Trước đó, chúng ta đã định nghĩa Đường thing £ là tiếp tuyến của đường conic xạ ánh £ nếu
£ cắt E tại chính xác một Điểm P. Sau đó, chúng ta đã giải thích mối liên hệ giữa tiếp tuyển với đường conic xạ ảnh và tiếp tuyển với conic phẳng. Nếu £ là một tiếp tuyến của một cô-nic xạ ảnh E, thì đường thăng £° đại điện cho £ trong một mặt phang nhúng 7 nó là một tiếp tuyến của conic phẳng E’ đại diện cho E trong 7.
Tytuyea £”
Do sự tương ứng này, chúng tôi có thé sử dụng các kết qua về các hình trong | P dé suy ra các kết quả về các hình trong mặt phẳng nhúng và ngược lại. Trong mục này, chúng ta sử đụng sự tương ứng này dé suy ra các công thức của Joachimsthal cho đường conic xạ ảnh từ các công thức tương ứng cho đường conic phăng. Đề chuẩn bị cho điều nảy, trước tiên chúng ta
mở rộng các khái niệm vẻ một cặp tiếp tuyến vả một đường đối cực cho một conic xạ ảnh trong
1P.
Giả sử E là một đường conic xạ ảnh không suy biến và gọi P là một Điểm trong | P nim bên ngoài £. Nếu Z là một mặt phẳng nhúng, thì E được biểu diễn trong 7 bởi một conic phăng không suy biến E”, và P được biểu điển bởi một điểm Euclide ?' trong 7. Bây giờ.
trong mặt phẳng nhúng, ta có thé vẽ một cặp tiếp tuyến £ ¡ và ý; từ P' đến E’. Quay lại ˆ P?
, các mặt phang đi qua gốc tọa độ và các đường thăng £, và £, là các tiếp tuyến xạ ảnh với E
. Các tiếp tuyến này gặp nhau tại Điểm P, vì vậy chúng được gọi là cặp tiếp tuyến xạ ảnh (hay
đơn giản là cặp tiếp tuyến) từ Điểm đến đường conic xạ ảnh E.
= 35.
Diem P ngoài E
Bây giờ gọi Q" và R’ là các điểm trong mặt phẳng nhúng Z tại đó £, và £, tiếp xúc với E’. Khi đó đường đổi cực của P’ đối với E' là đường thăng £ đi qua @“ và #'. Trở lại J P*, mặt phang đi qua gốc toa độ và £ là một Đường thing mà chúng ta gọi là đường đối cực xạ ảnh (hay đơn giản là đường đối cực) của Điểm P đối với conic xạ ảnh
F.
Đề xem cách ký hiệu của Joachimsthal có thê được mở rộng từ J? đến J P*, giả sử rằng công việc trong Tiêu mục 4.2.1 đã được thực hiện trong mặt phang nhúng z =1. Để minh họa các ý tưởng liên quan, hãy nhớ lại phương trình của Joachimsthal cho một cônic phang là s=0,
trong đô s= Ax* + Bry + Cy? + Fx+Gy+H .
Trước đó, trong mục 1.1, chúng ta đã mô tả cách phương trình của đường conic trong - PỶ có
thé nhận được tir phương trình của conic phẳng tương ứng bằng cách thay x bằng = và y
~
bằng 2, sau đó nhân với z” dé bỏ các mẫu số. Phương trình van là s =0, nhưng bay giờ
s=Av`+ Bọ +Cy” + Fxz+@Œyz + He’.
Theo cách tương tự, các biéu thức của Joachimsthal, ching hạn như s, =0 đối với một đường đổi cực, hoặc s” =s-s,, đối với một cặp tiếp tuyến, vẫn giữ nguyên trong | P* với điều kiện
= 36-
là chúng ta sửa đôi các biểu thức cho s, và s,, bằng cách thay thé x.y,x,.y, lần lượt với
xy YƠ 3‹ a Pra 4 ằ ` Ä . ô h ấ x. > keg f ` gk: _ 2+
+, “= roi nhân với lũy thừa của z và z, đề xóa các mẫu số. Các sửa đối kết quả đối với
“1 “4
x
Syằ $Ăằ.„ được dua ra trong ky hiệu sau.
Ky liệu Joachimsthal cho conic xạ anh
Cho conic xạ ảnh với phương trình =0, trong đó
S=AX + Bọ +Cy* + Faz +Gyz+ Hz’,
va cho [x,. ¥,.z,] và [x;. y;.z¿] là Điểm trong 7) P*. Khi đó ta có định nghĩa
] | l
$= Awzt>B(uy+taw)+Oiy+zFGẽ +x4)+G£+ yz, )+Hz,2,
5, = Axy + Bx,y, + CV + Pu, +Gy,z, +H)
l | |
$ạ = AXA, +5 BG): +X, +Cyy, ars F(x,z, + 2) + 5 GÓN; + y,2,)+ Hay.
Ví du 6 Xác định s,,s., vả s,, của conic xa ánh
4x? +xy—2y? =8xz—2yz +4z? =0
tại Điểm [x,,y,.z,] =[1.0.2] và [, y;.z;]=[1.2.—1].
Loi giải
Dùng ký hiệu Joachimsthal với A=4.8 =l.C=~-2, F =-8,G=—2 và H =4, ta tính được
3 =4x +2 (y+0)~2:0~4(z+24)~(0+2)+4:2: =-= yxÁ:
5, =4:140-0-8:2-04+4-424
Sy = 4-145 (2+0)-0-4(-1+2)- (044) +4-2-(- =-11
Với những thay đổi doi với ky hiệu của Joachimsthal được mô tả ở trên, tat cả các công thức cho các đường đối cực, tiếp tuyến và các cặp tiếp tuyến được chuyển từ 1? sang ˆP?. Do đó
ta có định lý sau.
-37-
Dinh lý 4 Cho một conic xạ ảnh E trong | PỶ có phương trình =0.
(a) Nếu P=[x,. y,.z,] nằm trên E, thì tiếp tuyển của E tại P có phương trình s, =0.
(b) Nếu P= [X,, Mạ. Z¡ nằm bên ngoải E, thì cặp tiếp tuyến của E từ P được có phương trình
5, =8.2
thăng với phương trình 5, =0.
Ví dụ 7 Cho conic xa ảnh # có phương trình
4x* +. xy —2y? —8xz—2yz +42? =0.
(a) Xác định phương trình tiếp tuyến của E tại Điểm [1,0,1].
(b) Xác định phương trình hai tiếp tuyển của E qua Điểm [1,0,2].
(c) Xác định đường đối cực của Điểm [1,0,2] đối với E.
Lời giải
(a) Ta có s=4A” +Ay—2y—=§xz—2yz+4z? va [x,, vụ. z,]=[0.1.1]. Khi đó
4 =0+2.(0+ x)=2y=4(0+ x) =(z + y)+4z = -2x-3y +3:z.
Vậy phương trình tiếp tuyển của E tại S[0,1,1]$ là 7x+6y —62 =0.
(b) Cặp tiếp tuyến kẻ từ [1,0,2] đến E có phương trình s; =s-s,,, trong đó, theo vi dụ 6
3 £ ` * sa £ >
$, = -4x- 3 y+et4z vả s,, =4. Vì thê phương trình của cặp tiếp tuyên là
3 ; 3 3 >
[-4x-3 y+4z) =(4x° +xy—2y" —8xz —2yz+4z")-4,
hay
16x° tuy +1627 +l2xy—32xzT—12yz = 16x? +4xy—§y? -32xz—8yz +16zŸ.
-38-
Sau một số sắp xép lại, điều nay trở thành a y? +8xy —4yz =0, hoặc [2 yr8x— 42 =0.
Vi vậy phương trính hai tiếp tuyên của conic xạ ảnh là y = 0.2 y+8x-4z =0.
c) Dường đối cực của Điểm [1,0,2] có phương trình $, =0, trong do, theo ví dụ 6,
5, =-dw~2y ắc,
Vi vậy Đường đối cực của Điểm [1,0,2] đối với E là 8x+3y—8z =0.
3 Một số định lý
Trong phân nay, chúng ta sử dụng sự thật là tất cả các đường conic không suy biến (xạ ảnh) đều đồng dang xạ ảnh, cùng với Dinh lý cơ bản của Hình học xạ ảnh, dé chứng minh nhiều kết quả thú vị về đường conic xạ ảnh. Sau đó, các kết quả tương ứng cũng đúng cho các conic
phăng.