Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Hiện tượng bùng nổ của nghiệm phương trình Parabolic

Có rất nhiễu tài liệu nghiên cứu về tính chất bùng nổ nghiệm đối với các phương trình và hệ phương trìnhphi tuyến, trong đó có thể kế đến công trình nghiên cứu của Hu [7], và một số bài

TRƯỜNG Dal HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA “TOÁN - TIN HỌC

DAI HOC

SP

TP HO CHi MINH

KHOA LUAN TOT NGHIEP

CHUYEN NGANH GIAI TICH

Ten dé tài: HIỆN TƯỢNG BUNG NO CUA NGHIỆM

PHƯƠNG TRINH PARABOLIC

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Trọng

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trần Minh Thuận

Mã số sinh viên: 46.01.101.154

Thành pho Hồ Chí Minh - Thang 5 năm 2024

Tp Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2024

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

TS Nguyễn Ngọc Trọng

Tp Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2024

Xác nhận của chủ tịch hội đồng

PGS.TS Nguyễn Thành Nhân

Mục lục

MỞ DẦU 2

1 Giới thiệu vấn dé và kiến thức chuẩn bi 6

1.1 Giới thiệu bài toắn c c Q Q ee ee 6

2 Hiện tượng bùng nỗ của nghiệm phương trình Parabolic 15

2.1 Chan trên cho thời điểm bùng nỗ nghiém 15

2.2 Chan dưới cho thời điểm bùng nổ nghiêm 27

ES +

KET LUAN 29

Tai liệu tham khảo 30

MỞ ĐẦU

Về mặt toán học, khi nghiên cứu các phương trình Parabolic, người ta thường

quan tâm nghiên cứu các van dé sau:

i Sự ton tại nghiệm dia phương hay tính chỉnh địa phương của bài toán.

ii Van dé đặt ra tiếp theo là nghiệm địa phương này có tiếp tục tồn tại theo

thời gian hay khong? Nếu nghiệm thỏa mãn một số diéu kiện can thiết

về tính trơn tiếp tục tồn tại liên tục theo biến thời gian thì ta nói đây là

nghiệm toàn cục Ngược lai, nếu tôn tại một thời gian T > 0 sao cho ||z(2)|| y

được xác định với 0 < £ < T và không bị chặn khi £ din đến 7, nghĩa là

||u(2)|[ y + khi ê > 7, thì ta nói nghiêm u(t) bàng nd trong không gian

X tại thời gian T và T được gọi là thời điểm bùng nổ.

Trong thực tế, người ta muốn biết rằng nghiệm của bài toán có bùng nỗ haykhông, và nếu có thì bùng nổ vào thời điểm T nào Vì T không thé được xác

định một cách rõ rang trong hau hết các trường hợp, nên van để quan trọng là

phải thiết lập được chặn trên hoặc chăn dưới cho 7 Có rất nhiễu tài liệu nghiên

cứu về tính chất bùng nổ nghiệm đối với các phương trình và hệ phương trìnhphi tuyến, trong đó có thể kế đến công trình nghiên cứu của Hu [7], và một số

bài báo của Levine [12], Galaktionov và Vazquez [3].

Vì thế, ở bài báo cáo này chúng tôi khảo sát về tính chất bùng nỗ nghiêm

cho một phương trình phản ứng khuếch tán có chứa kì di Trong những điểu

kiên nhất định trên dit kiệu ban dau thì nghiệm của bài toán bùng nỗ tai thời điểm hữu hạn được chứng minh bằng cách kết hợp bat đẳng thức Hardy, phương

pháp giếng thế và một số bất đẳng thức vi phân Hơn nữa, chăn trên và chặn

2

duéi của thời điểm bùng nổ sé được xác định khi hiện tượng bùng nổ xảy ra.

Một trong những kết quả đầu tiên liên quan đến tính chất bùng nổ chonghiệm của các phương trình Parabolic là hai kết quả nỗi tiếng của Fujita [2]

va Kaplan |8Ì vào những năm 1960 Trong các bài báo của minh, Kaplan và

Fujita lan lượt nghiền cứu các bài toán biên giá trị dau và bài toán Cauchy cho

phương trình nhiệt có dạng

uy — div(DVu) = fla, tu, Vu) (1)

Trong bài báo cáo nay, chúng tôi dựa trên bài báo của Han [5) vẻ khảo sát

hiện tượng bùng né cho nghiệm của bài toán

a — Aw = k(#)|u|P"!ụ, (2, th EQ (0,7),

Ir

u(x,t) =0, (x,t) € AN x (0,7), (2)

u{a, 0) = ua(z), + € 9.

Đối với trường hợp D = 1 và ƒ(z,t,u, Vu) = wu? (p > 1), hiện tượng bùng nổ

của phương trình (1) đối với cả miền bi chặn và toàn không gian đã được nghiên

cứu rộng rãi Tuy nhiên, hiện có khá ít kết quả về tính chất bùng nổ nghiệm địa

phương của bài toán (2) Khi &() = 1, Tan [18] xem xét sự tổn tại và đáng điệu

tiệm cận của nghiệm toàn cục và hiện tượng bùng nổ cho nghiệm của bài toán

(2) Bằng cách sử dụng phương pháp giếng thế được đề xuất bởi nhóm tác giả

Sattinger và Payne [14, 16] cùng với bất đẳng thức Hardy, Tan da đưa ra điềukiện để tổn tai nghiêm toàn cục và thời điểm bùng nổ hữu han, khi phiém hàmnăng lượng tại thời điểm ban đấu là dưới tới han, nghĩa là nhỏ hơn mức giếng

thé tại thời điểm võ cing Tan đã md rộng những kết quả này cho phương trình

p- Laplace trong trường hợp dưới tới han [19], Han mở rộng cho phương trình p- Laplace trong trường hợp trên tới hạn (4| và Zhou mở rồng cho phương trình

trong môi trường xốp (porous medium equation) và phương trình lọc đa hướng

(polytropic filtration equation) (20, 21].

Gan day, Han [5] xem xét hiện tượng bùng nổ nghiệm cho bài toán (2) và

khảo sát vai trò của hàm & trong việc xác định điều kiện bùng nồ và thời điểmbùng nổ của nghiệm trong bài toán (2) Cu thể, dưa trên điều kiện (1.2) của

3

hàm &, thì nghiệm của bài toán (2) bùng nổ tại thời điểm hữu hạn khi một trong

ba giả thiết sau xảy ra:

(i) Phiém ham năng lượng tai thời điểm ban đầu am, nghĩa là J(uạ;0) < 0:

(ii) Phiém hàm Nehari tại thời điểm ban dau âm và phiém hàm năng lượng nhỏ

hơn hoặc bằng mức giếng thế tại thời điểm võ cùng, nghĩa là /(uạ:0) < 0

Hon nữa, ta thu được chặn trên và chặn dưới cho thời điểm bùng né nhờ bat

dang thức Gagliardo - Nirenberg Khó khăn chính được tạo ra bởi hàm k va hệ

số |x|~? Vì k không phải hàm hằng nén tác giả Han quan tâm đến mức giếngthé phụ thuộc thời gian ¢ (thay vì hang số như các trường hợp khác) để giải

quyết bài toán với giả thiết (ii) Để giải quyết khó khăn gây ra bởi hệ số |z| 3,

tác giả Han áp dung bất đẳng thức Hardy khi xử lý cho trường hợp (ii)

Tir đó, chúng toi mở rộng bài toán của Han [5] thành bài toán

a ~ Lu = k(\|u|P"'u, (2,t) € 9 x (0,7),

u(x,t) = 0, (x,t) e A x (0,7), (3)

u{x, 0} = ua(#), ren,

với Lu = div (4(z}Vw) Mục tiéu của bài báo cáo này nhằm khảo sát hiện

tưởng bùng nổ cho nghiệm của bài toán (3) dưa trên ý tưởng của Han j5).

Cấu trúc bài báo cáo bao gồm 2 phần:

+ Chương 1: Giới thiệu bài toán và một số kiến thức chuẩn bi.

+ Chương 2: Hiện tượng bùng nổ nghiệm của phương trình Parabolic.

Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu về bài toán, một số định nghĩa và bổ

dé để hỗ trợ cho nội dung chính của bài

Trong Chương 2, phan 2.1, chúng toi đưa ra 3 điều kiện như trên để chứng

minh thời điểm bùng nỗ của bài toán (3) hữu hạn và xác định chặn trên cho

4

thời điểm bùng nổ nghiệm ứng với các trường hợp trên Ở phần 2.2, chúng tôi

xác định chan dưới cho thời điểm bùng nỗ nghiệm của bài toán (3).

Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng 05 năm 2024

Sinh viên thực hiện

Huỳnh Tran Minh Thuận

Chương 1

Giới thiệu van dé và kiên

thức chuẩn bị

1 Giới thiệu bài toán

Trong bài báo cáo khóa luận tốt nghiệp nay, chúng téi khảo sát tính chat bùng

no nghiệm của bài toán

aE — Lu = k(t} {ul? _ (z,ft)ỳc€Q x (0,7).

x

u(x,t) =0, (x,t) € Ø0 x (0,7) (1.1)

u(x, 0} = u(x), re,

trong đó Lu = div (A(z)Vw), 9 là miễn bị chặn trên l3" (n > 3) chứa gốc

là ton tai À > 0 sao cho

aj/(#)€j£¡ > A|€lŸ với mọi £ € R" và z € @ hau khắp nơi

6

2 Kiên thức chuẩn bị

Ta ký hiéu ||-|Í, là chuẩn trên không gian U7(9)(1 < r < 00), (-,-) là tích vô hướng

trên /?(@) và /4(@) là không gian Sobolev với chuẩn |Iz|| Ha =

l[Y+lla-Bồ dé 1.2.1 (Bat đẳng thức Hardy) Giả situ € H'(R"),n > 3 Khi đó —

Nhận xét 1.2.2 Với mọi u € HÀ(Q), ta mở rộng u(x) = 0 với mọi z € R"\Q.

Khi đó u € H!(R") và bat đẳng thức (1.3) đúng với mọi u € HÀ(9)

Lấy w € HẠ(9) và € 0,+œ} tuỳ ý, ta định nghĩa phiếm hàm năng lượng

phụ thuộc thời gian

J oO kí)

Hust} = 5 (A(z)Vu, Vu) - ai IDlMi (1.4)

và phiém ham Nehari phụ thuộc thời gian

I{u;#) = (A(z)Vu, Vu) — kí) lull Ef (1.5)

Vip+le< an 5 nên Ap dung phép nhúng Sobolev, ta có J(-,£) va IC 6) xác

1 —

định và liên tục trên HQ) với mọi t € [0,+00) Với moi t € Í0,+}, ta định

nghia da tap Nehari bdi

N(t) = {v € Hg) \ {0} : I(v;t) = 0}

và mức giếng thé

it) = inf J (ust

Lay tùy ý 0 # uv € HÀ(Q), t € (0,400) va A> 0 Dat

F(A) = J(w;t) =X (A(z) Ve, Ve) - K(t) p‡

Se 2”

í

Bồ dé 1.2.3 Gia sử (1.2) xảy ra Lấy 0 # » € HẠ(@) và t € [0, +00) tùy ý Khi

đó

(i) wim, F(A) = 0 và lim F(A) = —-=.

fii), Ton tại hang số dương Xy sao cho F(A) đạt giá trị lớn nhat tai À = A» va

I{Apu;t} = 0 Thêm nữa, ta có 0 < Ay < 1, Ap = 1 và Ag > 1 tương ứng với

I(u;t) < 0.,7{e;£) = 0 va Ife; t} > 0.

Do p+1 >2 nên F(A) — 0 khi A > 0? và F(A) — —œ khi À +20.

Vay (i) được chứng minh.

Dua vào bang biến thiên, F(A) đạt giá tri lớn nhất tai À = Ap và các kết luận

khác của (ii) cũng được thỏa man.

Ta được điều phải chứng minh a

Bồ dé 1.2.4 Giả sit (1.2) xảy ra Khi đó, với mọi t € (0, +),

Bỏi định nghĩa của V(t), ta có Apu € N{t) Do đó

J{ArAqut) > inf J(u; t} = d{t).

veN (t)

Khi đó ta có

inf J (Aw; 8) > d1).

uu

Với bat kì v © V(t), nhờ Bồ dé 1.2.3, khi đó Ay = 1 Dẫn đến

sup J (Av; t) = J{e;).

^>0

Do đó

inf supJ(Au;t) < inf supJ (Au;f) = mí J(t;t) = dị.

veH(f) 920 ue vent) x>b out) vEN(t) 0ì) l

ft

9

Vay (ii) được chứng minh.

theo (1.2) thì đ() không tăng và đ() € |0 4(0)]

Ta được điều phải chứng minh a

Dinh nghĩa 1.2.5 Ham u được gọi là nghiệm yéu của bài toán (1.1) trên

2 x (0.7) nếu

T 2

ue L& (0, T Hà(®)) với tạ € L? (0 là Hà(®)) | ial aoe

0 2

u(x,t) thỏa man u(x,0} = uạ(z) và

(a) + (A(z)Vu, Vo) = k(t) (lulu, v) , 4)

với moi v € HÌ(@) và + € (0,7).

Sự tốn tại dia phương của nghiệm yếu cho bài toán (1.1) được đưa ra trong

(18, 19] Nếu không có sự nhằm lẫn, để đơn giản, ta viết u(t} là nghiệm yếu

u{z,) trong bài toán (1.1) Ta ký hiệu 7* € (0, +00) là thời điểm tồn tại lớn nhất

của u(t} được định nghĩa như sau

10

Định nghĩa 1.2.6 Gia sử u(t) là nghiệm yếu của bài toán (1.1) Ta nói u(t)bùng nổ tại hữu hạn điểm T* khi u(t} tồn tai với mọi t € [0.T*) và

tại lớn nhất của u{t) là +00.

Bồ đề 1.2.7 ({17j) Giả sử (1.2) xảy ra và u(t) là nghiệm yếu của bài toán (1.1).

Khi đó J(u(f):£) là hàm giảm theo † và

|x| | cope) beđiuid) Gil

Chứng minh Giả sử (1.2) xảy ra va u(t) là nghiệm yếu của bài toán (1.1) Khi

đó

(Ge v4 - (A(x) Vuft), Ve) = k(t) (Ie(t)|f Lu(t), v),

VỚI moi ? € HUQ) và t € (0,7*) Chon v = u(t} € HÀ(9), ta được

(th w(t) + (A(x) Vault), Vur(t)) = b(t} (lrc(ty[P- a(t), a(t)

Ta ký hiệu S là tập hợp các nghiệm yếu của bài toán Elliptic

—Lu = k(0)|u|P"lụ, 2 € 9, (1.11)

u(x} = 0, rea,

Trong đó, ở là nghiêm yếu của (1.11) nếu ¿ € H)(Q) và thỏa man

(A(z)Vó, Ve) — &(0) (ló|P"1¿,ø) = 0

với mọi ® € HJ(9) Để chỉ ra thời điểm bùng né hữu han của nghiệm trong bài

toán (1.1) với các dit kiện có sẵn, ta cần một số tính chất cơ bản của tập S đượctóm tất thành các bố dé sau

Bồ dé 1.2.8 (17j) Giả sử (1.2) xảy ra và wu là nghiệm yếu của bài toán (1.1)

Chứng minh (i.) Dựa vào Dinh lý 5.1 trong [1] ta được S # Ø.

{ii.) Giá sử /(uạ;0) < 0 Giả sử phan chứng up là nghiệm yếu của bài toán

(1.11) Khi đó

(A(x)Vuo, Vua) — k(0) (|to|PT ua, uo) = 0,

hav

(A(z)Vua, Vua) — &(0) |lu||fT¡ = 0,

mau thuẫn với [(ug:0) < 0 Do đó up £ S.

(iii.) Ta định nghĩa L?(w} với chuẩn

Raq = [ |/œ)|°(z)dz

là khong gian Hilbert với tích võ hướng

(Ÿ: Ø)x2tuỳ = J ƒ(+)g(z)e(+)da.

12

Giả sử up ¢ S Khi đó tồn tại vp € //}(Q) sao cho

(A(z)Vua, Ven) — k(0) (luo? wo, tụ) £0.

Bồ dé 1.2.9 (/4}) (Bat đẳng thức Gagliardo - Nirenberg} Giả sử 1 < p < =

Khi đó với mọi u € Hi{Q), ta có

lullf2} < ŒIIVzlszftĐ uy er , (1.12)

n{p — 1)

2(p + 1)

Bồ dé 1.2.10 (/9}) Lay to € 0, +00) tùy ý Dat

trong đó a = € (0,1) vaG > 0 là hang số chỉ phụ thuộc vào 9n và p

T° =sup {r : L(t) tồn tại với mọi t € |ta, m}

Giả sử L(t} là hàm đương, khả vi bậc 2 thỏa mãn L(fa} > 0, L/(fa) > 0 và

Bồ dé 1.2.11 (Bat dang thức Holder) Cho f € LP vag € LP đo được, 1 < p < %.

Chương 2

Hiện tượng bùng no của

nghiệm phương trình

Parabolic

1 Chan trên cho thời điểm bùng nổ nghiệm

Với các kiến thức đã được chuẩn bị ở phần 2 chương 1, ta phát biểu và chứng

minh các định lý chính trong bài viết Dé đơn giản, ta dat

Dau tiên, ta chứng minh kết quả thời điểm him han bùng nổ cho nghiệm của

bài toán (1.1) cho trường hợp phiém hàm năng lượng tại thời điểm £ = 0 có giá

trị âm.

Định lý 2.1.1 Giả sử (1.2) xảy ra và u(t} là nghiệm yêu của bài toán (1.1).

Nếu J(uạ: 0) < 0 thì u(t) bùng nổ tại thời điểm hữu han T* Hơn nữa

Chứng minh Ta áp dụng kĩ thuật bất đẳng " vì phân bac một từ Phillip

[15] Ta đặt K(t) —7(u@);£) Khi đó, £(0) — 3 |) 5 0 (do u(0) = uạ ¥ 0)

(p+ 1)7(u0);!) = 7 — : _ Vu(2)) — bee) ||e(Đ|lP.)

= I{u{t);t)+ =—— ! (A(z)Vu(), Vu(9) : (2.1)

Do đó

L(t) = P—* (A)Vu0),Vu(9) — (p + 1)2(u6),0) > (+ 1K) >0 (2.2) =

Mà L(0) > 0 nên Lít) > 0 với mọi t € (0,77).

16

Nếu t + +00 thì £°3°(#) < 0 (võ lý) với moi t € (0, +00) Do đó 7* hữu hạn Hơn

nữa, khi cho £ + T* thi

2 _— 21 (0)

+ ee Tự =

rs {p? — Dae (0) (1 — p*) Jug: 0)

Ta được điều phải chứng minh a

Nhận xét 2.1.2 Theo Dinh lý 2.1.1, nên nghiệm yếu u(t) của bái toán (1.1) làtoàn cục thì J(u{t);t) > 0 với mọi £ € (0,+00) Thật vậy, nếu tốn tại tạ € Í0;T*)

để J{u{tg); tp) < 0 thì ta lặp lại chứng minh của Dinh lý 2.1.1 với thời điểm đầu

là tạ để suy ra nghiệm không tồn tại toàn cục

17

Xét trường hợp J{up;0) > 0, ta chứng minh kết quả thời điểm hữu hạn bùng

nổ nghiệm với phiém ham Nehari tại thời điểm ¢ = 0 am

Dinh lý 2.1.3 Giả sử (1.2) xảy ra va uạ € HÀ(G) thỏa

J(u;0)<d(s) và I(ug;0) <0 (2.6)

Khi đó, nghiêm yếu u(t) của bái toán (1.1) bùng nổ tại thời điểm hữu han T".

Hon nữa, T” có chăn trên

(p+ 1)(p — 1)? [d{oo} — J(u(0a); fa)]

tại bắt kỳ tạ € |0, +00} sao cho J{u(ig}; to) < d{oc) Dặc biệt, néu J{up; 0) < doo)

Hult); t) < J(wa;0) < đ(s) < dit), (2.8)

với mọi t € í0,T*) Ta chứng minh J{u(t);t) < 0 với mọi t € (0,7*) Vi /{uạ;0) < 0

nén do tính liên tục của 7, tồn tai f¡ > 0 đủ nhỏ sao cho /(u(f);†) < 0 với mọi

t € [0,t,) Giả sử phản chứng tốn tại tz > f¡ sao cho I(u(2);†f¿) = 0 và I(u(t};t) < 0

với mọi £ € [0,t2) Do /(u(2):£) < 0 nên u(t) # 0 Từ Bổ dé 1.2.4, (1.4) và (1.5),

ta cô /{z(£):£) < nên

oes

18

< heft).

c= d{t) < (A(z) Vu(t) Va(9) ;

với mọi t € [0, ty) Cho £ —› ty, ta được

"at d{ts) < (4(z)Vu(1) Vu(t;))

-Mat khác, do /(w(¿):f¿} = 0 nên (A(z)Vu{(t), Vu(t›)) = kứa) [Jutta |? Khi

mâu thuẫn với (2.8) Do đó /{z{(£):t) < 0 với mọi t j0.T7).

Xót trường hợp J(uy;0) = đ(}) Do I{ug;0) < 0 và tính liền tục của J nên tổn

tại tz > 0 đủ nhỏ sao cho J(u(t);t) < 0 với mọi t € (0, ts) Theo Bồ dé 1.2.8 thi ug

với mọi f € (0,te) Vì vay từ Bồ đề 1.2.4 và (1.10), với mọi £ € Ífạ,7*}), ta được

(A(z)Vu(t), Va(9) > [e9] HẠ = ae

với mọi ¢ € [tp,7*) Ta được điều phải chứng minh.

Bước 3 Ta chứng mình T* hữu hạn Lấy tùy ý 7 e (0.7*), ta định nghĩa hàm

aon -f ( se san “i oe

p IEu\Ì }T— (pt LJ {ulto); to) + (p + 1) TN || dr +8.

to lzÍ 2

(2.14)

Đặt

{ ) 2 f ( 2

ƒ():= [ WOW dr + a(t +o)? / UAT as + ø

Iz| l|; tot zl Tle

Do đó ƒ() > 0 với mọi £ e |fạ, TỊ Từ (2.13) ta được

> F(t) E I (A(x) Vu(t}, Vu(t}) — (p+ 1)J(u(fa}; tạ) — ø] : (2.15)

Từ (2.10), (2.11) và (2.15), khi đó với mọi

°1z-—TJatto +ø) = 2Fữa)' Vu,

Cực tiểu hóa vế phải của (2.17) với ø € ( 2Lụa) _ lạ, +00) , ta được

(p — 1) 8a

Salta +)? 7 §L(a)

TS „s(g98P -«<) le panacea ate] “"*p= 1g 49

23

Cực tiểu hóa về phải của (2.18) với 5p € (0 oe Hite) Het) ta

Ta được điều phải chứng minh a

Định lý 2.1.4 Gia sử (1.2) xảy ra va u(t) là nghiệm yếu của bai toán (1.1).Nếu

A(x) và H„ là hằng số dương từ bat đẳng thức Hardy (1.3).

với C\ = , À >0 sinh ra từ điều kiên Elliptic đều của ma trận ham

Chứng minh Do A(x} là ma trận hàm thỏa điều kiện Elliptic đều nên tén tại

À >0 sao cho

(A(z)Vu(),Vu(9)) = A||Va@)|j (2.20)

24