Phân loại đa tạp khả vi một chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Xuân PHÂN LOẠI ĐA TẠP KHẢ VI MỘT CHIỀU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Xuân PHÂN LOẠI ĐA TẠP KHẢ VI MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Tất Thắng Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ đóng góp ý kiến cho em suốt thời gian học tập nghiên cứu trường Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do lần làm quen với công tác nghiên cứu nên tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Xuân i Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em có tham khảo kết nghiên cứu nhà hoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định nội dung đề tài trùng lặp với đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Xuân ii Mục lục Lời mở đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc tuyến tính Rn 1.2 Chuẩn Rn 1.3 Khoảng cách Rn 1.4 Sự tương đương chuẩn Rn 1.5 Sự hội tụ dãy Rn 1.6 Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân cận 1.7 Tập đóng, tập mở 1.8 Các điểm đặc biệt 1.9 Tập compact 1.10 Tập liên thông Rn Đa tạp khả vi Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều 10 2.1 Ánh xạ trơn đa tạp trơn 10 2.2 Không gian tiếp xúc ánh xạ vi phân 13 2.3 Phân loại đa tạp khả vi chiều 22 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân Đường cong R3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 26 Đường cong R3 26 3.1.1 Cung tham số 26 3.1.2 Cung R3 27 3.1.3 Cung quy 28 3.1.4 Cung định hướng 28 3.1.5 Tiếp tuyến, pháp tuyến pháp diện cung 29 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy 30 3.2.1 Độ dài cung 30 3.2.2 Tham số hóa tự nhiên cung 33 Cung song quy Mặt phẳng mật tiếp điểm song quy cung 34 3.3.1 Cung song quy 34 3.3.2 Mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng trực đạc 34 Độ cong cung quy 35 3.4.1 Khái niệm độ cong 35 3.4.2 Công thức tính độ cong cung R3 35 3.4.3 Cung thẳng 36 Mục tiêu Frénet độ xoắn cung song quy R3 37 3.5.1 Mục tiêu Frénet 37 3.5.2 Độ xoắn công thức Frénet cung song quy định hướng ii 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.5.3 3.6 Nguyễn Thị Xuân Cung phẳng 39 Định lý lý thuyết đường R3 40 Tài liệu tham khảo 46 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân Lời mở đầu Lý chọn đề tài Hình học vi phân môn học yêu thích em Các đa tạp khả vi đối tượng nghiên cứu chủ đề Một toán phân loại đa tạp khả vi Đây vấn đề khó lời giải thú vị Vì em chọn đề tài "Phân loại đa tạp khả vi chiều" làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiều sâu cấu trúc đa tạp khả vi Phân loại đa tạp khả vi chiều Tìm hiểu đường cong R3 Đối tượng nghiên cứu Đa tạp khả vi Rn chủ yếu đa tạp khả vi 1-chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều nghiên cứu đường cong R3 Phương pháp nghiên cứu Đọc hiểu lý thuyết đa tạp khả vi Sử dụng lý thuyết hình học vi phân để chứng minh đồng phôi đa tạp trơn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị” trình bày lại số kiến thức cấu trúc không gian Rn tôpô Rn Chương "Đa tạp khả vi phân loại đa tạp khả vi 1-chiều" trình bày đa tạp khả vi (cấp vô hạn) định lý chủ yếu chương Phân loại đa tạp khả vi chiều Chương "Đường cong R3 " trình bày số lý thuyết đường cong R3 chứng minh định lý lý thuyết đường R3 v Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày lại số kiến thức cấu trúc không gian Rn tôpô Rn 1.1 Cấu trúc tuyến tính Rn Kí hiệu Rn = {x = (x1 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, , n} Đưa vào Rn phép toán cộng hai phần tử nhân phần tử với vô hướng định nghĩa sau: Nếu x = (x1 , , xn ) , y = (y1 , , yn ) ∈ Rn x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ) , λx = (λx1 , , λxn ) , λ ∈ R Dễ thấy Rn với hai phép toán trở thành không gian vectơ thực n-chiều với sở tắc e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, 0), , en = (0, , 0, 1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân −−→ • Tính lim C Cho ε > bé tùy ý Vì ρ (t) liên tục đoạn δ→0 [a, b] nên liên tục đoạn Do với ε > cho tìm δ > để với t, t˜ ∈ [a, b] −−−→ −−→ ε mà t˜ − t < δ ρ t˜ − ρ (t) < b−a Ta lấy phép chia [a, b] cho max (ti − ti−1 ) ≤ δ vừa tìm phân tích m −−−→ −−−−−−−−→ ρ (ti−1 ) ρ (ti ) − (ti − ti−1 ) ρ (ti ) |C| ≤ i=1 ti m = i=1 ti−1 m ti ≤ m = −−−→ ρ (ti )dt ti−1 ti −−→ ρ (t)dt − i=1 t i−1 ti ti −−→ ρ (t)dt − −−−→ ρ (ti )dt ti−1 −−→ −−−→ ρ (t) − ρ (ti ) dt i=1 t i−1 ti m ≤ i=1 t m i−1 ti ε dt = ε b−a < i=1 t −−→ −−−→ ρ (t) − ρ (ti ) dt i−1 Vậy lim C = δ→0 m Tổng hợp kết ta lim δ→0 i=1 Vậy định lý chứng minh 32 −−−−−−−−→ ρ (ti−1 ) ρ (ti ) = b a −−→ ρ (t) dt Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.2 Nguyễn Thị Xuân Tham số hóa tự nhiên cung Định nghĩa 3.11 Một tham số hóa r : I → R3 , s → r (s) cung quy Γ gọi tham số hóa tự nhiên r (s) = hay ta gọi tham số hóa độ dài cung (Chuẩn nhắc đến chuẩn Euclide) Tính chất 3.2.1 Mọi cung quy (kể cung quy định hướng) có tham số hóa tự nhiên Chứng minh Cho cung quy Γ có tham số hóa ρ : J → R3 , t → ρ (t) Lấy t0 ∈ J, t0 cố định bất kỳ, ta xét ánh xạ t λ : J → I = ρ (J) , t → λ (t) = ρ (k) dk t0 Ta có λ (t) = ρ (t) > 0, ∀t ∈ J nên λ vi phôi (bảo toàn hướng) từ J lên khoảng I tập số thực R Vậy có tham số hóa r : I → R3 , s → r (s) = ρ λ−1 (s) Γ (hơn r ρ tương đương định hướng) Vì ρ = r ◦ λ nên ρ = (r ◦ λ) λ , ρ r = (r ◦ λ) |λ | = (r ◦ λ) ρ , suy = Vậy cung quy Γ có tham số hóa tự nhiên r 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3 Nguyễn Thị Xuân Cung song quy Mặt phẳng mật tiếp điểm song quy cung 3.3.1 Cung song quy Định nghĩa 3.12 Cho cung Γ có tham số hóa ρ : J → R3 , t → ρ (t) Điểm t0 Γ gọi điểm song quy cung hệ hai vectơ {ρ (t0 ) , ρ (t0 )} độc lập tuyến tính Một cung mà điểm điểm song quy gọi cung song quy Ví dụ 3.3.1 Cho cung Γ có tham số hóa ρ : (0, +∞) → R3 , t → ρ (t) = 2t, ln t, t2 Khi đó, ta có Γ cung song quy 3.3.2 Mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng trực đạc Định nghĩa 3.13 Cho cung Γ có tham số hóa ρ : J → R3 , t → ρ (t) t0 điểm song quy cung Γ Mặt phẳng R3 qua điểm ρ (t0 ) nhận không gian vectơ ρ (t0 ) , ρ (t0 ) làm không gian vectơ phương gọi mặt phẳng mật tiếp cung Γ điểm t0 Định nghĩa 3.14 Cho cung Γ có tham số hóa ρ : J → R3 , t → ρ (t) t0 điểm song quy cung Γ Pháp tuyến nằm mặt phẳng mật tiếp cung Γ điểm t0 gọi pháp tuyến Γ điểm Pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng mật tiếp cung Γ điểm t0 gọi trùng pháp tuyến cung Γ điểm 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân Mặt phẳng tạo tiếp tuyến trùng pháp tuyến điểm ρ (t0 ) gọi mặt phẳng trực đạc cung Γ điểm 3.4 Độ cong cung quy Từ phần này, chuẩn mà nói đến chuẩn Euclide 3.4.1 Khái niệm độ cong Định nghĩa 3.15 Cho cung quy Γ có tham số hóa tự nhiên r : I → R3 Đặt T (s) = r (s) T (s) = Số k = T (s) gọi độ cong cung Γ điểm s 3.4.2 Công thức tính độ cong cung R3 Mệnh đề 3.1 Cho cung quy Γ với tham số hóa ρ : J → R3 , t → ρ (t) Lấy r : I → R3 , s → r (s) tham số hóa tự nhiên Γ Gọi phép đổi tham số từ t sang s λ : J → I, t → s = λ (t), ta có ρ = r ◦ λ, ∀t ∈ J Khi k (t) = ρ (t) ∧ ρ (t) ρ (t) Chứng minh Ta tính đạo hàm ρ (t) = λ (t) · r (λ (t)) = λ (t) · r (s) , 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân ρ (t) = λ (t) · r (s) + (λ (t)) · r (s) Suy ρ (t) = |λ (t)| · r (s) = |λ (t)| (do r (s) = 1) ρ (t)∧ρ (t) = [λ (t)]3 ·r (s)∧r (s) Vì r (s) = nên r (s) ⊥r (s) Do ρ (t) ∧ ρ (t) = |λ (t)|3 · r (s) ∧ r (s) = |λ (t)|3 · r (s) · r (s) · |sin (r (s) , r (s))| = |λ (t)|3 · r (s) = |λ (t)|3 · T (s) = ρ (t) Suy k (λ (t)) = ρ (t)∧ρ (t) ρ (t) · k (s) Viết tắt k (λ (t)) k (t), ta có công thức k (t) = 3.4.3 ρ (t) ∧ ρ (t) ρ (t) Cung thẳng Định nghĩa 3.16 Cung thẳng cung có tập ảnh nằm đường thẳng (có thể đường thẳng đoạn đường thẳng) Tính chất 3.4.1 Cung thẳng có độ cong k = ngược lại cung có độ cong k = cung thẳng Chứng minh Giả sử Γ cung quy có độ cong bẳng điểm Lấy r : I → R3 , s → r (s) tham số hóa tự nhiên Γ Ta 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân có: k (s) = 0, ∀s ∈ J −−−→ ⇔ T (s) = 0, ∀s ∈ J −−→ − ⇔ T (s) = → α , ∀s ∈ J, − → α vectơ đơn vị Điều tương đương với ảnh Γ nằm → − − đường thẳng (đi qua điểm O + β có vectơ phương → α ) Vậy cung quy có độ cong điểm cung thẳng 3.5 Mục tiêu Frénet độ xoắn cung song quy R3 3.5.1 Mục tiêu Frénet Xét cung song quy đinh hướng R3 Γ cho tham số hóa tự nhiên: r : I → R3 , s → r (s) Ta kí hiệu: T (s) = r (s) gọi trường vectơ tiếp xúc đơn vị N (s) = r (s) T (s) = r (s) T (s) gọi trường vectơ pháp tuyến đơn vị B (s) = T (s) ∧ N (s) 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân gọi trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị Ta có T (s) ⊥N (s), B (s) ⊥T (s), B (s) ⊥N (s) T (s) , N (s) , B (s) vectơ đơn vị Định nghĩa 3.17 Bộ ba {T (s) , N (s) , B (s)} lập thành sở trực chuẩn thuận Tr(s) R3 Ta gọi sở mục tiêu Frénet cung định hướng Γ điểm r (s) 3.5.2 Độ xoắn công thức Frénet cung song quy định hướng Từ định nghĩa N (s) = T (s) T (s) ta suy T (s) = T (s) · N (s) = k (s) · N (s) Từ B (s) = T (s) ∧ N (s) suy B (s) = T (s) ∧ N (s) + T (s) ∧ N (s) = k (s) · N (s) ∧ N (s) + T (s) ∧ N (s) = T (s) ∧ N (s) Do B (s) ⊥T (s), mà ta có B (s) ⊥B (s) nên B (s) phương với N (s) Suy tồn số τ (s) cho B (s) = −τ (s) · N (s) Từ N (s) = B (s) ∧ T (s) suy N (s) = B (s) ∧ T (s) + B (s) ∧ T (s) = −τ (s) · N (s) ∧ T (s) + B (s) ∧ (k (s) · N (s)) = −k (s) T (s) + τ (s) B (s) 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân Vậy ta có công thức    T (s) = k (s) N (s) ,   N (s) = −k (s) T (s) + τ (s) B (s) ,     B (s) = −τ (s) N (s) Công thức gọi công thức Frénet cung quy định hướng Γ không gian R3 với hướng cho Số τ (s) gọi độ xoắn cung định hướng Γ không gian R3 với hướng cho 3.5.3 Cung phẳng Định nghĩa 3.18 Cung phẳng cung có ảnh nằm mặt phẳng Tính chất 3.5.1 Cung song quy có độ xoắn cung phẳng Chứng minh Giả sử cung song quy Γ R3 có hướng, có độ xoắn điểm Xét r : I → R3 , s → r (s) tham số hóa tự nhiên Ta có τ (s) = 0, ∀s ∈ J Điều tương đương với −−−→ −−−→ → − − − B (s) = , ∀s ∈ J ⇔ B (s) = → n , ∀s ∈ J → n vectơ −−−→ −−→ −−→ − đơn vị Do B (s) · T (s) = 0, ∀s ∈ J nên → n · r (s) = 0, ∀s ∈ J Suy −−−→ → − n · Or (s) = 0, ∀s ∈ J (trong O điểm cố định R3 ) −−−→ − Từ ta có → n · Or (s) = số Ta suy Γ có ảnh nằm mặt − phẳng nhận → n làm vectơ pháp tuyến −−−→ − − Điều ngược lại hiển nhiên ta chọn B (s) = → e (với → e vectơ đơn vị) vectơ pháp tuyến mặt phẳng chứa cung Do −−−→ → −−−→ → − − B (s) = ⇒ −τ (s) · N (s) = ⇒ τ (s) = 0, ∀s ∈ J 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.6 Nguyễn Thị Xuân Định lý lý thuyết đường R3 Ta phát biểu định lý lý thuyết đường R3 [3] Định lý 3.2 Cho hai hàm số k τ khả vi lớp C l , l > khoảng J ⊂ R k có giá trị dương Khi Có tham số hóa tự nhiên r : J → R3 (khả vi lớp C l+2 ) cung song quy định hướng R3 nhận k τ làm độ cong độ xoắn Nếu có hai tham số hóa tự nhiên r ρ hai cung có phép dời hình f : R3 → R3 cho r = f ◦ ρ Chứng minh Ta tiến hành chứng mimh sau • Trong chứng minh, ta sử dụng định lý sau lý thuyết phương trình vi phân gọi định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính: Cho hàm số aij , bi (i, j = 1, 2, n) khả vi lớp C l , l > 0, khoảng J ⊂ R cho t0 ∈ J, cho n số x10 , x20 , , xn0 tùy ý có họ hàm số x1 , x2 , , xn khả vi lớp C l+1 J cho n x i aij (t) xj (t) + bi (t) (t) = j=1 (với ∀i = 1, 2, , n, ∀t ∈ J) xi (t0 ) = xi0 Các hàm số t → xi (t) gọi nghiệm phương trình vi phân tuyến tính n i x aij xj + bi = j=1 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân với giá trị ban đầu xi0 = xi (t0 ) • Xét hệ phương trình (∗) sau T = kN, N = −kT + τ B, B = −τ N hệ phương trình vi phân tuyến tính hàm ẩn hàm tọa độ ba hàm vectơ T, N, B R3 xác định J Lấy sở trực chuẩn thuận tùy ý {T0 , N0 , B0 } R3 lấy s0 tùy ý thuộc J theo định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ (∗) có nghiệm, ta ký hiệu T, N, B, với giá trị ban đầu T (s0 ) = T0 , N (s0 ) = N0 , B (s0 ) = B0 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hàm ẩn, mà ta kí hiệu t2 , n2 , b2 , tn, nb, tb sau t2 = 2k (tn) , n2 = (−k (tn) + τ (nb)) , b2 = −2τ (nb) , (tn) = −k t2 + k n2 + τ (tb) , (nb) = −τ n2 + τ t2 − k (tb) , (tb) = −τ (tn) + k (nb) Các hàm số T , N , B , T N, N B, T B T, N, B nghiệm hệ (∗), thỏa mãn hệ phương trình vi phân với giá trị ban đầu (tức giá trị s0 ) 1, 1, 1, 0, 0, (do {T0 , N0 , B0 } hệ trực chuẩn) hệ phương trình vi phân có lấy đạo hàm T , N , B , T N, N B, T B thay T , N , B biểu 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân thức (∗) Nhưng hệ phương trình vi phân có nghiệm dễ thử sau đây: t2 = 1, n2 = 1, b2 = 1, tn = 0, nb = 0, tb = với giá trị ban đầu trên, nên tính chất nghiệm hệ với giá trị ban đầu cho trước, {T (s) , N (s) , B (s)} cở sở trực chuẩn R3 với ∀s ∈ J Hơn thế, hàm số s ∈ J → (T (s) ∧ N (s)) · B (s) hàm số liên tục mà tập giá trị {±1} {T (s) , N (s) , B (s)} trực chuẩn, giá trị s0 (vì {T0 , N0 , B0 } sở trực chuẩn thuận) nên hàm số lấy giá trị 1, tức với ∀s ∈ J, sở {T (s) , N (s) , B (s)} thuận Lấy điểm O tùy ý R3 xét cung tham số s s → r (s) = O + T (s) ds s0 Vì T : J → R3 khả vi lớp C l+1 nên r khả vi lớp C l+2 Do r (s) = T (s) = 1, ∀s ∈ J nên r tham số hóa tự nhiên cung quy định hướng Γ r (s) = T (s) , ∀s ∈ J nên s → T (s) xác định trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc Γ Ta có r (s) = T (s) = k (s) N (s) , k (s) > (do (∗)) nên Γ cung song quy s → N (s) xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Γ s → k (s) xác định độ cong Γ 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân Vì T (s) ∧ N (s) = B (s) , ∀s ∈ J (do {T (s) , N (s) , B (s)} sở trực chuẩn thuận) nên s → B (s) xác định trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc Γ Do đó, từ B (s) = −τ (s) N (s) suy s → τ (s) xác định độ xoắn Γ • Xét hai tham số hóa tự nhiên r, ρ : J → R3 hai cung song quy định hướng R3 nhận k, τ làm độ cong độ xoắn trường mục tiêu Frénet {T, N, B} r {t, n, b} ρ phải xác định hàm vectơ T, N, B, t, n, b J thỏa mãn hệ phương trình vi phân (∗) Nếu T (s0 ) = t (s0 ) , N (s0 ) = n (s0 ) , B (s0 ) = b (s0 ) T = t, N = n, B = b Hơn nữa, r (s0 ) = ρ (s0 ) suy s r (s) = O + s t (s) ds = ρ (s) , ∀s ∈ J T (s) ds = O + s0 s0 Vậy, tổng quát, xét phép dời hình f R3 biến "tam diện thuận" {ρ (s0 ) , t (s0 ) , n (s0 ) , b (s0 )} thành "tam diện thuận" {r (s0 ) , T (s0 ) , N (s0 ) , B (s0 )} r f ◦ ρ thoả mãn điều kiện nên r = f ◦ ρ 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân Ta hoàn thành chứng minh định lý 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xuân Kết luận Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến đa tạp khả vi (cấp vô hạn) Rn , định lý phân loại đa tạp khả vi 1-chiều đường cong R3 Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hi vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong quý thầy cô bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [1] John W Milnor, Topology From The Differentiable, The University Press of Virginia, New York [2] Phạm Đình Đô, Hình Học Vi Phân, NXB ĐHSP, 2010 [3] Đoàn Quỳnh, Hình Học Vi Phân, NXBGD, 2000 [4] ĐHSPHN, Giáo Trình Giải Tích, Nguồn: http://d.violet.vn/uploads/resources/559/477244/index.html [5] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô Đại Cương Độ Đo Và Tích Phân, NXBGD, 1994 [6] Nguyễn Phụ Hy, Giải Tích Hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2006 46 ... Đa tạp khả vi Phân loại đa tạp khả vi 1 -chiều 10 2.1 Ánh xạ trơn đa tạp trơn 10 2.2 Không gian tiếp xúc ánh xạ vi phân 13 2.3 Phân loại đa tạp khả vi chiều ... không gian Rn tôpô Rn Chương "Đa tạp khả vi phân loại đa tạp khả vi 1 -chiều" trình bày đa tạp khả vi (cấp vô hạn) định lý chủ yếu chương Phân loại đa tạp khả vi chiều Chương "Đường cong R3 "... hai đa tạp có số chiều 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Nguyễn Thị Xuân Phân loại đa tạp khả vi chiều Ta phát biểu định lý phân loại đa tạp khả vi chiều [1] Định lý 2.2 Đa tạp khả vi 1-chiều