Ta biết rằng các phép hoán vị của một tập hợp gồm n phan tử lập
thành một nhóm đối với phép nhân các ánh xạ, vì tích hai tuyến phép công tuyến là một phép cộng tuyến và nghịch đảo của một phép cộng tuyến cũng là một phép cộng tuyến nên tập hợp các phép cộng tuyến lập thành
một nhóm con của nhóm các phép hoán vị, ta gọi chúng là nhóm cộng tuyến.
Vi dụ : Giả sử trong mặt phẳng xa ảnh cấp q = 2 ta có phép công
tuyến <w,À> như sau:
x.(12345 67 -yef' 234567
ơ\3 3,4 RGR a MIP BTS ASS
Phép cộng tuyến này không có điểm kép va đường thẳng kép Ta có : x’ =e với e là phép đồng nhất.
Ta gọi cấp của phép cộng tuyến <z,A> là số tự nhiên r bé nhất mà T=e (lúc đó ta cũng có A‘ =e), với r =2 phép cộng tuyến được gọi phép đối
hợp.
86. Chú ý:
Trong mặt phẳng xa ảnh cổ điển với 2 tứ giác ABCD và A'B'C'D' không suy biến, ta có phép công tuyến duy nhất x,,.
x=(4 ® C€ Ð
lf Fe CD
Trong mặt phẳng xa ảnh Galoa định ly này vẫn đúng nhưng trong mặt phẳng hữu hạn nói chung định lý này không đúng vì ta biết rằng trong
một mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn có thể có hai loại tứ giác :
- Tứ giác thông thường là tứ giác có các điểm chéo tạo thành một
tam giác.
- Tử giác Fano là tứ giác có các điểm chéo thuộc một đường thẳng.
Nếu chọn tứ giác ABCD là một tứ giác thông thường và A'B'C'D'
là một tứ giác Fano thì hai tứ giác đó không xác định cho ta phép cộng
tuyến.
Đối với mặt phẳng xạ ảnh Galoa thì mọi tứ giác trong đó đều hoặc là tứ giác thông thường (nếu trường Galoa là trường đặc số lẻ), hoặc đều là tứ giác Fano (nếu trường Galoa là trường đặc số chẳn) nên định lý này vẫn
đúng.
§9. Biểu diễn các mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn
Chúng ta biết rằng với q e Z” \{ | } ta có các mặt phẳng xa ảnh hữu hạn cấp q song để chứng minh sự tổn tại của các mặt phẳng xạ ảnh hữu
hạn trong trường hợp tổng quát hay nói một cách khác là tìm cách mô tả biểu diễn tất cả các mặt phẳng xa ảnh hữu hạn cho đến nay vẫn là một vấn dé chưa giải quyết được của toán học. Để chứng minh sự tổn tại của các mặt phẳng xạ ảnh ta phải xây dựng các mô hình thỏa mãn hệ tiên dé I.
9.1. Cách xây dựng mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn bằng phương pháp sơ cấp
Trên vòng tròn tâm O ta chia vòng tròn thành n cung bằng nhau:
n=q°+q+l =2C), +1.a
Goi P\, P2, Ps, .... P„ là các điểm chia lấy theo một thứ tự nào đó trên đường tròn. Các điểm chia là đỉnh của một đa giác đều n cạnh, gọi © là
góc ở tâm chấn các cung bằng nhau ta có:
no) = 21,
Với một cặp điểm P,, P, với i + j ta có một dây cung. Ta phân loại
các dây cung này theo độ dài của chúng và tại mỗi điểm bao giờ cũng có 2C?,, dây cung đồng qui tại điểm đó
Bây giờ ta chọn trong n đỉnh của đa giác đều lấy ra q +1 đỉnh và nối chúng lại sao cho đường gấp khúc được tạo nên gồm các dây cung có độ
dài không giống nhau và ta có C?,, loại đây cung khác nhau.
Trong trường hợp cụ thể với q = 4 (hình 2.9a) ta có ngũ giác lồi
L= P.P;P‹P;;Py;.
Nếu nối các đỉnh của ngũ giác này ta có đủ 10 dây cung có độ dài khác nhau, nếu ta quay đa giác L quanh tâm O một góc bằng bội œ theo hướng nhất định nào đó ta sẽ có một vị trí mới của L . Gọi L; là vị trí đầu
tiên và ta xết tập hợp các đa giác L¡, Lạ, ....L, (trong đó Ly là đa giác được
tạo nên bởi đa giác L; sau khi quay một góc (k - 1)@ theo một hướng nhất
định nào đó )
Giữa tập hợp n điểm P\, P¿,..., P, và tập hợp n đa giác Lạ, Lo, ..., L,
có mối quam hệ sau đây:
a. Nếu j,k=l,2,...n và j # k thì có một đa giác L, duy nhất
mhận P, và P, làm đỉnh.
b. Néuj,k=1, 2,...,n và j z k thì có một điểm P, duy nhất là đỉnh
của đa giác L, và Lạ.
c. C6 một tứ giác P,P,P¿P, trong đó không có 3 đỉnh nào thuộc da
giác Lin.
Ở day ta có một sự tương tự giữa các tính chất trên với các tiên để
liên thuộc Ii. Nếu ta gọi đa giác đều { P\, P;,..., P„ ) là mặt phẳng xa ảnh
hữu hạn, cácc đỉnh của đa giác này gọi là các điểm và các tập con là các đa giác Lạ, Lạ, .... Lạ được gọi là các đường thẳng thì các mệnh dé trên chính
là các tiên để I,, lạ, ly áp dụng vào mô hình này.
q=4 n=2l, L,={1,2,5,15, 17).
q=5 n=31 , L,;={1,2,4,9,13, 19 ).
q=6 n=43, không có.
q=7 n=57, L,={1, 2,4, 14, 33, 37, 44, 53 ).
q=8 n=73, Lị={|l,2, 4, 8, 16, 32, 37, 55, 64 ).
q=9 n=91 , L,={1, 2,4, 10, 28, 50, 57, 62,78,82).
Theo trên ta thấy rằng với q = 6 ta không có cách nào biểu diễn mặt
phẳng xạ ảnh hữu hạn.