Một số dạng nhóm con hữu hạn của nhóm m2 r

Trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Toan — Tin Hoc cea lO Lots Luận văn tốt nghiệp Bộ môn : Đại Số Đề tài: A A r ns + Một số dạng nhóm hữu hạn nhóm (⁄;(R), s) Giáo viên hướng dân : TS Trần Huyên Sinh viên thực ; Ngô Thị Mỹ Phượng [ THU | Po Trưởng VIEN Bat-Hoc TP HỖ-CHÍ-! Su-rhal Năm 2009 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén Lời nói đầu Khi nghiên cứu Lý thuyết Nhóm, ta ln mong mỏi lả tìm hết tắt dạng cấu trúc nhóm khác cỏ thể có tìm hiểu xem liệu có dang cầu trúc nhóm lại chứa hết đạng nhóm cịn lại hay khơng? Và ta biết, nhóm đối xứng nhóm mà nhỏm hữu hạn vơ hạn đêu nhúng vào Vậy ngồi nhóm đối xứng liệu có cịn nhóm khác có chức vậy??? Với mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi thú vị lại khó kia, tơi tìm hiểu nhóm nhân ma trận vng cấp hai khơng suy biến (M;(I), +) Tuy khơng có câu trả lời rõ ràng cụ thể phát số điều kha thú vị trình bày luận văn Luận văn gồm hai chương: - Chương I: Kiến thức chuẩn bị Ngoài kiến thức nhóm, tơi có giải số tốn, xem mệnh đề giúp cho việc tìm hiểu chương hai để đàng Bên cạnh đó, tơi có nói vài nét sơ qua vê nhóm nhị điện nhóm Quaternion mơ tả câu trúc nhóm hữu hạn có cấp nhỏ - Chương II: Một số nhóm hữu hạn với phần tử sinh cấp hai nhóm (M;(), +) Thơng qua việc mơ tả dạng nhóm hữu hạn nhóm (M2(R) , +) voi sinh phần tử cấp hai, ta thấy nhóm Š, - nhóm phép cấp nhóm giao hốn Z, xZ, chứa nhóm (M; (R), *) Và tổng quát nhóm hữu hạn sinh hai phần tử cấp hai nhóm (M;(I) , -} đẳng cấu với nhỏm nhị điện Tuy nhiên, nhóm phép S, (n > 4) lại khơng nhúng vào nhỏm( Z;() , +) SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén Mục lục Trang Lời nói đầu sei ia Chương I Kiến thức chuẩn bị 1: NHÀ T100 EIN is vá 06 t2 6602226 00xe62052220566 20/2420 d A; Diath nghềN 158 sai B55 EPPA TTR awe Ee aisles esa aaa iE Eas oa ia aaa aes ea aaa Nhom con, nhom sinh boi mOt tập, nhóm cycÌic Pais INAS ON si saz seen cae B; Nhằm tình Đi HỆ TẬD CN eens Sine sas cscs 2h en daat oaee com bain hi (02G TH Ni re okies yacuiai nhe “ Lớp ghép theo nhóm con, cấp nhóm .c5 56c Sc+v22c22 A, Lớp giếp theo nhÓm CON sesiisincecsesscsssvcnscescomenvessscnsecininiseoticessuetenssiuee S———-tsdieeeieexee Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương .2-52 52 52 z2 Szccvzevzee 11 A Nhóm chuẩn tẮC .- ¿5-52 5S v33 Serkrrkrrsrsreee 1] B Nhóm thương - - Ă Ă S3 IS TH TH HH HH TH H0 1v 12 8; ẽ BS 12 1á A0402 @ y2 12 v0 Quá 02010 2000021/6600N60XU 2u 13 B Các NT Tích trực tiếp hai nhóm co cocceceecrevreevrrvrtsrree 13 Á; tk na cá tiáivi 0600600 12QG10/á,Aï8E 13 Bi Ahan Nts saci Raa cia Fe Dabaamn eles ibaigs Uae Big, FOS cts scsi Sa icant la 14 14 NEI HÀ Set cu ccbcciaL6cdisicsiaxiaosisoi 14 B Định lý phân tích phép thành tích vịng xích độc lập 15 Một số toán xác định tinh chất mơ tả cấu trúc nhóm 16 SVTH: Ngé Thi Mf Phugng Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyên A XI K44 ais ceive a eee Be MR Bed ssia pease Rr VÀ EU Rao DỊ, VU ba GÀ bit a 16 eas eA ee eEREN 16 aces haem sneheat one cenlnad na hab von bnonhna cadsiome taod sip babes 17 b0 E VI GỤ : habakcg a6 %vG 0000 5G14600xkA,úcbixtGggidddge 18 400G6466401616364166464366401240316224634L206446342012x808 18 9, Nhóm nhị diện, nhóm Quatemion , -cccc-ss-sesenecsesrnseeeeresrerereneereacess 19 Ä Nhận nhà ĐI Ủ cacce cv cha n2 Gv (2x6 kx2210 162k cancseeinnaieeskaveosvceeoooa 19 eeenokreeeeesaeieinieeeaeeeosoesoeozyonevsos 21 10 Cầu trúc nhóm hữu hạn có cấp l Vì 4#Ø nên tơn a e A Khi đó:e=a.a! A VaeA,a'=ea'eA Va,be A=>abÌe A Do đó: a.b=a.(b")'e A Nhu vay, A tập hợp ỗn định chứa đơn vị phần tử A có nghịch đảo A nên A nhóm X B Nhóm sinh tập: a Ménh dé 2.3: Giao ! họ khơng rồng nhóm nhóm X nhóm nhóm X Chứng mình: Cho {A,} , họ khơng rỗng nhóm X Ta chứng minh: (}A, œ X ae! SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng Luận văn tốt nghiệp Tacó: (}A, GVHD: TS Tran Huyén ee A, Va=ee n4.) acl ae! Yx,yve () A, => x,yeA, Va ael =>xy'eAd, Va =xy `€ f1 A, ael Theo định lý 2.2 thi (] 4, a X acl b Định nghĩa 2.4: Giả sử U phận nhóm X Nhóm A bé X chứa UI gọi nhóm sinh LÍ X (chính giao họ nhóm X chứa U) Kí hiệu: A = (U) Trong trường hợp A = X, ta U hệ sinh X X sinh LI C Nhém Cyclic: a Dinh nghia 2.5: - - Nhóm X sinh tập gồm phần tử {a} gọi nhóm cyclic sinh phần tử a kí hiệu đơn giản (a) - _ Một nhóm X gọi nhóm cylic X sinh phần tử X Khi đó, a phần tử sinh nhóm X ta có X = (4) = {a" :n e ZÌ Lớp ghép theo nhóm con, cấp nhóm: A Lứp ghép theo nhúm con: a Lớp ghép trái, lớp ghép phải: Cho nhóm X Ác X, V xeX, ta định nghĩa - Lớp ghép trái theo phần tử x theo nhóm A kí hiệu xA x4 = [xa/a e A} - Lớp ghép phải theo phân tử x theo nhóm A kí hiệu Ax Av= {ax/a e 4} Trong đó: phân tử x phần tử đại diện phép ghép SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyên b Phân lớp theo nhóm con: Mệnh đề 3.I: Trong nhóm X, yexd hú thi yA=xA inh: Lay z € yA thi z= ya, (aye A) Vi yexA => y= xa)(vdéia,e A) =>Z = Xâ;a¡= x(apa,;) = xa € x4 Đo vÁC ( với a = a¡ay€ A) XxA (1) Vi y= xay; => x= ya;' © yA (vi a;' € A) =>xA c yA (do cmt) (2) Tir (1) va (2) > xA = yA (dpcm) Ménh dé 3.2: Trong nhóm X, hai lớp ghép xA,yA rời nhau, trùng Chứng mình: Theo logic tự nhiên quan hệ xA, yA thì: Hoặc là: x4 (1 yA =Ø Hoặc x4 ƒì yA # Ø Nếu xA ÍÌ yA zØ 3z e xA ÍÌ yA hase whe me (do mệnh đề 3.1.1) {75 z€ yA=> zA= yA Suy xd jNhân = yA xét: X = |} x4, ta đồng lớp ghép trùng X trở thành hợp rời rex rac số lớp ghép Mỗi lớp ghép hợp rời phần tử tập mà ta kí hiệu X/A X/A={xA /xeX) SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng % Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén Vi Du: R`/R` ={x-R*/ÍxeR*Ì ={I-R* ,(1)-R*}={R* ,R } Với 5Zœ (Z, +) Ta có: Z/SZ = {m+5Z/meZ} ={0+5Z ,145Z ,2+5Z,3+5Z , 4452} B Cấp cua Nhém: a Dinh nghia 3.3: Cho nhóm X, cấp X = số phân tử X Cấp X = n (nếu |X|=n) Cap X= wo (néu| X|= 0) Cấp phan tira € X = cap (a) Cap (Z; +) = Cấp ¡ = cấp (i) = b Dinh lf 3.4 (Dinh lp Lagrange): Cho nhóm X hữu hạn ÀA œ X Khi đó: Cắp A ước số cấp X Chứng mình: Giả sử: X có n phần ty va A = {a;, ,am} (m < n) taco: X =x, AUxX,AU UXx,A Nhan thay: voi i=1, va a, ,a,€A néu xa, =x,a, > a, =a, (do luật giản ước nhóm) Ngược lại, a, # 4, © x,4, # x,, Do x„4, ,x,4; , ., x,4„ m phân tử đôi ! khác Nên | x/A | = | A | SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén Vậy cấp X 7= | X| =k.| A| = k cấpA Do đỏ cấp A lả ước số cấp X c Các hệ định lp Lagrange: Hệ 1: Cấp phần tử hữu hạn x ước số hữu hạn cấp X Ching minh: Vi mdi phan wr x e X sinh nhóm Cyclic (x) có cấp = cap cla x mà (x) I nhóm X nên cấp (x) = cap x uớc số X, Hệ 2: Nêu cấp X số ngun tơ X nhóm Cylic Chứng minh: Giả sử X có cấp p (p số nguyên tổ) Vì p số nguyên tố nên p>2 = aze X Khi đó, nhóm cyclic (a) sinh a có cấp n > ước p Vi p số nguyên tô nên n = p Do X = (a) Vậy X nhóm cyclic d Mệnh đê 3.5: Cấp phần tử a e X, hữu hạn số nguyên dương nhỏ n cho a“ =e Chứng mình: Ta có cấp phần tử a hữu hạn nên cấp (a) hữu hạn Khi dé, 3a‘ ,a’ saocho a* =a’ o> a’ =e (voi k-1>0) Do đó, tơn m ngun dương thoả a”= e Gọi n số nguyên dương nhỏ thoả a” = e Ta chứng minh: (a) = fe, a’ a’, a’, a’, veal} e, al aja a‘, a nl khác đôi Thật vậy: Với 0