Khoá luận tốt nghiệp phân loại đa tạp khả vi một chiều

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp ý

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N guyễn T h ị X u ân

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà hoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Em xin khẳng định nội dung của đề tài này không có sự trùng lặp với các

đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N guyễn T h ị X u ân

Lời m ở đ ầ u iv

1.1 Cấu trúc tuyến tính của R n 1

1.2 Chuẩn trên Rn 2

1.3 Khoảng cách trên Rn 2

1.4 Sự tương đương của các chuẩn trên Rn 3

1.5 Sự hội tụ của dãy trong Rn 4

1.6 Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân c ậ n 4

1.7 Tập đóng, tập m ở 5

1.8 Các điểm đặc b i ệ t 6

1.9 Tập compact 7

1.10 Tập liên thông trong Rn 8

2 Đ a t ạ p k h ả vi P h â n loại đ a t ạ p k h ả vi 1-chiều 10 2.1 Ánh xạ trơn và đa tạp trơn 10

2.2 Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi p h â n 13

2.3 Phân loại đa tạp khả vi một c h iề u 22

3 Đ ư ờ n g co n g tr o n g M3 26

3.1 Đường cong trong M3 26

3.1.1 Cung tham s ố 26

3.1.2 Cung trong M3 27

3.1.3 Cung chính q u y 28

3.1.4 Cung định h ư ớ n g 28

3.1.5 Tiếp tuyến, pháp tuyến và pháp diện của cung 29

3.2 Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của một cung chính q u y 30

3.2.1 Độ dài c u n g 30

3.2.2 Tham số hóa tự nhiên của một c u n g 33

3.3 Cung song chính quy Mặt phẳng m ật tiếp tại điểm song chính quy của c u n g 34

3.3.1 Cung song chính q u y 34

3.3.2 Mặt phẳng m ật tiếp, m ặt phẳng trực đ ạ c 34

3.4 Độ cong của cung chính q u y 35

3.4.1 Khái niệm độ c o n g 35

3.4.2 Công thức tính độ cong của cung trong M3 35

3.4.3 Cung t h ẳ n g 36

3.5 Mục tiêu Frénet và độ xoắn của cung song chính quy trong R 3 37

3.5.1 Mục tiêu F r é n e t 37

3.5.2 Độ xoắn và công thức Prénet của cung song chính quy định h ư ớ n g 38

3.5.3 Cung p h ẳ n g 393.6 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong R 3 40

Lời m ở đ ầu

1 L ý d o ch ọ n đ ề tà i

Hình học vi phân là môn học yêu thích của em Các đa tạp khả vi là đối tượng nghiên cứu chính trong chủ đề này Một trong những bài toán

cơ bản là phân loại các đa tạp khả vi Đây là vấn đề khó và lời giải khá

là thú vị Vì vậy em đã chọn đề tài "Phân loại đa tạp khả vi một chiều" làm khóa luận tốt nghiệp

2 M ụ c đ íc h n g h iê n cứ u

Tìm hiều sâu hơn về cấu trúc của các đa tạp khả vi

Phân loại đa tạp khả vi một chiều

Tìm hiểu đường cong trong R3

3 Đ ối tư ợ n g n g h iê n cứu

Đa tạp khả vi trong Rn và chủ yếu là các đa tạp khả vi 1-chiều

4 N h iệ m v ụ n g h iê n cứu

Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều và nghiên cứu đường cong trong R 3

Chương 3 "Đường cong trong R3" trình bày một số lý thuyết về đường cong trong R 3 và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết đường trong R 3.

Đưa vào trong Mn phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với

một vô hướng được định nghĩa như sau: Nếu X = ( a : i , x n) ,

y = (yi, ,ỉ/„) G Mn thì

X + y = (Xị + yu ,xn + yn) ,

Xx = ( Ằ X i , X x n) ,

trong đó A e 1 Dễ thấy Mn với hai phép toán trên trở thành một

không gian vectơ thực n-chiều với cơ sở chính tắc là ei = ( 1 , 0 , 0 ) ,

e2 = (0,1,0, 0), en = ( 0 , 0 , 1 )

3 (fi {x + y) < (fi (x) + ip (y).

V í d ụ 1.2.1 Hàm trị tuyệt đối I.I là một chuẩn trên R

V í d ụ 1.2.2 Hàm ||.|| : Rn —¥ R cho bởi

với X = ( xi , X 2, ẽ R n, là một chuẩn trên R n Chuẩn này được gọi

là chuẩn Euclide của Rn

1.3 K h o ả n g cách tr ê n Mn

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Hàm p : R n X Rn —> R được gọi là khoảng cách (hay

mêtric) trên R n nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi X, y, z € R n,

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Giả sử ip : R n —»• M là một chuẩn trên R n Khi đó dễ

N h ậ n x é t 1.1 Quan hệ ~ là quan hệ tương đương

Ta phát biểu định lý sau trong [4]

Đ ịn h lý 1.1 Hai chuẩn bất kỳ trên Mn ỉà tương đương.

Vì mọi chuẩn trên Mn là tương đương nên từ đây về sau ta sẽ sử dụng

kí hiệu ||.|| để chỉ cho một chuẩn tùy ý trên Mn

1.5 S ự h ội tụ củ a d ãy tr o n g Mn

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Điểm a E M n được gọi là giới hạn của dãy (x k) c M n

nếu với mọi £ > 0 tồn tại k (s) sao cho \/k > k (e) ta có

lịa;* — a II < £.

Khi đó ta nói dãy (x k) hội tụ đến a và viết lim x k = a hay x k —> a khi

k —ị oo

k —ỳ’ oo.

Ta có các nhận xét sau: Dãy x k = (x \ , :x k) : Ả: = 1,2, hội tụ đến

a = (ữ i, , an) khi và chỉ khi dãy (Xị) c M hội tụ đến ữj, ¿ = 1 ,2 ,

Như vậy sự hội tụ trong R n là sự hội tụ theo tọa độ

1.6 H ìn h cầu m ở, h ìn h cầu đ ó n g , lân cận

được gọi là hình cầu đóng tâm x ữ, bán kính r trong Mn.

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Cho x ữ € Mn Tập con u c Mn được gọi là một lân

cận của x° nếu tồn tại r > 0 sao cho B (x°, r) c u

1 X được gọi là điểm trong của Ả nếu Ả là lân cận của X.

Tập tấ t cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A Kí

hiệu I n t (A) hay A°.

2 X được gọi là điểm tụ của Anếu mọi lân cận ucủa X chứa ít nhất một điểm của Akhác X.

Tập tấ t cả các điểm tụ của Ađược gọi là tập dẫn xuất của Avà viết là A'.

3 X được gọi là điểm cô lập của Anếu tồn tại lân cận u của X thỏa mãn

U n A = { x }

4 X hoặc là điểm tụ hoặc là điểm cô lập của Asẽ được gọi là điểm dính của A.

Tập tấ t cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A và kí hiệu là A.

5 X được gọi là điểm biên của A nếu u n A Ỷ 0 và U \A Ỷ 0 với ưiọi

lân cận ucủa X.

Tập tấ t cả các điểm biên của A được gọi là biên A và kí hiệu là dA.

1.9 Tập c o m p a ct

Đ ịn h n g h ĩa 1.11 Tập Ẩ c l" được gọi là tập compact nếu mọi dãy

trong a đều chứa một dãy con hội tụ đến một phần tử thuộc A.

Đ ịn h lý 1.2 (Haussdorf) Tập A c Rn là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.

Đ ịn h n g h ĩa 1.12 Giả sử A c Rn Họ các tập được gọi là một

Chứng minh Giả sử phản chứng z Ệ E Khi đó ta có A = (—00,2:) và

B = (z, +oo) là hai tập mở không giao nhau trong R Hơn nữa ta có,

^ 4 n £ l ^ 0 , H n £ l 7 ^ 0 v à £ ’ C ^ 4 U 5 Ta suy ra E không liên thông (mâu thuẫn với giả thiết E là tập liên thông).

Đ ịn h n g h ĩa 1.14 Tập E € R gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm

X, y thuộc E tồn tại một đường liên tục trong E nối X Yầ y, tức là tồn

tại một ánh xạ liên tục

/ : [0,1] -> E

sao cho / (0) = x , f (1) = y.

M ệ n h đ ề 1.3 Tập E liên thông đường thì liên thông.

Chứng minh Ta có [0,1] là tập liên thông, / là ánh xạ liên tục nên

/ ([0,1]) là tập liên thông trong E Tập liên thông này chứa X và y Mà

ta có hệ quả trong [5] là nếu với hai điểm bất kỳ X và y của một không

gian tôpô E đều tồn tại một tập liên thông chứa X và y thì E là một không gian liên thông Do đó, ta có E là liên thông □

Đ a tạp khả vi

P h â n loại đa tạ p khả vi 1-chiều

Trong chương này chúng ta trình bày về đa tạp trơn, nhắc lại các khái niệm của đa tạp trơn, ánh xạ trơn, không gian tiếp xúc, ánh vi phân và định lý chính trong chương này là "Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều"

trùng với / trên u n X Với / (:r) € Y. Do g : Y — > z là trơn nên tồn

tại tập mở V c R z chứa / (x) và ánh xạ trơn

G : V Rm

trùng với g trên V n Y Ta có thể chọn u đủ nhỏ sao cho F (u) c V

T hật vậy, ta thay ubởi ƠI = un F ~ x (V ) nếu cần thiết Khi đó ánh xạ

G o F : u ->• Rm

là trơn do tính khả vi vô hạn của hợp hai ánh xạ khả vi vô hạn Hơn

nữa, G o F đồng nhất với g o / trên un X

Đ ịn h n g h ĩa 2.3 Cho X c Rfc, Y c R* Ánh xạ / : X —» Y được gọi là

một vi phôi nếu / là đồng phôi và cả / , / -1 là trơn Khi đó ta nói X vi phôi với Y qua ánh xạ / hoặc / ánh xạ X vi phôi với Y

Đ ịn h n g h ĩa 2.4 Tập con M c Rfc được gọi là một đa tạp trơn m-chiều nếu với mỗi X € M có một lân cận w n M vi phôi với một tập mở

ơ c Rm.

Đ ịn h n g h ĩa 2.5 Ánh xạ g : u —>■ R k được gọi là tham số hóa của lân cận w n M của X nếu g ánh xạ u vi phôi với w n M Ánh xạ ngược

g~l : w n M —> u được gọi là một hệ tọa độ của w n M

V í d ụ 2.1.1 Đường tròn đơn vị s 1 gồm những điểm (x , y ) e M2 thỏa

mãn X 2 + y 2 = 1 là đa tạp khả vi 1-chiều T hật vậy, ta chọn

Tổng quát, hình cầu S n 1 cR" gồm tấ t cả các điểm ( a q , x n) thỏa

V í d ụ 2.1.2 Tập hợp M gồm tấ t cả các (X, y ) ẽ R 2 với y = siĩtx là đa

tạp khả vi 1-chiều (Chứng minh tương tự ví dụ trên)

2.2 K h ô n g g ia n tiế p x ú c và á n h x ạ v i p h â n

Đ ịn h n g h ĩa 2.6 Cho u c R k là tập mở Không gian tiếp xúc của tập

u tại điểm X € u được định nghĩa là không gian vectơ Mfc Kí hiệu là

TXU.

Đ ịn h n g h ĩa 2.7 Cho u c V c R l là các tập mở và / : u —>■ V là ánh xạ trơn bất kỳ Với X E ư, ánh xạ

với h e được gọi là ánh xạ vi phân của / tại x.

Khi đó ánh xạ vi phân d f x là ánh xạ tuyến tính và d f x có ma trận

biểu diễn đối với cơ sở chính tắc của và cơ sở chính tắc của M* là

(x) cấp ỉ X k gồm các phần tử là đạo hàm cấp một các hàm thành

phần của / tại x.

Sau đây là hai tính chất cơ bản của ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn giữa các tập mở:

T ín h c h ấ t 2.2.1 ( Quy tắc dẫy xích) Cho u c V c E.1, w c Mm

Nếu f : u —»■ V và g : V—»• w là các ánh xạ trơn, vói f (x) = y thì d(g ° f ) x = dgy o d f x

Theo cách khác, với mỗi tam giác giao hoán của các ánh xạ trơn giữa

các tập mở của Mk, M.1, Rm; tương ứng với một tam giác giao hoán của

các ánh xạ tuyến tính

Chứng minh Do / và g là trơn nên g o / : u — >• w là trơn Gọi ma trận

của các ánh xạ tuyến tính dfx, dgy, d (g o / ) lần lượt là

Hơn nữa, ta có

(g ° f)i (z) = gi (/ ( x ) )

Từ đây và theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta suy ra

9{g o f)i Ọc) = dgị ( / (3;)) dfj (x) = dỹi (y) dfj (x)

M ệ n h đ ề 2.1 Nếu f : u V là một vi phôi giữa các tập mở u c R k

và V c R l thì k = ỉ và ánh xạ tuyến tính

d fx : R k R'

là không suy biến.

Chứng minh Ta có / _1o / là ánh xạ đồng nhất của u Do đó d ( f ~ 1)yodf x

là ánh xạ đồng nhất của R 1 Tương tự, d/a; ° d ( / _1) là ánh xạ đồng nhất của Mfc Do đó dfx có nghịch đảo hai phía nên ta suy ra k = / □

Đ ịn h lý 2.1 (Định lý hàm ngược) Cho f : u -> Mfc là ánh xạ trơn với

u mở trong Rk Nếu ánh xạ vi phân d f x : —»■ là không suy biến thì f ánh xạ tập mở bất kì U' c u đ ủ nhỏ chứa X vi phôi lên một tập

mở f{U' ).

Đ ịn h n g h ĩa 2.8 Cho đa tạp trơn M c Với X G M , chọn một tham

số hóa

g : u Rk

của lân cận g ( u ) c M của X , trong đó u c Km là tập mở Ta có ánh

xạ vi phân của g tại u = g~x (x) là

dgu : Mm ->• R k.

Khi đó không gian tiếp xúc của đa tạp M tại X được định nghĩa là

I m dgu Kí hiệu là TXM

• Ta chứng minh định nghĩa không gian tiếp xúc TXM không phụ thuộc vào việc chọn tham số g T hật vậy, cho h : V —> R k là tham

số hóa khác của lân cận h (V) c M của X với V = h_1 (x) Ta có

thể chọn u đủ nhỏ sao cho g (u ) c h (y) T hật vậy ta thay u bởi

Uị — g~l (h (V )) n u nếu cần thiết Khi đó h~l o g ánh xạ tập mở

uchứa u vi phôi với tập mở V chứa V Ta có sơ đồ giao hoán của

• Ta chứng minh TXM là không gian vectơ m-chiều T hật vậy, vì

g - 1 : g ( U ) - > u

là ánh xạ trơn nên ta c ó thể chọn một tập mở w chứa X và một

ánh xạ trơn F : w —> Km trùng với g~l trên w n g (u ).

Đặt ƯQ = g~l (W n g {U)), ta có sơ đồ giao hoán

Sơ đồ này chỉ ra rằng dgu có hạng m và do đó ảnh TXM của nó có

số chiều m

Đ ịn h n g h ĩa 2.9 Cho hai đa tạp trơn M c N c và ánh xạ trơn

/ : M N

với mọi V G TXM c R fe.

N h ậ n x é t 2.1 Để xác minh định nghĩa ta cần chứng minh d f x ánh xạ

TXM vào TyN và không phụ thuộc vào viêc chọn F T hật vậy, ta chọn

các tham số hóa

g : u R k, h : V -+ R 1,

của lân cận g (u ) c M của X và h (V ) c N của y Ta có thể chọn w đủ

nhỏ sao cho F (W) c h (V) (thay IV bởi wx = F ~ x (h ( V ) ) n w nếu cần

thiết) và u đủ nhỏ sao cho g (u) c w (thay u bởi Uị = < 7_1 (w) n u

nếu cần thiết) Khi đó F ánh xạ g (u ) vào h (V ) Ta suy ra

h~l o F o g : u V

là ánh xạ trơn

Xét sơ đồ giao hoán

của các ánh xạ trơn giữa các tập mở Chuyển sang ánh xạ vi phân,

ta có sơ đồ giao hoán của các ánh xạ tuyến tính