Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Nghiệm số của hệ phương trình nước nông với đáy phẳng bằng phương pháp sai phân hữu hạn cân bằng

GIỚI THIEUHiện nay bài toán Cauchy tổng quát cho hệ phương trình bảo toàn vẫn chưa tim được nghiêm chính xác.. Do đó chúng tôi tiến hành nghiên cứu tim nghiệm x4p xì bằng phương pháp sai

BỘ GIAO DỤC VÀ DAO TẠO TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

————(————

&Sp DAI HOC

TP 5 »P MINH

DANG THI THUC QUYEN

KHOA LUẬN TỐT NGHIỆP

CHUYEN NGÀNH: TOÁN UNG DUNG

TP HO CHi MINH, nam 2022

BỘ GIAO DỤC VÀ DAO TẠO TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

————(————

&Sp DAI HOC

TP 5 »P MINH

NGHIEM SO CUA HE PHUONG TRINH

NƯỚC NONG VOI DAY PHANG BANG

Người thực hiện: Dang Thi Thục Quyên

Người hướng dẫn khoa học: T.S Đào Huy Cường

TP HO CHÍ MINH, năm 2022

Người thực hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp

32

PHOS 34

TAI LIỆU THAM KHAO 43

LỜI CẢM ƠN

Dưới sự dẫn dat và hướng dẫn của thay Cường, tôi đã hoàn thành bài khóa luân tắt nghiệp

của mình Tuy nhiên không thể tránh khỏi sư sai sót, mong các quý thay cô và các ban có thể

góp ý, rút kinh nghiêm để bài khóa luận được chính xác nhất, hoàn thiện nhất Cudi cùng, tôi

xin chan thành cam ơn thay Đào Huy Cường đã tan tình hướng dan chúng tôi trong thời gian

vừa qua Ngoài ra, tôi cũng cảm ơn những người ban cùng đồng hành với tôi đã giúp đỡ, hỗ

trợ tôi những lúc khó khăn.

Töi xin cam đoan khóa luận này do chính tôi thực hiện, các thông tin trích din trong khóa

luận đều được ghi rõ nguồn gốc.

Thành phố Hỗ Chí Minh, năm 2022

Sinh viên thie hiện

Dang Thi Thục Quyên

GIỚI THIEU

Hiện nay bài toán Cauchy tổng quát cho hệ phương trình bảo toàn vẫn chưa tim được nghiêm

chính xác Do đó chúng tôi tiến hành nghiên cứu tim nghiệm x4p xì bằng phương pháp sai

phan hữu han trong trường hợp cu thé là hệ phương trình nước nông đối với đáy phẳng Muc

tiêu của bài khóa luãn này là kiểm định phương pháp số Lax-Friedrichs cho nghiệm xắp xỉ hồi

tụ đến nghiêm chính xác tốt như thế nào dựa trên nghiệm chính xác của bài toán Riemann đã

được trình bày trước đó.

Bài khóa luận này gồm có hai chương, chương | nói về những kiến thức chuan bị cho bài khóa

luận, chương hai là sử dụng phương pháp số Lax-Friedrichs cho hệ phương trình nước nong với

đáy phẳng và kiểm định phương pháp số bằng phần mềm Matlab

Chương 1

KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hệ luật bảo toàn

Cho 2 C RP là một tap mở Giả sử trên © xác đình hàm khả vi liên tục với giá trị véc-tở f:Q—> Re.

Dang tổng quát của hệ luật bảo toàn một biến không gian là

fy

được gọi là các ham thông lượng Ta nói rằng hệ được viết dưới dạng bảo toàn

Dang tổng quát của hệ luật bảo toàn hai biến không gian là

u; + ƒ(u), + g(u),=0, (x,y) € R?t>0

Dang tổng quất của hệ luật bảo toàn ba biến không gian là

ty + flu), + g(u), +h(u), =0, (z,w,2z) € #°,£ >0.

: isikSp

5

Gọi ma tran Jacobi cha f{u) là

Người thuc hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp

Khi đó hệ phương trình bảo toàn {L1} được viết lai là

u; + A(uju, = 0.

Hệ {1 được gọi là hyperbolic nếu với mỗi € 2, ma tran Afi) thừa nhân p giá tri riêng

Mau) Às(u) SS Apu).

Hon nữa, nếu tắt cả các giá trị riêng Ay là phân biệt:

À¡(0} < Ag(u) < +++ < Apfel),

thì hệ {1} được gọi là hyperbolic ngặt.

1.2 Bài toán Cauchy, bài toán Riemann

Bài toán Cauchy déi với hệ {1.1 là bài toán tìm hàm +: R x [Ú, ) > 2 là nghiệm của {1}

thỏa mãn diéu kiện dau

u(z,() = uạ(+), 2 ER (1.2)

Dac biệt, nếu điền kiện dau có dạng hằng từng khúc

up, © <0,

uo(z) = u x>O0R, 4 Ũ

thì bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán Riemann.

Ví dụ 1 Phương Đình đối lưu thuyền tính I chiều

ư, + (au)„=0, rER t>0,

trong đó a là hing số cho trước, « = u(x,t) là ấn hàm can tìm thỏa điều kiện ban đầu

(œ,Ú) = uạ(+), zœe€ BE.

Theo B] ta có nghiệm của bài toán Cauchy này là

Khóa luân tốt nghiệp Người thực hiện: Dang Thị Thục Quyên

trong đó, u(x,t) là dung tích riêng của chất khí,

tu{z, t) là van tốc,

p{x,t) là 4p suất

Với khí lý tướng đẳng entropy, ta có phương trình trang thái

Đ=p(U} =KR-U”, w>U l<*+< s

(hu) + | hu? + >i = 0, zclRt>0,

trong đó, A(x, t) là chiều cao tính từ đáy đến mặt nước,

u{a,t) là van tốc dòng nước,

1.3 Nghiệm cổ điển, nghiệm yếu

Định nghĩa 1.3.1 Ham vu: Rx (0,00) => 9 được gói là nghiệm cổ điển của bài todn Cauchy

(1) {t3 nêu œ là hàm khả vi liên tực va thỏa mãn các phương trình {7.1 ! (1.9) tại timg

điềm.

Xét bài toán Cauchy {L1}, {1.2} và giả sử uọ(z) € //E(/8)” Giả sử u là nghiệm cổ điển và

hàm y € Œ2°(R x Í0,s))" Ap dụng công thức Green ta được

= -[ | (ur + f(u),) dxdt

o JR

= LỊ (use + f(w)„) dadt + f ns(2)e(z,0)dz

» R R

Nghĩa là nghiệm cố điển œ thỏa mãn đẳng thức tích phan

[ | (uy, + ƒ(u)ø;} dzát + / u(x, 0)¿{z,0]dz+ = 0 {1.3}

a JR R

Rõ ràng {t3} có nghĩa chi với giả thiết uạ(z) € LER).

Cho dit là ug trơn (thuộc lớp C?), thì tới một lúc nào đó, nghiệm u(x,t) sẽ "khong còn tron",

ví dụ như phương trình Burgers Do đó ta cần khái niềm "nghiệm yếu”.

Trong khái niệm nghiệm yếu ta chỉ yêu cầu vp, u khả tích địa phương

7

Người thực hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp

Định nghĩa 1.3.2 Hàm u € LEAR x 0,%])" dược gói là nghiệm tiếu của bài toán Cauchy

{.i) {1.4) nêu u(+,Ê) € Q hầu khắp vd théa man uới bat kỳ hàm thứ € C@#(Rx|0,})?.

1.4 Nghiệm của bài toán Riemann

1.41 Sóng sốc

Sóng sắc kết nối hai trạng thái bền trái Ứy với trang thái bén phải Up là nghiệm yếu có dang

+ a ) Un, 4 <at, U(a,t) = Up, a>et, (1.4)

trong đó, vận tốc sốc o của sóng gián đoạn phải thỏa mãn bắt dang thức Lax sốc sau

(Uy) > (Ur, Up) > (Un), i= 1,2 (15)

Ta gọi là một i— vận tốc Lax sốc nếu vận tốc sốc ø = o{U,, UR) thỏa man bắt dang thức Lax

séc.

Diéu kién Rankine-Hugoniot

Sóng sắc là một nghiệm yếu của bài toán Cauchy khi va chỉ khi U,, Up, ¢ thỏa diéu kiện Rankine

U{2z,th=< V (7) , &t<a< &t, (1.7)

Trong đó, £ = „ và là một hàm trơn với Wf(£¡) = wy, V(£;) = tự.

Tuy nhiên không phải với trang thái tùy ý nào của Ứy va Up cũng có nghiệm dang này Trong trường hợp tổng quát, khi bắt đẫu tại trạng thái bên trái Ủy có za đường cong bao gỗm trạng thái bên phải Up có thể kết nối với Ủy bài một sóng giãn nếu AU.) < AfUR), i = 1,2.

Trong 2} đã chứng minh được rằng,

8

v=

Khóa luân tốt nghiệp Người thực hiện: Dang Thị Thục Quyên

Ta phan hoạch phẳng x — t bằng cách chia déu thành các mắc lưới có độ rộng là h = Ax và

một bước nhảy thời gian là & = At, và ta định nghĩa các điểm lưới phân biết (z;,£„) là

Phương pháp sai phân hữu han sẽ tao ra day xap xi UP € #'" tien đến nghiệm w{z;,f„) tại

những điểm lưới phân biệt Giá trị của nghiệm đúng được biểu thi bằng

uy = u(x; Ea).

Nhung khi md rộng các phương pháp cho các luật bảo toàn, người ta thường xem U? như một

xắp xi trung bình tích phân của u(2,t,) được định nghĩa bdi

1 T/+L/?

uw | {(z, t„)da (1.9)

h #;—l/2

hơn JA một xắp xi giá trị từng điểm uP.

Ham ban dau trong phương pháp số ta ding up{x) để định nghĩa 9, giá trị từng điểm U? = x?

hoặc } = Tý

Hd sử ta đã có day {UƑ};¿z là xắp xỉ cho nghiêm yếu u(x,t) ở thời điểm t = ¢, tai các

điểm nút r = #y

Dé tìm dãy {U?*”},¿z xấp xỉ cho nghiệm yếu u(z,f£) ở thời điểm £ = fa + Af tại các điểm nút

x = x; bằng phương pháp sai phân hữu hạn ta chỉ cần xấp xi các đạo hàm riêng uy, và

f{u), bởi các công thức sai phan thích hợp, chẳng hạn:

ụm" _[n

(rytu) — (sai phân tiến),

U7)— FUG a

-FU), |x;¿.) Tàu A) (sai phân trung tâm).

Roi rac hệ luật cân bằng w, + f(u), = 0, chẳng han:

nh —U" /ƒ(u?) — /(U?) :

Ai 2Ar

uy

0,

Người thực hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luận tốt nghiệp

1.5.2 Sai số toàn cục và sự hội tu

Chúng ta can quan tâm nghiêm số U} gan đúng với nghiêm chính xác như thé nào, khi đó ta

có định nghĩa sai số toàn cục là sai phân giữa nghiệm đúng với nghiêm số Dé thuận tiên hơn

trong việc nghiên cứu, ta thường xét sai số từng điểm như sau

i? = U; ¬ uy {1.12)

Ta cũng có ham sai số

với [f¿(z,£) là hàm hằng từng khúc với mọi z và ¢ từ những giá trị phân biệt UP

Ux(a,t) = UP với (x, t} € (w;_3,a5_1) X [fas Ea): {1.14}

Với những định nghĩa này, ta nói một phương pháp là hồi tu theo một chuẩn |Í - || nào dé nếu

|| Ex(-, £)|| —> 0 khi k — 0 (1.15)

với mọi £ > 0 cỗ định, với mọi giá trị ban dAu wp

Trong bài khóa luân này, ta sử dụng chuan-1 với định nghĩa như sau, và kế từ đây về sau, khi

nói đến chuẩn nghĩa là chuẩn-1 đã được định nghĩa.

Dinh nghĩa 1.5.1 Cho một ham ludi phân biệt U" ta dùng chudn-1 được định nghĩa hải

(orth =3 — UF (1.16)

J

Ta cũng có thể hiểu theo ý nghĩa

"li = WUC ted lh.

Khóa luân tốt nghiệp Người thực hiện: Dang Thị Thục Quyên

Vi dụ Hàm Hy trong phương pháp có dang

Hu(U"s 5) = UP — sạc [KU — AUP].

Tuy nhiên, dé nghiêm số dat được tiệm cận đến nghiệm chính xác dua trên định nghĩa sai

số toàn cục 1A một điển không đề, Thay vào đề ta sử dung sai số chặt cụt địa phương và

su én định của phương pháp để ước tính sai số toàn cuc từ sai số địa phương.

1.5.3 Sai số chặt cụt địa phương

Sai số chặt cut địa phương L„(z./) là phép do độ tốt của mô hình phương trình sai phân

so với phương trình vi phân một cách cuc bộ Và sai số chat cụt địa phương được định nghĩabằng cách thay thế nghiệm xắp xi UP? trong phương trình sai phân bởi nghiệm đúng #(z,,fa).nghiệm đúng của phương trình vi phan riêng chỉ là một nghiệm xắp xi của phương trình sai

phan Nghiêm đúng thỏa mãn phương trình sai phân như thế nào tức là nghiệm chính xác của

phương trình sai phan cũng théa man phương trình vi phan.

Vi dụ Xét phương pháp Lax-Friedrichs che hệ phương trình tuyển tính w+ Au, = 0, vdi A

= Ai [er - (UP atl ?n)| + Ain — Uj ,] = 0.

Nếu bay giờ ta " L7 bởi nghiêm chính xác tại những điểm tương ứng, về trái sẽ không đạt

được bằng 0 một cách chính xác, mà thay vào đó ta được sai số chat cut địa phương là

L,{2,t) = - 7 [ute t+k}— (ul — Ù,!) + u(œ + h, ay] +5 + Al jee(a +h, t)—ufla—h,t)) (1.17)

Theo |Ð 2 ta có

|| Laf-,£}|| < Crk với mọi k < kp, (1.18)

với hing số Cy phụ thuộc vào điều kiện đầu ug.

Khi đó, phương pháp Lax-Friedrichs được gọi là chính xác cấp 1 vì sai số cục bộ phụ thuộc

tuyến tính vào È.

Định nghĩa 1.5.2 (Tương thích) Phương pháp là tương thích néu

|E„(- t)|Í — 0 khi & — 0 {1.19

Định nghĩa 1.5.3 (On định), Phương pháp gói là ổn định nếu với mỗi thời gian T cá một

hang số C, vit một giá trị ky > 0 sao cho

HEI] < Cy vei mọi nk < T, k < ko (1.20)

trong đó, chỉ số trên của Hy chi lũy thừa của nó và

Fer] = mp HEU") |] (1.21)

Jom | ad

II

Người thực hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp

1.5.4 “The Lax Equivalence Theorem

Day là một định lý cơ bản vẻ sự hội tu cho phương pháp sai phan tuyến tinh

Dinh lý 1.5.1 (The Lax Equivalence Theorem) Điều kiện can va đá để hội tu là tương thích

va ổn định.

Chứng minh chi tiết được trình bày ở El:

1.5.5 Điều kiện CFL

Trong 2} nói rằng một điều kiện đủ để một phương pháp dn định là miền phụ thuộc của phương

pháp sai phan hữu hạn nến bao gồm cả miễn phụ thuộc của phương trình vi phần riêng, it

nhất trong giới hạn khi kh — 0 Day được gọi là điều kiên CFL

Vi dụ Dieu kiện CFL đổi tới phương pháp Lax-Friedrichs cho hệ phương Đình tuyên tính

uy + Au, = 0 ới A là ma trận hang là

Apk h

<1.

trong đó A, là các giá trị riêng của A.

1.5.6 Lược đỗ cân bằng

Như [2] nói rằng để phương pháp số khong hội tụ đến võ nghiệm đồi hỏi phương pháp phải ở

dang bao toàn, nghĩa là

ue = UP = 2 [Fur UR sen: VU) — FUR 5 Uf Ue )| - (1.22)

với F là ham của p+ q+ 1 đối số F được gọi là hàm thöng lượng số

Trong trường hợp đơn giản nhất, p = 0,q = 1 thì F là hàm hai biến Khi đó trở thành

FU}, Ufa) = SUF - Ufa) + 5 [AUP + FORD) (1.25)

e Một diều kiện đủ để lược dé cản bằng tương thích là thông lượng số #(-,) liên tuc

Lipschitz.

Ta nói F là Lipschitz tai uw nếu tồn tại hằng sé K > 0 (có thé phụ thuộc vào u) sao cho

#F{u,u} — ƒ(u)| < K max(Ít — ul, jee — ul),

với mọi v,w với |v = ul và fw = z| đủ nhỏ.

Ta nói F là hàm liền tục Lipschitz nếu nói Lipschitz tại mọi điểm.

12

Khóa luận tốt nghiệp Người thuc biện: Dang Thị Thục Quyên

e Một điển kiện đủ để lược đỗ cân bằng ốn định là Af phải thỏa mãn CFL.

Bài toán có nghiệm là một sóng sốc đi từ trang thái Uy, đến Up Diễn này sẽ được trình bày rõ

hơn ở chương sau.

Hình 1.1: Nghiệm chính xác và nghiêm xap xi của bài toán được tính toán bởi lược đỗ khôngcân bằng

13

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG

VỚI DAY PHANG

2.1 Xuất xứ

Khi nghiên cứu chuyển động sóng của nước nông với day phẳng dẫn đến một hệ các định luật

bảo toàn với cau trúc tương tự Xét chất long trong một đồng chảy nhỏ, giả sử vận tốc doc

không đáng kể, và vận tốc ngang u(x,t) hau như không đổi (diéu này là đúng néu nh ta xét

trên những sóng có biên độ nhé mà tương đối nông so với độ dai sóng) Ta giả sử chất lẻng

không nén được, vì thé mật độ Øø không đổi, độ cao h(z,£) thay đổi, và tổng khối lượng trong

(#i,#a| tại thời điểm ¢ là

+2

tổng khối lượng trong [1,22] = | ph{z, t)da.

ay

Động lượng tai mỗi điểm là Øu{z, t) và tích phan này theo chiéu thang đứng cho ta thông lượng

khối là Pole, Hh(w, 1) Khả dé hang số ø được giản lược trong phương trình bảo toàn khi lượng,

và trở thành dang

hạ + (uh)„ = 0 (2.1)

Phương trình bảo toàn đồng lượng cũng có dang tương tự phương trình Euler

(phy), + (phù? + p)„ = 0, (2.2)

nhưng bây giờ Ap suất p được xác định bằng luật thủy tĩnh, tức là ấp suắt tại đô sâu là pay,

với ø là hằng số trọng trường Tích phân theo chiều thẳng đứng từ = 0 đến = hí(z.#) cho

ta tổng áp suất kết đính tại (z,£), áp suất thích hợp trong một động lượng đòng chảy là

1 P= 79h

Thay vào và loại bố ø ta được

: |

(hủ), + G + sah?) = (2.3)

lỗ

Người thuc hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luân tốt nghiệp

Chú ý rằng hệ phương trình II tương đương với phương trình đăng Entropy trong

trường hợp + = 2.

Ta gọi hé phương trình E1) là hệ phương trình nước nông với đáy phẳng.

Hình (2.1): Mô hình nước nông với đáy phẳng

2.2 Hệ phương trình nước nông với đáy phẳng

Mô hình nước nông đáy phẳng

trong đó, h(r,t) là chiều cao tính từ đáy đến mặt nước,

u{z,t) là van tốc dong nước,

ø là hằng số trọng trường.

h Với U = „ ta có ma trận Jacobi của F{U) là

Khóa Inge tất nHẾp —Si!hy:Nệa: Đặng ThỊ Thục Quyên

Dé thay,

AU) < À;¿(U).

Do đó hệ Hyperbolic nghiêm ngặt trên R* x ER.

2.3 Nghiệm của bài toán Riemann cho hệ phương trình

nước nông với đáy phẳng

Ta xét hệ phương trình nước nông 1 chiều như sau:

hy + (hu), = 0,

(hu), + (mu? + sat?) =0.

Như đã được bàn trong fa} ta tìm hiểu các tính chat của đường cong chap nhãn được.

2.3.1 Sóng sốc

Dau tiên, ta xét đường cong sốc từ trang thái cho trước bên trái Uy = (hạ, ua) bao gdm tắt cả

trạng thái bên phải U = (hk, u) có thể kết nối với Up bởi một sóng sốc Khi đó, từ hệ phương

trình nước nông với đáy phẳng ta có U và Uy thỏa điều kiên Rankine - Hugoniot

Người thực hiện: Đặng Thị Thục Quyên Khóa luận tốt nghiệp

Do đó, ta có hai đường cong sốc là

aig dt eth = file cóc 28

Khi đó, đường cong sắc—1 8;(Ea} bat dau từ trang thái bên trái Up và bao gồm tắt cả trang

thái bên phải U có thé được kết nối với Uy bởi mốt sốc Lax được liên kết với trường đặc trưng

thứ nhất là

1 1

ẤS)(U@}: u = uy(Ì, Ug) = ug — TAG = ho) h Ie’ h> hạ.

Tương tự, đường cong sốc=2 So{Ug) bat đầu từ trang thái bén trái Up và bao gồm tat cả

trạng thái bén phải LU có thể được kết nếi với Uy bởi một sốc Lax được liên kết với trường đặc

Khóa luận tốt nghiệp Người thuc biện: Dang Thị Thục Quyên

B6 đề 2.3.1 (Dường cong sốc) Che trước trang thái bên trái Uy, đường cong sốc—1 Sy(Uo)

bao gồm tắt cả trang thái bên phải U có thể được kết nổi vdi Uy bởi taột sắc Lax được liên kết

uới trường đặc trưng thứ nhất là

, , 1 1

Đường cong sốc=2 S¿(Ua) bao gầm tắt cả trạng thái bên phải U cá thể được kết nốt với Uy

bài một sắc Lax được liên kết uới trường đặc trưng thứ hai là

S2{(Ug}: u = valk, Uo) = ua + ser — hạ} + =, h < hạ (2.11)

2 h họ

Với bat đẳng thức sốc Lax, ta cũng có đường cong s6c—1 ngược lại Š?(U¿} bất đầu từ trạng

thái bên phải Uy và bao gém tat cả các trạng thái bên trái L có thể kết nối với Uy bởi một sốc

Lax được liên kết với trường đặc trưng thứ nhất là

ŠP(Uo): u = ạ(h, Ua) = trọ — vu — ha) + x h < họ (2.12)

Ua(+) =A=) oy, 2>0

Khi đó nghiệm sóng sốc của bài toán có dang