Một số dạng nhóm con hữu hạn của nhóm m2 r

Trang 1

Trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Toan — Tin Hoc cea lO Lots Luận văn tốt nghiệp Bộ mơn : Đại Số Đề tài: A A r ns + Một số dạng nhĩm con hữu hạn của nhĩm (⁄;(R), s)

Giáo viên hướng dân : TS Trần Huyên

Trang 2

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén

Lời nĩi đầu

Khi nghiên cứu về Lý thuyết Nhĩm, ta luơn mong mỏi lả cĩ thể tìm được hết

tắt cả các dạng cấu trúc nhĩm khác nhau cỏ thể cĩ hoặc cũng như tìm hiểu xem liệu

cĩ một dang cầu trúc nhĩm nào lại cĩ thể chứa hết các đạng nhĩm cịn lại hay

khơng? Và như ta đã biết, nhĩm đối xứng chính là nhĩm mà bất kỳ nhỏm hữu hạn

hoặc vơ hạn nào cũng đêu cĩ thể nhúng được vào trong nĩ Vậy ngồi nhĩm đối

xứng ra thì liệu răng cĩ cịn nhĩm nào khác cĩ chức năng như vậy???

Với mục đích đi tìm câu trả lời cho câu hỏi thú vị nhưng lại rất khĩ kia, tơi đã tìm hiểu về nhĩm nhân ma trận vuơng cấp hai khơng suy biến (M;(I), +) Tuy khơng cĩ câu trả lời rõ ràng và cụ thể nhưng tơi cũng đã phát hiện ra một số điều

kha thú vị và được trình bày trong luận văn này

Luận văn gồm hai chương:

- Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Ngồi những kiến thức cơ bản về nhĩm, tơi cĩ giải một số bài tốn, và cĩ thể xem là những mệnh đề giúp cho việc tìm hiểu về chương hai để đàng hơn Bên cạnh đĩ,

tơi cĩ nĩi vài nét sơ qua vê nhĩm nhị điện và nhĩm Quaternion cũng như mơ tả câu

trúc của các nhĩm hữu hạn cĩ cấp nhỏ hơn hoặc bằng 8

- Chương II: Một số nhĩm con hữu hạn với các phần tử sinh cấp hai của nhĩm

(M;(), +)

Thơng qua việc mơ tả các dạng nhĩm con hữu hạn của nhĩm (M2(R) , +) voi hé

sinh là các phần tử cấp hai, ta thấy được nhĩm Š, - nhĩm phép thế cấp 3 và nhĩm

giao hốn Z, xZ, chứa được trong nhĩm (M; (R), *) Và tổng quát hơn thì nhĩm

con hữu hạn sinh bởi hai phần tử cấp hai của nhĩm (M;(I) , -} đẳng cấu với nhỏm nhị điện Tuy nhiên, nhĩm các phép thế S, (n > 4) thì lại khơng nhúng được vào

Trang 3

Mục lục

Trang

Lời nĩi đầu sei ia 2

Chương I Kiến thức chuẩn bị

1: NHÀ T100 EIN is vá 06 t2 1 6602226 00xe62052220566 20/2420 d 5

A; Diath nghề N 158 sai awe iE 5

B55 EPPA TTR Ee aisles esa aaa Eas oa ia ai aaa aes ea aaa 5

2 Nhom con, nhom con sinh boi mOt tập, nhĩm cycÌic 5 Pais INAS ON si saz seen cae eens Sine en daat oaee com bain okies 5 B; Nhằm con tình Đi HỆ TẬD sas cscs 2h hi các (02G yacuiai 6 CN TH Ni re nhe “ 7 3 Lớp ghép theo nhĩm con, cấp của nhĩm - c5 56c Sc+v22c22 7 A, Lớp giếp theo nhĨm CON sesiisincecsesscsssvcnscescomenvessscnsecininiseoticessuetenssiuee 7 vn S———-tsdieeeieexee 9 4 Nhĩm con chuẩn tắc, nhĩm thương .- 2-52 52 52 z2 Szccvzevzee 11

A Nhĩm con chuẩn tẮC - ¿5-52 5S v33 3 Serkrrkrrsrsreee 1] B Nhĩm thương - - Ă Ă S3 IS TH TH HH HH TH H0 0 1v 12 8; 8 ẽ 12 BS 1á A0402 @ y2 12 B Các NT v0 0 Quá 02010 2000021/6600N60XU 2u 13 6 Tích trực tiếp của hai nhĩm co cocceceecrevreevrrvrtsrree 13 Á; tk na cá tiáivi 0600600 12QG10/á,Aï8E 13

Bi Ahan Nts saci Raa cia Sa la 14

Fe Da baamn eles ibaigs Uae cts scsi icant 14

Big, FOS NEI HÀ Set cu ccbcciaL6cdisicsiaxiaosisoi 14 B Định lý phân tích phép thế thành tích các vịng xích độc lập 15

Trang 4

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyên

A XI K44 ais ceive a eee 16

Be MR Bed ai ssia pease a eas eA ee eEREN 16 Rr VÀ EU Rao ba aces haem sneheat one cenlnad na hab von bnonhna cadsiome taod sip babes 17 DỊ, VU GÀ bit b0 %vG 0000 5G14600xkA,úcbixtGggidddge 18 E VI GỤ : habakcg a6 400G6466401616364166464366401240316224634L206446342012x808 18

9, Nhĩm nhị diện, nhĩm Quatemion , -cccc-ss-sesenecsesrnseeeeresrerereneereacess 19 Ä Nhận nhà Ủ cacce cv cha n2 (2x6 kx2210 162k cancseeinnaieeskaveosvceeoooa 19 ĐI Gv eeenokreeeeesaeieinieeeaeeeosoesoeozyonevsos 21

10 Cầu trúc của các nhĩm hữu hạn cĩ cấp <8 -. - 22

Chương H Một số nhĩm con hữu hạn với các phần tử sinh cấp hai của nhĩm (M;(R) *) 1 Các phần tử cấp hai của nhĩm ( M;(Đ) , +} -c-cscs 26 Be W HH đề TT nen eneoaeaereeobereesscayosdsedGasssasssyrgea 27 Be I Da sư ớHBraaeeareeeaaaoenararreanersaaaraoee 29 2 Một số dạng nhĩm con hữu hạn với các phân tử sinh cấp hai

cẩu nhĩm: | ÂC (MƠ ¡3):2ccágGkág0dkất540016i6010x6 084006000066 29

Trang 5

Chwong I: KIEN THUC CHUAN BI

1 Nhom, Nhom Abel:

A Định nghĩa 1.1: Nhỏm là tập X # Ø trên đĩ xác định | phép tốn 2 ngơi thỏa:

NI: V x.y,zeX: (xy)z = x(yz) [Tính chất kết hợp] N2: 3eeX:v xe Xthìixe=ex=x [Cĩ đơn vị e]

N3: xe X: 3x 'eX thì x'x=xx'=e [Mọi phần tử đều cĩ nghịch đảo] B Định nghĩa 1.2:

Nếu phép tốn trong nhĩm X là giao hốn thì X được gọi là nhĩm giao hoản hay

nhom Abel

Vi du: (M° , -) vi M7 1a tap cdc ma tran vudng cắp n khơng suy biến là một

nhĩm khơng giao hốn

2 Nhĩm con, Nhĩm con sinh bởi 1 tập, Nhĩm Cyclic:

A Nhĩm con

a Định nghĩa 2.1:

Cho X la nhém va A # @, A c X Ta nĩi A là bộ phận ơn định của X nếu:

Y x,y eA: xy €A

Khi A là bộ phận ơn định của X thì phép tốn của X giới hạn lại chỉ trên của các

phần tử của A là phép tốn cắm sinh từ X về A Nếu A cùng với phép tốn cảm sinh

lập thành | nhom thi A được gọi là nhĩm con của X Kí hiệu: A @ X

b Định {ý 2.2: (định lý đặc trưng của nhĩm con)

Giả sử A là tập con khác rỗng của nhĩm X Khi đĩ, các khẳng định sau là tương

đương:

¡ A là nhĩm con của X

Trang 6

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyện

iii, Voi moi a,b © A,tacdab'e A

Chứng mình:

i= i

Voi moi a, BEA, = ab ce A(viAeX )

Trước tiên, ta thấy của phần tử đơn vị e` của nhĩm con A cũng là phần tử đơn vị

e của nhĩm X Thật vậy: VaeA:c'.a-=a-=eca

=> €` =€(vi X là nhĩm nên cĩ luật giản ước)

Goi a’ la phan tử nghịch đảo của a trong nhĩm con A Ta cĩ: a`a = e = a”a Thực hiện luật giản ước phải a ta được a` = aÌ => aÌe A ii ii Với mọi a, b 6A thì a, bÌ c 4 Do dé: a.b'e A tHỉ => l Vì 4# Ø nên tơn tại a e A Khi đĩ:e=a.a! 6 A VaeA,a'=ea'eA Va,be A=>abÌe A Do đĩ: a.b=a.(b")'e A

Nhu vay, A là tập hợp con ỗn định chứa đơn vị và mọi phần tử của A đều cĩ nghịch

đảo trong A nên A là nhĩm con của X

Trang 7

Tacĩ: (}A, do ee A, Va=ee n4.) acl ae! Yx,yve () A, => x,yeA, Va ael =>xy'eAd, Va =xy `€ f1 A, ael Theo định lý 2.2 thi (] 4, a X acl b Định nghĩa 2.4:

Giả sử U là một bộ phận của nhĩm X Nhĩm con A bé nhất của X chứa UI gọi là

nhĩm con sinh ra bởi LÍ trong X (chính là giao của họ các nhĩm con của X chứa U)

Kí hiệu: A = (U)

Trong trường hợp A = X, ta nĩ rằng U là một hệ sinh của X và X được sinh bởi LI

C Nhém Cyclic:

a Dinh nghia 2.5:

- - Nhĩm con của X sinh ra bởi tập gồm 1 phần tử {a} gọi là nhĩm con cyclic sinh bởi phần tử a và kí hiệu đơn giản là (a)

- _ Một nhĩm X gọi là nhĩm cylic nếu X được sinh ra bởi phần tử nào đĩ của X

Khi đĩ, a là phần tử sinh của nhĩm X và ta cĩ X = (4) = {a" :n e ZÌ

3 Lớp ghép theo nhĩm con, cấp của nhĩm:

A Lứp ghép theo nhúm con:

a Lớp ghép trái, lớp ghép phải:

Cho nhĩm X và Ác X, V xeX, ta định nghĩa

Trang 8

b Phân lớp theo nhĩm con: Mệnh đề 3 I: Trong nhĩm X, nếu yexd thi yA=xA hú inh: Lay z € yA thi z= ya, (aye A) Vi yexA => y= xa)(vdéia,e A) => Z = Xâ;a¡= x(apa,;) = xa € x4 ( với a = a¡ay€ A) Đo đĩ vÁC XxA (1) Vi y= xay; => x= ya;' © yA (vi a;' € A) =>xA c yA (do cmt) (2) Tir (1) va (2) > xA = yA (dpcm) Ménh dé 3.2: Trong nhĩm X, hai lớp ghép xA,yA hoặc là rời nhau, hoặc là trùng nhau Chứng mình: Theo logic tự nhiên về quan hệ xA, yA thì: Hoặc là: x4 (1 yA = Ø Hoặc là x4 ƒì yA # Ø Nếu xA ÍÌ yA zØ thì 3z e xA ÍÌ yA hase whe {75 me z€ yA=> zA= yA (do mệnh đề 3.1.1) Suy ra xd = yA jNhân xét: X = |} x4, ta đồng nhất các lớp ghép trùng nhau là một thì X trở thành hợp rời rex

rac của một số lớp ghép nào đĩ

Mỗi lớp ghép trong hợp rời đĩ là phần tử của 1 tập mới mà ta kí hiệu là X/A

Trang 9

Luận văn tốt nghiệp Vi Du: R`/R` ={x-R*/ÍxeR*Ì ={I-R* ,(1)-R*}={R* ,R } Với 5Zœ (Z, +) Ta cĩ: Z/SZ = {m+5Z/meZ} ={0+5Z ,145Z ,2+5Z,3+5Z , 4452} B Cấp cua Nhém: a Dinh nghia 3.3: Cho nhĩm X, cấp của X = số phân tử của X Cấp X = n (nếu |X|=n) Cap X= wo (néu| X|= 0) Cấp của phan tira € X = cap (a) Cap (Z; +) = 2 Cấp ¡ = cấp (i) = 4

b Dinh lf 3.4 (Dinh lp Lagrange): Cho nhĩm X hữu hạn và ÀA œ X

Khi đĩ: Cắp A là ước số của cấp X Chứng mình: Giả sử: X cĩ n phần ty va A = {a;, ,am} (m < n) taco: X =x, AUxX,AU UXx,A GVHD: TS Tran Huyén Nhan thay: voi i=1, 2 va a, ,a,€A néu xa, =x,a, > a, =a, (do luật giản ước trong nhĩm)

Ngược lại, nếu a, # 4, © x,4, # x,,

Do đĩ x„4, ,x,4; , , x,4„ là m phân tử đơi ! khác nhau

Trang 10

Vậy cấp X 7= | X| =k.| A| = k cấp A

Do đỏ cấp của A lả ước số của cấp của X

c Các hệ quả của định lp Lagrange:

Hệ quả 1: Cấp của mọi phần tử hữu hạn x đều là 1 ước số hữu hạn của cấp X

Ching minh: Vi mdi phan wr x e X sinh ra 1 nhĩm Cyclic (x) cĩ cấp = cap cla x mà (x) cũng là I nhĩm con của X nên cấp (x) = cap x là uớc số của X,

Hệ quả 2: Nêu cấp của X là số nguyên tơ thì X là nhĩm Cylic Chứng minh: Giả sử X cĩ cấp là p (p là số nguyên tổ)

Vì p là số nguyên tố nên p>2 = 3 az e trong X

Khi đĩ, nhĩm cyclic (a) sinh bởi a cĩ cấp là n > 1 và là ước của p

Vi p là số nguyên tơ nên n = p

Do đĩ X = (a) Vậy X là nhĩm cyclic

d Mệnh đê 3.5:

Cấp của phần tử a e X, nếu hữu hạn thì đĩ là số nguyên dương nhỏ nhất n sao

cho a“ =e Chứng mình:

Ta cĩ cấp của phần tử a hữu hạn nên cấp của (a) hữu hạn Khi dé, 3a‘ ,a’ saocho a* =a’

o> a’ =e (voi k-1>0)

Do đĩ, tơn tại m nguyên dương thoả a”= e

Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất thoả a” = e 2 nl Ta sẽ chứng minh: (a) = fe, a’ a’, a’, a’, veal} trong do e, al aja a‘, .a khác nhau đơi một Thật vậy: Với 0<¡< /<Sn~l =0Sj-i<n

Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất thoả a" = e nên suy ra:

Trang 11

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyên

Wxe(a),tacé x=a" ,meZ

Chiam chontaduge:m=qn+r (0 srsn-l)

Suy ra: x= a™ =a" =(a")’-a' =e'-a’ =a’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Trang 12

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS, Tran Huyện

= xA= Ax

(c) => (a)

VxexX, xA= (xa/ae X} = fa'x/a'eA} = Ax

Do đĩ: xa = a`x

=> xax =a'xx' =a’e€ A

Nhu vay VxeX, Vaec A:xax'e Anên 44X

B Nhĩm thương:

Giả sử X là một nhỏm và Á 4 X, khi đĩ:

a Lớp X¡X:A chỉ phụ thuộc vào các lớp xịA và xạA mả khơng phụ thuộc vào sự

lựa chọn của các phân tử đại diện x, , x; của các lớp đĩ

b Tập X/A cùng với phép tốn 2 ngơi (x;A, XạA) > XiX‡A là một nhĩm, gọi là nhĩm thương của X trên Á

Chứng mỉ

a Giả sử XỊ`Á # XỊA ¡ xX; A=X2A

= ‘* ‘=xa, (do x,'ex,A) Về ¿6:4

x,'=x,a, (do x,'€x,A)

=> X)"Xp" = X¡âX;8; = X:X;(X; `â¡X;)8;

=2 X¡`Xy` “ XIX:8‡8ạ (với a; = x) 'ayx2 € A,vì A 4X) => Xi `X;` = XIX;ãâ 6 XIX:Á (vGia™ aa; € A)

=> XX? A= X)X2A

b _ Tính kết hợp của phép tốn 2 ngơi trong tập X/A suy ra từ tính kết hợp của

phép tốn trong X

_ Phần tử đơn vị của X /A chính là eA (trong đĩ e là đơn vị của X)

_ Phan tử nghịch đảo của xA chính là x "A

Nhận xét:

Trang 13

5 Đồng cầu nhĩm

A Định nghĩa 5.1: Cho cac nhĩm X, Y

Ánh xạ ƒ: X——>Y được gọi là đồng cấu nếu:

VX\Ị, X; € X: F(X¿:, Xạ)}= Fx) f(x)

- Nếu f là đồng cầu nhĩm, đồng thời là đơn ảnh thì f được gọi là một đơn cấu nhĩm

(hay gọi là phép nhúng của nhĩm)

- Nếu f là đồng cấu nhĩm đồng thời là tồn ánh thì f được gọi là tồn cấu nhĩm

- Nếu f là đồng cấu nhĩm đồng thời là song ánh thì f được gọi là một đẳng cấu

nhĩm Khi đĩ X đẳng cấu với Y và ki hiệu là X = ¥ Im f = f(X)c¥

Kerf = f'(e,)={xeX: f(x)=e,} aX

B Cac dinh ly:

a Định lí 5.2

Cho ƒ: X——>Y là một đăng cấu

Khi đĩ: f đơn ánh <> Kerf =e,

b Định lí 5.3

Cho ƒ: X——>Y là đẳng cấu

Khi đĩ, ƒ ': Y——>X cũng là một là đẳng cấu

c Dinh li 5.4: h ot

Cho ƒ: X——>Y là tồn cấu

Khi đĩ: Ton tại duy nhất đẳng cầu f: X/Kerf ———»Y sao cho:

f= f-p Trong 46, p: X ——>X/Kerf 1a dang cau chiéu

6 Tích trực tiếp của 2 nhĩm:

Trang 14

Giá sử A và B là các nhĩm (với luật hợp thành viết theo lỗi nhân) Trên tập hợp

tích X = 4x8 = |(a,b): ae 4, be B} ta định nghĩa một luật hợp thảnh như sau: (a; , 6) (az, br) = (aya;, bịb;)

Dễ dàng kiểm tra rang X cùng với phép tốn trên lập thành một nhĩm; cĩ phần tử đơn vị là e = (ea, eg) và phần từ nghịch đảo của (a,b) là (a,b}” = (a”,b'”)

Khi đĩ, nhĩm X được xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của 2 nhĩm A, B

B Các tính chất:

(a) Ax B= Bx A nho ding cau (a, b) + (b, a)

(b) (Ax B)x C = Ax(BxC) nh dang cau ((a, b), c) > (a, (b, c))

(c) Cé thé déng nhat A (tuong img B)véi nhém con Axf{e,}(tuong img {e,}x B)

của 4x # nhờ đơn cấu sau:

A——> AxB B—>AxB

atr> (a,e,) b + (e,,B)

(d) Với phép đồng nhất trên thì mỗi phần tử của A giao hốn với mọi phần tử của B

trong Ax B

(e) ANB ={e} trong AxB

(f) Nhom 4x 8 được sinh bởi tập AUB

(g) A, B là các nhĩm con chuẩn tắc của 4x 8 Thật vậy:

(a,,b,)(a,esa,„b,)"` = (ayaa,`,e„) 6 Á

(với mọi a, ai € A, bị e B).Do đĩ A4 AxB

Trang 15

7 Nhĩm các phép the S,

A Định nghĩa” l:

Một phép thế trên một tập hợp X là một song ảnh từ X lên chính nĩ Khi X là

tập cĩ n phân tử thì một phép thẻ trên X gọi là một phép thế bậc n

Đề tiện lợi mà khơng mắt tính tổng quát, ta thường lây tap n phan tử là

X= {1.2 n} Khi đĩ mỗi phép thể f bậc n thương được viết dưới dạng

| 2 3 ss «(OD i lzn ƒ@) /@) fw)

Vì f là song anh nén cac phan tir f(1), £(2), -fln) déu khác nhau Do đĩ chúng là

mội hốn vị của n phản tử 1.2, n

Như vậy, mỗi hốn vị xác định một phép thế bậc n nên số phép thể bậc n bằng các

hốn vị của tập cĩ n phần tử và bằng m†

Tập hợp tất cả các phép thế bậc n kí hiệu là Š„ Khi đĩ, Š„ cùng với tích các phép thế lập thành một nhĩm hữu hạn khơng giao hốn với n >3

B Định lí phân tích phép thế thành tích các vịng xích độc lập: a Vịng xích và chuyển trí

Cho f là một phép thế bậc n Nếu f viết dưới dang

fis k Gi amy By By: cỏ `

Oy Gy we Bo Gy sa wm G6

thì f được gọi lả vịng xích độ dải m và ta viết đơn giản

f= (aya; âm)= (a8y 8m8i) =

- Vịng xích độ dải 1 là phép thế đồng nhất 1, = (1) = (2) = - =(n)

- Vịng xích độ đài 2 gọi là phép chuyển trí

- Hai vịng xích độ dài f = (a¡a¿ am) và (bạbạ bị) gọi là độc lập nếu

{ây, 82, Am} Í1 {by, bạ, .bị} = Ø

Trang 16

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén b Dinh li 7.2:

Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy nhất

(khơng kẻ thứ tự) thành tích các vịng xích độc lập độ dải lớn hơn hoặc bằng 2

Hệ quả: Mọi phép thẻ đều phân tích được thành tích các chuyền trí

8 Một số bài tốn xác định tính chất và mơ tả cầu trúc của một nhĩm Vi du 8.1: Cho X 1a | nhém ma với mọi phan tira € X thia’=e Chứng minh rằng: X là nhĩm Abel Ya,be X thi:

a’ =e, b’ =e, (ab) =e

Suy ra: aŸ.bỶ = e.e = e = (ab) Do đĩ: a.a.b.b = a.b.a.b Thực hiện luật giản ước trái a và luật giản ước phải b ở đăng thức trên ta được ab=b.a Vậy X là nhĩm Abel Ví dụ 8.2: Giả sử X là 1 nhĩm, a và b là 2 phần tử của X a> Chứng minh: cấp của ab bằng cắp ba

b> Giả sử ab = ba và cấp của a là r, cắp của b là s Nếu (r, s) = I thì cấp của ab là rs

Chitng minh:

a> Trước hết, tacĩ nhận xét sau:

Với x y € X thì xy=e © x=y' © yx=e Từ đây ta cĩ Va,b c X

Trang 17

<> (ba)" =e

Vay cap ab bang cap ba

b> Ta cĩ (ab}” = a”.bŸ (vì ab = ba) =c”°.,e =e

Mat khac, néu (ab)* = e thi ¢ = (ab) = a’, b** = a", e* = a nên ks : r mà (r,s)=l => kir tương tự ta cũng cĩ kr : s nên k : s Vậy k : rs Do đĩ, cấp của ab là rs Ví dụ 8.3: Cho X là nhĩm Abel cấp 6 Chứng minh rằng X là nhĩm eyclic Chứng mình:

Trước tiên ta cĩ nhận xét sau: Cac phan tr dai diện b của lớp ghép ð trong nhĩm

thương cĩ cấp là bội của cấp của ở

=

Thật vậy: Gọi cắp b =n Khi đĩ ð" =e => (b) =b" =e

Vậy n là bội của cấp của b

, Để chứng minh X là nhĩm cyclic Ta cần chỉ ra trong X cĩ chứa | phan tử cấp 6 Vì X cĩ cấp 6 nên tổn tại phan tra e X và a # e

Theo hệ quả I của định lí Lagrange thi cap a chỉ cĩ thé là 2; 3; 6

- Nếu cấp a = 6 thi ta cĩ điều phải chứng minh - Nếu cắp a=2 thì nhĩm thương X/(a) cĩ cấp 3 Khi đĩ, nếu b e X/{a) ma b # Ía) thì cấp b =3

Do đĩ theo nhận xét trên thì phan tử đại diện b e ð phải cĩ cấp 6 hoặc cấp 3

Trường hợp cấp b = 3 thì tích ab phải cĩ cấp 6 (ví du 8.2b vi ab = ba)

- Nếu cấp a= 3 thì nhĩm thương X/{a) cĩ cấp = 2

Trang 18

Do đĩ phân tử dai dign b € 5 phai cé cap 6 hoac cap 2 Trường hợp cấp b = 2 thi tích ab phải cĩ cap 6

Vậy trong mọi trường hợp cĩ thể xảy ra cho cấp của a, ta đều chỉ ra được trong X

luơn cĩ chứa 1 phần tử cĩ cấp 6 Vậy X là nhĩm cyclÌic Vi Du 8.4: Chimg minh rang cac dang nhĩm cấp 4 hoặc đăng cầu với nhĩm Z4 hoặc đẳng cấu Với Z¿ x Z¿ Chứng mình: Giả sử X là nhĩm gồm 4 phản tử

Nếu X chứa I phần tir cap 4 thi X 1a nhom cyclic cap 4 Do dé X = Z,

Nếu X khơng chứa phân tử cắp 4 nao thi moi phan tir (khac e cla X phai déu cĩ

cấp 2) (hệ quả 1 của định lí Lagrange) và nhĩm X là nhĩm Abel (ví dụ 1) Tức là

X = {a,b, ab, e} Với a; = bạ = e, ab = ba Bây giờ, tương Ứng ø :X ———> Z,xZ, e > ø(e)=(0,0) a ot ø(4)=(1,0) b + g (b)=(0, 1) ab > @ø(ab)=(1,l) Rõ ràng ø là 1 đẳng cấu, do đĩ X z Z¿ x Z¿ Vi du 8.5: Chứng minh rằng các dạng nhĩm cấp 6 hoặc là nhĩm cyclic hoặc là đăng cấu voi S; Chứng minh: Giả sử X là nhĩm cĩ 6 phần tử

Nếu X cĩ chứa I phần tử cấp 6 thì X là nhĩm cyclic cấp 6 Do đĩ X z Z¿

Nếu X khơng chứa các phần tử cấp 6 nào (tức X khơng là nhĩm cyclie), vậy thì X

Trang 19

=> 3a © X:capa=3(Vi du | va hé qua | dinh li Lagrange)

Khi đĩ nhĩm thuong X/(a) c6 cap 1a 2 Chọn b ¢ (a) thì be X/(a) và b # e nên

cắp b = 2 Suy ra, cấp b = 2 (vì nếu cấp b = 6 sẽ mâu thuần với giả thiết ban dau)

Vậy nẻu tơn tại nhĩm X cấp 6 khơng abel thì X = ({ø , b}) với cấp a = 3 và cấp

b= 2 Tức là:

X = fe, a, a*, b, ab, a’b} théa hé thức a?b = ba That vay ba = a’b vi:

ba khơng thẻ là e vi ba = e =b* => a=b(!) ba khơng thể làavìba=a = b=e(!)

ba khơng thể là a” vì ba=a” => b=a(!)

ba khơng thể là b vì ba = b =a=c() ba khơng thẻ là ab vì X khơng là nhĩm Abel

Do đĩ, ba chỉ cĩ thé 1a a’b Khi đĩ: ba.ba = a”b.ba = a =e

Hay a cĩ cấp là 3 cịn các phần tử cịn lại của X (khác e) đều cĩ cấp là 2

Trang 20

9, Nhĩm nhị diện và nhĩm Quatenion

A Nhĩm nhị diện: a Định nghĩa

Xét đa giác đều n canh P„ (với n > 1) Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh

tâm của P„ một gĩc (cĩ hướng) bằng nd , cịn b là phép đối xứng qua một đường n

thăng đi qua tâm của P, và | dinh cia nd Khi đĩ, tất cả các phép đối xứng của P,

(tức là các phép biển đổi đăng cự của mặt phăng biến P„ thành chính nĩ) được liệt

ké nhu sau: e, a, a’, a"', b, ab, ., a"'b

Chúng lập thành một nhĩm, kí hiệu là D„ và được gọi lả nhị điện cắp 2n Như

thể D„ cĩ thẻ biểu diễn như sau:

D, =(a ,bla"=e.,b =e, (aby =e )

Với n >3 thì ab # ba Do đĩ D, là I nhĩm khơng giao hốn vì thế D„ cũng

khơng phải là nhĩm cyclic

Ngồi ra, D, cịn cĩ thể biểu thị theo 1 cách khác như sau: D, =(e,d | c? =d? =(cd)" =e) Trong đĩ c = ab, d = b b Ví dụ: Ví dụ 9.] D, = {e, a, b, ab} với a, b, ab đều cĩ cấp là 2 Ví dụ 9 2:

Trang 21

S;=te,@,a*, B af, a’B}

- Néu 1 #3 thi D, sé khong dang cau véi S, vi ching co sé phan nr khac nhau

B Nhĩm Quaternion:

Nhĩm Quaternion là nhĩm được cho bởi 2 phản tử sinh vả 3 quan hệ như sau: QO, =(a bla'=e,a = bỲ, aba = bì

Các quan hệ này chỉ ra rằng mỗi phần tử của Q¿; đều bằng | trong & phan tử sau

đây: Ía'b“: 0<s<3,0<z<])

Do đỏ |Q¿| < 8 Để chứng tỏ 8 phần tử nỏi trên đơi ! khác nhau trong Q¿, ta xét

nhĩm (M;(C) +) sinh boi 2 ma tran sau:

i 0 0 1

^“Í§ HH va B-(" : (i= V-1)

Rd rang A*=1, , A?=B’, ABA=B

Trang 22

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trằn Huyên 1 | i i j -j k -k | 1 | i “i j -j k -k | -] l “i i -} j -k -k i i - -Ì | k -k -j 1 1 “I I I -] -k L j “J J ] “] -k k -1 ] i -1 “] -j j k -k | -Ï + i k k -k j “] “l i | l -k -k k -j j i “| | -] Trong đĩ +¡, +7, +k đều cĩ bậc là 4 Và nhĩm Q¿ cũng là một nhĩm khơng giao hốn 10 Mơ tả cấu trúc của nhĩm hữu hạn cĩ cấp < 8 Gọi X là nhĩm hữu hạn cĩ cấp là n (n < 8) n=1 X chỉ cĩ thể là nhĩm {e} n=2 Cĩ duy nhất l nhĩm cấp bằng 2 là nhĩm cyclic Cạ X = C,= {b, b?=e}

_n=3 Cé duy nhat | nhém cap bang 3 14 nhém cyclic C3

X = C;= {b, b*, b® =e} Trong dé b, b’ déu cé cap 1a 3 n=4 Cĩ 2 nhĩm cĩ cấp bằng 4 Đĩ là:

(a) Nhĩm cyclic Cạ, X = Ca¿= {b, bỶ, bŸ, b= e} Trong đĩ bỶ cĩ cấp là 2, cịn b vả bỶ đều cĩ cắp là 4

(b) Nhĩm cắp 4-Klein Nhĩm này được định nghĩa như sau:

X={I, J,K, 1} với I= J= KỶ =(U} =I Trong đĩ, K = I

Trang 23

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén | | J K l l I J K I I Ì K J J J K | I K K J I I Nhĩm cấp 4-Klein là nhĩm giao hốn và đẳng cấu với nhĩm tích trực tiếp của 2 nhĩm cyclic cấp 2 là C; x Cạ Cụ thể là: (-1, I)x(b, b* =e)={1=(1, 7); =(1, 6); J =(-1, 5); K =(-1, b*)}

Vi Du: Nhom X = {1, 1, J, K} voi

| la phép quay | goc z xung quang truc Ox J là phép quay Ï gĩc z xung quang trục Oy K = l1 là phép quay l gĩc Z xung quang trục Oz

.n8=§ Chỉ cĩ duy nhất 1 nhĩm cấp 5 là nhĩm cyclic C;

X z C¿ =b, bỶ b`, b, b = e} n=6 Cĩ 2 nhĩm cắp bằng 6 Đĩ là:

(a) Nhĩm cyclic Cạ = {b, bỶ bỶ, bỶ, bỶ , bŠ= e} (b) Nhĩm nhị điện Dạ = {b, b’, b° =e, a, ab, ba},

trong đĩ: aŸ = b’ = (ab)’=e

Trang 24

Trong đỏ b”a = ab" (h = 1, 2, 3)

Trang 25

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trin Huyén Với I = (1, 1); #ð =(b, +1); +bÌ=(b +1); +bÌ=(bÌ)+1) Đây cũng là nhĩm giao hốn vả ta cĩ bang nhân của nhĩm này như sau: | +] -b b’ -b° bỉ -b` | -Ï b -b b* -b* b -b° “| -| 1 -b b -bỶ bỉ -b? b’ b b -b bỶ -b’ b° -b* ] +] -b -b b -b’ b -b’ bỉ a Ì bỶ b? -b? b` -bỶ 1 -Ì b -b -bỶ -b’ bỶ -bỶ bì +] l -b b b bỶ -b | 5 b -b b -b°

-b` (e) Nhém Dy = {a, b/ a? = b* = (ab) =e} -b° bì “| l -b b -bỶ b?

= {b, b’, b’, b*=e,a, ab, ba, ab’}

Trang 26

Chương I:

Một số nhĩm con hữu hạn với các phần tử sinh

cấp hai của nhĩm (M;(R) : +)

Muốn tìm hiểu về dạng nhỏm con hữu hạn của nhĩm (M;(IR) , +} với các phan

tử sinh cấp hai thì trước hết ta cần biết được dạng các phân tử cấp hai của nhĩm (M (R), -) Đây là một khâu khá quan trọng mà ta cần giải quyết

1 Các phần tử cấp hai của nhĩm( A⁄;(R) , +}

Xét trong nhĩm nhân các ma trận vuơng cấp hai khơng suy biến (M ,(R), -)

b

Goi a-(® xí cM,(R) c (a,b,e,deR;ad-bc #0)

A la phan ti cap hai cha (M3(IR), +) <> A*=/, [arn Hi t=? c(a+d) d?+bej (0 1} ? a+be=1 (1) a?+be=1 (2) c(a+d)=0 b(a + đì=0 — Từ (1) và (2) = a? -d* =0 <a" =d’ a=+d

Chỉ cĩ 3 khả năng xảy ra đối với a và b:

Khả năng il: a=d=0 =be=1 =c=— + (b#0)

Trang 28

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyền

Đến đây, một câu hỏi được đặt ra như sau: "Vậy liệu cấp của tích hai phan tử

cấp hai thì cĩ liên quan gì đến cấp của từng nhân tử trong tích hay khơng?" Và

cũng dé tra lời cho câu hỏi trên, ta sẽ dựa vào 4 dạng phản tử cấp hai của nhĩm

Trang 29

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyền

a b

VD3: Tir ma tran | 1 — ? „ với |a|<l ta cĩ dạng sau;

b =(i

Pe sing cosa B« san cosổ

_|cosœ —sina ' ` |eos8# -sinB

Taco: AB= one a, SS -sin(œ=/) cos(a— Ø) 27 2a 2x cos— sin— Voi a-B=— thi AB= " "| (véi neN’) n 2# 2z —-sin-— COS—— n n 2 indx) (1 0 tùtát (400 =| P0 h - —sin2z cos27 I 0 l Hỗ Ta thấy, tuy A va B là hai phần tử cắp 2 của (M;(R) , +} nhưng tích AB lại là phan tử cĩ cấp n Mệnh đề 1.2:

Cấp của tích hai phần tử cấp hai khơng hề phụ thuộc vào cấp của từng nhân tử

Và bây giờ thì việc tìm hiểu về nhĩm con hữu hạn của nhĩm (M;() , +) với các phần tử sinh cấp hai sẽ dễ dàng hơn

2 Một số đạng nhĩm con hữu hạn với các phần tử sinh cấp

hai của nhĩm (\;(), +)

Với A., B là hai phần tử cấp hai bắt kì của nhĩm (AZ;(R) , =), (4 , 8 # e) Ta cĩ: (A4, B)=(AB) \ (AB) A v2 B(AB) Thật vậy,

Vì |A| =|B| =2 nên

Trang 30

(AB) B = ABAB AB.B = ABAB AB.A ={ AB) A A(BA) = A.BABA BA = ABAB AB.A = (AB) A (BA) A = BABA BA.A = B.ABAB AB = B{ AB) B( BA) = B.BABA BA = ABAB AB.A =(AB) A (BA) B = BABA BA.B = B.ABAB AB = B\ AB) (AB) A B( AB) = ABAB AB.AB.ABAB AB =( AB)

* Hon nita, ((AB)A) =(AB)A (AB) A=e (B(AB)) =B(AB) B(AB) =e

- Nhom (A 5 B) được chia ra làm hai lớp ghép, lớp thứ nhất là gồm các phần tử chỉ cĩ cấp là 2 (là những phân tử mà sẽ cĩ dạng như ở Mệnh đề 1.1 - Chương 2), và lớp

thứ hai là những phân tử được sinh ra bởi tích AB

Giả sử cắp (48) = n (với n là số nguyên dương hữu hạn) Ta đi vào từng trường

hợp cụ thể của n để từ đĩ sẽ đi đến dạng tổng quát cho nhĩm (4, Ư)

Trường hợp 1: Với n= l.thì ÀA = B =(A l B) là nhĩm cyclic cấp hai (4, 8)=(4)={A, 4? =e| Ví dụ J: Lay A la phan tir cp hai bit ky nao đĩ của nhĩm (Ä⁄;() , -), chẳng hạn 2 ! | 0 A= RG rang A* = Khi đĩ 2 0 1 ¿.2- ›]-[s 3)

Trường hợp 2: Với n= 2 thì (4 , 8) = {AB , (4B)? =e,, A= BAB , ABA = BÌ Ta thấy (4, B8} chính là nhĩm giao hốn cấp 4, mọi phần tử của nhĩm (trừ đơn vị) đều cĩ cấp bằng hai Và như ta đã biết, một nhĩm hữu hạn cắp 4 đẳng cấu với một

Trang 31

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyện

Chuong 1) Ma nhém (4 , Ø8) thì lại khơng phải là nhỏm cyclic nên (A,B)zZ,xZ; Vi du 2: Vì cấp (4B) = 2 nên A = -B ( Mệnh đẻ 3.1- Chương 2) Vì thể ta cĩ thé chon vi du minh hoa sau: : (A, B) ——>Z, xZ, é [, 4 > (0,0) a-(} ) +» (1,0) a-( `) (0,1) -1 0 aa ={ Ẫ (1,1) @ là một song ánh và bảo tồn các phép tốn do đĩ ø là một đẳng cầu Vay (A, B)=Z,xZ, Trường hợp 3: Với n = 3 thì

(A, B) =[AB , (AB)°=BA , (AB) =e ,A, ABA , (AB) A=B}

Ta thấy (A4, 8) là nhĩm khơng giao hốn cấp 6 Và như ta đã biết, một nhĩm hữu

hạn cấp 6 đăng cấu với một trong hai nhĩm, Z, - nhĩm cyclic cấp 6 và Š, - nhĩm các phép thế cấp 3 (Ví dụ 8.5 - Chương 1) Vậy (4, 8) z S:

Vi dụ 3: Ta sẽ chọn A , B là hai phần tử cấp hai của (M;() ; ") sao cho tích AB là

Trang 32

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trân Huyên

Trang 33

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS, Tran Huyén

(A, B) lanhom khong giao hoan cap 8 Ma ta đã biết là cĩ hai nhĩm khong Abel

cap 8 khơng dang cầu với nhau là nhĩm Quaternion và nhĩm (Mệnh đẻ 10.1 -

Chuong 1) Va rd rang nhom(A , B) = D, do dé nhom(A , B) khéng dang cau voi

nhĩm Quaternion Đến day, ta chi co thé dua ra một dự đốn:

Du doan 2.1:

Nhém Quaternion cé kha nang khéng chira duge trong nhĩm | A/;() +}

Bây giờ tơng quát lên, với n là số nguyên đương hữu hạn bắt ki Trước hết, ta

nhận thay: hai lớp ghép (48) 4 và 8(AB) trùng nhau Thật vậy,

Với |(AB)|=n => (AB)" = ABAB AB =e Do đĩ: Ceo œ len (AB) A= A= B(AB)""' (AB)A = B(AB)*° (AB)”A = B(AB) (ABY"'A=B= B(AB}' Vi vay:

(A, B)={(AB) , (AB) A}

=|AB, (AB) (AB)””,e,A, ABA, (AB)` A., (4B}”` AÌ

=(4B , B| (4B)' =e, B =e, (AB-B)' = A =e)

Hay (A , B) = D, vacé cap là 2n

Ménh dé 2.2:

Nhĩm con hữu hạn sinh bởi hai phân tử cấp hai của nhĩm nhân các ma trận

Trang 34

Và bảy: giờ ta thự xét sang nhĩm con hữu hạn của nhĩm (M (R), +) vai ha

phan ur sinh cap hai Khi muén xem xét (A , B,C) (vai A, B, C khde nhau doi mét,

khác đơn vị va là các phân tử cấp hai), ta cân xem xét cấp của từng tích AB AC và

BC Va thật sự đây là một bài tốn khá phức tạp tơi vẫn chưa tìm ra được dạng của

nhĩm (A, BC) mà chỉ cĩ thể đưa ra một số chú ý liên quan đến cắp của từng

tích trén

“> Chang han khi ta xét 4 = —7,, và B, C là hai phân tử cấp hai bat ki của nhĩm (M;() , +) Khi đĩ, cắp của AB bảng 2, cắp của AC bằng 2 Ta giả sử cấp của BC là n (với n là số nguyên dương hữu hạn, ø > 3 vì nếu n =l hoặc n = 2 thì ta cĩ nhĩm(4 , 8 , C) tương tự như trong trường hợp Ì và trường hợp 2 ở trên), Vậy ta sẽ cĩ (4, 8 , C) cĩ cấp là 4n với các phần tử cụ thể như sau: (A,8,C)=(-I,,B,C)

_ {" BC,(BC)Y’, ,(BC)"" ,B, BCB,(BCY B, (BC)"" B,

-e,-BC,-(BC)’ —(BC)"" ,-B,-BCB,-(BCY B, ,-(BC)"" B

“+ Ngồi trường hợp trên thì cấp của hai trong ba tích AB, AC, BC khơng đồng thời bằng 2 Vi theo mệnh đề 3.1 - Chương 2 với A, B là hai phần tử cấp hai khác

Trang 35

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyền

Cuối cùng là ta tự hỏi liệu nhĩm các phép thể S_ cĩ liên quan gì tới nhĩm nhân (M ;(R), *) hay khơng? Và câu trả lời cho câu hỏi trên chính là nội đụng cuỗi của chương 2 trong luận văn này

3 Vấn đề nhúng Š, vào ( M;() , +)

Trước tiên, ta cần chứng minh một mệnh đẻ sau: Ménh dé 3.1:

Tích AB của hai phần tử cấp hai bất kì A, B ( vai A,B #-e va 4# 8) của nhĩm (Z;(R) , +) nếu là phần tử cấp hai thì chỉ cĩ đuy nhất một dạng là A.B [§ 0 Chứng mình: Với các dạng phần tử cấp 2 của (M;(R) , ») ở Mệnh đề 1.1 ~ Chương 2, ta sẽ y)-Tứch A=-B lần lượt xét tắt cả các trường hợp cĩ thể xảy ra đối với A, B Khi đĩ, A, B sẽ là một trong ba dạng sau: a b | II XI 1—aŸ (với a,b,ceR và bz0) c ¬ C l -a b Cả ba dạng ma trận trên đều cĩ định thức băng -1 Vì thế

Trang 36

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén Vi At Bc, #c, > (AB) # I, ; -| 0 -1 0 Trường hợp 2: Với A= , B= R J R j Vi A¥ Bc, #c, =>(AB)' # I, b Teuing hap 3: Véi 4 =| Cị —đy | a-(% Cy —a, 3 l-a? l-a? trong a= tà” va bb, +0 Tacé: AB = eee + bịc; a,b, = a,b, ) a,¢,-ac, 4a,a,+6,¢,

(AB) = we + he)’ + (a,b, - a,b, Xa, - ac) (a,b, — a,b, (2a,a, + bc, + bạc, )

(a,¢, ~ 4,¢, )(2a,a, + bc, +b,¢,) (a,b, — a,b, )(a,¢, — a,c,)+(a,a, + b,c,)"

(aa, +b,c,)’ + (a,b, — a,b, Xa,¢,—4,¢,)=1 (1)

Néu (AB)? = 1, thi {62 — x ane, — C2) + (aa, +,¢,)" =1 (2)

(a,b, ~ a,b, )(2a,a, + b,c, + b,c,) = 0 (3)

(a,¢, — 4,¢,(2a,a, + bc, + b,c,) = 0 (4)

(a,a, + he, + (a,b, - a,b, Xa,c,-4,c,)=1 (I)

wy | (Bes xe A2aa, +B, +8,¢,)=0 (2') (do (1)~(2))

(a,b, — a,b, )(2a,a, + bc, + b,c,) =0 (3)

(a,¢, — a,¢,)(24,a, + Bc, + 8,c,)=0 (4)

Xét:

Trang 37

Luận văn ỏt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén

I=đÿ ] =a) _ đ;b, - ah, = ađ;(aB; = đ;Ư,)

h | by bb,

l-a; l-a;

* Doig tite tip = aay he

_ 2a,a,b,b, +b) — bia’ +b} - a/b; _ bP +b? - (ab, - a,b,

bb, bb,

Từ (3) ta nhận xét: (24,đ; + be; + b;e,) # 0 vì nêu (24,4; + b,c, + b,¢,) =0 thi aa, + bec, = —aa, —b,c, Khi dé, tir (1) suy ra:

(a,a, + b,c, (—a,a, — b,c,) + (a,b, — a,b, a,c, — ayc,) = 1

> -a) a} — a0, (bc, + b,c,)—bb,c,c, + aa, (b,c, +b,c,) - aj bye, - a3be, =|

o> -a}a} -(1-a))(1-a})-aj(1-a})-a}(1-a?)=1

> -ala? -1+ a} +a} — aja} —a} +aja? -a3 +a? ©-I=l () z= Do dé a,b, — a,b, = 0 Suy ra: a tas (theo (2')) = (a,b, = ab,XbẺ +b})=0 (theo (4)) — [ayb, = ab, * Nếu b=b,=a,=a,=4=B (9) (vì bỶ +b;¿ #0)

* Nếu 6 =-b, => a, =—a; A=~—B =48-[ `)

Trang 38

Luan van tét nghiệp GVHD: TS Tran Huyén a b Taco: AB = pe ac- 5 q+bc 2a” + abc — Ì b(2a + be) a 2a! +3abc + bˆc° —] } (4B) (2a+ be|lac- 5 Nếu (4Ø) = ï, thì b(2a + bc}) = 0 2a+bc=0_ (do bzQ) © = a.0=2 (!) 2a° +abc—-1=1 a(2a + be) = 2 Do đĩ : (48) # 1, 10 a b Trường hợp 6: Với a= số B=l-ai (6 +0) C b is a -—a —-b Ta cĩ: AB= 1—a? qac + be— a 2đ” ~ abe ~ Ì b(2a — bc) AB} = -ai wae? (be 2a) ae 3 2a —3abc + bc} — l Nếu (4B) = J, thi 2a—be)=0 —be = 0

biến ) of be=0 (do b#0) -š ai 5 (Ối

2a” — abc —] = ] a(2a - be) = 2

Do đĩ : (AB)? #1,

Vậy với hai phần tử cấp hai A, B khác nhau và khác +e ta đã chứng minh được

, ' -1 0

Trang 39

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén Do n >4 nên ta xét phép thé sau: r=(! 23 4) cĩ cấp 2 và s=(l 3)(2 4) cũng cĩ cấp 2 Suy ra: ƒ(r) vả /(s) cũng cĩ cấp 2 Mà ƒ(r)=/( 2)-/(3 4) và /(s)=/q 3)-/@ 4) -l

Do do 70)=/6)=| 0 )} Điều này mâu thuẫn vì f là đơn cấu

Vậy khơng tổn tại phép nhúng §, vào (MZ;(R) , +) Và đỏ cũng là nội dung của

mệnh dé sau

Ménh dé 3.2:

Nhĩm các phép thế Š„ (với n > 4) khơng nhúng được vào trong nhĩm nhân các ma

Trang 40

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyện

Lời kết

Việc tìm hiểu về nhĩm tuyến tính tơng quát là một đẻ tài rất thú vị và đã cĩ nhiều cơng trình nghiên cứu cĩ giá trị được cơng bố Nhưng do thời gian và khả

năng cĩ hạn, tơi chỉ tìm hiểu được dạng nhĩm con hữu hạn của nhỏm

(AZ;(I#) =} với các phần từ sinh là những phần tử cấp hai Và tơi cũng chỉ mới dừng lại ở 2 phan tử sinh cấp hai Việc mở rộng hệ sinh địi hỏi một thời lượng và cơng sức rất lớn nên tơi xin dành nĩ cho các nghiên cứu sau này

Nhân dịp này, tơi xin chân thành cảm ơn thây Trần Huyền, thầy đã tận tình giúp

đỡ vả hưởng dẫn tơi hoản thành luận văn nảy Tơi cũng xin chân thành cảm ơn tất

cả các bạn, những người đã luơn luơn động viên và giúp đỡ tơi rất nhiều Lời cuối

cùng, xin chân thành cảm ơn!!!

Tp HCM, ngày 10, tháng Š, năm 2009

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	1,97 MB