Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Đa tạp Symplectic

Vậy đối với một đa tạp cho trước thì có phải lúc nào cũng tổn tại các dạng symplectic trên nó hay không?. Có bao nhiêu dang symplectic như thế, duy nhất hay vô số?...Một loạt các câu hỏi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TPHCM

KHOA TOÁN - TIN

LỚP : TOÁN-4B

MSSV : K31.101.084

THƯ VIỆN Trưang Đại-Hoc Sư-Pham

TP HO-CHI-MINH

Niên khóa 2005 - 2009Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5/2009

MỤC LỤC

HÔI MŨ ĐÀ !:::secccrisciriGbdeosiix2ácoii6222SIGIG1AS33LL4046315560388x86940ã 18.0 i

XE HH cscs iccsaapeeseiiteasasecnscnereaessasountennimaiaacgreanenmcey vecenpnga ers ii

pe USC AL Ba UL eh a: 1, | a 1

TBO 191 OBS cnrrerererpsgrannerarsonsnencysnacansnapapoconananieecaverserasaccoecersieseevancs neace 1

PUG teed G Gin phú GB c0 c1 026601 26(965642220<2:222200522 1

kí2:Àti@w của trae B6 tee csc a ai i aaa aa 21.3 Phép chuyển ban dé - Đổi hệ tọa độ địa phương - - c3 2

DH Hàn VÊñ đà VD (í2xi6502/662916)21642620,01224<01021624680G64(ce/Ax9k64004268613y 6 c4: 3

Zs Đ 100 DÂN: sa cv gas tatgice2ivGi1xcccc6iesnev022seeeeeeeorresroesneseaysed 4

2a 1 ERIE BE one preg opncsamansnpinane noah sadanaensnsenenenarepnonannans spunaeanqcedomecanesss vert 4

2 H1 0V166260199902000660016)0166064661445406509011105025553526565ã7525ã55e+ 5

3: ẨnN 3s Khó vì PR CB Oa tp S226 hice ea 5

WL fC, SDB 1622120666222300AA4(510640010102-23:000102G1806/902uASv028A 5

3: Bà tTIGONEET01226:22002042170412041060S61604120:ã014129%SG310(46ãC54142:ã2stbi6:sGA 6

Be TY NG WRG ciizt((6ãá(06s„ac: EEO TCT Toe rere 6

4.1 Nhìn lai vectơ trong R" theo quan điểm giải tích - 5555 s< + s< 6

03 Vicklllh ĐỐ::ááic u20 bán 0(26027t016652046016d6gidxxssigfissgeG3422586105/0IEBY 7

BS TRƯỜNG VOOR 5c: ces 212cc 162222620 16466756V303-SE2ETSYRSSESMSAkC42S22420/-x4803ã66ã63295559 8

S Dạng vi phim trên đe tạp Khả Vi ccocrecersnsccerccncsoccscccssssenconerersesssessrsessecs 10

5.1 Vi phân của hàm khả vi ene ST QQ SH sees 10 5.2 Dạng vì phân trên đã tạp khả VÌ ‹-(o.ecccccoccocccoecv(ceccoe.ec c-o : 11 5S Thân 0Ý Vì [ÂN vig c32ý4226202000012201020112000G0G1228G0S828,6ð 12

S4 Đãi đẳng đều Bee KhaNh:((4¿¡ái.:2¡62200,1642222222)0016020202200á26801G02Á-a.dc2nsael 12

Ds Bao A Ga i00 0 ố002Q560001001166011G20011ï0 t2 catgragtcotscessgtu 13

GLE HH ÌỀR cciscrsiiercananecsnenencenuvecsnenrvavsenersen ssacanpere cammanaesratemependt ones 13

TSE XÊM 7 RRR TU "nốnnẻẽẻnẽ nh sce 13

6.3 Phép hợp luân và trường Vecte ecesenccernsssecsrarneressnscsnsessecscanvorpenss l4

CHUONG 2 ĐA TẠP SYMPLECTIC - BANG CÁU SYMPLECTIC 16

TA TY NI SN assesses ms cnransmmonen pi supnenaenncen umes mruaen clemnamunnenys simemmenmsnan enna 16

2 KiGnig gaan ‘vecta symplectic -.- ,. s-ces-s0scsea-esneengccceesanesensthitose dS

[3/Ð6:targfiipieGkfÔ (4400/2241 002L2v0000002ii000131001360066200061340010(054656k s005555 21

1A Dine cầu symp leesiiien ss cissssscecsccts cáccs12x620LG82-á64021634GESs.aix4t2058SuGEL 542208

1.5 Đại số tuyến tinh symplectic .cccccssesessesecsccueesseeneassssceusnvecsnesssssenveed?

2 Dang symplectic trên phan thé đối tiếp xúc - -31

2.1 Phân thé đối tiếp xúc trên không gian vectơ c2 3i

2.2 Phân thé đối tiếp xúc trên đa tạp - - - cv 12113 03122212 rsee 32

2.3 Dạng chính tắc và dạng lặp trong hệ tọa độ - c2 s2 sS2222zssssc<c7 33

2.4 Cách định nghĩa độc lập với tọa độ - S 2 S2 +2 se 34

2.5 Tinh tự nhiên của dang chỉnh tắc và đạng - Ă cS cv see 36

5 Dd AG Cae TA AB Nutxvá090621:600462G61001001/6102026(0)1010143600111101662161200ix8 43

CMI ye Matte PEEP CCTTTCC COTE CT ey Corl COOTER TCC TNT 433:2 Da tạp con Lagrangian của TX :::.-—: - <2 pb tension aster 43

53 Fa Q đối DI HỒN css ecicsccscssesccacwnsasapaawarasssannsoasanpsscersnenmiaena 46

3.4 Ứng dụng đối với các đẳng cấu symplectic -. 5 - 47

FE | TT macnn Oana Nee CÔ 49

4 2Phiưang châu liền diể:::::::š¿22231/200220020210005011600d-.(003402G0(010001G12800140 05088 50

4.3 Vận dụng cho đường trắc địa - - nàn Hàn 52

5 Paley Wray ĐÀN: g1x cát 16c 0146:2022 G102Cg0g12(cáci2ã8GGliclcSvSEgiXGrazgd %6

Š) Điện tiêu BH «aaaevaieaaneereoroeeeaovteicdeootid0012450000199661400/3i2g6 56

`.) an dẢ s9

3.3 Phép truy toán Poinfcaré - GB nnHŸ n1 S19 6 66666 61

a iii

chin và định hướng được Do tính không suy biến nên tích ngoài của một dạng

symplectic là dang lập thé Điều kiện đóng là một phương trình vi phân tự nhiên, điềukiện này làm cho tit cả các đa tạp symplectic không phân biệt với nhau ở địa phương

Vậy đối với một đa tạp cho trước thì có phải lúc nào cũng tổn tại các dạng

symplectic trên nó hay không? Có bao nhiêu dang symplectic như thế, duy nhất hay vô

số? Một loạt các câu hỏi về các dạng symplectic bắt nguồn từ những câu hỏi về sự tồntại và tính duy nhất của chúng dựa trên một da tạp cho trước đã thúc day việc nghiên cứu

các đa tạp symplectic Để hiểu rõ về một đa tạp cụ thể nào đó, các nhà nghiên cứu cần

phải nắm rd về hình học và tôpô của các đa tạp con, hệ phương trình vi phân, tính phản

đối xửng và cau trúc đặc biệt trên các đa tạp này

Cách đây 2 thé kỷ, hình hoc symplectic cung cấp cho ngành cơ học cô điển một

công cụ nghiên cứu hiệu quả thông qua việc nghiên cứu phân thớ đối tiếp xúc, một loại

đa tạp đặc biệt Trải qua một giai đoạn phát triển vượt bậc, nó không chỉ trở thành một

mảnh đất khoa học độc lập và đổi đảo ma còn được xem như một trung tâm của hình học

vi phân và tôpô Co thé nói rằng hình học symplectic hiện đại bắt đầu từ sự thiết lập côngthức của giả thiết Arnold trong thập niên 60 và các công trình có tinh chất nén tảng của

Weinstein trong thập niên 70 Trong thập niên 80, Gromov đã công bế nghiên cứu của

ông về chủ để các đường cong giả chỉnh hình Gromov cũng là người đầu tiên đưa ra một

kết quả quan trong trong hình học phức Kahler mà kết qua dé vẫn còn đúng đối với các

mô hình symplectic tông quát hơn Đến thập niên 90, Donaldson bat ngờ công bế côngtrình nghiên cứu của ông về tôpô của các dang symplectic và các đa tạp con symplectic

của chúng Cùng thời gian đó, Taubles cũng được biết đến với việc nghiên cứu phạm vi

của các dạng bất biến Seiberg-Wittin Với sự phát triển của minh, hình học symplectic

được kích thích và có tương tác với các ngành khoa học khác cũng như các phân nhánh

khác của toán học như: giải tích toàn cục vật lý toán, tôpô số chiều thấp, hệ động lựchọc hình học đại số, lượng từ hóa, doi dong đều tương đương toán học tô hợp hình

hoc

Một điều thú vị là mặc dù ra đời từ 2 thé kỷ trước nhưng cái tên hình học symplectic

trước đây không tén tại Nếu bạn tra từ điển tiếng Anh, bạn sẽ thấy symplectic là tên của

một loại xương trong đầu cá Tuy nhiên, có nghiên cứu chỉ rõ rằng Weyl đã tạo ra khải

niệm symplectic trong toán học bằng cách thêm cái gốc Latin trong “complex” với cáigốc Hy Lạp tương ứng để đặt tên cho nhóm symplectic Chính vì vậy mà Weyl tránh

nhóm này bao hàm những con số phức, giúp chúng ta tránh sự hiểu nhầm và cũng đồng thời dùng lại cái tên cũ nhằm tôn vinh Abel: nhóm Abel tuyến tính.

Trên đây là đôi nét về hình học symplectic, Rõ rang đây là một lĩnh vực toán họckhá phong phú và hắp dẫn Tuy nhiên, do khuôn khổ luận văn và trình độ có hạn, ở đây

tôi chỉ xin trình bày một sé kiến thức cơ ban đầu tiên của hình hoc symplectic, đó là đa

tạp symplectic và các đăng cấu symplectic trên các đa tạp này Sau đây, đẻ tránh việc lặp

lại nhiều lần, ta sẽ quy ước: tit cả các trường vectơ được dé cập đều là trường vectơ thực

và hữu hạn chiều, tắt cả các ánh xạ đều trơn, tất cả các đa tạp đều tron, Hausdorff và là không gian đếm được thứ 2 Ngoài ra, dé dé dang hơn cho việc đọc bản luận văn, bạn đọc nên trang bị các kiến thức về đa tạp, đại số đa tuyến tính, đối đồng đều De Rham.

Về bố cục ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương với nội dung

tom tắt như sau:

> Chương | giới thiệu các kiến thức chuẩn bị về da tạp khả vi, trường vectơ và các

dang vi phan đạo hàm Lie rat cần thiết cho nội dung chính của bản luận văn.

> Chương 2 là chương chính cia bản luận văn trong đó trình bay các định nghĩa về

da tạp symplectic, đẳng cau symplectic, da tạp con lagrangian, cách xây dung các dangcấu symplectic dựa vào các da tạp con lagrangian, cách xây dung các da tap con

lagrangian bang phương pháp hàm sinh trên phân the đổi tiếp xúc, cũng như là một số

ứng dụng của phương pháp này trong dòng trắc địa và trong việc tìm điềm bat động ciadang cau symplectic

Trong quá trình lam luận van, tôi đã nhận được sự giúp đờ rất nhiệt tinh từ Thầy hướng dẫn Lê Anh Vũ Thầy đã nhận xét, góp ý cũng như động viên rất nhiều để tôi có

thé hoàn thành tốt đề tai luận văn của mình Tôi xin chân thanh cảm ơn Thay rất nhiều

Tôi cũng xin cảm ơn ban quản lý thư viện của nhà trường, một số thầy cô trong khoa đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tải liệu tham khảo, cuỗi cùng tôi

«xin được cảm on gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua

Do thời gian có hạn và trình độ bản thân còn nhiễu hạn chế, bản luận văn chắc chắn

khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp cuacác thầy cô và các bạn sinh viên

Thành phó Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 05 năm 2009

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Bảo Trâm

CÁC KÝ HIỆU

Ký hiệu Ý nghĩa

Id, ánh xạ đồng nhất trên V

ae ảnh xạ hạn chế lên U,

A~® atlas A tương đương atlas 8

A atlas cua da tap

(U,œ) bản đồ địa phương

oY biên của Y

fh cái nâng của vi phôi ƒ

expiv dong của y

M, đa tạp m chiều

(M.A) da tạp khả vi M, với cấu trúc khả vi A

(M.w) đa tạp symplectic M với dạng symplectic w

a(f) đạo him theo hướng của a

Af đạo ham theo hướng của vecto X

+ độ dài của đường cong x

H*(M) đối đồng đều De Rham thứ p của M

min(r,s) giá trị nhỏ nhất của r,s

Fide hệ tọa độ địa phương

d(x.y) khoảng cách từ x đến y

E" không gian các ham có đạo hàm cắp & liên tụcc(z) không gian các hảm trơn trên X

^f(T,M)=A?M không gian các p - dạng ngoài của M tại xe M 1

T3(7.M)=T;,M_ khong gian các tensor hỗn hợp kiểu (p.g) của M lì

tại x

v" không gian đối ngẫu của ! 18

TM =(T,M) không gian đối tiếp xúc của M tại x 10

M_xW, không gian tích của 2 đa tạp M,, W, 5

(VQ) không gian vecto symplectic trên V với anh xa Q I8

là cấu trúc symplectic tuyến tính

A lớp tương đương chứa atlas A 4

[x.r] móc Lie của X và Y 10

Sympl( M, w) nhóm các đẳng cấu symplectic của (M,w) 40

N's phân thớ đối pháp tuyến của $ 46

MS phân thớ đối pháp tuyến của S tại xe S 46

Tx phan thé đối tiếp xúc trên X 32

pr phép chiếu 47

pe phép lay đạo ham Lie theo vectơ ¥ 13

dimM số chiều của M §

F(M) tập các hàm khả vi / : 4ƒ, > IR 7

F(x,) tập các hàm khả vi trong lân cận đủ nhỏ của x, §

P?(M) tập các p - dang vi phân khả vi trên M 12

*(M) tập các trường vecto trên M 9

TM: tập các vectơ tiếp xúc với M tại x, §

Đa fap symplectic GVHD: PGS — TS Lê Anh Vii

CHUONG 1

KIEN THUC CHUAN BI

Chúng ta xem nine đã biết các kiến thức vẻ đại sé đa tuyển tinh Bạn đọc quan tam có thé tham khảo các tài liệu [5], [6], [7] Chương này chủ yêu trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau Các mệnh dé, tinh chất, định lý chỉ được phát biểu mà không

chứng minh, phản trình bay chỉ tiét bạn đọc có thể tìm đọc ở các tài liệu {4], [Š} [6], [7].

[8] Các kiến thức được nhắc tới ở đây bao gồm:

© Đa tạp topo.

© Đa tạp khả vì.

© Ảnh xạ khả vi giữa các da tap

e Truong vec tơ.

¢ Dang vi phản trên da tap kha vi.

© Dao hàm Lie.

1 DA TAP TOPO

Định nghĩa 1.1 Cho MỸ, là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đêm được Khi

đó M, được gọi là một đa tạp tôpô n chiều nếu nó đồng phói địa phương với không

gian Euclide IR", tức là : với môi xạ e M„ tôn tại lân cận mở UCM, của x, và mộtphép đẳng phói @:U —> V EIR", ở đây V là tập mở trong R"

Cặp (Ug) được gọi là một bản đồ địa phương của M, xung quanh điểm x, c M,.

1.1 HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG

Định nghĩa 1.2 Xé( ban dé địa phương (U,@) xung quanh điểm xạ M,.Vx 6U, ta

Đa fap symplectic GVHD: PGS - TS Lê Anh Vũ

Bộ (x' (w).x (w), x” (u)) gọi là tọa độ địa phương của u

Các anh xạ x' :(/ =>, với í=l, w là m hàm thành phần của @ và gọi là các hàm

tọa độ Lúc này, bộ {U 5 SỐ eae ah được goi là hệ tọa độ địa phương (xung quanh

ve M,) img với bản đồ địa phương (U,ø)

1.2 ATLAS CUA MỌT ĐA TẠP

Định nghĩa 1.3 Mér hệ các ban đỏ địa phương ((U,„;Ø, a gọi là một atlas của đa

tạp M, nêu họ các tập hợp (U,), là một phủ mở của M,.

Một atlas được kí hiệu là: A.

Một đa tạp tô pô thường có nhiều hoặc vô số các atlas, ta thường chon atlas có số bản

dé ít nhất Atlas 4 = {(U,:ợ, )}, gọi là atlas tối đại nếu nó không bị chứa trong một atlas

nao khác ngoài chính nó.

1.3 PHÉP CHUYÊN BẢN ĐÒ - ĐÔI HỆ TOA ĐỘ DIA PHƯƠNG

Cho M, là đa tap tôpô n - chiều Giả sử (U,;Ø,) và (U;;Ø,) là hai bản đề địa

phương của M, thỏa U, MU, +O.

Gọi {U,„;x},x) xz‡ là hệ toa độ địa phương img với (U,;Ø,) — (1)

{U;:x;,x> xz} là hệ tọa độ địa phương ứng với (U;;ø,) (2)

Khi đó, với mỗi x€ U„%U, , ta có:

Tọa độ địa phương của x trong (1') là: (xi (x),x3 (x) x2 (x)) k

Tọa độ địa phương của x trong (2') là: (x;(x).x; he) (x)).

Đặt G5 =Øzlu,n,(®, lun, ) :9z(U„fNU,) ——> ø¿(U,fNU,) Ta ký hiệu một

cách hinh thức như sau: Ø„„ = Ø;-Ø;`.

Rõ ràng, ø„„ là ánh xạ đồng phôi và được gọi là phép chuyển ban đồ Lúc nay, ta có:

SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 2

Da fap symplectic GVHD: PGS — TS Lê Anh Vũ

(x»(x) x2(x)}= Øz„ (a8 (x) x2 (x)

A4=|(U,:ø,)}„ xác định ! họ phép chuyển bản đồ ø„„ với U„ (1U, #Ø Va,ổØ.

Ho ham chuyên ban do Ø„„ có các tinh chất sau: Va, 8,7

Lúc này, { được gọi là hàm trên đa tạp.

Với mỗi bản đồ (U,„,ø,„ )„ xét ánh xạ thu hẹp / |, :U, > R Đặt

ƒ,= /|.„ °0;':e(U„)C R* ~ R

(25 (2) nat ()) > F(x)

trong đó ø(U„) mở trong " Ta đồng nhất ƒ|„ với f, và xem nó như là hàm số thực

với m biến số thực f, gọi là biểu diễn địa phương của ƒ trên U, ứng với ban đồ

(U ø)-Như vậy, mỗi f ứng với một họ các hàm thực ø biến số thực {Ff}

Ngoài ra, ta có Wa, Ø sao cho Ứ, (U, # Ø thì /„= /,sợ„ hay f= fy Wap

SVTH: Trân Thị Bao Tram Trang 3

Da fap symplectic GVHD: PGS — TS Lé Anh Vii

2 ĐA TẠP VI PHAN

2.1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 2.1 Cho A= {(U, ?, I là một atlas của da tạp tôpô n chiều M , Khi do,

A được gọi là một atlas khả vi lớp C* nêu với mọi cap chỉ số œ,8 sao cho

U„ NU, # Ø ta đều có pháp chuyển bản dé

Ppa: Py (U„f\U;)— ø;{U„f1U,)

là ảnh xa khả ví lớp C°.

Định nghĩa 2.2 Cho #={(U,.ø,)}„ và ®=|(V„,v„)}„ là hai atlas khả vi lớp Ct

của đa tạp M, Khi đỏ, A được gọi là tương đương với B ki hiệu là A ~ @, néu với mỗi

bản đỗ (U,„.ø, )S A, ban đô (Ứ„.v;)< ® sao cho Ư„ [\W, # Ø, ta đều có ảnh xạ

weø"”': (UV) > (UV)

khả vi lớp C*.

Lúc này, AUG là một atlas khả vi lớp C`.

Rõ rang, quan hệ ~ là một quan hệ tương đương và nó chia tập tat cả các atlas khả vi

của đa tạp tép6 M, thành các lớp tương đương Mỗi lớp tương đương này được gọi là

một cấu trúc khả vi lớp C* trên M, Nếu lớp tương đương chứa A thì ta ký hiệu lớp

tương đương đó là 4.

Định nghĩa 2.3 Da tap t6p6 M„ n chiều cùng với cấu trúc khả ví A lớp C` trên nó

mà ta có thé ký hiệu (M,,A) được gọi là đa tạp khả vi lớp C`.

Đa tạp tôpô M, ban đầu gọi là đa tạp tôpô nên của đa tạp khả vi (M, ) lớp C* dang

xét.

Khi &=0, M, là đa tạp tôpô Khi & =œ, M, là đa tạp trơn.

SVTH: Trân Thị Báo Trâm Trang 4

Da tạp symplectic GVHD: PGS - TS Lê Anh Vũ

2.2 ĐA TAP TÍCH

Cho hai da tạp vi phân lớp C” la Aƒ, và W, lần lượt có số chiều là n va p Khi đó, ta

có thẻ xác định một cau trúc khả vi lớp C’ trên không gian M, x W

Gọi (U,@) là một ban do trên M,, (Vy) là một bản đồ trên W, Rõ rang anh xạ

øxự: UxV -> R°xR?=RTM

(xy) (ø(x).e(>))

là một phép đồng phôi.

Mặt khác, với mọi (x, y„ ).(x;.v„}£ R° xR”, ánh xạ (0;.v;)»(„.w„) bằng

(Ø,sø„'w„sw,'), cho nên nó thuộc lớp C° Do đó, họ tất cả các cặp

{(U.*#⁄„)(ø.*w,)} là một atlas khả vi lớp C’ trên M,xW, Lúc này, đa tạp M,xH, với cau trúc khả vi vừa xác định được gọi là tích của hai đa tạp M, va W,.

3 ANH XA KHẢ VI GIỮA CÁC ĐA TẠP

3.1 ANH XA KHẢ VI

Cho M, là đa tạp khả vi lớp C’ n chiều, W, là đa tạp khả vi lớp C" p chiều Xét

ánh xa liên tục ƒ : M, >W, và xét một bản đồ tùy ý (U,ø) của M,, một bản dé tùy ý

(V.y) của W, sao cho /(U)C V Lúc đó, có một ánh xạ m biến nhận giá trị là một

vectơ p chiều.

we/|,sø": ø(U) => w(V)

(x' Sts x" > (7 (M2) ees be)

trong đó ø(U) mở trong R", w(V) mở trong 8”.

Ảnh xạ wef}, sø '=(ƒ' /7} gọi là biểu diễn địa phương của ƒ img với cap

bản đồ {(Ư,@).(V,)} Ta đồng nhất /|,, = ự s /|,s@ ' và do đó xem /|„ như là ánh

xạ n biến nhận giá trị vectơ p chiều

SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 5

GVHD: PGS — TS Lé Anh Vũ

phương f|, = ° f|, »@'` đều là ảnh xạ khả vi lớp C*.

3.2 ĐA TẠP CON

Định nghĩa 3.2 Mor đa tạp con p chiều của một da tạp kha vi lớp CỔ n chiêu M, là

một tập con W,, của M, sao cho với mỗi điểm cua W, thi tn tại một bản đô địa phương

(U.@) của M, với @(U} là một tập mở dạng AxB với AC lR?,BCIR*? sao cho

@(UfW,)= Ax{0} Ta đặt V=UNW, và ự = ọ |, Khi đó, họ tắt cả các cặp (Vw)

có được như trên là một bản đỏ thuộc lớp C7 trên F` Niue vậy, W, cùng với cau trúc

kha vi lớp CC đỏ tạo thành một đa tạp khả vi lớp CÔ p chiều và được gọi là đa tạp con

p chiều của đa tạp M,.

Định lý 3.3 Một ráp con W„ của da tap khả vin chiều M, được xác định bởi tập gom

(m-p) phương trình ƒ`(x)=Q, /"?(x)=0, với /`, ƒ"”” là các ảnh xạ trên

M, là một đa tạp con khả vip chiều của đa tạp M, nêu ảnh xạ đi từ M, vào R*'* xác định bởi p+> ( ƒ` (x) ƒ””? (x)) có hạng bằng (n— p) tại mọi điểm x eW,.

4 TRƯỜNG VECTƠ

4.1 NHÌN LẠI VECTƠ TRONG R” THEO QUAN DIEM GIẢI TÍCH

Ta ký hiệu #(AZ) là tập các ham khả vi f:M, +R trong đó M, là đa tạp n chiều.

Xét ánh xạ

X:#(R")> F(R")

frre.

X gọi là toán tử đạo ham ( hay toán tử vi phân ) nếu V/,ø F(R"); VA eR:

(i) X(AS + a) = Ä(AXZ)+ (Ae)

SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 6

Đa tap symplectic GVHD: PGS - TS Lê Anh Vũ

(ii) X(@)= X(ƒZ)g+/&).

Cho a=(a,.4;, 4,)€ R*,/ c7(R') đạo hàm theo hưởng của ø được định nghĩa

như sau ăf):= Xa Ta thấy rằng a{/) thỏa (i) và (ii) nên nó là một toán tử vi

vel x

phan.

Ngược lại, nếu cho toán tử vi phân trên F(R") thì tổn tại duy nhất ae" dé

X =ặ) Nói cách khác, cho một vectơ không nhất thiết cho một biểu diễn hình học

mà có thẻ cho bằng toán tử vi phân xác định nảo đó

4.2 VECTƠ TIẾP XÚC

Định nghĩa 4.1 Cho (a,b) là một khoảng mở trong R và M, là đa tạp khả vi nchiều, xét ảnh xạ sau: C:(a,b)—> M Nếu € là ảnh xạ khả ví thì C được gọi là đườngkhả vi trén M Nếu thay khoảng (a,b) bang ký hiệu (a,b) với

ở đó F(x.) là tập các hàm khả vi trong lân cận mo đủ nhỏ của x, trên M

SVTH: Tran Thị Bảo Trảm Trang 7

Đa tap symplectic GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vũ

Xf gọi là đạo ham theo hướng của vecto X wi x,=C(s,) hay theo hướng của

đường cong C tại x, = C((„).

Nhận xét 1 X là một toán tử vi phân.

Định nghĩa 4.3 Cho M là một đa tạp kha vi n chiều x,€M Khi đỏ, X là một

vectơ tiếp xúc của M tai x, nếu ton tại đưởng C khả vi trên M qua xạ =C (t,) saocho X chỉnh là veeta tiếp xúc của C tại x, Ta kỷ hiệu TM là tập các vecto X tiếp

Khi đó 7, (M) trở thành một không gian vectơ thực.

Định lý 4.4 dim 7, (M)=dim M và {&I. zeL} là cơ sở của T, (M).

Nhận xét 2 VY e7, (M), tồn tại duy nhất £`, £" sao cho X = Ð`£? < gs

la mot trưởng vectơ trên U

SVTH: Tran Thi Bảo Trâm Trang 8

Đa top symplectic GVHD: PGS — TS Lẻ Anh Vũ

Xét trong hệ tọa độ địa phương {U,x', sad x “|: khi đó VveU,VX, e7,Af.3¿ (x).

Định nghĩa 4.7 Trường vectơ X,, = > & _ kha vi trên U néu & e F(U) ¡=1,n.

X được gọi là khả ví trên M nếu X„ khả ví trên U V{U,x, x„} Ta ký hiệu È (M}

là tập các trường vectơ kha vi trên M và %(U) là tập các trường vectơ khả vi trên U.

Xét X là trường vectơ trên M , khi đó Af xác định một ánh xạ ( mà ta vẫn ký hiệu là

Xf được gọi là đạo hàm Lie của / e F(M) theo trường vectơ X.

Chú ý Những điều trên vẫn đúng nếu ta thay đa tạp M bằng tập con mở (/

Định nghĩa 4.9 Ta xem Ÿ(M) là không gian vectơ thực, khi đó WX Ye #(M).

móc Lie cua X va Y được định nghĩa như sau

[ |:-#(M)x-#(M)—.#(M)

(X.Y) #[X.Y]

trong đó [X,Y|= X(W)- Y() Y/ s F(M).

SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 9

Đa lap symplectic GVHD: PGS —TS Lẻ Anh Vũ

Trong một bản đồ địa phương (U,p) trên M, ta có XIU = res va

YỊU = Tư —— Khi đỏ:

Ou’

lẻ

Định lý 4.10 Moc Lie[ ]:.Ÿ(M)x-Ÿ(AF) —y È (M) có những tinh chất sau:

>a „| aie ax’ ax’ Tại 2|

[¥.¥]=-[¥.x]

[X.{Y.Z]]=[[X.Y].Z ]+[Y.[X.Z]] được gọi là đồng nhất thức Jacobi

[X.Y] = /[X.Y]=0/)4

[* /#]= /[X.Y]+(W›

5 DẠNG VI PHAN TREN ĐA TẠP KHẢ VI

Định nghĩa 5.1 Xét TM như không gian vectơ thực n chiều Ta ky hiệu

T7(M)=(T7.M) là không gian đổi ngẫu của T,M hay còn gọi là không gian đối tiếp

xúc của M tai xeM Mỗi weT/(x) được goi là đối veetơ tiếp xúc của M tại

xeM.

Cho {U.x, x„} là hệ tọa độ địa phương trên M Khi đó YxeU, {dr', dx*} laco

sở của T’(M) đổi ngẫu với {orl pes +}

5.1 VI PHAN CUA HAM KHÀ VI

Định nghĩa 5.2 Cho ƒ cƑ(M) vi phân của ƒ ký hiệu df là 1 — dạng vi phan trên

M được xác định như sau

df:M— U7(M)

x Bđ/,eT'(M)

SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 10

Đa tạp symplectic GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vũ

trong do

dƒ, :T,M -»

X te (d/, V) = Hf,

Thay M bởi UCM, U mo thì ta cùng có những khái niệm tương tự.

Cho {U.x', x°} là hệ tọa độ địa phương trên M WfeF(U) ta có

df, =Š 4|, VveU hay ta có thể viết y= ae

5.2 DANG VI PHAN TREN ĐA TẠP KHẢ VI

Tại xe M , ta ký hiệu:

T}(T,M ) hoặc có thẻ ghi 7*,AZ là không gian các tensor hỗn hợp kiểu (p,q) của M

tại xe M.

A?(T,Mf) hoặc có thẻ ghi A” M là không gian các p- dạng ngoài của M tại ve M.

Định nghĩa 5.3 Dạng vi phân cap p hay p- dạng vi phân trên M là một tương ứng

Do đó mdi p- dang vi phân w trên U có khai triển là

whe SY wide | anads |, WreU.Tavidtw,= 3) wide A Adk”,

l$u,< <„Ý8 l44< <! „$4

w được gọi la khả vi trên U nếu w,, e(U),l<¡, < <i, Sn.

4+,

Dạng vi phản w trên M được gọi là khả vi nếu w khả vị V{U,x,, ,x,}

Ta ký hiệu D’(M) 1a tập hợp các p- dang vi phân khả vi trên M và D”(U) là tập

hợp các p- dạng vi phân khả vi trên U Khi đó D’(M), D’(U) là các không gian

vectơ thực.

SVTH: Tran Thị Bảo Tram Trang II

Đa tap symplectic GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vi

5.3 TOAN TU VI PHAN NGOAI

Định nghĩa 5.4 Toán tử vi phân ngoài /a một ánh xạ được xác định nhw sau.

5.4 ĐÓI ĐÔNG ĐỀU DE RHAM

Định nghĩa 5.5 we 2*(U) được gọi là đông nếu dw=0 và được gọi là khớp nếu

Ta có định nghĩa tương tự đối với #7” (U)

SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 12

Da tạp symplectic GVHD: PGS — TS Lé Anh Vii

6 DAO HAM LIE

6.1 ĐỊNH NGHĨA

Ta định nghĩa anh xạ i, : ^` (M)— a‘ '(M) như sau

í,w{(X) ,.,) = W(X, Xoo Xi)

với wea" (M),X, X,.,€2(M).

Định nghĩa 6.1 Đạo hàm Lie /a một toán tử tuyến tinh £ :A*(M—y a‘ (M) được

định nghĩa như sau.

6.2 NHÓM 1 - THAM SO ĐỊA PHƯƠNG

Định nghĩa 6.3 Ta gọi nhóm 1 ~ tham số các phép biến đổi khả vi trên M là các ánh

xạ @, sao cho với @:RxM 4M, 9:RxM — M, 6(t,p)= Ø,(p) thỏa mãn các điều

kiện sau:

(1) Với mỗi ! e.ø, : M -» M.ø,(p) = 9(t,p)e M là vi phôi của M

(2) Với t,s ER pEeM ta có ợ,„(p)= ø,(ø,.(p)):

Định nghĩa 6.4 Nhóm I - tham số địa phương các vi phôi địa phương đrén M

được xác định như sau: voi I, =(-e,£),£ >0 và U là tập con mở của M Nhóm 1 — tham số địa phương các vi phôi địa phương xác định trên I,xU là các @, sao cho với

ảnh xạ 6:1, xM —>M thì ø, thỏa man:

SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 13

symplectic GVHD: PGS —TS Lê Anh Vii

2) Voi !.seU.peM ta có Ø, (P) =

Ø,(ø,(p))-6.3 PHÉP HỢP LUAN VA TRƯỜNG VECTƠ

Định nghĩa 6.5 Cho M là một da tạp và p>MxR—->M là ảnh xạ thỏa

Ø,(p):= p(p.!) Ảnh xe ø là một phép hợp luân néu mỗi p,:M > M là một vi phôi

va p, = id,,.

Cho một phép hợp luân ø ta thu được một trường vecto không phụ thuộc vào thời

gian đó là một họ các trưởng vecto v,/€Ñ sao cho tạ peM, v,

d : ì , dp,

thoav, (p)= —- p, (9) trong 46 g = p;'(p), tức là run:

Ngược lại nêu ta có một trường vectơ v, không phụ thuộc thời gian nếu M làcompact hoặc nếu v, cỏ giá đỡ compact, thì tồn tại một phép hợp luân ø thỏa phương

trình vi phân ban đầu

Gia sử M compact, khi đó ta có tương img | ~ | sau

(các phép hợp luân của M}<—~—>Ícác trường vectơ phụ thuộc thời gian trên Af}

Ø,te«—> v,„t6R

Khi v, =¢ là không phụ thuộc thời gian ¢, phép hợp luân tương ứng với v, được gọi la

ánh xạ mũ hay dòng của v và được ký hiệu là expr; tức là {exp:v:Ä/ > M [re R} là

họ các vi phôi trơn duy nhất thỏa

¬ |

expf|.„= idụ và ~ (exptv)(p)= v(expx(ø)):

Ngoài cách định nghĩa đã được trình bày ở 6.1, phép lay đạo ham Lie

:A}(M})—= a‘ (M) còn được xác định bởi Lw:= < (expivy Whee

SVTH: Tran Thi Bao Tram Trang l4

Đa fap symplectic GVHD: PGS — TS Lẻ Anh Vũ

Khi một trường vecto v, là không phụ thuộc vào thời gian thi dong của nó hay nói

cách khác là phép hợp luân ø tương ứng tổn tại một cách địa phương thco định lý Picard

Nói chỉnh xác hơn nếu xét trong lân cận của một điểm p bat ky va với 1 đủ nhỏ thì cómột ho | - tham số của các vi phôi địa phương p, thỏa:

Da tạp symplectic GVHD: PGS - TS Lê Anh Vii

Trước hét ta sẽ làm quen với khải niệm symplectic Một dang được gọi la dang

symplectic nêu nó thỏa man 2 điều kiện : không suy biển và đóng Ở chương này

chủng ta sẽ định nghĩa những dạng symplectic, mô tả vài tinh chất cơ ban cia

chúng, đưa ra những vi dụ đâu tiên trên những không gian Euclide có số chiêu

chan trên phân thở đổi tiếp xúc

1 DẠNG SYMPLECTIC

1.1 ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH PHẢN ĐÓI XỨNG

Cho V là một không gian vectơ m chiều trên R, và Q: VxV + R là ánh xạ song

tuyến tính Ánh xạ Q được gọi là phản đối xứng nếu Q(u;v) = ~Q(v;u), Vu,veV.

Định lý 1.1 (Dạng chuẩn cho ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng)

Cho Q là một ảnh xạ song tuyến tinh phản đối xứng trên V thì cỏ một cơ sở

Hy My serie vÊyy v€,„ Sie („của V sao cho

Đa tap symplectic GVHD: PGS — TS Lẻ Anh Vũ

Chứng minh Cho Ú := {ueV 1 Q(u.v)=0 Yv eV} Ta chọn | cơ sở cho U goi W

là không gian bi cua U trong V Khi đó V =U @W.

Lấy bất kỳ e,#+0.eelf(vì W là không gian vectơ nên chic chan tôn tai

¢, #0.e,€W) Khí đỏ tổn tại (EW sao cho Ô(e,./)#0 vì nếu Ale, f,)=0.

V/,€lW thì suy ra œ €U, tức là e © WOU = {0} (trái với giả thiết Lúc nay ta hoàn

toản có thẻ giá sử @(e,, ff) =1 (nếu Q(e,, /,)= a,(a # 0,ø 41), ta sẽ chọn f = = f thay

Lay bat kỷ veW , giả sử Q(v,e,)=c; Q(v, f=, thì ta có:

v=(-e + đe,)+ (v + cƒ, = đe,).

‹#%, owe

Tiếp tục lấy e, €W,",e, #0 Khi đó tồn tại f, EW," sao cho O(e,, f,) #0 Giá sử

O(e,, /,)=1, gọi W, là tổ hợp tuyến tính của e,, /; Ta lập luận như trên

Quá trình này chắc chắc sẽ kết thúc vì dimV < œ Cudi cùng chúng ta có được:

V =U OW, OW, © OW,

trong đó tat cả những hang tử đều trực giao với nhau, img với Q, va W, có cơ sở là e, /

“——-—-——— -— ———-———— ee OO

SVTH: Tran Thi Bao Tram Trang 17

Da tap symplectic GVHD: PGS - TS Lê Anh Vũ

Số chiều của không gian con U:={ueV 1Q(u,v)=0 YveV} không phụ thuộc vào

việc chọn cơ sở nên nếu ta có & =dim€/ thì & là một bất biến của (,Q) Vi vậy m

cũng là một bắt biển của(V,©}, trong đó k+2n=m=dimV Khi đó 2n được gọi là

hạng cua Q,

1.2 KHÔNG GIAN VECTƠ SYMPLECTIC

Cho V là một không gian vecto m chiều trên R, và Q; ƒƑxE —>» Ñ là một ánh xạ

song tuyến tính.

Định nghĩa 1.2 Ảnh xa Q:V—3V" là ảnh xạ tuyển tính được xác định bởi

Õ(v)(w) = @(v.u)

Ta thấy rằng Ker Q={weV IQ(u.v)=0 YveV}=U, với U chính là không gian

con được để cập trong định lý ở trên.

Định nghĩa 1.3 Mot anh xạ song tuyển tinh phản doi xứng Q là symplectic ( hoặckhông suy biến ) nếu Q là song ánh, tức là U = {0} Lúc đó ảnh xạ Q được gọi là cấu

trúc symplectic tuyến tính đrền V và (V,Q) được gọi la một không gian vectơ

symplectic.

Ánh xa symplectic Q có những tinh chat sau:

I.Tính đối ngẫu: ánh xạ : Vy ——+V" là một song ánh.

2.Theo định lý dạng chuẩn, ta có # = dimU =0, do đó dimV = 2n là số chin.

3.Theo định lý 1.1, một không gian vectơ symplectic (V.Q) có cơsờ e, e,,/ /,

Đa tap symplectic GVHD: PGS — TS Lé Anh Vii

9(w.v)=[~u 1 ; ‘|

san |

Các tinh chất trén đều de dang suy ra từ định nghĩa của anh xa symplectic

Vậy liệu không gian con của một không gian vecto symplectic bat kỷ có phải là một không gian vectơ symplectic hay không? Trên thực tế không phải tat cả các không gian

con W của một không gian vectơ symplectic (VQ) déu là không gian vectơ symplectic

Ta sẽ xem xét 2 không gian con sau của không gian vectơ symplectic:

* Một không gian con W được gọi là symplectic nêu ©|„ không suy biến Chẳng hạn, tập các 16 hợp tuyến tinh cia e,, // trong đó e,, /, được xác định như trong định lý 1.1

là symplectic.

Chứng minh Ta thấy rằng nếu ©|„ không suy biến khi đó Ô|,„ là song ảnh nên

(W,O|,„) tạo thành một không gian vectơ symplectic Đặt W là tập hợp các tô hợp

tuyến tính của e,/, trong đỏ e,/¿ được xác định như trong định ly 1.1 Lấy

u = ae, + bƒ,c<W sao cho

QL, (ae, + b/(.ce, + đƒ,) = 0,Vv = ce, + dƒ, eW

Khi đó ta có

ad ~bew OYed eR eo [D TQ su=0

nên O|„ không suy biến và do đó W là symplectic q

* Một không gian con W được gọi là đẳng hướng néu ©|,„ = 0 Chang hạn, tập tỏ hợp

tuyển tinh của e,,e, là đăng hướng

Chứng minh Gọi W là tập tỏ hợp tuyến tính của e,.e,, trong đó e,,e, được xác định

như trong định lý 1.1 Khi đó Vv = ce, + đe, e W,Yu = ae, + be, c W, ta có

©|, (ae, + bf,.ce, + đƒ,) = 0,

SƯTH Tran Thi Bao Tram THU VIEN

"rating Đại-Học Su-Pham

¡P_ HO-CHI-MINH

Đa tạp symplectic GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vũ

symplectic là

œ ={,0 0} £6, =(0, 0,1,0 0).

ƒ, =(0 0 1 ,0 0) , f, =(0 0.1).

Ảnh xạ Q, trên những vectơ khác được xác định bởi những giá trị của nó trên một cơ sở

và Q„ là ánh xa song tuyến tinh,

Định nghĩa 1.4 Afr đẳng cấu symplectic ø giữa các khỏng gian vectơ symplectic (V.Q) và (1,Q') là một đẳng cẩu tuyển tỉnh @ : V———»V* sao cho ø`Q'=, trong

đó 9'Q (u.v)= Q(e(u).@(v)) Nếu ton tại đăng cau symplectic thi (V,@) và (¥',Q')

được gọi la tương đương symplectic.

Ta chứng minh tương đương symplectic la một quan hệ tương đương.

Nếu (V,@) và (/',Q') tương đương symplectic, có nghĩa là tồn tại một đẳng cấu

tuyến tính ø ; V——>W' sao cho g'Q'=Q Do dé yg” cũng là đẳng cấu tuyến tính va

Đa fap symplectic GVHD: PGS - TS Lê Anh Vũ

c/ Bắc cau

Nếu (V,.Q,) va (V,,Q,) tương đương symplectic, (V,.Q,) và (V,.Q,) tương đương

symplectic, Khi đó ta chứng minh được (V,,.Q,) va (V,.Q,) tương đương symplectic.

Gia sử ding cau symplectic giữa (V,,Q,) và (V,.Q,) là @, giữa (V,.Q,) va

(V,.Q,) là ø,, Khi đó ta xét ánh xạ @= @,, sø,,, rõ rằng @ là ding cấu tuyển tinh vì

P+ @,„ là đăng cấu tuyến tính Mặt khác Vu.ve V,, ta có

ẹQ, (u.v) =9, (().œ(v)) =9, (0, ° D2 (U).Qr5° Pe (v))

= 9,2, (ø,; (u).ø,; (v)) =2,(@;(u).@,(»))

= GQ, (u,v) = Q, (u,v)

tức là g'Q, =Q, Do đó (V,,Q,) và (V,,Q,) tương đương symplectic oO

Như trén đã chứng minh, quan hệ tương đương symplectic rõ rang là một quan hệ

tương đương trong tập tất cả các không gian vectơ có số chiêu chăn Hơn nữa, theo định

ly 1.1, mọi không gian vectơ 2n chiều (VQ) là tương đương symplectic với mẫu cơ bản

nhất (R*",Q,), việc chọn một cơ sở symplectic cho (V,Q) sẽ cho ta một ding cấu

symplectic giữa (V,Q), (R”“,Q,) Vì vậy, những số nguyên đương chẵn phân các

không gian vecto symplectic thành những lớp tương đương theo quan hệ tương đương

symplectic.

1.3 ĐA TẠP SYMPLECTIC

Cho w là 2 - dang de Rham trên đa tạp M, tức là với mỗi peM,

w, : T,MxT,M — R là ánh xạ song tuyến tinh phản đối xứng trên không gian tiếp xúc

với M tai p và w, thay đổi một cách trơn theo p Ta nói w đóng nếu nó thỏa mãn

phương trình vi phân dw=0, trong đỏ d là phép lấy vi phân de Rham ( tức là phép lay

Đa tạp symplectic GVHD: PGS — TS Lẻ Anh Vũ

Nếu w la symplectic thi dim 7ƒ = dim M là số chin

Định nghĩa 1.6 M61 da tạp symplectic là một cặp (Mw) trong đó M là đa tạp và w

là dang symplectic.

Ví dụ 1 Cho M =” với những tọa độ tuyến tinh x, x, y, v„ Khi đó

là một cơ sở symplectic cua TM

Chứng minh Ta có {dx, dr,} là cơ sở của T’RTM Đặt ø =—Š y/4x,, ø lal

-r=

dang trên da tap R®" Dễ thay rằng w, = da Do đó dw, = 0 hay nói cách khác w, đóng.

Vì w, là 2 - dang de Rham trên đa tạp RTM nên với mỗi peM,

(w,), : 7,R?"x7„R`" ~> R là ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng trên không gian tiếp

Do đó w, không suy biến Voe A/ ị

Ví dụ 2 Cho M = C" với những tọa độ tuyến tính z, z„ Khi đó

Bằng cách chứng minh như đã dé cập trong vi dụ trên, ta cũng có được (C",w,) là một

đa tap symplectic.

Vi dy 3 Cho M = $” được xem như là tập các vecto đơn vị trong ” Những vectơ

tiếp xúc với S? tại p có thể được đồng nhất với những vectơ trực giao với p Dangsymplectic chuan trên S? được cảm sinh bởi tích ngoải va tích trong:

w, (,v):= (p,uxv), VỚI uve r,s’ = {p}

SIƯTH: Tran Thị Bao Trâm Trang 23

symplectic GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vii

dw=0, hay nói cách khác w là dạng đóng VpeS*, w, la song ánh vi

#

(p.uxv) #0,Vve TS? khi u #0 Đo đó (SỲ,w} là đa tap symplectic [I

1.4 DANG CAU SYMPLECTIC

Định nghĩa 1.7 Cho (M,,w,) và (M,,w,) là 2 da tap symplectic 2n chiéu, va cho

g: M, > M, là một vi phôi Khi đó g là một đẳng cầu symplectic nếu g'w, = w,, tức

là

(e »;),,(e<)=(*2) 2 (p2 9-4426):

Chúng ta sẽ phân loại những da tạp symplectic chính xác đến các đăng câu symplectic.

Định lý Darboux cho ta một sự phân loại địa phương: số chiều chi là bat biến địa phương của những đa tap symplectic chính xác đến các đẳng cấu symplectic Bat ky đa tạp n chiéu nào cũng giống với R" một cách địa phương, bắt kỳ đa tap symplectic nào cũng

giống (RTM*,Q,) một cách địa phương Hơn nữa, bat kỳ da tạp symplectic (M,,,w) cũng

tương đương symplectic một cách địa phương với (RTM,w,) Để giúp cho việc phát biểu

và chứng minh định lý Darboux được dễ dàng hơn, ta có định lý sau:

Định lý 1.8 ( Moser) Giá sử M là một đa tạp com pact và w, với t e[0,1] là một họ

khả vi của các dang symplectic trên M với [w,]=[w,] trong Hˆ(M) v: e[0.1] Khí

đó (M.w,) tương đương symplectic với (M.w,) Wt [0.1].

Chứng minh Ta sẽ xây dựng một ánh xạ khả vi p:Mx[0.1]->M sao cho

Ø,:M ~>ÀM được xác định bởi ø(p)=Ø(p.!) là một vì phôi thoa p,=id, va

dp, „

Ø (w,)=, V¿ [0,1] Với anh xạ ø như trên, ta đặt v, = ø,` đây là một trường

veeto trên M Vì Ø (w,) =, nên ta có

SLƯTH: Tran Thi Bao Tram Trang 24

d,_-0 = dw, = 2: (w,))

ÔNG ‘ dw, hú inh -\= EE ; —.Ta chứng min rg (»;) z{ TM + ” |

Nếu /(x.v) là một ham thực 2 biến thi

Mat khac 4w, =d(i,w,)+i,dw, =d(i,w,), w, đóng và {%,]= [4] vre[0,1] nén

oe là dang khớp hay = dy, trong đó u, với r [0,1] là một họ khả vi của các 1 —

dạng trên Mf Do đỏ ta phải tìm một họ ham khả vi của các trường vectơ v, với e[0,1]

sao cho d(i,w,)+dy, =0i,w, =-n,.

Từ dé, ta suy ra cách tìm p thỏa man các điều kiện nói trên Trước hết ta xác định v,

sao cho /, w, ==/, Vì M compact nên ta có thé xác định được ø: Äý x[0,I]—» M thỏa

p,:M —>M là một vi phối p, =id„ và 9, = Peo øị", Khi đó do cách xây dựng, ta có

p,:Äf —»M là một vi phôi với Øø; (w}= w,, do đó (Mw) tương đương symplectic với

(M.w„) v e[0.1] n

———-—-——————— ————-—-——————————-SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 25

GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vũ

điềm bắt kỳ trong M Khi đó có một hệ tọa độ địa phương (U x, X„ Vụ ¥,) tâm tại

p sao cho trên U

*

w= Ya, Ady.

TT

Chứng minh Cho (M,w) là đa tap symplectic, và pe AZ Khi đó w|, là một dạng

symplectic trên 7,M theo định lý 1.1 ta có thé chọn một cơ sở cho 7„M mà trong đó

w|, có dạng chuẩn Chọn hệ tọa độ (x,, x„ ,, v„) trên một lan cận mở U của p

trong M Khi đó cơ sở của TM là

Ta định nghĩa một dạng symplectic w' = Ya, Ady, trên U ,khi đó w| = w'|,

“

Ta xác định một họ khả vi các 2 - dang đóng w,, với re[0,1] thỏa

w, =(I~f)w|, +t’ Vi w| = w*|, Yee [0.1], do đó w, là symplectic tại p Ta cũng có

w, là symplectic tại những điểm lân cận với p Do tính compact của [0,1], chúng ta có

thé chọn một lân cận mở co rút được U của p trong U sao cho w,|, là symplectic

vze|0.1] Như vậy chúng ta đã có một họ khả vi w„ với r[0,1] của các dạng

symplectic trên Ú Do U co rút được nên H*(Ú)=0 do đó [w,]=[»,] Vre[0,1}.

Nếu U 1a tập compact thi áp đụng định lý Moser, ta có (0.,) là tương đương

symplectic với (U 1%) từ đó ta suy ra w là tương đương symplectic với Das, ady, tại

m

những điểm lân cận với p Van dé la U là tập không compact, do đó ta không thể mũ

hóa các trường vectơ trên nó vì các đường thẳng dòng di qua biên của U Chúng ta sẽ

——————————————

—-SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 26

GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vũ

đực = wÌ= w, sao cho | =0, Khí đó lấy đạo hàm 2 về w, =(—/)w|,, + nà" theo ¿, ta

được na = di Va xúc định một trường vecto vị trên , re[0,1] VỚI iw, © =n, khi

a L

do v,| =0 Như vậy ta có the chọn một lân cận me U của p trong U và mot ánh xạ

trơn p:U x[0,1]+U được cho boi ø,(p)= ø(p,f) là một vi phôi với ảnh cua nó nằm

trong U ,wre[0.1] và p, =id,, Cua =v,|„uạ» trong đó /Ø/” :Ø/(Ú)-»Ù Điều

nay đúng bởi vi v, ( =0 nên v, khá nhỏ trong ving lân cận với p, VY [0.1] đo đó với

q đủ gần p các đường thing dòng của v, xuất phát từ 4 tại =0 không ra khỏi U với

r<{0,1] Do cách xây đựng, Øj (%,)= wụ = w trên Ứ với £e[0,l] nên ø; (w')= w Ta xác định những tọa độ (Ă,, Ÿ,,ÿ,, ,ÿ,) trên U bằng cách cho i,=x,°p, va

J, = y,°p,-Khi đó di, = pj (dx,) và dy, = p; (dy,) do đó w= p,(w')= di, adj, trên

1.5 ĐÔI NET VE DAI SO TUYẾN TINH SYMPLECTIC

Cho không gian con Y của một không gian vectơ symplectic (V,Q), phần trực giao symplectic ¥" của nó là một không gian con tuyến tinh:

SVTH: Tran Thị Bao Trâm Trang 27

GVHD: PGS - TS Lẻ Anh Vũ

Ta có một số tính chat sau :

1 dimY +dim¥" =dimV.

Chứng minh Xét anh xạ sau ¢:¥ — Y" = Hom(Y.)

vy RAY).

Ta thay rang Ker¢ = Y°® = dimKer¢ = dim Y®

im¢ = †” => dimIm¢ = đìm Y” = dim Y

Do đó dim Ker¢ + dim Imớ = dim Y® + dimY = diịmV o