Nếu 4 0 hoặc y: =0 thì C trùng với điểm B hoặc điểm A Nếu Ap = 0 với A = B thì ta có thể viết
8.4. Một hệ tiên đề khác của hình học Galoa
Gọi S là tập hợp những điểm mà ta gọi các tập con của nó là các
không gian con. Mỗi không gian con liên kết với mỗi số nguyên d, d được gọi là số chiểu, d thỏa mãn : -l <d<n với n là số nguyên cố định lớn hơn 2 cho trước. Một không gian con có số chiều là d được viết là Ms. Xét các mệnh dé sau :
(P¡*). Với mỗi d =-1, 0, I...., n; tổn tại 1 không gian con [li thỏa
mãn:
(a). Có duy nhất [h.1) , chính là tập rỗng
(b). Những con không gian con Th là những điểm của Š
(c). Có duy nhất Ih, chính là S
(P;*). Nếu [Ù clh thì r <Ss, nếu r = sthì [1 = Tk
(P;*). IhớAIk= Th
(P¿*). Nếu Tin là giao của tất cả các không gian con chứa cả Th và IlLvà nếu [E Of = Th thi:
m+t = r+es
(Ps*). Đường thẳng chứa đúng q + ! >3 điểm
Định lý
Nếu S thỏa mãn các mệnh dé từ (P,*) đến (Ps*) thì S la khong yo
xạ ảnh Galoa cấp q
Như vậy, có rất nhiều hệ tiên để của *',h¿ gout xa ảnh Galoa, tương tự như vậy ta có thêm một hệ tiên để khác của \uw yan afin
Galoa .
(A,"). Hai điểm thuộc đúng một đường thẳng duy nhất
(A;*). Với mọi điểm P và đường thẳng | không chia P, có đảng một
đường thẳng |' chứa P và song song với |
(A;*). Nếu PP; và P3P, là hai đường thẳng song song và P là |}
điểm trên P,P, khác P;, P; thì có một điểm P' trên PP› và (A,*). Nếu P¡ ,P›,P; là 3 điểm phân biệt không nằm trên một đườngPP;
thẳng thì đường thẳng |, di qua P› và song song với P;P› và
đường thẳng |; đi qua P; và song song với PP; có một điểm chung P (As*). Cá một đường thẳng chứa q >2 điểm (Ag*). Tên tại hai đường thẳng không song song hoặc không cỏ một điểm chung
Xuất phát từ việc xây đựng hình học xạ ảnh cổ điển bằng phương
pháp toạ độ trên trường số thực và những kết quả nghiên cứu về trường
Galoa ta xây dựng không gian xạ ảnh hữu hạn trên trường Galoa tương tự
như đối với hình học xạ ảnh cổ điển, Tuy nhiên, do tính chất đặc trưng của
trường Galoa mà hình học xa ảnh hữu hạn - Galoa có những tính chất khác với hình học xạ ảnh cổ điển.
§1. Định nghĩa
Cho q = p’ với p là số nguyên tố, r là số tự nhiên khác 0. Cho
V=V,.¡„ là không gian vectơ n+! chiều trên trường F = GF(q). Xét quan
hệ tương đương trong các phần tử thuộc V\{ ð ] mà mỗi lớp tương đương là
một không gian con | chiéu của V _ trừ vectd 0. Có nghĩa là, nếu:
x,y €V\[0}, x tương đương `với y nếu y =tx , với teFA\(0}, tức
là : y,=tx,,Vi=0, I,....n, va x =(x), y =(y,). Khi đó, tập hợp các lớp
tương đương là một không gian xạ ảnh hữu hạn n chiêu, kí hiệu là P„„
Cỏc phan tử của P;„ được gọi là điểm, lớp tương đương của vectơ ô là điểm X , ta cũng nói rằng x là vecto đại điện cho điểm X. Trong trường
hợp này, thìtx ,t F\(0} cũng là vectơ đại diện của X
Một hệ r điểm (r >2) Xj, Xz, ..., X, được gọi là độc lập nếu các
vectơ đại diện cho chúng độc lập tuyến tính
Với m=-Il, 0, l,....n; phẳng m chiều, hay còn gọi là m-phdng của không gian xạ ảnh hữu hạn P,,, là tập hợp các điểm mà các vectơ đại diện
cùng với vectơ 0 lập thành một không gian con m+! chiéu của V kí hiệu
là P„. Ta có, hệ gồm r+I vectơ độc lập tuyến tính sẽ sinh ra không gian vectơ r+l chiéu V,,; „ từ đó sinh ra một r-phẳng. Như vậy, hệ r+1 điểm là độc lập nếu chúng không nằm trên một (r-I)-phẳng nào và có duy nhất một r-phẳng chứa chúng.
e (-1)-phang là tập rỗng e 0-phẳng chính là điểm
e© 1-phdng gọi là đường thẳng e 2-phẳng gọi là mặt phẩng
e (n-])-phẳng gọi là siéu phẳng
Tập các m- phẳng của P,„ được kí hiệu là P7
Siêu phẳng chính là tập hợp các điểm X, với + = (x¿.Xị...X„) thỏa
man phương trình tuyến tính :
UyXo + UX; +... UX, =O
trong đó: u=[Uo,t,...,U,} € F*”\ {|0.0,....0]]
Một m-phẳng P„ là tập hợp các điểm mà vectơ dai diện của chúng X = (Xo,X),....X,) thỏa mãn phương trình :
Ax =0
với A là ma trận (n-m)x(n+l) có hạng là n-m, hệ số trong F
§2 Mục tiêu xạ ảnh và toa độ xạ ảnh
Gọi V không gian vectơ liên kết với P„„, giả sử { e,.e,...,.. } là 1 cơ sở của V . Trong P„„, gọi E,, i=1, 2, ..., n+1, là các điểm nhận E, làm vectơ đại diện và điểm E là điểm nhận vectơ :
`.
làm vectơ đại điện. Tập hợp gồm n+2 đi điểm {E,, E¿,.... Enei ; E} gọi là mực
tiêu xạ Ảnh ứng với cd sở (s,, 2.„.... se, }