Bất Đẳng thức hàm phân phối cho bài toán tiệm cận hai pha

Lời cam đoan ‘Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp "Bắt đẳng thức hàm phân phối cho bài toán tiêm cân bai pha" được chính tôi thực biện.. Trong số đó, bằng ý tưởng sử dụng định nghĩa hà

BO GIAO DUC VA DAO TAO, TRUGNG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH KHOA TOAN-TIN

so

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Bat đẳng thức hàm phân phối cho bài toán tiệm cận hai pha

Giảng viên hướng din: PGS TS Nguyễn Thành Nhân

Hồ và tên sinh viên: Trần Ngọc Hiển

MSSV: 46.01.101.035

Thành phố Hồ Chí Minh, 5/2024

Lời cam đoan

‘Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp "Bắt đẳng thức hàm phân phối cho bài toán tiêm cân bai pha" được chính tôi thực biện Các kết quả trong khóa Muận là trung thực và không sao chép bắt kỳ khóa luận nào khác Các thông tin trích dẫn trong khóa luận này đều được ghỉ rõ nguồn gốc và được phép công bồ, Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm vẻ lời cam đoạn của mình

Sinh viên thực hiện

Trân Ngọc Hiển

Lời cảm ơn

y tỏ lồng biết ơn sâu sắc đến PG8, TS, cho tối đề tài này, trực tiếp hướng Lời đầu tiên, tôi xin chân thành b

Nguyễn Thành Nhân, người đã giới thì

dẫn tân tình và tao mọi điều kiến t

án cạnh đó, tối xin chân thành cảm ơn quý Thả

trường Dại học Sư pham Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho toi những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong suốt những nam hoe vita qua vi quý hoàn thiên hơn Cuối cùng, tôi xin chan thành cảm on gia đình, bạn bè đã hết

Đường kink eta 9

Qua cin mé tam 2p, bán kink » > 0 trong

Quả cầu mổ B, (10) giao với 9

Gradient cia ham w: RY +R

Divergence etia him vecto FR" + R"

Do do Lebesgue của tập do ditge Ac R"

Ham dic trimg ea B.C R®

“Tích phân trang bình của hàm khả tích f trén tấp đo được 4C E"

“Toán tử cực đại Hardy-Littlewood

“Toán tử cực đại cấp phân số với œ € (0,

Không gian Lebesgue ese him f+ đo được và |fl„~qgy < % i[{X :|/ (z)| < N hikan trong 9)

Không gian Musielak - Orlicz định nghĩa bởi ham 11 Không gian Musiclak Orlicz - Sobolev định nghĩa bởi hàm #1 Không gian các hàm khả vi võ han lần, có support compact

Khong gian Lorentz

Két thie chứng mink,

Giới thiệu

Tóm tắt khóa luận

Cho Ø là một tập mở trong TP với ¡ > 3, các hàm Ø,G : Ø1 RP ~ it là các

ham Carathéodory có giá trị vectơ và thỏa các điều kiện của tăng trưởng hai

phá p — ý Trong khóa luân này, ta xét bài toán sau

divA (x, Vu) = divG(x,F) trong ®, vau=0 tren a0,

trong đó him Carathéodory A: x RY -+ R° tiem cân tuyển tính với B, tite Ta tôn tại một hàm không âm, bị chân đều z:0,s) + 0,20) suo cho Ẩѧ:ứ) <8 và |Ar,v)= Ø(,v)| bÌ) Kru) Nội dụng chính của khóa luận này là xây đưng bất đẳng thức hàm phân phối cho lớp phương trình hai pha tiệm cân tuyến tính Chúng tôi sẽ tình bày bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán trên, cu thể ta sẽ chứng mình rằng với 4€ [0,n) và ø >1 — , tôn tai b > 0 sao cho với £ > 0 đủ nhỏ và À > 1, ta có

đương sa ˆ*A) € Csd.m( eu,(3)+ đua z) (9)

Giới thiệu tổng quan

Nhiều phương trình đạo hàm riêng đang được nghiên cứu trong Toán học có nguồn gốc tì các bài toán Vật lý hoặc từ nhiều ngành khoa học khác Với sự phát triển liên tục của lý thuyết giải tích, hiên nay có khá nhiều công cụ và phương xiêng Trong số đó, bằng ý tưởng sử dụng định nghĩa hàm phân phối trong giải tích điều hòa, bên cạnh các công cu quen thuộc như bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Young, kỹ thuật sử dung bổ đề phủ Vital, đã có nhiều nghiên cứu

về tính chính quy nghiêm được công bồ trên các tạp chí toán học uy quan đến chủ đề này, có thể kể đến nhiều công trình lớn và tiêu biểu như 8 in Liên

1

Gin diy, mot phương pháp đánh giá tính chính quy nghiệm thông qua đánh giá gradient toàn cục, đưới tác đông của toán tử cực đại cấp phân số được nhiều này có nguồn gốc từ kỹ thuật sử dụng bắt đẳng thức dang good-A của N.C Phue

BỊ Ị Q.H Nguyen [7], M.P Tran [TT|, Nhãn thấy phương pháp này có thể khảo sắt khá hiệu quả các tính chất về tính chính quy nghiệm của phương trình bài toán tiệm cân hai pha’

Đỉnh hướng của chúng tôi là tiếp tục vận dụng và cải tiến kỹ thuật trên

để chứng mình bất đẳng thức hàm phân phối cho một lớp bài toán cllipic tựa tuyển tính, gần với toán tử p = ø-Laplace Bài toán chúng tôi quan tâm được đưa ra trong nghiên cứu của 8 Liang lồ]

Phương pháp chính chúng tôi sử dụng trong đề tài này là kỹ thuật good-A

và bất đẳng thức liên quan đến hàm phân phối Việc xây đựng bất đẳng thức sood-À dựa trên một bổ đề Œehrins fl], com được goi là phân tích Calderén- trong, Một là bát đẳng thức Höldor ngược cho nghiệm của phương trình thuần trình thuần nhất và nghiêm của bài toán ban đầu

Cầu trúc của khóa luận

Khóa luận được Hình bày theo ba chương

« Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ

lak - Orliez -

và hàm phân nhấc lại một vài kiến thức cơ bản như khong gian Musi

sẽ trình bày kết quả chính của khóa luận là chứng minh bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toin (15) thong qua bổ đề phủ Vitali Ben cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày một hệ quả của bất đẳng thức này, đó là đánh

gi gradient trong không gian Lorentz

Chuong 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Giới thiệu bài toán

Cho @ là một tập mỡ trong R® với w > 2 Cho hai hằng số 1 < p < ø và + € CI,R*), tà ký hiệu các him 1,4 O<R" > R* VAG: xR xRY > Rt xác định bai

{B(r.vi) — B(x,y2),y1 — y2) = CP(x, y1, 92), q1) (Bi) s00) 3 CHÍ (z.w) (1.1.2)

và tôn tai hằng số / € [1.se) sao cho

I@fz,v)| < 1l" + a(ø) bị") 14) Một mô hình cho toán tử Ø là B(z,) = ul? + a2)

Trong khóa luân này, ta xót bài toán sau

divA (x, Vu) =divG(x,F) trong 9, and w =0 trên an, (1.1.5)

dory A: x R® + R° tiem cân tuyến tính với B, tite Ia tổn tại một hàm không âm, bị chan déu = : 0,0) + (0,0) suo cho

trong đó hàm Carathé

Tig 20) $6 and |A(s,y) = B()| < s (li) Kíx.v) (16)

4

Ko (6) > 1 thỏa mãn

A(z, Yu) = Bứ, Su)|

[Wul > Ko = IV T+a()|VnlffrT+ < Đổ trong 0, : : TẾ 8 (1.1.7) 117 1⁄2 Không gian Musielak - Orlicz - Sobolev Định nghĩa 1.2.1 (Không gian Musielak - Orlicz) Cho 9B" la mot thắc

me ƒ)j4r< +»

hông gian Musielak — Orliez EP (f) là không gian ueelø nhỏ nhất chứa ” (f)

tà được trang bị chuẩn uczembiy

Ile, -mẮc ¬ Lal: HE) a < )

Định nghĩa 1.2.2 (Không gian Musielak — Orlicz — Sobolev) Khang gian Afusielak — Orlicz - Soholen MP! (Q) là tap hợp các hàm ƒ € LH (Q) thỏa đạo hầm yéu |VV| Eh (0), tới chuẩn được zác đình hỏi

“Tham khảo chứng minh trong

Tam ý rằng nghiệm của bài toán

) được hiểu là nghiêm yếu và dưới các điều kiên đã cho thì nghiệm yến sẽ thuộc không gian Musielak - Orlicz Sobolev

1.3 Toán tử cực đại cấp phân số

'Với mỗi a € (0n), ƒ € Lệ: (RP), z € R”, toán tử cực đại cấp phân số Af, được

AM được gọi là toán tử cực đại Hardy-Littlewood Khí không có gì nhằm lần, ta

kí hiệu (M,ƒ > AJ thay cho {z € R”: Af,ƒ (2) > A} Saw đây là tính chất quan trọng của toán tử trôn

Bé dé 1.3.1 Vi mois > 1, vi moi a € [0;3), tin toi hằng số C > 0 sao cho

di moi f € L*(IR"), vdi moi A> 0, ta cd

[Mat > aise} [ors

Cách chứng mình của mệnh đẻ ta có thể tham khảo trong [TT]

1.4 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.4.1 Cho 9 là tập mở, bi chan trong RE" tà hàn ƒ đo được tên

9 Ham phân phối dự : l0,ae) — [I,se) của ƒ được định nghĩa đưới dang 4/0) = | €9: |/@) > AY AZO

tà hàm phân phối địa phương đự(K,) của ƒ trén tap K được định nghĩa bởi 4/(Ñ,Ä)= | £ Knf:|/)| > AIA>0

“tông trường hợp Œ C K, rõ tầng đ/(A) = d/(9,À)

1.5 Không gian Lorentz

Định nghĩa 1.5.1 Cho hai tham số 0< š < se, 0< < se Không gian Earenfz 1°*{0) là tập hợp tắt cũ các hàm ƒ do duoc Lebesgue trên f sno cho |ƒ my <

6

Để thấy không gian Lorentz chính là mở rông của không gian Lebesgue, vi khi

== p thi không gian Lorentz sẽ trở thành không gian Lebesgue 1? (2)

Tu ý rằng ánh xa ly chỉ

tam giác trong trường hợp tổng quát là tựa chuẩn, không thỏa mãn bất đẳng thức

Chuong 2

Các kết quả về đánh giá so sánh

g nay số tập trung trình bày kết quả dánh giá so sánh nghiệm của bài với nghiệm của phương trình thuần nhất Cu thể, tôi sẽ trình bày chứng minh đánh giá so sánh với nghiém phương trình thuần nhất đánh giá toàn cục và nên lại bắt đẳng thức Reverse Holder

Bất đẳng thức này được tiết dưới dạng tích phân như sau

[versie s (/ se) ([eots)'

Bắt đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Höler

Bổ đề 2.1.2 Chop, 7€ (1,20) thda man

Hỏi < l7 +ø bị

Bất đẳng thức trên thường được biết đến với tên goi bất đẳng thức Young, và

có thể được sử dụng cho mọi a, là số thực, hàm số hay tích phân

Bổ đề 3.1.3 Với mọi ác E|D,<) và 0, ta có

amin {1,279} (07 +7) < (2+) < max {1,278} (a +0")

yếu của lài toán sau

aivB (x, Ve) = divG (xP) trong Bry, vv =u brn OBsy 621)

Với mọi hằng 66 Ky > 1 thỏa mãn

H(aVeyde Cf (B(e,V0), Vode

Ja =C_ (BuiS9),Sedrt Ê (G628).Sv= Sadr

sof, (Wo?! 40 (2) [ol [Wal ar + of (JEP + 0G) FFM) (IVa + IWel) dr Chọn

inks s00 ho Cer +62) < 4 ta suy rà

1 He, vod sof Hee, voursef H (0, P) de b R (2.25)

Goi 71a mot md rong của ơ trong 9, tức là = ơ trong f và = u tường Ø8 Đặt Su = ø € HH," (8y), khi đồ từ

Vu — Vol? = [Vu — VoF[Vu— vor?

< €a|Vu = VI (|u| + |Val)P"2

[Vu — Vol? = [Vu] + [Vo)) ” [Vu — ViI2(Vul + [VoIP ?]

€ C(|Vul? + Vol?) * [Vu — Vor Wu + [Vop? 2]?

$ Coy (|Vuf’ + [Vu — Vel?) + Cz, [Vu — Vol?(|Vu] + [Ve)? 2]

“Từ cả hai trường hop, ta thu được bắt đẳng thức sau

[Vu — Vol? < Ces (|Vul? + [Vu — Vol”) + Ce, [IVa — Vel? Vu) + [Vel)? 2]

Hoàn toàn tương tự, ta chứng mình được

IV, — Vulf < Cai ([Vulf+ |Velf) + Ca, [IY& = VSÌ (|Vu| + |Vsl)#?]

2((Vul) K(x, Vu) < fel mq ([VaP™! + a(x) (Yul! +1)

_ H»,cs<nIst)5460 [Vu +a (2) |Vul) [Vu — Vol de

<Cứi LỆ HHớiS0)1 He Pu Vo) de

{is <c( worse)

<o(f, mavou) re(f mera)

ta thu được đánh giá sau five Vojde < CÍn tổ yf H (a, Ju) +H (2, Vu Volar

5 > O dit nhd vA Ky > 1 dit Ién sao cho

Bé dé 2

Tin tai hing số Ở > 0 vi m > 0 sao cho wi mote € (0:1), ta ef { 10Ve= W6) < Nữ, V9) dr +Cc wf H (x, Pde

Chứng mình Do là nghiệm yến của bài toán

bài toán tiên thro định nghĩa nghiệm yếu

} va là nghiệm yếu của moi y € Wy (Bsr), ta có

f wosovau=f ors 03 mm ` easy

2

Goi w la mot md rong cia w trong f, tức là TP = t trong f vi T= v trong

Vy Chọn p= 0 = € WH" (ay), thay vào

{ (B(,Vu) ñ - B(x, Ve) ve Su) f (Clx.P), Wo bo, — Vu) de

Voi moi ey € (0.0), đánh gi tương tự như @ ĐT) trong Bồ đề|E21] ta được

f Meowe-vmarseaf Weavades caf M(x vo-Ve)de

ca f ota.vn dude 5

Với mỗi = € (0,1), chọn e¡ € (0,1) đủ nhỏ sao cho Cay < § < $, hay «1 < gp, ta

{, ta tá Ale, Vo, Vu)

Bé dé 2

3 Voi gid tht twong te nbut Ba dé

{te , Sa <cƑ meedeeecn( Hai) , )

caf, movurderea(f meta)’

H(0,Ve)de 4 can f H (2, Pyde

5 Nb caf, mevnaren(f mare) seaf monrodscan(f morte)’

(0,1), chọn e1, 22 dit nbd sao cho =) +

Bổ đề 3.3.4 Với các giá thiết tướng tự Bồ đẻ

{ue sau <c( Em ứ Fae)’

2 Voi moi rg € 2 var € (0; Rp], nếu |V 1 B, (zo)| > £ |, (rạ)| thà AB, (zạ) C W

Kha dé tén tại C > 0 sao cho |V| < Cc |WV|

được thực hiện qua nhiều bước

Vise chứng mình bắt đẳng thức him phan pl

được chia thành các bổ đề nhỏ, lần lượt chứng minh các bước của định lý 3.2 Một số ước lượng trên hàm phân phối

Bổ đề 3.2.1 Chó a € Í0,n), n > L— 2 nà R >0, Khi đó lồn lại b > 0 sao cho

tới e >0 đủ nhỏ và À > 1, nếu {My (,F) < cPA} Z Ø thà 2w,m se (*A) < zIBạ (0|

lề 3.2.2 Cho a € (0,n) va x2 € Boy (x0) $a0 cho MyH (x2, Vu) < À, tới mọi

A >1, Nhi đố vdi mova > 1-2, wi mois >0 dit nhéd, ta có

ưu so (Bo £”Đ) € đưyn sụ (B £ 9A)

Chứng mình Từ định nghĩa của toán tử A„, ta thấy với mọi € f1, ta có Mall (y, Vu) = max (MSH (y, Pu), TL (y Pu)}

Say ra

ưng sọ (E.C®A) € duy so (Ba£ˆ®A) + gui co (BA) (833)

Mặt khác, lấy tùy ý y€ B,, với mọi t > + va z € By(y), ta có onl

“Thay vào ta thu được Bổ d

Bồ đề 3.2.8 Cho a € [0.n), 0 > 1-2 tà các giả thiết tướng tự Bổ

dé lần lại b > 0 sao cho vidi e > 0 đủ nhỏ tà À > 1, nếu lồn tại zị, rà € B, (xu) sao cho M,Hf (sị, Vu) < À tà Mạ (xạ, F) < zHA thì

Ms (nog! 600) <€ [5 (ang 6.0»— We) +6 (xy (,¥e)]

do đồ tồn tại C > 0 để

kiện thứ hai của Bổ đồ

3.4 Đánh gid gradient trong khong gian Lorentz

Bắt đẳng thức hàm phân phối có thổ được áp dụng để chứng mình đánh giá gradient cho bài toán trong các không gian khác nhau, từ đó thu được kết quả về tính chính quy nghiệm Trong phẫn này, chúng tôi sẽ trình bày đánh

si gradient cho bài toán (L5) trong không gian Lorentz,

[MoH (Pullen SC (Moll PMs) +2) Chứng mình Ta sẽ chứng mình Định |

Và 0< < s, trường hợp £ — se được chứng mình tương tự, Do 0 < s <

tồn tai a > Oso cho 1-4 <a< 1 Theo Định lý

tong trường hợp 0 < s < tổn tại b > 0, sao cho

với e >0 đủ nhỏ và À > 1 thì

atte 8 (€ *A) < Cedu.e.su VÀ) + đưa gó.rị (8A) 641)