(Luận văn) biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm lie reductive thực thấp chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ lu an n va p ie gh tn to PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHĨM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU nl w Chuyên ngành: Tốn Giải tích d oa Mã số : 62 46 01 02 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP m co l gm @ 2016 an Lu n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, luận án tiến sĩ chun ngành tốn giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều" cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nghiên cứu trình bày luận án trung thực, khách quan chưa để bảo vệ học vị Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận án rõ nguồn gốc tuân thủ quy tắc lu an Tác giả n va tn to p ie gh Đỗ Thị Phương Quỳnh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va i ac th si LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài “Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều” Tơi nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện tập thể lãnh đạo, nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Sau Đại học, Khoa Toán, giảng viên, cán phòng, ban chức Trường Đại học Sư phạm Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành giúp đỡ lu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình cho tơi hồn thành luận an n va án Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp tơi gia đình p ie gh tn to động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ suốt trình thực hồn thành luận án nl w Thái Nguyên, ngày 01 tháng 02 năm 2017 d oa Nghiên cứu sinh an lu nf va Đỗ Thị Phương Quỳnh z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Mục lục lu an n va i Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Mở đầu tn to Trang bìa phụ p ie gh Chương Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg w 1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển oa nl 1.2 Nhóm nhân số phức biến đổi Fourier-Laplace d 1.3 Công thức vết Arthur-Selberg 11 12 lu 12 1.3.2 Công thức vết ổn định 14 nf va an 1.3.1 Công thức vết lm ul Chương Nhóm hạng 15 16 2.2 Biểu diễn tự đẳng cấu 2.2.1 Tương ứng Langlands hình học 18 20 2.2.2 Lượng tử hóa hình học 21 z at nh oi 2.1 Nhóm nội soi SL(2, R) z @ 24 2.3.1 Công thức vết 2.3.2 Công thức vết ổn định 24 28 m co l gm 2.3 Công thức vết Arthur-Selberg an Lu 2.4 Nội soi 28 n va iii ac th si 2.5 Công thức tổng Poisson 2.5.1 Vế hình học công thức vết 32 32 2.5.2 Vế phổ công thức vết 2.5.3 Công thức tổng Poisson 33 33 Chương Nhóm hạng 35 35 3.1.1 Biểu diễn unita bất khả quy 3.1.2 Cảm sinh chỉnh hình 35 40 3.1.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 3.1.4 Nội soi 41 42 3.1.5 Tích phân quỹ đạo ổn định 3.1.6 Công thức tổng Poisson 47 49 3.2 Công thức tổng Poisson nội soi cho SU(2, 1) 3.2.1 Biểu diễn unita 49 49 3.2.2 Cảm sinh chỉnh hình 3.2.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 52 54 3.2.4 Trường hợp chỉnh hình khơng chỉnh hình 3.2.5 Công thức vết 54 55 lu 3.1 Công thức tổng Poisson nội soi cho SL(3, R) an n va p ie gh tn to oa nl w 3.2.6 Nội soi tổng Poisson 56 d 63 3.3.1 Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình 3.3.2 Cảm sinh đối đồng điều 67 69 nf va an lu 3.3 Công thức tổng Poisson nội soi cho Sp(4, R) lm ul 72 73 3.3.5 Công thức tổng Poisson 76 Kết luận kiến nghị 80 z at nh oi 3.3.3 Dãy phổ Hochschild-Serre 3.3.4 Nội soi z gm @ Danh mục cơng trình công bố tác giả 82 m co l Tài liệu tham khảo 81 an Lu n va iv ac th si Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt an Tập số phức Tập số tự nhiên R Tập số thực Z R∗+ Tập số nguyên Tập số thực dương C∗ o tập số phức khác khơng Tích nửa trực tiếp phải n ⊕ ∼ = Tích nửa trực tiếp trái Tổng trực tiếp n va diag(λ1 , λ2 , , λn ) L2 Ma trận đường chéo Khơng gian hàm bình phương khả tích o L2 Phần rời rạc khơng gian hàm bình phương khả tích Phần liên tục không gian hàm ie gh tn to K\G/K Đẳng cấu G chia thương trái phải cho K p lu C N nl w L2cont d oa tr A bình phương khả tích Vết ma trận A Định thức ma trận A Biểu diễn chuỗi rời rạc nf va an lu P Nhóm không gian tôpô Phần bù trực giao Θ L2 (G) z at nh oi lm ul det A Dk P π1 ( ) Θ⊥ Đại số Hecke SL(2, R) gồm hàm lớp C0∞ K- bất biến phía ||f | | ˆ G Chuẩn hàm f S1 C0∞ (R) Đường tròn đơn vị Lớp hàm trơn có giá compact z H(SL(2, R)) @ m co l gm Nhóm đối ngẫu G, gồm lớp tương đương biểu diễn unita bất khả quy G an Lu n va v ac th si R⊕ IndG Bχ Tích phân trực tiếp biểu diễn Biểu diễn cảm sinh từ B lên G {Γ} V ol Tập phần tử đại diện lớp liên hợp Thể tích O(f ) Gal(C/R) e G Tích phân quỹ đạo hàm f Nhóm Galois mở rộng C/R Sk (Γ) Khơng gian dạng modular trọng k nhóm rời rạc Γ R Phủ phổ dụng nhóm G lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va vi ac th si Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích điều hịa ngành toán nghiên cứu biểu diễn hàm hay phân tích, tổng hợp sóng nghiên cứu tổng quát khái lu niệm lý thuyết chuỗi Fourier biến đổi Fourier Trong kỷ qua, giải tích điều hịa trở thành lĩnh vực lớn với ứng dụng an n va tn to nhiều lĩnh vực đa dạng xử lý tín hiệu, học lượng tử, phân tích thủy triều thần kinh học p ie gh Biến đổi Fourier cổ điển Rn lĩnh vực nhiều nhà nghiên cứu "khai thác" đặc biệt vấn đề có liên quan đến biến đổi Fourier đối tượng tổng quát hàm suy rộng điều hịa d oa nl w Giải tích điều hịa trừu tượng (xem [18]) bao gồm lý thuyết biểu diễn (xem [14], [25]), sử dụng sở thay vai trò hàm nf va an lu mũ phân tích Fourier cổ điển Nói cách khác giải tích điều hịa trừu tượng mở rộng phân tích Fourier cổ điển lên nhóm G tùy ý lm ul Trong vấn đề này, có khác biệt lớn trường hợp nhóm Aben nhóm khơng Aben Phân tích Fourier nhóm Aben G xác định z at nh oi số hạng đặc trưng nhóm tương ứng Tuy nhiên đặc trưng bội không phù hợp để mở rộng phân tích Fourier nhóm khơng Aben z Do trường hợp biểu diễn nhóm (xem [24]) cho câu trả lời phù hợp (chú ý nhóm Aben biểu diễn bất khả quy @ gm chiều) m co l Trong giải tích điều hịa cổ điển R, cơng thức Poisson cho hàm suy rộng là: +∞ +∞ X X δ(x − n) = 2π e−inx , n=−∞ an Lu n=−∞ n va ac th si δ hàm Dirac Cơng thức đóng vai trị quan trọng với hàm f ∈ C0∞ (R) viết dạng +∞ X +∞ X f (m) = 2π m=−∞ fˆ(m), m=−∞ fˆ(m) = 2π Z π f (x)e−imx dx −π biến đổi Fourier f Vế trái công thức xem phân tích biểu diễn quy thành tổng thành phần bất khả quy vế phải xem tổng giá trị biến đổi Fourier Chính cơng thức lu an n va n∈Z tn to cho phân tích khơng gian hàm bình phương khả tích sau: ⊕ X L (R/πZ) = Cn , ie gh với Cn = C Mặt khác, công thức dễ dàng phát triển ngơn p ngữ nhóm cho nhóm sau: R, R∗+ , C∗ oa nl w Nếu ta xét G = S1 nhóm Lie compact giao hoán, lý thuyết chuỗi Fourier cho câu trả lời thỏa đáng cho nhiều vấn đề giải tích Fourier d biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược, cơng thức Plancherel Nếu có hàm R lấy trung bình an lu nf va điểm nguyên để chuyển đến hàm S1 Công thức tổng Poisson cho ta mối quan hệ tổng điểm nguyên giá trị lm ul z at nh oi hàm R với giá compact tổng ảnh Fourier tương ứng Công thức công cụ quan trọng cho giải tích phổ khơng gian hàm bình phương khả tích đường trịn đơn vị L2C (S1 ; 2π dθ) Chính xác hơn, khơng gian L2 (S1 ; C) phân tích thành tổng trực tiếp C1n ; C1n ∼ = C m co l n∈Z gm L (R/2πZ) = ⊕ X @ z trực giao rời rạc vô hạn lần C : an Lu Cịn trường hợp G nhóm cộng R có kết tương tự lý thuyết biến đổi Fourier n va ac th si Nhóm nhân R∗+ vi phơi với R tích phân Fourier tương ứng gọi biến đổi Mellin Công thức nghịch đảo Mellin cơng thức Plancherel có dạng phân tích khơng gian L2 (R∗+ ; dx x ) thành tích phân trực tiếp L2 (R∗+ ) = Z L C1λ dλ, C1λ ∼ = C R Nhóm nhân C∗ số phức khác không đồng phơi với tích trực lu tiếp nhóm compact S1 nhóm khơng compact R∗+ dr có phân tích phổ L2 (C∗ ; dθ), theo I.M Gelfand, thành tổng trực 2π r tiếp rời rạc tích phân trực tiếp liên tục Z ⊕ ⊕ X ∗ L (C /2πZ × {1}) = Cn ⊕ C1λ an R n∈Z va n Bài tốn đặt nghiên cứu để tìm công thức tổng Poisson gh tn to tương tự cơng thức Poisson nói khn khổ giải tích điều p ie hịa trừu tượng nhóm nửa đơn reductive Công thức Poisson trừu tượng tổng quát chưa tồn nên tiếp cận đến toán oa nl w lớp nhóm Lie có hạng nhóm SL(2, R) phủ phổ dụng SU(1, 1) cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) đủ Các nhóm d hạng SL(3, R), SU(2, 1) Sp(4, R), trường hợp chúng tơi tính tốn tích phân quỹ đạo cụ thể an lu nf va Khi nhóm G nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, R), tác động nửa mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2, R) biến đổi phân tuyến lm ul z at nh oi tính, chọn nhóm Fuchsian kiểu I, Γ ⊆ SL(2, Z) cho thể tích hữu hạn V ol(Γ\G) < +∞ tương ứng với độ đo Haar tự nhiên SL(2, R) Khi nhóm tuyến tính đặc biệt tồn z nhất, xác đến liên hợp, nhóm Cartan H [27] xuyến T (C) = GL1 (C) = C ∗ Mặt khác L2 (Γ\ SL(2, R)) phân tích phổ gm @ co l thành tổng trực giao hai phần phần liên tục L2cont (Γ\ SL(2, R)) phần rời rạc o L2 (Γ\ SL(2, R)) Phần rời rạc phân tích thành tổng trực m tiếp trực giao biểu diễn tự đẳng cấu, tức biểu diễn thu từ biểu diễn chuỗi rời rạc G, sau tính vết cho biểu diễn chuỗi an Lu rời rạc ta nhận vế giải tích (hay vế phổ) cơng thức tổng n va ac th si 1     Bn = −t1 sin θ t1 cos θ ∗  ti ∈ R+ , t1 t2 =     0 t2 z gm @ m co l có nhóm Aben chẻ cực đại A = diag(t1 , t1 , t2 ) lũy đơn    ∗      U = 0 ∗     0 an Lu n va 36 ac th si Nhóm compact cực đại Bn    ± cos θ ± sin θ       Kn = K ∩ Bn =  ∓ sin θ ± cos θ 0 θ ∈ [0, 2π)     0 Bn = Kn AU Trong trường hợp nhóm Borel chẻ Nhóm SL(3, R) có phân tích Cartan dạng G = Bs K, nhóm Bs lu phân tích B = M AU, M = {±1}, xuyến chẻ cực đại A = (R∗+ )2 , đại số Lie A     λ 0       a = H =  λ2  λi ∈ R, λ1 + λ2 + λ3 =     0 λ3 an n va   0 , 0 ie gh tn to lũy đơn U = Radu B ∼ = Heis3 sinh ma trận      0 0 0      X = 0 0 , Y = 0 1 , Z = 0 p 0 0 0 nl w thỏa mãn quan hệ giao hoán Heisenberg [X, Y ] = Z d oa b=u⊕a⊕m an lu u = Lie Heis3 = hX, Y, Zi, a = hH1 = diag(1, −1, 0), H2 = nf va diag(1, 0, −1)i, m = Trong trường hợp nhóm Borel khơng chẻ lm ul z at nh oi Nhóm SL(3, R) có phân tích Cartan dạng G = Bn K Nhóm Borel Bn với phân tích B = M AU xuyến chẻ cực đại A, đại số Lie z      λ 0     