Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Các dạng bài tập trong phương trình vật lý toán

Học phn phương trình vật lý toán mà các bạn sinh viên đã và sẽ được theo học ở năm thứ 3, nhưng vì thời gian có hạn, thấy day chỉ có thể giới thiệu và giảng dạy những phần cơ bản nhất, c

FTTTTFFTTTFFTTTTFTTTTFFTTTFTFFTTTTTFTTTTTTT"T”

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

ells

LUAN VAN TOT NGHIỆP ghd DANG BÀI Tập 'TTTTTTTT1TT11TTT111TTTTTT]

TRONG PRWONG TRINH

VAT Lý TOAN

AR Gï BỊ ï3 Bi Bi BỊ PSR POG RES B5 EM 5H Bi ROSA ROP eRe mm tec) và, "9Í GVHD:IRỂNRHÁETNW

KHOA: K26 r

rc

r

rc rc

LIÊN wae TỐT NGMIỆP @/0⁄0: Trân Khác Ty

Lời cảm a

Tưởng suốt thời gian ngồi dưới mái trường được sự quan

lâm, day dễ cáa các thay cô trong trường Dai Hoc Su

Pham TP 1CM, đã giáp em mở rong kiến thác, nâng

cao sự hiểu biết, để ham nay em có thể hoàn thành dé tài

tất nghiệp này Công lao to lớn của qui thầy cô thực sự

em không thể nào quên Em xin gửi lời cảm em chân

® Ban Đỗ Thi Hanh, người đã giáp cho em rat nhiều

trong sudt thời gian làm dé tài.

® Cảm on tất cả các ban lý IV đã giáp đã tôi trong

Sau cảng em xin cảm cn dénhéi déng xé! duyệt luận văn

eda Khoa Ly trường DHSP và một lần nãa em kính chác

sức khoẻ qui thay ca.

SOUTH: La Thị Trúc Lam Quang 1

LUAN VAN TỐT NGHIỆP GUWD: Tran Khác Ty

Lời nói đầu

1 MỤC ®Í€M NGHIÊN €ỬU:

Nói đến vật lý học thì ai trong chúng ta cũng biết đây là một môn khoa

học thực nghiệm Do đó đòi hỏi người học vật lý phải luôn thực hành và người

nghiên cứu vật lý phải luôn thực nghiệm vì vật lý học g4n liền với thực tiễn

cuộc sống hay nói cách khác lý thuyết (của vật lý) luôn gấn với thực tiễn Bởi

vậy học vật lý giúp ta mở mang kiến thức xung quanh ta,

Mặt khác vật lý học liên quan đến nhiều môn khoa học khác như: hoá

hoc, sinh học, triết hoc, mà đặc biệt là môn toán học vì đây là công cụ của vật

lý học Để học tốt vật lý thì chúng ta phải có một nền tang kiến thức nhất định

về các môn khoa học có liên quan, chú ý là môn toán học Ta không chỉ hiểu

toán học mà phải hiểu cách ứng dụng toán học trong vật lý gọi là toán chuyên

ding trong vật lý hay là toán của vật lý.

Thế giới xung quanh ta muôn hình muôn vẻ, để khám phá nhiều điều bí

ẩn thì ta phải biết vận dụng kiến thức (lý thuyết) vào thực tiễn (thực hành) và sựvận dụng trước tiên là bài tập Trong quá trình vận dụng kiến thức để giải bài

tập cũng đòi hỏi chúng ta phải có tư duy sáng tạo đặc biệt đối với bài tập có liên

quan đến các môn khoa học khác.

Học phn phương trình vật lý toán mà các bạn sinh viên đã và sẽ được

theo học ở năm thứ 3, nhưng vì thời gian có hạn, thấy day chỉ có thể giới thiệu

và giảng dạy những phần cơ bản nhất, cô đọng nhất để các bạn có thể hoàn tất

học phần ấy mà thôi Còn rất nhiều, rất nhiều những phần kiến thức mà các bạn

phải tự mình tìm hiểu qua tài liệu, qua sách tham khảo để củng cố thêm kiến

thức, khắc sâu kiến thức và các bạn sẽ được tiếp xúc kỹ hơn khi tiếp tục học lên

cao học.

O đây, để tài được nghiên cứu: “Các dạng bài tập trong phương trình vật

lý toán” Để tài này chỉ là một phần nhỏ trong khối kiến thức đô sộ của môn họcnày, nhưng nó sẽ có ích, giúp các bạn sinh viên năm 3 củng cố kiến thức, nắm

vững thêm kiến thức giúp cho các bạn thi tốt Và hy vọng dé tài này sẽ tạo nền móng vững chắc cho các anh chị năm 4 khi muốn thi lên cao học sẽ được ôn lại

những kiến thức cũ để chuẩn bị tốt cho kỳ thi

SOTH La Thi Trúc Lam Trang 2

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GOUWD: Trân Khắc Ty

Để tài: * CÁC DANG BÀI TẬP TRONG PHƯƠNG TRÌNH VAT LÝ TOÁN”

II PHƯØNG PHAP NGHIÊN COU:

~ Thông qua chương trình đã được học ở đầu năm 3

~ Tìm hiểu, nghiên cứu qua các tài liệu, các sách tham khảo, các sáchchuyên để của môn học này, cũng như các môn khác có liên quan Nhận thấy có

nhiều điểu mới mẻ mà chưa được biết đến ở học phần đã học Những điều ấy có thể giúp ích cho sinh viên, được chúng tôi tổng hợp lại, đúc kết thành nên để tài

này dưới sự hướng dẫn của thầy phụ trách

it KẾT Oud N6MIÊW cứu:

Sau một thời gian tương đối, tôi đã hoàn thành dé tài “Các dang bài tập

trong phương trình vật lý toán” hy vọng sẽ giúp ích được cho các bạn sinh viên ngay bây giờ và cả sau này nữa.

WW, KẾT tuệ:

Qua nghiên cứu và thực hiện để tài, tôi học hỏi thêm một cách sâu sắc về

phương trình vật lý toán Hy vọng với để tài này các bạn sinh viên có thêm một

tài liệu tham khảo về môn học này

Mặc dù cố gắng rất nhiều nhưng cũng không tránh khỏi những sai xót

trong quá trình làm và đánh máy để hoàn thành luận văn Rất mong sư đóng

góp nhiệt tình của quí thay cô phản biện và tất cả các sinh viên để tôi rút ra

những kinh nghiệm và để luận văn này hoàn thiện hơn.

CP BS

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GUWD: Tran Khắc Ty

Phént: TONG QUAN VE CHUÕ2 HAM

1 “NUỒI HẦM TONG OUAT:

Định nghĩa:

Cho một day vô hạn các hams6: #,(x), w(x), „(x), trong miền D nào đó Ta

gọi tổng vô hạn: #,(x)+w¿;(x)+ +„(x)+ là một chuỗi hàm số.

- Nếu ¥ xe(a, b) chuỗi hàm hội tụ thì (a, b) được gọi là miền hội tụ của chuỗi

- Tổng của n số hạng đầu tiên S„(x) của chuỗi hàm gọilà tổng riêng thứ n của

nó,và là hàm theo x wong D

S,(x) = u(x) + uz(x) + + u„(x).

- Tổng của chuỗi hàm trong miễn hội tụ của nó S(x) cũng là hàm số theo x và

được định nghĩa:

S(x)= lim S„(x)

hay có thể viết:

S(x) = uj(x) + u;(X) + + u„(x) +

ta gọi chuỗi hàm là hội tụ vé hàm S(x)

Thí dụ:

Xét chuỗi hàm So =l+x+x?+ +x” + Đây là chuỗi nhân công bội

q = x chỉ hội tụ khi |x|< 1 hay -1 < x <1, do đó miền hội tụ của chuỗi là khoảng

(-1,1) và tổng của nó là: S(x)= _ và ta cũng có thể viết được:

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GUWD: Trdn Khắc Ty

~ Ta thấy chuỗi hội tụ tại xe D nếu:

lim[S(x)-S,(2)]=0 hay lim R,(x)=0

Nghĩa là:

Ve >0,4n € N,Vn > nạ =>|S(x)- S„(x)|< e=>|R.(x|<£ (1)

~ Tại các điểm hội tụ x khác nhau trong miễn hội tu D, (1) sẽ đạt tại n, khác

nhau, nghĩa là n„ phụ thuộc vào ¢ và x

* Đậc biệt nếu n„ chỉ phụ thuộc £: n, =z,(£), và có định nghĩa chuỗi hàm

hội tụ đều như sau:

Vì lim L=0, do đó Ve >0,3n,,Vn > m,|R„(x)|< £.

ne? JJ

Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trong [0,1]

1 Tiêu chuẩn hội tu đều:

.Tiêu chuẩn Cauchy:

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 4/020: Tran Khắc Ty

Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm (*) hội tụ đều đến hàm S(x) trong miễn Ð là:

chuỗi đó không hội tụ đều [0,2z]

* ,Tiêu chuẩn Weierstrass;

Cho chuỗi ⁄-(x) (*)

Nếu YneN, VxeÐ, |u,(x) <M, với M,>0 và chuỗi số dương >M, hội tụ

thì chuỗi (*) hội tụ déu trong miễn D Chuỗi >M, gọi là chuỗi hội tụ hay

chuỗi già của (*)

Trường hợp 0 <ø <1 chuỗi Lar phân kỳ, và không thể kết luận.

* ,Tiêu chuẩn Dirichlet:

Cho chuỗi > x, (x) (*), trong đó u,(x) = v,(x).@,(x)

nel

SOUTH: La Thi Tước Lam Trang 6

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP 04⁄0: Tran Khác Ty

Nếu:

3c >0,|S,(x)|=|vw,(x)+v,(x)+ +v„(x)|<e (VxeÐD, YneN)

và dãy hàm ø,(x) đơn điệu không tăng và dan đến 0, vx e Ð thì chuỗi (*) hội tụ

đều trong Ð

Thí dụ:

Xét các chuỗi ở ví dụ trên với 0< ø <1 Ấp dụng tiêu chuẩn Dirichlet, với

v(x) = sinnx, Ø„(x)= a (0<œ1) rõ rằng ø(x) đơn điệu không tăng và dan

tới 0 Vee R, đặc biệt

Vxe[e,2z—e] 0<e<x

Mặt khác:

|ô,(x)|= sin x+sin 2x + + sin nx

<—-(Vne N)

Nghĩa là S,(x) bị chặn Vx [e,2x—e] Vay theo tiêu chuẩn Dirichlet, chuỗi

ete là hội tụ đều trong [z,2z -e] đặc biệt là trong (0,27), (£ +0) Tại x

ml 2

=0 và x=2z chuỗi đã cho cũng hội tụ.

2 Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều :

* Dinh lý 1:

Néu chudi Ya (x) (*) với w„(x) (n = 1,2 ) là các hàm liên tục trên [a,b] và

hội tụ đều trên [a,b] vé hàm S(x) thì S(x) là một ham liên tục trên [a,b]

vxe R Các số hạng của chuỗi là các hàm liên tục Vxe R Theo định lý 1, tổng

S(x) của nó là một hàm liên tục Vxe R.

SOTH La Thi Trac Lam Trang 7

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP @⁄00: Tản Khắc Ty

* Định lý 2:

Nếu chuỗi 2x) (*) có các số hạng ø„(x) là các ham liên tục trên [a,b] và

ne

bội tụ đều về ham S(x) trên [a,b] thì chuỗi bà [“„)# hội tụ đều về hàm

[se (x.xe c{a.b}) nghĩa là:

RO ràng chuỗi này hội tụ đều trên (-1,1) ( theo tiêu chuẩn Weierstrass) các số

hạng của chuỗi u(x) =x", n = 1, 2, là các hàm liên tục trên (-1,1).

amma trên (-1 Aya cốc

Cho chuỗi oe (x) Œ) nếu:

w„(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b]

Chuỗi (*) hội tụ về S(x) trên [z,ð]

Chuỗi các đạo hàm AO) hội tụ đều về ơ(x) trên [a,b] thi:

SOUTH La Thi Trac Lam Trang 8

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GOWD: Tran Khác Ty

Chuỗi (*) hội tụ đều trên [0,4] và tổng S(x) của nó có đạo hàm trên [a,5] và

Im CHUỖI LEY THỪA: (còn gọi là chuỗi nguyên)

* Dinh nghiã: Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dang:

Sa" = đạ +a,x+a,x)+ +a„x” + (1)

-~o

hay 2,268 — %o)" =a +a(x~x,)*@;(x~= xạ) + +đ,(x=xe)”+ €

Trong đó đọ, a}, 22, đ„ là hằng số gọi là các hệ số của chuỗi luỹ thừa

Nhận xét: Chuỗi luỹ thừa liên tục và hội tụ tại x = 0

1 Miên hôi tu:

* Định lý Abel: Nếu chuỗi luỹ thừa (1) hội tụ tai điểm x, #0 thì nó hội tụ

tuyệt đối ve: |x|<|s;

© Hệ quả: Nếu chuỗi lug thừa (1) phân kỳ tại x, thì nó phân kỳ vx: |x| > |x,|

2 Bán kính hội tu:

“272! La Thi Trúc Lam Trang 9

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GUWD: Tuản Khác Ty

a Định lý 1: Tổn tại một số đương duy nhất # (0 < & < +) sao cho chuỗi luỹ

thừa (1) hội tụ khi |x|< R và phân kỳ khi |x| >R

«Ồ Quyước: R=+0 chuỗi hội tu Vxe R

& =0 chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi là: R = 1, miễn hội tụ tuyệt đối là *, miền

hội tụ là khoảng (-1,1) miền phân kỳ là (=œ,~1)+2(1,+œ)

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GOHD: Tran Khắc Ty

Vậy R= tức là chuỗi hội tụ tuyệt đối Vee &.

3) Chuỗi dais", R= 0: chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0.

IV €HUỖI TAYLOR WA MACLAURIN:

s* Định nghĩa:

Chuỗi Taylor của hàm f(x) trong lân cận của điểm x, là chuỗi luỹ thừa mà tổng

riêng S„(x) của nó là đa thức Taylor P„(x) cấp n của f(x) trong lân cận đó, nghĩa

gọi là chuỗi Maclaurin của f(x)

Nếu chuỗi Taylor của hàm f(x) hội tụ về f(x) hay có tổng là f(x) trong lân

cận của điểm x„ nghĩa là:

_) a)

$2) = fla) + LD (x5) 2D x57 + Zan y+ (1).

thì ta nói: f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor(của nó) trong lân cận của

điểm xu

Vậy với điểu kiện nào thì f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor tại lân cân

điểm x„ hay có đẳng thức (1) trong lân cận của điểm x„?

Trước hết: Rõ ràng nếu f(x) có đạo hàm mọi cấp tai lân cận điểm x, thì f(x)

có chuỗi Taylor tại lân cận đó.

Thí du:

AI:

Xét:f@)= {e”,x#0

0, x=0

Đó là một hàm có đạo ham mọi cấp VreR Do đó ta có thể lập được chuỗi

SOUTH: La Chị Trac Lam Grang 11

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GOHD: Tran Khắc Ty

(M) của f(x) tai lân cận điểm x, = 0, ta tính :

Chuỗi này hội tụ và có tổng S(x) = 0, Wee R.

Thí dụ này cho thấy diéu kiện có đạo hàm mọi cấp của f(x) không đủ để

f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor trong lân cận đểm x, = 0 vì trong lân cận

của x, =O ta có S(x) = f(x).

Vậy phải thêm điều kiện nào để có đẳng thức (1)?

s* Điều kiện f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor:

Định lý:

Giả sử ham f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm x,

Điều kiện cẩn và đủ để f(x) khai triển được theo chuỗi Taylor trong lân cận đó

là: lim lim 8,(x) = = 0,Vx trong lân cận x,.

Với: RG)= Le —x¿)""!,€= xạ +Ø(x- xạ) là số hạng dư của công

thức Taylor của f(x), cũng là số hang dư của chuỗi

+.Chứng minh:

Giả sử có đẳng thức (1) trong lân cận của x, nghĩa là:

lim S, (x) = lim F(x) = ƒ(xXronge.

Mặt khác f(x) = S,(x) + R,(x), do đó : lim &, (x) =0 trong lân cane.

Ngược lại, giả sử : lim R,(x)=0 trong lân cận £

LUAW VAN TỐT NGHIỆP GUWD: Train Khác Ty

ƒ“(x)=(e'#°=e', nếu |x|< M(M >0),Wn ta có|/“(x)|<e" =M'

Do đó theo hệ quả trên, e* khai triển được theo chuỗi (M)

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GUWD: Tran Khác Ty

V PHƯƠNG PHAP GIA! PHUONG TRINH WI PHAN BANG CHUỦI:

Phươnh trình vi phân chỉ có thể giải gắn đúng Một trong các phương

pháp giải gan đúng là dùng chuỗi Ta sẽ áp dụng chuỗi để giải bài toán Cauchy,

xét bài toán Cauchy:

Tìm nghiệm của phương trình: y” = F(x.y.y') (1).

Thoả điều kiện đầu: Yherwo=YotVhew=Ye (2)

1 Trường hợp chung

Giả sử nghiệm của bài toán (1),(2) tổn tại và khai triển được theo chuỗi Taylor

tại lân cận điểm x,;

f (Xa) = ¥ “l«xe = F(X.Y.¥ ) «xe = F(XosYø,Y a)

Đạo ham (1) ta được: y”= F’, + F’,y’ + F’yy””

Do đó và theo trên: f''(x„) = y "hex , ta có f(xy)

Tronh thực tế, sau khi tìm được chuỗi Taylor của y, ta phải xét sự hội tụ của

chuỗi đó

Thí dụ:

Giải phương trình: y`' = 2y.

Thoả mãn điều kiện: yl,„o = 1 Ta có:

f(0) = yl,„e = 1,

f(0) = 2y”1,„o = 2,

f”(0) = 4yy'l,„o = 8,

F0) =f" lo = 4y? + 4yy "| = 48

Thay vào khai triển Taylor của nghiệm y=f(x) tại lân cận điểm x = 0 ta có:

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP 4/00: Tran Khắc Ty

nên nó là nghiệm của bài toán với moi x trừ x= :.

Chú ý :Phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân ly biến số.

và ta có nghiệm riêng y= : trùng với kết quả trên.

2 Trường hợp phương trình tuyến tính:

Đối với phương trình vi phân tuyến tính, dùng chuỗi luỹ thừa để giải nhiều

khi thuận lợi hơn, phương pháp này gọi là phương pháp hệ số bất định có nội

dung:

Giả sử phương trìng tổn tại nghiệm là tổng của chuỗi luỹ thừa y= am trong

một miễn nào đó

Đạo hàm y thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức, déng nhất các hệ

số, ta tìm được các ay Sau đó xét sự hội tụ của chuỗi ta sẽ có nghiệm phải tìm

Ta sẽ minh hoạ phương pháp này qua thi dụ giải phương trình Bessel:

2

Thí dụ: Giải phương trình : y+~y+(I=Êp)y=0, k >0.

Đây là phương trình Bessel cấp k > 0 ,có rất nhiều ứng dụng trong vật lý

toán.

SOTH: La Thị Trac Lam Frang 15

LUẬN WAN TOT NGHIỆP GUD: Trdn Khắc Ty

Trước hết ta giải phương trình Bessel cấp 0: ve y'ty=0 (1)

Dễ dàng thấy : lim ^n =0 do đó chuỗi này hội tụ với mọi x

nghĩa là nó là nghiệm của (1) Vx.

Lấy ae = 1, ký hiệu:

xr"

J„(x)= 2(-!⁄ mp là ham Bessel cấp không.

Đối với phương trình Bessel cấp k nguyên, làm tương tự ta có nghiệm riêng:

= = art 5

J,(x)=2.(-)) 2 (mms b)! „ gọi là ham Bessel cấp k.

wi CHUỖI FOURIER:

Xét f(x) tuần hoàn, đơn điệu từng khúc trên [-p,p] với p = 5 là nữa chu kỳ

của f(x).

Khai triển f(x) thành chuỗi lượng giác có dạng:

SOTH: La Thi Trúc Lam Quang 16

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GUWD: Tran Khdc Ty

Các hệ sỐ ay, a, bạ, n=1,2,3, tinh theo công thức trên gọi là các hệ số

Fourier, còn chuỗi lượng giác có các hệ số Fourier gọi là chuỗi Fourier của f(x)

« Sư hội tụ của chuỗi Fourier( Định lý DIRICHLET):

Nếu f(x) liên tục tại x„ thì chuỗi:

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GORD: Tran Khắc Ty

Lúc đó: f(x)= D6, sin

mel

trong khai triển f(x) chỉ có những số hạng dang sin, gọi là chuỗi SinFourier

Để khai triển hàm f(x) không tuần hoàn cho trong đoạn [a,b] ta

làm như sau:

Dựng một hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ 2p với : 2p>=lb-al

và :F(x) = f(x); Yx e[a,"].

Khai triển hàm F(x) tuần hoàn chu kỳ 2p thành chuỗi Fourier

Vì trong [a,b],F(x)= f(x) nên chuỗi Fourier vừa tim được sẽ có tổng là f(x) hay

hội tụ về f(x) trong [a,b} nghĩa là ta đã khai triển được hàm f(x) theo chuỗi

Fourier trong đoạn đó.

Thí dụ:

Khai triển ham /(x) =x’ với |< x<2 theo chuỗi Fourier

Xét f1(x) tuần hoàn chu kỳ T= 1 = 2/ y

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GUID: Cẩn Khác Ty

Phin: PHUONG PHAP GIAI

PHUONG PHAP TACH BIẾN:

Khi giải bài toán dao động của dây, màng truyền nhiệt, phương trình

Laplace ta có thể sử dụng phương pháp tách biến số và trong một số trường hợp

áp dụng chuỗi Fourier để giải.

# Diéu kiện đầu : la F(x)

# Diéu kiện biên : eae > wo.

Vậy điều kiện biên: feces vr20 (1)

# Khi u(x,t) thoả phương trình dao động thi :

Điều kiện (1): — oft => X(x)=0

8/022: La Thi Trac Lam Frang 19

LIÊN WAN TOT NGHIỆP GUD: Tran Khúc Ty

T(k) = c cos aat = Dsinaat.

# Nghiém riêng thé k của phương trình dao động là:

u(x, = X,(x)T,()

+4 T6 hợp các nghiệm riêng độc lập tuyến tính „„(x,£) thì được nghiệm tổng

quất như sau:

t(x/)= Š (x,t)

<> u(x,f)= aC a, cos AAat + b sin 5 in TY

+ Từ điều kiện đầu:

(x,f)| „4= /(x)

ƒ(x)= Sa, sin “4 (chuỗi SinFourier của f(x)).

SOTH: La Thi Trac Lam Trang 20

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP 40⁄0: Tran Khắc Ty

=a, = 2e sin ae; ho F(x)

7 teem ie al! Tet

II PHUONG PHAP GREEN ĐỀ GIẢI AI TOÁN DIRICHLET:

Cho Py là một điểm bất kỳ của vùng V đã quy định Bao quanh nó bằng

một mặt cầu S có bán kính đủ nhỏ z„ Quả cầu này nằm chọn trong vùng V Ký

hiệu Vp là phần của vùng V nim ngoài mặt cầu So, do đó Vo được giới hạn bởi

hai mặt S và So Công thức Green với vùng Vo là:

Trong công thức này ta xem u là nghiệm của bài toán Dirichlet, còn v

được chọn là hàm Green G(P) xác sở: như sau:

tu

SOTHKH La Thị Trac Lam Frang 21

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GUWD: Trân Khắc Ty

Dodo! G(P)<-L + H(M)=0

The

Te

Laplace đối với tất cả các điểm P khác với Py nên hàm v = G(P) thoả min

phương rình Laplace ở tất cả các điểm của Pp Nghĩa là trong vùng nay Au =0

Do đó công thức (1) có dạng:

Gu _âv Ue Wo

1 eae a (2)

Ta dễ dang kiểm nghiệm được rằng hàm thoả mãn phương trình

nhưng vì trên mat S:

Bởi vi Po là một điểm bất kỳ trong V, nên công thức này cho nghiệm của

bài toán đang xét, nếu biết hàm Green Do đó để giải bài toán Dirichlet, trước

tiên, ta phải xây dựng hàm Green G là hàm của 6 biến số (3 toa độ x, y, z của

điểm P và 3 toa độ xạ, Yo Z của điểm Py): G = G(P, Po) Điểu đó tương đương

với việc giải bài toán Dirichlet đối với hàm H:

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GOUHWD: Tran Khắc Ty

|

H=0 ve H|,=———

Tse

GIAI BAI TOAN DIRICHLET BOI VỚ QUA CAU

Ta chon vùng V là quả câu bán kính q có tâm ở gốc toa độ và Po(X0,¥o,Z)

là một điểm bất kỳ bên trong nó Lấy điểm ` nằm trên một tia đi qua gốc toa

độ, qua điểm Po, sao cho 7,7, = @” trong đó

Pÿ là đối xứng đối với mặt cầu S, giới hạn quả cẩu V Bây gid ta chứng minh

rằng nếu M là một điểm bất kỳ trên mặt S, thì tỉ số các khoảng cách từ M đến Py

và * là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào M Thật vậy, nếu kýhiệu PM và `M qua Treg VÀ P„ụ

theo hình vẽ ta thấy hai tam giác OMPy va OM ` đồng dạng vì:

q r,

r, q

LUẬN VÂN TỐT NGHIỆP (00: Tran Khắc Ty

TV đó rút ra:

vo

Toa ON Bây gid ta dé dang chọn hàm Green cho quả cầu V là hàm:

Thật vay, vi Ø” nằm ngoài quả cầu V, nghĩa là H(P) được xác định ở tất

cả các điểm bên trong V và do đo?

Mặt khác ta cũng có:

Bây giờ ta tính đạo hàm theo pháp tuyến ngoài — 22 trên mặt cầu S Bởi vì

đạo hàm theo pháp tuyến ngoài S trùng với đạo hàm in phương bán kính:

0G

Ss Sl r=/x'+y'+2?

SOUTH La Thi Trac Lam Trang 24

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 4/00: Tran Khắc T

Nên ta chuyển sang toa độ cdu.Gid sử P(r.Ø,ø) còn P,(r,,0,,0,) khi đó Py sẽ

?

lap (8.9).

D i

CD các vectơ đơn vị theo phương OP va OP, là:

No sinO cosgi + sinØsin ø / + cosOk

ae va sinØ,cosø,i+sinØ,sinø, j + cos6,k

Nên ta có thé tim góc y giữa OP va OP, qua tích vô hướng của hai

vectơ đơn vị trên

cosy = sin Øsin đ, cosœcosø, + sin đsinđ, sin øsin ø, + cosØcosÓ,

= sin@sin8@,(cospcos¢g, + singsing, ) + cosØcosđ,

Nếu thay thé rp bởi T ta được: a +2290 coe)

SOUTH: La Thi Trac Lam

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GUWD: Trdn Khắc Ty

Theo công thức (3) ta nhận được nghiệm sau đây của bài toán Dirichlet

đối với quả cầu q có tâm ở gốc toa "

P= M)dS

u(P,) = Feta Anh

+ Ïi - ƒ(6,ø)sin 8i8ip ar ee +r —

Trong đó hàm f;(M) là ham của các toa độ cầu Ø,@ trên mặt cầu S giới hạn quảcầu V ký hiệu là: /(đ,Ø), đS = g` sinđ@đi@, còn cosy được tính bởi (4)

Công thức (5) cho ta nghiệm ở (”,,đ,,Ø,), là nghiệm của bài toán

Dirichlet đối với quả cầu Nó thoả mãn phương trình Laplace bên trong quả cầu

và nhận giá trị trên giới hạn: ƒ(9.ø);1|, = /(0,ø)

Tích phân ở (5) được gọi là tích phân Poisson đối với quả cầu, còn hàm

Ví dụ: Xét phân bố dừng của nhiệt độ trong quả cầu đồng chất bán kính q

với điều kiện là nửa trên được giữ ở nhiệt độ không, nửa đưới ở nhiệt độ 1.

Ta phải giải phương trình Laplace với các diéu kiện biên:

Luan WAN TỐT NGHIỆP @⁄040: Teân Khắc Ty

2z 4 _?

1a ya J f S(8,¢)sin 94Ødœ

£9 0 (Iq? + r2 ~24g cosy)?

Ta tìm phân bố nhiệt độ trên bán kính với: 8, =0và Ø8 =z

Khi Ø, =0, cosy on? ie =

u(P)=—'fj - f(0,9)sin 64Ødp Lae +h nau?

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP 40⁄0: Tran Khác Ty

phản ir: BAT TAP PHUONG TRINH

A PHƯƠNG TRÌNH TRUYEN SÓNG

I CAC OBNG PHUONG TRINH TRUVEN SONG:

se Xét một sợi dây có độ dai |, dây căng, mảnh, gắn chặt ở 2 đầu,

— ————— _— *®

0 I

Ta giả sử rằng dây dẻo để lực căng T tai mỗi điểm trên đây hướng theo tiếp

tuyến của dây tại điểm đó.

© Đưa dây ra khỏi vị trí cân bằng rồi buông ra thì mỗi điểm trên đây sẽ dao

động quanh vị trí cân bằng theo phương vuông góc với dây, dao động này gọi là dao động ngang.

© Xét một điểm M ở vj trí cân bằng có hoành độ x= BM.

© Ở thời điểm t (so với thời điểm ban đầu t=0):

u là li độ của M tại t.

oa: L biến không gian

e Ly độu là hàm 2 biến [ biến thời gian.

u(x,t) mô tả chuyển động của tất cả các điểm trên đây

% Nếu t= t, (hằng) => u(x,Ù|, =u(x): mô tả hình dạnh của dây tại t.

Š „: hệ số góc của tiếp tuyến với dây tại M trên dây a=(Ox,T)

% Néux=x, (hing) = u(x,f) x= M7) quy luật chuyển động của điểm

M trên dây.

SOUTH La Thi Trac Lam rang B

LIÊN VAN TỐT NGHIỆP GOWD: Tran Khắc Ty

a, : mô tả vận tốc của điểm M trên dây.

2

ml : mô tả gia tốc của M trên dây.

a Thiết lập phương trình truyền sóng:

Xét M;, M; trên đây, khi dao động là nhỏ:

Lực căng Ÿ có độ lớn không phụ thuộc vào t & x Nghĩa là: T(x,)=T(x2)

© Hình chiếu trên Ou (trục Ox 1 Ou tại O) của tổng các lực căng của đoạn

Vậy hình chiếu của tổng lực căng:

% Gọi p(x.t) là ngoại lực tác dụng lên một đơn vị chiểu dài của dây chứa x ở

thời điểm t, có phương của trục Ou

Như vậy, hình chiếu trên trục Ou của ngoại lực tác dụng lên MM, là:

j p(x, tae (2)

‘

% Goi p(x) nla mật độ dài dây

Lực quán tính tác dụng lên MM, có hình chiếu trên trục Ou là:

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GOUWD: Trân Khác Ty

Da a’=—— & vf)= &at: a XD 2(x,) 3

Vậy phương trình truyền sóng của dây:

2 Dao đông doc của thanh đàn hội;

~ Xét một thanh đàn hồi có độ dài |, đổng chất, thiết diện đều:

* Tiết diện S.

* Sức Young của thanh là E.

*“ Khi nén hay kéo dan thanh rồi buông ra thì mỗi điểm trên thanh sẽ dao

động quanh vị trí cân bằng theo phương Ox, dao động đó gọi là dao động

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP 4/00: Tran Khác Ty

Y Ở thời điểm t:

* M đến vị trí M' có hoạnh độ: x+ u(x,t).

® N đến vị trí N` có hoành độ: x+Ax+u(x+ Ax,f)

a Thiết lập phương trình dao động:

Độ tăng tương đối của thanh tại M là: = = Xf) _ bì

=Lực căng TtạiMlà: T= Es.

=> Hợp lực căng tác dụng lên đoạn MN là:

LOE mô tả lực tác dụng lúc đầu lên thanh tại x=0.

e Nếu đầu x= 0 dao động tự đo thì | =0 được gấn đàn hỏi.

eg =-hu( 0),

Với hess & œ là hệ số đàn hồi của thanh.

SOTH La Thi Trúc Lam Frang 31

LUẬN wan TỐT NGHIỆP GUHD: Tran Khác Ty

II CAE CONG THUC CAN THIẾT

1 Phượng trình dao động của đây

2 2

Nếu g(x, 1) = 0 dây dao động tự do ( phương trình thuần nhất)

2 Dây dài vô hạn

u(x,0)= f(x)

Se = FOX)

+ Nghiệm của phương trình dao động dây dài vô hạn

-at), |

f(x - at): sóng thuận truén sang phía phải với vận tốc a

> fix + at): sóng nghịch truyền sang phía trái với vận tốc a

3 Dây nila vô hạn có một đầu gắn chat

4 Kéo dài lẻ hai ham số ffx) và F(x) => nghiệm u(x, t) như công thức trên

+ Trên hy md ra XE lạ sóng tại đầu = chặt, có đổi đấu độ lệch

s* Điều kiên ban đấu:

u(x,t)= St cos $A +p sin Si nize

Hé số a, và b, xác định từ điểu kiện ban đầu bằng chuỗi Fourier

+ Nếu là đao động cương bức, nghiệm có dạng: !Áx,f)=W(x,f)+M{x,f)

với w(x, t) thoả phương trình thuần nhất, còn v(x, /) thoả phương trình

dao động cưỡng bức

SOTH La Thị Trae Lam ương 32

LUẬN van TỐT NGHIỆP GUWD: Trần Khắc Ty

III 8À! TẬP:

Bail:

Hãy xác định dao động của sợi dây dài vô han dao động với vận tốc ban

đầu cho bởi ø(x)=1 và có độ lệch ban đầu cho bởi x,0)=sinx, Biết rằng

Do đó dao động của sợi dây: u(x,f) = sỈn xcosf+f

Tại :<‡=u|x3)~‡> ta có hình dạng của sợi dây:

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GOWD: T«àn Khắc Ty

Bài 2.

Hãy vẽ dạng của sợi dây dài vô hạn dao động tự do không vận tốc đầu

tại các thời điểm 1, =0, í =.L, +; =I, 4,=3 Biết rằng độ lệch ban đầu cho

Cho vận tốc truyền sóng là a = 2 Xét dao động của điểm x = 2, khi nào điểm

đó bắt dau dao động và khi nào điểm đó chấm dứt dao động ?

TừỪ œ0)» ¬_ at) a [Fe

Do điều kiện ban đấu: vận tốc ban đẫu F(x) = Ó nên

“erie —.— với a = 2 và độ lệch ban đầu cho bởi:

0 khí xSlUx>3 ƒ(x) =u(x,0)=4x=l khí 1<x<2

hình dang của sợi dây:

SOUTH La Thi Trac Lam Trang 34

LUẬN WAN TỐT NGHIỆP GOWD: Tran Khắc Ty

SOTH La Thi Trac Lam rang 35

* Diém x = 2 bất đầu dao động khi t = 0 và chấm đứt dao động kể từ

thời điểm tạ trở đi

Bài 3:

Cho dây nửa vô hạn dao động tự do không vận tốc đầu có đầu mút

x=0 dao động tự do Biết rằng độ lệch ban đầu cho bởi:

ts 0=Ƒ khi O< xS1Ux23

“=a ba, wae ( a: vận tốc truyền sóng)

Dao động tự do không vận tốc ban dau:

hình dang sợi dây:

SOUTH: La Thi Trac Lam Frang %

LUẬN VN TỐT NGHIỆP GUWD: Trản Khác Ty

SUTH: La Thị Trac Lam Frany 31

“yee: => MŒx,h)=2.ƒ(x+Š)*2ƒ(x~5)

Luan wan TỐT NGHIỆP