Khóa luận tốt nghiệp nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ  - NGUYỄN THỊ THU THẢO ẠI Đ Ọ H C TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG SƯ TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ ẠM PH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết N HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ  - NGUYỄN THỊ THU THẢO ẠI Đ TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ Ọ H C KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết ẠM PH Người hường dẫn khoa học N H PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2018 ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH N H LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo, cô giáo môn Vật lý lý thuyết thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy chúng em suốt trình học tập, rèn luyện trường Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh – người trực tiếp hướng dẫn, bảo em suốt trình thực khóa luận ẠI Đ Mặc dù có nhiều cố gắng nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót Em mong nhận nhận xét góp Ọ H ý thầy bạn để khóa luận hồn thiện C Em xin chân thành cảm ơn! SƯ Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên ẠM PH Nguyễn Thị Thu Thảo N H LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu bảo hướng dẫn tận tình PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em hồn thành khóa luận tốt nghiêp thời hạn Đề tài khóa luận có kế thừa kết nghiên cứu trước Em xin cam đoan kết nghiên cứu mình, khơng trùng với kết tác giả khác Em xin hoàn tồn chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2018 ẠI Đ Sinh viên Ọ H C Nguyễn Thị Thu Thảo SƯ ẠM PH N H MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ẠI Đ Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Ọ H CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU Đường thẳng đường nhanh 1.2 Phiếm hàm Bài tốn đơn giản phép tính biến phân C 1.1 SƯ 1.2.1 Khái niệm chung phiếm hàm PH 1.2.2 Phép tính biến phân ẠM 1.2.3 Phương trình Euler 1.2.4 Một số tốn vật lý phép tính biến phân H 1.3 Phép tính biến phân nguyên lý tác dụng tối thiểu 10 N Kết luận chương 13 CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN 14 2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển 14 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu học giải tích 17 2.2.1 Nội dung nguyên lý 17 2.2.2 Chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu nguyên lý tổng quát học 19 Kết luận chương 23 CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI 24 3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu khôn ngoan ánh sáng 24 3.1.1 Giải thích ba định luật quang học đường truyền tia sáng môi trường chiết suất thay đổi 24 3.1.2 Ứng dụng phép tính biến phân tìm đường truyền tia sáng 26 3.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trường điện từ 28 3.2.1 Hàm tác dụng trường điện từ 28 3.2.2 Phương trình chuyển động hạt 30 Đ ẠI 3.2.3 Các phương trình trường điện từ 32 H 3.3 Nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường 33 Ọ 3.3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu 33 C 3.3.2 Các định luật bảo toàn 36 SƯ Kết luận chương 43 PH KẾT LUẬN CHUNG 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 ẠM N H MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý nghành khoa học tự nhiên thú vị Nó bao trùm nhiều lĩnh vực như: Quang học, điện, học, vật lý hạt nhân, vật lý lý thuyết… Trong đó, Vật lý lý thuyết mơn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý Thuyết vật lý hiểu biết tổng quát người lĩnh vực, phạm vi vật lý định Bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học nhà vật lý lý thuyết đề hệ thống quy tắc, định luật, nguyên lý vật lý dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lý để tạo khả Đ ẠI tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Trong thực tế, ta thấy giả sử vật chuyển động từ điểm A đến điểm B, H Ọ hàng triệu đường vật chọn đường cho thời gian mà sử C dụng ngắn Vì vậy? Dấu hiệu đề vật tìm đường đó? SƯ Nguyên lý tác dụng tối thiểu giúp tìm câu trả lời cho câu PH hỏi Về mặt lịch sử, gọi "tối thiểu" nghiệm địi hỏi phải tìm quỹ đạo có thay đổi từ quỹ đạo gần Đây nguyên lý tổng ẠM quát vật lý học, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu N H tiên đề Từ nguyên lý người ta rút phương trình chuyển động hệ phát biểu quỹ đạo hệ phải thỏa mãn trung bình hiệu động nhỏ lớn khoảng thời gian hay hàng loạt biểu thức, định nghĩa, khái niệm đặc trưng học nguyên lý, định luật bảo toàn vật lý học đại Chính lý trên, tơi chọn nguyên lý tác dụng tối thiểu làm đề tài khóa luận mình, với nội dung “Ngun lý tác dụng tối thiểu vật lý ” Tôi muốn mở rộng vốn kiến thức cịn hạn chế đồng thời giới thiệu đến bạn sinh viên toàn khoa Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu học vật lý học đại Nhiệm vụ nghiên cứu - Để đạt mục đích nghiên cứu đề cần thực nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu khái niệm phiếm hàm, toán đơn giản phép tính biến phân - Tìm hiểu nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển học giải tích - Tìm hiểu nguyên lý tác dụng tối thiểu vật lý đại Đối tượng nghiên cứu - Nguyên lý tác dụng tối thiểu Đ Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp Vật lý lý thuyết ẠI Ọ H - Phương pháp tính tích phân C Cấu trúc khóa luận Chương 1: Cơ sở toán học nguyên lý tác dụng tối thiểu SƯ Chương 2: Nguyên lý tác dụng tối thiểu học ẠM PH Chương 3: Nguyên lý tác dụng tối thiểu vật lý đại N H 2 CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU 1.1 Đường thẳng đường nhanh Vào tháng năm 1696, John Bernouilli gửi lời thách thức đến cho tồn giới Tốn học ngày tốn tóm tắt cách dễ hiểu sau: "Nếu có bóng lăn xuống từ điểm cao đến điểm thấp hình dạng đường phải để thời gian di chuyển ngắn nhất?" [5] Trực giác cho đường thẳng thực Đ vậy, đường thẳng đường có độ dài ngắn Trong ẠI sách xuất 1638, Nhà khoa học Galile đề H Ọ cập đến toán chứng minh quỹ đạo cung trịn nhanh C quỹ đạo thẳng Tuy lựa chọn đường cung trịn ơng khơng phải lời SƯ giải Bài toán giải phương pháp vi phân đáp án đường PH Cycloid Bài tốn lời giải minh họa cho nguyên ẠM lý đẹp Vật lý học: Nguyên lý tác dụng tối thiểu, phát biểu môt cách đơn giản sau “ tự nhiên thực việc cách tiết kiệm N H dè sẻn!” [5] 1.2 Phiếm hàm Bài tốn đơn giản phép tính biến phân 1.2.1 Khái niệm chung phiếm hàm Giả sử cho phiếm hàm, tức cho quy luật ứng với hàm (hoặc đường cong) thuộc tập đặt tương ứng với số xác định Do xem phiếm hàm hàm, vai trị biến độc lập hàm đường cong Để hiểu rõ phiếm hàm ta xét ví dụ sau: Giả sử y(x) hàm liên tục khả vi đoạn  a, b Ta xác định phiếm hàm J  y  tập hàm đẳng thức: H  m0 2c  c  P  eA  e (3.22) Ứng với học kinh điển, tốc độ nhỏ, (3.18),(3.19) (3.21) có dạng: L m0v  e  eAv , P  m0v  eA , H (3.23)  P  eA  e 2m Từ phương trình Lagrange ta thu phương trình chuyển động ba chiều điện tích trường điện từ có dạng: Đ L  ẠI d L  dt v (3.24) H Thay (3.18) vào (3.24) ta được: C Ọ d  m0v  dt       e  E   v  B    (3.25) SƯ Ta áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu hàm tác dụng (3.16) để thu PH phương trình chuyển động bốn chiều điện tích trường điện từ: b ẠM  S     m0c d  eAi dxi   a N H Lấy biến phân lưu ý d  (3.26) dxi dxi ta được: c  dxi xi i i    m0 d  eAi d x  e Ai dx   , (3.27) hay biểu thức cịn viết dạng: b b   m du  x i i  e x dAi  e Ai dx    m0ui  eAi   x   i i i a a Vì biên khơng thay đổi q trình ta lấy biến phân nên số hạng thứ hai biểu thức không.Thay hệ thức  Ai  hạng thứ (3.27) ta nhận được: 31 Ai k A  x ; dAi  ki dx k vào số k x x    m du  x i i e Ai i k A   x dx  e ki dxi x k   , k x x   Ak d   dt  m u   e  x hay: i i  Ai  k  i  u  x d  x k   Vì  xi nên biểu thức dấu tích phân phải khơng, nghĩa là: A A d  m0ui   e  ki  ki dt  x x với u k   k u  ,  (3.28) dx k d Phương trình (3.28) phương trình chuyển động bốn chiều Đ ẠI Nếu biến phân  S ta xét quỹ đạo thực điện tích chuyển đọng số hạng thứ (3.7) khơng Trong giới hạn số hạng H C Ọ thứ hai coi biến thiên Như ta thu được: S    m0ui  eAi   xi , SƯ hay: PH S    m0ui  eAi     Pi  eAi   xi (3.29) ẠM Thay (3.29) vào đẳng thức : N H i PP  m0 2c , i ta thu phương trình Hamilton- Jacobi điện tích trường điện từ:   S   S  eAi   m0 2c  i  eAi    x   xi  3.2.3 Các phương trình trường điện từ Giả thiết chuyển động điện tích cho nên lấy biến phân trường, ta tìm phương trình trường điện từ theo nguyên lý tác dụng tối thiểu S  S2  S3 , S    k ik   j  Ak  D Eik d x  ,  c   32 (3.30) với Dik  0 1E ik Sử dụng (3.18) thay Eik  i Ak   k Ai vào (3.30), ta được: S   j k Ak  Dik i Ak d x  ,   lấy tích phân phần sử dụng định lý Gauss ta có :  j k  i Dik  Ak d x   Dik Ak dSi     j k  i Dik   Ak d x  Vì  Ak nên biểu thứ dấu tích phân phải khơng, tức là: Đ j k  i Dik  i Dik  j k ẠI Vì tính phản xứng nên: Ọ H i Dik  j k C Đây nhóm hệ phương trình Maxwell SƯ 3.3 Nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường 3.3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu PH 3.3.1.1 Khái niệm trường ẠM Nếu điểm không gian đặt tương ứng với hay vài đại lượng ta nói ta có trường cho Các đại lượng xét hàm N H số tọa độ không gian x, y, z tọa độ thời gian t, chúng gọi hàm trường   x, y, z     x  Các hàm trường thỏa mãn phương trình vi phân gọi phương trình trường 3.3.1.2 Hàm Lagrange Trường sóng biểu diễn qua tích phân thể tích mật độ hàm Lagrange   (gọi tắt Lagrangian L  , i  x     ) Lagrangian phụ thuộc vào thành phần  trường  i đạo hàm bậc chúng theo tọa độ không thời gian không phụ thuộc tường minh vào x Thành phần hàm sóng  i đóng vai trị 33 tọa độ suy rộng hệ - trường,  i - vận tốc suy rộng x Tích phân hàm Lagrange theo không thời gian gọi tác dụng Vậy tác dụng tích phân Lagrange theo thể tích chiều bất biến:   J   L  ,  x     d x ,  (3.31) đó: d x  dx1dx2dx3dx0 Lagrange phải bất biến tương đối tính 3.3.1.3 Biến phân tổng quát tác dụng ẠI trường: Đ Biến phân tổng quát tác dụng gắn liền với biến thiên hàm sóng H  J    Ld x    Ld x   L  d x  Ọ   (3.32)  C Biến phân Lagrange biểu diễn dạng: SƯ  L  L  x   L  x    L  x   L  x    L  x   L  x    L  x    L  x  (3.33) ẠM PH Các hàm L  x  L  x  biểu diễn phụ thuộc giải tích khác vào tọa độ Như biến đổi  L  x   L  x  L  x ( điểm không    L L           x    x    L  N H gian giải thích thay đổi dạng đường cong) (3.34) L  x   x x (3.35) Hạn chế tới số hạng bé bậc ta viết:  L  L  x   L  x   L  x   x   L  x   Trong biến phân vùng lấy tích phân    có nghĩa chuyển từ d x  d x ta viết: 34   d x   d x  d x    dx1dx2 dx3dx0     dx1   d  x1     x  x (3.36) d 4x   x1   x1 x1 Thay (3.34),(3.35),(3.36) vào công thức (3.32) ta thu kết cuối cho biến phân tác dụng: Đ       x   L  x     L  x   L  x  J     x     x  L  x    d x (3.37) x x      x      x    x        ẠI Ọ H Tiến hành lấy tích phân phần cho số hạng thứ hai công thức (3.37) sử dụng định lý Gauss – Ostrogradski biến tích phân theo thể tích bốn chiều thành C SƯ tích phân theo siêu mặt  ta nhận được: (3.38) ẠM PH           L L    J     d x     L x d         x            x  x     d 4x dx N H d   3.3.1.4 Phương trình trường Phương trình trường nhận tổng qt nhờ nguyên lý tác dụng tối thiểu Theo nguyên lý tác dụng cực trị chuyển động thực sự, có nghĩa hàm  thỏa mãn phương trình trường Trong trường hợp ta xét biến phân tác dụng với biến cố định, có nghĩa biến phân hàm sóng biên không   Ta giả thiết trường thể tích lớn tiến tới khơng, nên tích phân mặt cơng thức (3.38) triệt tiêu Mặt khác biến phân bên thể tích  hàm tùy ý x Vậy đòi hỏi  J  nhận phương trình ‘chuyển động’ trường: 35 L    x L      x     (3.39) 3.3.2 Các định luật bảo toàn Khi rút phương trình chuyển động trường (3.39) giả thiết biến phân hàm trường biên miền  không Bây xét biến phân hàm tác dụng chuyển động thực cách giả thiết miền lấy tích phân  với trường sóng coi khối thống bị dịch chuyển khoảng vô nhỏ không gian bốn chiều Minkowski Rõ ràng từ tính chất đối xứng đẳng hướng khơng gian ta suy tác dụng không bị Đ ẠI thay đổi nghĩa biến phân tác dụng J 3.3.2.1 Tenxơ xung lượng trường H Ọ Trong phép biến đổi vô nhỏ tọa độ: C x  x  x    , (3.40) SƯ   vectơ bốn chiều vô nhỏ PH Nếu thay giá trị biến phân hàm sóng với x  x    vào tích phân     x   L x  d     x     N H (3.41)   L  J              x ẠM mặt công thức (3.38) cho  J ta có:   J     T d  , (3.42)  với T  L   x   L  gọi tenxơ xung lượng trường    x    x  Từ (3.42) suy ra:  T d   Sử dụng tương tự hình thức với khơng gian chiều suy ra: 36 (3.43)  T d   T d   T d   T d  2 1 (3.44) 3 Dấu trừ xuất trước tích phân thứ hai pháp tuyến tới hai siêu mặt đáy 1  ngược chiều hướng Cho siêu mặt  chứa thể tích    hướng loại không gian tiến đến vô cực đặt điều kiện  r  r , t  tích phân cuối công thức (3.44) tiến đến không Vậy công thức (3.44) có dạng:  T d   T d   T d  2 Đ   T d   T d =const hay 1 0 1 2  T d  C    = const, i i ẠI  i siêu mặt loại khơng gian H Ọ Nếu ta chọn siêu mặt loại không gian trực giao trực tiếp với trục thời gian C Yếu tố diện tích siêu mặt xác định diện tích hình chiếu: SƯ d  d   0,0,0, d  ẠM PH 1 với d  dx1dx2 dx3  d x xác định yếu tố không gian ba chiều thông thường i i Vậy từ (3.44), ta có định luật bảo tồn: x  const N H  T d Các đại lượng : (3.45) P  i  T d x   i      i  iL   d x  x     tạo thành vectơ bốn chiều Vectơ P gọi vectơ xumg lượng trường Áp dụng định lý Gauss cho tích phân mặt (3.43) nhận được:  T d     T x d 4x   37 T x  Như dive bốn chiều tenxơ xung lượng không Sử dụng hệ thức chứng minh bảo toàn vectơ P : P = const Khi thêm vào T lượng    ,   tenxơ hạng x phản đối xứng với số và, dive bốn chiều tenxơ T  T    x tenxơ T 0:  T x  Đ Vậy việc thay tenxơ T tenxơ T không dẫn đến thay đổi ẠI lượng xung lượng trường Ọ H 3.3.2.2 Tenxơ momen động lượng trường C Bây ta xét biến phân tác dụng phép quay vô bé hệ quy SƯ chiếu: x  x  x    x   (3.46) PH Nếu viết phép biến đổi Lorentz dạng: x  x  a x  x   x ẠM Từ (3.46) (3.47) ta có : (3.47)  x    x N H   a           Ta có: (3.48) mà trận     hệ số khai triển ma trận  theo   Đối với trường vô hướng giả vô hướng      Thực phép khai triển Taylor bậc theo   :    x      x    x      x   Thay (3.48), (3.49) vào cơng thức (3.46) ta có: 38     x x (3.49)    x      x      x            x  x   Kết cuối ta nhận được:    x       x    x           x  x (3.50) Ta thay biểu thức (3.50) vào tích phân mặt (3.38) ta có: Đ    L J          x                            L    d  (3.51)            ẠI    L           x             L  d        C Ọ H SƯ Ta thực phép biến đổi cho số hạng thứ dấu móc vng PH thứ hai dấu móc lớn cơng thức (3.51) Cuối ta thu kết quả:  M  d    M   xT  x T  L       x     M  d          x Như vậy: N H đó:   ẠM J  (3.52)  M  Từ (3.52) suy ra: x  Lập luận tương tự tiến hành từ công thức (3.43) đến công thức (3.45), ta nhận định luật bảo toàn:  M v4 d x  const 3.3.2.3 Điện tích vectơ dịng 39   Tích phân tác dụng: J   L    x     d x dùng cho hàm trường thực  Bây ta tổng qt hóa tích phân tác dụng cho trường phức, trường tương ứng với hạt tích điện Giả sử trường phức diễn tả hàm phức  liên hợp phức   biểu diễn dạng:   x  1  x   i2  x    x  (3.53) Đ 1  x   i2  x  (3.54) ẠI 1  x  2  x  hàm thực chúng biểu diễn qua    Ọ H Ta chọn 1  x  2  x  tọa độ suy rộng độc lập trường tích C phân tác dụng biểu diễn dạng: SƯ      J   L   ,  ,  , d x   x  x                  L   L           x           x      N H    L          x    ẠM    L  L  J     x         x     PH Biến phân tổng quát có dạng: (3.55)   L  d         x              (3.56) Xét bất biến tác dụng phép biến đổi Gradien mà khơng là, cho tọa độ khơng gian thay đổi, có nghĩa: x  x  x 40 Xét phép biến đổi Gradien loại   x     x     x  eie    x      x     x      x   eie   x     x      x    x   ie  x  ;    x   ie   x  với e – số thực khác trường khác  - tham số thực tùy ý không đổi Thay    vào công thức (3.56) để xét cho chuyển động thực trường ta có kết quả: Đ ẠI    L  J  ie          x    C Ọ H          L  d   ,        x         L    x      x             x       (3.57) ẠM PH    L J   x   ie         x SƯ sau ta xác định vectơ bốn chiều: N H Chú ý đến cơng thức (3.57) biến phân tác dụng viết:  J   x  j  x  d     (3.58) Dựa vào định lý Gauss, từ cơng thức (3.58) ta suy ra: j  x  x  0, nghĩa nhận vectơ dịng bốn chiều thỏa mãn phương trình liên tục Vậy điện tích trường: Q   j4 d x  const đại lượng bảo toàn 41 Như ta xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Lagrangian trường tổng quát hóa hàm Lagrangian học hệ với vô tận bậc tự Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta suy phương trình “chuyển động” trường đại lượng động lực bất biến vectơ xung lượng, momen động lượng, vectơ dịng điện tích trường [2] Đ ẠI C Ọ H SƯ ẠM PH N H 42 Kết luận chương Trong chương 3, trình bày nguyên lý tác dụng tối thiểu vật lý đại, với vấn đề thú vị nguyên lý tác dụng tối thiểu khơn ngoan ánh sáng, giúp ta giải thích ba định luật quang học đường truyền ánh sáng môi trường chiết suất thay đổi Ngồi ra, ta cịn ứng dụng phép tính biến phân vào để tìm đường truyền tia sáng tìm hiểu nguyên lý tác dụng tối thiểu trường điện từ Không thế, thơng qua chương vận dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để chứng minh định luật bảo toàn lý thuyết trường Đ ẠI C Ọ H SƯ ẠM PH N H 43 KẾT LUẬN CHUNG Khóa luận “Tìm hiểu ngun lý tác dụng tối thiểu vật lý” thực đạt kết sau: - Đã trình bày cách logic sở toán học nguyên lý tác dụng tối thiểu giúp ta hiểu chất nguyên lý Thông qua việc tìm hiểu phiếm hàm làm sở để nghiên cứu phép tính biến phân mối liên hệ phép tính biến phân nguyên lý tác dụng tối thiểu - Nghiên cứu mối liên hệ nguyên lý tác dụng tối thiểu định luật Newton Đồng thời, từ điều kiện cần nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm lại phương trình Lagrange loại 2, hệ phương trình Hamiltơn từ nguyên lý tác Đ ẠI dụng tối thiểu nguyên lý tổng quát học - Vận dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để tìm hiểu vấn đề thú vị H Ọ khơn ngoan ánh sáng Nhờ giải thích ba định luật quang học C đường truyền tia sáng mơi trường có chiết suất thay đổi hay ứng dụng SƯ phép tính biến phân tìm đường truyền tia sáng Ngồi khóa luận cịn PH tìm hiểu ngun lý tác dụng tối thiểu trường điện từ vận dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu suy định luật bảo toàn lý thuyết trường ẠM N H 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]: Đào Huy Bích (2001), Phép tính biến phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2]: Phạm Duy Lác (2000), Cơ sở Lý thuyết trường lượng tử, Nhà xuất Giáo dục [3]: Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Mạng Internet [4]:https://www.google.com.vn/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd =2&ved=0ahUKEwjCwdiCpPXaAhVIVLwKHfglBzgQFggxMAE&url=http%3A %2F%2Fmath-wiki.com%2Fimages%2Fa%2Fa9%2FMorin%2C_David- Đ ẠI Introductory_Classical_Mechanics%2C_With_Problems_and_Solutions_(2003)(51 9s).pdf&usg=AOvVaw3ndw-f6-92gEibOVmItOQA H Ọ [5]: http://genk.vn/kham-pha/kho-tin-duong-thang-khong-phai-la-con-duong- C nhanh-nhat-20160102173034172.chn SƯ [6]: https://text.123doc.org/document/3112764-phep-tinh-bien-phan-va-ung- ẠM PH dung-vat-ly.htm N H 45