Các định lý hàm khả vi với bất đẳng thức và một số đánh giá tiệm cận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TOẢN CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TOẢN CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - 2015 Mục lục Lời cam đoan Mở đầu Các định lí hàm khả vi bất đẳng thức 1.1 Đạo hàm, đạo hàm cấp cao hàm biến tính chất 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các tính chất đạo hàm đạo hàm cấp cao Các định lí hàm khả vi 1.2.1 Định lí Fermat 1.2.2 Các định lý Cauchy, Lagrange, Rolle, Taylor 1.2.3 Một số hệ định lý Rolle 1.2.4 Liên hệ tính đơn điệu, tính lồi, lõm với đạo hàm 1.2 1.3 Đạo hàm riêng, cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số hai biến số miền đóng bị chặn 1.3.1 Đạo hàm riêng cấp đạo hàm riêng cấp cao 1.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến Giá trị lớn bé hàm số hai biến số miền đóng bị chặn 11 1.4 Các ví dụ áp dụng 13 1.4.1 Các ví dụ sử dụng mối liên hệ đạo hàm với tính đơn điệu cực trị 13 i 1.4.2 Các ví dụ sử dụng mối liên hệ đạo hàm cấp hai tính lồi, lõm hàm số 21 1.4.3 Các ví dụ sử dụng định lý Rolle, Lagrange, Taylor 23 1.4.4 Các ví dụ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé hàm số hai biến số miền đóng bị chặn 28 Đánh giá tiệm cận lớp dãy số 35 2.1 Khái niệm tiệm cận dãy số 35 2.2 Một số định lý đánh giá tiệm cận 36 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 55 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn trung thực, số liệu kết nghiên cứu không trùng lặp với đề tài khác Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015 Học viên Nguyễn Văn Toản Mở đầu Trong luận văn “Các định lý hàm khả vi với bất đẳng thức số đánh giá tiệm cận” tác giả vận dụng tính chất hàm khả vi biến nhiều biến để trình bày chứng minh số bất đẳng thức; bất đẳng thức chứng minh phương pháp khác tài liệu tham khảo Các ví dụ chứng tỏ định lý hàm khả vi công cụ mạnh chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức chứa số biến nhỏ Trong luận văn có trình bày chứng minh số bất đẳng thức khó (ví dụ bất đẳng thức NewtonMaclaurin, bất đẳng thức Ví dụ 1.24 Chương 1) dựa việc sử dụng định lý giá trị trung gian hàm khả vi biến lý thuyết cực trị có điều kiện hàm nhiều biến Đánh giá tiệm cận dãy chủ đề khó nhiều người quan tâm lý thuyết dãy chuỗi số Trong luận văn tác giả trình bày chứng minh số định lý đánh giá tiệm cận lớp dãy xác định cơng thức truy tốn dựa khai triển Maclaurin hàm số biến đưa ví dụ minh họa Một số ví dụ minh họa toán gặp tài liệu chủ đề thi Olympic Toán sinh viên tài liệu nâng cao Giải tích tốn học Bản luận văn “Các định lý hàm khả vi với bất đẳng thức số đánh giá tiệm cận” gồm Lời nói đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo • Chương Các định lý hàm khả vi bất đẳng thức • Chương Đánh giá tiệm cận lớp dãy số Trong Chương tác giả tóm tắt kiện lý thuyết hàm khả vi biến, toán cực trị có điều kiện hàm hai biến, hàm ba biến với ràng buộc, tốn tìm giá trị bé lớn hàm hai biến khả vi miến phẳng đóng, bị chặn Các bất đẳng thức Ví dụ 1.1 - 1.12 Chương chủ yếu chứng minh dựa mối liên hệ tính đơn điệu hàm số với dấu đạo hàm cấp hàm biến, Ví dụ 1.13 - 1.16 trình bày chứng minh bất đẳng thức dựa mối liên hệ tính lồi, lõm dấu đạo hàm cấp hai hàm biến, Ví dụ 1.17 - 1.22 trình bày chứng minh bất đẳng thức dựa định lý giá trị trung gian hàm khả vi, Ví dụ 1.22 - 1.25 trình bày chứng minh bất đẳng thức nhờ phương pháp nhân tử Lagrange để giải tốn cực trị có điều kiện phương pháp tìm giá trị bé lớn hàm hai biến khả vi miến phẳng đóng, bị chặn Chương định nghĩa khái niệm đánh giá tiệm cận chứng minh số định lý đánh giá tiệm cận lớp dãy số dương xác định cơng thức truy tốn dạng xn+1 = f (xn ) khẳng định liên quan Các kết chủ yếu chương Định lý 2.1, Hệ 2.1, Định lý 2.2, Định lý 2.3, Hệ 2.2, Định lý 2.4 Các ví dụ áp dụng chủ yếu đưa Mục 2.2.3 2.2.7 Danh mục tài liệu tham khảo gồm 05 tài liệu Để hoàn thành luận văn tác giả nhận giúp đỡ Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng ban chức thuộc Đại học Thái Nguyên, nhà toán học thuộc Viện Toán học Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Thầy hướng dẫn, TS Hoàng Văn Hùng - Viện Khoa học Cơ - Đại học Hàng Hải Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến tất Thầy Cơ, nhân viên phịng ban chức nói mong nhận ý kiến đóng góp từ phía luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Nguyễn Văn Toản Học viên Cao học Toán lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Chương Các định lí hàm khả vi bất đẳng thức 1.1 1.1.1 Đạo hàm, đạo hàm cấp cao hàm biến tính chất Các định nghĩa Cho f (x) hàm số với tập xác định D ⊂ R x0 điểm D Giới hạn (nếu có) f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 lim gọi đạo hàm hàm f (x) x0 , ký hiệu f (x0 ) Nếu thay giới hạn xét giới hạn trái (tương ứng, phải) x0 ta có khái niệm đạo hàm trái (tương ứng, phải) x0 , ký hiệu f−0 (x0 ) (tương ứng, f+0 (x0 ) Hàm số có đạo hàm (tương ứng, đạo hàm trái, phải) x gọi hàm khả vi (tương ứng, khả vi trái, phải) x Nếu f (x) có đạo hàm x ∈ D1 ⊂ D hàm số D1 x 7→ f (x) ∈ R gọi đạo hàm hàm f (x) miền D1 Đạo hàm hàm số f (x) (nếu có) điểm x0 ∈ D1 gọi đạo hàm cấp hai f (x) x0 , ký hiệu f 00 (x0 ) Nếu f 00 (x0 ) tồn với x ∈ D2 ⊂ D hàm số D2 x 7→ f 00 (x) ∈ R gọi đạo hàm cấp hai hàm số f (x) miền D2 Tổng quát, đạo hàm đạo hàm cấp k − (với k ≥ 2) f (x) điểm x tập xác định D (nếu tồn tại) gọi đạo hàm cấp k f (x) x, ký hiệu f (k) (x) Nếu f (k) (x) tồn tại x ∈ Dk hàm số Dk x 7→ f (k) (x) ∈ R gọi đạo hàm cấp k hàm số f (x) miền Dk Hàm số có đạo hàm cấp k miền G gọi khả vi đến cấp k G Ta quy ước ký hiệu f (0) (x) hàm f (x) Nếu tổng, hiệu, tích, thương hai hàm f (x), g(x) có nghĩa lân cận điểm x tồn f (x) g (x) đạo hàm hàm x tồn ký hiệu tương ứng 0  f (x) 0 (f (x) + g(x)) , (f (x) − g(x)) , (f (x)g(x)) , g(x) 1.1.2 Các tính chất đạo hàm đạo hàm cấp cao Tính chất 1.1 Đạo hàm cấp có tính chất tuyến tính, tức hàm số f (x) g(x) có đạo hàm cấp k miền D (αf (x) + βg(x))(k) = αf (k) (x) + βg (k) (x) với số thực α, β x ∈ D Tính chất 1.2 Nếu hàm số f (x) g(x) có đạo hàm cấp n miền D đạo hàm cấp n tích f (x)g(x) tồn D (f (x)g(x)) (n) = n X Cnk f (k) (x)g (n−k) (x), Cnk = k=0 n! k!(n − k)! Tính chất 1.3 Giả sử f (x) có đạo hàm x0 f (u) có đạo hàm u0 = g(x0 ) Khi hàm hợp (f ◦ g)(x) = f (g(x)) xác định lân cận x0 có đạo hàm x0 Đạo hàm hàm f (g(x)) x0 tính theo cơng thức (f ◦ g)0 (x0 ) = f (g(x0 ))g (x0 ) Tính chất 1.4 Nếu hàm số f (x) g(x) có đạo hàm miền D g(x) 6= f (x) D hàm số có đạo hàm D g(x)  f (x) g(x) 0 = f (x)g(x) − g (x)f (x) g(x) 1.2 Các định lí hàm khả vi Mục trình bày định lý quan trọng nói tính chất hàm biến khả vi Chứng minh định lý có hầu hết giáo trình giải tích toán, chẳng hạn tài liệu [4] tác giả Jean-Marie Monier Tác giả đưa chứng minh Hệ 1.2 Định lý Rolle 1.2.1 Định lí Fermat Định nghĩa 1.1 Hàm f (x) gọi có cực đại x0 x0 điểm tập xác định tồn lân cận (x0 − δ, x0 + δ) x0 cho ∆f = f (x) − f (x0 ) ≤ với x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)\ {x0 } (1.1) Khi giá trị f (x0 ) gọi cực đại f (x) Nếu ∆f = f (x) − f (x0 ) < với x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)\ {x0 } (1.2) f (x0 ) gọi cực đại thực x0 Khái niệm cực tiểu (tương ứng, cực tiểu thực sự) x0 định nghĩa tương tự cách thay bất đẳng thức (1.1) (tương ứng, (1.2)) bất đẳng thức ∆f = f (x) − f (x0 ) ≥ với x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)\ {x0 } tương ứng, ∆f = f (x) − f (x0 ) > với x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)\ {x0 } Cực đại, cực tiểu hàm f (x) gọi chung cực trị f (x) Định lí 1.1 (Fermat) Nếu f (x) có cực trị x0 đồng thời khả vi x0 f (x0 ) = 25 Do < x < y < π ta có < tan x < tan y ⇒ tan x tan y + ≥ tan y tan x Từ bất đẳng thức (1.6) suy tan x tan y tan x tan y + − ≥ (x − y)2 ⇔ + ≥ + (x − y)2 tan y tan x tan y tan x Ví dụ 1.18 Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh r r (ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≥ (abc + abd + acd + bcd) (1.7) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Newton-Maclaurin Lời giải Các hàm biến a, b, c, d hai vế bất đẳng thức (1.7) liên tục miền D = {(a, b, c, d) : a > 0, b > 0, c > 0, d > 0} nên (1.7) với số dương phân biệt a, b, c, d có số chúng trùng Vậy ta cần chứng minh bất đẳng thức (1.7) cho trường hợp a, b, c, d số dương phân biệt Đặt f (x) = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) ta suy f (x) có khơng điểm dương phân biệt Theo Hệ 1.1 ta suy đạo hàm f (x) = (x − b)(x − c)(x − d) + (x − a)(x − c)(x − d) +(x − a)(x − b)(x − d) + (x − a)(x − b)(x − c) có khơng điểm dương phân biệt Gọi không điểm α, β, γ Theo định lý Vieta ta có 3(a + b + c + d) ; ab + ac + ad + bc + bd + cd αβ + βγ + γα = ; abc + abd + bcd + cda αβγ = α+β+γ = 26 Bất đẳng thức Cauchy cho ta q αβ + βγ + γα ≥ (αβγ) ⇔ (αβ + βγ + γα)3 ≥ 27(αβγ)2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 27 ⇔ ≥ (abc + abd + bcd + cda)2 , 16 điều tương đương với r r (ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≥ (abc + abd + acd + bcd) Nhận xét 1.5 Bài toán bất đẳng thức thứ 17 danh sách bất đẳng thức mang tên nhà toán học [3] Ví dụ 1.19 (xem [5, Bài tốn 2.10, Chương 7]) Cho f (x) hàm có đạo hàm đến cấp hai R Đặt M0 = sup |f (x)| , M1 = sup |f (x)| , M2 = sup |f (x)| x∈R Chứng minh M1 ≤ x∈R √ x∈R 2M0 M2 Lời giải Nếu max(M0 , M2 ) = +∞ M0 > bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Giả sử max(M0 , M2 ) < +∞ Ta có đồng thức f (x) = 2h Zh (f (x) − f (x + t))dt + f (x + h) − f (x − h) , 2h với h > (1.8) −h Theo định lý Lagrange, ta có |f (x) − f (x + t)| = |−f 00 (c)t| = |f 00 (c)| |t| ≤ M2 |t| Theo định nghĩa M0 ta có |f (x + h) − f (x − h)| ≤ 2M0 Do từ (1.8) ta có đánh giá  h  Z  hM2 M0 |f (x)| ≤ M2 |t|dt + 2M0  = + , 2h h −h với x ∈ R, h > 27 Từ suy với x ∈ R ta có   p hM2 M0 |f (x)| ≤ inf + : h > = 2M0 M2 h Vậy M1 = sup {|f (x)| : x ∈ R} ≤ p 2M0 M2 Ví dụ 1.20 (xem [5, Bài toán 2.9, Chương 7]) Cho f (x) hàm có đạo hàm đến cấp n (với n ≥ 2) khoảng (a, b) ⊃ [0, 1] f (k) (0) = f (k) (1) = với k = 1, , n − Chứng minh tồn x ∈ (0, 1) cho (n) f (x) ≥ n!2n−1 |f (0) − f (1)|
Lời giải Áp dụng công thức Taylor ta suy tồn điểm c1 ∈ 0, 21 , c2 ∈ 2,
cho có biểu diễn   1 f (n−1) (0) f (n) (c1 ) f = f (0) + f (0) + + + , 2 (n − 1)! 2n−1 n! 2n   n−1 n f (n−1) (1) (−1) f (n) (c2 ) (−1) = f (1) − f (1) + + f + 2 (n − 1)! 2n−1 n! 2n Từ giả thiết f (k) (0) = f (k) (1) = với k = 1, , n − hai đẳng thức ta suy n f (n) (c1 ) (−1) f (n) (c2 ) ( − ) = f (1) − f (0) 2n n! n! điều kéo theo (n)