Các hàm đặc biệt trong phương trình vật lý toán

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VAT LY Lis - LUAN VAN TOT NGHIEP Nién khoa: 2000 — 2004 Dé tai: CAC HÀM ĐẶC BIỆT TRONG PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN THU VIEN

lrướng tầm HOS Sự -Pham `

ee HOCH 9) B: Thay: TRAN KHAC TY

SVTH: ĐỖ THỊ HẠNH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2004

Trang 2

Loi cam on

Déu tién con xin eam on b& me da dank tat ed link thitong cho con oa day dé con dé con dige nbut ngdy him nay Con biét on bd me nhiéu

ldm

fm xin chan thank eam on thay Trin Khde Ty da truyén đạt kiến

thite qui bau cho em od tan link hating dan em trong tuất thời gian thực

kiện kháa luận

đạn xin cam on tất ed qui thay cô trting Pai Foe Sut Dham Thanh

Phd Hé Chi Minh, dde big¢t la qui thy 06 Khoa Odt Ly da day trauyén đạt kiến thite cho em trong sudt 4 ndm hee vita qua

Fai xin eam on ban L2 Thi Trie Lam dé tan tink hd tre tôi trong

sudt thdi gian thực tiện khoá luận

Téi eing xin eam on nhitng người bạn của tôi, các bạn đã giin để ding oién tai trong 4 ndm ota qua eting nbut trong thời giaat tuc hiện kkod ludn

Trang 3

LỜI MỞ ĐẦU

Vật lý và toán học là hai ngành khoa học tự nhiên giữ vai trò trọng yếu, có rất nhiều ứng dụng trong xã hội, trong đời sống, trong sản xuất và trong khoa học kỹ thuật Giữa chúng lại có mối liên hệ mật thiết với nhau và phan hoc vé vật lý toán thể hiện rõ mối quan hệ mật thiết ấy

Học phẩn phương trình vật lý toán mà các bạn sinh viên đã và sẽ được

theo hoc ở năm thứ 3, nhưng vì thời gian có hạn, thầy dạy chỉ có thể gới thiệu và

giảng dạy những phẩn cơ bản nhất, cô đọng nhất để các bạn có thể hoàn tất học phẩn ấy mà thôi Còn rất nhiều, rất nhiều những phẩn kiến thức mà các bạn phải tự mình tìm hiểu qua tài liệu, qua sách tham khảo để củng cố thêm kiến

thức, khắc sâu và các bạn sẽ được tiếp xúc kỹ hơn khi tiếp tục học lên cao học

Ơ đây, để tài chúng tôi nghiên cứu: “Các hàm đặc biệt trong phương trình vật lý toán” Để tài này chỉ là một phẳẩn nhỏ trong khối kiến thức đỗ sộ

của môn học này, nhưng nó sẽ có ích, giúp các bạn sinh viên năm 3 củng cố

kiến thức, đào sâu thêm kiến thức giúp cho các bạn thi tốt Và hy vọng để tài

này sẽ tạo nền móng vững chắc cho các anh chị năm 4 khi muốn thi lên cao học

sẽ được ôn lại những kiến thức cũ để chuẩn bị tốt cho kỳ thi, cũng như các bạn có nhu cầu tra cứu cho mình

Nội dung để tài

CÁC HÀM ĐẶC BIỆT TRONG PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TỐN

gồm có 4 phẩn:

» Phần 1: Tổng quan về chuỗi hàm 1 Chuỗi hàm tổng quát

2 Sự hội tụ đều

3 Chuỗi luỹ thừa

4 Chuỗi Taylor _ Maclaurin

$ Phương pháp giải phương trình vi phân bằng chuỗi 6 Chuỗi Fourier »x Phần 2: Các hàm đặc biệt Hàm Gamma Đa thức Legender Hàm Green Hàm Bessel

Ham Bessel loai | Ham Bessel loai 2

Ham Bessel céu

NAWA

WHS

Trang 4

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD Fein Khe Fy

x Phần 3: Ap dung

I Phương pháp tách biến

2 Dao động tự do của màng tròn áp dụng hàm Bessel

3 Các bài toán về hàm Green

4 Bài toán truyền nhiệt

» Phần 4: Kết luận

Trang 5

Phin: CONG QUAN VE CHUOI HAM

I CHUOIHAM TONG QUAT

* Dinh nghĩa:

Cho một dãy vô hạn các ham s6: u;(x), ux), ., up(x), trong mién D nao dé Ta goi t6ng v6 han: u)(x)+uo(x)+ +u,(x)+ 1a mot chudi ham sé

Ký hiệu:_ » (x) với 1„(x): là số hạng tổng quát hay số hạng thứ

"NI

n của chuỗi

- Tại xe 2 mà chuỗi hàm hộitu hay phân kỳ thi x là điểm hội tụ hay phân kỳ

cùa chuỗi hàm

- Nếu V xe(a, b) chuỗi hàm hội tụ thì (a, b) được gọi là miền hội tụ của chuỗi - Tổng của n số hạng đầu tiên S„(x) của chuỗi hàm gọi là tổng riêng thứ n của nó, và là hàm theo x trong 2 S;(X) = H/(X) + Hạ(X) + + u„(X) - Tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó S(x) cũng là hàm số theo x và được định nghĩa: S(x)= lim S„(x)

hay có thể viết: S(x) = uj(x) + „z(x) + + „(x) + ta gọi chuỗi hầm là hội tụ về hàm S(x)

Thí dụ:

x

Xét chuỗi hàm ^z =l+x+x”+ +x"+ Đây là chuỗi nhân công bội

Ne

q = x chi hội tụ khi |x|< 1 hay -1 < x<l, do đó miền hội tụ của chuỗi là khoảng

Trang 6

L Vv i

4, (x) = U,(x)+u,(X)+ u,(X)+ (*)

wel

Tacé: S,(x) = u(x) + ux) + + u(x)

Đặt: R„(x) = w„„/(X) + #;.z(x) + : gọi là phần dư của chuỗi Do đó: Š(x) = S„(x) + ®„(x)

- Ta thấy chuỗi hội tụ tại xe D nếu:

- lim[ S(x)=S„(x)]=0 hay lim R,(x)=0

Nghĩa là:

We >0,3n e N,Vn > nạ =|S(x)~ S„(x)|< e= R.(x)|< £ (1)

- Tai các điểm hội tụ x khác nhau trong miền hội tu D, (1) sẽ đạt tại n„ khác

nhau, nghĩa là n„ phụ thuộc vào £ và x

* Đặc biệt nếu n„ chỉ phụ thuộc £: m = „,(£), và có định nghĩa chuỗi hàm hội tụ đều như sau: % Định nghĩa: Chuỗi hàm (*) gọi là chuỗi hàm hội tụ đều về hàm S(x) trong miền “2 nếu: Ve>0,3m(£),Vn > mạ, Vxc D =|S(Œœ)-S,(x)|<e|R„(x)|<£ Khi đó 0 gọi là miễn hội tụ đều của chuỗi Thí dụ: Xét chuỗi hàm yey , chuỗi này hội tụ Vx e [0,1] Ta có: _ ` x"! x" R,(x)=(-)) TT sated rs get Theo dinh ly Leibniz thi lR„(*|<—1*z (vì 0<x4l) Vì lim 2 =0, do 46 We > 0,3n,,Wn> nụ,|R,(x)|<£ Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trong [0,1]

1 Tiêu chuẩn hội tụ đều:

*#*ˆ Tiêu chuẩn Cauchy:

Trang 7

N VĂ P GVHD Fein Khide Fy Thi du: 7 Xét chuỗi a trên [0,2z] Dùng tiêu chuẩn Cauchy, lấy e = 0, 1 và xét: _ |sin(nw+l)x sin 2nx Ea„()~5„(Ì PK ri a > " WneNn - sin(l+ Ho HT sin? 5 sink „ n+l n+2 eo Gee sổ chuỗi đó không hội tu déu [0,27]

* Tiêu chuẩn Weierstrass:

Cho chuỗi 2 (x) (*)

u„(x)|< M, với Aƒ >0 và chuỗi số dương 5 M, héitu

Nếu VneW, Vxe⁄2,

thì chuỗi (*) hội tụ đều trong miễn “2 Chuỗi 2M, gọi là chuỗi hội tụ hay chuỗi già của (*) Thí dụ: X^COSHX << sinnx Xét các chuối ^_ \ 2, = ,(œ >0)

chuỗi trội của các chuỗi này là: Và

COS/Y ga sinnx <-Ì vxeR)

re 1 a a le

Ta biết chuỗi aw hội tụ khi ø > 1, theo tiéu chudn Weierstrass c4c chudi đã

ne

cho hội tụ tuyệt đốivà déu trong R khi @ > 1

Trường hợp 0< z <1 chuỗi ST phân kỳ, và không thể kết luận

®,Tiêu chudn Dirichlet:

Trang 8

Vv VHD Sa

và dãy hàm ø (x) đơn điệu không tăng va din đến 0, vx e 0 thì chuỗi (*) hội tụ đều trong D

Thí dụ:

Xét các chuỗi ở ví dụ trên với 0< øz <l Ấp dụng tiêu chuẩn Dirichlet, với

V„(x) = sinnx, @,(x)= =— (0<ø <1) rõ ràng ø(x) đơn điệu không tăng và dẫn n tới (0 xe , đặc biệt | Vxe[e,2z—£], 0<e<z Mặt khác: (5, (x)| =|sinx+sin 2x+ + sin mx}

Nghĩa là S„(x) bi chin Vx e [e,2z =£] Vậy theo tiêu chuẩn Dirichlet, chuỗi

3 SJ là hội tụ đều trong [e,2z ~z] đặc biệt là trong (0,2z), (z —0) Tại x

=0 và x=2z chuỗi đã cho cũng hội tụ

2 Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều :

# Dinh lý 1:

Nếu chuỗi 21 (x) (*) với u„(x) (m = 1,2, ) là các hàm liên tục trên [a,b] và

hội tụ đều trên [a,b] về hàm S(x) thi S(x) JA một hầm liên tục trên [a,b] Thí dụ:

1) Chuỗi x +(x? = x)+ +(x”—x””)+ là một chuỗi hội tụ Yx e [0,1] về hàm:

S(x)= ‘i 0<x<l

I x=!

Nhưng chuỗi hàm không hội tụ đều trên [0,1], ta thấy tổng S(x) của chuỗi là môt

hàm gián đoạn trên [0,1]

2) Chuỗi sinx sin2x “TT tai tt sin nx te hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass

n

Trang 9

AN VAN TOT P (1Ð đuảu Khe Ty

hội tu đều về hàm $(x) trên {a,b] thì chuỗi 2, Ỉ u,(t)dt hội tụ đều về hàm mel Xe | S(0)đf (x,x„ e[{a.b|) nghĩa là: | [4,6] Xp {swdt= 3° [u,(t)ải jefe đặc biệt: {s (t)dt = Š J4 Thí dụ: Xét chuỗi 2" xe eX Hk Nhu da biét chudi nay hOi tu vx €(-1,1) va tong cia n6 IA S(x) = a —-x

Rõ ràng chuỗi này hội tụ đều trên (-1,1) ( theo tiêu chuẩn Weierstrass) các số

hạng của chuỗi w (x) = x", 2 = l, 2, là các hàm liên tục trên (-1,1) Vậy theo định lý 2, trên (-l,1)ta có: i Jidde+.+ [ade + l—x (với 0; xe[a,ð],-1 <a<b< l) hay ae x ~In|l—x]=x+5-+ tt và chuỗi ở vế phải hôi tụ đều về -In|I~ x| với |x| < 1 * Định lý 3:

Cho chuỗi ye, (x) (*) nếu:

u,(x) có đạo hàm liên tục trên [a,5] Chuỗi (*) hội tụ về S(x) trên [a,ð]

Chuỗi các đạo hàm S0) hoi tu déu vé o(x) wen [a,5] thi:

Chuỗi (*) hội tụ đều trên [a,ð] và tổng S(x) của nó có đạo hàm trên [a,»] và S(x)=0(2)= 2 u(2) ( với Sa) =S, u,(x)= 2)

n

Trang 10

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP C112 Giản _Xitắc 2u

Thí dụ:

Xét chuỗi 2, = (1) và chuỗi các đạo hàm các số hạng của nó:

Ta đã biết chuỗi (1) là chuỗi hội tụ đều với ø >I và chuỗi (2) hội tụ déu với ø >2

trên toần trục số

Do đó theo định lý 3 khi ø >2 ta có Š”(x)=Ø(x) ( trong đó S(x), * lan lượt là tổng của (1), (2))

II CHUỖI LUỸ THỪA:(còn gọi là chuỗi nguyên)

Định nghiã: Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng:

sa = Ay + A,X + a,x? + 44,x" + (1)

hayêu'

Trong 46 ap, ay, đạ, ., đ„ là hằng số gọi là các hệ số của chuỗi luỹ thừa Nhận xét: Chuỗi luỹ thừa liên tục và hội tụ tại x = 0 Thí dụ: 1) 290 Hit tot + là chuỗi luỹ thừa có mọi hệ số đều bằng | — x” x x x" 2) ¿ Stayt ay te tate là chuỗi luỹ thừa có hệ số: 4, = n=l1,2, 1 Miền hội tụ: + Đừnh lý Abel: Nếu chuỗi luỹ thừa (1) hội tụ tại điểm x„ #0 thì nó hội tụ tuyệt đối vx: |x|<|xạ| e Hệ quả: Nếu chuỗi luỹ thừa (1) phân kỳ tại xị thì nó phân kỳ Vx: |x| > |x,| 2 Bán kính hôi tụ:

a Định lý 1: Tổn tại một số dương duy nhất 8 (0 < # < + ) sao cho chuỗi luỹ thừa (1) hội tụ khi |x|< R và phân kỳ khi |x|>R

e Quyước: #&=+œ chuỗi hội tu Vxe Â

R =0 chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0

Trang 11

V VHD Trin de Fi Dinh nghia: Số &>0 ( tổn tại trong định lý và quy ước trên) gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa b Định lý 2: ớ Saat ; võ s

Nếu lim HN =l hay lim (la =/ (I: hữu hạn hoặc vô hạn) thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa (1) được xác định theo công thức; R= + Do đó: = lim LC hoặc: R=lim ne a,,| Thi du: 1) Xét chudi: : pcD— 1)” ml _— 1 ot S DĐ =.) i" (I+5-5+ ) a el n+l có a, =(-]) + S| lim(— et

Trang 12

L V ran Khde TF

] *

a= Gs) = lim(—.*) = lim —1— =0

a, n">»e'(nq+])! |“ (n+l) Vậy R =œ tức là chuỗi hội tụ tuyệt đối xe 8

3) Chuỗi 2 nix", R =0: chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0

TV eS RTE AACA

+

Chuỗi Taylor fiend hàm f(x) trong lân cận cia diém x, là chuỗi luỹ thừa mà tổng

riêng S„(x) của nó là đa thức Taylor P„(x) cấp n của f(x) trong lân cận đó, nghĩa là chuỗi có đạng: “” (tm) y LG) ao) (x ty)" =f) + LO (x ¥) + LE) (4 - —Xx,)° + +L) a(x ¬~x%)ˆ+ + (T) Dat biét x,= 0 ta có chuỗi: = S""(0) Ff (0) ƒ"40) 7" 0> Zo = {0+ Git Gy +s + (M)

gọi là chuỗi Maclaurin của f(x)

Nếu chuỗi Taylor của hàm f(x) hội tụ về f(x) hay có tổng là f(x) trong lân

cận của điểm x„ nghĩa là:

ƒ@)= /œ)+ “9 (x- x)+ CT9 (xn) + + CN) ~x)"+ Œ)

thì ta nói: f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor(của nó) trong lân cận của

điểm xu

Vậy với điểu kiện nào thì f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor tại lân cận

điểm x, hay có đẳng thức (1) trong lân cận của điểm x„?

Trước hết: Rõ ràng nếu f(x) có đạo hàm mọi cấp tai lân cận điểm x, thì f(x) có chuỗi Taylor tại lân cận đó

Thí du: |

Xét:fx)= fe 7 x#0

0,x=0

Đó là một hàm có đạo hàm mọi cấp WxeR Do dé ta cé thé lap duc

chuỗi (M) của f(x) tai lin cn diém x, = 0, ta tính :

Trang 13

VÀNT i f'(0)= lạ Đàn 8 = lim “⁄á\- “6œ ƒ VAx)- /(0) f (0)=m = lim ——— Ax>0 Vậy chuỗi (M) cia f(x) (trong lan cận của x„ = 0) là: 0 2 0 “ 0+0x+—x test OX ee

Chudi nay héi tu va c6 t6ng S(x) = 0, VxeR

Thí dụ này cho thấy điểu kiện có đạo hàm mọi cấp của f(x) không đủ để

f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor trong lân cận đểm x, = 0 vi trong lân cận

của x„ =0 ta có S(x) + f(x)

Vậy phải thêm điều kiện nào để có đẳng thức (1)?

* t tí huỗi Taylor:

Định lý:

Giả sử hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm xu

Điều kiện cần và đủ để f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor trong lân cận đó

là: lim R,(x)=0,Vx trong lân cận xu

i Hới (2, i

Với: Rạ(x)= “man & —xa)"",e = xạ+Ø(x— xạ) là số hạng dư của công thức Taylor của f(x), cũng là số hang dư của chuỗi

+.Chứng minh:

Giả sử có đẳng thức (1) trong lân cận của x„ nghĩa là:

lim S,(x) = lim P,(x) = f(x) tronge

Mặt khác f(x) = S,(x) + R,(x), do d6: lim R,(x)=0 trong lan cine Ngược lại, giả sử : lim R,(x)=0 trong lân cận e

thì :lim |f(x)-S,(x)|=0

hay : lim S,(x)— f(x) , trong lin can ¢ nghia 1a ta cé (1)

+.Hệ quả:

Nếu 3M >0, /"(xj< M trong lân cận ¢ cia x, thi ta cé (1)

Trang 14

rel ©ÌF—%Ì_ hội tụ vxe # — (n+)! vi “m1 0U „ a +l| “*e=m | Do đó số hạng tổng quát của chuỗi Ix—x,|"" R=lim nae ma)! — O(n —> 2),

Từ (2) suy ra lim R„(x) =0 tronge Theo định nghĩa trên ta có (1) * i huỗi Maclaurin của vài hàm sơ cấp:

1) Hàm Ẩ(x) = e”:

Ta biết công thức Maclaurin của hàm e* 1a:

Mặt khác

#!"(x)=(e'}'"' =e*, nếu |x| <M(M >0),Vn ta có|/(x)| <e = M’

Do đó theo hệ quả trên, e* khai triển được theo chuỗi (M) 2 e “+5 +5 —+ pn EER J lI! 2! n! 2) Ham f(x) = sinx: Ta biết công thức Maclaurin của ham f(x) = sin x Ia: 9 x x? “ xen sing apt td (nv ijt ami): Ta cũng biết: f(x)|= sin(x +) <SlVneN.VxeR Do đó theo hệ quả trên hàm sinx khai triển được theo chuỗi (MI): x x Ee Sige sinx=n~ tt Ban Z At 3) Ham f(x) = cosx : Tương tự như 2) ta có: ex ` ® cosx=Í~rtrnte.tCU ane N hán ne 4) Ham f(x) =(1+x)* :(chudi nhj thitc)

Ta biết công thức Maclaurin của (1+ x)“ là:

Trang 15

LUẬN VĂN VHD Frain Ti œ(œ -Ì) An „ a(œ-]) (œ=n+]) » >a * ee xi x + R(x) Vậy khai triển Maclaurin cia ham (1+ x)" là: a(a=)) 2, 4 Ha =).(a-nt) on T be I i v|x|< : œ #0 12 (l+x)* =l+ax+ (l+x)* =l+ax+ Chuỗi này gọi là chuỗi nhị thức V P ¡ PHÁP GI A

Phương trình vi phân chỉ có thể giải gắn đúng Một trong các phương pháp giải gần đúng là dùng chuỗi Ta sẽ áp dụng chuỗi đề giải bài toán Cauchy,

xét bài toán Cauchy:

Tìm nghiệm của phương trình: y” = F(x,y,y`) (1)

Thoa diéu kién dau: yl, o=YoiY' lex =Y'o (2) 1 Trường hợp chung:

Giả sử nghiệm của bài toán (1),(2) tổn tại và khai triển được theo chuỗi Taylor

tại lân cận điểm x„:

' " (mì

v=/@)= /0)+ T9) x~xy)+ C9 ay) + LON ay) Dựa vào (1),(2) ta sẽ tìm được f(x„),f (x,) f“”(x„) và có nghiệm phải tìm

Thực vậy, từ (2) ta có:

f(x„) = yl so=Yo + f(x.) = yl xno = Yo-

Từ (1) và (2) ta có:

F' (Xu) = Y”Í «xo = F(X,Y,Y) «xe = F(Xo,YosY 0)

Đạo hàm (1) ta được: y”"= F*,+ F'yy` +F'yy'" Do đó và theo trên: f'*(x„) = y”°ly„„xe , ta có f””(Xo)

Trong thực tế ,sau khi tìm được chuỗi Taylor của y, ta phải xét sự hội tụ của chuỗi đó

Thí dụ:

Giải phương trình: y' = 2yŸ

Thoả mãn điều kiện: yl,„o = l Ta có: f(0) = yl¿„o = l,

f'(0) = 2y” = 2,

f”(0) = 4yy'l„¿ = 8,

f"(0)= £ "to = 4y' + 4yy "lv = 48,

Thay vào khai triển Taylor của nghiệm y=f(x) tại lân cận điểm x = Ô ta có:

y= f(x) = 1+ 2x + 4x74 8x? +

vế phải là cấp số nhân công bội g=2x, hOi tụ khi l2xI<1 hay: ink , hic d6

Trang 16

| l~2x Vậy ta có nghiệm phải tìm là: tổng của nó là

Thưc ra hàm số này thoả mãn phương trình và điều kiện với mọi x, trừ x =—

nên nó là nghiệm của bài toán với mọi x trừ x= 7

Chú ý :Phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân ly biến số Thực vậy,từ y`= om ta CÓ ox y | SUY fa ~— = 2x+c y ey z= 2x+c để thoả mãn điều kiện ta có: 1= tr +c Suy ra :c= -Ì a trùng với kết quả trên 2 lin chal ai i

Đối với phương trình vi phân tuyến tính, dùng chuỗi luỹ thừa để giải nhiều khi thuận lợi hơn, phương pháp này gọi là phương pháp hệ số bất định có nội

dung:

Giả sử phương trình tổn tại nghiệm là tổng của chuỗi luỹ thừa y= 2 trong

và ta có nghiệm riêng y =

một miền nào đó

Đạo hàm y thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức, đồng nhất các hệ

số, ta tìm được các a„ Sau đó xét sự hội tụ của chuỗi ta sẽ có nghiệm phải tìm

Ta sẽ minh hoạ phương pháp này qua thí dụ giải phương trinh Bessel:

2

Thí dụ: Giải phương trình : yr+ty'+(l-p)y=0 k >0

Đây là phương trình Bessel cấp k > 0 ,có rất nhiều ứng dụng trong vật lý toán

Trước hết ta giải phương trình Bessel cấp 0: y"+-y'+y=0 (1)

x

Gia sv nghiém (1) cé dang

Trang 17

wx)=Ð3 a„x" (2) n=O Đạo hàm ta có: y`= 2n n=l y"= > n(n- l)a,x""* n-2 thay vào (1) ta được : 3” x(nw—l)a„x”” + ¬}.“ +2 a„x"=0 ne<2 n=l ne = Š°[@n+2Xn+ l)a„.; +(n+2)4„,; +a„}x” =0 n0 c>(n+2)ˆa„,;+a„ =0 a, > 4,,.= "m3 Dùng truy hồi ta dude: a,, =(-1)" saat =(-1)" FPT time =0, Thay vào (2) ta có: 3m = : _ + y a 2 ( agar mũ Dễ dàng thấy : mae =0 do đó chuỗi này hội tụ với moi x non as nghĩa là nó là nghiệm của (1) Vx Lấy ao = l, ký hiệu: Jạ(x)= >" = J„(x) là hàm Bessel cấp không Đối với phương trình Bessel cấp k nguyên, làm tương tự ta có nghiệm riêng: xi J (x)= 2 (-1)" lms ` gọi là hàm Bessel cấp k

Í VI CHUỖI FOURIER:

Trang 18

LUAN V VHD Train Ti nitx a 2 (x)sin ee l P inet “Pp ] P pi

Các hệ số a„, a,, bạ, n=l,2,3 tính theo công thức trên gọi là các hệ số

Fourier, còn chuỗi lượng giác có các hệ số Fourier gọi là chuỗi Fourier của f(x) 1 Sư hội tu của chuỗi Fourier( Định lý DIRICHLET):

Nếu f(x) liên tục tại x„ thì chuỗi:

%< + > a cos NIX, +b sin 1¬ 2 2 g p hội tụ về tổng S = f(x,) Nếtf(x) gián đoạn tại xạ thì chuỗi hội tụ về: ay a A S=2Ilim f(x)+ lim ƒ@)] <.“° —— „ a ier sin va cosin: - Nếu f(x) là hàm chấn trên [-p,p] thì : b„ = 0 , Wn =1,2,3 P V : đọ =2 [Z@)&: Pị a, =2 {p¢xoos a P P nzx P trong khai triển f(x) chỉ có những số hạng dạng cos, gọi-là chuỗi CosinFourier Nếu f(x) la ham Ié trén [-p,p] thi: a,=0, Vn =1,2,3 và : a,=0; Lúc đó: /@6=3+Š4, €0§——— P b, =~ [f(x)sin ar mì p Lúc đó: (x)= Yb, sin~

trong khai triển f(x) chỉ có Rốä số hạng đạng sin, gọi là chuỗi SinFourier

b Khai triển hàm f(x) trong đoạn [a,b] theo chuỗi Fourier:

Để khai triển hàm f(x) không tuần hoàn cho trong đoạn [a,b] ta làm như sau:

Dựng một hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ 2p với : 2p > |b — 4|

Trang 19

LUAN VAN TOT NGHIEP UD Tein Khuche Fy

và :F(x) = f(x); Vx e[a,d]

Khai triển hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ 2p thành chudi Fourier

Vì trong [a,b],F(x)= f(x) nên chuỗi Fourier vừa tìm được sẽ có tổng là f(x) hay

hội tụ về f(x) trong [a,b] nghĩa là ta đã khai triển được hàm f(x) theo chuỗi Fourier trong đoạn đó

Thí dụ:

Trang 20

L ¥ T + Fra: Phinz: CAC HAM PAC BIET 1 HAM GAMMA: (T(x)) 1 Định nghĩa: F(x)= lim 23 ("=) n* - # x(x +]) (x+#w+ Ì)

x: biến số thực (không phải số nguyên âm)

Ngoài ra hàm F(x) còn được đặt dưới dạng: 0 [(x)= fovle tat :X>0 Thực vậy, xéthàm: #(x,m)= Í( —)"2"lái 0 ap dung: (x—a)"” = x"”—max”"!+ cư ae: _ mụm— Lm ~2) mẽ 2) ae +., =(-2=I-nC)+ MD Ep POE, n n 3! "„- Dy n(n- mm Trẻ a t? Ta t” =l- neta are rer =e

(Khi n—» 00 thi meet) nn) >)

Vay lim F(x,n)= [ev'endr, x >0 ẳ

|

Mặt khác, đổi biến số: + =< — F(x,n)= [nrc —u) "urdu j

Lấy tích phân từng phần nhiều lần:

fo- u)"u*'du =(1- ~uy L+= "fa —u)"'u'dx

Trang 22

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP —ẼễƑ"55S//22, 27, 45 “7, se Nếu x=p+a,p€Z": mà: io i Cletd =z Nếu x bất kỳ, ta vn tra bảng lập sẵn cho hàm T(zx) Dạng hàm GAMMA: rae) me He IMIE[; THM HỘ f L}N + ¬———-ằ— _ - 7 | a | + + —— >——_—— II ĐA THỨC LEGENDRE: Phương trình vi phân: a-2)4- 2x +n(n+l)y= =0 (1) với : la sé nguyén, n20 n

là phương trinh Legendre

Trang 23

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Vip guản “Khúc 2 a >| kk „ la, x**(1 ~x*)- 2ka, x" +n(n+l)a* ] =0 And 22L n+Ð)—kŒ+1)]a*` +k(k -Ùa,x*?} =0 (3) Chuỗi (3) đồng nhất “0”chỉ nếu tất cả các hệ số của x triệt tiêu Đồng nhất “0” hệ số của x*, ta được: | (k+2\k +l)a,, =[n(n+1)-k(k +1) Ja, =0, & =0,1,2 (n-=k)(\n+k-l) (+0)0+22) a)

Chuỗi (3) là nghiệm của phương trình Legendre (1) trén khoảng hội tụ của nó,

miễn là các hệ số x thỏa công thức truy hồi (4) Trong đó, a và a; là các hằng số tuỳ ý Với n là số nguyên thì từ (4) ta thấy khi : k=n thì : đ„,; =0 và do đó : đ„,„ =đ„,„ = = Ú khi hằng số ao chọn bằng 0 thì: a; =a, = =0

khi a, chon bing O thi: a, =a, = =0

Trang 24

1\⁄2/7? Fi

2n-IlX2n-3) 3.l| „ n-Ì) „ n—l\(n-2Xn-3) „‹

R(@G)< SO n! E ae Ẳ TỶ” ye ¬|

Hàm ? (x) là một đa thức bậc n chỉ chứa các luỹ thừa chẩn của x nếu n chẩn và

các luỹ thừa lẻ của x nếu n lẻ Do đó, ?(x) là một hàm chắn hay lẻ quanh x=0

tuỳ theo n chẩn hay lẻ Nghĩa là: f?(=x)=(-])" D0) Người tta có thể viết />(x) dưới dạng cô đọng như sau: &Ằ (-l)`(2n-2k)! yh 2 TG d với : “5 nếu n chan (6) m=" nếu n lẻ Với n= 0, 1, 2, 3, 4, 5 chúng ta có: F(x) =1, P(x) =x; A(x) =5G8 -1); P(x) = z(5x -3x); P.(x)= s65 —30x +3); P.(x)= s(63 ~10x? +15x)

Lưu ý : Đa thức Legendre 7 (x) cho bởi (6) chỉ là một trường hợp đặc biệt của hàm Legender,

Dạng của đa thức Legendre:

Trang 25

I Hàm sinh của P„(x): 1 Xét hàm [I-2xzz+z? ] 2 , —=l<xél Với xe[—I,I] thì hàm này và các đạo hàm mọi cấp của nó tổn tại khi|z|<1 Hàm này trở thành (œ) khi : 1—2xz+z?=0 <>z=x+x?—l=ecosØ+¡sinØ

Trong đó viết cos@ thay cho x

Điều này cho thấy \z| =1 Vdi {z| <1 khai trién ham này thanh chuỗi Mac Laurin theo z i « (1 -2xz +z")? =>) A,(x)2" (7) n=O trong đó 44 (x) là hệ số của z” sẽ được xác định Dùng chuỗi nhị thức: 1 [1 —2(2x—z)]? =] +5 2(2x ~z) +taror£ (2x2) + + x _— ~]) z"(2x-z)" 2".ni Lấy hệ số Á (x) của z” : I.3 (2n—1),„ 2x)" | „ 1.3 (2n-3Xn-1) An) = 2m 8) iLL 1.3 (2n— SXn— 2Xn =3) 2" °(n-2)! 2! „" _ _hứt = Ì) 1.3 (2n = 1) 2(2n-]) n! n(n— l(n— 2Xn—3) vw 2.4(2n-1X2n-3) ” ˆ (2x)*°? (2x)"* - x"? A,(x)= Đây chính là P(x) 1 © Như vậy (7) được viết lại: ụ -2xz + 2] t= 5_P.(x)z" (8) "z0 Đa thức Legender (5) chính là hệ số của z” trong khai triển Mac Laurin I của hàm [1-2xz +z? ] 2

Hàm này gọi là hàm sinh của P (x)

Lấy đạo hàm của (8) theo z rồi nhân phương trình kết quả với

Trang 26

( | — 2xz + z") thì chúng ta m được đẳng thức sau: (x—z)(1—2xz+zŸ) =(x- >> P.(x)z" =(l-2xz + z`)Š ` nP.(x)z" n=O Cân bằng hệ số z” ở 2 vế ta được (m+l)P,,(x)—(2n+])xP,(x)+nP,.(x) =0, (9) n= 1,2

Đây là công thức truy hồi của # (x)

Tích phân đa thức Legender cho bởi (5) n lần từ 0 > x V— ân 3) b — + Me =Ù I) ae —=| = [-ÍP (x)(dx)" (2n)! 2! Pos Đạo ham biểu thức này theo x, n lần thì được P(x)=——“~œ'-U"' — (0) 2" n! dx"

bởi vì ở trong móc vuông chỉ khác hàm (x” — l)" một đa thức bậc nhỏ hơn n

(10) gọi là công thức Rodrigues

2 Tính trực giao của các đa thức Legender: Ta sẽ chứng mỉnh rằng: 0 :me#n | P.(x)P.(x)dx = (11) —— ;m=n H+ =

Vì các đa thức P(x), P(x) 1a nghiệm của phương trình (1), ta có:

I- si" Pa) «mim +1)P,(x)=0, (x

SI- x) 5) “e9 Ìxwø+0)#,œ)=0

Nhân phương trình đầu với ? (x), nhân phương trình sau với —# (x) rồi

cộng lại và lấy tích phân từ —l —> +l, ta được:

Trang 27

LUAN VAN T Í Por -) “2 ba - Jz.œ2|0 _ vn la + +[m(m +1) -n(n+ yf P.(x)P.(x)dx =0 (12) Bằng cách tích phân từng phần ta được: t d ảP,„(x) 2) dP (x) dP, (x)

facog{a-) FO [a= [a-y BOBO a,

To đla_ x2) dP) 2 AP, (x) aP,,(x)

Jz.|q xinh -a-x 7) OG) Do đó đẳnh thức (12) được viết thành: *l [(m@m+1)~ mœa+1)] [Z„(x)#,(xx# =0, (13) “I Néu m # n thì: m(m+1)—n(n+1)#0, khi đó từ (13) ta suy ra hệ thức đầu của (1 1)

Muốn chứng minh hệ thức sau của (1 1) ta dùng công thức (10) Ta có:

+1 | +l d” , d” ,

Jeïa “Babe Saal? —1) bal -]) lw

Bằng cách tích phân từng phần và chú ý rằng số hạng ngoài dấu tích phân bằng 0, ta được: I$ [œ -y [eo -1)" |x = = -|4 = ={Gœ'- -]“=[@ 2 ~D" ]& 5 & Tích phân từng phần như thế liên tiếp a lan ta ee G fe@ta- > J=- yn Se 1)" | 2"(nly _ (-1)"(2n)!"F 2 ah huy JŒ -1)"&

trong tích phân cuối cùng đổi biến x= sint, ta được:

Nye hig x 3 itt nee: PARR op on (BÙ,

Io pea Joos HT" xcDi

Trang 28

Do đó:

[[P.«yt«=~? Il n(x)] d= 2n+1'

Người ta cũng chứng minh dude ring moi ham f(x) kha vi liên tục và có đạo

hàm cấp 2 liên tục từng khúc trong khoảng (—l,+l) hữu hạn tại hai mút

x= #1, đều có thể khai triển thành chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối và đều theo các đa thức Legender : fœ)=>_A,P,(x) s„zq Từ các hệ thức (2) có thể đễ dàng tính được các hệ số 4 : A, = at [70 )P,(x)dk Ill HAM GREEN 1 Các cơng thức Green

Gọi 7 Đ` là miễn bị chặn có biên là mặt trơn E, 7 =7 t/Š

Goi A= (P(x, y,z),O(x, y,z), R(x, y,z)) là trường vectơ liên tục trên T

và lớp C' trên T:

AeCŒ)n¬C'Œ)

n=(cosa@,cos Ø,cosy) là pháp vectơ đơn vị hướng ra phía ngoài đối với mặt a

Khi đó ta có công thức Gauss — Ostrogradsky

JJ(Peosa + Ócos Ø + Rcosy)dơ = WZ 3 +2 trong đó đT= dxdydz: phần tử thể tích dơ : phần tử diện tích của E — OP „939, OR Ký hiệu divA= Tay "®&

An= A, = Pcosa + Ocos B + Rcosy

Trang 29

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD Fein Khie Fy

Chon A=uVy trong đó Vy = ov là vectơ gradient của v Từ (2) ta Ồx "ây 3z có [[(uVv)ndo = [[[đi»(wVv)aT (3) _— — Ov Chú ý: (#Vv).n = u(Vv.n) = am với s là đạo hàm theo hướng pháp n tuyến ngoài n và v div(uVv) = uAv + VuVv 2 2 2 trong đó Avn + sẻ ay — ox” ` Ø

Từ (3) ta nhận được công thức Green thứ nhất

ffu edo = fffudvaT + [ffvuvvdT @) = On T T

Thay đổi vai trò của u và v ta được [Jv do = [[[vAuar + ff [Vu.VvdT (5) x r r Lấy (4) trừ (5) ta nhận được công thic Green thit hai j («2 - ve ldo = [[f@Av—uAv)dT (6) x T

Công thức tích phân cơ bản

Giả sử T và 3` như trên Xét hai điểm M,(xọ, yọ, Zạ) cố định và M(x, y, z) là điểm chay Hàm U,(M)= : = = : : thoả phương trình Rượu J(x-x,) +(y-y,) +(z-2z,) Laplace theo M(x, y, z)# M, 2

tayo Ue „ 9U, „ 2U, _ọ ax’ 3y Oz

Giả sử u(M)=u(x, y, z)E C' (T) ACT) | v(M)=v(x, y,z)=U,(M)= MỤM

Giả sử M, e7 thì v(M) gián đoạn tại M=Mạ không thể áp dụng trực tiếp công thức Green cho u và v trong TT

3,

Trang 30

Tuy nhiên hàm v(M)= bị chặn trong miền Mu

T\K, vai bién SUD, ở đây K, là quả cầu tâm Mụ

bán kính £, có biên là mặt cẩu 3; nằm hoàn toàn trong TT - Áp dụng công thức Green thứ hai (6) cho các hàm u và a — trong miễn T\ K, ta có "thật oo) Fe hia fu? s)*9 - [Íg 2,42 = ff split gam (7) nei R R Ta tính đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài đối với miền 7 \ K, trén mat 2 từ đó 0/1 l ] ° °

Shu raed = FS jade = ¬ 4m 4 = 4u (8)

với w` là giá trị trung bình của U(M) trên mặt 3ˆ,

ôư ôu

ie ada =~ = [fondo =~ Ane" (2) = 4ne{ St) (9)

Trang 31

LUẬN VÀ N TỐI NGHIỆP GVHD, Fein Khde Fy : Ou é im Ae =| =0 ae — = Vu.n là hàm liên tục c-ằô0 Â Hm[- T = ne al Từ đó ta nhận được công thức tích phân cơ bản của Green I ôm Ø{[ l1 Au(M` 4(M,)= [[x—„~* Ru» On On | R— ơ,- [[[ˆ “24m an Rup 7 R 2 Ham Green

‡ — Hàm Green của phương trình Á1¿ =0 và các tính chất cơ bản của nó Từ công thức tích phân cơ bản của Green

wh ff 1 Mf Yee, peace fee ae fe gr Mr

trong 6 M, ET uweC(T)AC (T), T=TUAT=T VY

Nếu u là hàm điểu hoà thì tích phân bội ba ở (12) bằng 0; néu u thoả phương

trình Poisson thì tích phân bội ba là một hàm đã biết

Giả sử v là một hàm điểu hoà nào đó, thuộc lớp C'(T) và không có ky di

Từ công thức Green a hai

(fut +o + rn o= JJ«^v —vAu)dT =- JjjtAuaTr ta có 0= (eS ne o- fffvaudT (13) cộng (12) và (13) ta được u(M,)= (fot 1 ơ~ JJJAuGaT (14) l trong đó GUM M,) = +v(M,M,) (15) MM,

là hàm của hai điểm M,(x,y,z) va M(E,7,¢) Điểm Mụ cố định, vì vậy x, y, z đóng vai trò tham số

Trang 32

MỊ V P GVHD Trấn Khde Fy Cong thức (16) chứa u| „ va =k: trong khi giải bài toán biên thứ nhất ta nt

chỉ biết zẢ, , còn khi giải bài toán biên thứ hai ta chỉ biết a Hàm v được

chọn %ao cho Ớ, đối với bài toán biên thứ nhất (SI, =0 đối với bài toán n

bién tinif hai)

Ta định nghĩa hàm G(M,P) cho bài toán biên thứ nhất bởi các điều kiện sau: L) G(M,P) như là điểm P(ế,?,£) với M(x, y, z) cố định thoả phương trình Laplace

iGaG CEA A OO PM

2) G(M,p)với p = M biến thành œ và có dạng (15), ở đây v(M,p) là

hàm điều hoà trong T

SẼ gà ]

3) G(M, p)| „.: =0 Điều kiện này thod néu l:= —

Hàm G(M,p) được gọi là hàm Green hay nguồn gốc của bài toán biên thứ nhit cla phương trình Aw =0

Hàm Green G(M,p) cho ta công thức biểu diễn nghiệm của bài toán biên thứ nhất của phương trình Áw = 0 như sau (từ (14))

0G 0G

u(M,) = — [fu do =-|[f-5 dos (f =ul,) (16)

Nếu u thoả phương trinh Poisson Au = F thi từ (14) ta có

w(M,)=~[[/ Ÿ° đơ =- [[F.GT (17)

y On 7

Hàm Green G được định nghĩa thông qua hàm v, là nghiệm của bài toán biên

thứ nhất của phương trình Laplace

Av=0

—_ 1 (8

° 4z/

Khi biết G ta sẽ giải được bài toán biên thứ nhất với điểu kiện biên tuỳ ý (uj, = f ), trong khi đó để tìm chính hàm G ta chỉ cẩn giải một bài toán biên với điều kiện biên đặc biệt lì = ") và nó sẽ đễ hơn nhiều

Trang 33

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 2⁄12 2: ‘

Các tinh chat cia ham Green G(M,My) >0 VM eT Ta có G>0 trên mặt cẩu 3 tâm Mạ, bán kính £>0 khá bé lim = +œ | và G|,= 0 nên theo nguyên lý cực đại ta có G>0 trong T Af-oM, 4AR,, , = » 30 (vi G>0 trong T va G|,=0) Ta cũng có — ồn Hàm Green đối xứng với hai biến Mu(x, y, z) và M(£,?.đ) G(M,Mp)=G(Mop,M)

Đó là nguyên lý tương hỗ trong vật lý:

Một nguồn đặt ở điểm Mụ sẽ sinh ra ở M một hiệu ứng cũng bằng hiệu ứng

sinh ra ở Mạ nếu nguồn đặt tại M Thật vậy, giả sử ÄZ/ và ÄZƒ là hai điểm cho

trước thuộc T Dựng mặt cẩu 3`, và 3 bán kính £ >0 khá bé với tâm tại M;

va M? nim hoan toan trong T u(M)=G(M,M;) v(M)=G(M,M>) giới hạn bởi các mặt 3,3, và 3 ta có JJf,Av—vAu)4T x ƒ[ (s2 v Ø (19) Đặt và áp dụng công thức Green thứ hai trong miền 7; Suy ra Í |e M,M! OEM) + On + f GUM,M;) CC 5) — gu, p2 8 bơ, =0 5 On On

Vì vế trái của (20) bằng 0 do AG =0 và tích phân mặt trên 3; bằng 0 do điều

kiện biên G|,= 0 Cho £ —> 0 và sử dụng tính kỳ dị của G ta được G(M;,M})= G(Mj,M,)

hay là G(M,M,)=G(M,,M)

$ Hàm Green cho hình cầu

Trang 34

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD Fetin Khiie Fy có từ đó suy ra hai tam giác đồng dạng AOPM, vàAOM,P (góc Ô = y chung), do đó Ps Bw: độ (22) Rp 7 với r, = Mf,P,r = M,P Suy ra R % Pot Ham diéu hoa v =— ở trên mặt cầu 3ˆ, nhận giá trị pone S 4m, Vậy hàm Green cho quả cầu tâm O, bán kính R là ] tạ Po"

Nghiệm của bài toán biên thứ nhất cho bởi (16) và (17)

Ta tìm công thức nghiệm (16) của bài toán biên thứ nhất của phương trình

Laplace (bài toán trong) Tính

Trang 35

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD Trin Khide Fy 2S ؃l Ø [ 1 \ér, I cosOP nh ¬- ƠN đế HUẾ 1 ry" l Ị ? 2 2 <5 a £L (26) | mx ì Từ (22), (23) ta có ›,&8 ;,R mạ RỀ ` R4“ ? “Ta WSs 2,3 mm cost n) - Po Po Po Po _ Por -R k S Rr 21) 2 Polo Po Po Từ đó 9G _ 1 I1R+n cm, R Øø Ø@+nR ôn!“ 4x( rẻ 2Rr, ø Rìy 2r LÍ I1 Ø+r-R' ee R? +p? nl PW ccs ees ae pe 4zrR | 2n v8) 2r, al ss R* = 2% (27) ôn!" 4m r Cuối cùng ta có _| yep) sai

uM,)= 7 IIS () ” dop (28)

Đưa vào hệ toạ độ cẩu với tốc tại tâm mặt cầu Giả sử P= P(ÑR,ø,6),,

Trang 36

LUẬN VĂN rol NGHIEP VHD Frain với Ø, =OM,, r, = M,P, r,= M,P Dễ thấy Ơ|,.= 0 C - hình tròn tâm O, bán kính R 8G | R’-m = Ps (30) Gn 2mR_ sr, Chuyển qua toạ độ cực P= P(p,0), M, = M,(p,,8,) r, = R’ +p, —2Rp, cos(@-8,) (31) Thay vào công thức nghiệm p, dS u(M,)==—4f(P)~— 2S

và chú ý dS=RdØ ta có nghiệm của bài todn Dirichlet cho phương trình Laplace cho bởi công thức

R?

u(p,,8,) = l Í (R_- ø,)/(0)49 (32)

2a 5 R’ + p¿ —2Rø, cos(Ø - 6.)

được gọi là tích phân Poisson cho hình tròn Công thức đó với dấu (-) cho ta nghiệm của bài tốn ngồi

$ - Hàm Green của nửa không gian trên

Khái niệm hàm Green và công thức (14) vẫn có đối với miền vô hạn nếu các hàm đang xét là chính quy ở vô cùng Ta tìm hàm Green ở nửa không gian z >0 M(x,y,z) TT > ZT , £ Z| M:(Xe,Ya,~Zo) ) ———

Đặt tại Mu(Xo, yọ, Z¿), z¿ >0, một diện tích đơn vị tạo một trường trong không gian mà thế là c2 với Ñ ,, = /(x-x,)’ +(y-y,)' +(z-2z,)°

4x Ry

Dễ thấy trường cảm sinh là điện tích đơn vị âm đặt tại điểm M;(xạ, Yon -Zo)đối

Trang 37

NV V z R, = M,M = \(x-x,)' +(y-y,)' +(2-2,)' R, =M,M =) (x-x,)' +(y-y,)' +(z+2,) Dễ thấy G|,.„ =0 , điểu hoà và có kỳ dị cần thiết tại Mạ Tinh 6G, _ ôG am =- la Vin ngufde hudng vdi Óz Ta có OG | = Ni với ôc 4| RO R = - si ~ | 2) LL =o

On ee RP al(x- x, +(y- y,)? + (2-2) ]°

Nghiệm của bài toán biên thứ nhất của phương trình Laplace cho bởi

Trang 38

V +

Nghiệm của bài toán biên thứ nhất cho nửa mặt phẳng trên của phương trình Laplace cho bởi l Yo s}⁄¿)=— : dx u(x,,Ơo) ơ Se Sea) ee I (x)ad (36) với w(x, y)| „„ = F(X) IV HAM BESSEL I Định nghĩa: _S tx" J°“ŠmprmlD) 0® vơi k> 0 (số nguyên) p: không phải nguyên âm

Nếu p = n ( số nguyên đương): T(p+k+l)=T(n+k+l)=(n+k)!

_®&_C-U' x \"

== > Geb 2 tà

Nếu p là một số nguyên âm ta không thể áp dụng công thức (1) được nữa Tuy

Trang 39

LUAN VAN TOT NGHIEP Maree

Vậy phương trình (5) được thoả

Người ta nhận thấy rang J_,(x) cũng là nghiệm của phương trình (5)

Khi p khhông phải số nguyên, các hàm J,(x) va 7 „(x) thì độc lập tuyến tính

Do đó mghiém tổng quát của phương trình (5) là:

V=A!(x)+BJ (x) — (A, Blà các hằng số tuỳ ý)

Trang 40

L Vv | Tran 2(-1)'(p+2k) — prae-1 +.0 vé trai: KT@œ+k+102^ +.Ø vế phải: (=U'x”e=- (—1*x?22 kI(p+k)2PfffT (—1I)T(p+k+l)2P?21

Ta thấy chúng đồng nhất Vậy tính chất a) được thoả

Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh được các tính chất còn lại 2 Tính trực giao của hàm Bessel

Giả sử {k,} là tập hợp các nghiệm dương của phương trình 7 (bx)=0 Khi đó các hàm x => /„(k„x) thoả các tính chất sau: b a) [xJ„(k„x)J„(k„x)dx =0 ,mzn (10) ỗ Y 2 2 b) [E[2„&) dt = 5b [J,„„@„]` d1)

c) Mọi hàm khả vi từng khúc trên [0.ð] có thể khai triển thành

chuỗi Fourier — Bessel như sau: ƒ@)=Š`C,J,(k„x) ,0<x<b, p>-5 (12) n=! trong đó J (K.P) =0(n=0,1,2, ) b C.= TT ca fav ey pled (13) b2[ J„„(k„b) | Chứng minh: Hàm y= J (x) thoả phương trình Bessel x+Š3(1=Ey]y=0 x x hay x'y”+xy'+(xÌ-pÌ)y=0

Suy ra J (k,x) thoả phương trình

x2y"+ xy'+(k„x? - p`)y=0 hay xe (xy)* (k,?x? = p”)y=0

Do đó :