Một phương pháp xây dựng và giải các đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác

Đại học quốc gia Hà nôi KHoa s- phạm nguyễn đức đại ph-ơng pháp xây dựng giải đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức l-ợng giác Luận văn thạc sĩ s- phạm Toán học Hà Nội - 2009 Đại học quốc gia Hà nôi KHoa s- phạm ph-ơng pháp xây dựng giải đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức l-ợng giác Luận văn thạc sĩ s- phạm Chuyên ngành: Lý luận phơng pháp dạy học môn Toán MÃ số: 601410 Học viên: Nguyễn Đức Đại Cao học ngành S- phạm Toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ L-ơng Hà Nội - 2009 MC LC Trang MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Khách thể nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài: 1.1.1 Khái niệm sáng tạo 1.1.2 Lịch sử thuật ngữ sáng tạo 1.1.3 Điều kiện cần đủ để thừa nhận sáng tạo 1.1.4 Phạm vi sử dụng khái niệm sáng tạo 1.1.5 Quá trình đáp ứng nhu cầu thúc đẩy khả sáng tạo 1.2 Tƣ sáng tạo: 1.3 Khoa học sáng tạo 1.4 Thực trạng sáng tạo học sinh giáo viên .8 1.5 Gợi ý phƣơng pháp hoạt động sáng tạo 10 1.6 Một số kỹ xây dựng toán 13 1.6.1.Sử dụng kết quảtrung gian để xây dựng toán 13 1.6.2 Sử dụngcác bất đẳngthức trung gian có điều kiện 15 1.6.3.Bài tập đề nghị 22 Kết luận chƣơng 24 Chƣơng XÂY DỰNG CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TỪ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC 25 2.1 Các kết 25 2.1.1 Kết thứ 25 2.1.2 Kết thứ hai 26 2.1.3 Kết thứ ba 27 2.1.4 Kết thứ tư 28 2.1.5 Kết thứ năm 28 2.1.6 Kết thứ sáu 28 2.2 Xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lƣợng giác 29 2.2.1 Xây dựng đẳng thức đại số từ đẳng thức lượng giác .29 2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức đại số từ bất đẳng thức lượng giác 31 Kết luận chƣơng 49 Chƣơng 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ ĐÃ XÂY DỰNG MÀ KHÔNG SỬ DỤNG CÁC KIẾN THỨC CỦA LƢỢNG GIÁC 50 3.1 Chứng minh đẳng thức đại số 50 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 51 Kết luận chƣơng 71 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 72 Kết luận 72 Khuyến nghị 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khoá VII, 1993) rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nước dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” Lĩnh vực khó sáng tạo giá trị sáng tạo đánh giá khơng cao tốn cho học sinh phổ thông Nếu hạn chế phạm vi nghiên cứu lĩnh vực bản, phổ thơng việc tìm kết khơng tưởng Chính mà nhà tốn học hướng đánh giá không thiện cảm đồng nghiệp dạy tốn phổ thơng trung học Nhưng thiếu sáng tạo hoạt động giảng dạy hiệu lại khơng cao giảng dạy cho học sinh có khiếu tốn học Xu hướng giảng dạy phổ thông trung học bao gồm: *) Tiết kiệm thời gian giảng dạy *) Xây dựng kỹ giải để học sinh hiểu giải tốn khó cách dễ dàng Những sáng tạo tốn học xu hướng đánh giá cao, khó Từ lý trên, tơi chọn đề tài “Một phương pháp xây dựng giải đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lượng giác” Lịch sử nghiên cứu Lĩnh vực sáng tạo Tốn học có nhiều đặc biệt sáng tạo cho đẳng thức bất đẳng thức lĩnh vực nhiều người quan tâm Ta kể số tác giả như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương , Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Kim Hùng, Trần Phương, Tuy nhiên chưa có tác giả xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đảng thức lượng giác Đây nguồn mà khai thác để trở thành toán hay với lời giải đẹp Có thể nói đề tài đóng góp vấn đề Mục tiêu nghiên cứu *) Nghiên cứu sở lí luận kĩ sáng tạo giải đẳng thức bất đẳng thức đại số sở đẳng thức bất đẳng thức lượng giác *) Nâng cao hiệu giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh u thích có khiếu mơn toán Khách thể nghiên cứu đối tƣợng nghiên cứu Khách thể nghiên cứu Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp luyện thi đại học 4.2 Đối tƣợng nghiên cứu Đẳng thức bất đẳng thức đại số, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác Phạm vi nghiên cứu Do hạn chế thời gian nên luận văn nghiên cứu vấn đề sau: Xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lượng giác góc tam giác góc tam giác chia hai Cịn việc xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lượng giác góc lượng giác khác nằm ngồi khn khổ đề tài Giả thuyết khoa học Sự sáng tạo người thầy toán đẳng thức bất đẳng thức đại số tảng tốn lượng giác sở, động lực cho học sinh sáng tạo toán đẳng thức bất đẳng thức nói riêng cho mơn Tốn nói chung Phƣơng pháp nghiên cứu *) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu phân tích tài liệu phương pháp hoạt động sáng tạo học sinh, chương trình sách giáo khoa Đại số, Lượng giác THCS THPT *) Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến chuyên gia đẳng thức bất đẳng thức Những đóng góp luận văn *) Góp phần thúc đẩy sáng tạo học sinh hoạt động học tập *) Đề xuất phương pháp sáng tạo đẳng thức bất đẳng thức Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm có chương: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận đề tài Chƣơng 2: Xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lƣợng giác Chƣơng 3: Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức đại số xây dựng mà không sử dụng kiến thức lƣợng giác CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài 1.1.1 Khái niệm sáng tạo Thuật ngữ “Sáng tạo” nhiều tác giả khác đề cập đến: Theo tác giả Hoàng Phê, từ điển Tiếng Việt, Sáng tạo định nghĩa là: “Tạo giá trị vật chất tinh thần, tìm mới, cách giải mới, khơng bị gị bó, phụ thuộc vào có” [7, tr.817] Theo trang Web Bách khoa tồn thư Wikipedia: “Sáng tạo trình làm phát sinh (phát hiện, phát kiến phát minh) vật tượng hữu ích, đáp ứng nhu cầu tồn phát triển người xã hội đương đại Khái niệm sáng tạo sử dụng lĩnh vực giới vật chất tinh thần” 1.1.2 Lịch sử thuật ngữ sáng tạo Thuật ngữ khoa học sáng tạo (Heuristics, Creatology hay Arsinveniendi), lần xuất cơng trình nhà toán học Papp, sống vào nửa cuối kỷ thứ III Alexandri - Hy Lạp Sau nhà toán học triết học tiếng Descartes, Leibnitz, Bernard Bolzano có nhiều cố gắng thành lập hệ thống khoa học nghiên cứu khả sáng tạo người Tuy nhiên, đến chưa có cơng trình nghiên cứu đầy đủ lực sáng tạo người ngành khoa học độc lập 1.1.3 Điều kiện cần đủ để thừa nhận sáng tạo Về thuộc tính vật Một vật lần xuất (ghi nhận) có thuộc tính (và gọi là) Người tìm vật cấp phát minh hay sáng chế Về thuộc tính hữu ích vật Hữu ích (có ích) trình vật đáp ứng nhu cầu bảo vệ phát triển chuẩn mực đời sống vật chất, tinh thần, đạo đức, văn hóa, văn minh xã hội lồi người Theo giáo sư - tiến sĩ khoa học Phan Dũng - Giám đốc Trung tâm sáng tạo KHKT thuộc ĐH Khoa học tự nhiên, khái niệm sáng tạo dùng để vật có ích cho đời sống người Do đó, vật tượng phát sinh phải thỏa mãn điều kiện thứ hai thừa nhận sáng tạo, tính hữu ích cho đời sống người văn minh nhân loại Có vật tượng mới, khơng thỏa mãn điều kiện (về tính hữu ích) khơng gọi sáng tạo, mà dùng từ "mới" để nói chúng mà thơi Như vậy, phát kiến xem sáng tạo 1.1.4 Phạm vi sử dụng khái niệm sáng tạo Sáng tạo khái niệm vô rộng lớn phạm vi sử dụng Nó khơng có giới hạn cuối sử dụng (hoặc áp dụng) tất hệ thống phân loại có văn minh nhân loại như: hệ thống đo, đếm, quy chiếu, chuẩn mực, thơng số theo tốn học, vật lý học, hóa học đến tâm lý học, xã hội học, thần học, triết học, tương lai học hay vũ trụ học Tính phổ biến khái niệm sáng tạo thể phạm vi sử dụng Ở đâu, lĩnh vực văn hóa, văn minh nhân loại, xuất vật hay tượng mới, thỏa mãn điều kiện cần đủ xem sáng tạo Theo đó, ta thấy từ sáng tạo gắn kết với nhiều khái niệm khác như: ý tưởng sáng tạo, tư sáng tạo, quan điểm sáng tạo, việc làm sáng tạo, hành động sáng tạo, công cụ sáng tạo, phương tiện sáng tạo, phương pháp sáng tạo Nhiều nước giới tổ chức thi sáng tạo, xem xét trao tặng giải thưởng sáng tạo hàng năm 66 2a2 1+a2 ⇔ ⇔ 1+a 1+a 1− b2 Do Theo bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: 1+ b2    (1  ⇔ Khi bất đẳng thức là: 2a 1+ a ⇔ ( theo côsi : => đpcm Bài 18: Cho CMR: Giải 67 + a2 b2 1+ a a2 ⇔ 1+ a Có VT theo cơsi VT ≥ 1− b2 Theo có : a2 + 1+ a a2 ⇒ 1+ a a + 2 ⇔ 1+ a ⇔VT = Mặt khác 1−a + 1−b 1+ b 1+a ⇔1−a 1+a2 1−a2 1+a2 ⇔ Do a(1+bc) - a2 (b+c) = a (1+bc-ab-ac) = 2abc > 68 + 1−a2 1+a2 VT < a2 ⇒ 1+ a Từ (1) (2) ta có: ≤ => đpcm Bài 19: a > 0,b > 0, c > Cho  ab + bc + ca =1 CMR: a2 + b2 + c2 ≥1 Giải Ta có : ab +bc +ac = 1 ( )  a2 + b2 + c2 −1 = 2a2 + 2a2 + 2a2 − 2ab − 2bc − 2ac  a2 + b2 + c2 −1 = [ ] 2 2 (a − b) + (b − c) + (a − c) ≥  a2 + b2 + c2 −1 ≥  a + b + c2 ≥ Dấu "=" xảy => a = b = c = Bài 20:  a > 0,b > 0, c Cho  ab + bc + ca =1 Giải Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có : + 2c   (1+ a )(1+ b )( 1+ c2  Theo ta có: 2a 1+ a2 + 1+ c2 ta có: 1+a2 ⇔3 ⇔  đpcm Bài 21:  Cho  ab + bc + ca =1 CMR: Giải Cách 1: 1+a2 ⇔1− ⇔ Chứng minh bổ đề: 70 a2 1+a2 ⇔ a 1+a   a2 +b2 + a2 b2 +1 ( b a2 +1 )+ 2( ) ≥ a + 2ab + b 2 a + 1b2 +1 b2 +1 a +1 ) + b ( ) ≥ 2ab a2( a + 1b2 +1 (luôn theo bất đẳng thức côsi)  Bất đẳng thức a2 b2 + a +1 b +1 c +1 a + b + c + a + b + c2 + 2 2 2 2 Vì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac =1 ⇒ Cách 2: 1+a − ⇔ a2 1+ a => đpcm Bài 22: Cho  a > 0,b > 0, c > ab + bc + ca =1 1+b CMR: a Xét 1+ a 71 ⇔VT ≤ ⇔VT ≤  VT≤ 1+a2 ⇒ a 1+ a2 ⇒ a Bài 23:   Cho ab CM : Giải: 1+a 1+b 1+c + 1−a 1−b 1−c Xét: 1−a2 1+a ⇔ 1−a2 +a (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ⇔ ( 1−a 1+a2 ⇔ 72 1−a2 2 Kết luận chƣơng Trong chương này, luận văn đưa cách chứng minh đẳng thức bất đẳng thức mà sử dụng đến kiến thức lượng giác Nếu chứng minh phương pháp lượng giác rõ ràng tốn bị bó hẹp Từ đối tượng phương pháp chứng minh Với đối tượng học sinh lớp muốn giải toán tác giả xây dựng luận văn mà phải sử dụng kiến thức lượng giác lớp khó khăn Cịn mặt phương pháp, ta biết kết hợp công cụ đại số vào việc giải tốn cơng việc dễ dàng Các lời giải toán đa dạng độc đáo Điều làm tăng hứng thú học sinh, đồng thời góp phần phát triển lực tư Tốn học học sinh 73 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Luận văn thu kết sau đây: 1.1 Luận văn nghiên cứu sở lý luận sáng tạo nói chung sáng tạo tốn nói riêng Rõ ràng khơng thể dạy học tốt giáo viên học sinh thiếu sáng tạo 1.2 Luận văn đưa phương pháp xây dựng lớp toán phương pháp giải chúng 1.3 Việc tìm tịi sáng tạo tốn phương pháp giải chúng cơng việc đòi hỏi phải nỗ lực cố gắng , lẽ đường riêng , đầy bí ẩn khơng hết Hi vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy cơ, em học sinh yêu thích quan tâm đến mơn tốn Khuyến nghị Sau nghiên cứu, tác giả có số đề xuất sau đây: 2.1.Với cách mô tả phép biến đổi lượng giác đẳng thức, bất đẳng thức đại số, hồn tồn chứng minh đẳng thức bất đẳng thức đại số thu mà không sử dụng lượng giác Từ giảng dạy lượng giác cho học sinh giỏi lớp 2.2.Một số ý tưởng mà tác giả chưa thực a > 0, b > 0, c > Cho  ab + bc + ca =1 Tính cos Đặt cos Để giải tường minh m theo a khó 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tài liệu tiếng việt Phạm Kim Hùng (2008) Sáng tạo bất đẳng thức Nxb Tri Thức Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dƣơng Thụy (1992) Phương pháp dạy học mơn Tốn Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2007) Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2007) Một số giảng toán tam giác Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2007) Các giảng bất đẳng thức Côsi Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Phan Trọng Ngọ (2005) Dạy học phương pháp dạy học nhà trường Nhà xuất Sư Phạm Hoàng Phê (chủ biên) Từ điển Tiếng Việt (1997) Nhà xuất Đà Nẵng Trần Phƣơng (2002) Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn Sở giáo dục đào tạo TP Hồ Chí Minh Tuyển tập đề thi Olympic 30 – ( từ 1999 – 2007 ) Nhà xuất giáo dục B.Trang web 10 http : // www.diendantoanhoc.net.vn 75 ... Xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lƣợng giác 29 2.2.1 Xây dựng đẳng thức đại số từ đẳng thức lượng giác .29 2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức đại số. .. thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lượng giác góc tam giác góc tam giác chia hai Cịn việc xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lượng giác góc lượng. .. Chứng minh Suy trực tiếp từ kết 28 2.2 Xây dựng đẳng thức bất đẳng thức đại số từ đẳng thức bất đẳng thức lƣợng giác 2.2.1 Xây dựng đẳng thức đại số từ đẳng thức lượng giác Bài 1: + Bài toán gốc: