Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một số kết quả về hệ tâm giao

Một trong những vấn dé luôn được quan tâm trong lĩnh vực này là xác định độ lớn hay lực lượng của một hệ không rỗng các tập hợp con của $ thỏa man một sé tính chất nào đó.. Luận văn này

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN — TIN

Trang 2

LỜI NÓI ĐÀU

Lý thuyết combinatorial lả chi nhánh của toán học Một trong những vấn dé luôn được

quan tâm trong lĩnh vực này là xác định độ lớn (hay lực lượng) của một hệ không rỗng các tập

hợp con của $ thỏa man một sé tính chất nào đó Luận văn này trình bảy một số kết quả liên

quan đến việc đánh giá 46 lớn của hệ tâm giao, một hệ gồm các tập con của một tập S cho trước

mà không có hai tập nao thuộc hệ rời nhau.

Dé theo đôi luận văn, độc giả chỉ can biết

I Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp

2 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp

3, Một số khái niệm và kết quả liên quan đến lý thuyết combinatorial để làm nên tảng

cho các lập luận về sau

Ba điều này sẽ nói rd ở phần “Kiến thức chuẩn bj”

Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy hướng dẫn cùng ban chủ nhiệm khoaToán — Tin trường Đại học Su Pham Thanh phế Hồ Chi Minh vì đã tạo điều kiện thuận lợi giúp

tác giả hoàn thành luận văn này.

Tp Hồ Chi Minh, ngảy 03 tháng 05 năm 2008

Tác giả.

Trang 3

CHUONG I

KIEN THUC CHUAN BỊ

Như da giới thiệu, phần nay sẽ nêu những kiến thức ma độc giá can có đề tiếp cận bai luận

văn Nó được chia làm ba phần:

1 Kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp.

Một số khái niệm, kết quá sau đây được ngằm định là đã biết

e Khai niệm tập hợp, các ký hiệu e, c, >, 4, t2, \.

e Cae tính chất như giao hoán, kết hợp, phản phối, của các phép toán WU, ¬, \ xác

định trên tập hợp.

se Khái niệm cận trên, cận trên đúng, tập được sắp tốt, phân tử bé nhất phân tứ tôi đai.

1 Kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp

Một lần nữa, xem như độc giả đã biết

e Các thuật ngữ hoán vị, chỉnh hợp, tô hợp.

3

Trang 4

CHƯƠNG I KIÊN THỨC CHUÁN BỊ

e Hai tinh chất cơ ban cua sd C! là Ch =CTM' và Ch = Ch, + Ch).

¢ Nh) thức Newton,

3 Một số khái niệm và kết quả liên quan đến lý thuyết combinatorial để làm nền

tảng cho các lập luận về sau.

Đầu tiên là một số quy ước sẽ ding trong luận vin

® size A là chỉ lục lượng của A.

¢ Tập S được xét luôn hữu hạn.

e_ Khi cho S là tập hữu hạn, ⁄ 14 một bộ phận :#(SŠ), kỷ hiệu ý' sẽ được dùng để

chi một bộ phận của #(S) có được bằng cách thay mỗi tập thuộc ý bởi phan bù

của nó trong $ tức ý'={4: 4'e.v} Nhận thấy luôn có sự tương tứng l-Ì giữa

.ý và ý' nên size ý bằng size ý'.

Bay giờ, khái niệm cần biết là antichain

Định nghĩa Cho S là tập ø phần tử, ý một bộ phận của #(S) .ý được gọi một

antichain của $ nêu với mọi A,Be.d thỏa main 4# Ø8 thì Aơ 8.

Kết qua nôi tiếng về size của antichain được đưa ra bởi Spener

Định lý Sperner Cho Š là tập ø phần tử, là antichain của S Khi đó |.| sail

Một định nghĩa khác trong luận văn là xích đối xứng (symmetric chain)

Định nghĩa Cho S la tập n phan tử, xich (hay day xích) của #(S) là một day hữu hạn các

tập con của S đổi một so sánh được với nhau (theo quan hệ bao ham) Xích A, c A, c C A,

được gọi là đối xứng nếu |A | =|4] với mọi ¡ el,š—1 và |4|+|A,|= n.

Định lý Cho Sli tập ø phan tử Khi đó #”(S} có thể được biểu diễn như hợp rời nhau của

các xích đối xứng

Vi dụ với S = {1,2,3,4}, #(S) cd một sự biểu diễn là

Trang 5

CHƯƠNG I KIÊN THỨC CHUAN BỊ

Trang 6

CHƯƠNG H

NHỮNG KET QUA VE HE TAM GIAO

§ 1 Khai niém hé tam giao.

Định nghĩa 1.1 Cho S là tập n phan tử, là một bộ phận của #(S) .£ được goi lả có

thuộc tính giao nếu với mọi 4,8 đều có 4“ 8 # Ø Khi đó ý còn được gọi là một hệ tam

giao (intersecting family).

Một vai vi dụ về hệ tâm giao.

Ví dụ 1.1 .ý gồm tắt cả các tập con của S = {I,2, n} mà mỗi tập con này chứa phan tử 1

là một hệ tam giao (vì các tập luôn có chung phan tử 1).

Ví dụ 1.2 Cho S là tập ø phan tử, hệ ý gồm tắt cả các tập con của S ma mỗi tập con này

đều có size lớn hơn 5 là một hệ tâm giao, Thật vậy, giả sử có A, Be.d sao cho ANB=@.

Khi đó ø =|S| >|4+2.8|=|4|+|B|> 2+5 =m, vô lý! Vậy ý là hệ tâm giao.

Sau khi đưa ra khái niệm hệ tâm giao, ta sẽ đánh giá size của nó Size của hệ tâm giao Ý

chắc chắn không bằng size #(S) (tức là 2” vi ý không chửa tập @) nhưng nó có thể lớn đến

mức độ nào? Hãy xét hai vi dụ trên dé có ít nhiều thông tin về size của

Trở lại ví dụ 1.1 Vì đ={4c S:1e A} nên ý có được bằng cách lắy mỗi tập con thuộc

2#(S1{1}) bỗ sung thêm phần tử 1 Do đó |.é|=|#(S1{/}}=2~'.

Trở lại ví dụ 1.2 Vì «={Acs:|4>3Ì n lẻ nên a'={aslat>2}

Trang 7

=|+14<3}-CHUONG IL § 1 Khái niệm hệ tâm giao

Khi đỏ ý¬.ý'=Ø, #u.g'=laesiI4>5v|4<3Ì=#(9) kéo theo |.é{+|.ý{ =|7(S)

hay |.⁄4=2(L4|+|-⁄1)=2|2(5j=22' =2"

Trong hai ví dụ trên, nếu bổ sung thêm vào ý một tập BCS ( tức là Ø #.ý ) thì tính chất

giao bị pha vỡ Thật vậy,

Trở lại ví dụ 1.1 Với W={AcS:le A}, lấy tùy ý Øe.⁄, khi đó Iœ/ kéo theo8={l}=Ø Vay-7{B} không là hệ tâm giao.

Trở lại ví dụ 1.2 Với ⁄=|a=sJ4>3Ì n lê, lay tùy ý 8 e.ý, khi đó løl<= kéo

theo |#{>: hay 8'e.ý Vì BO B'=@ nên ý\2{B} không là hệ tâm giao.

Như vậy, hệ tâm giao trong hai ví dụ trên déu tôi đại vả có size 27”

Phải chăng mọi hệ tâm giao tối đại đều có size 2”?

Liên sau đây sé tra lời câu hỏi đó

Định lý 1.1 Cho S la tập n phản tử, of là một bộ phận của#(S) Nếu vt là hệ tâm giao thì |.é|< 2""' Hơn nữa nếu |cé|< 2"* thì có hệ tam giao B đề é c # c #(S) và |®|= 2"”.

Trước khi chứng minh, ba nhận xét sau là cẩn thiết

i Nếu ý_ là hệ tâm giao thì đ rx.€' =D, trong đó ý'= {A c S: A'e é}

Thật vậy, giả sử ý ¬.ý' # Ø Khi đó tổn tại 4e.ý¬.ý' kéo theo Ae.d' kéo theoA'e.ý kéo theo có A, 4'e.ý để AN A'=@ Điều này mâu thudu với thuộc tính giao

của ý Do đỏ ýz^.ý'=@Ø.

ii, Nếu ý là hệ tâm giao thì #+2{B} cũng là hệ tâm giao, trong đó B $, B chứa một

tắp 4e nào đó.

Thật vậy, lấy tùy ý hai tập X,, X¥,¢-%U{B}, cần chỉ ra X,¬X;#Ø Nếu

Ä, X,e.ý hoặc X,=X,=B thì đương nhiên X,0X,#@ Nếu X,e.ý,X,=Ö thì

Trang 8

CHUONG IL § 1 Khái niệm hệ tâm giao

X,^X,D2X.A4#Ø hay X,©SX,*Ø Tương tự nếu X,e.ý,X,=# thì

X, AX, zØ Vậy ý\+J{B} cũng là hệ tâm giao.

iii Néu ý là hệ tâm giao mà |.é|< 2"* thi luôn tin tại X £.ý dé dD O{X}la hệ tâm

giao.

Thật vay, vì |.Z|< 2"”' nên |ý+›.ý† <|.đ|+|.ý|< 2" hay #(S)\.0 # Ø Bây giờ, lay

tùy ý #g.ýv¿.ý' Nếu ýv/{B} là hệ tâm giao thì X = Ø là tập cần tìm Nếu ý+/{B}

không la hệ tâm giao thì tồn tại Ce.ý dé BOC =Ø hay 8'C Theo ii) Ýý+‹2{#'} là hệ

tim giao Dé ý rằng 8' £.ý\2.Ý' nên X = 8' là tập can tim.

Chứng minh định lý 1.1.

Theo i) nếu ý là hệ tâm giao thi ý¬.ý'=Ø Khi đó |.ý|+|-ý|{ =|.£+⁄.đ{<2” tức

Qed =|-⁄|+|.é{<2" hay |.é|<2~'

|Ø|= 2“.

Theo iii) nếu hệ tắm giao ý thỏa mãn |v{<2*” sẽ có hệ tâm giao ý,.ý để

|.#,|=lý{+l Nếu | ý,|=2"” thì =.ý, >, chứng minh kết thúc Ngược lại cũng theo iii)

sẽ có hệ tâm giao ý, 5.0, để |.ý,|=|.é,|+1 Nếu |.é,|= 2"! thì @# =.ý, >.ý, 3.0, chứng

minh kết thúc Ngược lại, hãy tiếp tục quá trình trên đến một lúc nào đó sẽ thu được Bed, = ¬.é, >of, trong đó |Ø|= 2”' (đương nhiên quá trình này là hữu hạn vi size của

các ý, tăng nghiêm ngặt và bị chan trên bởi 2°*) I

Trang 9

Nếu Z là hệ tâm giao thì ý' có đặc điểm gì?

Vị ý' được định nghĩa từ ý nên đặc diém ý' sẽ được tim từ ý.

Lấy tùy y A, 8e.ý Lúc ấy AN B#@, A’, 8'e.#' kéo theo A'U 8'=(A8)' z S

Tính chất của ý' được phỏng đoán là: với mọi A, Ø®e.' đều có AUB S.

Hãy kiểm tra tính chất này

Muôn vậy, lấy tùy 9 4, Øe.#', Khi đó A’, 8'6.ý kéotheo A‘ B'¥@ hay 4‹28# 5S.Vậy, nếu Z là hệ tâm giao thì £' có tính chất với mọi 4, 8 e thì 4+; 8 # S

Một hệ có đặc điểm này gọi là hệ bù giao (vì lay phan bi của 2 tập thuộc ‹£ lập tức giao

nhau khác rỗng).

Lập luận tương tự, sẽ khẳng định được:

Nếu ⁄ là hệ bù giao thì ⁄' là hệ tâm giao

Từ định lý 1.1, từ mỗi quan hệ giữa tính giao và bù giao, dẫn đến

Hệ quả 1.1.1 Cho S là tập n phần tứ, nếu od là hệ bù giao tức là với mọi A,Be đều cỏ

AUB#S thì ý' là hệ tâm giao Do đó |.é|=|.€{< 27 Hơn thé nữa, nếu |sé|< 2"”` thì có hệ

bù giao Bo #(S), |®|= 2”' và é c #.

Một vài ví dy về hệ bù giao

Tử mỗi quan hệ giữa tính giao và tính bù giao, hai vi dụ về hệ tâm giao ban dau sẽ phát

sanh ra hai vi dụ về hệ cỏ tinh chat bi giao

Lại trong chứng minh định lý 1.1, ngay phần nhận xét ii., nếu với mọi 4e với mọi

BcS thỏa mãn 8 2 4 thi ngay lập tức ý tJƒØ} là hệ tâm giao Nhưng B có thé thuộc ‹ý, có

Trang 10

thé không thuộc ‹ý; chẳng han như ý={{}}, chon #={I} thì Øe.ý, chon B= {1,2} thi

Bed

Khi nào, # luôn thuộc ý nếu ý và v+/{8} đều là hệ tâm giao?

Dé ý rằng khi |.ý|< 2°" luôn tồn tại Bed để ý+2{8} là hệ tâm giao.

Phải chăng nếu |.Z| = 2°", tức tối đại thì B luôn thuộc ‹ý?

Đúng Nếu hệ tâm giao ý tối đại thì 27! =|.đ| <|ý+2{8}J< 27" Do đó ý =.ý+;{P}

hay Be.7.

Như vậy hệ tâm giao tôi đại ý ngoài size lớn nhất 2”' còn có đặc điểm: với mọi 4e.#,

với mọi BCS thỏa min Ø 5 A, ngay lập tức Bed Hệ có đặc điểm nảy còn gọi là hệ trén

(upset) vì với 4c.#, mọi tập chứa A lập tức thuộc vào #.

Có thể độc giả nghỉ rằng mọi upset ý có size 2*' đều là hệ tâm giao (nếu đúng thì ý

cũng là hệ tâm giao tôi đại).

Nhưng không đúng Hãy xem ví dụ sau.

Tử hai thuộc tính giao vả bù giao, một vẫn để tự nhiên được đặt ra.

Cho ý vừa hệ tâm giao, vừa hệ bù giao, khi đó size ý lớn nhất là bao nhiêu?

Đề có phông đoán về câu trả lời, hãy xét một ví dụ cụ thé

Trang 11

#!({I.2 m—I}) hay |.ý|=2”'"! =2” Hơn nữa nếu bổ sung vio ý một tập #£.v thi tính

giao hoặc tính bi giao của ý bị gỡ bỏ Thật vậy, lấy Øg.ý tức BED hoặc BE Nếu

Be # thì I£2? hay BA{I}=O, nghĩa là ý\t2{B} không là hệ tâm giao Neu 8 £€, hãy

chứng minh ‹ý+{ 8} không là hệ bù giao Ta có BE © kéo theo ne 8 kéo theo nẹ 8' kéo

theo B'e @ Vì BUB'=S nên ý+2{B} không có thuộc tính bù giao, Vậy ¢ la tối đại trong

các hệ tâm giao mang tinh bù giao.

Phải chăng hệ tâm giao mang tính bù giao có size lớn nhất là 2”? ?

Hiện tại vẫn chưa đủ chứng cứ dé khẳng định điều đó là đúng hay sai Nhưng đo tinh đặc

biệt của hệ tâm giao mang tính bù giao, hai khả năng sau có thể được nảy sinh.

Thứ nhất, vì hệ -ý vừa mang tính chat giao vừa mang tinh bù giao nên ý vừa có thể pháttriên thành hệ tâm giao tối đại # vita có thể phát triển thanh hệ bù giao tối đại © Do đó, ý làmột bộ phận của BOC, suy ra |.ý|<| +€| Bat dang thức này làm nảy sinh nghỉ ngờ

|Øz+| < 2” (Vì có | 3| < 2°* sẽ kết luận được |.é|< 2””)

Thử hai, hệ tâm giao ¢ tối đại có size bé hơn hoặc bằng 2”” (tức bằng nửa size #(S)) vi

P(S) bị phân chia thành các cặp bù nhau (4; 4') vả một hệ tâm giao bat kỳ chỉ có thé chứa tối

đa một tập trong mỗi cặp bù nhau (4; A’) Do đó đẳng thức 2= 2e hay 2” bằng nửa size

của hệ tâm giao tối đại, cũng lam nảy sinh nghỉ ngờ: sau khi phát triển ý thành hệ tâm giao tối đại # thì trong # bị phân chia thành các cặp (4;4*) mà AU 4*= $ Nếu đúng, trong mỗi

cặp (4: 4*), chỉ có tôi đa một tập được chon; lúc đỏ L4<zl#|~2”"

Tuy đưa ra những giả định như thé nhưng muốn có kết luận chính xác, ta phải tiếp tục di tim các kết qua khác vẻ hệ tim giao Biết đâu lại có hưởng giải quyết bài toán trên.

Trở lại định lý 1.1, Cho S là tập m phan tử, ý lả một bộ phận cua-?(S), nếu ý_ lá hệ tâm

giao thì |.Z|< 2”"' Hệ tâm giao đẻ cập trong định lý không có giới hạn cụ thể về size của các tập thuộc , nghĩa là các tập thuộc ý có size dao động từ một đến x.

Trang 12

Nếu hệ tâm giao ý mà các tập thuộc nó có size dao động từ ø đến # tức là g <|Al<"với mọi Ae thÌ size ⁄ý nhận giá trị nào là lớn nhất, trong đó Ì < g<k< n?

Tro lại ví dụ 1.2, với cách lập luận trong đó, hai tập có size lớn hơn 3 chắc chin giao

nhau Do đó, hệ chứa những tập có size lớn hơn : là hệ tâm giao (thậm chi khi ø lẻ có thé đạt

được tôi đại)

Hệ Z chứa những tập có size bé hơn hoặc bằng = có là hệ tâm giao không?

Điều nay không han đúng

Lay m> 2, ‹ý ={(I},{2}}, khi đó ý có tính chất đã nêu nhưng nó không là hệ tâm giao

Nếu ý là hệ tâm giao, l4|<Š với mọi 4e thì cận trên đúng của size ý nhận giá

trị nao?

Câu hỏi này bắt ta phải xét size các hệ tâm giao ý mà mọi phân tử thuộc ý đều có cùng

size & với k<c.

Điêu này sẽ được tìm hiểu điều này ở § 2.

12

Trang 13

§ 2 Hệ tâm giao cùng size.

Như đã nói ở cudi § 1, các hệ tâm giao ý thỏa |A| = k <5 với mọi 4e sẽ là đôi tượng

chính trong mục nay,

Định nghĩa 2.1 Cho S 1a tập n phân tử, ¢ lả một bô phân của ¥(S).

Nếu các tập thuộc ‹ý có chung một size thi ta gọi «¢ (a hệ cùng size hay hệ +d cùng size.

Muỗn chi rõ size chung của các tập thuộc ý bằng É, ta gọi uf 14 hệ cùng size k hay hệ € cùng

size k

Nếu là hệ cùng size đồng thời là hệ tâm giao thi ta gọi !à hệ tâm giao cùng size hay

hệ tâm giao ‹ cùng size Mudn chỉ r size chung của các tập thuộc ‹ý là k, hãy gọi ‹ý /¿ hệ

tâm giao cùng size k hay hệ tâm giao of cùng size k.

Đề có kết quả về size của hệ tâm giao cùng size k với ks, hãy xét một ví dụ cụ thể

Ví dy 2.1 Cho $ =(1,2, m}, k<:, vé =(AcS:|A|=k, ne A} là hệ tâm giao cùng

size & Hệ ý có được bằng cách lấy tất cả các tập con của {I,2, w—l} có size &—I và bổ sung vào mỗi tập nảy phan tử 2 Do đó |.#|= C1".

Với & sà: phải chăng C*~' là size lớn nhất mà hệ tâm giao cùng size & có thé đạt

được?

Đúng Điều đó được khẳng định bởi định lý.

13

Trang 14

CHUONG IL §2 Hệ tâm giao cùng size

Định lý 2.1 Cho S là tập n phần ne, k s3 .‹ý ={A,A,, A„} là hệ tâm giao cùng size k

Khi đó m s Ce.

Dé đạt được kết qua sâu sắc nảy, ta cần khái niệm hoán vị vòng.

Định nghĩa 2.2 Mỗi cách sắp xếp ø phần tử khác nhau vào một vòng tròn được gọi là

hoàn vt vòng (cyclic permutation) của n phần từ Như vậy với mỗi số nguyên dương n, có tat cả

(n1)! hoán vi vòng (vì có (m—1)! cách sắp xếp như thé) Tập tit cá hoán vị vòng của ø phần

tử được ky hiệu là CP(m) Hoan vị vòng œ được gọi là chứa A, nếu các phân tử thuộc 4 xuất

hiện liên tục trong @.

Dé hiểu rd hơn về định nghĩa này, hãy xem hai vi dụ sau

Vi dụ 2.2 Lay œ=3 ta có hai hoán vị tương ứng với hai hình vẽ sau.

2 3

Hình | Hình 2

Hãy để ý tinh bình đẳng của ba vị trí 1, 2, 3 trên vòng tròn trong hai hình vẽ, nếu bắt đầu từmột trong ba vị trí đó di theo chiều kim đồng hồ thì từ hình | sẽ cho ra ba kết quả là:[L/2.3]:{2.3.1]:{3.1,2] Ba kết quả này tuy khác nhau (do điểm đặt ban đầu khác nhau) nhưng

chi biểu dién một phép hoản vị vòng Khi đó ký hiệu a, =[1,2,3] hay @, =[2,3,1] hay

ø, =[3,1,2] được dùng để biểu thị vị trí các số trên vòng tròn ở hình 1 Tương tự, đối với hình 2

Trang 15

CHUONG II, § 2 Hệ tâm giao cùng size

[xị : Maeda} với x, # », là trừng nhau khí và chỉ khi có số & € {1,2, 2-1} sao cho dem

k phân tử x,.x; x, trong [x,,x; x„„„x„| ra phía sau và giữ nguyên thứ tự đó thì thu được

Vi dụ 2.3 Lấy n=4, 4={l,2}, B= {1,4}, œ=[l3,2.4] Khi đó œ chia B vi

œ =[1,3,2,4] =[3,2,4,1] có biếu diễn ma hai phan tử 1, 4 xuất hiện liên tiếp Nhưng không cỏ

một cách biểu điển nảo của a để 1, 2 liên tục qua nó tức œ không chửa 4

Sau khi đã có hoán vị vòng, cách chứng mình định ly 2.1 của Katona (1972b) sẽ được

lier 7 tel @eCFin)

Bây giờ, với mọi je lm cantinh 5” | Nhậnthấy > 1 chính là số lượng các hoán vị

~c"») aca)

= chứa d a chited

vòng chứa 4, cũng là số lượng các hoán vị vòng mà các phan tử trong 4, xuất hiện liên tục

trong nó, cũng la số cách sắp xếp n phan tử vào một vòng tròn mả các phần tử của A, lập thanhmột nhóm riéng biệt không chứa xen ké phân tử nảo khác ngoài 4, Cho nên phương pháp đếm

sẽ được dùng dé tinh tổng nay Với |4 |= k, số cách sắp xếp trong bộ phận của 4 là &!, số cách sắp xếp ngoài bộ phận của 4 là (n—k)! Theo quy tắc nhân, tổng cần tim là &!{w—É)! hay

3; I=#!(n-£)!

ola)

* chứa 4,

15

Trang 16

CHUONG IL § 2 Hệ tâm giao cùng size

Vậy > /(a,4)=Š` 3 1= Š #I(n~k)!= mk!(n—k)!.

định, sẽ dao đông tủy theo cách lay a Điều này bắt buộc phải đi tìm một cách giải quyết khác.

Để ý rằng m< Chico YS ƒ(a,A4)= m+kI(n—k)!<kI(n=&)!IC 2} =k(n=1)t=k S” 1.

(eee œx€P(»)

“‹CfP1w)+e{11,.,) ae acCha) — acCH*) «œcCfts|| fim)

Do đó, nêu v5 l—k<0 hay > 1<& thi định lý được chứng minh Tính ding đắn

kịl2 .=} [t2]

của bat đăng thức này được khẳng định bởi

Định lý 2.2 Cho œ là hoán vị vòng thuộc CP(n) và of = {A,,4,, A„Ìđdà hệ tảm giao

Nếu @ không chứa bất cử A, nao thi định lý kết thúc Ngược lại có A, dé các phản tư cua

nó xuất hiện liên tục trong a Bảng cách đánh số lại các phan tử thuộc S, giả sử

Ay = 450% fy Ø=[XioXa~Xi Xu», s1,][X.Xy.ai-X2sXi»Xa vx,| Để dễ theo

đôi, hãy dé ý một tập 4 mà ø chứa sé phải bắt đầu từ một chỉ số nào đó đi liên tục sang phải

|4|—1 vi trí (trong trường hợp nay |A |—1= &—1) rồi kết thúc, cụ thé như A, bắt đầu bới x, , kết thúc bởi x,, Nhận thấy hai tập khác nhau thuộc ý không thể bắt đầu từ một vị trí hoặc kết thúc

tại một vị trí (vì ‹# là hệ cùng size k) Hơn nữa mọi tập thuộc ý khác A, mà được @ chứa phải

16

Trang 17

CHƯƠNG IL §2 Hệ tâm giao cùng size

bắt đầu từ xạ, xe {2,3, k} hoặc kết thúc bởi x, re {I,2 =1} (vì -£ là hệ tâm giao nên A,

phải giao với tat ca các tập thuộc ý) Ngoài ra, với mọi s €2,k không xảy ra trường hợp vừa

cỏ môi tập thuộc ý bắt đầu bởi x, vừa có một tập thuộc Ý kết thúc bởi x, vì hai tập này

củng size &, k $= nên rời nhau Do đó, với mọi s € 2,4 chỉ có tối đa một tập thuộc ý mà øz

chứa, tap đó hoặc bắt dau bởi x, hoặc kết thúc bởi x,.„ Điều đó có nghĩa là ngoải A, chí cỏ tôi

đa £—I tập khác thuộc ‹Ý mà @ chứa Vậy a chứa tôi đa £ tập A

Chứng minh trên cũng là cách thức của Katona (1972b) Nhưng, với kết qua thu được, van

dé gì đặt ra ở cuối § | được giải quyết Hãy đến với câu hỏi

Cho ⁄ là hệ tâm giao thỏa Is với mọi 4e.ý, khí đó size 7 nhận giá trị nào là

lớn nhất?

Câu trá lời là kết quả của lập luận sau.

Trước hết, đặt k -|3] (để thuận tiện trong khi viết)

Bây giờ, với mọi / I,&, đặt od, = {4e # :|A| =i}, sẻ được ‹#, là hệ tắm giao cùng size ¡

va ý=(J.ý, Theo định lý 21 |.é|<C7J Lại có, ý,s.ý,=Ø với ¡#j kéo theo

aot

Hoặc một câu hỏi khác tông quát hơn.

Cho hệ tâm giao ý mà g <|A| < & với mọi 4< ý, trong đó IS g<h<m, Chận trên

đúng của size ý là giá trị nào?

17

Trang 18

CHUONG IL § 2 Hệ tâm giao cùng size

Môi lin nữa, hãy xem lập luan trong hai trường hợp sau.

Lẻ g+h<n.

Nếu hs > hãy làm tương tự như trong câu hồi trước đó sẽ dẫn đến |.⁄{< °C.

ự

Chỉ can xét h >~ là đủ Vi hoe nén g Sn—h<—<h, Khi đó, hãy xét mỗi tập có size từ

n-h đến h Nhận thấy, bản thân tập đó và phản bù của nó không thé củng thuộc vào ⁄ (vì

chúng rời nhau trong khi ý là hệ tâm giao) Do đó, nếu gọi m là số lượng các tập thuộc ¢ ma

Chi can xét $5 là đủ Ta có hñ>n~g >5 > g, theo cách lập luận trong ¡ số lượng m

các tập thuộc ý có size từ g đến n— ø bị chan trên bởi ow Bay giờ, hãy chứng minh moi

oe

Tiêu đề	Một Số Kết Quả Về Hệ Tâm Giao
Tác giả	Tran Lờ Hoàng
Người hướng dẫn	Thầy Trần Huyộn
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán - Tin
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2008
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	33,58 MB