ với t ∈ Z an n va (iii) Có đẳng cấu nhóm φ : Aut(G) → Z∗n xác định công thức gh tn to φ(ft ) = t¯ với t ∈ Z p ie (iv) Aut(G) = {ft | t ∈ Z (t, n) = 1} = {ft | t ∈ Z, ≤ nl w t ≤ n (t, n) = 1} d oa Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 với m = n, ta có (i) (ii) nf va an lu Từ suy (iii) (iv) Tiếp theo ta nghiên cứu nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc z at nh oi lm ul hữu hạn Mệnh đề 3.2.3 Có đẳng cấu nhóm sau z (i) Aut(Z2 ) ∼ = Z∗2 = {¯1}, Aut(Z4 ) ∼ = Z∗4 = h−¯1i Chứng minh (i) Điều hiển nhiên m co l gm @ (ii) Với α ≥ ta có Aut(Z2α ) ∼ = Z2 × Z2α−2 an Lu n va ac th si 33 (ii) Theo Mệnh đề 3.2.2 (iii) ta có Aut(Z2α ) ∼ = Z∗2α Xét quy tắc ϕ : Z2 × Z2α−2 → Z∗2α xác định công thức ϕ([a]2 , [b]2α−2 ) = [(−1)a 5b ]2α Ta chứng minh ϕ đẳng cấu nhóm Trước tiên ta chứng minh ϕ ánh xạ Thật vậy, giả sử ([a]2 , [b]2α−2 ) = ([a0 ]2 , [b0 ]2α−2 ) lu an với [a]2 , [a0 ]2 ∈ Z2 , [b]2α−2 , [b0 ]2α−2 ∈ Z2α−2 Khi a = a0 (mod 2), va n b = b0 (mod 2α−2 ) Vì cấp theo mơđun 2α 2α−2 , từ 0 ϕ([a]2 , [b]2α−2 ) = [(−1)a 5b ]2α = [(−1)a 5b ]2α = ϕ([a0 ]2 , [b0 ]2α−2 ) p ie gh tn to suy w oa nl Do ϕ ánh xạ d Tiếp theo ta chứng minh ϕ đồng cấu nhóm Thật vậy, với lu nf va an [a]2 , [a0 ]2 ∈ Z2 , [b]2α−2 , [b0 ]2α−2 ∈ Z2α−2 , ta có = ϕ([a + a0 ]2 , [b + b0 ]2α−2 ) z at nh oi lm ul ϕ[([a]2 , [b]2α−2 ) + ([a0 ]2 , [b0 ]2α−2 )] = ϕ([a]2 + [a0 ]2 , [b]2α−2 + [b0 ]2α−2 ) 0 = (−1)a+a 5b+b = (−1)a 5b (−1)a 5b z = ϕ([a]2 , [b]2α−2 )ϕ([a0 ]2 , [b0 ]2α−2 ) @ l gm Theo Mệnh đề 3.1.6, số (−1)a 5b với ≤ a ≤ ≤ b < 2α−2 lập co thành hệ thặng dư thu gọn theo môđun 2α ϕ tồn m cấu Vì |Z2 × Z2α−2 | = 2α−1 = |Z∗2α | từ suy ϕ đẳng an Lu cấu Vậy ta có điều phải chứng minh n va ac th si 34 Mệnh đề 3.2.4 Cho p số nguyên tố Khi (i) Nếu p > Aut(Zpα ) nhóm xiclíc có cấp pα−1 (p − 1) với α ≥ (ii) Aut(Z2α ) nhóm xiclíc α = α = Chứng minh (i) Theo Mệnh đề 3.2.2 (iii) ta có Aut(Zpα ) ∼ = Z∗pα Theo Mệnh đề 3.1.5 tồn nguyên thủy theo mơđun pα Do Z∗pα nhóm xiclíc lu (ii) Theo Mệnh đề 3.2.3 (i) Aut(Z2α ) nhóm xiclíc với α = 1, Giả an n va sử α ≥ Khi đó, theo Mệnh đề 3.2.3 (ii), ta có Aut(Z2α ) ∼ = Z2 × Z2α−2 tn to Vì α ≥ (2, 2α−2 ) 6= Do đó, theo Mệnh đề 1.1.2, Z2 × Z2α−2 ie gh khơng nhóm xiclíc, Aut(Z2α ) khơng nhóm xiclíc Vậy ta có p điều phải chứng minh oa nl w Mệnh đề 3.2.5 Cho m ≥ số nguyên, giả sử m = pα1 pα2 · · · pαk k d p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt, αi ≥ với lu nf va an i = 1, 2, , k Khi lm ul Aut(Zm ) ∼ = Z∗pα1 × Z∗pα2 × · · · × Z∗pαk k dụng Mệnh đề 2.2.8, ta z at nh oi Chứng minh Vì p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt cho nên, áp z Aut(Zm ) ∼ = Aut(Zpα1 ) × Aut(Zpα2 ) × · · · × Aut(Zpαk k ) @ gm Theo Mệnh đề 3.2.2 (iii), ta có Aut(Zpαi i ) ∼ = Z∗pαi với i = 1, 2, , k m co Vậy ta có điều phải chứng minh l i nhóm xiclíc cấp hữu hạn xiclíc an Lu Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để nhóm tự đẳng cấu n va ac th si 35 Mệnh đề 3.2.6 Cho m ≥ số nguyên Khi Aut(Zm ) nhóm xiclíc m = 2, 4, pα , 2pα với p số nguyên tố lẻ α ≥ Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.4 (ii), nhóm Aut(Z2 ) Aut(Z4 ) xiclíc Theo Mệnh đề 3.2.4 (i) nhóm Aut(Zpα ) xiclíc với p > α ≥ Ta xét trường hợp m = 2pα với p > α ≥ Theo Mệnh đề 2.2.8, ta có lu an Aut(Z2pα ) ∼ = Aut(Z2 ) × Aut(Zpα ) = Aut(Zpα ) n va tn to Theo Mệnh đề 3.2.4 (i) nhóm Aut(Zpα ) xiclíc, từ suy ie gh nhóm Aut(Z2pα ) xiclíc p Đảo lại, giả sử Aut(Zm ) nhóm xiclíc Trước tiên ta có nhận nl w xét với p số nguyên tố lẻ α ≥ |Aut(Zpα )| = |Z∗pα | = d oa pα−1 (p − 1) số chẵn Cho nên m có ước nguyên tố an lu lẻ thì, theo Mệnh đề 1.1.2, nhóm Aut(Zm ) khơng xiclíc Do nf va Aut(Zm ) nhóm xiclíc m có dạng 2α , pα 2β pα lm ul p số nguyên tố lẻ, α, β số nguyên dương z at nh oi Nếu m = 2α thì, theo Mệnh đề 3.2.4 (ii), nhóm Aut(Zm ) xiclíc α = α = Nếu m = pα thì, theo Mệnh đề 3.2.4 (i), z nhóm Aut(Zm ) xiclíc @ gm Ta xét trường hợp m = 2β pα Nếu β ≥ |Z∗2β | = 2β−1 co l số chẵn, |Z∗pα | = pα−1 (p − 1) số chẵn Cho nên, theo Mệnh đề 1.1.2, m nhóm Aut(Zm ) khơng xiclíc Vậy ta có điều phải chứng minh an Lu n va ac th si 36 3.3 Tích nửa trực tiếp Trong mục ta áp dụng kết phần trước để xác định tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc Trước tiên kết chuẩn bị Mệnh đề 3.3.1 Cho G = hai nhóm xiclíc cấp n, p số nguyên tố Ký hiệu d = (n, p − 1) Giả sử Aut(Zp ) = hfu i với ≤ u ≤ lu p − 1, fu ∈ Aut(Zp ) cho quy tắc an n va ¯ = uk với k¯ ∈ Zp fu (k) gh tn to Với t ∈ Z, ký hiệu θt : G → Aut(Zp ) đồng cấu nhóm cho ie quy tắc p tr p−1 d với r ∈ Z d oa Khi nl w θt (ar ) = fu an lu Hom(G, Aut(Zp )) = {θo , θ1 , , θd−1 } z at nh oi lm ul phải chứng minh nf va Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 cho H = Aut(Zp ) ta có điều Sau số ví dụ trường hợp p = 2, 3, 5, Ví dụ 3.3.2 Cho G = hai nhóm xiclíc cấp n z gm @ (i) p = co l Hom(G, Aut(Z2 )) = {θo } m θ0 : G → Aut(Z2 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc an Lu n va θ0 (ar ) = f1 với r ∈ Z ac th si 37 (ii) p = Hom(G, Aut(Z3 )) =     {θ0 } n lẻ,    {θ0 , θ1 } n chẵn θ0 : G → Aut(Z3 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ0 (ar ) = f2 với r ∈ Z, lu θ1 : G → Aut(Z3 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc an n va θ1 (ar ) = f2r với r ∈ Z gh tn to (iii) p = p ie Trường hợp 1: n lẻ oa nl w Hom(G, Aut(Z5 )) = {θ0 } d θ0 : G → Aut(Z5 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc nf va an lu θ0 (ar ) = f2 với r ∈ Z lm ul Trường hợp 2: n chẵn - n z at nh oi Hom(G, Aut(Z5 )) = {θ0 , θ1 } z θ0 : G → Aut(Z5 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc gm @ co l θ0 (ar ) = f2 với r ∈ Z, m θ1 : G → Aut(Z5 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc an Lu n va θ1 (ar ) = f22r với r ∈ Z ac th si 38 Trường hợp 3: n chẵn | n Hom(G, Aut(Z5 )) = {θ0 , θ1 , θ2 , θ3 } θt : G → Aut(Z5 ) với ≤ t ≤ cho quy tắc θt (ar ) = f2tr với r ∈ Z (iv) p = Trường hợp 1: n lẻ - n lu an Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 } n va tn to θ0 : G → Aut(Z7 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc p ie gh θ0 (ar ) = f3 với r ∈ Z nl w Trường hợp 2: n chẵn - n d oa Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 , θ1 } lu nf va an θ0 : G → Aut(Z7 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc lm ul θ0 (ar ) = f3 với r ∈ Z, z at nh oi θ1 : G → Aut(Z7 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ1 (ar ) = f33r với r ∈ Z z gm @ Trường hợp 3: | n - n m co l Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 , θ1 , θ2 } n va θt (ar ) = f32tr với r ∈ Z an Lu θt : G → Aut(Z7 ) với ≤ t ≤ cho quy tắc ac th si 39 Trường hợp 4: | n Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 , θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , θ5 } θt : G → Aut(Z7 ) với ≤ t ≤ cho quy tắc θt (ar ) = f3tr với r ∈ Z Mệnh đề sau cho ta cách xác định tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc lu an n va Mệnh đề 3.3.3 Cho G = hai nhóm xiclíc cấp n, p số tn to nguyên tố Ký hiệu d = (n, p − 1) Khi tích nửa trực tiếp Zp ie gh G ứng với tác động θt Zp ×θt G với ≤ t ≤ d − 1, p ¯ ar ) | k¯ ∈ Zp r ∈ Z} Zp ×θt G = {(k, w d oa nl với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Zp , r1 , r2 ∈ Z nf va an lu p (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + utr1 d k2 , ar1 +r2 ) lm ul Chứng minh Giả sử Aut(Zp ) = hfu i với ≤ u ≤ p − 1, fu ∈ Aut(Zp ) cho quy tắc z at nh oi ¯ = uk với k¯ ∈ Zp fu (k) z gm @ Theo Mệnh đề 3.3.1, ta có tất đồng cấu nhóm từ G đến Aut(Zp ) θt với ≤ t ≤ d − cho quy tắc với r ∈ Z m co l tr p−1 d θt (ar ) = fu an Lu n va ac th si 40 Khi Zp ×θt G với ≤ t ≤ d − tích nửa trực tiếp với phép tốn nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Zp , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k¯1 + θt (ar1 )(k¯2 ), ar1 +r2 ) tr = (k¯1 + fu p−1 d = (k1 + utr1 p−1 d (k¯2 ), ar1 +r2 ) k2 , ar1 +r2 ) Vậy ta có điều phải chứng minh lu Kết hợp Mệnh đề 3.3.3 với kết tính tốn Ví dụ 3.3.2 ta an n va kết tính tốn sau xác định tích nửa trực tiếp số tn to trường hợp đặc biệt p ie gh Ví dụ 3.3.4 Cho G = hai nhóm xiclíc cấp n w (i) Tích nửa trực tiếp Z2 G tích trực tiếp Z2 × G d oa nl (ii) p = nf va trực tiếp Z3 × G an lu Trường hợp 1: n lẻ Khi tích nửa trực tiếp Z3 G tích z at nh oi lm ul Trường hợp 2: n chẵn Khi tích nửa trực tiếp Z3 G Z3 ×θt G với ≤ t ≤ z Z3 ×θ0 G tích trực tiếp Z3 × G, @ l gm ¯ ar ) | k¯ ∈ Z3 r ∈ Z} Z3 ×θ1 G = {(k, m co với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Z3 , r1 , r2 ∈ Z an Lu (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + 2r2 k2 , ar1 +r2 ) n va ac th si