Cho P là một điểm trên conic phăng không suy biển E, và gọi £ là tiếp tuyến tại P cua E. Tiếp theo, gọi P’ la một điểm gần với P trên E, va gọi £ là đường thăng đi qua P và P’. Nếu chúng ta để P' tiệm cận P dọc theo đường cong
E, thì hướng của đường thăng ' tiệm cận với
hướng của tiếp tuyến £. Chúng ta có thé diễn
đạt điều này khá long léo như sau: 'hướng của tiếp tuyến là hướng giới hạn của các đây cung'.
Chúng ta bắt dau bằng cách nhắc lại rằng một conic trong phang không suy biến có phương
trình dạng Ax? + Bry + Cy? + Fx+Gy +H =0.
= 25.
Nếu chúng ta ký hiệu biểu thức ở vẻ trải của phương trình nay bằng ký hiệu s, thì phương trình của đường conic có thé được viết rat đơn gián là s=0.
Cách tiếp cận của Joachimsthal là nghiên cứu các phương trình tiếp tuyên và đối cực của đường conic bằng cách gắn các chỉ số đưởi vào ký higu s một cách có hệ thống. Ví dụ, dé kiểm tra xem một điểm PB.=Œx.y,) cô nằm trên đường cénic hay không, can phải thay thé các biến x và y trong s lần lượt là x, va y,. Điều này mang lại một số ma chúng tôi biểu thị bang ky hiệu s„; nói cách khác, s,, = Ax? + Bx,y, +CvỶ + Fx, +Gy, +H .
Nếu s,, =0, thì chủng ta kết luận rằng nằm trên đường conic và nếu s„ #0, thì PB không
nằm trên đường conic.
Tương tự điểm P=(xy,) nằm trên conic nếu và chỉ nếu số Sy, = ÁA2 + Bx,y, + Cy; + Fx, +Gy,+H có kết quả bằng 0.
Ký hiệu của Joachimsthal cũng có thê được sử dụng dé thu được một loại số ‘trung binh' khi chúng ta 'trộn' các chỉ số dưới ] va 2 dé xác định một số 5,, được liên kết với hai điểm đã cho
R=(x,),) và P, =Q¿.y,) là
V2 FEN Jeon e( 2S eof „33 jeu
2 : 2 2
Ly do xác định s,, theo cách này sẽ sớm trở nên rõ ràng. Hiện tai, hãy lưu ý rằng định nghĩa
Sj. = AUX, + af
của s,, là đối xứng theo nghĩa là giá trị của s„„ không thay đôi nếu chúng ta hoán đổi các chỉ số 1 và 2. Nói cách khác, $;; =3;,„ một sự thật mà chúng ta sẽ sử dụng sau.
Cho đến nay, chúng tôi đã gắn các chỉ số kép vao ký hiệu s và điều này luôn tạo ra một con số. Tuy nhiờn, lưu ý rằng nếu chỳng ta loại bỏ chi số thứ hai trong định nghĩa của Syằ thỡ biểu thức kết qua là một biéu thức tuyến tinh theo x và y, được xác định bởi
X)Y +
AY | cys F( 4 }xo{2 + "xu .
2 2 2
Một lần nữa, lý do dé định nghĩa s„ theo cách nảy sẽ sớm trở nên rõ ràng. Một manh mỗi được
5, = AaB
cung cấp bởi thực tế là trong hình học phẳng, một đường thing có thé được xác định bằng cách
đặt một biéu thức tuyến tính trong x va v bằng 0. Hóa ra là đường được xác định bởi $ =0 đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong cuộc ban luận của chúng ta vẻ các tiếp tuyến.
Chúng tôi có thé đưa ra một ban tóm tat chung về ký hiệu của Joachimsthal, trong đó chúng tôi sử dung các ky hiệu i va j dé thay thé cho các chỉ số phụ tủy ý, mỗi chỉ số này có thẻ nhận
các giá trị 1, 2 hoặc 3, như sau.
Kí hiệu của Joachimsthal cho conic phẳng
Cho conic phẳng có phương trình s=0, trong đó s= Ax? + Bry + Cy? + Ft Gy +H , và cho P =(%,.9,).P, =(%.)) va =(Œx¿, v,) là các điểm trong >
Khi đó ta định nghĩa
s, = Axx B22 )xoa+r(*t }-s{* a >)xH,
2
5, = Ax? +Bx,y, +Cy? + Fx, +Gy, +H,
va
veAns,+a| 28) cy, 04 ơ Jal? “sn.4
trong đó ¿ và j mỗi cái có thé nhận các giá trị 1,2 hoặc 3.
Ví dụ 1 Xác định s,,.s,,.5,, và s, cho hypebol với phương trình 3x” =2xy= y? +5x= y=4=0
tại các điềm P =(3,2) và P, =(—-5.—2). Từ đó xác định xem # hoặc P, nằm trên hypcbol.
Loi giai
Phương trình của conic có thé được viết bằng ki hiệu của Joachimsthal là s =0, trong đó
s=3x°—2ry= yy? +5x-y-4.
Vi chúng ta có x, =3, y, =2,x, =—5 và y, =—2 chúng ta suy ra được
5,, =3:3?—2-3-2—2°+5-3—-2—4=20,
Sy, =3-(—5)? ~2-(—5)-(—2)—(—2) +5- (—5)—2-(—2)—4= 24.
-27-
s¿ =3:3-(—5)—2-* -2'(-2)+5-——-~—-4=-34
vả
$,=3-3-x-2 Ung. ca Oty ge gag+ 2
2 2 2 2° 2° 2
Vi s,, vả s,, cả 2 đều không bằng không, nên cả hai điểm P va P, đều không nằm trên
hypebol.
Sau khi đã giới thiệu ký hiệu của Joachimsthal, bây giờ chúng ta chuyên sự chú ý sang việc tìm các phương trình tiếp tuyến của một đường cônic s =0. Vì tiếp tuyến là một đường thăng cắt đường conic tại hai điểm trùng nhau, nên trước tiên chúng ta mô ta cách xác định các điểm tai đó một đường thăng £ cho trước gặp s=0.
Nhớ lại ring mọi điểm P trên đường thing £ di qua hai điểm PB =(x,,9,) và P,=(4,,y;) chia đoạn PP, theo ty số &:1, với một số thực & nào đó, và do đó có tọa độ có thé được viết
dưới dịp rung)
k+l k+1
(x, Vị)
Suy ra đường thăng qua h và P, gặp conic có phương trình
(s =)Ax? + Bry + Cy* + Fx+Gy +H =0 tại điểm mà chia hP, theo tỷ số k:1, trong đó
2") +e(SeAÌ[S: T3 )„c( S3) +f[S:*®)+a[ M4). =0
k+l k+1 k+1 k+l k+l k+l
-ệ 285 ô
Nếu chúng ta nhân cả hai về của phương trình này với (k +1)? va thu gọn các hệ sé của các số hạng liên quan đến k*, k và các số hạng không phụ thuộc vào &, thì hóa ra là chúng ta có thé viết lại phương trình này theo ký hiệu của Joachimsthal một cách kỳ diệu đơn giản
sk? +2s,k+s,, =0.
Phương trình này xuất hiện thường xuyên trong công việc của chúng ta đến mức chúng ta đặt cho nó một cái tên đặc biệt, Phương trình tiếp tuyến của Joachimsthal.
Vi Phương trình tiếp tuyến của Joachimsthal la một phương trình bậc hai theo k , nên đường thăng đi qua PB và P, cắt đường cônic tại hai điểm phân biệt, tại một điểm lặp lạt hoặc không điểm nào tùy thuộc vào việc phương trình bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt, một nghiệm
thực lặp lại hay không có nghiệm thực, tương ứng.
h›
s=0 s=0
Py Py Py
Có hài oghiém thie Có một sehiệm thy Khiỏoe có aghiém thar
Ví dụ 2 Xác định các tỷ lệ với hypebol có phương trình 3x” =2xy= y* +5x—-y-4=0
chia đoạn thang từ P =(3.2) đến P, =(-5,—2).
Lời giải
Đầu tiên hãy quan sát răng hyperbola và các điểm h va P, giống như các điểm được sử dụng trong Vi dụ 1, vì vậy chúng ta có thé sử dụng các giá trị s,, =20, s,, =24 và s,, =-34 được tính trước đó. Theo đó, chúng ta có thê viết lại Phương trình tiếp tuyến của Joachimsthal trong trường hợp này dưới dạng 24k? —68k +20 = 0.
Suy ra k= ; hoặc k= 2 . Vi thể, hypebol chia đoạn PP, tại hai điểm phân biệt theo tỷ số =: 1 LU
t 3