Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Hàm Green trong mặt phẳng

Theo sự phát triển thì việc giải các bai toán biên một chiều tuyến tinh lần lượt được nghiên cửu kỹ, tiếp sau đó các nha nghiên cứu tìm cách mở rộng khái niệm ham Green cho những bài toá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN ~ TIN HỌC

.——————————~ — ee ee SS SS eee

LOI NÓI BAU

Hàm Green là một khái niệm xuất phát từ việc giải bai toán giá trị biênhay thường gọi là giải phương trình đạo hàm riêng với điều kiện rang buộc nào

đó trên biên mà khới xuất là bài toán giá trị biên một chiêu cụ thê sau:

Tim ham w thỏa mẫn:

Dat ham Œ/x;y) như sau:

sin kysin & (! x) —

Íf(x>)G(x:y)#»-Hàm G/x;y) là hàm hai biến và được gọi là hàm Green cho bai toán ( 1), (2).

Như vậy, ta thấy rằng việc giải bài toán giá trị biên bây giờ chuyển

thành việc xác định hàm Green cho bai toán giá trị biên.

CEHPETE Ngàn Văn ĐANG ge

SVTH: Vai Đức Sửu

Hàm Green trong -—-————————~—~——=~ —_——_—_—_———~—— =m=S=ễ==S=========—=——~mat phẳng

Mở rộng cho bài toán giá trị biên với toán tử vi phân tuyến tính Z như

Sau:

Tim ham u thỏa man:

Lu=~ ƒ

với / là một ham cho trước.

vả thỏa mãn điều kiện biên

u(0)=u(/)=0

Lúc này, tùy vào toán tử vi phân tuyến tính Z mà hàm Green được xác định.

Theo sự phát triển thì việc giải các bai toán biên một chiều tuyến tinh

lần lượt được nghiên cửu kỹ, tiếp sau đó các nha nghiên cứu tìm cách mở rộng

khái niệm ham Green cho những bài toán giá trị biên với số chiều lớn hơn va

cho toán tử vi phân bat ky M Trên thực tế, những phương trình đạo hàm riéng

cỏ nghiệm cổ điển, đặc biệt là những nghiệm tổn tại trong toàn bộ miễn xác

định (thường goi là nghiệm toàn cục) là rất ít Nhưng rõ ràng là cần phải tìm

nghiệm của các phương trình không có nghiệm cé điển để lý giải các hiện

tượng thực tế mà chúng mô tả Thông thường, yêu cầu bài toán là tìm một ham

số xác định trên một miền nhất định Do đó ta thường gặp bài toán dạng như

sau,

Tim ham xác định trên một miễn Dc R" thỏa mãn

Mu =-ƒ

và thỏa man điều kiện biên nào đó, giả sử

u=g trên GD với g là một hàm cho trước.

hoặc

Ow - 0 trên ðD.

ax

SVTH: Vũ Đức Sửu

Ham Green trong mặt phdmg CỐ

Vi du bài toán Dirichlet cho phưrơng trình Laplace:

Tìm ham + xác định trên một miền Dc 8* thỏa mãn

Au=0

và thỏa mãn điều kiện = g trên @D với g là một hàm liên tục cho trước.

Lúc nay, ta thay rằng việc giải bai toán giá trị biên trở thành việc tim hàm Green cho bài toán đó Tuy nhiên, vì ham cần tìm xác định trên một miễn

D cho trước, nên ham Green phụ thuộc vào miễn xác định D của ham can tìm.

Tùy vao cấu trúc của miễn D mà việc xác định ham Green đơn giản hay phứctạp Nếu cấu trúc hình học của miễn D đơn giản thì việc xác định hàm Green sé

dé dàng hơn.

Không chỉ có những ứng dụng trong việc giải các bài toán giá trị biên,

trong nhiều lĩnh vực toán học trong đó có giải tích phức, lý thuyết thé vị vả

trong khoa học vật lý, hàm Green có những ứng dụng khá rộng như: dùng hàm

Green đưa ra những chứng minh định lý một cách nhanh chóng và ngắn gon,tính toán và đánh giá các đại lượng như độ đo diều hòa, dung lượng, đa

thức, chính xác và khá gọn.

Luận văn nảy trình bày những kiến thức về ham Green trong mặt phẳng

phức mo rộng và đưa ra một vài ứng dụng trong lĩnh vực giải tích phức một

chiêu va ly thuyết thé vị phẳng Luận văn chia làm 3 chương:

Chương |: Trinh bày những kiến thức cơ bản về giải tích phức, lýthuyết thé vị phẳng và một vải kiến thức vé giải tích thực làm cơ sé để nghiên

cứu những chương sau.

Chương 2: Giới thiệu vẻ định nghĩa của ham Green và những tinh chất

đặc trưng của hảm Green.

Chương 3: Trinh bay một số ứng dụng của hàm Green trong giải tích

phức lý thuyết thé vị phẳng

Luận văn kết thúc bằng những những nhận xét tóm tat, những hạn chế

và hướng nghiên cứu trong thời gian tới,

GVHD: TS Nguyễn Van Đông Se

SLTH: Va Đức Sửu

ee, ———=

Em chân thành cảm on thay Nguyễn Văn Đông là người trực tiếp giảng

dạy cho em những kiến thức nẻn tảng và giúp đỡ em rất nhiều trong khoảng thời gian em nghiên cứu van dé này Mặc dù bận rộn với công việc nhưng thayvẫn dành thời gian chi dẫn, sửa chữa dé luận văn của em được hoàn chỉnh hơn

Em gửi lời cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - tin trường Đại học Su Phạm TP.HCM đã giáng dạy nhiệt tình và cung cấp cho em những kiến

thức cần thiết để em hoan thành tốt luận văn này.

TP Hé Chi Minh, ngày 12 tháng 5 năm 2009

Sinh viên thực hiện

VŨ ĐỨC SỬU

GVHD: TS Nguyễn Van Đông Pe

SVTH: Vũ Đức Sửu

MỤC LỤC

Lời nói đẦUu -e« e==e=seee=seseesesessss=seesessrse=s=sesseesesassssssassasseseesese l

Mục lục -~~ ~~~~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~*~~S~~~~e=**ee=eeerrerrrererer~erre~e=~==~~~=~e 5

Các kí hiệu sử dụng -~ ~-~-<~-~==~===s<x=ee=s==s=rrrrsrsrassessereeseee 6

Chương 1: Các định nghĩa và tính chat chuẩn bị - s7

1.1 Hàm điều hòa ~ -~~~<~~<<==zz=ezeeeeeeeeeeeeereerreeseeseereeerre 7

1.2 Bài toán Dirichlet trên hình tròn - 8

1.3 Hàm điều hòa đương -~ ~ ~~ ~«-~===============e=er~szsererereeeee 9 1.4 Ham điều hỏa đưới -0 0 - = 10

1.5 Thế Vị ->-====<sse=e====e==ee==essee=r===eeeee=eeeesree==eees=zeeeee 12 LG aaaaanannaaaaanaaaainnS 1.7 Độ đo cân bằng -~-~ ~~~-==========seeeeeessesseeseee 14 1.8 Điểm ki dj bỏ được -~ ~-~-~~-~ ~==>~~~x==~==~~================~ 15 1.9 Toán tử Laplace suy rộng -~ -« ==se=rseeeeee=ee 15 1.10 Tinh méng -— -— -— -— - 17

1.11 Nghiệm của bài toán Dirichlet - 18

1.12 Tiêu chuẩn chính quy-— -— -— - 20

Chương 2: Hàm Green -~-~-~~~~<~~~~~~=e=ee==~=e=r=r==e~=r=eeeeee 21 2.1 Độ đo điều hòa — -— -— - - 2]

2.2 Định nghĩa và tính chất ham Green - 28

2.3 Tính toán ham Green trên một số miền đơn gidn - 35

Chương 3: Áp dụng của ham Green -— - 39

3.1 Định lý ánh xạ Riemann -~-~-~-«~-~~~~~~~+=<==~~+=~===~~==szzz~~=ee 39 3.2 Công thức nghiệm của bai toán Dirichlet mở réng - 42

3.3 Đánh giá độ đo điều hòa -~-~-~~ -=-~-~-~<======+====e=ezeeee —

3.4 Tính toán dung lượng ~~ -~-==-~=x~e~~~=~e>xere~e===erexrrrnrrrre=== 58

3.5 Xấp x! đa thức e « ======e==e===sn=se====zs==z===essemeesesaeeesee 63

Kắt tận ————————_———_—_——aEnETnitmtremitrooomeeeeove 72

Tài liệu tham khảo -~ ~-~-~=~==rrssiseiiiikeissssesesse 73

GVHD: TS Nguyễn Văn Đông

-$-SVTH: Va Đức Sửu

supp /: giá của độ đo ¿

supp¢: giá của hàm ¢

OD: biên của D

Ð,D: biên ngoải của D

int(D): phần trong của D

điam( D): đường kính của D

dist(z,D) = inf {|z — w{,w e D}

const: hang số thực

g.k.n: gần khắp nơi

H(D): tập tất cả các hàm diéu hòa trên D

S(U): tập tất cả các ham điều hòa đưới trên U

C"(D): tập tất cả các hàm khả ví liên tục đến cấp n trên D

C, (D): tập tất cả các hàm liên tục có giá compact D

C"(D): tập tắt cả các ham khả vị vỏ han lan trên D

CƑ7(D): tập tất cả các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên

GVHD: TS Nguyễn Văn Đông

SVTH: Vũ Đức Sửu

Ham Green trong mặt hang

phon Bate — a TEE

Chương I

CAC ĐỊNH NGHĨA VA TÍNH CHAT CHUAN BỊ

Như đã giới thiệu, ham Green là một khái niệm xuat phat và được nghiên

cửu ban dau trong R" Sau đó, ham Green được mở rộng ra cho mặt phẳng

phức mớ rộng Luận văn nay trình bày hàm Green trong mat phẳng phức mở

rộng một chiều Đó là một trong những khái niệm quan trọng trong lý thuyết thế vị phẳng Nó được xảy dựng dựa trên những hàm điều hòa và một số hiểu

biết vẻ ly thuyết thé vị phẳng Chính vi thế, chương | luận văn trình bày ngắn

gọn những kiến thức và kết quả cơ bản của giải tích phức va lý thuyết thé vịphẳng nhằm cung cắp những vật liệu thật sự cần thiết cho chương 2 và chương

3 như: khái niệm hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới, thế vị, năng lượng tậpcực, độ đo cân bằng, mở rộng toán tử Laplace, giới thiệu bài toán Dirichlet, tậpmỏng và một số tính chất quan trọng và hữu dụng của chúng.

1.1 Hàm điều hòa

Định nghĩa 1.1.1 Cho U là tập con mé của C Hàm £:U ->Ä được

gọi là hàm điều hòa nêu f e C?(U) và Af =0 trên U

Tập hợp các ham điều hòa trên U được ký hiệu là H(U)

Định lý 1.1.2 Cho D là một miễn trong C,

(a) Nếu / là hàm chinh hình trên D và w = Re / thì ue H(D)

(b) Nếu we H(D) và D là miền đơn liên thì tổn tại hàm chỉnh hình f

trên D sao cho = Re f Hơn nữa, các hàm f như vậy chi sai khắc nhau một

hang số

Đây là kết quả chi ra mối liên hệ giữa hai lớp hàm: hàm điều hòa vàhàm chỉnh hình Kết quả này cung cắp cho chúng ta những ví đụ phong phú về

các ham điều hòa

GVHD: TS Nguyễn Văn Đông sy

SVTH: Vũ Đức Sửu

.—_———————~——=—=r—=T=—=——— ——————~———=——=——=—=———~—==S=== ee

Như một hệ qua của Định lý 1.1.2 ta có Định lý giá trị trung bình cho

hàm điều hòa

Định lý 1.1.3 (Định lý giá trị trung bình) Cho / là hàm điều hoà trên

một lân cận mở của dia tròn đóng B(@, 2) Khi đó:

f(œ) = s„ [fos pe" xi0.

1.2 Bài toán Dirichlet trên hình tròn

Định nghĩa 1.2.1 Cho miễn Dc Cva ø:êÐ => R là hàm liên tục Bai

toán Dirichlet yêu cầu tìm một hàm điều hoà f trên D sao cho:

lim /(z) = @(œ) VweoD.

eo

Định ly 1.2.2 (Định lý duy nhất) Với các giả thiết đã cho trong định

nghĩa trên, có không quá một hàm / thoả mãn bài toán Dirichlet.

được gọi là nhân Poisson.

(b) Nếu A = B(w, ø) và @:ôA -> R là hàm khả tích Lebesgue thi ta gọi

hàm 2 @: A -> RR xác định bởi:

z-@

P

thé hon với r <p va 0<f<2Z tacó:

P,ø(z)= "| ve” los pe* ao (z © A) là tich phân Poisson Cụ

1 is p-r

Poo +re")=— [=P — qw+ pe*)d0 iia? ip -2preo\O-t+re HỘP “

Định lý 1.2.4 Với các gia thiết nêu trong định nghĩa trên ta có:

(a) P@e H(D).

GVHD: TS Nguyén Văn Đông MẸ

SVTH: Va Đức Sửu

(b) Nếu ø liên tục tại @, € OA thì lim P.g(z) = @(@, ).

7",

Hon nữa nếu ø liên tục trên OA thi f = Pg là nghiệm bai toán

Dirichlet trên A.

1.3 Ham điều hòa đương

Trong phan nảy ta sẽ đưa ra một số tính chất của ham diéu hòa dương.Hàm điều hòa dương ở đây được hiểu là hàm điều hòa không am Đầu tiên làmột định lý mang tên “Bat đẳng thức Harnack".

Định lý 1.3.1 (Bất đăng thức Harnack) Cho ở là một ham điều hòa

dương trên B/z,R) Khi đó, với r < #8, ge [0,2 z | thi

R-r PM oo

Rap 6) SMetre )s 7

Hệ quả 1.3.2 Cho D là một miền trong C_ và z,@ € 2 Khi đó, tổn tại

số r sao cho với mọi ham điều hòa dương A trên Ð thi

Nhận xét: r,„(z,ø) >1 và nếu D là một miễn con của C, thì r„ là một

ham liên tục trên D.

Định lý 1.3.4 (Định lý Harnack) Cho (2,), là các hàm điều hòa trên

A(z).

miễn D trong C_ và gid sử rằng A, sh, <h, < trên D Khi đó, hoặc A, > x

déu địa phương hoặc A, >A déu địa phương, với # là hàm điều hòa trên D

~~“—=——————————~=—=————=——————————————~—~m===eceyeeễeeEễeeSE SE SEEĂSEE SE SE SA Sen Son Sen Xe" Xe Sm

GVHD: TS Nguyễn Van Đông

-9-SVTH: Va Đức Sửu

1.4 Hàm điều hòa dưới

Ham điều hòa dưới được định nghĩa dựa trên hàm nửa liên tục trên nên ta

giới thiệu khái niệm hàm nửa liên tục trên trước tiên Sau đó, ta giới thiệu

Nguyên lý cực dai cho ham diéu hòa dưới và đưa ra một số tiểu chuẩn xác định

một hàm là điều hòa dưới (Định ly 1.4.4, 1.4.5, 1.4.6 và 1.4.7) Đây là các kết

quả quan trọng vả được sử đụng thường xuyên trong những chứng minh ở

chương 2 và chương 3, Và cuối cùng là một khang định tinh khả tích Lebesgue

của các ham điều hòa dưới mà không đồng nhất bằng -90.

Định nghĩa 1.4.1 Cho không gian topo X Ta nói hàm uw: X =»[ =œ,2 )

là nửa liên tục trên nêu tập { x€ X :w(x)< c} là mở trong X với mỗi ce 8.

Ham v là nửa liên tực đưới nếu —v là nửa liên tục trên

Hàm u:X —>[ =3, ) liên tục © ¿ nửa liên tục trên và nửa liên tục

dưới trên X

Định nghĩa 1.4.2 Cho U là tập con mở của C Hàm u:U ->[-%,®)

được gọi là diéu hod đưới nêu w là hàm nửa liên tục trên và thoả mãn bat đẳng

thức trung binh đưới địa phương

ie

VœeU,3p>0:w(@)<z— ful + re” )dt,0 <r <p

Hàm v:U —>[—z,%) được gọi là điểu hoà trên néu—v điều hoà dưới.

Tập tất cá các hàm điều hoà dưới trên được kí hiệu là S(U),

Định lý 1.4.3 (Nguyên lý cực đại) Cho miền 2< € và ue S(D)

(a) Nếu nhận giá trị cực đại toàn cục trên D thì u = cons.

(b) Nếu limsupu(z) < 0 Vợ côD thi w <0 trên D

Định lý 1.4.4 Cho là tập con mở của C và uw: —>[=œ,%} là ham

nửa liên tục trên Khi đó các khang định sau tương đương:

(a) we S(U).

SVTH: Va Đức Situ

Ham Green trong mặt phẳng

(b) Nếu Ö(@.ø)c U thi với 0<r< Ø.0<!<2Z:

Định lý 1.4.6 (Định ly dán) Cho U là tập con mớ của C, V 1a tập con

mở của và uc S(U), ve S(V) thoả man

limsupv(z) < u(@) (@ U eV),

Khi đó, nêu

= max(u,v) trén V

“ | trên U\V

thi we S(U),

Định lý 1.4.7 Cho U là tập con mở của C và (u,),., < $(U), với

u, 2u, > trên U Khi đó us lim, cS(U).

Định lý 1.4.8 Cho (Q,/) là không gian độ đo với (Q)<œ và U là

tập con mở của C Đặt v: x3 —>[—œ,œ) là ham thỏa:

(a) v đo được trên / x@Q.

(b)z> v(z.@) điều hoà dưới trên U với mỗi œ EQ.

(c) z+> supv(z,@) bị chặn trên địa phương trên U (với mỗi ø e U có

Khi đỏ, w(z)= [w(z.ø)4/(ø) điều hoà dưới trên Ư.

a

Định lý 1.4.9 (Định lý về tính khả tích) Cho miễn De và

ue S(D), uz -œ trên D Khi đó, khả tích địa phương trên D, tức là

[l¿¿4<œ với mỗi tập compact K c Ø(đ4 là độ do Lebesgue trong mặt

phẳng).

Từ khẳng định ở Định lý 1.4.9, ta có nhận xét rằng hàm điều hòa dưới bị

chặn trên và bị chặn đưới trên các tập compact trong C.

1.5 Thể vị

Thể vị là một khái niệm xuất phát từ vật lý và kỹ thuật Thế vị mà ta sẽđịnh nghĩa sau day thì trong vật lý gọi là thé vị logarit, nhưng do ta chi dé cập

đến thé vị logarit nên ta gọi thé vị thay cho thé vị logarit

Ta sẽ chí định nghĩa thé vị cho những độ đo hữu hạn có giá compact

Sau khi định nghĩa thế vị, ta đưa ra một tính chất đặc trưng của thế vị là tính

điều hòa và tính điều hòa đưới của nó

Định nghĩa 1.5.1 Cho ¿ là độ đo Borel hữu hạn trên C với giá

compact Thé vị của ¿ là hàm p, :C —»[—z,œ} xác định bởi:

p„(z)= Jloglz- ød#(œ).z eC.

Định lý 1.5.2 Với định nghĩa trên thì: p, điều hòa dưới trên C và điều

hoà trên C\ supp ¿ Hơn nữa: p„(z)= /(C)log|z|+ @(|z[ ”) khi z —> œ

Như vậy, thé vị cũng là hàm điều hòa dưới Qua đây, nó cung cap thêm

sự phong phú cho nguồn các hàm điểu hòa dưới.

GVHD: TS Nguyén Van Đông

-I3-SLTH: La Đức Sửu

Hàm Green trong mặt phẳng

1.6 Tập cực

Tập cực đóng vai trò là các tập không đáng kế trong lý thuyết thế vị,

cũng giống như các tập có độ đo 0 trong lý thuyết độ đo Tập cực được định

nghĩa thông qua sự đánh giá năng lượng của độ đo Borel hữu hạn Vì thế, trước

hết ta đưa ra khải niệm năng lượng

Định nghĩa 1.6.1 Cho ¿ là độ do Borel hữu hạn trên với giá

compact Ấ Nang lượng [( 1) là đại lượng xác định bởi:

I(w) = [flog|z - off u(z)d uo) = [p_(z)dulz).

Định nghĩa 1.6.2

(a) Tập con £ của C được gọi la đập cực nếu /(/) = =% với mọi độ đo

Borel hữu hạn ¿ z 0 ma supp / là tập con compact của E.

(b) Một tinh chất được gọi là đúng gắn &kắp nai (g.k.n) trên tập con S

của C nếu nó đúng khắp nơi trên S\ £ với £ là tập cực Borel nào đỏ

Tập chi cỏ một phan tử là tập cực Tập con của một tập cực là tập cực

Ngược lại, một tập không lả tập cực sẽ chứa một tập compact không là tập cực

(đó là supp với / là một độ đo nào đó với /(/) > —œ ).

Định lý 1.6.3 Cho ¿ là độ đo Borel hữu hạn trên C với giá compact và gia sử /() > =œ Khi đó, ,(E) = 0 với mọi tập cực Borel £.

Từ định lý trên dé chi ra một tập E không là tập cực, ta có thé chỉ rarằng có một độ đo Borel hữu hạn đo nó khác 0

Một sự liên hệ thủ vị giữa các tập cực Borel và các tập có độ đo 0 trong

lý thuyết độ đo là: mọi tập cực Borel đều có độ đo Lebesgue bằng 0 Đây là

một Hệ quả của Định lý 1.6.3.

Trang ri TT

GVHD: TS Ng Văn Đông -

13-SVTH: Vũ Đức Situ

1.7 Độ đo cân bằng

Trong vật lý, một điện tích được đặt trên chất dẫn điện sẽ tự phân bó đẻ

cực tiêu hóa năng lượng Mà năng lượng xác định trên các độ đo Borel hừu

hạn Nhưng mọi độ đo Borel hữu hạn ta đều có thẻ chuyển thành độ đo Borelxác suất Vì thế, ở đây ta chí cần xem xét với các độ đo Borel xác suất trên một

tập compact K Đặc biệt, khi ta xem xét khi nảo nang lượng cực đại hóa thay vi

cực tiêu hỏa thi không những thích hợp trong vật lý ma còn hữu ích về mặt

toán học Và khi năng lượng đạt cực đại thì độ đo đó người ta gọi là độ đo cân

bằng Sau đây ta giới thiệu khai niệm này và một số tính chất liên quan đến

no,

Dinh nghĩa 1.7.1 Cho XK là tập con compact của C, kí hiệu P(K) là tập

tất cả các độ do Borel xác suất trên K Nếu tổn tại v P(K) sao cho

/{v)= sup /(2) thi v được gọi là độ do cân bằng của K

writ

Định lý 1.7.2 Mọi tap con compact K của C đều có một độ do cân

bằng

Định lý 1.7.3 (Định lý Frostman) Cho K là tập con compact của C, v

la một độ do cân bằng của K Khi đó,

(a) p, >I(v) trên C.

(b) p, = /(v) trên K\E với £ là một tập cực dang F, của OK

Định lý Frostman là một định lý hết sức quan trọng, phục vụ nhiều mục

đích khác nhau trong lý thuyết thé vị Vi thé, nó còn có cái tên là “định I cơ

bản của lý thuyết thé vị" Trong những phần sau của luận văn ta sẽ thấy tam

quan trọng của nó.

SLTH: Va Đức Sửu

Ham Green trong mặt phẳng

1.8 Điểm ki dj bỏ được

Như đã giới thiệu ở phần tập cực, tập cực đóng vai trò không đảng kẻ

trong lý thuyết thé vị, didu này được khẳng định qua các định ly dưới day

Định lý 1.8.1 (Định lý điểm ki dị bỏ được) Cho U là tập con mở của

Œ, E là tập cực đóng va we S(U \ E) Gia sử mọi điểm z e UNE, tổn tại lần

cận M, sao cho w bị chặn trên trên W \ £ Thế thi, zcó duy nhất một mở rộng

dieu hoà dưới trên U

Hệ quả 1.8.2 Cho U là tập con mở của C, £ là tập cực đóng vả h

điều hòa trên / \ £ Gia sử mọi điểm z e UE, tổn tại lan cận N, sao cho h

bị chặn trên trên N_\ £ Khi đó, #có duy nhất một mở rộng điều hoà trên (/

Định lý 1.8.3 (Nguyên lý cực đại mở rộng) Cho miễn Dc C

uve S(D) và u bị chặn trên trên Ø2 Khi đó,

(a) Nếu ØØÐ là tập cực thi = const

(b) Nếu GD không là tập cực và lim supu(z) <0 với £e@D gk.n thi

noe

u sO trên D.

1.9 Toán tir Laplace suy rộng

Cho miễn Dc, ki hiệu C7(D) là không gian tất cả các ham

ở:D->8 thuộc lớp C7” có suppé là tập con compact của D Nếu wu là ham

C”- điều hoà đưới trên thì bằng cách đồng nhất Au với độ đo dương

AudaA , theo Định lý Green ta có:

[ 4u = [uA#đA4 VớeCƑ(D) (19)

SVTH: Vũ Đức Sửu

Bay giờ, nếu w là hàm điều hoà dưới tùy ý trên D với w é =œ thi theo

Định lý 1.4.9 ta có w khả tích địa phương nén về phải (1.9) tôn tại Ta có thé

su dụng nó đẻ định nghĩa cho vẻ trái.

Định nghĩa 1.9.1 Cho miễn DcC và w€S(D), ud -œ© Toán tử

Laplace suy rộng cua u trên D là độ đo Radon Au trên D thoa (1.9).

Định lý 1.9.2 Với các kí hiệu như ở Định nghĩa 1.9.1 thi Aw tổn tại và

D, được gọi là biên ngoài của K, ký hiệu là Ø K Phần bù của 2 K bao gồm

nhiều nhất một số đếm được các miễn A_.Ð),,

Định lý 1.9.4 Cho XK là tập con compact của C không là cực Khi đó,

độ đo cân bằng v của nó là đuy nhất và suppv c ê,K.

Định lý 1.9.5 Cho f chỉnh hình trên miền 2, f # 0 Khi đó A(log|/|)gdm các (27)- khối lượng tại các không điểm của / (không điểm bội ø được

đếm n lần), nghĩa là A(logj/|)=2z¿ trên U với U là tập con mở compact tương đối của D, / là độ đo khối lượng đơn vị xác định bởi:

Hàm Green trong mật phẳng _

Định lý 1.9.6 (Định lý phân tích Riesz) Cho miền DcC và

ue S(D), u é -> Khi đó, nêu U là tập con mở compact tương đối của D ta

có thê phân tích ¿ dưới dạng:

u=p, +h trên U,

trong đó /=(2z) 'Az|, va # điều hoà trên Ứ.

Định lý phân tích Riesz là một định lý rất mạnh, Từ đây, những bai toán

về ham điều hỏa dưới tông quát có thé được quy về những bai toán thé vị

1.10 Tính mỏng

Cho w là hàm điều hoà đưới trên một lân cận của £ eC, Thậm chỉ

ngay cả khi w không liên tục tại £ thì ta vẫn có:

đăng thức là nghiêm ngặt thi « không thoả bat đăng thức trung bình đưới trên

hình tròn đủ bé tâm £ Do đó, giá trị của z tại £ hoàn toàn xác định bởi các

giá trị của nó trên những hình tròn tâm £ và thủng ở £ Điều này cho thấy sự

hữu ich khi biết được tới mức nao một hình tròn thủng được thay bằng một tập

nhỏ hơn Vì thé ta giới thiệu khái niệm tập mỏng và một tính chất hữu ich của

nó.

Định nghĩa 1.10.1 Cho ScC và Ce C Tanói S không mỏng tại £

nếu ¢ €S\{¢} và với mỗi ham diéu hoà dudi w xác định trên một lân cận U,

của £ ta có:

limsupw(z) =u(€).

a Fa

Ngược lại, ta nói § là mong tại ¢.

~—“—————=—~=—=—=mrm—==S me ee ee ee ee SE SE a Sen SS= SE SE Sen Sen SE Sn S—n S—n S—n c—n S—= S S—n S— c— —— —" — S—" SP SỬ" SƠ" SỬ" SƠ" SỬ" SƠ S

GVHD: TS Nguyễn Văn Đông

-17-SVTH: Va Đức Sừu

Hàm Green trong mặt phẳng

.————————————~

——=———————————~—————————~————~—=—=——=—=~—=——=—=—=—=———-Định lý 1.10.2 Một tập liên thông chứa nhiều hơn một điểm thì không

mong tại mọi điểm thuộc bao đóng của nd,

1.11 Nghiệm của bài toán Dirichlet

Chúng ta quay lại với Định nghĩa 1.2.1 Cho một miền 2 và một hàmliên tục: @:€D — R, bài toán Dirichlet yêu cầu tìm một hàm điều hỏa A trên D

sao cho: lim A(z) = $s) với mọi ¢ € AD Theo Định lý 1.2.2, nếu bài toán có

một nghiệm / thi nó là duy nhất Hơn nữa, nếu D là một dia đơn vị thì nghiệm

luôn tồn tai, va Định lý 1.2.4 đã chi ra công thức dé xác định nó.

Khi D là miễn tông quát thi bài toán trở nên phức tạp hơn Trong trường

hợp này, bai toán Dirichlet có thể không có nghiệm Chang hạn, cho

D=({z: 0<|z <1) và ø:êD->RÑ định bởi:

0 khí |c| =l

1 khi |c|=0

thì theo Hệ quả 1.8.2, bất kì nghiệm # của bài toán sẽ có một kỳ đị (điểm bắt

thường) bỏ được tại 0, và theo Nguyên lý cực đại thì suy ra rằng: #(0)<0,

diéu này vi phạm diéu kiện: lim A(z) = ø(0) =1.

Trong phan này, ta xem xét các diéu kiện để nghiệm của bài toán tổn tại

và đồng thời phát biểu lại bai toán Dirichlet sao cho nó luôn có nghiệm Dé

thực hiện mục tiêu này, ta mở rộng các phát biểu trên theo hai cách.

Trước tiên, ta xem D như một miễn con thực sự của C_ Vi bai toán

Dirichlet không đôi qua ánh xạ bảo giác trên mặt cầu Riemann nên điều này thực ra không tổng quát hơn khi làm việc với một miễn con của C Tuy nhiên,

tính mềm déo, linh hoạt đạt được lại thực sự có ích Ta sẽ khai thác một cách

tự nhiên trong (C_ vẻ tính điều hòa, điều hòa đưới, tính cực

Hướng khái quát hóa khác là ta xem xét hàm ¢: dD —> R là hàm bị chặn tùy ý thay vì là hàm liên tục.

SVTH: VG Đức Situ

[iêN Grice gy HN G2220 6xe¿

Định nghĩa 1.11.1 Cho D là một miễn con thực sự của C_, và cho

ĩ:ÊD +R là một ham bị chặn Hàm Perron tương ứng được định nghĩa là ham: /ƒ é: 2 —› 83 xác định bởi:

Nếu bai tốn Dirichlet cĩ nghiệm thi hàm Perron tơn tại Thật vậy, nếu

h là nghiệm bai toan Dirichlet thi hiển nhiên he và hs H,@ Theo Nguyễn

lý cực đại, nếu we / thì w Sh trên D, và HO Sh Do đĩ, Hg =h

Định lý 1.11.2 Cho D là miền con thực sự của C, va ø:ơD-> là

hàm bj chan, Khi đĩ, /7,,ø điều hịa trên D và

Định nghĩa 1.11.3 Cho D là miễn con thực sự của C_ va ¢, €ơØ Một chướng ngại tại ¢, là một hàm điều hịa dưới b xác định trên DAN , ở đây N

là một lân cận me của ¢,, và thỏa mãn

b<0 trên DAN và lim b(z) = 0.

Một điểm biên mà tại đĩ tổn tại một chướng ngại gọi là điểm chính quy

Ngược lại, nĩ được gọi là điểm khơng chính quy Nếu mọi ¢ € AD là điểm chính quy thì D được gọi là miền chính quy.

Định lý 1.11.4 Cho Ø là miễn con thực sự của C_ và c, là điểm biên

chính quy của 2 Nếu ø: AD — R 14 một hàm bị chặn mà liên tục tại ¢, thi

lim H(z) = #(<,)

Mệnh dé 1.11.5 Nếu D là miền con thực sự của C_ và ø:ơD -> R là

một hàm bị chặn thì /f,Øø<-—/,(—-ø) trên Ð.

SVTH: Vai Đức Sửu THƯ VIÊN —

Trường Đại-Học Su-Pham

P+ ,

IP HỌ-CHI-M

NH

Ham Green trong mặt phẳng

1.12 Tiêu chuẩn chính quy

Trong phần này ta đưa ra một số tiêu chuẩn xác định một điểm biển khi

nào là điểm chính quy và trường hợp nào thi một miễn là một miễn chính quy

Cuối cùng ta đưa ra công thức nghiệm cho bải toán Dirichlet phát biểu cho

một ham bị chan ma ta gọi là bai toán Dirichlet suy rộng.

Định lý 1.12.1 Nếu là miền đơn liên mà C_ \ D chứa ít nhất hai điểm

thi D là miễn chinh quy

Định lý 1.12.2 Cho D là một miễn con của C_, ¢, €@D và C là thành

phan liên thông của OD mà có chửa ¢, Nếu €#{c,} thi ¢, là điểm chính

quy.

Định lý 1.12.3 (Kellogg) Cho Ø là một miền con thực sự của C, Khi

đó, tập hợp những điểm biên không chính quy là một tập cực dạng F,.

Hệ quả 1.12.4 (Nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng) Cho D là

một miễn trong C_sao cho GD không là tập cực và cho ¢:dD>R là một

hàm bị chặn mà liên tục g.k.n trên OD Khi đó tổn tại duy nhất hàm điều hòa bị

chặn # trên 2 mà lim h(z) = P(g) vai ¢ € OD g.k.n.

GVHD: TS Nguyễn Van Đông 20

-SVTH: Va Đức Sửu

me ee ee a sen se se se se se se ie

HÀM GREEN

Trong chương này, ta sẽ đưa ra khái niệm ham Green Sau đó ta nghiên

cứu chi tiết những tính chất của nó Khi nghiên cứu tinh chất của ham Green,

có một khái niệm trong lý thuyết thế vị liên quan khá nhiều khái niệm hàm

Green đó là độ đo điều hòa Chính vì thể, phần 2.1 ta đi vào giới thiệu khái

niệm độ đo diéu hòa và những tính chất cơ bản của nó Phan 2.2 ta bắt dau đưa

ra khái niệm và những tinh chất của hàm Green Tính chất cia hàm Green có

thé nói đến là tính duy nhất (Định lý 2.2.2), tính dương (Định lý 2.2.3), tinh tang (Hệ qua 2.2.5), tính đối xứng (Định lý 2.1.8), đặc trưng của hàm Green tại

những điểm biên chính quy (Định lý 2.2.9), sự tăng liên tục cua hàm Green

(Định lý 2.2.6), công thức tính hàm Green trên miễn bị chặn theo độ đo điều hỏa (Định lý 2.2.7) và mỗi liên hệ giữa một số hảm Green trên những miễn

đơn gián thông qua ánh xạ bảo giác (Nguyên lý phụ thuộc) Dựa trên Nguyên

lý phụ thuộc (Định lý 2.2.4) và hàm Green trên đĩa đơn vị, ở phần 2.3 ta sẽ tính

toán va đưa ra những vi dụ về hàm Green trên một số miễn đơn giản.

2.1 Độ đo điều hòa

Khi nghiên cứu bài toán Dirichlet trên đĩa A = B(0,1), chúng ta không

chi chứng minh rằng tổn tại một nghiệm đuy nhất của bài toán mà còn đưa ra

công thức rõ ràng của nghiệm Trên A = Ø(0,1) khi mở rộng bài toán, công

thức này được phát biểu ngắn gọn là: nếu ó:ØØ > R là một hàm liên tục thi

H,g=P.@ trên A với Hp và Pé lần lượt là hàm Perron và tích phân

Poisson của ¢ Bây giờ chúng ta tim cách mở rộng công thức này trên các

miễn tổng quát Trong khi ham Perron đã được định nghĩa trên miễn tổng quát,

ta chưa có định nghĩa tương tự cho tích phan Poisson Dé thực hiện điều nảy ta

đưa ra khái niệm độ đo điều hòa.

SVTH: Vũ Đức Sửu

Ham Green trong mặt phẳng

Định nghĩa 2.1.1 Cho D là một miễn con thực sự của C_, và gọi

B(ôD) là ø - đại số của các tập con Borel của 2/2 Một độ đo điều hòa của D

là một hàm œ,,: 2x 8(2D) — [0.1] thỏa:

(a) Với mỗi ze Ð, ánh xạ BR ø (z,) là một độ do Borel xác

suất trên AD;

(b) Nếu ø:êD -> ÍR là hàm liên tục thì H,g=P,6 trên D, ở đây

Pó là tich phan Poisson suy rộng của ¢ trên D cho bởi:

hu@(z):= [#(cde,(z,e) (zeÐ)

Ví dụ 1: Nếu A = 8(0.1) thi theo Dinh lý 1.2.4:

đœ,(z.c):= = Plz $)\ds)

là một độ đo điều hỏa của A Diéu này nói lên sự tương thích giữa hai định

nghĩa của tích phan Poisson ?đ.

Ví dụ 2: Nếu D={z:|z|<1.Imz >0}, Ø={z:|z|=1,Imz >0} thì độ đođiều hòa của D được cho bởi:

Vì định nghĩa của độ đo diéu hòa được đưa ra nhằm có kết luận mong

muốn nên định lý sau được chứng minh nhằm biện minh rằng khái niệm naytổn tại Trong chứng minh của định lý này ta sử dụng một kết quả trong lythuyết độ đo tích phân đó là định ly Riesz

Cho X là không gian tôpô, ta kí hiệu C_(X’) là không gian vectơ các

hàm liền tục ¢: X -> R có gid compact.

GVHD: TS Xguy ¬ Van Đông -

SVTH: Vũ Đức Situ

.———————————————~= —————m~—~—m==e=ễe=ễe=ễSS=ẴS=ễSSE=KSễS==ẴS= ẴSE=ẴĂS

Mỗi độ do Radon wv trên Ý (là một độ do Borel ma ¿(K)<«œ với mọi

tập con compact K của X) sinh ra một phiểm hàm tuyến tính F trên € (X)

trong đó

F(#)= Í đd (#e€(X)) ()

Phiếm hàm tuyển tính này dương, tức là F(¢) > 0, khi và chỉ khi ý > 0.

Định lý Riesz: Cho V là không gian métric có một đẩy vét cạn các tập

compact Khi đó nếu F là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C (.Y) thìtôn tại duy nhất một độ do Radon y trên X thỏa mãn tính chất (*)

Định lý 2.1.2 Nếu D là miễn trong C_ sao cho dD không là tập cực thì

tôn tại duy nhất độ đo diéu hòa w, của Ø

Chứng minh

Gọi (C AD) là không gian của những hàm liên tục ¢:0D—> R Nếu

¢,.¢, © C(@D) và a,,a,E€R thì ø,H,6 + +, ,ó, là một nghiệm của bài toán

Dirichlet suy rộng với dữ liệu biên a, + a,¢, (xem Định lý 1.12.4) nên theo

Do đó, mỗi ze/2 ánh xạ g++ /f,„Ø(z) là một hàm tuyến tính đương trên

C(ÊD) biến hàm hang / thành / Ap dụng Định lý Riesz, tổn tại một độ đo

Borel xác suất yz, trên 2/2 sao cho:

H,6(z)= [đdu, (¢€C(AD))

SVTH: Vai Đức Sửu

œ.(z,B)= (8) (zeD.BeB(0D),

Ta thấy ngay rằng (a) va (b) được thỏa man, Điều này chứng tó ring tổn tại ø„

vả tinh duy nhất dé dàng suy ra từ phan tính duy nhất của Định lý Riesz a

Định lý 2.1.3 Cho D là một miễn trong _ mà GD không là tập cực.Khi đó H,.¢ = P,¢ trên D với moi hàm Borel bị chặn ý : ðD > 8.

Trong chứng minh định ly này chúng ta có sử dụng khái niệm độ do

Borel chính quy và Dinh lý Vitali — Carathéodory của lý thuyết độ do.

Cho / là một độ do Borel trên không gian tôpô X Khi đó được gọi

là chính quy nêu mỗi tập Borel B có tính chất : với £ >0 cho trước tổn tại một

tập mo U va tập đóng F sao cho FC BCU và ¿(U\)<£ Ta có một tính

chất quan trọng đó là mọi độ do Borel hữu hạn trên không gian métric X là

chính quy.

Định lý Vitali - Carathéodory: Gia sử yw là một độ do Borel chính

quy trên không gian tôpô X, và ¢:¥ — IR là một hàm khả tích Khi đó với

£ >0 cho trước tổn tại một hàm nửa liên tục trên yw, :.Ý + [-20,400) và một

hàm nửa liên tục dưới y,:X -»|-œ,+) sao cho 4S, và

Iv -w,u<e.

\

Chú inh Định lý 2.1.3

Đầu tiên, ta giả sử rằng ø bị chặn vả nửa liên tục trên trên GD Chọn

day hàm liên tục :ô2-» thoá min ¢ 4¢ Khi đó, ta biết rằng

Hd, = P„ớ, nên P„6, là ham diéu hòa trên D Từ định lý hội tụ đơn điệu thi

P.é + Pg trên D va theo Định lý Hamack (Định lý 1.3.4), P,¢ là hàm điều

hỏa trên Ø2 Lay @ € D và £ >0 Theo Định nghĩa 1.11.1, với mỗi m ta có thể tìm được một ham điều hòa đưới w_ trên D thỏa mãn:

-24-SVTH: Vai Đức Sửu

de Groen (ron fn, MEE Se a Re eee neers

limsupu,(z)<6(¢) (¢ € AD) và u(@) > !f,6,(@)= + ‡

Ta định nghĩa trên Ð bởi:

u = P,ð + 3ˆ(u, —H ,ó,).

av

Vi P,ø là một ham diéu hòa và u, —H,,¢, là một hàm điều hòa dưới âm với

mọi n, nên w là hàm điều hòa đưới trên D Hơn nữa, nếu ¢ € AD thì với mỗi

n1 thì:

limsup w(z) < limsup( P.¢ +u, - f6, (z) < limsupw,(z) <Só(€)

nên limsupu(z) < Ø(£) Do đó, theo Định nghĩa 1.11.1, ta có H,,¢ > u trên Ð.

Trong trường hợp đặc biệt:

H,@(œ) > u(@) 2 P,6(@) - Ls = P.g(w)-e.

Vi £ và @ tùy ý nên ta đã chi ra được rằng:

H,„@> P„6 trên D.

Bây gid ta giả sử rằng ¢ bị chặn và nửa liên tục dưới trên OD Áp dụng

với những gi đã chứng minh với —¢, ta có được:

H,(-9) 2 P,(-¢) trên D.

Do đó, sử dụng Mệnh để 1, 1.5 ta có:

Hs -H,(-#6) <-F,(-é) = P,@ trên D.

Cuối cùng, ta giả sử rằng ø là một ham Borel bị chặn tùy ý trên aD.

Lấy we D và >0 Khi đó, vì độ đo Borel xác suất ø,„(ø ) hữu hạn nên là

chính quy, dùng Định lý Vitali-Carathéodory có được một ham nửa liên tục

trên yw, va một hàm nửa liên tục đưới y, trên GD thỏa mãn:

ự,<#s<ự, và [(w,-w„Xe)de,(,g)<e.

AU

SLƯTH: Vũ Đức Sửu

[hay w, bởi max(,,-Ï@j_) va yw, bởi min(w/,.|#||_) do ta gia sử rằng ¢ là

một hàm Borel bị chặn trên AD nên các hàm max(„.-Ø{[_) min(⁄,.|@Ï_) bị

chặn trên AD, do đó ta có thé giả sử trước rằng „ và ⁄„ bị chặn trên AD Khi

đỏ áp dụng chứng minh phan trên ta có

How, = Paw, và Hoy, < Pu, trên Ð.

Do do,

H_ pe) < H,ự,(œ) < P.,()< Pự,(œ)+ e < P,@(@) + e

và

H_,ó(0)> Hw (@)2 P„,(e@) > Pw (@)-€ > P,é(@)— £

Vi £ và @ tủy ý nên ta kết luận rằng / 6 =P trên D o

Từ kết qua trên ta suy ra đặc trưng của độ đo điều hỏa dé giải thích tên

gọi cua nó.

Định lý 2.1.4 Cho Ø là một miễn trong C_ sao cho GD không là tập

cực va B là một tập con Borel của Ø2 Khi đó

(a) Ham z + ø,„(z, 8) là hàm điều hòa và bị chan trên Ø

(b) Nếu ¢ là một điểm biên chính quy của D mà nằm ngoài biên tương

đối của B trong 4D thi

lim œ,(z, 8) =1,(¢)

t-¢

Hon nữa, nếu biên tương đối của B trong AD là tập cực thì hàm ø„(.,8) là

duy nhất xác định bởi (a) vả (b)

Hàm Green trong mặt phẳng

Do dé, (a) suy ra trực tiếp từ Định lý 1.11.2 Hơn nữa nếu ¢ thỏa man giả thiết của (b) thi 1, liên tục tại ¢ và do đó kết quả của (b) được chứng minh tử Định

lý 1.114.

Tính đuy nhất của kết qua là một kết quả trực tiếp của Hệ quả 1.12.4.0

Định lý 2.1.5 (Nguyên lý phụ thuộc) Cho D, va D, là những miễntrong C„ với biên không là tập cực, và cho B, và B, lần lượt là những tập con

Borel cua 6D, và @D, Cho f:D,UB => D,./B, là ánh xạ liên tục ma phân

hình trên D, và giả sử rằng /(D,)< D, và ƒ(B,)C B, Khi đó:

@„(/(z).B.)>@,(z,B) (zED),

Hơn nữa, dang thức xảy ra khi / là một phép đồng phôi từ DUB lên

D,VB,,

Chứng minh

Dat ý =1-1, và ý, =1—1, trên AD, va AD, tương ứng Goi w là ham

điều hòa dưới trên D, thoa man:

limsupu(z)<¢(¢) (¢ €4@D,).

ov

Ap dụng Hệ qua 1.4.5, ta có we f là ham điều hỏa đưới trên D, Ta kiểm tra

được ue f thỏa man:

Ham Green trong mặt phang

(Pl, of > PẠI

5 is | trén D,,

dẫn đến bat đắng thức cần chứng minh.

Hơn nữa nếu f là | phép đồng phôi của DUB, > D, WB, thi ta có thể

lập luận tương tự cho £ ' din đến kết quả là ding thức cũng đúng œ

2.2 Định nghĩa và tính chất hàm Green

Độ đo điều hòa trên một miền có liên hệ mật thiết với một bắt biến quan

trọng khác đó là hàm Green Hàm Green là một họ nghiệm cơ bản của toán tử

Laplace, mà mỗi nghiệm này bảng 0 trên biên Sau đây là định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 Cho D là một miễn con thực sự của C_ Một hàm

Green của D là một anh xạ g,, : Dx Ð —› (—,%] sao cho với mỗi ø € D:

(a) ø,(.,) điều hòa trên 21 {ø@}, va bị chặn bên ngoài mỗi lân cận của

la ham Green cua A.

Định lý 2.2.2 Cho D là một miễn trong của C_, sao cho AD không là

tập cực Khi đó, tổn tại duy nhất một ham Green g,, của D

SLTH: Va Đức Sửu

Ham Green trong mặt phẳng

Chứng minh

Tinh duy nhất: Giả sứ rằng g, và g, là hai hàm Green của D Lấy

œ € D ta định nghĩa

ñ(z)= 2,(2,@)-2,(2,0) (ze D\{o})

Khi đó, / điều hòa và bị chặn trên D\{@} và limA(z)=0 vớic e AD gk.n,

nén theo Nguyên lý cực đại mở rộng thì ø 0 trên /Ø2\{@} Vì điều này đúng

với mọi «@ € Ð nên ta có kết quả là g, = g, trên Dx Ð.

Sự tổn tại: Đầu tiên ta chứng minh sự tổn tại của ø,(z,ø) khi

@ =#œ € D Đặt K = C_ + D khi đó K là một tập con compact của C, K không

là tập cực do chứa OD không là tập cực va lay v là độ cân bảng của nó Nếu ta

Theo định nghĩa thì g,„(,%) = # và khi zo theo Định lý 1.5.2 thì

&,(z.%) = log|z|+O(1) nên g„(z,%) thỏa (b).

Theo Định lý Frostman thì ta có ø,„(Z,%) +0 khi z -> ¢, vớic € AD g.k.n nên

g,,(2.@) thỏa (c).

Ta đã kiếm tra được rằng g,,( ©) thỏa mãn điều kiện (a), (b), (c) của Định

nghĩa 2.2.1 với đo = ©.

Bây giờ với a Ð, œø + œ ta định nghĩa

2, (2.0) = #.(—=}, (zeD)

z-a

GVHD: TS Nguyễn Văn Đông SSSSts=t=~—<Ss—“—SSSSSS

—-29-SVTH: Va Đức Sửu

với Ø' là ánh của D qua ánh xạ z+>(z—) ' Áp dụng những gi mà ta đã chứng minh với miễn Ð', dẫn đến g,,( @) thỏa mãn (a), (b), (c) của Định

nghia 2.2.1 Do đỏ tôn tại ø,„(z,@ø) với mọi z,@ € D.g

Ta bắt đầu nghiên cửu các tính chất của ham Green Tính chất cơ bản

dau tiên là tinh dương

Định lý 2.2.3 Cho D là một miễn trong của C,, sao cho @D không là

[heo định nghĩa cua hàm Green thi w là hàm diéu hòa va bị chặn trên

D\{@} và do u{@) = -g,,(@,@) ==% nên wu là hàm điều hòa dưới, bị chặn trên

trên D, và lim,(z) =0với ¢€ OD g.k.n Do đó, theo Nguyên lý cực đại mở

rộng thi ¿<0 trên Ø2 Hơn nữa, nếu trường hợp mà u(z)=0 với một z D

nào đó thi áp dụng Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa dưới dẫn đến u = 0

trên D, mà diéu này là sai: chẳng hạn u(@) = =g,(2,@)= =œ Do đó w <0trên D suy ra điều phải chứng minh œ

Định lý 2.2.4 (Nguyên lý phụ thuộc) Cho D, và D, là những miễn con

của C_ với biên không là tập cực và cho f: D, => Ð, là hàm phân hình Khi

Ham Green trong mặt ph¬ng _ ;s

-Chứng minh

Thứ nhất, ta gia sử rằng ø2 4 © và /(@) # œ và định nghĩa

u(z) = 8,„(z.0)~ 8) ( 7z), /(@)) (z € D,\{@}).

Khi do, w 1) ham điều hòa dưới trên D, \{@} Hon nữa, w là bị chan bên ngoai

mỗi lân cận của @ và khi z—>ø,

u(z)= bog ELL + O(1) = log|f'(@)|+O(1),

Do đó z là bị chặn trên trên Ø \{@} Sau cùng, vi 85, >0,

limsupw(z) < lim g,, (z.@) =0 với ¢ € OD gk.n.

Do đó, áp dụng Nguyên lý cực đại mở rộng „<0 trên ØÐ \{ø}, đưa đến bat

đăng thức can chứng minh

Trong trường hợp khi @ =o và /(@) #0, ta quay lại việc xây dựng

Trong trường hợp /(@) =% được xét tương tự.

Cuối cùng, nếu / là một ánh xạ bào giác của D, vào D, thì ta có thé áp

dụng bat đăng thức đã chứng minh với f ' cho kết quả là đẳng thức đúng o

GVHD: TS Nguyễn Văn Đông SVTH: Vat Đức Sửu

-31-Ham Green trong mgt phẳng.

Nh@n xét: Két qua nay cho phép ta tinh toán các ham Green trên những

miễn đơn giản bằng các anh xạ bao giác

Hệ quả 2.2.5 Cho D, và D, là những miễn của C_ với biên không là

tập cực Nếu D, c D, thì

gu (2.2) Sg, (2,0), (z,œe Ð,)

Chứng minh

Lấy £: D, D, là ánh xạ đồng nhất suy ra kết quả, ö

Thực ra g,, tăng liên Lục theo D theo nghĩa sau

Định lý 2.2.6 Cho D là một miễn trong của C,, sao cho AD không là

tập cực và (D,),„, là các dãy các miễn con của D sao cho Ø,c D, c D,c

và UD = D Khi đó.

lim g,, (2,@)= g,(z,@), (z,@€D).

Chứng minh

Lấy we D Khi dé @ D, với một n,nào đó va bằng cách đánh số lại

day (D_), ta có thé gia sử rằng n, =1 Với n 21 định nghĩa :

h,(z) = g,(z.®)~ Ø,, (z,®), (ze D, \{eœ})

Khi đó h, điều hòa trên D, \{ø} và bj chặn bên ngoài mỗi lân cận của @ , nên

theo Hệ qua 1.8.2 được mở rộng điều hòa trên D Từ Hệ qua 2.2.5 suy ra

h 2h, trên Ð, với mỗi ø, nên theo Định lý 1.4.7 thì v= limh, lả điều hòa

dưới trên Ø Vì h, <g,( @) trên với mỗi n, nên us g,(.,@) trên Ð Do

đó, w bị chặn trên trên D, và hơn nữa limsupu(z)<0 với £eôD g.k.n Ap

dụng Nguyên ly cực đại mở rộng suy ra w <0 trên D Điều này cho ta:

liminf &,, (=,@) 2 g,(z,@) (ze D)

SVTH: Vai Đức Sửu

Nhưng tử Hệ qua 2.2.5 ta có:

lim sup g,, (2,@) < øg,„(z.Ø) (zcÐ).

Kết hợp hai bắt đăng thức ta được kết quả cần chứng minh.o

Đối với các miền bị chặn có một công thức tính hàm Green theo độ đo

Lấy we D, định nghĩa ø, :ôD-»® bởi ,(£)= log|e -ø|, (c € AD)

Do D bị chặn trong C nên GD cũng bj chặn trong C suy ra ¢, liên tục va bị

chan Khi đó theo định nghĩa của độ đo điều hòa thi Pg, = „Ø, suy ra Pg,

là hàm điều hòa và bị chặn trén D và lim P.ó,(z) =6,„(£) với ¢ € AD g.k.n Từ

đó ta kiêm tra được ham số:

(z,œ) + P„#„(z)~ log|z - ø|

thỏa man điều kiện (a), (b), (c) của Định nghĩa 2.2.1 cho nên dùng tính duy

nhất suy ra nó phải là hàm Green g,,.0

Định lý 2.2.8 (Định lý đối xứng) Cho D là một miễn trong của C_, sao

cho ÊÐ khỏng là tập cực Khi đó,

8,(z.@) = g,„(0,z) (z,@€ Ð)

Chứng minh

Ap dụng tinh chất ánh xạ bảo giác, ta có thé giả sử rằng Do © Khi đó

D có thé bị vét cạn bởi một day tăng của những miễn con bị chặn (Ð) ), và nếu

trên D_ ham g,, đổi xứng thi theo Dinh lý 2.2.6 suy ra g,, sé đối xứng Do

SVTH: Và Đức Sửu

Ham Green trong mặt phẳng _

đó, ta chỉ cần chứng minh kết quả trong trường hợp khi D là miễn con bị chặn

của C.

Gia sử D la miễn con bị chặn cla C và @ € Ð Định w trên D\{@) bởi

u(z)= @,„(Z.®@)~= g,(@.z) (zeÐ\{ø)) Đôi vai trò của z,(2 cho nhau trong Định lý 2.2.7 ta có:

u(z) = g,,(2.@) + log|z = a| — flogis —zll@,(œ,c) (z€D\{o})

ulz)= [logle =@jd@,(z,€)~ [log|e - zMe,(0,c) = Pb, ~ Pid.

với ø_(c) = log|e - øÌ,ø (¢) = logis - z| Do Ø„#,.P„ø, bị chặn trên D nên u bị

chan trên trên /2\ (ø} Trong tông trên, từ định nghĩa của w ta có:

lim sup „(z) < lim g,(z.@)=0 với ¢ € 6D g.k.n.

Do dé, theo Nguyên ly cực đại mở rộng thi us 0 trên D\{@} Suy ra

&8,(z,®) S g,(,z) (zeD).

Và vì øœ, z là tùy ý nên g,„(2,z)< g,,(z,@) Suy ra điều phải chứng minh œ

Trong định nghĩa hàm Green ta có limg,(z,@)=0 với ¢ €@D g.k.n

roe

nhưng không rõ [a tập các điểm bỏ được cỏ phụ thuộc vào @ hay không? Kết

quả sau chí ra rằng nó không phụ thuộc vả xác định nó một cách chính xác

Định lý 2.2.9 Cho D là một miền trong của C_, sao cho GD không lả

tập cực e D và ¢ € OD Khi đó,

lim g,,(z,@)=0nếu và chi nếu ¢ là một điểm biên chính quy của D

~————————=——=—=—=ma=—amaS=me se rrr rr rr rr rrr rrr rrr nnn

GVHD: TS Nguyén Van Déng

-34-SLTH: Va Đức Sửu

Ham Green trong mặt phẳng

Chứng minh

Nếu lim g,„(z,ø) =0, đặt N = B(c;r) với r =|€—e@|>0 khi đó, theo

định nghĩa va tính chất đương của hàm Green ta có —g, ( 2) điều hòa đưới và-g.( @)< trên NOD và với giá thiết limg,(z.ø)=0 thi rõ rang

—g,,( @) la một chudng ngại tại ¢ vả do đó ¢ là điểm chính quy của D.

Ngược lại, gia sử rắng ¢ là điểm biến chính quy của Ø Lấy N là mộtlin cận compact tương đối của @ trong D và định nghĩa #:ô(2\ M) —> lề

bởi:

0, ceôD, )=

a Oe và

Theo định nghĩa, g,,(.,@) điểu hoa trên D\{@} nên điều hòa trên D\ N và bị

chan bên ngoài mỗi lân cận của œ, Vị thế ¢ là ham liên tục, bị chặn trên

0(D\N) và theo cách đặt hàm ý ta có g,( )|„„„¡= 6 Suy ra, g„(.,@) là

nghiệm bài toán Dirichlet mở rộng trên D\ N với hàm bị chặn ¢, nên theo

tinh duy nhất của nghiệm bài toán Dirichlet thì

8,(z.@) = HH, Pz) (ze D\N).

Vi ¢ là điểm chính quy cla D và do đó cũng là điểm biên chính quy của

D\N, tử Định ly 1.11.4 suy ra rằng lim g, (z.@) = lim Hf„ ;#(z) = #(£) = 0.o

te o~

2.3 Tinh toán hàm Green trên một số miền đơn giản

Dựa vào Nguyên lý phụ thuộc va hàm Green của miễn A = B(0,1) là

2.3.1 Hàm Green trên miền D, = {z:|z| <p}

Xét f()~^ là ánh xạ bảo giác từ D, lên A Nên ta có

2.3.2 Hàm Green trên miền D, = {z:Imz > 0}

Xét_f(z)==— là ánh xạ bảo giác từ D, lên A Nên ta có

= 1- f(z) F(@)|_ @~z o+i|_ ony o+i

g,, (2.0) = log 7)-/(œ) = eA leet tle)

SVTH: Vũ Đức Sửu