Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Các hàm đặc biệt trong phương trình Vật lý toán

Vậy với điểu kiện nào thì fx khai triển được theo chuỗi Taylor tại lân cận điểm x, hay có đẳng thức 1 trong lân cận của điểm x,?. + Điều kiện fx khai triển được theo chuỗi Taylor: Định l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HỒ CHÍ MINH

Dau tiêtt con xin chm on bố me da dank tất ed tình thitong cho con

ott day dé con để con được níu: ngay hôm: nay Con 6iết on bd mẹ nhiều

ldm ,

fm xin chan thank eam on thấy Trin Khde Jy đã truyền đạt kiếm thite quy báu cho em cà tận link hutdag din em trong luất thời gian Uuge

higu khda luận.

en xin cam on tất cá quy thầu cô trường Dai Woe Sa Dham Thank

kế Hd Chi Minh, đặc biệt la quú thấu cà Khoa OdGt Ly đã day trayén

đạt kiếm thite cho em trong suốt 4 ndm hge ota qua.

Féi xin eam on ban LE Thi Trie Lam đã tận tink lỗ trợ tôi trong

sudt théi gian thie higu khod luận.

Tél cũng xin chm an nhitng người ban của tôi, ede ban đã gitip đờ động oiên lôi trong 4 ndm ota qua eng tấu trong thời gian tÍu/e hign khod

luda.

hành phé F668 Chi Minh thing 5 ndm 2004

“ĐÃ Thi Hanh.

LỜI MỞ ĐẦU

Vật lý và toán học là hai ngành khoa học tự nhiên giữ vui trò trọng yếu,

có rất nhiều ứng dụng trong xã hội, trong đời sống, trong sản xuất và trong khoa

học kỹ thuật Giữa chúng lại có mối liên hệ mật thiết với nhau và phan học về vật lý toán thể hiện rõ mối quan hệ mật thiết ấy.

Học phẩn phương trình vật lý toán mà các bạn sinh viên đã và sẽ được:

theo học ở năm thứ 3, nhưng vì thời gian có hạn, thầy dạy chỉ có thể gới thiệu và

giảng dạy những phan cơ bản nhất, cô đọng nhất để các bạn có thể hoàn tất học

phẩn ấy mà thôi Còn rất nhiều, tất nhiều những phẩn kiến thức mà các bạn

phải tự mình tìm hiểu qua tài liệu, qua sách tham khảo để củng cố thêm kiến

thức, khắc sâu và các bạn sẽ được tiếp xúc kỹ hơn khi tiếp tục học lên cao học.

O đây, để tài chúng tôi nghiên cứu: “Các hàm đặc biệt trong phươngtrình vật lý toán” Để tài này chỉ là một phẩn nhỏ trong khối kiến thức 46 sộ

của môn học này, nhưng nó sẽ có ích, giúp các bạn sinh viên năm 3 củng cố

kiến thức, đào sâu thêm kiến thức giúp cho các bạn thi tốt Và hy vọng để tài này sẽ tạo nền móng vững chấc cho các anh chị năm 4 khi muốn thi lên cao học

sẽ được ôn lại những kiến thức cũ để chuẩn bị tốt cho kỳ thi, cũng như các bạn

có nhu cầu tra cứu cho mình.

Nội dung để tài

CÁC HÀM ĐẶC BIỆT TRONG PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN

gồm có 4 phẩn:

» Phần I: Tổng quan về chuỗi hàm

1 Chuỗi hàm tổng quất

2 Sự hội tụ đều

3 Chuỗi luỹ thừa

4 Chuỗi Taylor _ Maclaurin

5 Phương pháp giải phương trình vi phân bằng chuỗi

6 Chuỗi Fourier

x Phần 2: Các hàm đặc biệt

Hàm Gamma

Đa thức Legender Hàm Green

Hàm Bessel

Ham Bessel loại |

Ham Bessel loai 2

Ham Bessel cầu

NAwAKNE

SVLCH: Dé Thi Hank Trang |

L V \ P VHD Tran

-»x Phẩn 3: Ap dụng

I Phương pháp tách biến

2 Dao động tự do của màng tròn áp dung hàm Bessel

3 Các bài toán về hàm Green

4 Bài toán truyền nhiệt

» Phần 4: Kết luận.

SVTH: Bd 2k Hank Trang 2

Print: CONG QUAN VỀ CHUÕ2 HAM

L CHUỖI HÀM TONG QUAT

* Định nghĩa:

Cho một dãy vô hạn các ham số: #,(x) ux), ux) thong miễn D nào đó

Ta gọi tổng vô hạn: ø;(x)+uz{x)+ +w„(x)+ là một chuỗi hàm số

Ký hiệu: Yu, (x) với u(x): là số hạng tổng quát hay số hang thứ

aml

n của chuỗi

~ Tại xe Mma chuỗi ham hộitụ hay phân kỳ thi x là điểm hội tụ hay phân kỳ

của chuỗi hàm.

- Nếu V xe(a, b) chuỗi hàm hội tụ thi (a, b) được gọi là miền hội tụ của chuỗi

- Tổng của n số hạng đầu tiên S„(x) của chuỗi hàm gọi là tổng riêng thứ n của

hay có thể viết: S(x) = uj(x) + ux) + + UX) +

ta gọi chuỗi ham là hội tụ vé ham S(x)

Thí dụ: ”

Xét chuỗi hàm Xa =l+x+x?+ +x"+ Đây là chuỗi nhân công bội

q =x chỉ hội tụ khi |x|< 1 hay -1 < x <1, do đó miền hội tụ của chuỗi là khoảng

(-1,1) và tổng của nó là: S(x)= =ỉ và ta cũng có thể viết được:

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP €1 Quản “Khắc Ty

- Ta thấy chuỗi hội tụ tại xe D nếu:

- lim [ S(x)- S,(x)] =0 hay lim R„(x)=0

Nghĩa là:

Ve>0,3n, € N,Vn> mạ =»|S(x)= S„(x)|< e= IR, (x)| <£ (1)

- Tai các điểm hội ty x khác nhau trong miễn hội tu D, (1) sẽ đạt tai n„ khác

nhau, nghĩa là n„ phụ thuộc vào ¢ vax

* Đặc biệt nếu n„ chỉ phụ thuộc: n, = ø,(£), và có định nghĩa chuỗi hàm

hội tu đều như sau:

Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trong [0,1]

1 Tiêu chuẩn hội tụ đều:

*wˆ Tiêu chuẩn Cauchy:

Điều kiện cẩn và đủ để chuỗi hàm (*) hội tụ đều đến ham S(x) trong miễn ⁄2 là:

Xét chuỗi 3 = trên [0.2z] Dùng tiêu chuẩn Cauchy, lấy e =0, ] và xét:

sin(n+ Ix, sin 2nx

|S,,(x)-S, (x Ì := el "HE

" gnuew

sin(l+ ~ ) sin(l+=) ` sin2 _ sin]

TT z 72 Š ee Be

chuỗi đó không hội tu đều [0,27]

w#*ˆ ,Tiêu chuẩn Weierstrass:

Cho chuỗi >> () (*)

Nếu VneX, Vxe⁄2, |u,(x)|<M, với M_>0 và chuỗi số dương 2M, hội tụ

thì chuỗi (*) hội tụ đều trong miễn D Chuỗi >M, gọi là chuỗi hội tụ hay

chuỗi già của (*)

Thí dụ: 2

Xét các chuỗi ans bóc

chuỗi trội của các chuỗi này là: nà Ề

“<2 <zz,vxeR)

Ta biết chuỗi s hội tụ khi a> 1, theo tiêu chuẩn Weierstrass các chuỗi đã

cho hội tụ tuyệt đốivà déu oer Rkhi a > 1.

Trường hợp 0<a@ <1 chuỗi La phân kỳ, và không thể kết luận.

* Tiêu chuẩn Dirichlet:

Cho chuỗi yu, (x) (*), trong đó u,(x) = v„fx).Ø„(x)

Néu:

3e >0,|S„(x)|=|w(x)+v;(x)+ +v„(x)|<e (VxeD, VneN)

SVLH: 9Ä Thi Hank Trang 5

V VHID <

và day hàm a(x) đơn điệu không tăng và dan đến 0, ¥x € 2 thì chuỗi (*) hội tụ

đều trong D

Thi du:

Xét các chuỗi ở ví dụ trên với 0 < z <1 Ấp dung tiêu chuẩn Dirichlet, với

V„(x) = sinnx, @,(x)= 5 (0<ø <1) rõ rằng w(x) đơn điệu không tăng và din

tới 0 Vxe R, đặc biệt

Vxe[e,2z =£], 0<e<z

Mặt khác:

Nghĩa là S„(x) bị chan Vxe [e,2z =£] Vậy theo tiêu chuẩn Dirichlet, chuỗi

> tae là hội tụ đều trong [e,2z —] đặc biệt là trong (0,27), (¢ +0) Tai x

=0và x=2z chuỗi đã cho cũng hội tụ.

2 Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều :

#' Dinh lý 1:

Nếu chuỗi 2 (x) (*) với ø„(x) (n= 1,2, ) là các hàm liên tục trên [a,b] và

hội tụ đều trên [a,b] vé hàm Sx) thì S(x) là một ham liên tục trên [a,b]

Thí dụ:

L) Chuỗi x +(x? = x)+ +(x”= x””)+ là một chuỗi hội tụ Vx e [0,1] về hàm:

Sơ)=[) 0<x<l

l x=l

Nhưng chuỗi hàm không hội tụ đều trên [0,1], ta thấy tổng S(x) của chuỗi là mot

hàm gián đoạn trên [0,1].

sinx sin2x sin nx

2) Chuỗi "TT trại tet ot hội tu đều theo tiêu chuẩn Weierstrass

vxe R Các số hang của chuỗi là các hàm liên tục ¥xe R Theo định lý 1, tổng

$(x) của nó là một hàm liên tục Vxe 8.

ad 2

hội tu déu về hàm S(x) trên [a,b] thì chuỗi > fu, (ede hội tụ đều về hàm

[Sat (xx, e[a.ð]) nghĩa là:

Rõ ràng chuỗi này hội tụ đều trên (-1,1) ( theo tiêu chuẩn Weierstrass) các số

hạng của chuỗi w„(x) =x", = 1, 2, là các hàm liên tục trên (-1,1).

Vậy theo định Liệu trên Ệ | el }ea cb:

Cho chuỗi dj Ma(2) (*) nếu:

u,(x) có đạo hàm liên tục trên [a,5]

Chuỗi (*) hội tụ về S(x) trên [a,ð}

Chuỗi các đạo hàm >@) hội tụ đều về o(x) trên [a,b]thì:

Chuỗi (*) hội tụ đều trên [a,4] và tổng S(x) của nó có đạo hàm trên [a,»} và

S(x)=0(x)= Xe) ( với S'(x)= ˆ 1(x)=,

SVTH: 9Ä Thi Hanh Trang 7

I CHUOLLUY THỪA:(còn gọi là chuỗi nguyên)

+ Dinh nghiã: Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng:

2a? =dạ+ax+a,x)+ +a„x "+ (1)

hayéu’

Trong đó ap, ay, đa, , dq, 1A hằng số gọi là các hệ số của chuỗi luỹ thừa

Nhận xét: Chuỗi luỹ thừa liên tục và hội tu tại x =0

a Định lý 1: Tén tại một số dương duy nhất R (0 < # < +œ ) sao cho chuỗi luỹ

thừa (1) hội tụ khi |x|< R và phân kỳ khi |x|>R

© Quyước: #&=+œ chuỗi hội tu Vxe R.

R z0 chuỗi chỉ hội tu tại x =0

SVTH: Bd Thi Wank Trang 8

Nếu Jm[“3|=/ hay lim | =! (I: hữu hạn hoặc vô hạn)

thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa (1) được xác định theo công thức:

| l

Vậy bán kính hôi tụ của chuỗi là: R = 1, miền hội tụ tuyệt đối là (-1,1),

miền phân kỳ là khoảng(—œ,~!)+2(1,+)

L V ` rắn Khde Fi

Govt} — lị u n = |i u =

Se = tm aan

Vậy R=0 tức là chuỗi hội tụ tuyệt đối Yx e R.

3) Chuỗi An, R=0: chuỗi chỉ hội tu tại x = 0.

Chuỗi Taylor của ham f(x) trong lân cận của điểm x, là chuỗi luỹ thừa mà tổng

riêng S„(x) của nó là đa thức Taylor P„(x) cấp n của f(x) trong lân cận đó, nghĩa

gọi là chuỗi Maclaurin của f(x).

Nếu chuỗi Taylor của hàm f(x) hội tụ về f(x) hay có tổng là f(x) trong lân

cân của điểm x, nghĩa là:

$13) = /G)+ ZOD (x35) LO) xn) +t PM + (1).

thì ta nói: f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor(của nó) trong lân cận của

điểm x„

Vậy với điểu kiện nào thì f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor tại lân cận

điểm x, hay có đẳng thức (1) trong lân cận của điểm x,?

Trước hết: Rõ ràng nếu f(x) có đạo hàm mọi cấp tai lân cận điểm x, thì f(x)

có chuỗi Taylor tại lân cận đó.

Thí dụ:

-Xét:f(x)= fe * x0

0, x=0

Đó là một hàm có đạo hàm mọi cấp WxeR Do đó ta có thể lập được

chuỗi (M) của f(x) tai lân cận điểm x, = 0, ta tinh:

ne

SVLHI: Bd Thi Hanh Trang 10

LUAN VĂN TỐT NGHIỆP Ự „›Õua Tein Khe Ty

Ù

£'(0)= tim LO9= LO) „ | lim ——— = 0ew

Ax Ax*0 Ar

Z"(0)= lim ——— de fim, a = OnsenOf =0

Vay chudi (M) của f(x) (trong lân cận của x, = 0) là:

0 2 0 "

0+0xt—x toc ei:

Chuỗi này hội tụ và có tổng S(x) = 0,

VreR-Thí dụ này cho thấy điểu kiện có đạo hàm mọi cấp của f(x) không đủ để f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor trong lân cận đểm x, = 0 vì trong lân cận

của x, =0 ta có S(x) # f(x).

Vậy phải thêm điều kiện nào để có đẳng thức (1)?

+ Điều kiện f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor:

Định lý:

Giả sử hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm x,.

Điều kiện cẩn và đủ để f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor trong lân cận đó

là: lim R, (x)=0,Vx trong lân cận x,.

Với: Rạ(x)= On ~xg)””,e= xạ+Ø(x—x,) là số hạng dư của công

thức Taylor của f(x), cũng là số hang dư của chuỗi.

+.Chứng minh:

Giả sử có đẳng thức (1) trong lân cận của x„ nghĩa là:

lim S,(x) = lim f,(x)= f(x) tronge.

Mặt khác f(x) = S,(x) + R,(x), do đó : lim R,(x)=0 trong lân cine

Ngược lại, gid sử : lim R(x)=0 trong lân cận ¢

thì : lim|/(x)~S„(s)| =0

hay :lim S,(x)- f(x) „trong lân cận £ nghĩa là ta có (1)

+.Hệ quả:

Nếu 3M > 0|/“*(xj< M trong lân cận e của x, thì ta có (1).

Thực vậy, khi đó: trong lân cận e: |R„(x)< |x- xf (2).

(n+l)!

Mặt khác: Chuỗi

SVLH: BE Thi Hank Trang II

LUAN VĂN TOTNGHIEP _ ai, Teen Kid Ty

F(x) =(e"ý*'=e", nếu |x|< M(M >0),Vn ta có|/(x)|<e* =M'

Do đó theo hệ quả trên, e* khai triển được theo chuỗi (M).

Ta biết công thức Maclaurin của (1+ x)“ là:

SVL+I: Dé Ghi Hanh Trang 12

L V

œ(œ —Ì) a „a(z- —]) (œ—n+Ì) x"

2! ` mVậy khai triển Maclaurin của hàm (1+ x)* là:

Chuỗi này gọi là chuỗi nhị thức

Y PHƯƠNG PHAP GIẢI EHƯƠNG TRINH VI PHẦN RẰNG CHUỔI,

Phương trình vi phân chỉ có thể giải gắn đúng Một trong các phương

pháp giải gắn đúng là dùng chuỗi Ta sẽ áp dụng chuỗi dé giải bài toán Cauchy,

xét bài toán Cauchy:

Tìm nghiệm của phương trình: y” = F(x,y,y`) (1).

Thod điều kiện đầu: yl,ew=Yoi leer =Y'o (2)

1 Trường hợp chung:

Giả sử nghiệm của bài toán (1),(2) tổn tại và khai triển được theo chuỗi Taylor

tại lân cận điểm x,:

Ũ in)

Y= S08) = f(a) LOD) (x~ x5) 4 C8 vay + any +,

Dựa vào (1),(2) ta sẽ tìm được — 3 „ Ế®(x„) và có NhÒN: phải tìm.

Thực vậy, từ (2) ta có:

£(X%_) = Yhere=Yo + (X¿)=Y „xe Yo:

"Từ (1) va (2) ta có:

f,) = ¥"leexo = F(x.y,y`)L.xe = F(xu.Yo.Y's)

Đạo hàm (1) ta được: y"= F°,+ F'yy' +F'yy``

Do đó và theo trên: f°" (xo) = y"" leexo „ ta có f”*(X¿)

Trong thực tế ,sau khi tìm được chuỗi Taylor của y, ta phải xét sự hội tụ của

chuỗi đó

Thí dụ:

Giải phương trình: y' = 2y.

Thoả mãn điều kiện: yl,„o = 1 Ta có:

£0) = ylo = l,

f(0)= 2yÏl,„e = 2,

f”(0) = 4yy'l, = 8,

£70) = f1 „e = 4y'? + 4yy "lee = 48

Thay vào khai triển Taylor của nghiệm y=f(x) tai lân cận điểm x = 0 ta có:

y= f(x) = l+2x+ 4x? + §xÌ +

vế phải là cấp số nhân công bội ¿=2x, hội tụ khi l2xI<1 hay: b2 „ lúc đó

SVLH: BE Thi Hank Trang 13

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GUEPD rán Khde Ty

Thue ra hàm số này thoả mãn phương trình và diéu kiện với moi x, trừ x => :

nên nó là nghiệm của bài toán với moi x trừ x= >:

và ta có nghiệm riêng y= cẽ trùng với kết quả trên.

2 Trường hợp phương trình tuyến tính:

Đối với phương trình vi phân tuyến tính, dùng chuỗi luỹ thừa để giải nhiều

khi thuận lợi hơn, phương pháp này gọi là phương pháp hệ số bất định có nội

dung:

Giả sử phương trình tổn tại nghiệm là tổng của chuỗi luỹ thừa y= Ya," trong

một miền nào đó

Đạo ham y thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức, đồng nhất các hệ

số, ta tìm được các a„ Sau đó xét sự hội tụ của chuỗi ta sẽ có nghiệm phải tìm

Ta sẽ minh hoạ phương pháp này qua thí dụ giải phương trình Bessel:

Thí dụ: Giải phương trình : xay (l— oy =0 k >0.

Đây là phương trình Bessel cấp k > 0 ,có rất nhiều ứng dụng trong vật lý

toán.

Trước hết ta giải phương trình Bessel cấp 0: yt y+y=0 (1)

Giả sử nghiệm (1) có dang

SVLH: 9â Shi Wank Trang l4

J„(x)= “der att J,(x) là hàm Bessel cấp không.

Đối với phương trình Bessel `: k nguyên, làm tương tự ta có nghiệm riêng:

( VI sete eee

Xét f(x) tuần hoàn, đơn điệu từng khúc trên [-p.p] với 7 = T/2 là nửa chu ky của

f(x).

Khai triển f(x) thành chuỗi lượng giác có dang:

-Ö #ụ < nax habe nax

Ce = [7@0cos^“œ&

PS P

L2b,=+ [7 (x)sin^“*&

Ps P

Các hệ số a„ a4, bạ, n=l,2,3,.tính theo công thức trên gọi là các hệ số

Fourier, còn chuỗi lượng giác có các hệ số Fourier gọi là chuỗi Fourier của f(x)

1 Sự hội tu của chuỗi Fourier( Định lý DIRICHLET):

Nếu f(x) liên tục tại x„ thì chuỗi:

ET > (a, cos 2 +b, sin——2)

2 m P P

hội tụ về tổng S = f(x,)

Nếu f(x) gián đoạn tại xạ thì chuỗi hội tụ về:

s=z[ lầm /ƒ(x)+ lim /(x)] C7 1 oa :

a Chuỗi Fourier sin và cosin:

_- Nếu f(x) là ham chẩn trên [-p,p] thì : b, = 0 , Wn = I,2,3,

trong khai triển f(x) chỉ có những số hạng dang sin, gọi là chuỗi SinFourier.

b Khai triển ham f(x) trong đoạn [a,b] theo chuỗi Fourier:

Để khai triển hàm f(x) không tuần hoàn cho trong đoạn [a,b] ta làm như sau:

Dựng một hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ 2p với : 2p > |ð — đi

SVTH: Dé Thi 20gxít Trang 16

và :F(x) = f(x); Vxe[a.ð].

Khai triển hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ 2p thành chuỗi Fourier

Vì trong [a,b],F(x)= f(x) nên chuỗi Fourier vừa tìm được sẽ có tổng là f(x) hay

hội tụ về f(x) trong [a,b} nghĩa là ta đã khai triển được hàm f(x) theo chuỗi

Fourier trong đoạn đó.

Thí dụ:

Khai triển hàm f(x) = x? với | < x<2 theo chuỗi Fourier

Xét f(x) tuần hoàn chu kỳ 7 = 1 = 2! y

phdn2: CAC HAM DAC BIET

1 HAM GAMMA: (I(x))

1 Dinh nghia:

1.2.3 (m~= l) 5

sh m; (x +1) (z+n41)- ;

x: biến số thực (không phải số nguyên âm).

Ngoài ra hàm F(x) còn được đặt dưới dạng:

Lấy tích phân từng phần nhiều lần:

fo- ~u)"u"'du =(1- ~uy +" “la- ~u)*'u*dv

SVIH: D8 Thi Hanh Trang 18

Nếu x bất kỳ, ta phải tra bảng lập s4n cho hàm T(z).

Dang bam GAMMA:

Thay (2) vào (1) ta được:

SVTH: Bd Thi Aegnh Trang 20

Chuỗi (3) là nghiệm của phương trình Legendre (1) trên khoảng hội tụ của nó,

miễn là các hệ số x thỏa công thức truy hồi (4) Trong đó, ay và a, là các hằng

Thì : đa thức (5) trở thành đa thức Legendre ký hiệu ® (x).

SVTH: Dé Thi Wank Trang 21

I~2xz+z?=0 €&>z=x+jxÌ—l =cosØ+isinØ

Trong đó viết cos@ thay cho x.

Điều này cho thấy |z|= 1 Với |z|< Í khai triển hàm này thanh chuỗi Mac

Laurin theo z.

(1-2xz+2*)? => A(x)2" (7)

.-0trong đó A,(x) là hệ số của z” sẽ được xác định Dùng chuỗi nhị thức:

Hàm này gọi là hàm sinh của P(x)

Lấy đạo hàm của (8) theo z rồi nhân phương trình kết quả với

SVTH: Bd Thi Fuh Trang 23

(I- 2xz+ z") thi chúng ta tìm được đẳng thức sau:

Đây là công thức truy hồi của ? (x).

Tích phân đa thức Legender cho bởi (5) n lần từ 0 => x

bởi vì ở trong móc vuông chi khác hàm (x* —1)" một da thức bậc nhỏ hơn n.

(10) gọi là công thức Rodrigues.

2 Tinh trực giao của các đa thức Legender:

Ta sẽ chứng mình rằng:

el 0 :men

[„@G&={‡ 20 (ll)

Vì các đa thức P(x), P(x) là nghiệm của phương trình (1), ta có:

da _— aP (x) = rat 2) FO) 5 mms Pa 0,

4a - FO) nins I)P.(x) =0.

Nhân phương trình dau với P(x), nhân phương trình sau với —P_(x) rồi

cộng lại và lấy tích phân từ —1 —> +1, ta được:

LUAN VĂN TỐT NGHIỆP ỘỒ—a« ău Khe 2

[me 2|a-xoe Olay Jawa EO lacs

+[m(m + 1) = n(n + L)] ]®„()P,(œ)& =0 (12)

Bằng cách tích phân từng phần ta được:

' d aP,,(x) al ) aP,(x) Jawgo-) nt |~=-, ju- 220) 256

\bøy 2 v6 4P.(x)Ì, _ _`I dP, (x) đP„(x) J#.o24->) = Jaa fo dx.

khi đó từ (13) ta suy ra hệ thức đầu của (11).

Muốn cung: minh hệ thức sau iss q Ù Sg bg công thức ¿Ha Ta có:

ig (x) d= 5 oar ae 1S > —1)" de.

Bằng cách dch phân từng =- và chú ý = số hạng ngoài — tích phân

bing 0, ta được:

[Fle -Ð" le- 1" |&=- “me@- ri =[œ°- 1)" ax.

Tích phân từng phân như thế liên tiếp r n a ta mm,

‘Ie, (x)] dày = ee |e -r4 Se —1)" ]&.

Do đó:

{eer ¬ mai

Người ta cũng chứng minh pe rằng mọi ham f(x) khả vi liên tục và có dao

hàm cấp 2 liên tục từng khúc trong khoảng (—1,+1) hữu hạn tại hai mút

x= #I, đều có thể khai triển thành chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối và đều theo các

Gọi 7 R? là miễn bị chặn có biên là mặt trơn Ð, 7 =<7+/.

Gọi 4= (P(x, y,z),Ó(>x, y,z),#(x,y,z)) là trường vectơ liên tục trên T

và lớp C' trên T:

AeCŒ)¬C'(T) n=(cosa,cos đ,cosy) là pháp vectơ đơn vị hướng ra phía ngoài đối với mặt

2.

Khi đó ta có công thức Gauss — Ostrogradsky

[[(Peosa +Qcos Ø + Rcosy)dơ = W(Z+2 a

An= A, = Pcosa + Qcos Ø + Rcosy

ta viết (1) dưới dang vectơ ( định lý divergence)

[[Ando = [[fdiv 44T @)

x T

Giả sử hai hàm u, vy eC'(7)¬C€°Œ)

SVT: Dé ý Wank Trang 26

Chọn A=uVy trong đó Vw= adie =4 là vectơ gradient của v Từ (2) ta

Từ (3) ta nhận được công thức Green thứ nhất

[ju dor = ÍJ[tA»4r + fffvuvvat œ

Công thức tích phân cơ bản

Giả sử T và Ð> như trên Xét hai điểm Mo(xy, yo, Zo) cố định và M(x, y, z) là

Giả sử M, eT thì v(M) gián đoạn tai M=Mo không thể áp dụng trực tiếp

công thức Green cho u và v trong T.

v(M)=v(x, y,z)=U,(M)=

SVLCH: Pé Thi Wank Trang 27

Tuy nhiên hàm wM)== — bi chặn trong miền

Mu

T\K, với biên SUL, ở đây K, là quả cầu tâm Mo

bán kính £, có biên là mặt cẩu 3 nằm hoàn toàn

Im 2(z Jao = fjuder = re" u’=4z7u" (8)

với w` là giá trị trung bình của U(M) trên mặt >>,

Ife 4= la ~hane(& m) an (9)

Ou Gu

đi | —| là giá trị trung bình của — trê š

Vv (=) gid tri trung a; n>,

Từ đó ta nhận được cóng thức tích phân cơ bản của Green

4m(M,)= Nhe 2( gL] fon tater (11)

+ Ry»

2 Ham Green

$ Ham Green của phương trình Av = 0 và các tính chất cơ ban của nó

Từ công thức tích phân cơ bản của Green

M,)=— |] ——-uw— “ Jr dT

u(M,) Ag ae an “(gt là J Ryu wu (12)

trong đó M, eTweC'(T)AC(T), T=T UAT =TVY.

Nếu u là hàm diéu hoà thì tích phân bội ba ở (12) bằng 0; nếu u thoả phương

trình Poisson thì tích phân bội ba là một hàm đã biết

Giả sử v là một hàm diéu hoà nào đó, thuộc lớp C'(T) và không có ky di.

Tit công thức Green thứ hai

fw Tá ¬ ơ= [[uAv—vAw)dT =~[[ÍbAu4T

l

AOS,

là hàm của hai điểm M,(x,y,z) và M(E,7,.¢)

Điểm Mo cố định, vì vậy x, y, z đóng vai trò tham số

SVTH: Pé Thi Hanh Trang 29

Cônng thức (16) chứa ul va ml, ; trong khi giải bai toán biên thứ nhất ta

in

chỉ biết ul, , còn khi giải bài toán biên thứ hai ta chi biết aly Ham v được

chọn sao cho Gl, đối với bài toán biên thứ nhất (2, =0 đối với bài toán

biên thhứ hai),

Ta định nghĩa hàm G(M,P) cho bài toán biên thứ nhất bởi các điều kiện sau:

1) G(M,P) như là điểm P(E,7,¢) với M(x, y, z) cố định thoả phương

trình Laplace.

VPeT

AG=G,.+Œ +Œ_ =0

€ +? « PeM

2) G(M,p)với p = M biến thành œ và có dạng (15), ở đây v(M,p) là

ham điều hoà trong T

3) G(M, p)|„; = 0 Điều kiện này thoả nếu He - a

Ham G(M,p) được gọi là hàm Green hay nguồn gốc của bài toán biên thứ

nhất của phương trình Aw =0.

Hàm Green G(M,p) cho ta công thức biểu diễn nghiệm của bài toán biên thứ

nhất của phương trình Au =0 như sau (từ (14))

3G 8G

u(M,)=~ [lus odo=— [75 do; (f =*|;) (16)

Nếu u thoả phương trình Poisson Au = F thì từ (14) ta có

w(M,)=~ [[/ ŠZđø=-[[FGứT (17)

r On i

Ham Green G được định nghĩa thông qua ham v, là nghiệm của bai toán biên

thứ nhất của phương trình Laplace.

Av=0

a

~ 4aR

Khi biết G ta sẽ giải được bài toán biên thứ nhất với diéu kiện biên tuỳ ý

(u.= ?), trong khi đó để tìm chính hàm G ta chỉ cẩn giải một bài toán biên với

điều kiện biên đặc biệt lị- ¬] và nó sẽ dễ hơn nhiều.

SVCHI Dé Chị Wank Trang 30

Các tính chất của ham Green

G(M M,)>0 VÀ/eT.

Ta có G>0 trên mặt cẩu 3 tâm Mo, bán kính £>0 khá bé

lim : =+œ | và G|,= 0 nên theo nguyên ly cực đại ta có G>0 trong T.

Ao a

Ta cũng có als <0 (vì G>0 trong T va G|,=0).

Hàm Green đối xứng với hai biến Mu(x, y, z) và M(E,77,0)

G(M.M,ạ)=6G(M,.,M)

Đó là nguyên lý tương hỗ trong vật lý:

Một nguồn đặt ở điểm Mo sẽ sinh ra ở M một hiệu ứng cũng bằng hiệu ứng

sinh ra ở Mp nếu nguồn đặt tại M Thật vậy, giả sử ÄZ¿ và MY là hai điểm cho

trước thuộc T Dựng mặt cầu ®, và Y, bán kính ¢>0 khá bé với tâm tại À⁄//

và MJ nim hoàn toàn trong T.

bạo “/)=0(M,M) áp dụng công thức Green thứ hai trong miễn T,

Vì vế trái của (20) bằng 0 do AG =0 và tích phân mặt trên } bằng 0 do điều

kiện biên Ớ{,= 0 Cho ¢ —> 0 và sử dụng tinh kỳ dị của G ta được

G(M,,M?) = G(Mj,M,)

hay là G(M,Mạ)=G(M,,M).

$ Ham Green cho hình cầu

Cho mặt cầu >„ tâm 0, bán kính R Mẹ ở trong 3`„ Lấy M; trên 0M sao cho

ø,ø,=R` (21)

Ở đây ø, =OM,, p,=

SVLH: Dé Phi Wank Trang 31

Ta tìm công thức nghiệm (16) của bài toán biên thứ nhất của phương trình

Laplace (bài toán trong) Tính

3G 1} ô{1 R ôÍt = : rae = +/2(+) - 21}- ja pháp tuyến ngoài

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD, Quân Khile Fy

Mr] “ rap” ren _ _ cosØPM,

Đưa vào hệ toa độ cẩu với a tại tâm mặt cấu Giả sử P= P(R,ø,9),,

M,=M,(ø,.0,.9,) y=tÐP.OM,) Ta có do, = R` sin@dado, 9 e[0,z]

và chú ý dS=Rd@ ta có nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình Laplace

cho bởi công thức

dude gọi là tích phan Poisson cho hình tròn Công thức đó với dấu (-) cho ta

nghiệm của bài toán ngoài.

$ Ham Green của nửa không gian trên

Khái niệm hàm Green và công thức (14) vẫn có đối với mién vô hạn nếu các

hàm đang xét là chính quy ở vô cùng Ta tìm hàm Green ở nửa không gian z >0.

Đặt tai MofXo, Yo Zo) Zo >0, một diện tích đơn vị tạo một trường trong không

gian mà thế là stan với Ry =,/(x-x,)? +(y-y,)' +(z-z,).

ani = & Ine

Vin ngược hướng với Óz Ta có

sa Na

với

Gz 4z RÌ R

ôn zed œ HD) 2z R} it) 2a[(x-x,)? +(y~ y,)' +(z-2,) ]}*

Nghiệm của bài toán biên thứ nhất của phương trình Laplace cho bởi

u(M, Hole ƒ(P)đdơ, với E,- mặt phẳng z =0, f(P)=u,.,

LUÂN VĂN TỐT NGHIỆP _ 4422 2 tác Ty

Nghiệm của bài toán biên thứ nhất cho nửa mặt phẳng trên của phương trình

Laplace cho bởi

u(X,,¥o) = — f ime (x)& (36)

với u(x, y) wo = I(x)

Iv HAM BESSEL

1 Dinh nghia:

_S (yt (xy

WO Sarena) 0

vơi k> 0 (số nguyên)

p: không phải nguyên âm

Nếu p = n ( số nguyên đương): T(p+k+l1)=T(m+#k+l)=(n+k)!

= (-1' (xÝ”

=0 =2, aos $) (2)

Nếu p là một số nguyên âm ta không thé áp dung công thức (1) được nữa Tuy

nhiên người ta thừa nhận công thức sau:

Vậy phưương trình (5) được thoả.

Người tra nhận thấy rằng J_ (x) cũng là nghiệm của phương trình (5)

Khi p không phải số nguyên, các hàm J,(x) và J_,(x) thì độc lập tuyến tính.

Do đó mghiém tổng quát của phương trình (5) là:

Y=A! (x)+BJ (x) (A, Bla các hằng số tuỳ ý)

Khi p là các số nguyên, các hàm J (x) và 7 ,(x) thì phụ thuộc tuyến tính

Dang của ham Bessel.