Một trong những vấn để luụn được quan tõm trong lĩnh vực này là xỏc định độ lớn hay lực lượng của một hệ khụng rỗng cỏc tập hợp con của $ thỏa món một số tớnh chất nào đú.. Luận văn này
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH KHOA TOAN — TIN
C2 3
MOT SO KET QUA VE HE TAM GIAO
Hướng dẫn: thầy Trần Huyờn
Trang 2LOI NOI DAU
Ly thuyột combinatorial là chi nhảnh của toỏn học Một trong những vấn để luụn được quan tõm trong lĩnh vực này là xỏc định độ lớn (hay lực lượng) của một hệ khụng rỗng cỏc tập hợp con của $ thỏa món một số tớnh chất nào đú Luận văn này trỡnh bảy một số kết quả liờn quan đến việc đỏnh giỏ độ lớn của hệ tắm giao, một hệ gồm cỏc tập con của một tập Š cho trước
mả khụng cú hai tập nào thuộc hệ rời nhau
Dộ theo dồi luận văn, độc giả chỉ cần biết
I Một số kiến thức cơ bản vẻ lý thuyết tập hợp 2 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp
3 Một số khỏi niệm và kết quả liờn quan đến lý thuyết combinatorial để làm nờn tảng
cho cỏc lập luận vờ sau
Ba điều này sẽ núi rừ ở phần “Kiến thức chuẩn bị"
Cuỗi cựng, xin gửi lời cảm ơn chõn thành đến thầy hướng dẫn cựng ban chủ nhiệm khoa
Toỏn — Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phổ Hồ Chớ Minh vỡ đó tạo điờu kiện thuận lợi giỳp
tỏc giả hoàn thành luận văn này
Trang 3CHUONG |
KIEN THUC CHUAN BI
Như đó giới thiệu, phõn này sẽ nờu những kiến thức mà độc giỏ cần cú đề tiếp cận bải luận văn Nú được chia làm ba phõn:
1 Kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp
Một số khỏi niệm, kết quả sau đõy được ngầm định là đó biết
Khỏi niệm tập hợp, cỏc ký hiệu e, c, 2, “+, t2, \
Cỏc tớnh chất như giao hoỏn, kết hợp, phõn phối, của cỏc phộp toỏn +2, 4, \ xỏc
định trờn tập hợp
Lực lượng của tập hợp 4 cựng ký hiệu |A|
Cỏc thuật ngữ ỏnh xạ, đơn ỏnh, toàn ỏnh, song ỏnh Định lý nờu / : X —> Y là đơn ảnh thỡ |X| s|Ơ}
Quan hệ thứ tự trờn một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận
Khỏi niệm cận trờn, cận trờn đỳng, tập được sắp tốt, phan tử bộ nhất, phan tir ti dai,
A(X\B)=A\B= A\(ANB)=(AUB)\B [AV Bl+|A0 8| =|4|+|Z|
A4AơB=ŒO‹>AcCX`\B=B'BCX\A=Á4A' AơRBR#eOỉc+Adđ X`\B=PB'‹+Bự X\A=Á4A'
1 Kiến thức cơ bản về lý thuyết tụ hợp
Một lần nữa, xem như độc giả đó biết
Trang 4CHUONG L KIEN THUC CHUAN BI
e Hai tinh chat co ban cua so C‘ la Ch =C"" va Ch = C1, +Ch) â Nhj thac Newton,
3 Một số khỏi niệm va kột qua liộm quan dộn ly thuyột combinatorial dộ lam nộn
tảng cho cỏc lập luận về sau
Đõu tiờn là một số quy ước sẽ dựng trong luận vẫn e sizc 4 là chỉ lực lượng của Á
e Tập Š được xẻt luụn hữu hạn
ôKi hiệu -#(S) được dựng đẻ chớ tập tắt cả cỏc tập con của S
e Khi cho S là tập hữu hạn, ý là một bộ phận :#?(S), kỷ hiệu ý' sẽ được dựng để chỉ một bộ phận của :#($) cú được bằng cỏch thay mỗi tập thuộc ý bởi phõn bủ
của nú trong $ tức ý'={4: 4'e.v} Nhận thấy luụn cú sự tương tửng l-è giữa ý và ý' nờn size ý bằng size ý"
Bõy giờ, khỏi niệm cõn biết là antichain
Định nghĩa Cho Š là tập ứ phần tử, ý một bộ phận của Z#(S) .ý được gọi một antichain của $ nờu với mọi 4,8 thỏa món 4+ 8 thỡ Ad B
Kết quả nụi tiếng về size của antichain được đưa ra bởi Spener
Định lý Sperner Cho Š là tập phõn tử, ý là antichain của $ Khi đú |.<| s dil
Một định nghĩa khỏc trong luận văn là xớch đối xứng (symmetric chain)
Định nghĩa Cho S là tập n phần tử, xich (hay đỏy xớch) của #(S) 1a mot day hitu hạn cỏc tập con của Š đụi một so sỏnh được với nhau (theo quan hệ bao ham) Xich 4c 4, c c Á,
được gọi là đổi xứng nếu |A,,„| =|4| với mọi Ă e1,h—1 và |4|+|A,| = n
Định lý Cho S la tap n phõn từ Khi đú #'(S) cú thể được biểu diễn như hợp rời nhau của cỏc xớch đối xứng
Trang 5CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI 3,4} {2,4} {4} < {1,4} < {1,2,4} 3} {1,3} of1,3.4} {2} < {2,3} {2,3,4} Sef cH, {1,23} {1.2.3.4}
Tat ca khỏi niệm cựng tớnh đỳng đăn của cỏc định lý trong mục nảy đó được chứng mỡnh Độc giả nào cũn nghỉ ngờ hay muốn tỡm hiểu thờm, cú thể tham khảo quyền sỏch
Trang 6CHƯƠNG II
NHUNG KET QUA VE HE TAM GIAO
Đ 1 Khai niộm hộ tam giao
Dinh nghia 1.1 Cho S la tập n phẩn tử, ⁄ là một bộ phận của ?(S) .ý được goi lả cú thuộc tớnh giao nếu với mọi 4,8 đờu cú 48 ỉ Khi đú ý cũn được gọi là một hệ tõm
giao (intersecting family)
Một vải vớ dụ vẻ hệ tõm giao
Vớ dụ 1.1 .ý gồm tất cả cỏc tập con của Š ={1,2, n} mà mỗi tập con này chứa phõn tir | là một hệ tam giao (vỡ cỏc tập luụn cú chung phần tử 1)
Vi dy 1.2 Cho S la tập phần tử, hệ Ê gồm tắt cả cỏc tập con của $ mả mỗi tập con này
đều cú size lớn hơn 5 là một hệ tõm giao Thật vậy, giả sử cú 4, 8e sao cho 4ơ8=ỉ
Khi đú œ =|S| z|.4+2 B|=|.4|+|'8| >ta=m vụ lý! Vậy ý là hệ tõm giao
Sau khi đưa ra khỏi niệm hệ tõm giao, ta sẽ đỏnh giỏ size của nú Size của hệ tõm giao ý
chắc chắn khụng bằng size #(S} (tức là 2” vỡ ý khụng chửa tập ỉ) nhưng nú cú thể lớn đến
mức độ nào? Hóy xột hai vi dụ trờn dộ cú ớt nhiều thụng tớn về size của ý
Trở lại vớ dụ 1.1 Vỡ đ={.4c S:1e 4} nờn ý cú được bằng cỏch lầy mỗi tập con thuộc
#(S\{1}) bd sung thộm phần tử 1 Do đú |.#{=|#(S \{7}}=2~'
Trang 7CHUONG IL Đ 1 Khỏi niệm hệ tõm giao
Khi đú ýơ.⁄'=ỉ, su.:<ÍA c8:|4|>-v|4| ‹ó| =.#($) kộo theo |.4|+|-Ê{=|#(s)
hay ||= (L⁄|+|-2{)=z|#(S|=52* =2"!
Trong hai vớ dụ trờn, nếu bổ sung thờm vào ý một tập BCS (tire ld Be.) thi tinh chất
giao bị phỏ vỡ Thật vậy,
Trở lại vớ dụ 1.1 Với w={AcS:le A}, lay tty ý ỉÊ.ý, khi đỏ IÊ# kộo theo 8e+{I}=ỉ Vậy ý ‹2{ B} khụng là hệ tõm giao
Trở lại vớ dụ 1.2 Với ⁄=|Acs:|4>5è, n lờ, lẫy tựy ý 8#Ê.ý, khi đỏ l8|<= kộo
theo |B XS hay 8'e.⁄ Vỡ 8+8'=ỉ nờn ý+/{B} khụng lả hệ tõm giao
Như vậy, hệ tõm giao trong hai vớ dy trờn đều tụi đại và cú size 2"”
Phải chăng mọi hệ tõm giao tối đại đều cú size 2”?
Liờn sau đõy sẽ trả lời cõu hỏi đú
Định lý 1.1 Cho S là tập n phan nz, f là một bộ phận của'#(S) Nếu # là hệ tõm giao
thỡ |.ộ|< 2*ˆ' Hơn nữa nếu |.ộ|< 2"*' thỡ cú hệ tõm giao #? đờ đ c # c #(S) và |#| = 2"
Trước khi chứng minh, ba nhận xột sau là cần thiết
i, Nộu.d la hệ tõm giao thỡ ‹€ ơ.€' =ỉ, trong đú ý'={A cS: A'e.ộ}
Thật vậy, giả sử ý/ơ.ý'# ỉ Khi đú tồn tại 4e.ýơ.ý' kộo theo 4e.ý' kộo theo
A'e.ý kộo theo cú 4, 4'e.ý để 4 4'=ỉ Điều này mõu thuẫu với thuộc tớnh giao
của ý Do đỏ ýzơ.ý' = ỉ
ii Mềm #_ là hệ tõm giao thỡ cứ LU{B} cũng là hệ tõm giao, trong đú B c S, B chứa một
tập 4e nào đỏ
Trang 8CHUONG IL Đ 1 Khỏi niệm hệ tõm giao
ÄX,ơ^X,ơX.Aa4#zỉ hay X,ơX,#+ỉ Tương tự nờu X,ce.v,X,=B8 thi Ä#,ơX, zỉ Vậy ý+J{B} cũng là hệ tõm giao
iii, Mếu ‹# là hệ tõm giao mà |.ộ|< 2"° thỡ luụn tổn tại X Ê.ý để ý+2{Xè]Hà hệ tõm
giao
Thật vậy, vỡ |.| < 2"”' nờn |.ý+¿.ý† <|.ộ|+|.ý[< 2" hay #(S}\.ý # ỉ Bõy giờ, lấy
tựy ý #Ê.ý‹¿.ý' Nếu ýv/{B} là hệ tõm giao thỡ X = ỉ là tập cõn tỡm Nếu ý‹/{B} khụng là hệ tõm giao thi ton tai Ce.7 dộ BAC =@ hay B'3C Theoii) jỏt2{B'} là hệ
tõm giao Đề ý rằng 8'g.#\J.ý' nờn X = 8' là tập cần tỡm
Chứng minh định lý 1.1
e_ Nếu ý là hệ tõm giao thỡ |.ộ|< 2"
Theo i) nờu ý là hệ tõm giao thi ýzơ.ý'=ỉ Khi đú |.đ|+|-ý| =|.đt¿.ý'|<2” tức
2|.v| =|.ộ|+|.ộ{ <2" hay |.ộ|< 21
° Neu hệ tõm giao of cỏ jd] <2"" thi cú hệ tõm giao đ để đc@c #(S) và
|#ỉ|=27'
Theo iii) nếu hệ tõm giao ý thỏa món |.‡<2"” sẽ cú hệ tõm giao ý, >.ý để
|.Z,|=|.[+l Nờu |.ý,|=2”” thỡ 4 =.ý, , chứng minh kết thỳc Ngược lại cũng theo iii) sẽ cú hệ tõm giao ý, ơ., để |.ý,|=|.ộ||+1 Nếu |.ý,|=2*” thỡ 4 =.ý, ý, ý, chứng
minh kết thỳc Ngược lại, hóy tiếp tục quỏ trỡnh trờn đến một lỳc nảo đú sẽ thu được đỡ = ý, ơ ơ.ý, S.ý, trong đú |đ|= 2”' (đương nhiờn quỏ trỡnh này là hữu hạn vỡ size của
cỏc ý, tăng nghiờm ngặt và bị chận trờn bởi 2”') B
Trong chứng minh dinh lý, ta bắt gặp hệ v'
Nếu là hệ tõm giao thỡ ý' cú phải là hệ tõm giao khụng?
Điều đú khụng hăn đỳng
Lõy ý là hệ tõm giao tụi đại Khi đú S e.ý, nghĩa là ỉ e.ý' hay ý' khụng phải là hệ
Trang 9CHUONG IL Đ 1 Khỏi niệm hệ tõm giao
Nếu Z là hệ tõm giao thỡ Z' cú đặc điểm gỡ?
Vỡ ý' được định nghĩa từ ý nờn đặc điểm ý' sẽ được tỉm từ ý
Lẫy tựy ý 4, 8e.ý Lỳc ấy A+8#z#+ỉ, A’, B'e.d' kộo theo A'U B'=(ANB)'sS Tớnh chất của ý' được phỏng đoỏn là: với mọi 4,ỉc.ý' đều cú 4.;8# S
Hóy kiờm tra tớnh chất này
Muụn vậy, lõy tựy ý 4, 8e.ý' Khi đú 4', 8'e.ý kộo theo 4ơ 8'#ỉ hay 4‹/8zS
Vậy, nếu ý là hệ tõm giao thỡ ý' cú tớnh chất với mọi 4, 8 e.ý thỡ 4t: # S
Một hệ cú đặc điểm này gọi là hệ bự giao (vỡ lẫy phõn bự của 2 tập thuộc ý lập tức giao nhau khỏc rỗng)
Lập luận tương tự, sẽ khẳng định được: Nếu ý là hệ bự giao thỡ Z' là hệ tõm giao
Tir dinh ly 1.1, tir mội quan hệ giữa tớnh giao và bự giao, dẫn đến
Hộ qua 1.1.1 Cho S là tập n phần tứ, nếu ý là hệ bự giao tức là với mọi 4,Be.# đểu cú
Atv+BzS thỡ ý' là hệ tõm giao Do đú |.ộ| =|.ộ{< 2ˆ" Hơn thể nữa, nếu |.ộ|< 2" thỡ cỏ hệ bự giao #? c #(S), |đl|= 2”' và ộ c #8
Một vài vớ dụ về hệ bự giao
Từ mỗi quan hệ giữa tớnh giao và tớnh bự giao, hai vớ dụ về hệ tõm giao ban dau sộ phat
sanh ra hai vớ dụ về hệ cỏ tớnh chất bủ giao Tir vi du 1.1 ta cú Vớ dụ 1.3 Hệ ý gồm tất cả cỏc tập con của $ ={I,2, n} khụng chứa phan tu | là hệ bự giao Tu vi du 1.2 taco Vi dy 1.4 Cho S$ a tap n phan tử với ứ lẻ, hệ ý gồm cỏc tập con của $ cú size bộ hơn ; la hệ bự giao
Lại trong chứng mỉnh định lý !.!, ngay phần nhận xột ii., nờu với mọi 4e với mọi
Trang 10CHUONG II Đ 1 Khai niộm hộ tam giao thờ khụng thuộc ý; chăng han như ý ={{!}}, chọn B={I} thỡ ỉe.ý, chọn B={I,2} thi
Be.ý
Khi nào, ỉ luụn thuộc ý nếu ý và ý+z{8} đều là hệ tõm giao?
Đẻ ý rằng khi |.ý|< 2”” luụn tổn tại 8 Ê.ý để ý+2{8} là hệ tõm giao
Phải chăng nếu |.Z|= 2", tức ý tối đại thỡ ử luụn thuộc ý ?
Đỳng Nờu hệ tõm giao # tối đại thỡ 2”' =|.ộ| <|.ý+2{8}|< 2” Do đú # =.ý+;{P}
hay 8ec.Z
Như vậy hệ tõm giao tối đại ý ngoài size lớn nhất 2”" cũn cú đặc điểm: với mọi 4e.Z,
với mọi BCS thoa món ỉ 5 A, ngay lập tức #e Hệ cú đặc điểm nảy cũn gọi là hệ trờn
(upsetJ) vỡ với 4e ý, mọi tập chứa 4 lập tức thuộc vào
Cú thể độc giả nghỉ rằng mọi upset ý cú size 2”' đều là hệ tõm giao (nờu đỳng thỡ ý cũng là hệ tõm giao tụi đại)
Nhưng khụng đỳng Hóy xem vớ dụ sau Vi dy 1.5 Xột S = {1,2,3,4}, (tức œ=4), hệ ý gồm cỏc tập sau: {1,2},{2,4},({3,4}, {I,2.3}.{I,2.4}.{1,3,4},{2.3,4},{1.2,3,4} Rừ ràng ý là upset, |.ý|=8=2“" nhưng trong ý cú {1.2}ằ{3.4} =ỉ Đẻ tiếp tục cỏc những hệ tõm giao sẽ được xem xột bằng cỏch gỏn cho nú những ràng buộc nảo đú
Tir hai thuộc tớnh giao và bự giao, một vẫn đề tự nhiờn được đặt ra
Cho ý vừa hệ tõm giao, vừa hệ bự giao, khi đú size ý lớn nhất là bao nhiờu? Đề cỏ phỏng đoỏn về cõu trả lời, hóy xột một vớ dụ cụ thể
Tit cach lay vi du 1.1 va vớ dụ 1.3 ta cú
Vớ dụ 1.6 Cho Đ ={I,2, m}, lấy hệ tõm giao đ={AcS:1e A} đem giao với hệ bd giao tối đại ={Ac $:nÊ 4}, thu được ýđ = BOE ={AcS:le A, ne 4} là hệ tõm giao
cũng là hệ bự giao trong #(S) Với cỏch chọn trờn, ý chớnh là hệ tõm giao tụi đại trong
Trang 11CHUONG IL Đ I Khỏi niệm hệ tõm giao #({I.2 m—1}) hay |.ý|=2””' =2” Hơn nữa nếu bỗ sung vảo ý một tập Bev thi tinh
giao hoặc tớnh bự giao của ý bị gỡ bỏ Thật vậy, lấy ỉÊ.ý tức ##¿ỉ hoặc 8€ Nếu Be # thỡ IÊ2# hay Bơ{l}=ỉ, nghĩa là ývJ{B} khụng là hệ tõm giao Nếu Be@, hay
chứng minh ý+/{B} khụng là hệ bự giao Ta cú 8# kộo theo ne B kộo theo n B" kộo
theo 8'e% Vỡ 88'=S nờn ýt/{B} khụng cú thuộc tớnh bự giao Vậy ý là tụi đại trong
cỏc hệ tõm giao mang tớnh bự giao
Phải chăng hệ tõm giao mang tớnh bự giao cú size lớn nhất là 2"”??
Hiện tại vẫn chưa đủ chứng cứ để khăng định điều đú là đỳng hay sai Nhưng đo tớnh đặc biệt của hệ tõm giao mang tớnh bự giao, hai khả năng sau cú thể được nảy sinh
Thứ nhất, vỡ hệ ý vừa mang tớnh chất giao vừa mang tớnh bự giao nờn ý vừa cú thẻ phỏt triển thành hệ tõm giao tối đại # vừa cú thộ phat triển thành hệ bự giao tụi đại € Do đú, ý lả
một bộ phận của 2+, suy ra |.ý|<|4 | Bất đăng thức này làm nảy sinh nghỉ ngờ
|ỉzơ|< 27” (Vỡ cú | | < 2"? sẽ kết luận được |.ộ| < 2"”” )
Thử hai, hệ tõm giao # tối đại cú size bộ hơn hoặc bằng 2”” (tức bằng nửa size #(S)) vi
‹#(S) bị phõn chia thành cỏc cặp bự nhau ( 4; 4') và một hệ tõm giao bắt kỳ chỉ cú thể chứa tối
đa một tập trong mỗi cặp bự nhau ( 4; 4') Do đú đẳng thức 2”” =2 hay 2”” bằng nửa size
của hệ tõm giao toi đại, cũng làm nảy sinh nghỉ ngờ: sau khi phỏt triển ý thành hệ tõm giao tụi
đại # thi trong # bị phõn chia thành cỏc cặp (4,4*) mà A42 4*= $ Nếu đỳng, trong mỗi cặp ( 4;.4*), chỉ cú tụi đa một tập được chọn; lỳc đú | ff <-|z =2,
Tuy đưa ra những giả định như thế nhưng muốn cú kết luận chỉnh xỏc, ta phải tiếp tục đi tim cỏc kết quả khỏc vẻ hệ tõm giao Biết đõu lại cú hướng giải quyết bai toỏn trờn
Trở lại dinh ly 1.1 Cho S la tập n phõn tử, ý lả một bộ phận của:#(S), nờu ý_ là hệ tõm giao thỡ |.#| < 2””' Hệ tõm giao ý đề cập trong định lý khụng cú giới hạn cụ thể về size của cỏc tập thuộc ý, nghĩa là cỏc tập thuộc # cú size dao động từ một đến nr
Trang 12CHUONG IL Đ 1 Khỏi niệm hệ tõm giao
Nếu hệ tõm giao ý mà cỏc tập thuộc nú cú size dao động tirg đến # tức là g s|4I sh
với mọi 4e thi size ý nhận giỏ trị nào là lớn nhất, trong đú è < g<⁄<n?
Trơ lại vớ dụ !.2, với cỏch lập luận trong đú, hai tập cú size lớn hơn : chắc chắn giao
nhau Do đú, hệ chứa những tập cú size lớn hơn : là hệ tõm giao (thậm chỉ khi ứ lẻ cú thể đạt
được tụi đại)
Hệ Z chứa những tập cú size bộ hơn hoặc bằng : cú là hệ tõm giao khụng?
Điều nảy khụng hăn đỳng,
Lấy n>2,.ý ={{I},{2}} khi đú # cú tớnh chất đó nờu nhưng nú khụng là hệ tõm giao
Trang 13Đ 2 Hộ tam giao cing size
Như đó núi ở cuối Đ 1, cỏc hệ tõm giao ý thỏa |A| =& XS với mọi 4e sẽ là đổi tượng
chớnh trong mục này,
Định nghĩa 2.1 Cho S lả tập m phần tử, Ê là một bộ phõn của #( S)
Nếu cỏc tập thuộc ý cú chung một size thỡ ta gọi ý ià hệ cựng size hay hệ # cựng size Muốn chỉ rð size chung của cỏc tập thuộc ứ bằng #, ta gọi ý /à hệ cựng size k hay hệ ý cựng
size k
Nờu ý là hệ cựng size đồng thời là hệ tõm giao thỡ ta gọi ý !à hệ tõm giao cựng size hay
hệ tõm giao í cựng size Muốn chỉ rừ size chung của cỏc tập thuộc ý là k, hóy gọi ý (¿ hệ tõm giao cựng size k hay hệ tõm giao € cựng size k
Để cú kết quả về size của hệ tõm giao cựng size k với k<=, hóy xột một vớ dụ cụ thể
Vớ dụ 2.1 Cho $={l,2, n}, ks, vộ =(AC.S:|A|=k, ne A} là hệ tõm giao cựng
size & Hệ ý cú được bằng cỏch lấy tất cả cỏc tập con của {I,2, —1} cú size k—I và bổ sung
vào mỗi tập nay phõn tử + Do đú |.ý|= C7)
Với & sào phải chăng Cƒ-' là size lớn nhất mà hệ tõm giao cựng size & cú thể đạt
được?
Trang 14CHUONG IL Đ 2 Hệ tõm giao cựng size
Dinh ly 2.1 Cho S 1à tập n phõn ne, ks > ‹ớ =ÍA,A,, A,} là hệ tõm giao cựng size k
Khi đú m s C}'}
Đề đạt được kết quả sõu sắc nảy, ta cần khỏi niệm hoỏn vị vũng
Đinh nghĩa 2.2 Mỗi cỏch sắp xếp ứ phần tử khỏc nhau vào một vũng trũn được gọi là hoàn vi vong (cyclic permutation) cia n phần từ Như vậy với mỗi số nguyờn dương ằ, cú tat cả (n—1)! hoỏn vị vũng (vỡ cú (r—1)! cỏch sắp xếp như thế) Tập tất cả hoỏn vị vũng của ứ phần
tử được ký hiệu là CP{n) Hoỏn vị vũng œ được gọi là chứa 4, nờu cỏc phõn tử thuộc 4 xuất
hiện liờn tục trong a
Đề hiểu rừ hơn về định nghĩa này, hóy xem hai vỉ dụ sau
Vi dy 2.2 Lay ằ =3 ta cộ hai hoỏn vị tương ứng với hai hỡnh vẽ sau
2 3
Hinh Ă Hỡnh 2
Hóy để ý tớnh bỡnh đẳng của ba vị trớ 1, 2, 3 trờn vũng trũn trong hai hỡnh vẽ, nếu bắt đõu từ một trong ba vị trớ đú đi theo chiều kim đồng hỗ thỡ từ hỡnh I sẽ cho ra ba kết quả là:
[1.2.3]:[2.3.1]:[3.1,2] Ba kết quả này tuy khỏc nhau (do điểm đặt ban đầu khỏc nhau) nhưng
chỉ biểu diễn một phộp hoản vị vũng Khi đú ký hiệu a, =[1,2,3] hay a, =[2,3,1] hay
ứ, =[3,1,2] được dựng để biểu thị vị trớ cỏc số trờn vũng trũn ở hỡnh 1 Tương tự, đối với hỡnh 2
sộ la a, =[1,3,2]=[3,2,1] =[2,1,3],
Mặt khỏc, [2,3,1] cộ được bảng cỏch đem phõn tử | trong [1,2,3] ra phia sau cac phan tử nae [3,1,2] cú được bảng cỏch đem cặp phõn tử l,2 trong [L.2.] ra phớa sau phõn tử 3 vả giữ nguyờn thử tự 1 đứng trước 2 Cho nờn, dộ thấy rằng hai hoỏn vị vũng [x,,x; x, %„è,
Trang 15CHUONG II Đ 2 Hệ tõm giao cựng size
[ằ:.s: v v.è với x, # y, là trựng nhau khi va chỉ khi cú số & € {I,2, 27-1} sao cho dem
k phõn tử x,,x, x, trong eat gene | ra phớa sau vả giữ nguyờn thứ tự đú thỡ thu được
[ys esse Poot Ye}:
Vi dy 2.3 Lay n=4, 4={1,2}, B={1,4}, @=[1,3,2,4] Khi đú œ chia B vi a =[1,3,2,4] =[3,2,4,1] co biộu diộn ma hai phõn tử 1, 4 xuất hiện liờn tiếp Nhưng khụng cỏ
một cỏch biểu điễn nảo của @ dộ 1, 2 liờn tục qua nú tức œ khụng chửa 4
Sau khi đó cú hoỏn vị vũng, cỏch chứng mỡnh định lý 2.1 của Katona (1972b) sẽ được trinh bảy Chứng minh định lý 2.1 Với mỗi ứz e CP(S), định nghĩa ] nếu œ chứa 4 flaa)={) Sea , de {l,2, ,m}, Khi dộ, }° f(a, A,) được ước lượng theo hai cỏch khỏc nhau, trong đú (a># Z ={t,2 m} x CP(n) Cỏch thứ nhắc Š%` /(z,4)=Š` > /(œ4)=Š; L | # tel œâCP{n int aeCP{e) œ chứa Á Bay gid, voi moi ie l,m cằntớnh 3” I.Nhậnthấy > 1 chớnh là số lượng cỏc hoản vị axCHằ=) asCPIn) œ chứa Á ôœ chứa 4
vũng chứa 4, cũng là số lượng cỏc hoỏn vị vũng ma cỏc phõn tử trong 4 xuất hiện liờn tục
trong nú, cũng là số cỏch sắp xếp n phõn tử vào một vũng trũn mả cỏc phần tử của 4, lập thành
một nhúm riờng biệt khụng chứa xen kẽ phõn tử nảo khỏc ngoài 4, Cho nờn phương phỏp dộm
sẽ được dựng để tớnh tổng này Với |4,| = k, số cỏch sắp xếp trong bộ phận của 44 là #!, số cỏch sắp xếp ngoải bộ phận của 4 là (n—Ê)! Theo quy tắc nhõn, tong cần tỡm là &!{w—k})! hay
3; bak nk)!
aP[n)
ôœ chứa 4,
Trang 16CHUONG IL Đ 2 Hệ tõm giao cựng size Vậy > /(z.4)=Š% > 1= ŠkI(n—k)!= mkI(n — k)!
trae  (2l #ứ<Cf{n] jet u chide A
Cach thirhai: Y f(e.4)= â Seale Y Ơ 1
ahs aeCMhia} it aeCf\s] +e{i.3,.m} ứœ chứa 4 Tương tự, với mỗi œœ(CP{n) cõntớnh 3” 1 Nhưng với mỗi Ăe ÍI,2, m}, tập 4, /<[\.2.,,| a chữa Á ngoài giả thiết cú size là k, khụng cũn thờm thụng tin gỡ khỏc vẻ nú Nghĩa là >) I khụng cố ` œ chưa 4 định, sẽ dao đụng tủy theo cỏch lấy ứ Điều này bắt buộc phải đi tỡm một cỏch giải quyết khỏc Đề ý rằng m<C}) â 3` ƒ(œ,A)=mk!(n—k)!<kI(n—k)!C‡} =k(n—1)!=k 3” 1 U,ôkk# œsCP|ằ=} hay m<C¿Ăâ Àẩ 2, l= 3 /(z4)<k 3 I= 3 kœ 3 | 3, I-k|<0 œcCfn)!c(l,2, vm) (abe acCha) acCha) œ<C/í4w|| s<[\.3 8) @ cde A oct d Dođú nu 3 ` 1-k<O hay ` 1< thỡ định lý được chứng minh Tớnh đỳng đắn “.ịi2 =} |!L2 mỡ “ứ chứa 4 œ chứa Á
của bất đăng thức nảy được khăng định bởi
Định lý 2.2 Cho a là hoỏn vị vũng thuộc CP{n) và ộ = {A,A,, A„è là hệ tõm giao
cựng size k với k<< Khi đú œ chứa tụi đa k tập A, (điều đú nghĩalà SY 1<k)
ie fhe} a chứa 4,
Chứng minh định lý 2.2
Nếu ứ khụng chứa bất cử A, nado thỡ định lý kết thỳc Ngược lại cỏ 44, để cỏc phản tư cua
nú xuất hiện liờn tục trong œ Bảng cỏch đỏnh số lại cỏc phần tử thuộc $, giả sử
Á“ÍX 5N Q đe [NÂNG Xa EcXoZa 234], Để để theo
đửi, hóy để ý một tập 4 mà ứ chứa sẽ phải bắt đầu từ một chỉ số nảo đú đi liờn tục sang phải |A|—1 vị trớ (trong trường hợp này |4|— I = & —1) rồi kết thỳc, cy thộ như 4, bắt đầu bới x,, kết thỳc bởi x, Nhận thấy hai tập khỏc nhau thuộc ý khụng thể bắt đầu tử một vị trớ hoặc kết thỳc
tại một vị trớ (vỡ ý là hệ cựng size &) Hơn nữa mọi tập thuộc ý khỏc 4, mà được œ chứa phải
Trang 17CHUONG IL Đ 2 Hệ tõm giao cựng size
bắt đầu từ x,, š e {2.3, &} hoặc kết thỳc bởi x,, re {I,2 ,& —I} (vỡ -Z là hệ tõm giao nờn A,
phải giao với tật cả cỏc tập thuộc ‹ý) Ngoài ra, với mọi s € 2k khụng xảy ra trường hợp vừa
cỏ một tập thuộc ý bắt đầu bởi x, vừa cú một tập thuộc ý kết thỳc bởi x,„., vỡ hai tap nay
cựng size ẫ, # $5 nờn rời nhau Do đú, với mọi se2,& chỉ cú tối đa một tập thuộc ‹ý mà ứ chửa, tập đú hoặc bắt đầu bởi x, hoặc kết thỳc bởi x,., Điều đú cú nghĩa là ngoải 4, chỉ cỏ tụi
đa k—I tập khỏc thuộc í mà œ chứa Vậy ứz chứa tụi đa Ê tập 4
Chứng minh trờn cũng là cỏch thức của Katona (1972b) Nhưng, với kết quả thu được võn
đẻ gỡ đặt ra ở cuỗi Đ ! được giải quyết Hóy đến với cõu hỏi
Cho Z là hệ tõm giao thỏa |.| ` với mọi 4e.ý, khớ đú size ý nhận giỏ trị nào là
lớn nhất?
Cõu trỏ lời là kết quả của lập luận sau
Trước hết, đặt & = H (để thuận tiện trong khi viết)
Bõy giờ, voi mọi / l,&, đặt ý = {4e 4:|A|= Ă} sẽ được ý, là hệ tõm giao cựng size Ă
vả d=( je :
¿ai
„i: Lai cú, ‹#,‹ýđ,=(@ với j#j kộo theo
¿ š
I-Ê{=|LJ-#.|= 3 ⁄|< Cc} Dau bang wong bat dang thức xảy ra bằng cỏch xột hệ ý gồm
int tet ent
tat cả cỏc tập cú size lớn hơn 0 vả bộ hơn hoặc bằng k mà mỗi tập nảy luụn chứa một phõn tử
chung là I Thật vậy, lỳc đú |.#/|= Cƒ! với mọi Ă e l,k tức |.| = Us, = Dal= Neri Bid
jut
này cú nghĩa > = Koa là cận trờn đỳng của size ý Hoặc một cõu hỏi khỏc tụng quỏt hơn
Cho hệ tõm giao ý mà g <|A| < kh với mọi 4<.ý, trong đú è < g<h<m, Chận trờn
đỳng của size ý là giỏ trị nào?
Trang 18CHUONG IL Đ 2 Hệ tõm giao cựng size
Mụt lần nữa, hóy xem lập luận trong hai trường hợp sau Lẻ g+hsn
*
Nếu #< : „ hóy làm tương tự như trong cõu hỏi trước đỏ sẽ dẫn đến |.Z[< é`C+† ne
Chi can xột h>> la du Vi h>> nộn gsn-h<><h Khi đú, hóy xột mỗi tập cú size từ
n—h den A Nhan thay, ban thin tập đú và phần bự của nú khụng thể cựng thuộc vào ý (vỡ chỳng rời nhau trong khi ý là hệ tõm giao) Do đú, nếu gọi m là số lượng cỏc tập thuộc ý mà Ơ (ci, +€)*3 SC +2 Š C¿) Lói cú Ăli ˆ-h i224 2 sana ằ cú size tử ứ=kh đến # thi m<~Š Gx2 tak 2 yet Leet yc, nờn ms vc Nếu g=n-h thỡ |{=m hay awk temea ` “A : t2: tỡ " -t⁄4 C„', Nếu g <nứ—h thỡ số lượng cỏc tập thuộc ý cú size từ g đến m—=h~=Il whl là |.ý|~ m Vi cỏc tập này cỏ size bộ hơn > nờn theo lập luận đó biết |.ý{[—m < 3` €„', Do đú L4|=k<|~m+ms 5 C.,+ Ơ 64-304 jaa-h jeg A Vay, khi g+h<n luụn cú |.ộ{< Co Dau bang cing dat được bằng cỏch lay tat ca ing " cỏc tập cú size tử gứ tới h mả mỗi tập này luụn chứa phần tử 1 Điều đú cỏ gnhĩa là 3C, là fry cõn trờn ding cua size 7 li, gthon n sg a 4 4 ˆ Nếu g > thỡ hệ ý gụm cỏc tập cú size từ g dộn A ludn la hộ tam giao Do dộ 2.6 là jag cận trộn ding cua -Ơ
Chớ cẩn xột g <5 là đủ Ta cú h>n-g2—28, theo cỏch lập luan trong i sộ lugng m
cỏc tập thuộc ý cỏ size từ g đến n— ứ bị chận trờn boi yc Bõy giờ, hóy chứng mỡnh mọi
Trang 19CHƯƠNG 11 Đ 2 Hệ tõm giao cựng size
tập X cú size lớn hơn hoặc bằng m= g+l luụn giao với mọi tập Ÿ cú size lớn hơn hoặc bằng g Thật vậy, vỡ |X|>— g +l, |Y|>g nờn |X ơY[=|X|+|Y|—|X + Y|> m—g+l+g—n=l1>0 nghĩa là X ơY #@ỉ Lại cỏ, số lượng tất cả cỏc tập thuộc ý cú size từ ứ—g+l đến A la
|ý[—m Cho nờn |.ý|—~m < x C! Suy ra | dis m+ x C=Sc4 Š Cý Cận trờn
tem“ .*è rrn-gsi ime ton-g*Í
nay khụng thể cỏi tiến hơn được nữa bởi vỡ lấy ý={AcS:le 4,gs|A|<n-g}+2 {Bc S:n—g +1 <|B| < h} dẫu bằng sẽ xảy ra
Trơ lại định lý 2.1: Nếu ý là hệ tõm giao cựng size &, k<c thi |.đ|< C}”' Độc giả cú thể
nghĩ rằng nếu ý < C*-' thỡ cú thể phỏt triển size ý bằng C?ˆ' (suy nghĩ này cú thể bắt nguồn tử định lý 1.1) tức là cú hệ 2 cũng là hệ tõm giao cựng size & mà ýc.# và |Z| = CẠ")
Nhưng vớ dụ sau đõy chứng tỏ ý nghĩ đú khụng đỳng
Vớ dụ 2.4 Xột trường hợp n> 5, k =2, ý ={{I,2},{1,3},{2,3}}, nhõn thấy rằng là hệ
tõm giao cựng size 2 và |.ý|= 3< 4 <—I= Cỷ“! nhưng rừ ràng ý khụng thể bổ sung thờm một tập nảo khỏc đề hệ thu được vẫn là hệ tõm giao cựng size 2 Thật vậy, giả sử cú {a,b} Ê ý sao
cho {a,b}t⁄‹ý là hệ tõm giao cựng size 2 Khi đú {a,b}zằ{l,2} #ỉ kộo theo một trong hai
phần tử 1, 2 phải thuộc {a,b} Khụng mắt tớnh tổng quỏt, giả sử l e {a,b} Bằng cỏch lập luận
tương tự sẽ cú một trong hai phần tử 2, 3 phải thuộc {a,} và như thế {l,2} —{a,b} hoặc {1,3} < {a,b} kộo theo {1,2} = {a,b} hoặc {1,3} = {a,b} Nhưng trong cả hai trường hợp đều cú {a,b} ý, mõu thuẫn! Điễu đú chứng tỏ ý là tối đại mặc dự |.ộ|< C}7
Do đú nờu # là hệ tõm giao cựng size &, k <> thỏa |.ý|< C‡“} thỡ chưa hẳn cải tiến được size ý Điều đú cỏ nghĩa là size của cỏc hệ tõm giao tối đại cựng size & chưa chắc bằng nhau
Hệ tõm giao ý cựng size & phải bố sung thờm đặc điểm gỡ mới cú thể phỏt triển
thành hệ tõm giao :ZZ cựng size & với || = CJ"}?
19
Trang 20CHUONG IL Đ 2 Hệ tõm giao cựng size
Qua vớ dụ trờn, độc giả cú thể nhận ra rằng sở đĩ khụng thể phỏt triển size của -í vỡ cỏc tập
thuộc Z khụng chứa chung phõn tử nảo cả
Phải chăng nếu cỏc tập thuộc ý mà chứa chung một phõn tử thỡ cú thể nõng size ý
thành C°-'?
Đựng Điều này đễ dàng được kiểm chứng bằng cỏch bỏ sung vào ý những tập size & mả chứa phản tứ chung đú thỡ ta đạt được hệ tõm giao cựng size & cú size C}'
Vậy đụi với những hệ tõm giao ý củng size & (x < * cú |.ý|< C} 7 và nếu ( 4#ỉ thi
Aad
chac chan cải tiền size ý thành C}”`
Núi cỏch khỏc (}.4#@ là điều kiện đủ để tồn tại hệ tõm giao ¿Z2 cựng size & mà
led
.‹c#, || =C"
Nhưng nú cú phải điều kiện cần hay khụng? Cõu hỏi nảy dẫn đến một cõu hỏi khỏc là:
Cú hay khụng hệ tõm giao ý cựng size & thỏa (}.4=ỉ, |.ộ|< CẠ~,, ‹ý cú thể nõng
Ae
thành hộ tim giao # cing size k (khi dộ () B =@), trong đú || = C2")?
um
Để giải quyết cõu hỏi nảy, cú lẽ phải tỡm một hệ tõm giao ý cựng size & thỏa |.Z| = C}” ai * () A=@ (tite là cỏc tập thuộc ý khụng cú phõn tử chung)
da
Nhưng một hệ như thế cú tồn tại khụng?
Cú Hóy xột vỉ dụ sau
Vi dụ 2.4 Cho SŠ ={I,2,3,4,5,6}, k=3 (tức m„=6) và hệ #' gồm những tập: {1,2,3},
{I.2.4},{1.2.5}.{I.2.6}.{1.3.4},{1.3.5}.{1.3.6),{2.3.4},{2.3.5}.(2.3.6} Vi giao hai tấp thuộc
luụn chứa mội trong ba phõn tử 1, 2, 3 nờn %7? là hệ tõm giao cựng size 3 Hơn nữa, cỏc tập
thuộc khụng cỏ phần tử chung, |ỉ| =10= C}} = C7
Trang 21CHUONG IL Đ 2 Hệ tõm giao cựng size Trong vi dụ trờn, hóy xột ý ={{I,2.4},{I,3,4},{2,3,5}} 2 Ta cú ý là hệ tõm giao
cựng size 3, cỏc tập thuộc ‹ý khụng cú phẩn tử chung, |.ý| = 3< Cj⁄ nhưng ‹# cú thể phỏt triển
thành hộ tim giao 2? cựng size 3 với |Z|= C¿) Do đú điều kiện ( ] 4#@ỉ đó nờu trong cõu
Acad
húi lỳc này chỉ là điều kiện đủ mà khụng phải điều kiện cõn
Đền đõy, việc khai thỏc kết quỏ liờn quan đờn hệ tõm giao cựng size được xem lả tạm đủ Luận văn sẽ tiếp tục bằng cỏch rằng buộc cho hệ tắm giao những điều kiện mới Nhận thấy rằng
hệ tõm giao cựng size cú một tớnh chất là mọi tập thuộc hệ khụng so sỏnh được với nhau (tất nhiờn đổi với quan hệ bao hàm) Núi cỏch khỏc, nú là một antichain Do đỏ, ta thay đặc điểm
cựng size của hệ tõm giao bảng thuộc tớnh antichain
Size của hệ tõm giao bị ràng buộc bởi thuộc tớnh antichain nhận giỏ trị nào làm giỏ trị lớn nhất?
Cõu trả lời nằm trong Đ 3
Trang 22Đ 3 Hộ tam giao antichain
Trong mục này, hệ tõm giao được xem xột bang cach gan thộm cho hộ thuộc tinh antichain Định nghĩa 3.1 Cho tập hợp S gdm n phan tử, ý là hệ tõm giao trong #(S) Neu 7
cũng lả một antuchain thỡ ý được gọi là hệ tam giao antichain
Như đó biết, hệ tõm giao cựng size & là hệ tõm giao antichain Do đú, việc đi tỡm kết quả
liờn quan đến hệ tõm giao antichain nờn bắt đầu từ cỏc kết quả của hệ tõm giao cựng size & Kết quả đõu tiờn thu được ở Đ 2: nếu ý là hệ tõm giao củng size ẫ, ks thỡ |.ộ|< C+3
Phải chăng điều này vẫn đỳng nếu giả thiết “.# là hệ tõm giao cựng size &" được thay bằng “.⁄ là hệ tõm giao antichain, trong đú || < & với mọi 4 e "?
Đỳng Kết quỏ này được đưa ra bởi Erdửs, Ko và Rado (1961)
Định lý 3.1 (Erdửs - Ko - Rado (EKR)): Cho tập hợp S gụm n phản từ Nếu hệ tam giao
amtichain ý = {A,, A, A„ trong #(S) thỏa k <5, |A| <k voi moi iel,m thi m<Cr Chứng minh định lý 3.1
Dau tiờn, phõn tớch đ(.S) thành hợp rời nhau của cỏc xớch đối xứng Sau đú, lấy tựy ý một tập 4 thuộc ý, hóy chứng minh trong xớch đối xứng chứa 4 luụn tổn tại tập ệ sao cho |B| =k Mudn vậy, cõn chứng tỏ bắt đẳng thức |A|<& <m—|A| luụn đỳng (vỡ xớch đụi xứng
Trang 23CHƯƠNG II Đ 3 Hệ tõm giao antichain chứa tắp cỏ size |4| sẽ chứa tập cú size =|A|, nờn cỏc tập trong nú sẽ cú đủ size từ |4| đến
n—|A|) Theo gia thiết |A,| < k “ kộo theo |4|+& <2& <m kộo theo & < n=|4| Vậy luụn xảy ra |A,| < & < n=|A|
Bay gid, vor i# / hay chứng tỏ 8, # 8, Thật vậy, vỡ -ý là antchain nờn 4 4 khụng
thộ so sỏnh được với nhau, (đổi với quan hệ bao hàm) nghĩa lả chỳng nằm trong hai xớch đối
xứng rời nhau Dẫn đến 8, , khụng cựng nằm trong một xớch đối xửng hay 8, # ệ,
Cudi củng, hóy chimg minh # = {B,,8,, ,B,} la hộ tam giao Muốn vậy, lấy tựy ý 8,, ệ,
cõn chị ra 8, 8, + @ỉ Vị ý là hệ tõm giao nờn ệ,ơ 8, 2 AC 4, đỉ hay 8,8, *ỉ Vậy
47 là hệ tõm giao cựng size k, Theo định lý 2.1 m < C}"}, Kết thỳc chứng minh I
Dau bang trong bất đẳng thức m < C}*' cú thộ đạt được nếu lấy ý là hệ gồm tắt cả cỏc tập
size &, luụn chứa chung một phần tử nào đú thuộc $ Nhưng cú thể độc giả nghĩ rằng, dau bang
vẫn đạt được bởi một hệ tõm giao antichain, trong đú cỏc tập thuộc hệ khụng cựng size & í nghĩ đú là khụng đỳng, vỡ nếu cú ớt nhất một 4, để |A|< thỡ dấu bằng mói mói khụng xảy ra
Định lý Boliobỏs 1973 sẽ làm rồ điều đỏ
Định lý 3.2 (Bollobỏs 1973) Cho tdp hop S gộm n phan nr, of ={A,A,, ,A,,} là hệ tõm
giao antichain mà |Á| < Š với mọi ớ e l,m Khi đú lụn xảy ra bắt đẳng thức cm SI
dal
Từ đú hóy xem lập luận sau: Với mọi fe l,m luụn cú Cm sch (vi |A| sk <>) Theo
Bollobỏs it Sa sSas! hay |.|<C*! Ddu bing trong | < Ct! xay ra khi ớt
nhất dau bing trong C’"'< Ci) xảy ra với moi ie l,m, hay |A|=k voi mọi Ă e l,m Điều đú
nghĩa là nờu cú 4, để |4,|<& thỡ C' < ch
Kết quả sau sẽ được sử dụng trong chứng minh định lý Bollobỏs
Trang 24CHUONG IL Đ 3 Hệ tõm giao antichain
Định lý 3.3 Cho tập hợp S gồm n phần từ, ý ={A,A, A„} là hệ tõm giao antichain
trong #(S) mà |A| <5 vai moi ie l,m Nộw hoan vị vũng œ thuộc CP(n) chita một tập 4,
nào đỏ thuậc ý thỡ œ chứa tụi đa |A,| tập A, thuộc -#
Chứng minh định lý 3.3
í tưởng chứng minh hoàn toàn tương tự định lý 2.2 Trước hết hóy đỏnh số lại cỏc phõn tử
thuộc Đ để 4 Đ{NG co) 0 BÍ SG GHI [Xi Xa}:
Từ giả thiết antichain của ý, hai tập khỏc nhau thuộc ý khụng thể bắt đầu từ một vị trớ hoặc
kết thỳc tại một vị trớ Từ thuộc tớnh giao của ý, mọi tập thuộc ý khỏc 4, mả được œ chứa
phải bất dau từ x,, s e {2,3 k} hoặc kết thỳc bởi x,, Ê €{I,2 & =1} Vỡ hai tập thuộc -ý cú size bộ hơn hoặc bằng — nờn với mọi sc2,# khụng xảy ra trường hợp vừa cú một tập thuộc #
bắt đõu bởi x, vừa cú một tập thuộc ý kết thỳc bởi x„, (nếu khụng, hai tập đú sẽ rời nhau,
mõu thun thuộc tớnh giao của ý) Do đú với mọi s e 2,k, chớ cú tối đa một tập thuộc Z mà ứ chứa sao cho tập đú hoặc bắt đầu bởi x, hoặc kết thỳc bởi x,, Điều đỏ cú nghĩa là ngoài 4,
Trang 25CHUONG IL Đ 3 Hộ tam giao antichain
— tại đú œ cụ định Nếu tổng >
ts {1,2 mila |4| KG =| |
oe clad chửa 4
cần bận tõm nữa Ngược lại tồn tai Xe.’ duoc chia boi a, kộo theo |X|e
Hóy xột tụng bẻn trong rong thi chang
P={|A\: 4e ộ, a chita A} Khi dộ PCN, P#@ nhung N là tập được sắp tốt nờn trong P cộ phan tr bộ nhat Lic ay, chon duge A, sao cho _ là bộ nhất trong cỏc 4 mà a@ chứa Theo
định lý 3.2 cú tối đa |4,| tập trong tong 3” Nghĩa là tổng này đạt giỏ trị lớn nhất lả
se (ld * =i |A HT
chứa 4
(4| 2 =1 Điều này khẳng định được S /(z.4)< # 1=(n-I)t
" ae? œcCf(x)
Cỏch thứhai é” /(a,4)=Š 3 /(a,4)= > ae (Al g PT, (ra kZ ộ=t acCPla) fel ức€f1n] CPin)
@ ade A ô thứa 4 ao chứa 4
=D 2 altel lad= LAI" 7Í In fel Hal pS 7
Từ hai cỏch ước lượng tổng J (@,A,) suy ra yi DY <(n- 1)! hay Daas!
ôrT tl — (+1
Vậy, định lý được chứng minh
Với định lý EKR (kết quả mở rộng của định lý 2.1) thụng tin về size của hệ tõm giao cú
rằng buộc khỏc sẽ được biết đến
Size của hệ tõm giao antichain ý bị ràng buộc bởi thuộc tớnh bự giao cú cận trờn
đỳng bằng bao nhiờu?
Trước khi trả lời, ba nhận xột sau là cần thiết
I, Nếu ý là amichain thỡ ý' cũng là antichain
Thật vậy, với mọi 4,8#e.ý' mà 4# 8 sẽ dẫn đến 4',8'e.ý dẫn đến 8'ơ 4' hay
Ag 8B Vậy ý' là antichain
Trang 26CHUONG IL Đ 3 Hộ tam giao antichain
That vay, lõy tựy ý 4,8e.ý\/.ý' thỏa 4# ỉ, cõn chỉ ra 4g 8 Xột cỏc trường hợp sau:
e Nếu 4.ỉec.ý hoặc A,Be.d' thi tatnhiộn Ac B
e Nờu 4c.ý, 8c.ý' thỡ A,B'e.ý dẫn đến ANB'4@ hay Ac B Lap luan
tương tự, nờu Áe.ý, #c.' thỡ 4g 8,
Vỡ 4ơ 8 luụn xảy ra với bất cứ trường hợp nào nờn ý+/.ý' là antichain
3 Nếu # là hệ tõm giao amtichain vừa là hệ bự giao thỡ trong ‹ý+v¿.6': mọi tập A chỉ rời duy nhất với phần bự của nú
Thật thộ, lay tay y 4,Be.dU.9’ thoa AN B=, can chimg minh AUB=S, Vi Am B= nộn ACB" hay A=8" (vi A#8B' mau thuan voi dic tinh antichian), Dieu dộ
khang dinh AUB=S tic A,B là cặp bự nhau Bõy giờ, dộ trả lời cõu hỏi lỳc nóy, hóy xột ứ lẻ,
Trong í+/.ý', hệ 2=|Ae.d-e"|4>5}=|Ae.eo.erlA>3) khụng chứa cặp
bự nhau nảo của ý+/.ý' nờn 37 là hệ tõm giao antichain Theo định lý EKR lai Mat
khac, wr cach xac dinh #@ dẫn đến #‹;#'=.ýL/ý' Do đú 2|.đ|=|.ý{+|.ý†= Lộu.ộ{=|o4=|#|+|z1=2|a|<2cEƑ" hay |.ộ| < C}~”
Như vậy, nếu ý vừa là tõm giao antichain vừa là hệ bự giao thỡ định lý EKR đó khẳng
định |.| < CèT` ssykobg họ hl
Khi ứ chẵn, điều đú cũn đỳng khụng?
Vẫn đỳng Lẩy œ=2k, hóy ỏp dụng định lý Sperner đối với antichain ý\/.ý' sẽ cú
2|.Z| =|#|+|.#] =|Ê+2.#{ sơ? =C3, =2Cù: `, -:cŸƑ" hay has"
Tổng hợp cả hai trường hợp n chan va lộ thu được
Trang 27CHUONG IL Đ 3 Hệ tõm giao antichain
Định lý 3.4 (Brace và Daykin 1972) Cho tập hợp $ gồm n phần tư Nếu hệ tõm giao amtichain í trong ?(S) mà thoa món A2 B # S với mọi A,Be.# thị | < dil"
Vi dy 3.1 Cho tập hợp S gom n phan ni, hộ -Ơ gom tat ca cac tộp con cha S ma mai tập
nay co size H luụn chứa phan tu 1 Nhu đó biết, đõy là tõm g1ao antichain, nhưng nú cũng là
hệ bủ giao Thật vậy, lấy 4, 8 tựy ý thuộc ý, cần chỉ ra 4‹28 # $ Ta cú la =lat-| 2 Aa8z#ỉ kộo theo |4 8|>l kộo theo |4++ 8| =|A|+|B|— JAnaj=2|2]-1<0-1<n=|9
i , tức đầu kộo theo 4t+8z $ Vậy ý là hệ tõm giao cũng lả hệ bự giao Hơn nữa L4=d
băng trong định lý đó đạt được
Trở lại định lý EKR, nếu hệ tõm giao antichain ý ={A,,4, 4„} trong #(S) thỏa
2k <n, |A| <k (tức là cỏc tập trong ý cỏ size bị rằng buộc) với mọi iel,m thi m S C7")
Khi gỡ bỏ ràng buộc về size của cỏc tập thuộc hệ tõm giao antichain ý thỡ kết quả cũn đỳng khụng?
Dễ thấy rằng điều đú là khụng đỳng (vỡ mọi hệ tõm giao cựng size k, voi k >|š|*1 luụn cú cận trờn đỳng là C} )
Vậy, phải đỏnh giỏ |.ý| như thế nào?
Muụn cú cõu trả lời, hóy tiếp tục phõn cũn lại của mục nảy
Cũng như quỏ trỡnh đi đến định lý EKR, đẻ đỏnh gid | lai can đến hoỏn vị vũng lại ước lượng tụng 3” ƒ(ứ,4) theo hai cỏch, với ‹ý={A,4,, A,}, Z ={l,2, m}x CP(n)
(tape
nhưng lỳc nảy /ƒ(œ,4,) được xỏc định như sau
Với mọi ứ e CP(n), mọi ¿ e Íl,2, ,m}, định nghĩa
Trang 28CHUONG IL Đ 3 Hộ tim giao antichain
nếu |4| > và a@ chifa A,
sa.4)=) 4 nộu |4| <> va @ chita 4
0 nơi khỏc
|
Kết quỏ tiếp theo là cần thiết trước khi đỏnh giỏ size
Định lý 3.5 (Greene et al (1976)) Cho tdp hop Š gồm n phần tư, ý ={Á,A,, A„}
c #(S) là hệ tõm giao antichain Khi đú ta cú bất đẳng thức › at) 2e a Chứng minh định ly 3.5 Lõn sau cựng, tổng 3` ƒ(œ,4,) được đỏnh giỏ theo hai cỏch, trong đú với ƒ(œ,4,) xỏc ta 7 định như trờn Cỏch thử nhất: Py ƒ(œ.4)= 2, 2 f(œ4)=3, 23, /(œ4) Ic1,= œ<Cf{ Icè,s ơsC?{a] Saka |4|z noo ‘2.3 ưng ° n-|Aj+1 n-|A, +1 + l= +> DL
ee repey rele Acme |4| 2 xy 2 |A, me, balm saan
Theo lập luận trong định ly 2.1 > 1=|4|{e-|4|)!=-<r suy ra
“sCNằ*) e
@ cht A
ằ ƒ(œ.A.)= Soe ot nm +> =n! l °
tak? icle l4| c4 ơTh an x 2N (elm cw
l4l-5 labs lAl: = APS
Tuy nhiờn theo cỏch hai,tacú 3` ƒ(z,4)= 3; 3 /(z,4)
VakT7 œ€Cf{n]) tele
œ chữa Á
Trang 29CHƯƠNG 1H Đ 3 Hệ tõm giao antichain - 2 2 Sla.A)+ 2 flevA)\~ _ 2 a 2 | Nờu 2 Se 2 isn thi aye, abate Sadi aeha | | | Suy ra n! at * 2 oil Sm! hay Last Lat" Sart he“ det, " " le a ° NI s l4l-5 Miss l4; I4l< lAJ Š lại Ai )
Do đú, đề hoan tat chứng minh cua dinh ly Greene et al, chi can
Dinh lý 3.6 Cho cập hợp S gỗm n phõn từ, ý ={A.,A,, A„}C #(S) là hệ tõm giao - 1 antichain Khi đú với mọi œ e CP{(n) luụn xỏy ra bắt đăng thức >, #421, > lỏn lAz l4 \4l* ô chứa 4, @ cha A Ching minh djnh ly 3.6
Nếu tụng đầu tiền ở về trỏi là rỗng chỉ cần chứng tỏ số cỏc tập 4 được chứa trong @ nhiộu
nhất bằng ứ là đủ Tuy nhiờn đú là sự thật Vỡ ý là antichain nờn tại mỗi vị trớ (cú ứ vị trớ) trờn
vũng đại diện cho ứz, chỉ cú tối đa một tập thuộc ⁄ bắt đầu bởi nú (vỡ nếu hai tập cựng bắt đầu
bới một vị trớ thỡ sẽ tự khắc so sỏnh được với nhau, mõu thuẫn với tớnh antichain của ý) Do đú
trong ý cú tụi đa ứ tập 4, được chứa bởi ứ
Ngược lại, tổn tại Xe.v để lx|<- và X được chửa trong œ Điểu nảy dẫn đến
|X|e P=|p<Š:3Ae.# mà |A| = p, z chứa 4} hay ỉ # Pc N, mà ẹ sắp thứ tự tốt nờn tồn
tai re P sao cho r=minP Luc dộ, chọn được 4, e.ý để ứ chứa 4, và |A|=r Bang cach đỏnh số lại, giỏ sử A, = {1,2, ,.r7}, @ ={L2 r m] =[r + l, „,l,2, r | Nhận thấy trong Z
mọi tập khỏc 4, được chửa bởi œ phải bất đầu từ se{2,3, r} hoặc kết thỳc bởi s—l,
Trang 30CHUONG IL Đ 3 Hệ tõm giao antichain
xe{2,3 r} (vỡ ý lả hệ tõm giao antichain nờn 4, phải giao với tất cả cỏc tập cũn lại thuộc
.) Băng thuộc tỉnh antichain, với mỗi s e {2,3, r} cú tối đa một tập thuộc Z bắt đầu boi s
vả tụi đa một tập thuộc # kết thỳc bới s—1 Tuy nhiờn, với mỗi s e {2,3, r}, nếu cỏ 4) e.ý
bắt đầu bởi s và cú 4) e‹ý kết thỳc bởi s—I thỡ trong 4}, 4} phải cú ớt nhất một tập cỏ size lớn hơn : (vỡ ý lả hệ tõm giao) Vỡ r là size nhỏ nhất của cỏc 4 được chứa bởi # nờn min Í[4/|.|4;|è>r hay vm a “TH stat va f(z.4!)+ /(z.4;]* n=|4/|+l n=|4; lal” [a Cho s quột khắp {2,3, ,r} Khi đú 3” /(a.4)~7(œ.4,)<(r~I)*=— Suy ra n-r+*+l n+l an bs r r ơ chứa Á > “HN, lớ + Z, l= > fla, A)</(a.4,)+-)—=”— =F : ales ected Laibe „ chứa 4 Định lý 3.6 được chứng minh Đồng thời phần chứng minh định lý Greene ct al trước đú cũng được hoàn tắt
Nhận xột: Nếu |4|<= thỡ I4<|3| hay C*' sar sail" Nếu |4|>- thỡ |A|>
PP Lemley cee ne ome wa Hop Bae ch " 1 Mi ce * 2 >1 hee Sar =< Bay ||C `”, Từ đ hỡnh bỡnh kế qua sa, 4-
Binh ly 3.7 (Brace va Daykin 1972; Schonhein 1974b) Cho tập hop S gdm n phan ne of @{A, Ayn Ay} CPS) la hệ tõm giao amichain Khi đỏ |\.d\< dit
Trang 31CHUONG IL Đ 3 Hộ tam giao antichain
Dấu bảng trong định lý cú thể đạt được bằng cỏch lõy s-|a =s:I4=|3] Í
Ê ˆ tl
Qua định lý trờn, size lớn nhất của một hệ tõm giao antichain co thộ dat duge la C*,
Trước khi kết thỳc Đ 3, một vẫn để đưa ra cuối Đ I được nhắc lại
Cho S$ la tap hợp gồm ứ phõn tử, lả một bộ phận của ?(.S) Nếu # hệ tõm giao mang
tớnh bi giao thi chan trờn đỳng của size ý nhận giỏ trị nào?
(Bõy giờ, chỉ cũn vẫn đẻ này là chưa giải quyết được)
Một dự đoỏn được đưa ra cuỗi Đ I là 2” Nhưng với những kết quỏ hiện cỏ, thật khỏ khăng định rằng dự doỏn đỏ đỳng hay sai, dự biết rằng nộu rằng buộc thờm cho Z thuộc tớnh
antichain thi can trộn đỳng của ý là dit | (định ly 3.4, (Brace va Daykin 1972))
Đề dự đoỏn trờn đỳng, một giả định khỏc đó được đưa ra la |B O€|< 27”, wong dộ #8 là
hệ tõm giao tụi đại va â 1a hộ bd giao tối đại trong :?{.$) Giả định này đỳng hay sai? Kết quả cú được trong Đ 4 sẽ là cõu trả lời
Trang 32Đ 4 Hộ tam giao va Ideal
Kiểm tra phỏng đoỏn |4 ơ€|< 2”? là vấn dộ chỉnh của mục nảy, trong đú + là hệ tõm giao tụi dai va € 1a hộ bự giao tối đại Để làm được điều đú chắc chắn phải tỡm đặc điểm của 2 va â Nhu da biột o Đ !, hệ tõm giao tụi đại # cỏ đặc điểm khỏc so với hệ tõm giao thụng
thường đỏ lả: với mọi 4e #, với mọi 8c Š thỏa 8 5 4, ngay lập tức 8e Khi đú hệ bự
giao tụi đại #° cú cũng đặc điểm tương tự là: với mọi 4eđ với mọi 8c Š thỏa 8c 4 ngay lập tức 8# Hai đặc điểm này được đỳc kết thành hai khỏi niệm sau
Định nghĩa 4.1 Cho tập hợp Š gồm ứ phần tử, ý là một bộ phận của #(S) Khi đỏ nếu ý cú đặc điểm: với mọi 4e.ý, với mọi 8c $ thỏa món 8 4, ngay lập tức 8e thỡ ý
được gọi là một iđeaÍ của Š hoặc một đownse: hoặc một sửnpiicial complex Thuat ngt downset
thể hiện rừ tớnh chất này rừ rằng hơn cả bởi vỡ mọi tập được chứa trong 4 với Ác lập tức rơi
vào ý Tương ứng với ý tưởng của một đownset là một uứse .ý được gọi là một upset cua Š
nếu với mọi 4e., với mọi 8c Đ thỏa măn ệ 5 4, ngay lập tức ỉe.ý,
Nhắc đến ideal của một tập hợp hữu hạn, một trong những kết quả hữu dụng nhất liờn quan đến nỏ (1966) được đưa ra bởi Keimant
Định lý 4.1 (Bố đề Kleimant) Cho Š = ÍI,2, nè, ỉ là một đowwser! của S, + là một upset cua S Khi đú |#||ớ{ > 2"|# ơ#|
Chứng minh định lý 4.1
Dựng phương phỏp quy nạp theo |SỈ
Trang 33CHUONG II Đ 4 Hộ tam giao va Ideal
Với |S[=l, # hoặc bằng {S} hoặc bằng {ỉ,S}, 2 hoặc bằng {ỉ} hoặc bảng {ỉ,S}
ơở\
Nếu #={ỉ,S}, #?={ỉ} thỡ #ơ#={ỉ} hay |#||@|=2>2=2"|# | Nếu # ={S}, Khi đỏ cỏ bốn khả năng Nếu # ={S}, ỉ = ỉ} thỡ 2ơ = ỉ hay |2||ỉ|= 1 >0 = 2"
@={ỉ,S} thỡ #ơỉ ={S} hay |#||@|=2>2=2"|#ơỉ| Nờu ={ỉ,S}, #={ỉ,S} thi
%ơZ ={ỉ,S} hay |#||lỉ{=4>2.2= 2"|8 ơỉ| Nhưng với khả năng nào cũng dẫn đến kết
luận | %|| 2 2” UD,
Vậy, định lý ding khi {S| =1
Gia sử định lý đỳng với |SỈ = z— 1, hóy chứng minh định lý đỳng với |S| = n
Đõu tiờn đặt #,={Ace%:ne 4}, ⁄4,={Ac:ne4}, 9,={A<ỉ:ne 4},
Ơ, ={Aeỉ:ne 4} thỡ =3⁄4L289, và ỉ#=ỉ\‹J2ỉ, Lỳc ấy, hóy chứng minh |%,| <|%,|
Muốn vậy, chỉ cần tồn tại một đơn ỏnh @:, =› #, là đủ Đơn ỏnh đú được xõy dựng bằng
cỏch
Lẩy tựy ý 4e#,, vi AcAU{m}cS nờn Ác/{n}e? (do # la upset) hay
ALJ{n}c %, Lỳc này đặt ứ(4)= 4+2{n} thỡ ứ:, —> %,, ứ(4)= At2{n} là đơn ỏnh (vỡ
với mọi 4,4, #, mà 4 # A, thỡ A t2{n} # A, c2{n} hay ứ(4,) # ứ(4,))
Do đú |#|<|#;| Lập luận tương tự, sẽ cú đơn ỏnh ⁄:ỉ; -> ỉ,, ự(4)= A\{n} hay
I2;|<|#i
Tử đú (2,|~|#4|)(J2|~|ứ;|)>0 nay |,||ứ;|+|#,|}ứ,|>|4|@Ă|+|4|l@;| Œ)
Bay gid, hay chimg minh %, 1a mdt upset cua S'= Š\ Ín} = {I,2, n—I} Muốn vậy, lấy thy y Ae W,, lay thy y BCS’ thộa BD A, can chi ra Bet ViSDBDA, Ae, U là
upset của Ÿ nờn ỉe 3= 4‹/⁄, Lại cú 8# 4⁄, (vi ne B) kộo theo Be W, hay W, la một
upset của S'
Sau đú, tiếp tục chứng minh #⁄; ={ 4\{n}: 4e #,} là một upset của S' Muốn vậy, lấy
tựy ý Ae %,, lay thy y BCS" thoa B> A, cin chi ra Be 3⁄, Từ cỏch xỏc định #⁄4 dẫn đến
Trang 34CHUONG IL Đ 4 Hệ tõm giao va Ideal
Au{abe WoW Vi AU{n}cBu{n}cS, W la upset cua Š nờn 8+⁄{n}e # Khi đú Buln\e w, hay B=(BU{n})\{n} e %, Vay 4, la mot upset cia S"
Lập luận tương tự Z,, Z, ={4\{n}: 4e Z,} là cỏc downset của Š"
Lỳc ấy, với (${= ứ—1, sử dụng giả thiết quy nạp đổi với cặp upset #,, downset Z, trong #(S') thu được |#,|\0,|> 2"!|24rơ\|; đổi với cặp upset #;, downset 2, trong -#(S'}, thu được |#,||//|>2"'|#,ỉj| Lai cú, WAG, ={A\{n}: 46%, 09,}, |Ơ7,)=]4,], l2,|=|2,| kộo theo |#¿vZ,|=lj¿ | Do đú từ |#(||ỉ|>27'|#,ơỉ| suy ra |#2||#;|>2”'|4# ơ4| Kết hợp với (*) sẽ cú |#||2t=((#,|+|#|)(l#|+|2:|)= I#,|l,|+|22|\2|+t2|2:| +|#,||!2;| > 2|,||2,|+ 2|#;|}ỉ;|> 2.2”! |#, ơỉ,|+2.27*|#; ơ;|= 2*((%, ơZ,|+|#; ơ 2,|) Mặt khỏc, #452, =#,ơ5ỉ,=ỉ hay #@#Z =(#,‹2#,)(đ,12ỉ,)=(⁄4 m2) (4 ơZ,)â2(;ơứ,)(;1#;)=(, 5ỉ,)2(9;ơZ,) mà (4 2,) (4; ơ9,) =ỉ nờn |# “2| =|(, ơ#,)+2(%; x2,)|=(|W,ằ2,|+|#; ơđ,|) suy ra |3⁄||@| z 2"|3 ơ9| Vậy định ly ding voi [S| =n, do đú đỳng với mọi |S[ N * Chứng minh kết thỳc IR
Ứng dụng của bố đề Kleimant vào hệ tõm giao
Trở lại van dộ chinh cua myc nay Cho S la tap gom n phan tr, # 1a hộ tim giao tối đại trong #(S), € la hệ bự giao tối đại trong ?(S) Khi đú 2#? là một upset của S và # lả một
Trang 35TAI LIEU THAM KHAO
ANDERSON, IAN — Combinatorics of Finite Sets - Department of Mathematics University of Glasgow — Clarendon Press Oxford — 1987
KATONA, G O H = Intersection theorems for systems of finite sets - Acta math Acad
Sci Hung — 1964,
BRACE, A and DAYKIN, D E — Spener type theorems for finite sets — Proc Br Combinatorial Conf., Oxford — 1972
HALL, P — On representatives of subsets — J Lond Math Soc 10, 26 — 30 — 1935
MILNER, E C — A Combinatorial theorem on systems of sets — J Lond Math Soc
43, 204 - 6 - 1968
Trang 36MUC LUC
LOW NOMBAU pide ees 46kg Ltd guadudg su
CHƯƠNGLKINTHÚCCHUẢN N26 2204446 da 3
1 Kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp 22 2s St S2 ST HT g12 1112113 1x 3
2 Kiến thỳc cơ bản về lý thuyết tổ hợp, 2-2-2 CS E2 13 237522177211 cv 3
3 Một số khỏi niệm và kết quả liờn quan đến lý thuyết combinatorial để làm nền tảng gho:rầp lần BIỀnN:VỀ BNN:0ù22/22)526202120002005342020000220G020G000220L0GG103100000E% 4
CHƯƠNG II NHỮNG KẫT QUÁ VỀ HỆ TÂM GIAO 052cc 6
41 Khỏi uiền B4 tt BèB6::s2 3 000.2222.2252200002 0200 200200G00020106022000060u6 6
s2 HỆ tỡm ging cụng ễN sain 2002021260601 13
Đ3- HỆ m go 2c222223626 2202622002200 06 621G 6G dd basen 22
S4 HỆ Nm xinn về KấNấ u22 x220222022022226, 00000 0C00 000000 CCAcie 32