Khoá luận tốt nghiệp ma trận đa thức

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI KH O A TOÁN N guyễn T h ị Phượng M A T R Ậ N ĐA TH Ứ C KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội — N ăm B Ộ G IÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TRƯ Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI KH O A TOÁN N guyễn T h ị Phượng M A T R Ậ N ĐA TH Ứ C Chuyên ngành: Toán hình K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C N G Ư Ờ I H Ư Ớ N G D Ẫ N K H O A HỌC: T h S P h ạm T h an h Tâm H N ội — N ăm Lời cảm ơn Sau thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung khóa luận với giúp đỡ nhiệt tình tận tâm giảng viên hướng dẫn ThS Phạm Thanh Tâm Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Sự động viên tin tưởng Thầy nguồn động lực để em hoàn thành khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn tới tất Thầy Cô giáo trường ĐHSPHN2 Đặc biệt Thầy Cô giáo khoa Toán trường ĐHSPHN2 , người bạn giúp đỡ em nhiều trình làm khóa luận Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè người thân động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt qua trình học tập vừa qua Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi sai sót cách trình bày Mong góp ý, xây dựng Thầy Cô bạn Hà Nội, ngày Oị tháng 05 năm 2016 Sinh viên N guyễn T h ị Phượng Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm Thầy Cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình T h S P h m T h an h T âm Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài " M a trậ n đ a th ứ c" trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên N guyễn T h ị Phượng 11 M ục lục Lời m đầu iii D anh m ục cá c kí hiệu chữ viết t ắ t V 1 M a trậ n 1.1 Định nghĩa 1.2 Các phép toán mat r ậ n 10 1.3 Bài t ậ p 12 Toán tử tu yến tín h 19 2.1 Giá trị riêng, vectơ riêng đathức đặc tr n g 19 2.2 Chéo hóa ma t r ậ n 23 2.3 Không gian bất b i ế n 27 2.4 Toán tử đa thức đa thức cực tiể u 29 2.5 Bài t ậ p 32 M a trậ n đ a th ứ c 36 3.1 Định nghĩa 36 3.2 Tính c h ấ t 36 3.3 Bài t ậ p 47 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG Tài liệu th a m khảo 51 11 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG Lời mở đầu L ý chọn đề tà i Có thể nói Đại số tuyến tính môn học quan trọng Nó coi sở cho tất môn toán mà sinh viên học Trong ma trận đa thức vấn đề lý thú quan trọng Nó có nhiều ứng dụng chuyên ngành khác : Giải tích, hình học, Vì đề tài ma trận đa thức đề tài hấp dẫn nhiều lớp sinh viên yêu thích môn Đại số tuyến tính Đặc biệt trình học tập môn học em tiếp thu số kiến thức: Ma trận, định thức, vectơ riêng, giá trị riêng Chính kiến thức tạo cho em niềm say mê muốn tìm hiểu kĩ ma trận đa thức M ụ c đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nghiên cứu kiến thức ma trận đa thức Đối tư ợn g nghiên cứu Ma trận đa thức số tập liên quan Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ma trận đa thức số dạng tập liên quan phạm vi môn Đại số tuyến tính G iả th u y ết khoa học Xây dựng hệ thống tập ma trận đa thức làm thành tài liệu giúp bạn sinh viên khóa sau thấy vai trò môn Đại số tuyến tính iii K h ó a luận tốt nghiệp Đ ại học N G UYỄN THỊ PHƯỢNG N hiệm vụ nghiên cứu củ a đề tà i Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến ma trận đa thức Nghiên cứu số định lý tập ma trận đa thức P h ơn g pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích, tập giải minh họa tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn C ấu trú c khóa luận Khóa luận gồm chương Chương 1: Ma trận Chương 2: Toán tử tuyến tính Chương 3: Ma trận đa thức Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Phượng ĩv K h ó a luận tốt nghiệp Đ ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG Danh mục kí hiệu chữ viết tắ t R tập số thực Q tập số hữu tỉ R* tập số thực khác Rn không gian Euclid n chiều Ker ip hạt nhân ip u c v u tập Y x& u X thuộc tập u XỆU X không thuộc tập \/x e u với X thuộc tập u tồn V u V rank {ip - Àiln) hạng ma trận (ip — \ịln © tổng trực tiếp V Chương M a trậ n 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1 Ma trận m dòng, n cột trường K gọi ma trận kích thước m xn Ta kí hiệu ma trận M (m xn ;K ) Ma trận vuông ma trận có số cột số dòng, ta kí hiệu M (nx n(K) hay đơn giản M (n;K ) n gọi cấp ma trận Ta thường kí hiệu ma trận chữ in hoa: Ả, B , Hai cách viết ma trận là: 0-n • ( alx ®1n A = ■ ®1n \ \B = ưmn Ị Có thể viết ma trận cách đơn giản A = (ữij)(mxn) Khi biết rõ m n ta viết A = (ãịj); ãij ẽ K ; J < i < m ; 1< j < n Ma trận có dòng (một cột) ta gọi ma trận dòng (ma K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG i) ( ỉ + g)(A ) = f(A ) + g(A), ii) (a f)(A ) = af(A ), iii) (fg)(A ) = f(A ).g(A ) Định lý ( Cayley - Hamilton) Cho A € M ( n ; K.) P a {ì ) đa thức đặc trưng A Khi Pa {A) = € M ( n ; K ) Chứng minh Gọi B (t) ma trận phụ hợp ma trận A - t In Các phần bù đại số A - t In đa thức bậc không (n- 1) t nên ta viết B (t) = B n_i tn + + B ịt + B q B n_i B u B ữ e M ( n ; K) Theo tính chất ma trận phụ hợp: Det( A - t In).In = B (t)(A - t In) = PA(t)In Thay t = A vào phương trình ta được: Pa (A) = (A -A J„ )B (A ) Điều chứng tỏ Pa {A) = g M ( s _ _ ía M ệnh đê Cho A = j b\ h ; K ) □ Khỉ ta có A2 - (a + d)A + (ad - V dì bc)I = Chứng minh Theo định lý Cayley - Hamilton ta có: PA{t) — IA — t i I = (a — t)(d — t) — bc = ad — at — dt + t2 — bc = t2 — (a + d)t + (ad — bc) Thay t = A ; = I ta có điều phải chứng minh 37 □ K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG V í dụ 2>1 Tính Cho A = * s A 10 v Cách 1: Ap dụng mệnh đề 3.2 ta có: A2 = 5A - ỉ Khi ta tính lũy thừa ma trận A A3 = A A = A.(5A - 6/ 2) 19A - 30/2 A4 = A A = A ( A - / 2) 65 A - 114/2 A5 = A A = A.(Q5A — 114 / 2) 1 A - 390/2 A6 = A A = A (2U A - 390/ 2) 665A - 1266/ A7 = A A = A (6 A - 1266/ 2) = 2059A - 3990/2 A8 = A A = A (2 A - 3990/ 2) = 6305A - 12354/2 A9 = A A = A ( A - 12354 / 2) = 19171A - 37830/ A 10 = A A = A (1 A - 37830/2) = 58025A - 115026/ Vậy: A10 = 58025A - 115026/2 Cách 2: Đa thức đặc trưng ma trận A là: Pa (ì ) = t2 - 5t + Xét đa thức f(t) = tlữ ; ta chia f(t) cho Pa {ì )Từ ta có: í 10 = (t - 2)(t - ).q (t)+ (a t + b) • Cho t = ta được: 2a + b = 210 38 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG • Cho t = ta được: 3a + b = 310 Suy a = 310 - 210 ; b = 3.210 - 310 Vì í 10 = PA(t).q (t)+ (310 - 210).t + (3.210 - 310) Khi ta có: A lữ = (310 - 210).A + (3.210 - 310) / V í dụ 2 (a Cho A = j o\ Ị Tính An \° b1 Hướng dẫn: Theo định lý Cayley - Hamilton ta có: [ a 0>\ A2 = (a + d)A - a b l = ° 67 a3 A3 — (a + d)A2 — abA b3 Từ ta ỉ aTl { bn n— An = I Suy : \n+l _ ịan An AnA = ~ \o oW a bn) 0^ ( 1) ịan+1 \0 b ) ~ \ Vậy (1) với n = 1,2,3, 39 ^ bn+1) K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG Với A ma trận dạng đặc biệt ta hoàn toàn đoán An nhiên A ma trận bất kì, ta khó tìm quy luật để dự đoán An Bây ta suy nghĩ đến việc sử dụng định lý Cayley - Hamilton để giải toán Trước hết ta thấy đa thức đặc trưng đa thức bậc 2, phân tích A2 - (a+d )A + (ad - bc)I = thành (A - aI)(A - /31) = + ) THI: aỹ£/3 Khi đó, từ (A - ad)(A - /31) = ta suy (A - a:I)A = (A - aI)/3 Từ theo quy nạp ta dề dàng chứng minh được: (A - a ì)A n = (A - ad)/3n (i) Hoàn toàn tương tự ta có: (A - /31)An = (A - /3ĩ)an (ii) Lấy (ii) - (i) ta được: (a - ¡3)An = (a n - ị3n)A - (OLnp -a ị3n )I Suy ra: n ị _ aP{aĩl- 1-P n- 1) J An = an-p a—ậ a—fi + ) TH2: a = Khi ta có được: (A - a l f = Đặt A - a l = B suy A = a i + B với B = Áp dụng khai triển nhị thức Newton: An = (a;I)n + C q (o:I)n_1B + + Bn 40 ( 2) K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG Do B = nên An = a n1+ n a" *113 = QínI+nQín 1( A - ad) Suy : A n = n ữ "-1 A - (n-l)a;nI (3) V í dụ 3 Tính An Cho A = Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng A là: PA{t) = t2 - 4t + Theo định lý Cayley - Hamilton: A2 - 4A + 41 = =>• (A — 21)2= Áp dụng (3) với cc = ta được: A n = Ĩí_2n- 1Ả - (n -l)2nI = ị (n + 2)2n_1 n "-1 n T ~ x — (n — ì\ J ) 2n~1 Trong phương pháp ta sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Nếu nhìn từ khía cạnh đa thức, đa thức đặc trưng ma trận A Pa {ì ) = t2 — (a + d)t + ad — bc Nếu gọi a , /3 nghiệm PA{t) có trường hợp xảy với a /3 : + ) Trường hợp a Ỷ ¡3 Theo định lý phép chia đa thức tồn đa thức Q(t) số p, q cho: tn = [t2 - (a + d )t + ad - bc]Q(t) + pt + q Lần lượt thay t = a , t = Ị3 vào biểu thức ta thu được: 41 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG an OL + q ạn Í3p + q , _ a n - B n =>■ p = ot —p ~ V _ aP (a q = ^ OL—p Từ ta thu công thức (2) A n = an- P nA _ aP{an- 1- n- 1)j a—p a—/3 + ) Trường hợp a = ¡3 Khi ta có : tn = {t - a )2 Q(t) + pt + q Đạo hàm vế theo t ta : n tn~l — 2( t - cc)Q(t) + (t — a )2 Q’(t) + p Lần lượt thay t = a vào biểu thức ta có: { an = ap + q n.an~ l = Suy p = p n a n y q — —ị n — l)o;n Từ ta có công thức (3): An — no;n_1A - (n-l)a;nL H ệ Cho f(t) € K[tJ bất kì; A E M (nịK) ma trận vuông Pa (íí) đa thức đặc trưng A Khi r(t) phần dư đa thức f(t) chia cho Pa {ì ) f(A ) = r(A ) 42 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG V í dụ /4 Cho f(t) = 10í 10 - 9í + - t A = -5 2^ -7 V6 -9 / Tính f(A) Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng ma trận A là: PA(t) = -p + t Thực phép chia đa thức f(t) cho đa thức đặc trưng PA(t) ta được: f(t) = (-Í3 + t2 )(-10í - í - 9t3 - 2í - 8t3 -312 -7t - ) + ( 6t2 - t) Suy phần dư phép chia : 6t2 - t Do f(A) = r(A) = 6A - A Đ ịnh lý Cho A ; B hai ma trận vuông cấp f;g € K.[t] hai đa thức tùy ý Khi A B giao hoán với f(A ) g(B ) giao hoán với Chứng minh Giả sử f(A) = anAn + an_iA n + + a\A + ữoAi + + biB + b0Im g(B) = bnB m + Ta giả sử deg f > deg g n = deg f Ta chứng minh theo quy nạp + ) Với n = =>■ f(A) = aữI + aịA g(B) = b0I + bịB ; ta có f(A).g(B) = ( ũqI + a\A )(boI + &i-0)= ữo&o T aịboA + ữo&iB -ị-aibiAB = (60+61 B )(a 0+ữiA ) = g(B)f(A) (đúng) + ) Với n > ta viết: 43 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG f(x) = ãxn + /i(x ); deg /i(x ) < deg f(x) g(x) = b xn + ỡi(x); deg £i(x) < deg g(x) Ta có AnB n = A ( An -iB n -ijB = ( AB n- l){A n~ l B ) = B n~ l {A B )A n~l = B nAn Vậy An B n giao hoán với Mặt khác ta có: f(A) = aA» + h {A ) g(B) = bB n + gx{B ) Ta có: Angi{B ) = An[bo + + bỵBky, ịk < rì) = Anb0 + + bkAnB k = b0An + + bkAn~kA kB k = b0An + + bkAn~kB kA k = b0An + + bkB kAn — {bo + + bkB k)An Suy An giao hoán với gi{B ) Tương tự B n giao hoán với fi{A ) fi{A ) giao hoán với gi{B ) Suy điều phải chứng minh □ Đ ịnh lý 3 Cho A G M ( n ; R ) , f(t) e KftJ Xị giá trị riêng A f(Xị) f ( Xn) giá trị riêng f(A ) Chứng minh Ta có: Det(A - t In) = (—A)n + + detA Thế Ai An = = detA Mặt khác, giả sử : f(t) = amtm + am-itm + + a\t + ữo 44 Xn K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG Khi đó: f{A ) — amAm + am-iA m + + a\A + aQỈn /(A ) = a m Xm + a m _ ịX m + + ữiA + ữo với A giá trị riêng A ứng với vectơ riêng l ề : f { A ) Ỹ = {amAm + + a0In) Ỹ = amAmlề + + a0InỸ = amXmỸ + + a0Ỹ Suy ra: Ĩ {A ).Ỹ = Ĩ{X ).Ỹ □ Vậy f(A) giá trị riêng f(A) Định lý Cho đa thức f(t) £ K [t] , A € M (n; K ) ma trận vuông thỏa mãn f(A ) = Khỉ giá trị riêng Ả nghiệm đa thức f(t) M ệnh đề 3 Cho A, B £ M ( n ; K ) , A đồng dạng với B Khỉ f(t) £ K[t] f(A ) đồng dạng với Ỉ(B ) Chứng minh Vì ma trận A đồng dạng với ma trận B nên tồn ma trận khả nghịch p cho: A = P ~ 1B P => Am = (P ~ lB P )m = P ~ 1B mP 45 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U Y ỄN THỊ PHƯỢNG Và P ~ 1AnP = (.P ~lA P )n Ta có: P ~ l (C + D )P = P ~ lC P + P ~ lD P f(t) ŨQ + ữlt + Ũ212 + + ữntn Suy ra: /(-A) — ữọ/ + ữ\A + O12AĨ + + ữnAn Ế a tA‘ i=0 i=0 p - \ Ế a i B ‘)P i=0 = P ~ lf ( B ) P □ Suy f(A) đồng dạng với f(B) / A\ M ệnh đề Cho A ma trận đường chéo khối ■ \ ••• A2 \ Akj Aị ( i = l ,2 , ,s ) ma trận vuông , f(t) đa thức tùy ý Khi í Ỉ { M) \ HA ) V f{Ak)J 46 K h ó a luận tốt nghiệp D ại học N G U YỄN THỊ PHƯỢNG N h ận x é t: Kết mệnh đề hiển nhiên suy từ định nghĩa ma trận đa thức 3.3 B ài tập B i tậ p 3 (a Cho A = Ị b\ V d) f(t) đa thức tùy ý Tính Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng A g(t) = t2 - (a+d )t + (ad - bc) nhận A làm nghiệm, suy g(A) = Gọi a /3 hai nghiệm tam thức bậc Suy ra: g(t) = ( X -a )(x - ạ) Ta tìm dư r(t) chia f(t) cho g(t) Nếu a = ¡3, theo khai triển Taylor ta suy ra: r(t) = f(o; ) + f ( o ' ) ( x - O í ) Nếu a / | , ta có r(cc ) = f(a ) r (Ị3 ) = f(¡3 ) Ta lại có r(t) = at + b Suy ra: = ỉ(a)-f(P) -, a-p ’ af(P)-PỈ(a) a-p Cho nên: t I PỈ(a)-aĩ{P) f(t) = h(t).g(t) + H