Nhớ lại rằng dang tông quát của phương trình cônic xạ ảnh trong | P* là
Axe + Bry + Cy" + Fvz+@yz + Hz? =0,
Mặc dù phương trình nay liên quan đến sáu hằng số tùy ý A,B,C, F,.G và HH. nhưng chi có năm tỷ lệ của chúng là quan trọng. Trên thực tế, can chính xác năm Điểm đẻ xác định một
đường conic xạ ảnh.
Ví dụ 1 Xác định phương trình của conic xạ ảnh di qua các Điểm [I,0,0].|0, 1,0].0,0, 1), (11,1)
và [1,2,3].
Lời giải
Giá sử phương trình của conic xạ ảnh có dang Ax* + Bxy+Cy* + Fxz+Gyz+ Hz =0.
Vi [I,0.0] thuộc conic xạ ảnh, nên A=0, tương tự [0.1.0] và [0.0.1] nam trên conic xạ ảnh nên C =0 và H =0. Vi vậy phương trình có thé thu gọn thành Bry + Fxz+Gyz =0,
Vì [I,1,1] và [1,2,3] ca hai đều thõa phương trình nên ta có
-39-
Trừ phương trình (2) cho hai lần phương trình (1), ta suy ra rằng — —4G =0 hay =—4G;
và trừ phương trình (2) cho ba lần phương trình (1). ta suy ra 8 —3G =0 nên 8 =3G. Suy ra
phương trình của cônic xạ ảnh phải có dạng
3Gxy—4ỉxz + Gyz =0, hay 3Ay—4xz + yz =0.
Bây giờ chúng ta sử dụng cách tiếp cận trong Ví dụ 1 dé chứng minh kết quả sau.
Định lý 1 Định lý năm điểm
trước bat kỳ, trong đó không có ba điểm nào thăng hàng. Cụ thể, nếu năm Điểm là
[1,0,0}, [0,1,0], [0,0,1], (1,0) va [a,b,c], thi phương trình của conic xạ ảnh là
cla —b)xw + b(c —a)xz + a(b — e)yz =0.
Chứng mink Bằng Định lý cơ ban của Hình học xạ anh, có một phép biến đôi xạ ảnh r ánh xạ bốn Điểm thành {I.0.0].{0.1.0].[0.0.1] va [1.1.1]. Cho [a,b,c] là ảnh của Điểm thứ năm qua ¢
Vì f” bảo toản tính cộng tuyến nên không tồn tại ba điểm [1, 0, 0].[0, 1, 0], [0. 0. 1]. [1.1.1] và [a, b,c] thăng hàng. Quan sát nay cho phép ta suy ra các số a, b,c đều khác không.
Vớ dụ, b#c, nếu khụng thỡ (a, b, e],[1,0,ỉ0 và [1,1,1] sẽ đều nim trờn Đường thăng y=z.
Tương tự, a #6 và c#a.
Ngoài ra, c #0, nếu không thi [a, b,c], [1, 0, 0] và [0,1, 0] đều nằm trên Đường z =0. Tương
tu, a#0 và b#0,
Vì r là một phép biến đổi một-một bảo toàn conic xạ anh không suy biển, nên định lý đúng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một conic xạ ảnh không suy biến qua các Điểm [i,0, 0], [0, 1, 0]. [0, 0, 1], 1, 1, 1] và [œ, ở, c]. Thật vậy, vi không có cônic xạ ảnh suy biến nao có thé đi qua [1, 0. 0], (0,1, 0], {0. O, 1]. {1, 1,1] và [a,b,c] , chỉ cần chứng minh rằng ton tại một đường cônic xạ ảnh duy nhất (với phương trình mong muốn) đi qua các Điểm này.
Bây giờ bat kỳ hình nón xạ ảnh nao cũng có phương trình
- 40 -
Ax? + Bry + Cy" + Faz + Gyz + Hz? =0,
và nếu nó đi qua Điểm [L,0,0] thì A=0. Tương tự, nếu nó đi qua Điểm [0, 1,0} va (0, 0, 1]
thì C=0 và H =0. Theo đó, bat kỳ đường conic xạ ảnh nào di qua [L, 0, 0], [0, 1.0] và [0, 0.1]
phải có phương trình dạng Bxy + Fxz + Gyz = (3) với một số số thực 8, £ và G.
Nếu xạ ảnh conic cũng đi qua các điểm [1, 1,1) và {a,b,e} thì
B+F+G=Q0W (4)và Bab+Fac+Gbc=0 — (5).
Chúng ta có thé coi phương trình (4) và (5) là phương trình với B và F . Nếu chúng ta trừ
phương trình (5) cho ab nhân phương trình (4), chúng ta thu được
F(ab — ace)+G(ab —be) =0
vi vậy F=—G- '9pdscó (6)
Và néu chúng ta trừ phương trình (5) cho ac nhân phương trình (4), chúng ta thu được
B(ac —ab}+ G(áe — be) =0
vì vậy B=-G- ac—be (7)
ac~ab
Từ các phương trình (3)(6) va (7) thì một conic xa anh qua các Điểm
[i. 0, 0], (0, 1. 0]. [0, 0. H], [1 1, 1] và La, ð. e} phải có phương trình dạng
cla —b)xw + b(c —a)xz + a(b — e)yz =0.
Vì a,b và c được xác định duy nhất (đến một bội số) bởi Điểm thứ năm, nên conic xạ ảnh là duy nhất.
Bây giờ. bat kỳ định lý nao liên quan riêng đến các tinh chất xạ ảnh của Điểm, Đường thăng và đường conic xạ ảnh đều có thé được diễn giải như một định lý vẻ các điểm, đường thing và đường conic phang tương ứng trong một mặt phang nhúng. Ví dụ, nêu chúng ta có một tập hợp
bắt kỷ gồm năm điểm trong một mặt phẳng nhúng, trong đó không có ba điểm nào thăng hàng,
thì Dinh lý 1 cho chúng ta biết rằng tồn tại một conic phẳng duy nhất di qua các điểm. Đặc biệt, kết quả này vẫn đúng neu chúng ta yêu cau rằng không có điểm nào trong số năm điểm là Điểm
lý tưởng cho mặt phẳng nhúng, vi vậy chúng ta có kết quả sau đây về mặt phăng hình nón.
-4]-
không có ba điểm nao thăng hang.
Xét bon Điểm phân biệt A, B,C, D bat kỳ, trong đó không có ba điểm nao thang hàng. Nêu X là một Điểm trong | P*
không năm trên bat kỳ đường thang nao qua A, B,C, D, thi Định lý | cho chúng ta biết rằng tồn tại một đường cônic xạ ảnh không suy biến duy nhất qua A, B,C, D và X . Nếu bây giờ chúng ta đi chuyển X trong | P? (tranh các đường thăng
khác nhau qua A, B,C, 2) thi chúng ta thu được một họ vô
hạn các đường conic xạ ảnh không suy biến qua A, B,C, DĐ.
Đo đó, chúng ta có hệ quả sau của Dinh lý | -
Hệ quả 2 Có vô số đường conic xạ ảnh không suy biến qua
một tập bốn Điểm cho trước bat kỳ, trong đó không có ba điềm nào thăng hàng.
Bây giờ chúng tôi sử dụng hệ quả này để cảnh báo bạn về một sai lầm thường mắc phải trong
hình học xạ ảnh.
Sai lam 1a giả định rằng tn tại một phép biến đổi xạ anh £ ánh xạ một conic xạ ảnh E, lên mot conic xạ ảnh khác E, sao cho bốn Điểm đã cho trên E, được ánh xạ tới bốn Điểm đã cho trên
E,.
Tat nhiên, chắc chắn có một phép biến đổi xạ ảnh z, ánh xạ EB, lén E,, và theo Dinh lý cơ ban của Hình học xa ảnh, chắc chắn có một phép biến đổi xạ ảnh z, ánh xạ bốn Diễm trên E, thành bon Điểm trên £,. Van dé là ¿, có thé không phải là phép biến đôi giống như 1, .
1(A) t(D)
1(B) t2
Vi du, xét hai conic xạ ảnh khác nhau E, và E, đi qua các Điểm A=[1,0,0], B=[0,1,0], € =[0,0,1],D =[1,L.1], (Điều nay có do Hệ quả 2.) Theo Định lý cơ
bản của Hình học xạ ảnh, phép biến đổi xạ ảnh duy nhất ánh xạ mỗi Điểm A, 8, C, D vẻ chính nó là phép biến đôi đơn vị, và điều nay chắc chắn không thé ánh xạ E, lén E,.
Định lý sau đây cho thay rằng tinh hudng sẽ rất khác néu thay vì phải ảnh xạ bốn Điểm đã cho trên một conic xạ ảnh với bốn Điểm đã cho trên một conic xa ảnh khác, chúng ta chi phải ánh xạ ba Diém.
Định lý 2 Dinh lý ba điểm
Cho E, và E, là các đường conic xạ ảnh không suy biến lần lượt đi qua các Điểm P,Q,,R, và
t(R)=P,,t(@))=O,,1(R,)= R:.
Chứng mink Đầu tiên giả sit là ánh xạ xạ ảnh bất kì ánh xạ P.Q,,R, thành
[1,0,0],[0,1,0],[0,0.1] tương ứng. Sau đó £° ánh xạ E, lên một cônic xạ ảnh không suy biến
E' đi qua tam giác cơ sở. Nếu E" có phương trình
Ax? + Bọ + Cy? + Faz + Gyz + Hz? =0,
Vi Điểm [1,0,0] thuộc & nên A=0, và tương tự Điểm [0.1,0],[0.0.1] nằm trên E’ nên
C=H =0. Khi đó phương trình E' có thể được viết dưới dạng Bxy + Fxz + Gyz =0, với
B,F,G là các số thực khác 0.
-43-
Nếu #=0 thì phương trình conic xạ ảnh được viết lại (Fx+Gy)z =0 đây là phương trình conic bị suy biến thành hai Đường, tương tự F #0, +0.
Chia cho BFG chúng ta có thé viết lại phương trình E’ như sau
x Y z y Zzx
——+ -—+—-.—=(,
GF GB FB
Bay giờ chúng ta định nghĩa ánh xạ xạ ảnh ¢” bang / ({x, y,z])=[x', y 5z]. trong đó
z 0 0
x G x
y’ |=] 0 F2 0 || y|Khi đó £ ánh xạ E* lên đường conic với phương trình
0 0 1
B
ay’ +x'2' + ve =0 hoặc sau khi bỏ dau phay, thi conic có phương trình xy + xz + yz =0.
Vi ¢* không thay đôi tam giác cơ sở (ví du t*([1,0,0]) = [5.00] =[1,0,0] nên phép biến đôi
xạ anh hợp ¢, =/”s/” ánh xạ E, lên conic xạ ảnh với phương trình xy + xz+ yz =0 theo cách mà 1,(P)=[1,0.0], (@,) ={[0.1.0] và z8 )=[0.0.1].
Tương tự có một anh xạ xạ ảnh /, ánh xạ £, lên conic xạ anh với phương trình xy + xz + yz =0
theo cỏch /,() =[L.0.0]. /;(ỉ,) =[0.1.0] và 1,(R,) =[0.0.1].
Theo đú ỏnh xạ hợp Ê =/;` sr, ỏnh xạ E, lờn E, theo cỏch /(P) = P,,(@,) =O,.Ê(ẹ,) = R, như
yêu cầu.
Ví dụ 2 Cho các Điểm [I,I,1].[1,2,2].{1.2.1] nằm trên conic xạ ảnh £ với phương trình 2xÌ+2w—yÌ+yz—5xz+z? =0.
(a) Chứng minh rằng phép biển đổi xạ anh ¢,:[X]>[X'] với ma trận liên kết
2-1 0
A=|-1 0 1 | ảnh xạ Điểm [I,I.1].|I,2,2],[1,2,1] thành các Điểm [1,0,0],[0,1,0],[0,0, 1]
0 1 -I
tương ứng, vả ánh xạ # lên conic xạ ảnh E” có phương trình x%“— vz“+ y2” =0.
-44-
(b) Xác định phương trình conic xạ ảnh E* là ảnh của E“ dưới phép biến đổi xạ ảnh
1 0 0
1, [XO [X"] với ma trận liên kết B=|0 -1 0|.
0 0 1
(c) Từ đó xác định ma trận liên kết với phép biển đôi xạ ảnh ánh xạ £ lên conic xạ anh có
phương trình xy + yz + xz =0.
`...
x 2 -1 0\(x w|=|-I 0 I) y
z 0 1 -Ij\z
Vì
2-1 Oì\(1 ]
-1 O I1Jl1l|= 0 0 1 -1)\l 0
2-1 OY 0
-l O 1Í2|=|1l|, 0 1 -=I1j2 0
và
theo đó ảnh dưới ánh xạ ¢, của [1,1,1],{1,2,2],[1.2.1] 14 [1.0.0],{0.1.01.10.0.1]. tương ứng.
Tiếp theo, X =A''X” ta được
tk bò ” tà — -
oN
khi đó
-45-
x=r+y+z, ; a.
er . VÀ z=xX +2y +z.
y=+x+2y +2z,
Theo đó 0, anh xa conic xạ ảnh lên một conic xạ ảnh có phương trình
2(x +y +£ Ì + 2(x +y+z )\(x +2y + 2z)-(x +2y + 2z) >
+(x +2y +2z)(x +2y +z)-5(x +y+ z)(x +2y +z )+(x +2y +z) =0.
Sau khi đơn gián thu được x’y’—x'z'+ yz' =0, như yêu cầu.
1 0 0
(b) Dưới phép biển déi xa ảnh r, : X' >|0 -1 0|X’=X",tacé x*=x',y"=-y' va 27 =2'
0 0 1
Vì thể x'=x”,y'=—y” và z'=z
Từ đó ảnh đưới ánh xạ ¢, của conic xạ ảnh xfy“= xz”+ yz°=0 là conic với phương trình
xy? + x°2" + y"2" =
(c) Theo câu (a),(b) thi phép bién déi xa anh f, sf,, với ma trận
1 0 O*Vf 2 -1 0 2-1 O
BA=.0 -1 0} -1 0 IJ=|-=l O -1} ảnh xạ E£ lên conic xa ảnh có phương trình
00 1| 0 1 -1 01 -l
XYy+yZ+zx =0. như yêu cầu.
Chúng ta có thé sử dụng một cách tiếp cận tương tự dé tìm một phép biến đôi xạ ảnh ánh xạ bat kỳ cônic xa anh đã cho nao lên cônic xa ảnh tiêu chuẩn xy + yz+zx =0.
Phương pháp Đề xác định một phép biến đổi xạ ảnh ¢ ánh xạ một conic xạ ảnh đã cho E lờn trờn conic xạ ảnh chuẩn xy + yz + zv = ệ
1. chọn ba điểm P,Q, R trên E;
2. xỏc định ma trận A liờn kết phộp biến đỗi xạ ảnh ỏnh xạ P,Q, RK lờn [1. 0, 0]. {0, 1, ỉ]. [0.
0, 1] tương ứng;
3, xác định phương trình Bx'y'+ Fxz”+ Gy'z’ =0 của (E), với các số thực B, F và G;
- đồ -
4. thi ma trận liên kết với ¢ là BA, trong đó
1 6 0
G
B-|0 + 0
F
0 0 — B