Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm logarit

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N NGÅC QUY˜N NG THÙC V€ B‡T NG THÙC TRONG LỴP H€M LOGARIT LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N NGÅC QUY˜N NG THÙC V€ B‡T NG THÙC TRONG LẻP HM LOGARIT Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M¢ sè: 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH Nguyạn Vôn Mªu THI NGUY–N - 2020 i Mưc lưc MÐ †U Chữỡng Mởt số kián thực liản quan án hm logarit 1.1 Mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cõa h m logarit 1.2 °c tr÷ng cõa h m tuƯn hon nhƠn tẵnh 1.2.1 Hm tuƯn hon nhƠn t½nh 1.2.2 H m ph£n tuƯn hon nhƠn tẵnh 1.2.3 CĂc bi toĂn liản quan án hm tuƯn hon nhƠn tẵnh 1.3 Mët số nh lẵ liản quan án lợp hm lỗi v hm lỗi logarit Chữỡng ng thực v phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit 14 2.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy dÔng logarit 14 2.2 Phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit 22 2.3 Hằ phữỡng trẳnh logarit 34 2.3.1 Ph²p chuyºn v· h» Ôi số 34 2.3.2 Sû dưng t½nh ìn i»u cõa h m sè 36 Ch÷ìng BĐt ng thực lợp hm logarit 3.1 3.2 38 CĂc dÔng toĂn ữợc lữủng v bĐt ng thực logarit 38 38 3.1.1 BĐt ng thực hm logarit 3.1.2 Phữỡng phĂp gi£i b§t ¯ng thùc chùa logarit 44 51 3.2.1 B i to¡n cỹc tr liản quan án hm logarit 51 3.2.2 BĐt ng thực dÂy số v giợi hÔn 56 3.2.3 ng dửng hm lỗi, h m logarit chùng minh Mët sè t½nh to¡n kh¡c li¶n quan c¡c b§t ¯ng thùc Kát luên 60 66 M Ưu BĐt ¯ng thùc câ tr½ °c bi»t quan trång to¡n håc v  l  mët bë phªn quan trång cõa giÊi tẵch v Ôi số ng thực, bĐt ng thực lỵp h m logarit l  mët nhúng nëi dung cỡ bÊn v quan trồng cừa chữỡng trẳnh toĂn bêc trung hồc phờ thổng Chuyản à nơm chữỡng trẳnh bỗi dữùng HSG cĂc lợp THPT phửc vử cĂc ký thi HSG quèc gia v  khu vüc °c bi»t, cĂc kẳ thi hồc sinh giọi toĂn cĂc cĐp, cĂc bi toĂn liản quan tợi cĂc tẵnh chĐt cừa hm logarit thữớng xuyản ữủc à cêp Nhỳng dÔng toĂn ny thữớng ữủc xem l thuởc loÔi khõ v ỏi họi tữ duy, khÊ nông phĂn oĂn cao, song nõ lÔi luổn cõ sực hĐp dăn, thu hút sỹ tẳm tỏi, õc sĂng tÔo cừa hồc sinh  Ăp ựng nhu cƯu bỗi dữùng giĂo viản v bỗi dữùng hồc sinh giäi v· chuy¶n · h m logarit, tỉi chån · ti luên vôn "ng thực v bĐt ng thực lợp hm logarit" Tiáp theo, khÊo sĂt mởt số lợp b i to¡n tø c¡c · thi HSG Quèc gia v  cĂc tnh thnh cÊ nữợc nhỳng nôm gƯn Ơy CĐu trúc luên vôn gỗm ba chữỡng v phƯn m Ưu, kát luên Chữỡng Mởt số kián thực liản quan án hm logarit Trong chữỡng ny tĂc giÊ trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm logarit, c trững cừa hm tuƯn hon nhƠn tẵnh v mởt số nh lẵ liản quan án lợp hm lỗi v hm lỗi logarit Chữỡng Trẳnh by và ng thực logarit lợp hm số chuyn ời cĂc Ôi lữủng trung b¼nh thỉng qua mët sè b i to¡n, sû dưng phữỡng trẳnh hm Cauchy  giÊi phữỡng trẳnh hm Cauchy dÔng logarit Cuối chữỡng dnh  trẳnh by cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit vợi cĂc vẵ dử tữỡng ựng Chữỡng BĐt ng thực lợp hm logarit Chữỡng ny trẳnh by và bĐt ng thực hm logarit v phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thùc chùa logarit thỉng qua c¡c v½ dư cư thº Ngo i cán tr¼nh b y c¡c ùng dưng cõa c¡c ành l½ º gi£i c¡c b i to¡n cüc trà h m logarit cụng nhữ cĂc bi toĂn tẳm giợi hÔn v ựng dửng hm lỗi, hm logarit chựng minh mởt lợp cĂc bĐt ng thực kinh in Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa GiĂo sữ, Tián sắ khoa hồc Nguyạn Vôn Mêu TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi ThƯy, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, v truyÃn Ôt kián thực, kinh nghiằm nghiản cựu cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn TĂc giÊ cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy, giúp ù v tÔo iÃu kiằn cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp tÔi Trữớng ỗng thới, tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh v bÔn b ỗng nghiằp  luổn giúp ù v ởng viản tổi quĂ trẳnh hon thnh luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng 03 nôm 2020 TĂc giÊ Nguyạn Ngồc Quyán Chữỡng Mởt số kián thực liản quan án hm logarit Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm logarit; c trững cừa hm tuƯn hon nhƠn tẵnh v mởt số nh lẵ liản quan án lợp hm lỗi v hm lỗi logarit CĂc kát quÊ chẵnh cừa chữỡng ữủc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2] 1.1 Mët sè tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm logarit nh nghắa 1.1 a > 0, a 6= f (x) = loga x Cho h m sè logarit Khi â h m sè ữủc a log x x Tứ nh nghắa ny ta suy ra: loga a = 1, loga = 0, x = a a , x = loga a gồi l cỡ số Trong cĂc phƯn tiáp theo, ta gi£ sû Nhªn x²t 1.1 D = (0; +∞) i) H m sè logarit câ tªp x¡c ành ii) H m sè f (x) = loga x f (x) = loga x (T½nh ìn i»u) ln a > a>1 x ln a a > n¶n suy f (x) = loga x < a < thẳ - Trữớng hủp 2: hỡn nỳa Ta khÊo sĂt t½nh ìn i»u cõa h m sè f (x) = (loga x)0 = Vªy, I = R x > 0, tr÷íng hđp - Tr÷íng hđp 1: Khi õ, v têp giĂ tr liản tửc v cõ Ôo hm vợi mồi f (x) = Tẵnh chĐt 1.1 < a 6= 1 > 0, ∀x > x ln a l hm ỗng bián trản D Trong tr÷íng hđp n y loga x f (x) < 0, x D Vêy, 0 0, (Tẵnh lỗi, lóm) X²t h m sè ta câ f (x) = (loga x)0 = f 00 (x) = - N¸u - N¸u −1 x2 ln a , x ln a a > tùc ln a > th¼ y 00 < suy h m sè lãm tr¶n (0; +∞) < a < tùc ln a < th¼ y 00 > suy h m sè lỗi trản (0; +) Tẵnh chĐt 1.3 Vợi mồi a > 0, a 6= v Tẵnh chĐt 1.4 Vợi måi a > 0, a 6= v  x1 , x2 ∈ (0; +∞), ta câ x1 loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 , loga = loga x1 − loga x2 x2 loga xα = loga x, loga x = Tẵnh chĐt 1.5 Vợi mồi x > Vỵi måi < a 6= 1, b 6= v  x > 0, < a 6= 1, < c 6= loga x = Tẵnh chĐt 1.7 Hm số Tẵnh chĐt 1.8 Vợi mồi α b§t ký, ta câ loga xα = α logaα x = logaα xα α loga b logb c = loga c, loga b = Tẵnh chĐt 1.6 Vỵi ta câ logb a v  x > 0, ta câ logc x logc a f (x) = loga x (0 < a 6= 1) cõ Ôo hm tÔi mồi Náu hm số u = u(x) cõ Ôo hm im x (0; +) v  (loga x) = x ln a tr¶n kho£ng J ∈ R th¼ h m sè y = loga u(x), (0 < a 6= 1) cõ Ôo hm trản u0 (x) J v  (loga u(x)) = u(x) ln a i) Khi ii) Khi a>1 th¼ a > 0, a 6= v  x1 , x2 ∈ (0; +∞), loga x1 < loga x2 ⇔ x1 < x2 0 1) H m sè M trản náu f (x) ữủc gồi M D(f ) v l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ∀x ∈ M suy a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M V½ dư 1.1 f (x) = sin(2π log2 x) Khi â f (x) l  h m tu¦n ho n + + ±1 + ký trản R Thêt vêy, ta cõ x R thẳ x R v Xt nhƠn tẵnh chu f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π(1 + log2 x)) = sin(2 log2 x) = f (x) Tẵnh chĐt 1.9 Náu ký tữỡng ựng l a f (x) v b v trản g(x) M v l hai hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ln |a| m = , m, n ∈ N∗ ln |b| n th¼ F (x) = f (x) + g(x) v  G(x) = f (x).g(x) l  cĂc hm tuƯn hon nhƠn tẵnh trản M Chựng minh ln |a| m n m = suy |a| = |b| ln |b| n cõa F (x) v  G(x) Thêt vêy, ta Tứ giÊ thiát T := a2n = b2m l  chu ký Ta chùng minh câ F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ; G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M ∀x ∈ M, T x M tẵnh trản M Hỡn nỳa, nhƠn Tẵnh chĐt 1.10 trản trản R thẳ R+ Do â, F (x), G(x) l  c¡c h m tu¦n hon f (x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký a, a > g(t) = f (ln t), (t > 0) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký ea Náu f (x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a (a > 1) g(t) = f (et ) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký ln a trản R Ngữủc lÔi, náu R+ thẳ Chựng minh GiÊ sỷ f (x) l hm tuƯn trản R X²t g(t) = f (ln t), (t > 0) hon cởng tẵnh chu ký trản a, a > Ta câ g(ea t) = f (ln(ea t)) = f (ln ea + ln t) = f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), ∀t ∈ R+ Vêy g(t) Ngữủc (0 l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký lÔi, giÊ sỷ f (x) l < a 6= 1) tr¶n R+ t X²t g(t) = f (e ), t R hm tuƯn ea trản hon R+ nhƠn tẵnh chu ký a Ta cõ g(t + ln a) = f (et+ln a ) = f (et eln a ) = f (aet ) = f (et ) = g(t), ∀t ∈ R Vªy g(t) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký ln a trản R 1.2.2 Hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh nh nghắa 1.3 chu ký f (x) ữủc gồi l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh a (a > 1) trản M n¸u M ⊂ D(f ) v   ∀x ∈ M suy a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M V½ dư 1.2 H m sè f (x) = cos(π log2 x) Khi â f (x) l hm phÊn tuƯn hon + ký trản R Xt nhƠn tẵnh chu Thêt vêy, ta cõ x ∈ R+ th¼ f (2x) = cos(π log2 (2x)) = cos(π+π log2 x) = − cos(π log2 x) = −f (x), ∀x ∈ R+ V½ dư 1.3 √ [sin(2π log2 ( 2x)) − sin(2π log2 x)] √ f (x) l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký trản R+ + + Thêt vêy, ta cõ x R thẳ ( 2) x ∈ R v  √ √ f ( 2x) = [sin(2π log2 (2x)) − sin(2π log2 ( 2x))] X²t f (x) = Khi â √ = [sin(2π(1 + log2 x)) − sin(2π log2 ( 2x))] √ = [sin(2π log2 x) − sin(2π log2 ( 2x))] = f (x) Tẵnh chĐt 1.11 Mồi hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh trản tuƯn hon nhƠn tẵnh trản Chùng minh M ·u l  h m M Theo gi£ thi¸t tỗn tÔi b > cho x M th¼ b±1 ∈ M v  f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ra, ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v  f (b2 x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Nhữ vêy, f (x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký Tẵnh chĐt 1.12 f (x) trản M v  ch¿ b2 tr¶n M l  h m ph£n tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký f (x) b (b > 1) cõ dÔng: f (x) = (g(bx) g(x)), õ, g(x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký b2 trản M Chựng minh (i) GiÊ sỷ f l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký b tr¶n M Khi â g(x) = −f (x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký b2 tr¶n M v  (ii) 1 (g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x))) 2 = (−(−f (x)) + f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Ngữủc lÔi, f (x) = (g(bx) g(x)), th¼ 1 f (bx) = (g(b2 x) − g(bx)) = (g(x) − g(bx)) 2 = − (g(bx) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M x M trản M Hỡn nỳa, nhƠn tẵnh th¼ b±1 x ∈ M Do â, f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n 53 Suy s    23 2 S≥3 =3 3 D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ cõa S x=y=z=   23 l Vẵ dử 3.20 Vêy giĂ tr nhọ nhĐt Chựng minh rơng + x ln(x + + x2 ) ≥ √ + x2 , ∀x, y ∈ R Líi gi£i X²t h m sè f (t) = ln(t + Rã r ng f (t) > vỵi √ + t2 ) > 0, ∀x ∈ R+ t > v  f (t) = t = Khi Z x √ ln(t + + t2 )dt > â, vỵi 0 + x2 + > thẳ ln(t + nản 1+ x t2 ) x < 0, √ + t2 ) = − ln(−t + √ + t2 ) < 0, ta câ Z ln(t + √ + t2 )dx < x Vợi x = bĐt ¯ng thùc trð th nh ¯ng thùc Suy i·u ph£i chựng minh Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử và phữỡng phĂp tẵch phƠn bĐt ng thực logarit Ta thữớng dũng kát quÊ sau Ơy 54 nh lỵ 3.3 Cho h m sè y = f (x) li¶n tưc, khổng Ơm, ỡn iằu tông trản [0, c) vợi c > Gåi f −1 (x) l  h m ng÷đc cõa nâ Khi â, vỵi måi a ∈ [0, c) v  b ∈ [f (0), f (c)) ta câ Z a Z b f (x)dx + f −1 (x)dx ≥ ab f (0) D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ b = f (a) V½ dư 3.21 f (x) liản tửc v ỗng bián trản [0; b] v a ∈ [0; b] Cho h m sè Chùng minh r¬ng a Z f (x)dx ≥ a b Z f (x)dx Lới giÊi b BĐt ng thực trản tữỡng ữỡng vợi (b a) Z a f (x)dx ≥ a Do f (x) Z b f (x)dx a [a; b] n¶n Z a Z a (b − a) f (x)dx ≥ (b − a) f (a)dx = (b − a)a.f (a) 0 Z b Z b =a f (a)dx a f (x)dx nghch bián trản [0; a] v a Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh V½ dư 3.22 Líi gi£i Cho < a < b a−b a a−b < ln < a b b 1 > > n¶n a x b Z b Z b Z b dx dx > > dx, a a b a a x Ta cõ nhên xt: vợi mồi hay Vêy Chựng minh rơng a (a, b) thẳ b ba ba > ln |x| a > a b b−a b b−a > ln > a a b a 55 Vẵ dử 3.23 Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt cừa biu thùc f (x) = (3 + ln 2)x − 2x+1 − ln 2.x2 , x ∈ [0; 2] Líi gi£i Ta câ g(t) = 2t + t l  hm liản tửc v ỗng bián trản [0; 2], nản theo v½ dư 3.21, ta câ Z x Z t (2 + t)dt ≤ x (2t + t)dt 0 t   t  x t t2 2 ⇔2 + + ≤x ln 2 ln 2 4x x 2x+1 + x2 − ≤ + 2x − ⇔ ln ln ln ln x+1 ⇔2 + x ln − ≤ 4x + 2x ln − x ⇔ (3 + ln 2)x − 2x+1 − ln 2.x2 ≥ −2 Vªy gi¡ trà nhä nhĐt cừa Vẵ dử 3.24 f (x) = [0, 2], −2 x = 0, x = √ √ √ √ 2x5 − x[4 − ln(1 + 2)] − ln(1 + x), x ∈ [0, 2] bơng Tẳm giĂ tr lợn nhĐt cõa h m sè Líi gi£i Ta th§y f (x) g(t) = −t4 + t+1 l  h m li¶n tưc v  nghch bián vợi mồi õ Z x  2 1 dt ≥ x dt −t4 + −t4 + t+1 t+1 0 " √ #   √ √ x ⇔ − + ln(1 + x) ≥ x − + ln(1 + 2) 5 √ √ √ √ ⇔ − 2x5 + ln(x + 1) ≥ [−4 + ln(1 + 2)]x  Z Suy √ Vªy gi¡ trà √ √ √ 2x5 − x[4 − ln(1 + 2)] − ln(1 + x) lợn nhĐt cừa f (x) bơng x = ho°c x = V½ dử 3.25 Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt cừa biu thực e A = e b + b(ln b − 1), < b ≤ e t∈