Luận án tiến sĩ Toán học: Một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Balakrishnan-Taylor

TRANG THONG TIN LUẬN ÁNTên dé tài luận án: Một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Balakrishnan-Taylor Ngành: Toán giải tích Mã số Ngành: 9460102 Họ tên nghiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

UNIVERSITY OF SCIENCE

BUI DUC NAM

Doctoral Thesis

Ho Chỉ Minh City — 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Ngô Quốc Anh

Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Tuấn Duy

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Nguyễn Anh Triết

2 TS Nguyễn Thành Long

TP Hồ Chí Minh - 2023

Lời cam đoan

Tôi xin cam doan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, uới dé tài "Mot số bài toán biên chophương trình sóng phi tuyến chứa sé hạng Balakrishnan-Taylor” là công trình khoa học do tôithực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Anh Triết va TS Nguyễn Thành Long

Những kết quả nghiên cứu hoàn toàn trung thực, chính xác va không trùng lắp uới các công

trình đã công bô trong va ngoài nước Các bài báo đồng tác gid, da được các đồng tác giả chophép sử dụng để viét luận án nay

Nghiên cứu sinh

Bùi Đức Nam

L Ời cảm on

Qua luận án này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thay TS Nguyễn Anh

Triết và TS Nguyễn Thành Long Các Thây đã hướng dẫn, chỉ bảo và tận tình giúp đỡtôi về mọi mặt trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học

Tôi cũng xin cảm ơn PGS TS Lê Thị Phương Ngọc và TS Nguyễn Hữu Nhân da

đọc và góp một số ý kiến hữu ích giúp tôi hoàn thành luận án này

Cho phép tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến các Nha Khoa hoc, Quy Thay

Cô trong các Hội đông chấm luận án tiến sĩ cap Don vị chuyên môn, cấp cơ sở Đào tao,

các chuyên gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét

rat bổ ích giúp tôi hoàn thiện tot luận án

Tôi vô cùng biết on Quý Thay Cô trong và ngoài Khoa Todn-Tin học Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm họcthuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường

Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Tỉ hâ iy Cô phòng Quản lý Sau Đại học trườngDai học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh đã tạo mọi điêu kiện thuận lợi giúp tôi

hoàn thành chương trình học.

Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Doan Trường, Ban Chủ nhiệm

Khoa Khoa học Ung dụng, các Phòng Ban của trường Dai học Công Thương Thành

Phó Hồ Chí Minh và các Anh Chị đông nghiệp tại trường lời cảm ơn sâu sắc vì sự hỗ

trợ về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh

1ôi chân thành cảm on các Thay Cô, Anh Chị các Bạn thuộc nhóm Seminar đặcbiệt là TS Võ Thị Tuyết Mai, TS Lê Hữu Kỳ Son, NCS Đoàn Thị Như Quỳnh, NCS.Nguyên Vũ Dzũng đã đóng góp những ý kiến và kính nghiệm quý báu trong các buổi

sinh hoạt học thuật.

Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất gửi đến các thành viên của gia

đình tôi những người đã luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn động viên, hỗ trợ và

tạo mọi điêu kiện thuận lợi nhất để tôi học tập

ii

Mục lục

NT IIIIIhihiaaa i

eee ii Trang thông tinludnan| 0 0 000000000 e eee eee M

3.2.1 Các không gian hàm thông dụng| 18

3.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian 20

3.2.3 Hàm riêng của dạng song tuyên tính trên không gian Hilbert_ 21

Chương4_ Bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa sô hạng

— 24

Le ee 24

4.2 Sự ton tại và duy nhất nghiệm yêu 25

4.2.1 Sự ton tại của dãy lặp tuyến tính 274.2.2 Sự hội tụ của dãy lặp tuyến tính 40

4.3 Tính tat dan tổng quát của nghiệm 48

44 Kết luận chương4| Ặ Q TQ Q eee 59

Chuong5 Bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa

so hạng kiểu Balakrishnan-Taylor| 61

5.1 Giới thiệu| HQ HQ HQ HH ee 61

5.2 Sự ton tại và duy nhất nghiệm yêu 62

5.3 Khai triển tiệm cận nghiệm yêu 76

5.4 Kết luận chương 5| 0.000000 ee 86

11

Chương6 Hệ phương trình sóng phi tuyên kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số

hạng Balakrishnan-Taylor} 88

6.2 Sự ton tại và duy nhất nghiệm yêu

6.2.1 Sự tôn tại của day lặp tuyến tính6.2.2 Sự hội tụ của dãy lặp tuyến tính

6.4 Kétluanchuong6} 0.0000 HQ ng ee 131

Chương7 KÊT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ| 133

TÀI LIỆU THAM KHẢO| 135

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NCS| 144

1V

TRANG THONG TIN LUẬN ÁN

Tên dé tài luận án: Một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số

hạng Balakrishnan-Taylor

Ngành: Toán giải tích

Mã số Ngành: 9460102

Họ tên nghiên cứu sinh: BÙI ĐỨC NAM

Khóa đào tạo: 2020

Người hướng dẫn khoa học 1: TS NGUYEN ANH TRIẾT

Người hướng dẫn khoa học 2: TS NGUYEN THÀNH LONG

Cơ sở đào tao: Trường Dai hoc Khoa hoc Tự nhiên, DHQG-HCM

1 TOM TAT NOI DUNG LUAN AN:

Luận án này tập trung nghiên cứu tinh giải được và một số tính chất nghiệm củacác bài toán biên cho phương trình và hệ phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff-

Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor Nội dung chính được trình bày trong 3

chương luận án, Chương 4, Chương 5 và Chương 6.

Chương 4 nghiên cứu bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa số

u(x,0) = fig(x), ur(x,0) = (x),

với Qr = (0,1) x (0,T),A > 0là hang số va fg, ñ, H, &, ƒ là các hàm số cho trước

Chương 5 khảo sát bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến kiểu

Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor.

tự — AMsu — (te (u(t), ue()) e(t)| ee) la) ta

song tuyến tính trên H! x H! được xác định bởi

a(u,v) = J ), ||0|l¿ = wW4(0,ø), Vu„ø € Ht.

Chương 6 xét bài toán Robin-Dirichlet cho hệ phương trình sóng phi tuyến kiểu

Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor

tụ — AMyxt — 2 [pty (x,t, (tty („0x (£))) ty] + lá (F— s) yy (s) ds

=1 %,tu, 0) xy Oxy tị, vt), (x,t) € Qr,

ou — & [Ma (x,t,ø, [lo (OI les (I?) v4] + Í sa (ts) 9x (8) ds G)

= fo (x,t, U,V, Ux, Vx, Ut, 04), (x,t) € Qr, ,t) = 0x (0,f) — Gv (0,t) =0,

o(x), Øo(x)), (u(x, 0), ø(x,0)) = (Hi (x), ð1(3)),

với À > 0, > 0 là các hằng số va fig, ñ, 80, 01, Mir fir 81 (i = 1,2) là các ham cho trước

2 NHUNG KET QUA MOI CUA LUAN AN:

Luận án chứa đựng nhiều kết quả mới, mạnh hon những kết qua đã có, và được

công bồ trên các tạp chí Quốc tế có uy tín [Lithuanian Mathematical Journal, 60(2),

225-247 (SCI-E, O2); Mathematica Bohemica, 147(2), 237-270 (ESCI, O3); Filomat, 37(8),

2321-2346 (SCI-E, Q2)] Những kết quả mới được trình bày trong luận án bao gồm:

1 Sự tồn tại nghiệm và tính chất duy nhất nghiệm yếu của các bài toán (1), (2), (3).

2 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán (2) đến cấp N + 1 theo tham số bé h

3 Các kết qua tắt dan tổng quát khi —› +eo của nghiệm yếu các bài toán {1} và (|.

3 CAC UNG DUNG/KHA NANG UNG DỤNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG

VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU:

Trong tương lai, chung tôi sé mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau

1 Nghiên cứu các thuật giải lặp cấp cao để thiết lập được dãy xấp xỉ hội tụ về

nghiệm yếu bài toán với tốc độ hội tụ tốt hơn thuật giải xấp xỉ tuyến tính

2 Nghiên cứu các tính chất bùng nổ của nghiệm tại thời gian hữu hạn, và các tính

chất khác (nếu có) của nghiệm

VI

Supervisor 1: Dr NGUYEN ANH TRIET

Supervisor 2: Dr NGUYEN THANH LONG

At: VNUHCM - University of Science

1 SUMMARY:

This thesis focuses on studying the solvability and the properties of solutions of

boundary problems for nonlinear wave equation of Kirchhoff-Carrier type with Taylor term The main results are presented in three chapters (4, 5, 6) as follows:

Balakrishnan-Chapter 4 studies the Dirichlet problem for a nonlinear viscoelastic equation with

where Qr = (0,1) x (0,T), A > 0 is a given constant and fig, ñ , ƒ, g are given

functions.

Chapter 5 investigates the Robin-Dirichlet problem for a nonlinear wave equation

of Kirchhoff-Carrier type with Balakrishnan-Taylor term

tụ — Atta — 1 (toa (0(,0(0)), eC le) 2) sa

t

),|

=f (xt,m,ws,s (u(t), ue(t)) llM(OI? ella)» 6) €Qr — ø

ux (0,f) —hu(0,t) = u(1,t) =0,

u(x,0) = fig(x), ur(x,0) = (x),

where 1, ƒ, fig, ñ are given functions and A > 0,h > 0 are given constants, a(-,-) is the

vii

symmetric bilinear form on H! x H! defined by

a(u,v) = [ y(x)0x(x)dx + hu(0)ø0(0), |v], = /a(v,v), Vu,v € HÌ.

Chapter 6 is devoted to study the Robin-Dirichlet problem for a system of nonlinear viscoelastic equations of Kirchhoff-Carrier type with Balarkrishnan-Taylor term

tay = Ante — Loy (x, (My („mg (Đ)) ta] + [ si =5) tax (8) a

The novelty of thesis can be mentioned as follows

1 The existence and uniqueness of the weak solutions for the problems (1), (2) and

(3).

2 The asymptotic expansion of the weak solution up to N + 1 order in a small

parameter h for the problem (2)

3 The results of general decay as t — +00 of the weak solution for the problems

and (3)

3 APPLICATIONS/APPLICABILIT Y/PERSPECTIVE:

In the future, we will extend our researches to the following topics

1 Research on high-order iterative algorithms to establish approximation sequences that converge to the weak solution of the problems with better convergence rate.

2 Investigation of blow-up in finite time, and other certain properties of weak

solu-tion.

Vili

Tập hợp các số thực không âm

Khoảng (0,1) Tích Descartes 0 x (0,T), với T > 0

A 2 2 A _ N

Bậc của da chỉ sô « = (a1, -,an) € ZY

Don thức bac |a| theo N biến, x = (x1, + , xy)

Ham số theo hai biến số x và tĐạo hàm riêng cấp một của u(x,t) theo t

Đạo hàm riêng cấp hai của u(x,t) theo t

Đạo hàm riêng cấp một của u(x,t) theo x

Đạo hàm riêng cấp hai của u(x,t) theo x

N

Đạo hàm a = (ã1,-'',&N) € ZY

Không gian Banach X va đối ngẫu X’

Chuẩn trên không gian XTích đối ngẫu hoặc tích vô hướng trong L? (O)

Không gian các hàm 4 : O — R liên tục trên O

1x

Không gian các hàm u € C® (Q) có giá compact

Không gian các hàm đo được Lebesgue 1 : Q — R

1/p

thoả [ni = (falar) <s1<p<

Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn cốt yêu

u: QO — R với chuẩn ||0|¡=(c) = ess sup |u (x)| < œ

Dang song tuyến tính trên H! x H!

Không gian các hàm liên tục : [0, TT] + X với chuẩnI#cs(orx) = max JIw(Đ|[x < s

Không gian các hàm đo được u : [0, T] —› X sao cho

T 1/p

Inlzøz> = (fp mica) <0, khit < p <0

va ||u||,(,7;x) = ess oe I|u(t) |x <

Chương 1

MỞ ĐẦU

Song hành cùng sự phát triển của nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như Vật lý,

Cơ học, Sinh học, Hoá học, - -, lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hamriêng ra đời và tạo ra những kết nối quan trọng của toán lý thuyết và áp dụng Từnhững công trình nền móng được nghiên cứu sớm bởi các nhà toán học như Leonhard

Paul Euler (1707-1783), Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange

(1736-1813) và Pierre-Simon Laplace (1749-1827), cho đến nay lý thuyết phương trìnhđạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vựctoán học cũng như thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực

khác nhau của khoa học kỹ thuật và đời sống Như mối quan hệ biện chứng, việc tìm

lời giải cho các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng một mặt đáp ứng các yêu

cầu của thực tiễn, mặt khác thúc đẩy sự phát triển nhiều kết quả lý thuyết trong giảitích hàm như: lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa

nhóm, - :, cùng các phương pháp của giải tích số như: phương pháp sai phân, phương

pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin,- - : Hiện nay,

ở một mức độ nào đó, các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã được sử dụng để

khảo sát các bài toán biên phi tuyến cụ thể Tuy nhiên, thực tế cho thấy rằng, không

ton tại một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán biên phi tuyến vốn dirat phong phú và đa dang này Các yếu tố phi tuyến cùng các điều kiện biên xuất hiện

trong bài toán có ảnh hưởng rất nhiều đến việc lựa chọn các phương pháp cũng như

các kỹ thuật để xem xét Do đó các bài toán biên phi tuyến nói trên chỉ giải được mộtphần, tương ứng với các số hạng phi tuyến cụ thể nào đó, hoặc có thể còn chưa giảiđược Nói cách khác, còn nhiều dang bài toán biên phi tuyến vẫn là "bài toán mo" và làmột chủ đề hấp dẫn thu hút được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Số lượng

các tạp chí có công bố các kết quả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỷ lệ rất lớn

trong đó có các tạp chí chuyên về lĩnh vực này ở nhiều nhà xuất bản lớn như nhà xuất

ban Elsevier, Springer, Taylor & Francis, Wiley,: - -.

Các bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình hoặc hệ phương trình sóng

phi tuyến dạng Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor xuất phát từ cácnghiên cứu thuộc lĩnh vực hàng không được một số nhà khoa học trong lĩnh vực này

và một số nhà toán hoc quan tâm nghiên cứu Một số kết quả đã được công bồ trongcác hội nghị khoa học quốc tế về lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng và các

bài báo quốc tế uy tín; chang han trong các tài liệu [2]-[5], [13]-(15], [211-I23], (26]-[27I,

[30]-[34], [37], [41]-[421, [46], (521, [67], [28]-[80], [88]-[89], [92]-[93] và một số tài liệutham khao trong do Tuy nhién, theo hiéu biét cua chúng tôi, các công bố cho các bàitoán dang nay còn khá khiêm tốn và còn nhiều van dé mở cần được nghiên cứu Bởi

vậy, chúng tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và thực

tiễn.

Sau một thời gian theo học, nghiên cứu dưới sự chỉ dẫn của các thầy TS NguyễnAnh Triết và TS Nguyễn Thành Long, đến năm 2020 tôi bắt đầu gặt hái được những

kết quả bước đầu khả quan về hướng nghiên cứu này Bản thân tôi chọn hướng nghiên

cứu này chủ yéu từ sự định hướng của các Thầy hướng dẫn Bên cạnh đó, sự đam mênghiên cứu cũng như những kết quả khả quan đã thúc đẩy tôi đi theo hướng nghiên

cứu này, và lựa chọn đề tài “Một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Balakrishnan-Taylor’.

Pham vi nghiên cứu của dé tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân - đạo hàm riêng,

tập trung chính vào các phương trình và hệ phương trình sóng phi tuyến Đối tượng

nghiên cứu của đề tài là các bài toán giá trị biên và ban đầu cho các phương trình hoặc

hệ phương trình sóng phi tuyến dạng Kirchhoff-Carrier chứa số hạng

Balakrishnan-Taylor.

Dé tai tập trung nghiên cứu theo hướng khảo sát các bài toán liên quan đến mô hìnhtoán học cho những vấn đề được đặt ra trong khoa học kỹ thuật Vì vậy, kết quả nghiên

cứu của dé tài góp phan giải quyết nhiều bài toán ứng dụng khác nhau trong các lĩnh

vực Khoa học công nghệ, Vật lý, Cơ học, Hoá học, Sinh học,: - - Ngoài ra, những kếtquả về khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán theo tham số nhiễu có ảnh hưởng quantrọng trong việc xây dựng các phương pháp xấp xi nghiệm hay phương pháp phần tửhữu han ứng dụng vào thực tế Mặt khác, các kết quả của dé tài công bồ trên các tạpchí khoa học quốc tế có uy tín sẽ góp phần nâng cao phong trào nghiên cứu, thứ hạng

và uy tín khoa học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, DHQG-HCM ở trong nước

cũng như trên trường quốc tế Dé tài cũng gợi mở và làm nảy sinh một số van dé cần

tiếp tục nghiên cứu cũng như có thể triển khai nó vào các đề tài luận án tiến sĩ và luận

— Chương 4 khảo sát bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa số

hạng đàn hồi nhớt và số hạng Balakrishnan-Taylor

— Chương 5 nghiên cứu bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến

chứa số hạng kiểu Balakrishnan-Taylor

— Chương 6 xem xét một hệ hai phương trình sóng đàn hồi nhớt phi tuyến kiểu

Kichhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor

Các bài toán khảo sát trong luận án này là cụ thể nên các công cụ đã có không

hoàn toàn đáp ứng và tương thích để giải được Chẳng hạn như, khác nhau về không

gian hàm, cách đánh giá nghiệm xấp xi, sử dụng các phép nhúng, : -, việc đó cũng

gây nên thách thức lớn cho việc nghiên cứu Ngoài ra sự xuất hiện của số hạng dạng

Balakrishnan-Taylor làm cho các yếu tô phi tuyến trong các bài toán phức tạp và khó xử

lý Cụ thể hơn, chúng tôi sử dụng các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến như: phương

pháp xap xi tuyén tinh kết hop voi xap xi Faedo-Galerkin có liên hệ với định ly điểm bất

động Banach cùng với các phương pháp compact yêu, phương pháp đơn điệu, phương

pháp khai triển tiệm cận, phương pháp phiém hàm năng lượng, - - , nhằm khảo sát sựton tại, duy nhất nghiệm yếu địa phương và một số tính chất nghiệm của các bài toán

biên cho phương trình hoặc hệ phương trình sóng phi tuyến dạng Kirchhoff-Carrier

chứa số hạng tắt dần kiểu Balakrishnan-Taylor được chỉ ra ở trên

Luận án chứa đựng nhiều kết quả mới, mở rộng hơn những kết quả đã được công

bồ trên các tạp chí khoa học uy tín trên thế giới [N1, N2, N53] Một phần các kết quả này

đã được báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang 14-18/8/2018,

Hội nghị khoa học lần thứ XII của Trường Đại hoc Khoa hoc Tự nhiên, DHQG-HCM,

18-19/12/2020, Hội nghị Toán học Miền Trung Tây Nguyên lần thứ 4, Trường Đại học

Sư phạm Huế, 24-27/08/2022, Seminar Bộ môn Giải tích, khoa Toán- Tin hoc, trườngĐại học Khoa học Tự nhiên, DHQG-HCM, 8/10/2022, Hội nghị khoa hoc lần thứ XIII

của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, 24-25/11/2022.

Chương 2

TỔNG QUAN

Như đã giới thiệu ở Chương 1, các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng

nói chung và các phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng

Balakrishnan-Taylor nói riêng đã và đang được nghiên cứu sâu rộng bởi các nhà khoa

học trong và ngoài nước với nhiều kết quả đạt được liên quan đến sự tổn tại nghiệm

và các tính chất thú vị của nghiệm Luận án này trình bày những kết quả của chúng tôitrong việc nghiên cứu một số bài toán biên cho phương trình và hệ phương trình sóngphi tuyến chứa số hạng Balakrishnan-Taylor Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan

về những nội dung có trong luận án

Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyếnkiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor trong miền một chiều

tụ — AM — ấy [pe (x tata (at), a(t) ee) 12) s]

+ [sit — $)Uxx(s)ds (2.1)

=F (ety uy tere, sera (u(),0(9), Iu@IỂ, eC) » (2-8) € Ôn,

liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

u(0,t) = u(1,t) = 0, (2.2)

hoặc điều kiện biên Robin-Dirichlet thuần nhất

ux(0,t) — hu(0,t) = u(1,t) =0, (2.3)

va diéu kién dau

u(x,0) = fio(x), w;(x,0) = (x), (2.4)

trong đó /, f, 8, io, ñ là các hàm cho trước; A > 0,h > 0 là các hằng số cho trước và

a(-,-) là một dang song tuyến tính đối xứng trên H! x HỶ được xác định bởi

nữa, số hạng (ux(t),Uxt(t)) = [sứ t)ux¡(x,t)dx xuất hiện ở dang song tuyến tính

a (u(f),;(£)) chứa trong các hàm phi tuyến „ ƒ được gọi là số hang

Balakrishnan-Taylor [2].

Phuong trinh có thể được coi là một dang tổng quát của các phương trình kiểu

Kirchhoff-Carrier chứa số hạng tắt dần Balakrishnan-Taylor Trong một số trường hợp

đơn giản hơn, nó được đưa về các phương trình sóng phi tuyến đã được nhiều tác giả

nghiên cứu Chẳng hạn, một trong những kết quả cổ điển nhất được nghiên cứu bởi

DAIembert, xuất phát từ việc khảo sát các dao động bé của một sợi dây đàn hồi với

hai đầu có định, tác giả đã thiết lập mô hình toán học như sau

Ou s0 u

O° ax’ (2.6)

trong đó c? là một hang số dương, u(x,t) là độ lệch của sợi dây so với vi trí cân bằng

tại điểm x và ở thời điểm t Một phương trình khác dưới đây tổng quát hơn đã được

thiết lập bởi Kirchhoff [59] vào năm 1876

trong đó u là độ lệch của sợi dây so với vị tri cân bằng, L là chiều đài sợi dây, h điện

tích thiết diện, E là module Young của vật liệu cấu tạo sợi dây, ø là khối lượng riêng,

và Po là lực căng ban đầu Phương trình này là nới rộng của phương trình sóng cổ điểnDAlembert mà có xem xét đến ảnh hưởng của sự biến đổi chiều dài của sợi dây trongquá trình đao động Năm 1945, khi mô tả dao động của một sợi dây đàn hồi có kể đếnlực căng có thay đổi nhỏ, Carrier thiết lập phương trình dạng

3*u L 3*u

Mô hình mở rộng phương trình sóng kiểu Carrier được nghiên cứu bởi nhiều tác

giả khác nhau, chẳng han trong các công trình [40], [55]-[54] Trong [40], Larkin đã xem

xét sự tồn tại nghiệm toàn cục, chính quy hoá nghiệm và sử dụng bat đẳng thức Nakao

5

chứng minh tinh tắt dan mũ của nghiệm đối với phương trình dang

un — M (x, t, || (ĐI) Au +g(x,t,u) =f (x,t), (x,t)eQOxR,, @9)

với O C RN là miền bị chặn có biên đủ trơn và điều kiện biên Dirichlet

Tiếp nối các kết quả cổ điển trên, cho đến nay các bài toán liên quan đến phươngtrình kiểu Kirchhoff-Carrier liên kết với các điều kiện biên và điều kiện đầu khác nhauvẫn được nghiên cứu rất rộng rãi bởi nhiều nhà toán học khác nhau Các bài toán biênnày xuất hiện trong các mô hình mô tả các hiện tượng trong Cơ học, Vật lý như: mô tảđao động của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bể mặt và tại biên, hoặc

mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn hồi

nhớt, hoặc mô tả sự lan truyền của sóng điện từ cao tần số trong môi trường điện môiphi tuyến Một số kết quả nghiên cứu liên quan có thể được sơ lượt như sau

Khi A = 0 va không có số hạng Balakrishnan-Taylor (x(£),„;(f)), phương trìnhcũng là một phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier Chúng ta có thể tìm thấy nhiều

công trình nghiên cứu, chẳng hạn như [8]-[12], [16], [20], [28]-[29], [35], [38], [44],

[48]-[50], [52], [55], [58], [61], [63], [65], [68], [72]-174J, [771 [81]- [83], [90]-[91], [94] và các

tài liệu tham khảo trong đó Trong các công trình này, nhiều kết quả liên quan đến sựton tại nghiệm địa phương, ton tại nghiệm toàn cục, khai triển tiệm cận nghiệm, dáng

điệu tiệm cận của nghiệm, tính tắt dần của nghiệm, tính bùng nổ của nghiệm đã được

nghiên cứu Chúng ta có thể nêu ra một số công trình tiêu biểu như sau

Năm 2001, Cavalcanti [8], đã xem xét bài toán biên cho phương trình dạng Kirchhoff

un — M (1, IV+|f) Au = 0, trong Q x (0,00),

u = 0, trên Fọ x (0,00), ou = g(„¿), trénT, x (0,00), (2.10)

1 (x,0) = uo (x) , ue (x,0) = uy (x), trong O,

với O là miễn bị chặn trong RN với biên T = To UT đủ trơn, M (t,s) > mo > 0 Các

tác giả chứng minh sự tổn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán mà không cầngiả sử dữ kiện đầu đủ nhỏ Hơn nữa, tuỳ theo điều kiện thích hợp của hàm g, tính chất

tắt dan mũ hoặc tắt dan đa thức của nghiệm cũng được thiết lập

Nhờ phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, Kim và Jung đã thiết lập sự tổn tại

toàn cục và tính duy nhất nghiệm của một phương trình kiểu Kirchhoff phi tuyến

tie — A(x)B (lu( \°) Uxx + Ku + Aup + uxt = 0, (x,t) € (0,1) x (0,7),

a(0)ux (0,t) —hou(0,t) = a(1)uy (1,t) + hyu(1,t) = 0, t € (0,T), (2.11)

u(x,0) = uo(x), ;(x,0) = uy (x), x € (0,1),

trong đó K, 7, ho và hy là các hằng số không âm; A và T là các hằng số dương cho trước;

Uo, Uy, a(x) và B, là các hàm cho trước Hơn nữa, năng lượng tắt dần của các nghiệm

và một số mô phỏng số cũng đã được nghiên cứu

Năm 2011, Triết và các cộng sự đã xét phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier sau

Ute — 2 B(x, t,u, \|20||7, ex |? )ue| = ƒ(x,t,m,ux,u;), <x<1,t>0, (2.12)

trong đó B, ƒ là các hàm cho trước Với điều kiện biên Robin và các dữ kiện đầu phùhợp, các tác giả đã chứng minh sự tổn tại và duy nhất nghiệm địa phương Hơn nữa,việc khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo nhiều tham số bé của nghiệm yếu cũng

được khảo sát.

Trong [90], Yang và Gong đã xem xét phương trình sóng dạng Kirchhoff có chứa sốhạng đàn hồi nhớt

t

un — M (IY+I?) Au +Í g(t—s)Au(s)ds + u = |u|? 2 u, trongQx Ry, (2.13)

với O là miễn bị chặn trong RN, M (s) =a + bs?,a,b > 0,7 > 1,p > 2 Các tác giả đã

xem xét sự tổn tại nghiệm và thiết lập các điều kiện đủ để chứng minh nghiệm của bàitoán bùng nổ ở thời gian hữu hạn với năng lượng ban đầu dương tuỳ ý

Đối với các mô hình bài toán biên liên quan đến phương trình sóng dạng Kirchhoff

có số hạng tắt dần mạnh Au; cũng là chủ dé nghiên cứu dành được nhiều sự quantâm Trong [66], Ono đã nghiên cứu sự ton tại nghiệm toàn cục và tính tắt dần mũ của

nghiệm bài toán biên cho phương trình

tị — Au; — ||VH||”T Au = |u|" u, trong O x (0,+©), (2.14)

với O là miền bị chặn trong RN, + > 0,ø > 1

Tổng quát hơn mô hình (2.14), Cavalcanti [9] nghiên cứu sự ton tại nghiệm toàn cục

và tính tắt dần mũ cho mô hình Kirchhoff có số hạng tắt dần mạnh

un —M (Jo |Vul* dx) Au — Au; = f trong O x (0,+©),

u = 0trénT, x (0, +00),

du oO (5

M (Jo |Vu)? dx) 2u Tay 3) = g trên Iọ x (0, +00),

u(0) = uo, ;(0) = uy trong O,

(2.15)

trong đó M € Cl(R,), M(s) > Ap > 0, Vs > 0; ƒ, @, Uo, Uy là các ham cho trước, © là

mở bị chan của RN có biên T = Tạ UT}

Năm 2013, Lin và Li đã sử dụng phương pháp giếng thế để chứng minh bài

toán có nghiệm toàn cục và thiết lập tính chất tat dan mũ của nghiệm bài toán biên cho

phương trình dạng

ur — Au; — M (IYsIf) Au = |u|P? u, trong © x (0,+00), (2.16)

với O là miền mở bị chặn cua RN, M(s) = a+bs?, y > 1, B > 2 Nam 2020, Araruna

và các cộng su [1] đã chứng minh được sự tôn tai duy nhất nghiệm, và tinh tắt dan của

nghiệm của bài toán biên cho phương trình

urn — MĨ (IYsI?) Au — Au; + h (u) = ƒ, trong O x (0,-+©), (2.17)

trong đó, nghiệm tat dan đa thức khi M (-) > 0, và tat dan mũ khi M (-) > mo > 0

Ngoài ra, bai toán biên cho phương trình sóng Kirchhoff chứa số hạng dan hồi nhớt

Wu va Tsai đã chứng minh được sự tổn tại nghiệm toàn cục, tat dan, va bùng

nổ trong điều kiện dit kiện đầu thích hợp Các tác giả đã thu được tính bùng nổ củanghiệm địa phương với năng lượng đầu dương đủ bé Với kết quả tat dan, các tác giảgiả sử rang tồn tại một hang số £ > 0: 9’ (t) < —Gg(t), Vt > 0 Sau đó, trong [89],

Wu đã cải tiến kết quả tắt dần với một điều kiện yếu hơn của hàm g (¢’ (£) < 0 với mọi

bằng, ọ > 0 là khối lượng riêng, E là mô đun Young, I là mô men quán tính mặt cắt

ngang, H là lực dọc trục (lực kéo hoặc độ nén), A là diện tích mặt cắt ngang,c > Ola

hệ số giảm chan nhớt, t > 0 là hệ số tat dần Balakrishnan-Taylor, 0 < t<1,0<9 <4

và N € Ñ Phương trình cũng liên quan đến phương trình dao động của bản và

bài toán lan toả được Bass và Zes [3] nghiên cứu Trong những năm gần đây, việc mở

rộng mô hình toán của nó được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Chẳng hạnnhư Boulaaras [4]-[5], Choucha [13]-[15], Feng [22]-[23], Gharabli [26], Gheraibia [27],

Ha [30]-{51], Hao [33]-[34], Kang [37], Lee [41]-[42], Liu [46], Mu [57], Park [67], Tatar [Ƒ8]-[7Ø], Tavares [80], Wu [88]-[89],- - -.

Năm 2010, Zarai và Tatar đã nghiên cứu sự ton tại nghiệm toàn cục và tắt dần

đa thức của nghiệm cho bài toán sau

trong đó O là một miễn bị chặn trong RN (N > 2) có biên đủ trơn, ơ, ốg 61 > 0,

p > 1 là các hang số, va g, uo, ị là các hàm cho trước Ở đây, tính tat dan đa thức của

nghiệm được nghiên cứu liên hệ với hàm g thoả điều kiện g’ (t) < —¢ (g ())?, với Š

là hằng số dương Năm 2011, trong bài báo [79], các tác giả cũng nghiên cứu được tính

tắt dần mũ của nghiệm yếu bài toán ứng với điều kiện g’ (t) < —Zg(t),g > 0

Hon nữa, trong trường hợp phương trình có thêm số hang A”w + vA*u, > 0 và điều

kiện biên Dirichlet-Newman u(x,t) = ou (x,t) = 0 trong T x (0, +00), kết quả bùng nổ

của nghiệm ở thời gian hữu hạn cũng được xem xét Sau đó, Mu và Ma mở rộng các

kết quả nay bằng việc chứng minh rằng nếu hàm g thoả điều kiện ø' (t) < —é (t) ¢ (t)

với ¢ (t) là hàm dương va không tăng thì năng lượng tat dần tổng quát

Năm 2020, Tavares và các cộng sự [80], đã xét phương trình chứa sO hạng với tat

dan Balakrishnan-Taylor nhu sau

uy + A?u — | ++|IVulỆ +5 |® (u,u,)|!?® (w,1)| Au +ku; + ƒ(w) =h, (2.21)

với (x,t) € Ax Ry, trong đó ®(w,wy) = I NO và Q là một miễn

bị chặn trong RN (N > 2) có biên trơn liên kết với điều kiện biên Dirichlet-Newman

u(x,t) = ie t) = 0 trong T x (0,+00) Bằng cách sử dung Co—ntra nhóm, các tác

giả đã nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán và sự tác động theo thời gian lớn đối với

nghiệm bài toán.

Trong một số kết quả gần đây, nhóm tác giả Choucha và Boulaaras đã dé cậpđến lớp bài toán liên quan đến phương trình sóng đàn hồi nhớt chứa số hạng tắt dần

Balakrishnan-Taylor và số hạng trễ như sau

lmy|P uy — (a +bl||Vu(Ð)|Ÿ to (Vu (t), Vur (t))) Au — Aun

+ a(t) [st —8) Au (s) đs + h (ur) = f (u), trong O x (0, +00)

u(x,0) = uo(x),ur(x,0) = u(x), trong O,

u;(x,—-t) = fo(x,t), trong O x (0,T2), u(x,t) = 0, trénT x (0,+00),

(2.22)

với O € RN là miền bị chặn với biên T đủ trơn, a,b,ơ > 0 là các hằng số, g, & là các

hàm dương, p > 0 ứng với N = 1,2 và 0 < ?p< wea ứng với N > 3,

bu) = By |u|" Pus + [ ` |8; (8) ue (t= 3|! ue (8) ds

vey

trong đó B, > 0,m > 1ứng với N = 1,2 và 1 < m < 345 ứng với N > 3,11 < T2

là các hằng số không âm sao cho 8; : [T1,T2] —› R đại điện cho độ trễ thời gian Trong

trường hợp hàm nguồn f () = 0, trong [13], các tác giả đã tìm được các điều kiện đủ

của dữ kiện bài toán và sử dụng phương pháp nhiễu năng lượng để chứng minh tính

tắt dẫn tổng quát của nghiệm bài toán trong đó bậc tắt dần phụ thuộc vào điều kiện

của hàm g mà trong các trường hợp đơn giản hơn có thể suy ra bậc tắt dần là hàm mũ,hàm đa thức hoặc hàm logarit Trong [15], nhóm tác giả này cũng công bố các kết quảtương tự cho trường hợp hàm nguồn dạng logarit f (w) = kư In ||, k > 0

Thông qua việc tìm hiểu và phân tích các công trình nghiên cứu liên quan, chúng

tôi nhận thấy rằng mô hình các bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến dạng

Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor nhận được ngày càng nhiều sựquan tâm nghiên cứu với nhiều kết quả thú vị liên quan đến sự tổn tại nghiệm địa

phương, nghiệm toàn cục, tính tat dan, tính bùng nổ nghiệm Tuy nhiên, trong cáctham khảo mà chúng tôi biết được, các tác giả chỉ mới xem xét các bài toán với tắt

dần Balakrishnan-Taylor với tính tuyến tính dang ơ (Vu(t), Vur(t)), tức là ơ là hằng

số, như trong [93] hoặc phi tuyến dang |(Vu/(t), Vi;(£))|f 2 (Vu(t), Vur(t)) như trong

[80] Trong trường hợp bài toán một chiều mà số hang Balakrishnan-Taylor xuất hiệntrong các hàm phi tuyến tổng quát ở cả về trái và hàm nguồn về phải mà theo hiểu biếtcủa chúng tôi, chưa có nhiều nghiên cứu Từ đó, chúng tôi đặt ra vấn dé liệu chúng

ta có thể sử dụng các phương pháp của giải tích hàm phi tuyến để khảo sát tính giải

được cho mô hình phương trình hay không? Hơn nữa, phương trình liên kết

với các điều kiện biên khác nhau với sự tương tác của các số hạng tat dần mạnh Au;,Kirchhoff, Carrier, Balakrishnan-Taylor, số hạng đàn hồi nhớt cùng với hàm nguồn, liệuchúng ta có thu được các kết quả về các tính chất đặc trưng nào đó của nghiệm haykhông? Từ những ý tưởng nghiên cứu như trên, chúng tôi tiến hành khảo sát hai bài

10

toán biên liên quan đến phương trình dạng và kết quả được trình bày trong hai

chương của luận án, Chương 4 và Chương 5.

Trong Chương 4, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tổn tại và duynhất nghiệm yếu của bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến đàn hồi nhớtkiểu Kirchhoff-Carrier với số hạng Balakrishnan-Taylor như sau

tụ — Att — [ye (X,t,e0e(),e(9), (ĐI, les(ĐIÊ) m;

Trong Chương 5, luận án trình bay các kết quả nghiên cứu về sự tổn tại và duynhất nghiệm yếu của bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chứa

số hạng kiểu Balakrishnan-Taylor như sau

tự — Attest — (ta (u(t), ue(t)) |eĐ|Ễ, ela) tà

=f (x teu ue mea (w(9),w()),||eĐIÊ, lela) €Qr — sp

ux(0,t) — hu(0,t) = u(1,t) = 0,

u(x,0) = fig(x), ur(x,0) = (x),

trong đó , f, 2, flo, ñ là các hàm cho trước, A > 0, > 0 là các hằng số cho trước,a(-,-) là một dang song tuyến tính đối xứng trên H! x H! được xác định bởi

a(u,v) = [ Uy(x)0x(x)dx + hu(0)ø(0), |lv||, = \/a(v,v), Vu,o € Hi.

Ngoài ra, chương này cũng trình bay một kết qua khai triển tiệm cận nghiệm yếu

của bài toán theo tham số bé h Chúng ta biết rằng, việc xác định công thức biểu diễn

tường minh cho nghiệm chính xác của một bài toán biên phi tuyến là điều rất khó.

Do đó, theo một cách nào đó, các nhà nghiên cứu muốn tìm hiểu nhiều thông tin về

11

nghiệm như nghiên cứu tính chất nghiệm hoặc các vấn dé xấp xỉ nghiệm Phươngpháp khai triển tiệm cận nghiệm, được chúng tôi trình bày ở đây, là xấp xỉ nghiệm

của bài toán bởi một đa thức theo tham số bé h, mà ý tưởng của nó được mô tả khái

quát như sau Giả sử nghiệm yếu của bài toán là một ham 3 biến u = u(h,x,t),(x,t) € [0,1] x [0,T], |h| đủ nhỏ Với mỗi cặp (x,t) cố định, nghiệm của bài toán làmột hàm h +> u(h,x,t) mà ta có thể nghĩ đến việc xấp xi hàm này bởi một đa thứcMaclaurin theo tham số h đến cấp N

N10

n9 = Yo giay (0x,Đ1P (2.25)

Tuy nhiên, điều khó khan ở đây là chúng ta không thé có được công thức tường

minh của nghiệm dung u(h,x,t), do đó chúng ta không thể tính toán các đạo hàm

với Y là một không gian phù hợp mà ta sẽ chỉ rõ.

Phương pháp này cũng được sử dụng thành công trong các công trình [19], [48],

[59]-[61], [63], [82], - Tuy nhiên, trong bài toán này tham số h trên điều kiện biên

cũng xuất hiện trong các thành phan a (u(t), u;(t)), IIz() ||? ở cả hàm phi tuyến và

ƒ, do đó các kỹ thuật áp dụng ở đây chưa từng được đề cập trong các công trình trước

đó.

Nội dung thứ hai của luận án, được trình bay trong Chương 6, dé cập đến một bàitoán giá trị biên và ban đầu cho hệ hai phương trình sóng phi tuyến xuất hiện trong

lý thuyết dao động của các vật liệu đàn hồi nhớt kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng

Balakrishnan-Taylor Mô hình mà chúng tôi nghiên cứu có dạng

với À > 0, > 0 là các hằng số và các ham fig, ñ1, 50, 01, Hạ fir 81 (i = 1,2) cho trước.

Hệ phương trình (2.27) cũng là hệ khá tổng quát mà nhiều trường hợp đơn giản

hơn của nó đã được xem xét trong nhiều bài báo Theo sự hiểu biết của chúng tôi, chưa

có một công trình nào thống kê day đủ về các bài toán giá trị biên và ban dau cho các

hệ phương trình sóng, do đó ở đây ta chỉ giới thiệu một số kết quả nghiên cứu được

công bồ gần đây có liên hệ dang gần với hệ (2.27); chẳng hạn một số kết quả gần đây

Trong [94], Zhao va Wang đã đạt được kết quả về tinh bùng nổ của nghiệm ở thờigian hữu hạn với năng lượng ban đầu dương tùy ý cho hệ phương trình sóng đàn hồi

nhớt sau

taut fa t—s)Au(s)ds + uy |us|" | = fi(u,ø),t > 0,x €Q,

vn — Ao + [ go(t— ' v(s)ds + 0¡ |øJ”1 = fo(u,v),t >0,x €O,

va diéu kién dau

trong đó, A; > 0,7; > 2 (¡= 1,2), Äi > 0,7 > 2 là các hằng số, 0, v; (i= 0,1), F,

f¡,; (L= 1,2), Hạ, G, 8, so là các hàm cho trước Dưới các giả thiết thích hợp, sự tồn

tại và duy nhất nghiệm yêu địa phương của bài toán được thành lập nhờ vào phương

13

pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin cùng với các lý luận trù mật Hơn nữa, các tác giả cũng đã

sử dụng phương pháp năng lượng để xem xét tính bùng nổ nghiệm ở thời gian hữuhạn và tính chất tắt dần mũ của nghiệm bài toán trên

Trong [71], Pigkin và Ekinci đã xét một hệ phương trình sóng Kirchhoff chứa các sốhạng đàn hồi nhớt có dạng

(2.30)

S ~ & oO I S oO — ¬ <4 = ~ & j=) `— |

¬ ~ R Y R an)

trong đó © là một miền bị chặn trong RN (N = 1,2,3) với biên trơn; pq>1,k,l,9,

ơ >0; fi(-,-) : I2 —› R là hàm cho trước, M(s) là hàm không âm Lipschitz địa phương

với s > 0 có dạng M(s) = bị + bys Các tác giả đã chứng minh được các kết quả về sự

ton tại toàn cục, tinh tắt dần tổng quát với năng lượng ban đầu dương, tinh bùng nổ ở

thời gian hữu hạn với năng lượng ban đầu âm

Trong [45], Wenjun Liu cùng các cộng sự đã nghiên cứu một hệ sóng Kirchhoff chứa

số hang đàn hồi nhớt và số hạng tat dần mạnh

được kết quả bùng nổ cho cả trường hợp điều kiện năng lượng ban đầu không dương

và trường hợp điều kiện năng lượng ban đầu dương tùy ý Cuối cùng là kết quả tắt dần

của nghiệm toàn cục dưới một số điều kiện thích hợp của hàm g; (i = 1,2)

Như đã dé cập ở trên, mặc dù có nhiều công trình công bố về hệ phương trình sóng

nhưng chúng tôi không tìm thay kết quả nào về hệ phương trình kiểu Kirchhoff chứa

14

số hạng tắt dần Balakrishnan-Taylor ngoại trừ kết quả của C Mu và cộng sự vào năm

2014 Trong [57], C Mu và J Ma đã xét hệ phương trình Kirchhoff đàn hồi nhớt có chứa

sO hang tat dan Balakrishnan-Taylor nhu sau

năng lượng của nghiệm là tùy ý.

Có thể nói rằng việc nghiên cứu các hệ phương trình sóng chứa sO hang

Balakrishnan-Tevlon ven còn nhiều vấn dé nghiên cứu còn bỏ ngỏ Từ đó, chúng tôi xem xét các bài

toán (2.27) đối với hệ hai phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier có chứa số hạng

Baoloidunan.Rylor Ngoài nội dung nghiên cứu về sự tổn tại và tính duy nhất nghiệm

của (2.27), luận án cũng trình bày một kết quả về tính tắt dan tổng quát của nghiệm

bằng phương pháp năng lượng với việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov phù hợp Các

kết quả nghiên cứu này được trình bày trong Chương 6 của luận án Đây là những kết

quả mở rộng và chứa dung các kết quả đã được công bồ trong bai báo [N2]

Ngoài những kết quả khá tổng quát được trình bày chi tiết trong luận án, trongnhững trường hợp riêng của các bài toán này, chúng tôi cũng đã thu được các kết quả

cụ thể đăng trong các bài báo và [N2].

Trong [Ni], chúng tôi xét một trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2), là bài

toán sau

tá = Amse — t (E(t) nae) eC? Irs(Đ|Ể) se

= f6,t,,uy,Mu (wx(f),tx(Ð), |p(Đ|Ễ, Ins(9|P), A) € Qrr ạay

u(0,t) = u(1,t) = 0,

u(x,0) = fig(x), ur(x,0) = (x),

trong đó A > 0 là hằng số, các ham fig, ñ4, f, js 1a cho trước Các kết quả thu được khi

khảo sát bài toán bao gồm: Sự tổn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương được

thiết lập nhờ phương pháp xấp xỉ tuyến tính, kết hợp phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact yếu; ngoài ra khi xem xét bài toán trong

Faedo-15

trường hợp = B (Iis.(21Ứ) +ơ((ux(f),ux¡(£))) và hàm ƒ = —Ayu; + ƒ (u) + F(x,t),

với các điều kiện phù hợp và sử dụng phương pháp năng lượng chúng tôi thu được

kết quả nghiệm của bài toán sẽ tắt dần mũ khi thời gian đủ lớn

Trong [N2], chúng tôi xét một trường hợp riêng của bài toán là bài toán sau

Hịt — ÀMxyxt — Tự tự (t), Uxt ) Uxx = fi (x,t, U,0,Ux0x, Ut,0¢), (x, F)€ Qr,

Ht — Mạ (tlle (||; 0)» = fy (x,t,u,0, Ux, Vx, Ue, 04) , (x,t) € Qr,

u(0,t) =u(1, A t) = vx (0,t) — Gv (0, t) =0,

) (u(x,0),0(x,0)) = (ño(x),ðo(x))„ (ue(x, 0), 04(x,0)) = (tr (x), O1(x)),

(2.34)

với À > 0, > 0 là các hằng số và các ham fig, ñ1, ðạ, Õ1, Uj, fi (i= 1,2) cho trước Chú

ý rằng bài toán (2.34) là trường hợp riêng của bài toán (2.27) khi

$1 =8 =0, Hy = Hy (bute („my (Đ)), Hạ = tạ (tle (ĐỂ, Ilex (OI?)

-Các kết quả nghiên cứu về bài toán bao gồm: sự tôn tại và duy nhất nghiệm

yêu địa phương được thiết lập nhờ phương pháp xấp xỉ tuyến tính, kết hợp phương

pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin và phương pháp compact yếu Ngoài ra, khi xét các trường

hợp riêng của các hàm /⁄, fly, ƒ1, fo và sử dụng phương pháp năng lượng, chung tôi

cũng khảo sát được tính tắt dần mũ của nghiệm yếu bài toán khi t > +œ

Ngoài phần mở đầu (Chương 1), phần tổng quan (Chương 2), phần phương phápnghiên cứu (Chương 3) và phần nội dung chính của luận án được trình bày trong bachương (4, 5, 6) như đã dé cập, luận án còn có các phan sau:

1 Phan kết luận va kiến nghị (Chương 7) Tóm tat các nội dung chính của luận án,đồng thời cũng nêu ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu

2.Tài liệu tham khảo.

3 Danh mục công trình của nghiên cứu sinh.

Toàn bộ kết quả được trình bày trong luận án này đã được trích từ bài báo vàcác bản thảo và tổng quát hơn và chứa đựng các kết quả của các bài báo

và như là trường hợp riêng.

16

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chương nay phân tích phương pháp, cách tiếp cận các vấn dé nghiên cứu cho các

bài toán được xét trong luận án Từ đó, các cơ sở lý thuyết, lý luận được thu thập một

cách phù hợp để sử dụng xuyên suốt luận án Các kiến thức trong chương này có thể

xem như một thư viện nhỏ của các kết quả cơ bản Các kết quả được trình bày ở đây làkhông mới và có thể được tìm thấy trong các cuốn sách giải tích hàm [6], [Z6], [95], vì

vậy hầu hết những chứng minh không được trình bay chỉ tiết

3.1 Phương pháp nghiên cứu

Xuyên suốt quá trình nghiên cứu đề tài, ngoài các phương pháp nghiên cứu khoa

học nói chung, chúng tôi sử dụng các phương pháp chuyên sâu trong chuyên ngành

phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nên chúng tôi tập trung vào các phương phápnghiên cứu cụ thể của giải tích hàm phi tuyến để giải quyết các bài toán đặt ra trongluận án Theo đó, luận án sử dụng các phương pháp như: phương pháp xấp xỉ tuyếntính, phương pháp xắp xỉ Faedo-Galerkin, phương pháp điểm bat động, phương phápđánh giá tiên nghiệm, phương pháp compact yếu, phương pháp đơn điệu, phươngpháp khai triển tiệm cận, phương pháp phiếm hàm năng lượng Lyapunov và một số

phương pháp phù hợp khác.

Đối với chủ dé khảo sát sự tổn tại và duy nhất nghiệm: trước tiên, luận án sử dungphép tính vi tích phân để thiết lập được định nghĩa nghiệm yếu của các bài toán đượcxem xét Sau đó, luận án áp dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phươngpháp xap xi Faedo-Galerkin có liên hệ với định lý điểm bắt động cùng với các đánh

giá tiên nghiệm phù hợp và phương pháp compact yếu để chứng minh được sự tổn tại

nghiệm yếu của các bài toán (2.23), (2.24), và (2.27), đồng thời cũng thiết lập được day

xắp xỉ hội tụ về nghiệm yếu của các bài toán tương ứng Tính chất duy nhất nghiệm

thường được chứng minh bang cách sử dụng bat đẳng thức Gronwall.

Đối với chủ đề thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán (2.24), luận án

sử dụng các công cụ khai triển Taylor của hàm nhiều biến với phần dư dạng tích phân

17

Đặc biệt Bổ đề về khai triển luỹ thừa đa thức một biến đóng vai trò quan trọng trong

các tính toán.

Đối với chủ đề khảo sát tính chất tắt dần tổng quát của nghiệm các bài toán và

(2.27), phương pháp phiém ham năng lượng Lyapunov được sử dung Việc xây dựng

một phiếm hàm Lyapunov phù hợp với từng bài toán cụ thể là mẫu chốt để đánh giá

tính tắt dần của nghiệm

3.2 Cơ sở lý thuyết

Phần này nhằm nhắc lại một số công cụ cùng với các ký hiệu các không gian hàm

thông dụng sẽ sử dụng chung trong toàn bộ luận án Các kết quả được nêu ra sau đây

có thể được tìm thấy trong các cuốn sách giải tích hàm [6], [17]-[18], [76], [95]

3.2.1 Các không gian hàm thông dụng

Định nghĩa các không gian hàm thông dụng được nêu trong nhiều tài liệu giải tích

Luận án sử dụng các không gian hàm sau W""? (O), LP (QO), H” (O), L? (Qr), -,

với O là khoảng mở của R, Qr = (0,1) x (0,T), T > 0 và có viết lại ký hiệu cho gọn

hơn trong trường hợp O = (0,1) :

wr? — W'"//(0,1), LP = LP(0,1), HTM = W"2 (0,1), 1< p < s, m= 0,1,

Ta cũng ký hiệu (-,-) để chỉ tích vô hướng trong LZ và ||-|| là chuẩn trong L2 sinh

bởi tích vô hướng nay, tức là ||-|| = \/(-,-) Nếu không gian Banach X nhúng liên tục

vào L2 và trù mật trong L2, ta đồng nhất L2 với đối ngẫu (L2) của nó Ký hiệu X’ là đối

ngẫu của X, ta có X > L2 = (L?)' —› X', với các phép nhúng liên tục và L2 = (L?)'

và trù mật trong X’ Khi đó người ta cũng dùng tích vô hướng (-,-) để chỉ cặp tích đối

ngẫu (-,-)x: x, tức là (ƒ,ø)x'x = (ƒ,ø), với mọi (ƒ,ø) € X' x X.

Trong toàn bộ luận án, chúng ta sử dụng các không gian hàm H!, H2, HẠ, H^n HẠ

các chuẩn sinh bởi các tích vô hướng tương ứng như sau

2 2\1⁄2

(mm = (0,0) + (wz„o), la = (lol? + lIelP) —„

2 2 2 1/2

(uu0p =- (0,0) + (ix, Ox) + (Wax, Pax), [Olle = (Moll? + llexll? + Inzl) —ˆ,

(up = (mm), [let = llell,

(1,2) qq = (Ux Px) + (sar Pxx), [Pll pean = (llexl? + [lexell”)

Cho ¢ > 0 Ta xét không gian ham

Khi đó, V là một không gian con đóng của HÌ, do đó V cũng là không gian Hilbert

và ba chuẩn ø +> ||0||¿m„ ø > ||øx||, ø ||ø|l„ = a (ø,ø) là tương đương trên V

Liên hệ giữa các không gian C° ([0,1])„ H1, Hà và V, ta có các bổ dé sau ma chứng

minh của nó có thể tìm thấy trong [6] và [95]

v3 lin < lløx|| < la < v1+ellpll, Yø € V.

Bổ đề 3.2.4 Cho c > 0 Dạng song tuyến tinh a (-,-) là liên tục trên V x V va cưỡng bức

trên V Hơn nita,

3.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn ||-|| và 1 < p < œ.

Định nghĩa 3.2.1 Không gian LP(0,T; X) là tập hợp gồm tất cả các lớp tương đương

chứa hàm đo được Lebesgue u : (0,T) — X sao cho lÌ#'ÏÌL»(o,r;x) < S, trong đó

Bổ đề 3.2.5 Không sian LP(0,T; X), 1 < p < œ là không gian Banach.

Bổ đề 3.2.6 Gọi X' là không gian đối ngẫu của X, va p' = poy Ui 1 < p < ® Khí

đó LP(0,T;X'") là đối ngẫu của LP (0,T;X) Hơn nữa, nếu X là không gian phản xạ thì

LP(0,T; X) cũng là không gian phan xạ.

Bổ đề 3.2.7 Đối ngẫu của Lˆ(0,T; X) là L®(0,T; X’) Hơn nữa, các không gian Lˆ(0,T; X)

va L®(0,T; X) là không phan xạ.

Bổ dé 3.2.8 Nếu X = L?(O) thì LP(0,T;X) = LP(O x (0,T)),1< p< ©.

Định nghĩa 3.2.2 Cho X là không gian Banach, ta định nghĩa một phân bố nhận giátrị trong X là ánh xạ tuyến tính liên tục từ D (0,T) vào X Tập hợp tất cả các phân bố

nhận giá trị trong X được ký hiệu bởi D’ (0,T; X), nghĩa là

Bổ đề 3.2.9 Nếu ƒ, ƒ' € LP(0,T;X),1 < p < œ thì ƒ bằng hầu khắp nơi uới một hàm liên tục f : [0,T] + X.

3.2.3 Hàm riêng của dạng song tuyến tính trên khơng gian Hilbert

Bổ đề 3.2.10 (ÍZ6Ì], Dinh lý 7.7, trang 87) Cho ¢ > 0 Khi đĩ, tồn tại một cơ sở trực chuẩn

{w;} của L2 chứa các hầm riêng tÙ, tương ting tới các giá trị riêng A; sao cho

Mặt khác, các hàm t0; thỏa man bài tốn giá trị biên sau

—À; = Ajt;, trong (0,1),

Bjx(0) — (0) = B(1) = 0, € Vn\C®(8).

3.2.4 Bổ đề về khai triển luy thừa da thức một biến

Chúng ta sử dung các ký hiệu sau Với một đa chỉ số a = (a1, - ,&wy) € ZN, và

x = (#,::: ,XN) € RN, ta đặt

|x| =a, + -+an, a! = 04! - ay,

x4 = ahh x,

a, BEZN, a< B= a¡ < B„ Ví =1, -,N.

Bổ dé 3.2.11 Chom, N € Đ,x = (xị,: ,xn) € RN, oth € R Khi đĩ

Bổ dé 3.2.12 Với N EN, (xo,: ,xN), (Vo, - yn) € RỲ*1, oth € R Khi đó

Chứng minh Chứng minh các bổ dé này là dé và chúng tôi không trình bày chỉ tiết =

3.2.5 Một số bat dang thức cơ bản

Bat đẳng thức Cauchy

2ab < ea* + CÓ, Va,b ER, Ve > 0.

Bat dang thức Young

Cho p,q € (1,00), p-!+q7! = 1 Khi đó

eP e 4

Bat dang thức Holder

Cho p,q € (1,00), p>! +q7! = 1 Khi đó, nếu ƒ € L? (QO) va g € L1 (O) thi ta có

J 1/8I4x < |flise lgllrai:

thi S(t) = 0 ưới hầu hết t |0, TỊ.

Cuối cùng để tiện theo dõi, chúng tôi có một số lưu ý như sau

— Chúng tôi sử dụng thuật ngữ "nghiém yéu" để chỉ nghiệm của một bài toán giá trị

biên-ban đầu theo một định nghĩa sẽ quy định cho bài toán của mỗi chương

— Các ký hiệu Cr, Kr, Vr, Wi(T), Br(M), và W(M,T) được sử dụng trong các

chương 4, 5, 6 Tuy nhiên chúng có thể khác nhau trong những trường hợp khác

nhau (sẽ được nói rõ).

Trên cơ sở các phương pháp và công cụ được kể ra ở trên, chúng tôi đạt được một

số kết quả nghiên cứu cho các bài toán đã đặt ra trong luận án Các kết quả nghiên

cứu và phân tích, đánh giá, thảo luận sẽ được trình bày trong ba chương (Chương 4, Chương 5, Chương 6) sau đây.

23

Chương 4

Bai toán Dirichlet cho phương trình

sóng phi tuyến chứa số hạng đàn hồi

nhớt và số hạng Balakrishnan-Taylor

41 Giới thiệu

Nội dung chính của chương này là khảo sát phương trình sóng phi tuyến

tự — Attest — ấy |M (x,t,0(,Ð), (nx(),ma(9), lIr()|Ể,lrs(ĐIỂ) sài

+ [ g(t —8) Uxx (s) ds (4.1)

=f (ety uy te, tey Use, (nx(),a(9), Ie(ĐIỆ, Ius@)|Ể), (x,Ð) € Or,

liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

u(0,t) = u(1,t) = 0, (4.2)

va diéu kién dau

u(x,0) = ño(*), ur(x,0) = M(x), (4.3)

trong đó A > 0 là hằng số va fig, ñ, pt, g, f là các hàm số cho trước thoả một số điều

kiện sẽ được chỉ ra sau.

Trong mục 4.2, chúng tôi chứng minh các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

yêu địa phương của bài toán bằng thuật giải xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương phápxap xỉ Faedo-Galerkin và phương pháp compact yếu Trong mục 4.3, tính tắt dần tổngquát của nghiệm yêu được chứng minh bằng cách xây dựng một phiếm hàm Lyapunov

thích hợp Các kết quả được trình bày ở đây là tổng quát và chứa đựng các kết quả

đã được công bồ trong bài báo VỚI = ỊI (t, (x()„wx(Ð)}, ||u(f) |Ễ, ole ,

f =f (x,t, u, uy, ut, (Ux(t), Ue (E)), |lue(£)||*, lle (£)||?) như là trường hợp riêng.

24

4.2 Sự tôn tại và duy nhất nghiệm yếu

Mục đích chính của mục nay là khảo sát sự ton tại và duy nhất nghiệm yếu dia

phương của bài toán (4.1)-(4.3) Trước hết, cho T* > 0 cố định, chúng tôi thành lập các

giả thiết sau

(Ai) — ño,ñ € Hạn H7,

(Ao) „ec C?([0,1] x [0, T*] x Rˆ x R2) và tổn tại hằng số „ > 0 sao cho

u(z) > w, > 0,Vz € [0,1] x [0,T*] x R? x R2,(A3) g € H'(0,T*),

(A2) f € C'((0,1] x [0,T*] x R° x R2)

Dinh nghĩa 4.2.1 Một ham u duoc gọi là nghiệm yếu của bài toán (4.1)-(4.3) néu

u € {v € L®(0,T;HẠn H?) : ơ' € L®(0,T; HẠ n H?),0" € L2(0,T; HẠ) nL®(0,T;L?)},

va u thoả man phương trình biến phân

(u" (t),0) + Mut, (E),ø (t) ux (t) , 0x)

fu] (xt) =f (xu, tt, (ux (E), w(t), Ir(ĐIỆ, lIrz(Đ)1)

-Để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu và các không gian hàm như sau

Với mỗi M > 0 cho trước, ta đặt Ky = Ky(f), Km = Km() là các hằng số được

lần lượt là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng như sau (Lions [95])

lolly, max { l?|ÌL~(o;n2) / |? ÌÌL> (on) ’ #”|Ìiz(x;m) } ;

ll?lÌw,(r) ll0llco((or;) + Ilo" || c0((0,7);12) + II ÌÌiz(ozz„)

Trước hết, sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, kết hợp với các đánh giátiên nghiệm và lý luận về tính compact yếu, ta chỉ ra sự tổn tại của dãy {um} men.

Sau đó, ta sẽ chứng minh day {ư„}„en hội tu, trong một không gian hàm thích hợp,

về nghiệm yếu của bài toán (4.1)-(4.3) Cuối cùng, tính duy nhất nghiệm cũng được

chứng minh bằng cách sử dụng Bổ đề Gronwall

4.2.1 Sự ton tại của dãy lặp tuyến tính

Định lý 4.2.1 Giả sử (A1) — (Aq) thoả mãn Khi đó tồn tại hai hằng số dương M, T sao cho,

uới ug = 0, ton tại một dãy quy nạp {um }men C W (M,T) được xác định bởi - (4.9).

Chứng minh Chứng minh Dinh lý 4.2.1 gồm 3 bước

Bước 1 Xap xi Faedo-Galerkin (Lions [95]) Xét {whey là một cơ sở của HẠ được

xác định bởi những hàm riêng w; của toán tử —A = -% sao cho —Aw; = Ajw;,

w; € HẠ 1 C®([0,1]), w; (x) = v2sin (j7x), Aj = (jz), j c Ñ Đặt

k k k

tự (t) = Yo cụ (0), (4.10)

với các hệ số chu (t) thoả mãn hệ phương trình vi tích phân tuyến tính

(ấn (E),40,) + (tiger () , je) + (Mạ CE) Hy (E) jx)

ot

= [ g(t—s) (ult) (8), wjx)ds = (Fn (t),w;), 1< j <k, (4.11)

trong đó

flor = yi-1 ww; — fig mạnh trong Hả n HỆ, (4.12)

Ty, = yi Bw; — il, mạnh trong Hậ n H? ,

Hệ (4.11)-(4.12) được viết lại dưới dang

củi (0) = al, At) (0) = BY, 1<j<k,

trong đó a\") (t) = (jt (£) Wix, Wx), 1 <i, < k

Sử dụng định lý điểm bat động Banach, chúng ta sẽ chứng minh trong bổ dé dưới

đây rằng hệ (4.13) có duy nhất nghiệm c“) (t),1 < j < k trên [0, T].

mj

27