Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Hình học xạ ảnh của đường thẳng

Một phép phối cảnh hay phép chiếu xuyên tâm perspectivity từ z tới #ˆ tâm O là một hàm số biến một điểm P trên z thành một điểm Ø trên z' trong phối cảnh từ Ø.Chú ý rằng các mặt phăng «

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

TP HO CHÍ MINH

KHOA LUAN TOT NGHIEP

DE TAI:

HINH HOC XA ANH CUA DUONG THANG

Giảng viên hướng dẫn: — TS Nguyễn Ha Thanh Sinh viên thực hiện: Vũ Lỗ Hương Giang

MSSV: 4501101015

TP Hà Chi Minh, tháng 4 năm 2023

AS eS

BỘ GIAO DỤC VA DAO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

TP HỒ CHÍ MINH

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP

ĐÈ TÀI:

HINH HOC XA ANH CUA DUONG THANG

Giảng viên hướng dẫn: — TS Nguyễn Ha Thanh

Sinh viên thực hiện: Vũ Lỗ Hương Giang

MSSV: 4501101015

TP Hà Chi Minh, tháng 4 năm 2023

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ keo 6

N01 — 1

CHUONG 1: Phép phối cảnh (Phép chiếu xuyên tm) 0 cceeceecceec eee eeceee cess eeneeeeeeee 3

1.1 Phối cảnh trong nghệ thuat c cccccsescsssesssesssesssessvesssesseesseesseesseesenseeeeeseeeess 3 1.2 Phép phối cảnh trong tốn học — Phép chiều xuyên tâm - 5¿5255+: 4 1.3 Dịnh lý Desargues uc nh nh n1 HH nàn Hàn HH củ, 9

CHƯƠNG 2: Mặt phẳng xạ ảnh I&ÌPŸ, 2 tụ H1 1001010200102 12

2.1 Diém Kaiatila (PLOjSCHVE! POMS): ssecesssscsscsessssescasssesesescenssssecsascozsnossesasesesessescanees 12 2.2 Đường thang xạ ảnh (Projective Limes) 0 0:cssecseesseesseecseecseesseecseesseeseeeeeeees 16

2.3 Mat phang nhúng (Embedding Planes) 2 2-©22227z+22zeczzccxxecrsee 24

2.4 Một định nghĩa tương đương về Hình hoe Xa ánh 22- 5225225522 30

CHƯƠNG 3: Phép biến đỗi xạ ảnh 22 22-222222212221072117211221121117 2112112 re 32

3: Nhĩïđ các phép biến đổi Xã Ai ssssisesssssiossssssseusssvsssosssoasvoasseasieassvassvesssesisesvicasass 32

3.2 Một vài tính chất của phép biến đổi xạ ảnh 2:22 222cccccssccrvee 36

3.3 Định lí cơ bản của Hình học Na ảnh - S1 cv vs 22c 38

3.4 Ý nghĩa hình học của phép biến đơi xạ ảnh 2-22 ©22ccczccSzeccxrccrxec 46

CHUONG 4: Ung dung Dinh ly co ban của Hình học Xa ảnh - - 54

4.1 Định lý Desargues và định lý Pappus cà c nen 54

4.2 nan ố ẽ 4ẦẢAẢúẠúĂẠẶĂA 58

(010/9) 48i10ih:::aaađđaiaiaiitiađáảaảậẽẽŸä 62

5:]\Mộttính chất xạ ảnh BAG nonnsnansnnoininninnioitiittdttiiiittiiattiiiiigitintaatiiadiait 62

5.2'T¡ sỗ kép trên mặt phẳng nhúng ccso c2 HH nh 000426061646 71

5.3iMơt.ứng dựng của ES acco a casscsncasasnonsessscasnasssncosnasbvasssnasacoasanssnassnasancassainne 72

KESTILUUƠNH sscee cas sscccaczeaseseceessssczezsstscecncasscectssssssctecassstecosassenesottsceecsttsvtercssesterestestes 75

TÀI LIÊU THAM KHAẢO 2- S2 3S 152111 81 1251115115121 52 1112112 1121121111012 17 76

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Thành pho

Hỗ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hà Thanh Tôi xin cam đoan đây là

công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả là hoàn toàn trung thực.

Sinh viên thực hiện

Vũ Lễ Hương Giang

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn là TS Nguyễn Hà Thanh

Cam ơn Thay vì là một người Thay luôn nghiêm túc trong công việc và đã trao cho tôi

cơ hội dé thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này Thay đã giúp tôi giải đáp những

thắc mắc cũng như định hướng cho tôi rất nhiều.

Tôi cũng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Trường Dai học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

và Khoa Toán — Tin học đã tạo điều kiện thuận lợi dé tôi có thé học tập và phát triển như ngày hôm nay.

Sinh viên thực hiện

Vũ Lỗ Hương Giang

Principal vanishing point

Diagonal vanishing point

Đường biến mat

Xa anh

Không gian xạ ảnh thực

Điểm xạ ảnh (Điểm) Đường thing xạ ảnh (Dường thăng)

Tam giác cơ sở

Diém đơn vị

Projective | Định lí cơ bản của Hình học Xa anh

Đối ngẫu

Tỉ số kép

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về không gian xạ anh, có thé kê đến các định nghĩa

như sau:

Định nghĩa Cho một tập hợp X khác rong, một không gian vecto’ n+1 chiếu

V"'(n >0) trên trường K và một song sánh p:P(W**')—y X.

Khi đó bộ ba (x pt") sẽ gọi là một không gian xạ ảnh n chiêu liên kết với không

gian vectơ *°Ẻ,

Định nghĩa Goi k là trường đóng đại số cô định Không gian xạ ảnh n chiêu trên È,

kí hiệu P" hoặc P°, là tập hợp các lớp tương đương của day (n+l) - số hạng (ay, 4,)

các phan ur không đồng thời bằng 0 trong k, với quan hệ tương đương ở đây là

(dœ¿ d„)~ (Âa, Àa,,) với mọi  ek,Ä #0.

Nói cách khác, P" là một tập thương của tập A"" ={(0, 0)} với quan hệ tương đương

xác định các điềm năm trên cùng mot đường thang đi qua góc tọa độ.

Ta thấy rằng hai định nghĩa trên khá hàn lâm và nghiêng vẻ mặt Đại số Định nghĩa thứ

nhất thường được chọn để giảng day trong các trường đại học Tuy nhiên, nẻu đi theo

dong chảy của lich sử thì cách Hình học Xa ảnh ra đời rat gan gũi với chính chúng ta.

Hình học Xạ ảnh xuất phát từ hình ảnh mắt người nhìn hình ánh của thế giới như thế

nào Vì vậy, việc quay lại tìm hiéu khái niệm Hình học Xa ảnh từ cơ bản là điều cầnđược quan tâm dé có cái nhìn trực quan, gần gũi hơn với kiến thức và từ đó củng cô tư

duy trừu tượng Dé thuận tiện nhất, đề tài này sẽ chỉ tập trung vào mặt phẳng xạ ảnh RP* Qua quá trình tim hiéu tai liệu vé Hinh hoc Xa anh, tôi nhận thay quyén sách

Geometry của Brannan, D A., Esplen, M E., & Gray, J J (2011) phù hợp với định

hướng của đề tài Do đó, dé tài này sẽ khai thác chủ yếu trên quyên sách Geomerry.

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng phép phôi cảnh trong nghệ thuật đẻ tiếp cận các đối tượng trong mặt phang xạ

ảnh RP’, từ đó đưa ra các khái niệm về điểm xạ ảnh, đường thắng xạ ảnh, mặt phẳng

nhúng, phép biên đôi xạ anh, định lý cơ bản của Hình học Xa ảnh, tỉ sô kép.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu: trong mặt phang xạ ảnh RP?.

Đối tượng: điểm xạ anh, đường thang xạ ảnh, mặt phang nhúng, phép biến đôi xạ anh, định lý cơ ban của Hình học Xa anh, tỉ số kép.

4 Cấu trúc của luận văn

Chương 1: Phép phối cảnh (Phép chiếu xuyên tâm).

Chương 2: Mặt phẳng xạ ảnh.

Chương 3: Phép biến đôi xạ ảnh

Chương 4: Ung dụng Định lý cơ bản của Hình học Xa ảnh.

Chương 5: Ti số kép

tN

CHƯƠNG 1: PHÉP PHÓI CANH

(PHÉP CHIEU XUYEN TAM)

1.1 Phối cảnh trong nghệ thuật

Mô hình hiện đại của phối cảnh hội tụ (focused perspective) được khám phá bởi nhà

điêu khắc, nhà kiến trúc sư Brunelleschi (1377-1446) sau đó được phát triên bởi họa

si, nhà kiến trúc sư Leone Battista Alberti (1404-1472), và cuối cùng được hoàn thiện bởi Leonardo da Vinci (1452-1519).

Những người nghệ sĩ này nhận ra rằng mắt người nhìn cảnh vật thế giới bằng cách tiếp

nhận vô sé những tia sáng đi từ cảnh vật đến mắt ta Một cách hiệu quả đề mồ tả hình ảnh 3 chiều lên trên nền 2 chiêu sao cho sống động được dé ra như sau Tưởng tượng

có một tắm kính trong suốt được đặt giữa mắt và cảnh vật 3 chiều Mỗi đường noi từ

mắt tới một điểm của cảnh sẽ đâm xuyên tam kính tại một điểm nao đó Tập hợp các

điểm này tạo ra một hình ảnh trên tắm kính được biết tới tên riét điện (cross-section).

Bởi vì mắt chúng ta không thê phân biệt sự khác nhau giữa các tia sáng đến từ các điểm

của cảnh thực và các tia sáng đến từ các điểm của tiết diện tương ứng (vì chúng cùng

hướng), nên mắt người nhìn nhận tiết điện như đang nhìn cảnh thực Nói cách khác, tiết

diện cho ta một cách biểu điễn 2 chiều chân thật của cảnh vật 3 chiều

Nghệ sĩ người Đức, Albrecht Dũrer (1471-1528) đã giới thiệu thuật ngữ phối cảnh (perspective) (xuất phat từ động từ Latin nghĩa là “nhin thấu") dé diễn tả cách thức trên,

và ông đã biểu điển nó bằng một loạt các tranh khắc gỗ nỗi tiếng trong cuốn sách của

mình Underweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtsscheyed (1525) Tranh

khắc gỗ bên dưới diễn tá một người nghệ sĩ dang nhìn qua màn chắn lưới dé nghiên cứuphối cảnh và hiệu ứng xa gân

Di nhién, hinh anh duoc biéu dién trén man chắn chi là một cách biểu diễn của cảnh thực Nếu màn chắn được đặt gan hon hoặc xa hon đối với mắt thi kích thước của tiết

điện sẽ thay đối Đặt màn chắn ở những góc khác nhau đối với mắt hoặc chính mắt

người nhìn đi chuyển tới một vị trí khác cũng khiến tiết điện thay đổi Trong mỗi trường

hợp, ta sẽ thu được một tiết diện khác nhau, tuy nhiên chúng đều có sự liên kết với nhau

1.2 Phép phối cảnh trong toán học — Phép chiếu xuyên tâm.

Đề tìm hiểu mỗi quan hệ giữa các tiết diện của một cảnh thực, chúng ta sẽ nhìn phối

cảnh dưới góc nhìn toán học Ta thay thé mat va chim tia sáng đến mat bang chùm

đường thang đi đến một điểm cho trước (tức coi mắt là một điểm, chùm tia sáng là chùm

đường thăng) Dé thuận tiện, điểm này thường chính là gốc Ø Màn chắn được thay thé

bằng một mặt phăng trong R* ma không đi qua điểm Ø

Đề so sánh các tiết điện trên mỗi màn chắn khác nhau, chúng ta xét 2 mặt phang không

đi qua gốc Ø:z và 2’ Một điểm P trên z và một điểm Q trên x‘ được gọi là trongphổi cảnh từ O (in perspective from O) nêu có một đường thăng đi qua 3 điểm Ø,P.Ø

Một phép phối cảnh hay phép chiếu xuyên tâm (perspectivity) từ z tới #ˆ tâm O là

một hàm số biến một điểm P trên z thành một điểm Ø trên z' trong phối cảnh từ Ø.Chú ý rằng các mặt phăng « và z có thé nim cùng phía so với O hoặc nằm khác phía

so với O như hình dưới

Một điều rắc rỗi trong định nghĩa của

phép chiếu xuyên tâm trên là vẻ tập

nguồn của nó không nhất thiết là toàn bộ

mặt phing + Thật vậy, néu P là một

điểm bất kỳ của x sao cho OP song song

với mặt phăng z' như trong hình bên thì

P không có ảnh trên zˆ và do đó P

không thuộc tập nguồn của phép chiều

xuyên tâm Từ góc nhìn toán học, việc

loại trừ một vai điểm ngoại lai khỏi tập

nguồn của phép chiếu xuyên tâm khá

phiên toái Ở phan 2 243 chúng ta sẽ xây dựng lại một định nghĩa về phép chiếu xuyên

tâm mà tập nguồn của nó vẫn bao gồm những điểm ngoại lai này

Với định nghĩa cơ sở về phép chiều xuyên tâm như trên, ta có thể nhận thấy những

tính chất sẽ được bảo toàn và không được bảo toàn dưới phép chiếu xuyên tâm

Mặt khác, hình minh họa bên phải thê hiện một đường tròn trên mặt phăng qua phép

chiếu xuyên tâm trở thành đường parabolic ở mặt phẳng còn lại Điều này cho thay

phép chiêu xuyên tâm không bảo toan "độ tròn”.

Xét phép chiều xuyên tâm với tâm Ø biến điểm trên mặt z thành điểm trên mặt z' Một cách dé hình dung ảnh của một đường thing £ dưới phép chiều xuyên tâm đólà: Lay một điểm P bắt kì trên £, khi P đi chuyên đọc trên £, đường OP quét ra

một mặt phang Đường thăng £” nơi mà mặt phăng vừa tạo ra giao với mặt 7’ chính

là ảnh của £.

Ta xét trường hợp đặc biệt: Phép chiều xuyên tâm p với tâm O biến các điểm nằm

trên mặt phẳng nằm ngang z thành các điểm trên mặt phẳng #' (tức 7 L z'), và đặt

L là giao tuyến của z và z' Như vậy, L biến thành chính nó Ta có duy nhất một

trường hợp mà không tim thay ảnh của đường thăng đó là khi đường thăng A là giao

tuyến của z và mặt phang di qua O, vuéng góc với z Boi vì những đường noi từ các điểm trên h đến O đều song song với 7’.

\

2A; y/ A = ‘ l= = = = \

Tiếp theo, ta xét ảnh của đường thăng £ trong z mà vuông góc với giao tuyến L

dưới phép chiếu xuyên tâm p Gọi P là chân đường cao từ O hạ xuống mặt phẳng

z' Mặc dù P không phải ảnh của bất kì điểm nào của +, nhưng mặt phẳng đi qua

O và £ giao 7‘ tại đường thăng ¢’ nào đó đi qua P Điều nay dẫn đến ảnh của £

dưới phép chiếu xuyên tâm p là một đường” nào đó đi qua P nhưng ảnh này

không lay điểm P (khuyết P ).

ngắn dân đi

Nếu đặt mắt một người quan sát ở điểm Ø, người đó sẽ thấy các đường thăng £,.(,

gặp nhau tại “vô cùng”, điều này tương ứng với ảnh của các đường thăng dưới phép

chiêu xuyên tâm p gặp nhau tại điểm P.Diém P được gọi là điểm biển mat chính

(principal vanishing point) của phép chiêu xuyên tâm p bởi vì ảnh trên 2‘ của tất

cả các đường thăng trong z mà vuông sóc với L đều biến mắt tại đó ;

Thực tê, một phép chiêu xuyên tâm có rat nhiều điểm biên mat Vi dụ, lay £ là một

đường thang bat kì trong x và tạo với ⁄ một góc = Đặt / là đường nằm ngang

trong 7’, qua P, và D là một điểm trên #“ sao cho OD song song với £ Khi đó

mặt phăng đi qua O và £ giao với Z' tại một đường £' nào đó đi qua Ð Điều này

dẫn đến anh của £ dưới phép chiếu xuyên tâm p là một đường thang đi qua Dnhưng không lay điểm D

Điểm D được gọi là điểm biển mat chéo (diagonal vanishing point) của phép chiếu xuyên tâm Tat cả các đường thăng trong + ma song song với một đường £ cho trước

thì có ảnh trên z là các đường thing đi qua D và không lấy điểm D

Ngược lại, mỗi điểm trên đường thang nằm ngang hi’ đi qua điểm P là một điểm biến

mat của những đường thang là ảnh của tất cả các đường thăng theo một hướng nào đó

trong +; do đó đường thắng h’ được gọi là đường biến mat (vanishing line) Đườngnay tương ứng với “đường chân trời” trong mặt phăng, nói cách khác nó tương ứng với

những điềm “ở vô cực” khi mắt người quan sat nhìn theo một hướng nam ngang

1.3 Định lý Desargues

Các thông tin trong không gian 3 chiều có thé thuật lại thành thông tin trong không gian

2 chiêu và ngược lại ý tưởng này đóng một vai trò quan trọng trong Nghệ thuật cũngnhư trong Toán học Ví dụ xét mô hình 3 chiều gồm 2 tam giác AABC và A4'#C' dưới

phép chiếu xuyên tâm tâm U Hiện tại, chúng ta giả sử không có cặp cạnh tương ứng

nào: BC và B'C', CA và CA', AB và A'B' là song song với nhau.

=

Chúng ta cần chỉ ra mô hình 3 chiều này có tính chất: BC và B'C’, CA va CA', AB vàA‘B’ cắt nhau lần lượt tại P.Ø,, khi đó P,Q thăng hàng Từ đây, chúng ta có théxây dựng lại một kết quả tương đương trong không gian 2 chiều, được biết tới chính là

Tương tự, các cạnh CA và C’A’ cắt nhau tại điểm @ và các cạnh AB và A'Ø' cắt nhautại điểm R ¬

Vì các điểm P,Q,R đều nam trên mặt phăng chứa tam giác AABC và trên mặt phăng

chứa tam giác AA'#C", do đó P,Ø,R phải nằm trên đường giao tuyến £ của hai mặt

phăng Điều này dẫn đến P.Q.R thăng hàng

Đề có được kết quả 2 chiều tương ứng, tưởng tượng rằng chúng ta đang nhìn mô hình

3 chiều này thông qua một màn chắn trong suốt Vì việc nhìn này không làm thay đỗi

sự thăng hàng của các điểm hay sự trùng của các đường thăng, chúng ta diễn đạt lại kết

quả 3 chiều đưới hình anh trên màn chắn dé có được định lý sau:

10

Định lýI — Định lý Desargues

Cho AABC và AA'B'C' là các tam giác trong IR’ sao cho các cạnh 4A',#B',,CC' dong

Một cách nghiêm túc, chúng ta chưa chứng minh xong định lý này vì AABC và AA‘B'C’

không đảm bảo rằng các cạnh tương ứng của chúng trong R` là không song song với

nhau Tuy nhiên, cách bàn luận trên cũng cung cấp một bằng chứng có lý thuyết phục

rằng định lý trên đúng

Một tính chất đáng chú ý ở cách bàn luận trên là ở chỗ tính chất hình học của một hình

trên mặt chiều trong suốt được đặc trưng bởi chùm các tra sáng Một điểm trên mặt

chiều tương ứng với một tia sáng đi tới mắt một đường thang trên mặt chiếu tương ứngvới một mặt phăng các tia sáng đi tới mắt, v v Tính chất hình học của hình thẻ có théđược khám phá hoàn toàn thông qua những tia sáng này Mặt chiếu chi cần sử dụng đến

chi dién đạt lại kết quả trong không gian 2 chiều.

Ở chương 2 và chương 3, chúng ta sẽ giới thiệu Hình học Xạ ảnh, sẽ giúp chúng ta làm

việc với các hình trên mặt (mặt chiều) thông qua những tia sing mà chúng ta đã mô tả

ở trên.

CHƯƠNG 2: MAT PHANG XA ANH RP?

2.1 Diém xa anh (Projective Points)

Tưởng tượng mắt của ta được đặt 6 gốc trong 3` và đang nhìn vào một màn chắn côđịnh Như đã đề cập ở mục 1.1, mỗi điểm của màn chắn sẽ tương ứng với một tra sáng

đi từ điểm đến mắt Sự tương ứng giữa điểm trên màn chắn và tia sáng đi qua gốc toa

độ là tiền dé can thiết dé chúng ta định nghĩa một không gian các điểm cho hình học

mới của chúng ta.

Thay vì sử dụng trực tiếp những điềm trên màn chắn, chúng ta sử dụng những tia sáng

tương ứng Ta có thé triển khai ý tưởng này theo hướng toán học bằng cách định nghĩa

một điểm xạ ảnh là một đường thăng Euclidean đi qua gốc trong E}, ta viết điểm xạ

ảnh bằng cách ngắn gọn hơn là Điểm (với chữ D luôn in hoa).

Định nghĩa Một Điểm (hoặc điểm xạ ảnh) là một đường thăng đi qua gốc tọa độ trong #' Mặt phăng xạ ảnh thực RP’ là tập hợp tất cả các Điểm trên.

Đề chứng minh các kết qua trong mặt phẳng xạ anh bằng đại số ta cần có một kí hiệu

đại số mà có thé sử dụng dé phân biệt các Điểm cha RP* với nhau Dé làm được điều

này, ta sử dụng tính chat sau: đường thing £ đi qua gốc Ø được xác định duy nhất khi

và chỉ khi có một điểm Euclidean (khác O) năm trên đường thang £ đó.

Ví dụ, có duy nhất một đường thing £ trong 3° đi qua O va điểm với tọa độ Euclidean

(4.2.6).

Do đó chúng ta có thê sử dụng những tọa độ này dé xác định một điểm xạ ảnh Khi đó,

ta viết tọa độ dưới dạng [4,2,6] với ngoặc vuông để biếu thị tọa độ của một điểm xạ

ảnh.

Định nghĩa Cách bieu diễn [a,b,c] với a,b,c là không đồng thời bằng 0, đại diện cho |

Điểm P trong RP? dong thời cũng chính là đại điện cho đường thang trong l£` đi qua |

12

(0.0.0) và (a,b,c) [a,b,c] được gọi là tọa độ thuần nhất của ? Nếu (a,b,c) có vector

vị trí v thì ta biéu thị Điểm P bởi [vy] và ta nói rằng Điểm P được đại diện bởi v.

Chú ý 1: Chúng ta thường hơi lạm dụng kí hiệu, việc phát biểu “Điểm {a,b,e]`` đượcdién đạt theo cách chặt chẽ hơn sẽ là “Diém với tọa độ thuần nhất [ø,b.e] `

Chú ý 2: Tọa độ thuần nhất của một Diem không là duy nhất

Ví dụ: Một Điểm với tọa độ thuần nhất [4,2,6] chính là đường thắng đi qua (0,0,0) và (4.2.6) Nhưng đường thăng này cũng đi qua điểm (-2,—1.—3) do đó tọa độ 4.2.6] và

[—2.-I.-3| đều đại diện cho cùng một Điểm.

Nói chung, nếu (a,b,c) là một điểm bat kì nằm trên một đường thăng đi qua gốc tọa độ,

và A là một số thực bat kì Khi đó (2a 2b,Âc) cũng nằm trên đường thăng đó Hơn nữa

nếu (a,b,c) không trùng với gốc tọa độ và A#0 thì (Aa Ab, Ac) cũng không trùng với

“ốc tọa độ Từ những điều trên, ta có [a,b,c] và [2a,Ab,Ac] đều đại diện cho cùng một

Điểm, với mọi 20

Ta biéu diễn lại như sau

[«.b.c]=[2a.^b,2c] với mọi A+0 (1)

Ngược lại, nếu không ton tại một số thực 4 khác 0 sao cho

(ab€)= (Àa.Àb,Ac)

Thì (a',b',.c’) va (a.b.e) không cùng nằm trên một đường thang đi qua gốc tọa độ do

đó các tọa độ thuần nhất [a,b,c] và [a',b',c'] đại diện cho các Diễm khác nhau trong

Ví dụ 1 Tọa độ thuần nhất nào dưới đây cùng đại diện cho Diém được đại diện bởi tọa

Bài toán 1 Tọa độ thuần nhất nào dưới đây đại diện cho Điểm được đại diện bởi tọa

độ thuần nhất [I,2,3] trong RP*?

Thoạt nhìn, tính chất không duy nhất của tọa độ thuần nhất khiến chúng ta cảm giác

không thoải mái Tuy nhiên, sự nhập nhăng này lại dem lại lợi ích.

Ví dụ như, một Điểm trong I#P? có tọa độ thuần nhất là Eat thay vì dé dưới dạng

phân số như vậy, ta có thê đơn giản hóa thành tọa độ thuần nhất chỉ gồm toàn những số

Với một tập hợp cho trước gồm các tọa độ thuần nhất, không phải lúc nào cũng dé dang

dé tìm ra các tọa độ cùng đại diện cho một Điêm O một vài trường hợp, ta có thê việt

tọa độ thuần nhất về một dang nhất định dé khiến việc so sánh trở nên dé dang hơn.

Ví dụ 2 Xác định tọa độ thuần nhất dưới dang (ø,b,1] của các Điểm

I1

[2.—-1,4l I4.2,8], I2z.,—-z.4z], [200,100,400], Tản [6,—9,—12].

14

Từ đó cho biết những tọa độ thuần nhất nào đại diện cho cùng một Điểm.

Giải:

Theo (1) , một Điểm trong RP? là không thay đôi nếu tọa độ thuần nhất của nó nhân

thêm (hoặc chia bot) một số thực khác 0 Vì tat cả thành phan thứ ba của toa do của

mỗi Điểm trên đều khác 0 nên chúng ta chia tọa độ thuần nhất của cho thành phần thứ

ba của tọa độ tương ứng để được dang [a,b,1]:

1 1 1 1

[2,=1.4]= E “iu [4,2,8] = E 4 a}

Xinh [200,100,400] nhát

2 4 24

Vì [a,b,1]=|a.b.1] khi và chỉ khi a=#' và b=b', điều này đân

[2.—1.4] và [2z.-z.4z] cùng đại diện cho một Điểm:

[4.2,8].(200, 100.400] và |-z:~z-¬!] cùng đại điện cho một Điểm;

[6.-9.~12] không có trùng với tọa độ thuần nhất nào.

Chú ý rằng phương pháp được sử dụng cho Ví dụ 2 chỉ có thé được sử dụng nếu thành

phân thứ ba của tọa độ tat cả các Diém đêu khác 0.Ta vẫn sử dụng tương tự được

phương pháp nay với thành phan thứ nhat hoặc thứ hai của tọa độ.

Bài toán 3 Xác định các tọa độ thuần nhất đưới dạng [I.ò.c] của các Điêm

Khi đã định nghĩa được điểm xạ anh, chúng ta tiếp tục định nghĩa một hình xạ ảnh

Giống như trong hình học Euclidean, một hình được xác định là một tập con của 8° thì

trong hình học xạ ảnh một hình được xác định là một tập con của RP*.

15

Định nghĩa Một hình xạ ảnh là một tập con của 2P”.

Một hình xạ ảnh thật chất là một tập hợp các đường thăng đi qua gốc tọa độ trong '#`.

Do đó một mặt nón với dinh tại Ø, một hình kép chóp tứ điện đều với đỉnh tại Ø, đều

là những ví đụ cho hình xạ ảnh, bởi vì chúng déu có thé được biểu dién đưới dạng tậphợp của các đường thăng đi qua gốc tọa độ trong R’

2.2 Đường thang xa ảnh (Projective Lines)

Một ví dụ đơn giản của hình xạ ảnh chính là một mặt phăng đi qua gốc tọa độ Mat

phăng là một hình xạ ảnh vì nó có thể được biểu điển bởi một tập hợp gồm các Điểm(tức là các đường thăng đi qua gốc tọa độ trong š' `3 nam trên mặt phang đó Ta có thé

xem những Diém này là những tia sáng đến từ một đường thăng trên một mặt chiều, lúc này tên gọi đường thăng xạ ảnh là hợp lý khi đặt cho một mặt phẳng bất kì đi qua gốc

tọa độ.

Chú ý rằng sẽ có một tia sáng nằm trên mặt phẳng nhưng song song với mặt chiếu

Chúng ta sẽ bàn luận về ý nghĩa của nó sau trong Mục 3.2.3

màn chắn mặt phăng

Giống như việc chúng ta sử dụng *Điểm` đề thay thé cho “điểm xạ anh”, chúng ta cũng

sử dụng *Đường thang” dé thay thé cho “đường thăng xạ anh” Ta luôn viết hoa chữ cái

“L” dé tránh nhằm lẫn với đường thăng trong E'.

trong đi qua gốc tọa độ trong 3" Các Điểm trong RF* được gọi là thăng hàng nếu

chúng cùng năm trên một Đường thắng.

vì một Đường thăng trong 8E? chỉ đơn giản là một mặt phăng đi qua gốc tọa độ trong

&* nên nó phải bao gồm những điểm Euclidean (x, y,z) thỏa mãn phương trình dạng

ax+by + cz =0

với a,b và e là các số thực không đồng thời bằng không Chúng ta có thé phát biểu lại

điều này trong không gian RP? như sau:

với a,b,c là các số thực không đồng thời bằng không.

Chú ý

1 Phương trình của một Đường thăng không là duy

nhật, vì nêu 2 #0 thì Aax+Aby+Acz=0 cũng là một

phương trình của Đường thăng Chúng ta có thể sử

dụng điều nảy để khử phan sé các hệ số giống như

việc chúng ta đã làm đối với tọa độ thuần nhất của

một Diém

2 Hình kế bên thẻ hiện rõ một Điểm nằm trên một

Đường thăng, hay tức là một Đường thăng đi qua một

Điểm, nếu và chi néu Điểm đó có tọa độ thuần nhất [x, y z] thỏa mãn phương trình củaĐường thang Vi dụ [1,-1.1] nằm trên Đường thắng 3x+ y—2z=0 nhưng [0.1.3] thìkhông nằm trên Đường thăng đó

Trong hình học Euclidean, có duy nhất một đường thăng đi qua hai điểm phân biệt, như

hình minh họa phía dưới Tương tự trong hình học xạ ảnh, hai Diễm phân biệt (tức hai

đường thăng đi qua gốc tọa độ) cùng nằm trên một Đường thang (tức mặt phăng đi qua

góc tọa độ)

17

đường thăng

diém

diém

Chúng ta biểu điển sự quan sát này trong một định lí như sau:

Ví dụ 3 Với mỗi cặp Điểm sau, hãy viết một phương trình Đường thăng đi qua chúng.

A [3,2,0] và [3.4.0] B [1.2.1] và [3.0.3] C [1,0,0] và [0,0,1]

Giải:

Phương trình tông quát của Đường thăng trong RP* là

ax+by+cz =0

với a,b,c là các số thực không đồng thời bằng không.

A Cả hai Điểm đều có tọa độ z bằng 0 nên tọa độ thuần nhất của chúng phải thoả mãnphương trình z=0 Vậy ta được phương trình tông quát của Đường thăng với

as0,b=0.c= 1.

B Cả hai tọa độ thuần nhất của hai Điểm thỏa man phương trình x=z Vậy ta được

phương trình tông quát của Đường thang với a =1,b=0,c =-l.

C Cả hai tọa độ thuần nhất của hai Điểm thỏa mãn phương trình y=0 Vậy ta được

phương trình tong quát của Đường thăng với œ=0,b=1,e=0.

Bài toán 4 Với mỗi cặp Điểm sau, hãy viết phương trình Đường thang đi qua chúng

A [0.1.0] và [0.0.1] B [2.2.3] và [3.3.7]

Giải:

A Cả hai tọa độ thuần nhất của hai Diém thỏa mãn phương trình x=0

B Ca hai toa độ thuan nhật của hai Diém thỏa mãn phương trình x= y.

18

Nhung làm thé nào dé ta tìm được phương trình Đường thang đi qua hai Điểm cho trước

trong trường hợp không thê tìm được băng cách kiêm tra tọa độ?

Ví dụ: Xét hai Điểm [2,-1,4] va [I,—1,1] Ta có thé thay giá trị x=2,y=-l,z=4 và

x=l,y=~l,z =1 vào trong phương trình tông quát, thu được hệ phương trình sau:

Trong trường hợp nay, các tính toán khá đơn giản, nhưng có một phương pháp thay thé

khác đơn giản hơn Chú ý rằng Đường thang trong RF* đi qua hai Điểm [2.-1.4] và

[I.-1.1] chính là mat phăng Euclidean trong £` cùng với hai vector vị trí của hai điểm (2,-1,4) va (1,-1,1) trong R* Một điểm (x,y,z) nằm trên mặt phẳng này khi và chỉ khi

vector (x,y,z) là tô hợp tuyến tính của các vector (2,-1,4) và (1,—1,1) nói cách khắc,khi va chỉ khi các vector (x,y,z), (2,-1.4) và (1,-1,1) phụ thuộc tuyến tính

Lại có ba vector trong &* phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi định thức 3x3 với các

đòng là các vector là bằng 0 Dẫn đến (x.y.,£} nằm trên mặt phăng chứa hai vector vị

trí (2,—1,4) va (1,-1.1) khi và chỉ khi

2 -l

1 -l

Diễn tả lại phát biểu này trong 3F, ta suy ra Diễm [ +, y,z] nằm trên Dường thăng đi

qua hai Diem [2.—1,4] và [1.—I,I] khi và chỉ khi

Chú ý

Chúng ta kiểm tra lại kết qua bằng cách kiêm tra xem hai Điểm đã cho có thực sự nam

trên Đường thăng mà chúng ta tìm thay hay không Ví du, kết quả ở trên là chính xác vì

19

phương trình (3) là một phương trình tuyến tính thuần nhất có an x, y,z và nó được thỏa

mãn bởi x=2, y=—l,z=4 và x=l,y=—L,z=l.

Chúng ta có thé tóm tắt phương pháp trên dưới dạng thuật toán như sau:

Thuật toán Dé xác định một phương trình của Đường thăng trong BP? đi qua hai Điêm

Khai triển định thức theo dòng thứ nhất, ta được

Vậy phương trình Đường thing là 11x+2y—5z=0.

Khi thay toa độ thuần nhất [1,2,3] và [2.—1.4] vào phương trình vừa tim, ta thấy thoa

mãn.

Bài toán 5 Xác định phương trình Đường thăng trong BP:

A Đường thang đi qua hai Diem [2.5.4] và [3,1,7]:

B Đường thăng đi qua hai Điểm [-2,-4,5] và [3,-2,-4].

Giải:

A Phương trình Đường thăng là

Khai triển định thức theo dòng thứ nhất, ta được

Vậy phương trình Đường thăng là 31x-—2y-132=0.

B Phương trình Đường thăng là

Vậy phương trình Đường thăng là 26x+7y +162 =0.

Phương pháp như trên cũng có thẻ được sử dụng dé kiểm tra ba Điểm thang hàng Ba

Diém [a,b,c] [đ.e ƒ] [ø,h,k] thang hàng khi và chỉ khi các vector vị trí của các điểm

(a.6.e) (d.e.f) (ø.h.&} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

Vậy các Điểm [2,1,3].[1,2.1] va [-1.4,-3] thang hàng.

Chúng ta tóm tat lại phương pháp cở Ví dụ 5 bằng thuật toán sau đây

Thuật toán Dé xác định xem ba Điểm [«,6.c].[đ.e.f].[s.h.k]} có thăng hàng hay

không:

abe

1 Tinh định thức |d ef};

& h k

2 Ba Điểm [«.b,c].[đ.e /]-[e.h.&] thăng hàng khi và chỉ khi định thức trên bằng

Vậy ba Điểm [1,2,-1],[2,1,0],[0,-1,3] không thắng hàng.

Trước khi sử dụng định thức dé giải bài toán, ta nên dừng lại dé quan sát xem ta có thê

giải bài toán băng cách kiêm tra tọa độ.

Ví dụ, giả sử ta có yêu cầu xem ba Diém [1,0,0].[0.1.0].[I.1.1] có thang hàng không Rõ ràng, [1,0,0] và [0,1,0] cùng nằm trên Đường thăng z=0 trong khi [I,I.I] thì không

nằm trên Đường thăng đó Vậy nên ba Điểm trên không thăng hàng

Bài toán 7 Chứng minh rằng không có ba Diễm trong các Điểm [1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]

và [1,1,1] thăng hàng.

Giải:

- Ở trên chúng ta đã chứng minh ba Điểm [I.0.0].[0.1.0].[1.1.1] không thang hàng.

- Ba Điểm [I,0.0].[0.0.1].[1.I.1] không thing hàng Vì [1,0,0] và [0.0,1] cùng nằm trên

Đường thing y =0 trong khi [1,1,1] thì không nằm trên Đường thắng đó

- Ba Điểm [0.1.0].[0.0.1].[I.1.1] không thang hàng Vì [1.0.0] và [0.0.1] cùng năm trên

Đường thắng x =0 trong khi [1,1,1] thì không nằm trên Đường thắng đó.

- Ba Điểm [I.0,0].[0,1.0].[0.0,1] không thăng hàng Vì [1,0,0] và [0,1,0] cùng nằm trên

Dường thăng z =0 trong khi [0,0,1] thì không nằm trên Đường thang đó

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Những Điểm ở Bài toán 7 đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết

hình học xạ ảnh, nên chúng ta sẽ đặt cho chúng tên gọi đặc biệt.

được gọi là Điểm đơn vị

Tiếp theo, ta thay rằng hai Đường thăng phân biệt

bat kì đều cắt nhau tại một Điểm duy nhất That vay,

mot Duong thing trong RF? thực chất chỉ là một mặt

phăng đi qua goc toa độ trong &*, và hai mặt phăng

phân biệt bất kì đều giao nhau tại một đường thằng

Euclidean duy nhất đi qua gốc tọa độ; và đường

thăng đó chính là Điểm trong RP’ Đây là điểm khác

biệt với hình học Euclidean nơi mà các đường thăng

song song không bao giờ gặp nhau.

Định lí 3 Tính chất liên thuộc của RP

Chúng ta có thé xác định giao Điểm của hai Đường thing bằng cách giải hệ phương

trình của hai Đường thăng.

Ví dụ 6 Xác định giao Diém của hai Dường thăng trong #? có các phương trình

Ở một vải trường hợp, chúng ta có thé tìm giao Điểm của hai Đường thăng mà không

can phải giải bat kì hệ phương trình nao.

Ví dụ, hai Đường thang với phương trình lần lượt là x=0 và y=0 giao nhau tại Diém

[0.0.1]:

Bài toán 8 Xác định Diém trong RF* là giao điểm của Đường thang đi qua hai Diém

[I.0.0].[0.1.0] với Đường thăng di qua hai Điểm [0.0.1].[1.1.1].

Giải:

Đường thing đi qua hai Điểm [1,0,0],[0,1,0] là z =0.

Đường thing đi qua hai Điểm [0.0,1],[1,1,1] là x= y.

Giao Diém của hai Dường thăng là [x.x.0] với «#0, tương đương với Điểm [1,1,0].

2.3 Mặt phẳng nhúng (Embedding Planes)

Chúng ta đã sử dụng không gian ba chiêu dé phát triển lí thuyết của hình học xạ ảnh Tuy nhiên trong thực hành, chúng ta muốn sử dụng hình học xạ ảnh dé nghiên cứu các hình hai chiều trên một mặt phăng Dé làm điều đó, ta sẽ nghiên cứu một cách liên kết các hình trên mặt phăng với các hình trong không gian BP? va ngược lại.

Giả sử có một mặt phăng z chứa một hình F Ta có thé đặt mặt phăng z trong không

gian R’ sao cho nó không đi qua gốc tọa độ Sau đó tạo một hình xạ ảnh tương ứng bằng cách vẽ tất cả các Điểm trong E?? mà đi qua các điểm của hình F

Ví dụ, nếu F là một tam giác như hình bên trái phía dưới, khi đó hình xạ ảnh tương

ứng của nó chính là hình kép chóp tam giác Chú ý rằng, nếu ta thay đôi vị tri của z

trong 5”, ta sẽ thu được những hình xạ ảnh khác tương ứng với F

Ngược lại, gia sử ta có hình xạ ảnh F Hình Euclidean tương ứng trên 7 là tập hợp các

điểm Euclidean là giao điểm của Diém trong F với x

Ví dụ nếu F là một mặt nón có trục vuông góc với mặt phăng nhúng giỗng như hình

minh họa trên, thì hình Euclidean tương ứng chính là đường tròn Chú ý rằng nếu ta

thay đôi vị trí của z trong E`, ta sẽ thu được những hình khác nhau trên mặt phẳng

tương ứng với F

Sự tương ứng giữa hình xa ảnh và hình Euclidean hợp lí với điều kiện mỗi Điềm của

hình xạ ảnh đều giao được với mặt phăng z như hình sau

điểm xạ ánh với điểm trên mặt phẳng + Những Điểm như vậy được gọi là Điểm lí

tưởng (ideal Point) của x.

Những Điểm lí tưởng của z nằm trên cùng một mặt phẳng qua O có phương song songvới 7z Mặt phăng này là một đường thăng xạ ảnh, được gọi là Đường lí tưởng của 7

Lưu ý, Đường lí tưởng của # là duy nhât.

25

Đường thang Điểm lí vi của #

© mgtomiarngeiar một Điêm lí tưởng của 7 lí tưởng của Z

Lam sao chúng ta có thé biêu dién một hình xạ ảnh lên trên mặt phẳng Z nếu hình đó

có chứa một vai Điêm lí tưởng của 7?

: Một Điểm lí tưởng trong RPˆ P của œ

Ví du, xét một Đường thang được biểu diễn như hình bên, một hình xạ ảnh có giao

tuyến với z là một đường thắng ( Mỗi Điểm của Dường thing giao với mặt phẳngnhúng tại một điểm của ( ngoại trừ Điểm lí tưởng P không thẻ biểu diễn được trên + Đề biéu dién hoàn toàn Đường thăng này, ta không chi cần mỗi đường thăng £ mà còn

sử dụng đến Diém lí tưởng P Nói cách khác, Đường thăng được biểu diễn bởi £+›(P)

Tổng quát, một hình xạ ảnh có thé được biểu điển bởi một hình trên mặt phẳng # cùng với tập con các Điểm được lay từ Đường thăng lí tưởng của + Đề thêm những Điểm

xạ ảnh này, chúng ta có định nghĩa về mặt phẳng nhúng.

Định nghĩa Một mặt phẳng nhúng là một mặt phang, +, ma không đi qua gốc tọa độ.cùng với tập hợp tat cả các Điểm lí tưởng của x Mặt phẳng trong R’ có phương trình

Chúng ta có thê tóm tắt điều trên như sau: cho một mặt phăng nhúng, mỗi hình xạ ánh

trong RP? tương ứng với một hình trên mặt phăng nhúng và ngược lại Hình trên mặt

26

phẳng nhúng có thé có nhiều Điểm lí tưởng hoặc có thé chỉ đơn thuần là một hình

Euclidean.

Nếu hai mặt phẳng nhúng song song với nhau, những Điểm lí tưởng của hai mặt là

giông nhau; nêu hai mặt phăng nhúng không song song với nhau, những Diem lí tưởng

của hai mặt là khác nhau.

Khi chúng ta biéu diễn được hình xạ anh lên trên một mặt phẳng nhúng, ta có thê tìm

hiểu mỗi quan hệ giữa các Điểm và Đường thăng của nó mà không cần phải sử dụng

đến không gian ba chiều.

Ví dụ: Xét một biểu diễn của tam giác cơ sở và Điểm đơn vị trên mặt phẳng nhúng

x+y+z =1 được thẻ hiện như hình đưới bên trái Nếu như chúng ta trích xuất mặt phẳng

nhúng từ #` như hình dưới bên phải, ta có thé sử dụng lí thuyết đại số dé viết phương trình Đường thăng đi qua hai Điểm cho trước, mà không can phải đưa về không gian

R`.

Tương tự, chúng ta có thê sử dụng kĩ thuật đại số dé tính tọa độ thuần nhất của giao

Điểm giữa hai Đường thăng cho trước.

Bài toán 9 Với hình vẽ bên phải ở trên, hãy tìm tọa độ thuần nhất của các giao Điểm

giữa các Dường thăng đi qua [1,1,1] và các Diém ở đỉnh của tam giác cơ sở.

Giải:

Ở bài toán 8 chúng ta đã tìm được giao Điểm của z=0 và x= y là [1.1.0].

Tương tự, giao Điểm của y=0 và z=x là [x,0.x] hay chính là [1,0,1].

Giao Diễm của x=0 và y=z là [0,z,z] hay chính là [0,1,1].

Bat kì mặt phẳng nào cũng đều có thé được str dụng làm mặt phăng nhúng miễn là

chúng không di qua goc tọa độ.

Ví dụ: nêu ta lay 7 là mặt phang z=-—1 thì Đường thăng li tưởng của Z có phương

trình là z=0 và các Điểm lí tưởng là các Diém có dạng [a,b,0], với a,b không đồngthời bằng không Bat cứ Điểm nào có dang [a,b,c] với c #0 đều có thê được biểu diễn

trên mặt phẳng z bởi các điểm Euclidean (-2,-2.-1).

1 3

(§.—b-3)

Điểm Euclidean của z tương ứng với Điểm [2.4,6] là ~2(2.46) -(-}.-1-3).

Mặc dù chúng ta có thé chọn bat kì mặt phăng nhúng nào dé biểu diễn hình của RP?nhưng cách biểu diễn vẫn phụ thuộc vào cách chọn

Ví dụ: giả sử z, là mặt phăng nhúng y=—1 và z; là mặt phăng nhúng z=—1 Xét hình

xạ ảnh gồm hai Đường thăng £,,£, có phương trình lần lượt là x=-z va x=z Những

Đường thắng nay giao nhau tại Điểm [0,1,0]

Đối với mặt phẳng nhúng Z;, các Dường thăng £,.£, được biểu diễn bởi hai đườngthang giao nhau tại điểm tương ứng với [0.1.0] Tuy nhiên, đối với mặt phẳng nhúng

#;, giao Điểm [0,1,0] trên lại là một Điểm lí tưởng va các Đường thing £,,£, lại được

biểu diễn bởi các đường thăng song song không giao nhau Sự đối lập giữa hai cách

29

biểu điển của £, và £, thé hiện rõ ràng hơn nếu ta trích xuất hình ảnh của hai mặt phẳng

nhúng và đặt chúng cạnh nhau như hình dưới.

theo, ta sẽ thay rằng những phép biến đổi xạ ảnh được chọn dé đảm bảo rằng các tính

chất xạ ảnh của một hình sẽ không bị ảnh hưởng bởi cách chọn mặt phang nhúng Do tính song song phụ thuộc vào cách chọn mặt phang nhúng nên tính song song không là

một tính chất xạ anh, vì vậy khái niệm Đường thăng song song không có ý nghĩa trong hình học xạ ảnh.

2.4 Một định nghĩa tương đương về Hình học Xạ ảnh

Trong quá trình nghiên cứu hình học xạ ảnh, chúng ta đã sử dụng các điểm Euclidean

trên mặt phăng trong không gian R` dé xây dựng các điểm xạ ảnh (Điểm) trong không

gian RF*, tọa độ thuần nhất của những Điểm này và cả đường thăng xạ ảnh (Đường

thẳng).

Tương tự, chúng ta có thé định nghĩa 3F là tập hợp các bộ ba [a,b,c] được sắp theo

thứ tự, với a,b,c là các số thực và không đồng thời băng không [Aa, Ab, Ac] và [a,b,c]

(với Ä#0) biêu điễn cho cùng một Điểm Sau đó chúng ta đã định nghĩa đường thăng

xạ ảnh (Đường thăng) là tập hợp các Điểm [x, % z] trong RP’ thỏa mãn phương trình

dang ax+by+cz=0 với a,b,c là các số thực và không đồng thời bằng không Và kế

tiếp đó là xây dựng lí thuyết cho hình học xạ ảnh.

Tuy nhiên ở đây, chúng ta đã sử dụng đến mặt phẳng nhúng z không đi qua gốc tọa độ

trong 8° dé làm việc với các đối tượng của RP’ Ta đã tạo ra diém xạ ảnh [a,b,c] bằng

đường thăng Euclidean đi qua gốc tọa độ và điểm Euclidean (a,b,c) tương ứng, ta tạo

30

ra đường thang xạ ảnh bằng mặt phẳng Euclidean đi qua gốc tọa độ Đề thuận tiện, ta thường chọn chính các điểm Euclidean (a,b,c) trên mat phăng nhúng đề mô tả cho mô

hình Euclidean Với cách mô tả bởi mô hình #` này, hình học xạ ảnh sẽ trực quan hơn

so với cách m6 tả phía trên.

31

CHƯƠNG 3: PHÉP BIEN DOI XA ANH

3.1 Nhóm các phép biến đối xạ anh

Chúng ta sẽ dién tả các phép biến doi trong không gian RP* Đầu tiên, ta cần định nghĩa

các phép biến đôi theo mặt đại số, sau đó ta sẽ diễn dich lại theo nghĩa hình học bang

cách sử dụng các ý tưởng vẻ phép chiều xuyên tâm đã được giới thiệu ở mục 3.1 Cuối

cùng ta sẽ đi đến Dịnh lí cơ bản của Hình học Xạ ảnh.

Nhắc lại rằng một điểm trong 3` (không phải gốc tọa độ) nằm trên mặt phẳng nhúng

z (không đi qua gốc tọa độ) thì có tọa độ x =(x,y,2) đối với cơ sở của 8`, và có tọa

độ thuần nhất tương ứng với Điểm [x] trong RP? là [2x,Äy.Az] với Ä#0 Vì những

Diem của RP? chỉ là những đường thăng đi qua gốc tọa độ của R’, chúng ta cần một

nhóm các phép biến đôi biến các đường thăng đi qua gốc tọa độ trong 3` thành các đường thang đi qua gốc tọa độ trong #` Phép biến đôi trong ` phù hợp với điều này

đó chính là các phép tuyến tính khả nghịch

Nếu A là ma trận của phép tuyến tính khả nghịch của R’, điểm x=(+,y,z) trong E`

biến thành điểm Ax trong 5”; khi đó phép biển đổi xạ ảnh với ma trận A các Điểm [x] trong RP? thành Điểm [Ax] trong RF* Điều này dẫn đến định nghĩa phép biến đổi

xạ ảnh như sau.

Định nghĩa Một phép biến đổi xạ ảnh của RF* là một ham số +:RP? > RP* sao cho |

::[x]F>[AxÌ

với A là ma trận khá nghịch 3x3 Ta nói rằng A là ma trận liên kết với r Tập hợp tat

cả các phép biến đôi xạ ảnh của #?` kí hiệu là P(2)

Mỗi phép biến đôi "liên tục” của EP’ biến Đường thắng thành Đường thing và bảo

toàn tính liên thuộc của Đường thăng thì tương ứng với một phép biên đôi tuyên tính

kha nghịch của ä* Chúng ta chấp nhận kết quả này mà không chứng minh.

Ví dụ 1 Chứng tỏ rằng hàm số +; RE* > RP* được định nghĩa bởi

1 -!l 5

Ta có

2 0 LÍ detA=|-1 2 -3=2(10-3)-0+(1-2)=13#0.

Vì chúng ta có thẻ nhân tọa độ thuần nhất của Điểm trong RP* bởi một số thực 2 khác

0 mà không làm thay déi Điểm đó, điều này dẫn đến nếu A là một ma trận liên kết với

một phép bién đôi xạ ảnh thì ma trận AA (4 #0) cũng là ma trận liên kết với phép biến

đôi xạ ảnh đó.

Ví dụ, một ma trận liên kết với phép biến đổi xạ ảnh ở Ví dụ 1 khác với ma trận A là

33

Với I là ma trận đơn vị cấp 3x3, vì L khá nghịch nên i là một phép biến đổi xạ ánh.

Lay tùy ý r: RF? + RP*, [x]}> [Ax] là một phép biến đôi xạ ảnh với ma trận khả nghịch

A cấp 3x3 Với mỗi [x]e RP’,

34