Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Hình học hyperbolic

Trong số đó, tiên để thứ 5 của Euclid khiến cho nhiều nhà Toán học phải quan tâm: “Nếu hai đường thing cắt một đường thẳng cho trướcvới hai góc trong nhỏ hơn 90° nằm cùng một phía của đư

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

tidng viên hướng dẫn: TS NGUYEN HÀ THANH

Sinh viên VO TRỌNG NGHIA

Mã số sinh viên: 44.01.101.097

TP.HCM, tháng 5 nam 2022

Khóa luận tốt nghiệp Hình học Hyperbole

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYÊN HÀ THANH

Sinh viên: VÕ TRỌNG NGHĨA

Mã số sinh viên: 44.01.101.097

TP.HCM, tháng 5 năm 2022

GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh 1 SVTH: Võ Trạng Nghia

1 Hình học Hyperbolic: M6 hình dia Poincaré 8

20

2 = ner bién đối H perboue 22

P ẽ 7 a 99

26 28

3 Khoảng cách trong hình hoc Hyperbolic

Khóa luận tốt nghiệp Hình học Hyperbole

5 Phụ lục 1: Diện tícl 65

65 72

75

6 Phu luc 2: Hinh hoc Hyperbolic: M6 hinh ban phang 78

7 Phụ lục 3: Một số bai ta 82

93

“Tài liệu tham khảo 94

GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh 3 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Lời cảm ơn

Luan văn tốt nghiệp này được hoàn thành, tôi xin bày to lòng biết ơn sâu

sắc tới TS Nguyễn Hà Thanh, giảng viên Khoa Toán - Tin Học, Trường Dai

học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã hướng dẫn và chỉ dạy tận tình, chuđáo để tai hoàn thiện bài luận văn Toi xin chan thành cảm ơn đến quý thầy c6

đã nhiệt tình giảng day cho téi những kiến thức và kinh nghiệm quý giá trongsuốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường Dai học Sư phạm TP.HCM

Luan văn này đã được toi chăm chút thật hoàn chỉnh, tuy nhiên khong thể

không tránh được những thiếu xót, rất mong nhận được sự đóng góp và chỉ bảo

để bài luận văn hoàn mỹ Töi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện: Võ Trọng Nghĩa

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 4 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

0.1 Lí do chọn đề tài

Nhà đã biết, Euclid là người đã đặt nền mồng cho môn hình học cũng như toàn

bộ toán học cổ đại Ông đã phát triển quan điểm hình học của mình théng qua

các tiên để mà ông đã xây dựng Hình học đưa vào hệ tiên dé Euclid được gọi

là hình học Euclid Trong số đó, tiên để thứ 5 của Euclid khiến cho nhiều nhà

Toán học phải quan tâm: “Nếu hai đường thing cắt một đường thẳng cho trướcvới hai góc trong nhỏ hơn 90° nằm cùng một phía của đường thẳng cho trước

thì hai đường thẳng đó sẽ có điểm giao nhau ở cùng phía đó và tạo nên một

góc nhỏ hơn 180°", một cách phát biểu khác tương đương “Qua một điểm nim

ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với

đường thang đã cho.” Qua đó, ta thấy Euclid đã gói ghém bên trong nó quan

điểm cho rằng thé giới là một hình phẳng hoàn hảo, được bao bọc trong mộtthế giới mà những đường thang tồn tại và có thể kéo dài võ han, và dù kéo dài

đến đâu chăng nữa chúng vẫn luôn thẳng.

Tuy nhiên, Jean le Rond d'Alembert đã có nói rằng: “Dinh dé thứ năm làđiểm đen duy nhất” trong hình hoc Euclid Các nhà Toán học cố gắng chứng

minh tiên dé thứ 5 bằng các định dé và tiên để trước đó nhưng mãi vẫn không

thành cong và ý tưởng độc đáo khác chính là phủ định tiên để thứ 5 ấy để tìm

ra sự manu thuẫn, tuy nhiên dd kết quả có kỳ lạ nhưng ho déu không thay sư

mâu thuẫn Nhưng thông qua việc làm ấy, lại mở ra những quan điểm mới của

hình học, hình thành hình học phi Euclid bao gồm hình học Eliptic (Bernhard

Riemann} và hình học Hyperbolic (Nikolay Ivanovich Lobachevsky va Janos

Bolyai, Carl Friedrich Gauss).

Nhân thấy quan điểm mới mẻ của hình hoc phi Euclid nói chung và hình

hoc Hyperbolic nói riêng nên chúng tôi đã chọn dé tài nghiên cứu: “Hình hoc

Hyperbolic”.

or

Khóa luận tot nghiệp Hình học Hyperbole

0.2 Mục dich nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu này nhằm tìm hiểu ý tưởng mới mẻ của hình học phiEuclid cu thể là hình học Hyperbolic Đồng thời trình bày các nội dung cơ bản

của của hình học Hyperbolic trên mö hình dia, các phép biến đối, khoảng cách,

điện tích, trong hình học Hyperbolic.

0.3 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu các van dé cơ bản của hình học Hyperbolic với m6 hình dia Poincaré, đồng thời giới thiệu một số kết quả của hình học Hyperbolic trong

mô hình bán phẳng.

0.4 Phương pháp nghiên cứu

Bài báo cáo này nghiên cứu bằng phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Phương

pháp phân tích và tổng thích hợp thuyết: Nghiên cứu các tài liệu phân tích

chúng thành từng bộ phận để quan tâm sâu sắc về hình học Hyperbolic, sau

đồ liên kết từng mat, từng bộ phận đã được phan tích tao ra một hệ thong lí

thuyết mới từ đẫu đến cuối và sâu sắc vẻ hình học Hyperbolic.

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 6 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Hình học Hyperbolic

Chương 1

Hình học Hyperbolic: Mô hình đĩa

Poincaré

Hệ tiền dé Euclid đã đưa ra các định nghĩa về các thuật ngữ cơ bản trong hình

học và các quy tắc để sử dung chúng (được gọi là định dé) Và rat nhiễu quy tắc

của Euclid đường như hoàn toàn không đối nghịch, chang hạn như khang định

thông qua hai điểm phân biệt bất kỳ trong một mặt phẳng hoặc trong không

gian sẽ xác đình duy nhất một đường thắng đi qua hai điểm đó và một đường

có thể kéo dai vô hạn theo cả hai hướng Trên những nên tang nay, Euclid đãđưa ra những chứng mình chặt chẽ vẻ các định lí trong hình học sơ cấp, diéunày có thể được chấp nhận là đúng vì cách chúng đã được thiết lap Trong số

các định dé cho hình học Euclid có mốt định dé về các đường thang song song

tương đương với phát biểu sau day:

Dinh đề song song: Cho một đường thang | va điểm P không nam trên đường

thang |, khi đó có duy nhất đường thang m di qua P không cat đường thang |

(hay song song uới đường thang 1)

Với quan điểm này, định dé song song của Euclid di khang định hai điều:

thứ nhất, tồn tai đường thing m qua P song song với !; thứ 2, đường thing m

là duy nhất hay nói cách khác là mọi đường thang khác m đi qua P đều phải

cắt đường thang J Tuy nhiên, bằng quan sát thực tế thì không hợp lí, các nhà

khoa học đã cổ gắng xóa Định để song song ra khỏi danh sách các định dé của

Euclid, coi nó như một định lí và cé gắng chứng minh nó bằng các tiên để còn

lại Tắt cả đều that bại, và cuối cùng thì lí do đã được giải thích: Dinh dé Song song không thể được biển thành một định lí theo cách này bởi vì có những mô hình hình học nhất quán bên trong tuân theo tat cả các định dé Euclid ngoại trừ Dinh dé Song song Có thể nói, Dinh dé song song chính là sự độc đáo của

hình hoc mà Euclid đã xây dựng Tuy nhiên, dựa vào đó, cũng có thể xây dựng

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

một loại hình học khác bằng cách thay thế Dinh dé song song của Euclid cụ thé

là phủ định Dinh dé song song của Euclid Chúng tôi xin giới thiệu một định dé

thay thế như sau:

Cho mét đường thẳng | va điểm P không nằm trên đường thăng t, khi đó cá

it nhất hai đường thăng m, n di qua P không cất đường thang! (hay m, n song

song vii đường thang Ì)

Định đề thay thế trên đã phủ định tính duy nhất trong Dinh dé song song

của Euclid Hình học có các định dé của hình học Euclid cùng với đình đề thay

thế trên được gọi là Hình học Hyperbolic Từ day, chúng tôi xin gọi định dé

thay thế bên trên là :"Dinh đề song song Hyperbolic”

Trong chương nay, chúng tôi giới thiệu một mồ hình hình học Hyperbolic

của nhà Toán học Pháp Herry Poincaré và trong mô hình này (đơn giản gọi

là hình học Hypebolic) là không gian của các điểm nằm bén trong đĩa đơn vị

D = {z: |zÌ < 1} va tất cả các biểu điễn hình học déu được thể hiện trên đĩa

này Qua đó, dita ra các định nghĩa vẻ đường thang Hyperbolic, góc Hyperbolic

và một số kết quả.

1.1 Hình học Hyperbolic

Trước nhất chúng tôi đưa ra các khái niệm ban dau đó chính là điểm và đườngthẳng trong hình học Hyperbolic

Khái niệm 1.1.1 Các điểm trong hình học Hyperbolic là các điểm nằm trong

dia đơn vi Tite là z là điểm trong hình học Hyperbolic khi:

z€?D=({z:|z| < L}={(ứ,w): z? +9 < 1}

Đặt: C = {z: |z| = 1} = {(£.vw) : z + y* = 1}

Khi đó ¢ là một đường tròn (trong hình hoc Euclid) và các điểm nằm trên

C không phải là các điểm thuộc hình học Hyperbolic

Khái niệm 1.1.2 Dường thang d là một phan của đường tròn tổng quát (có thể

là một đường tron hay mot đường thang trong hành học Euclid) nằm hoàn toàn

trong D tà trực giao tới C được gọi d là đường thẳng d Hyperbolic

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 9 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Khỏa luận tắt nghiệp Hỡnh hoe Hụperbolie

Để thuận tiờn, chỳng tụi gọi đường thẳng trong hỡnh học Euclid là đườngthang Euclid, và đường thang trong hỡnh học Hyperbolic là đường thang Hy-

Thật vậy, nếu d khụng là đường kớnh của đường trũn C thỡ nú khỏng thộ

trực giao với Œ do lỳc này tiếp tuyến của d cũng là chớnh đường thang d

và tiếp tuyến của C tại điểm biờn khụng vuụng gúc nhau (gúc giữa tiếp tuyển và đõy cung luụn bộ hơn gúc giữa tiếp tuyển và đường kớnh) Như

vay, đường thẳng đ phải là đường kớnh của C

đô Nếu dường thang d là một cung của đường trũn (trong hỡnh học Euclid) thi

nú khụng thể di qua gốc O là tõm của đường tron C

Thật vay, giả sử d di qua tõm O Mà d cắt C tại hai điểm là ?.Q nờn tiếp

tuyển tại 7 Q cung trũn di qua tõm O, gọi đường trũn (O’,r)} là đường trũn chứa cung đ Khi đú, PO? = OO” —r* do O € d nờn ỞO! = r suy ra PO = 0

nờn P =O điều này mõu thuẫn với việc O là tam của đường trũn C.

Vớ dụ 1 Xột đường d như sau:

d= {(Ê.w): zấ +y? —4y =0}n?D

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 10 SVTH: Vừ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Khi đó, z? + y? — 4ự = 0 © 2? + (y — 2)? = 4 là đường tròn tâm A(0;1) bán

kính r = 2 và thấy rằng gốc O nằm trên (A,r), theo nhận xét d không là đườngthing Hyperbolic

Đến đây, nêu đường thang Hyperbolic ở là một cung tròn thi ta có thể viết

đồng nhất phương trình của đường tròn chứa cung tròn ấy với đường thẳng

Hyperbolic d và việc chỉ ra phương trình đường tròn chứa cung tròn chính là chỉ

ra đường thẳng Hyperbolic d Như vậy, phương trình đường tròn có dang như

thế nào thì cung tròn trên đĩa D là một đường thang Hyperbolic đ

Mệnh đề 1.1.2 Nếu d là đường thẳng Hyperbolic thì phương trình của 4 là một

trong các dang sau day:

Trước hết (Cy) phải là một đường tròn do đó : ((a? + 67) — e > 0(1).

Khi đó đường tròn (C)} có tam là A (-§ -5) ban kính r = nu +b?) —e,

£

=

Mã

Mặc khác, đ cat và trực giao với đường tròn đơn vị (C} : 2? + y* — 1 = 0 khi

va chỉ khi (C) cắt và trực giao với (C1).

Nghĩa là OA? = 147? © nh +) = 1+ Gs + )—c œc= I

(ste t?)—=1>0=a?+ˆ >4

Ví dụ 2 Xét đường d như sau: d = z + y* + 3x — 2u + 1.

Khi đó, a = 3,b = —2 > a? +P = 32 + (—2)2 = 13 > 4, theo mệnh dé trên, d là

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Như vậy, chúng ta đã đưa ra khái niệm về điểm Hyperbolic và đường thang

Hyperbolic, vẫn dé chúng ta cần quan tâm chính là khái niệm song song trong

hình học Hyperbolic.

Định nghĩa 1.1.4 Hai đường thang Hyperbolic không giao nhau trên đĩa D

được gọi la song song nếu đường tròn tổng quát của chúng cất nhau tại một diém va điểm ay nam trên đường tròn đơn vi C.

Và được gọi là siêu song song nếu đường tròn tổng quát của chúng không giao

nhau trên đường tròn dan vi C.

Tinh chat 1.1.5

1 Cho đường thing Hyperbolic d va điểm P bat kì trên dia D không nằm trên

d Khi đó ton tai đúng hai đường thang Hyperbolic | val’ di qua P song

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

9 Cho đường thang Hyperbolic d va điểm P bất kì trên đĩa D không nằm trên

d Khi đó tồn tại tô số đường thăng Hyperbolic | di qua P siêu song song

ớt d.

Trong hình hoc Euclid và hình học nghịch đảo, phép đỗi xứng và phép nghịch

đảo đóng góp vai trò quan trọng và trong hình hoc Hyperbolic cũng như the.

Rõ ràng, phép đối xứng của đĩa đơn vị D qua một đường kính của D là ánh xa

từ D vào chính nó, và phép nghịch dao của dia đơn vị D trên một đường thẳng

Hyperbolic ở không đi qua gốc O cũng như thế.

Định lí 1.1.6 Cho đường thang Hyperbolic d là một phần của đường tròn Euclid

¿ Khe đó, pháp nghịch dao trong ¢ là ánh rạ từ Œ vao C va từ uào D.

Chứng minh:

(C)

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 13 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Goi A, B là giao điểm của C và ø :

Qua phép nghịch đảo trong y, A và B được biến thành chính nó Do phép

nghịch đảo có tính bảo giác nên ảnh của đường tròn C là một đường tròn cắt

với y và vuông géc với ¿ tại A và B Và chỉ có một đường tròn thỏa điều trên,

đó chính là €, do đó ảnh của C là chính nó qua phép nghịch đảo trong ¿.

Mac khác, ảnh của các điểm nằm trong Ø qua phép nghịch trong ¿ nằm trong

hay bên ngoài ảnh của đường tròn C qua phép nghịch đảo trong ¿ cũng chính

là đường tròn D Nhưng ảnh của các điểm nam trên đường thang Hyperbolic d

là chính nó qua phép nghịch dao trong y Vậy, ảnh của D là chính nó qua phép

nghịch đảo trong ý.

Như vay, chúng ta thấy rằng ảnh của đường thang Hyperbolic đ trên dia đơn

vị D qua phép nghịch đảo cũng là chính nó.Và việc quan sắt các nét đặt trưng

của một phép nghịch đảo chính là quan sát các thành phan bat biến qua phép

nghịch đảo ấy Tương tự với các tính chất đúng trong hình học Euclid, chúng

tôi đưa ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.7 Afðt phan ca Hyperbolic trên mot đường thang Hyperbolic d

là giới hạn đối uới dia đơn vi D của pháp nghịch đảo trong đường tròn ma đường

thang Hyperbolic d là bộ phan của nó

Nhận xét 1.1.8.

1 Nếu đường thang Hyperbolic d là một phan của đường tròn Euchd ¿ cất

đường tròn đơn viC tai A va B Tiếp tuyén tai A va B của đường trờn C

cat nhau tại M Diém M được gọt là tam của phép nghịch đảo.

2 Dink lí 1.1.6 có thể phát biểu vớt một cách khác là: Phản ra Hyperbolic

trong mét đường Hyperbolic d biến dia đơn tì D thành chính nó.

Phan xạ Hyperbolic là co sở xây dựng nên các phép biến đối trong hình họcHyperbolic Tích hữu hạn các phản xa Hyperbolic được gọi là phép biến đối

Hyperbolic Tap hợp các phép biến đổi Hyperbolic đưới tác động của các hàm

thành phẫn tạo thành nhóm Hyperbolic, kí hiệu là Gp.

Dinh nghĩa 1.1.9 Hình học Hyperbolic bao gom dia đơn vi D va nhóm phép

biến đổi Hyperbolic Gp.

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

9 Nếu r =tof¿o otf„ là một phép biến đối Hyperbolic thi nghịch đảo của

nó cũng là mật phép biến đổi Hyperbolic r~! = tz ot, ', 0 oty! Nghĩalà:

Vr=fiotao ofe 3p Ì= t1 ° In o ot! trotrl—prlor=J

3 Nếu đường tròn ý chứa đường thắng Hyperbolic d cắt đường tròn don vi €

tại A va B, r là một phan ca Hyperbolic trong d P,Q # D để thuận tiện

ta viet ảnh của P,Q qua phép nghịch đảo trong y là r(P) va r(Q) Quy tước

cũng được sử dung tưởng tự khir là phép biến đổi Hyperbolic

Tiếp theo, chúng tôi bàn đến ý tưởng xây dựng các góc trong hình hoc

Hyperbbolic.

Dinh nghĩa 1.1.11 Góc Hyperbolic giữa hai đường cong di qua điểm P nằm

trong dia D là góc Euclid giữa các tiếp tuyến tai P của hai đường cong ay

(€) 7

Nhu vay góc giữa hai đường thang Hyperbolic cắt nhau tai P nằm trong dia

P là góc Euclid giữa các tiếp tuyến tại P của hai đường tròn Euclid chứa hai

đường thing Hyperbolic ấy.

Phép đối xứng và phép nghịch đảo có tính bảo giác, theo đó phép phản xaHyperbolic và phép biến đổi Hyperbolic cũng có tính bảo giác Bên cạnh đó, phép

déi xứng và phép nghịch đảo biến đường tron Euclid thành đường tron Euclid.

Kết hợp tính bảo toàn góc, ta suy ra phép phản xa Hyperbolic và phép biến đốiHyperbolic biển đường thang Hyperbolic thành đường thang Hyperbolic

Dinh li 1.1.12 Phép biến đổi Hyperbolic biến đường thẳng Hyperbolic thành

đường thang Hyperbolic va có tính bảo giác

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 15 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

1.2 Sự tồn tại của đường thang

Qua một điểm A nằm trong D, có ít nhất một đường thang Hyperbolic d qua

4 cụ thể là đường kính của Ð qua A, tuy nhiên tại O lại có võ số đường thang

Hyperbolic đ qua O cu thé là các đường kính của D Như vay, có nhiều hơn một

đường thing Hyperbolic qua A hay không?

Bồ dé 1.2.1 Cho điển A nam trong D khác gốc O Khi đó, tồn tại đường thang

Hyperbolic d sao cho phép phan sa Hyperbolic trong đường tron Euclid chứa d

biển điểm A thành O.

Chứng minh:

LN

(C)

201 l là tam của đường tròn Euclid chứa đường thang Hyperbolic d và cắt

đường tron đơn vị € tại P và Q Do đường tròn C và đường tròn (R) trực giao

nền: OP? + RP? = OR? Giả sử O là ảnh của A qua phép nghịch đảo trong (#)

Điều này tương đương với: RO.RA = RP? Do đường tròn C và đường tròn (R}

trực giao nến:

OP? + RP? = OR?

+ RO.RA = OR? - OP? œ RO(RO — RA) = OP? œ RO.AO = OP? = 1

Do đồ ta có thể tim chọn điểm R và bán kính của (R) Như vậy tốn tại đường

thắng Hyperbolic đ sao cho phép phản xa Hyperbolic trong đường tròn Euclidchứa d biến điểm A thành O

Bồ dé trên mang lại ý nghĩa tuyệt vời chính là chúng ta có thể nghiên cứu bắt

kì van dé nào trong hình hoc Hyperbolic bằng cách biển một điểm cần nghiên

cứu thành gốc tọa độ O, từ đây chúng ta giải quyết van dé một cách dé dang

mà không làm mat tính tổng quát của nó

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 16 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Dinh lí 1.2.2 Cho điểm A nằm trong đĩa D Khi do, có tô số đường thẳng

Hụperbohc d di qua A.

Chứng minh:

e Trường hợp : Nếu A là gốc, tức là A = O Khi đó, có vô số đường thẳng

Hyperbolic di qua A các đường thang Hyperbolic ấy chính là các đườngkính của đường tròn đơn vì C.

e Trường hợp : Nếu A khong là gốc, tức là A # O khi đó, theo bổ dé 1.2.1,

tốn tai đường thang Hyperbolic d sao cho phép phan xa Hyperbolic r trong

đường tron Euclid chứa đ biến điểm A thành O Như vậy, qua O có võ số

đường thắng Hyperbolic đi qua O các đường thang Hyperbolic ấy chính là

các đường kính của đường tròn đơn vị C.

Mã z~! cũng là phép biến đối Hyperbolic nên ảnh của các đường kính củađường tròn đơn vị C là các đường thăng Hyperbolic đi qua A, do đó có võ

số đường thắng Hyperbolie đi qua A.

Trong hình học Euclid, qua hai điểm phân biệt bắt kì có duy nhất một đường

thắng đi qua hai điểm đó, kết quả này cũng đúng với hình học Hyperbolic

Định lí 1.2.3 Cho hai điển A va B phân biệt nằm trong đĩa D khi đó, ton tai

duy nhất đường thăng Hyperbolic d di qua hai điểm đó

Chứng mình:

e Nếu một trong hai điểm A và B là gốc Không mat tính tổng quát giả sử

A =O Khi đó, có duy nhất một đường thing Hyperbolic d di qua gốc O

và B, cụ thể chính là đường kính qua điểm của đường tròn đơn vị C

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

e Nếu cả hai điểm A và B không là gốc.

{C)

* Chứng minh tinh tổn tại của đường thẳng Hyperbolic d

Với hai điểm A và B trong đĩa D Khi đó, theo bổ dé 1.2.1, tồn tạiđường thang Hyperbolic ! sao cho phép phản xa Hyperbolic r trongđường tròn Euclid chứa ! biến điểm A thành O Nên có duy nhất một

dường thang Hyperbolic a’ di qua gốc O và #! = r(P), cụ thể chính làđường kính qua điểm B’ của đường tròn đơn vị C

Mà z7! cũng là phép biến đổi Hyperbolic nén ảnh của đường thang

Hyperbolic # là đường thang Hyperbolic d đi qua A và B, do đó có

đường thăng Hyperbolic đ di qua A và B

Chứng minh tính duy nhất của đường thing Hyperbolic d

Giả sử có đường thẳng Hyperbolic k đi qua A và ở Khi đó, r(k) = ở

Mà d =r7"(d') = r~Ì(r(k)) = r~!er{(k) = I(k) = k.

Vậy đường thang Hyperbolic d là duy nhất

Định lí 1.2.4 Cho hai điểm phân biệt A,B va hai đường thang Hyperbolic dy, dạlần lượt di qua A va B kha đó, tần tại phép biến đổi Hyperbolic biến A thành B

va dị thành dạ.

Chứng mình:

Theo bổ dé 1.2.1, phép phan xạ Hyperbolic rị biển điểm A thành O và biến

đường thang Hyperbolic dị thành đường thang Hyperbolic í¡ là đường kính diqua í¡: phép phan xa Hyperbolic rạ biến điểm B thành O và biến đường thẳng

Hyperbolic dz thành đường thang Hyperbolic /; là đường kính di qua i; Vì fy và

ly là đường kính của đường tròn đơn vi C nên tồn tại phép biến đổi Hyperbolic

rz biến !l thành í¿ cụ thể là phép quay tâm O trong hình học Euclid

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 18 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Dat: r=rz!orzor, khi đỏ:

r{A} = ra 1ozsor{4) = ra lí; 3(71(A})) = rz l{r; s(O)) = rzÌ(O) =

rí) = rz! org ori(dy) = rz}(ra(ri(®))) = r7}(ra(h)) = rz (la) =

Vay tén tại phép biến đối Hyperbolic biển A thành Ø va dy thành do

Ví dụ 3 Cho hai điểm A,B nim trong dia D và điểm C nằm trén đường trònđơn vi sao cho hai đường thang hyperbolic AB va BC song song Gọi r là phép

biến đổi Hyperbolic thỏa t(AB) = A'B',r(BC) = BIC’ tới A’, BY,C’ nam trên C.

Chứng minh 41B! song song uới BC",

Chứng mình:

A'B' song song với B'C’ tức là 4P! và BC’ không cắt nhau trên đĩa D và

cắt nhau trên C Giả sử phản chứng, A’B! và B'C’ cắt nhau tại P' trên đĩa Ð.

Vì r là phép biến đổi Hyperbolic thỏa r(4Đ) = A‘B',r({BC) = BIC’ nền P =r1(ƒP!) = P thuộc AB và BC điều nay mâu thuẫn với việc AB và BC song song

Mà 4P 'n BC’ = B' € C Vậy A'B'’ song song với B’C’.

Ví dụ 4 Cho đường thang Hyperbolic d va điểm P không nam trên d Chứngminh có đúng 9 đường thẳng Hyperbolic di qua P song song tới a

Chứng mình:

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 19 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Lay P é D không nằm trên d Theo bé dé 1.2.1, tốn tai một phép phan xa

Hyperbolic r sao cho ríP)} = O và r(d) = đ° Gọi A,B là hai điểm giới han của

của đường thang Hyperbolic d‘ Mặc khác, trong đĩa D có đúng một đường kính

di qua A là l{, và có đúng một đường kính di qua B là Do đó, có đúng hai

đường thing Hyperbolic qua P là l¡,!› song song với d là ảnh của 14,15 qua r~Ì,

13 Ảnh qua phép nghịch đảo

Bồ dé 1.3.1 Cho hai điểm nghịch đảo A va B déi uới đường tròn C, t là một

phép nghịch đảo Khi dé, t(A) va t(B) là hai điểm nghịch đáo đối uới đường

tron tÍC).

Qua đây, ta có một kết quả đặc biệt đang chú ý Gọi C là đường tròn Euclid chứa đường thang Hyperbolic d trong đĩa đơn vị D và A là một điểm nằm trong

D, B là nghịch dao của A qua d Gọi £ Phép nghịch đảo qua đường tròn CTM chứa

đường thang Hyperbolic d* nam trong đĩa D Khi đó, t(4) = A’,t(B) = B’ namtrong D va f(đ) = # cũng nằm trong D Va chúng ta có định lí:

Dinh lí 1.3.2 Cho hai điển A,B nghịch đảo đối véi đường thẳng Hyperbolic d.

Goi A’, BY,d' lần lượt là ảnh của A,B,d qua phép nghịch đảo véi đường tròn C°

chứa đường thang Hyperbolic d* nam trong dia D Khi đó A',P' nghịch đảo dối

tuới đường thang Œ

Ví dụ 5 Cho đường thang Huperbolie d va điểm P nằm trên đĩa D không thuộc

d Goi Q là ảnh của P qua phép nghịch đảo đổi uới đường tròn € chứa d Gọi I

là đường thing Hyperbolic di qua P tà Q cắt d tại S

a Tìm mét phép nghịch đảo déi uới đường tròn (C) biến | thành chính no

b Chứng mink d val tuông góc tại giao điểm Š

Giai:

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 20 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

(€) ¢)

v

a Tim một phép nghịch đảo đối với đường tròn C biến | thành chính nó

Xót phép nghịch đảo r qua đường tròn € thỏa r(Q) = P.r(P) = Q, khi đó,

r{Ð là đường thang Hyperbolic di qua P,Q Theo định lí 1.2.3, có duy nhất

đường thang Hyperbolic f đi qua hai điểm P,Q nên r() =1 Như vậy, r là

phép nghịch đảo qua đường tròn C biến | thành chính nó.

b Chứng minh d và | vuông góc tại giao điểm S

Goi z là phép phản xạ qua đường tròn C° biến Š thành Ø, khi đó, ảnh của

d qua phép biển đổi r là đường kính # của đường tròn đơn vi C Theo bổ

dé 1.3.1 ta có ríP) = P’,r(Q) = Q' là hai điểm nghịch đảo đỗi với #' tức làP' và Q! déi xứng qua a’ , đồng thời r(!) = là đường kính di qua P',@*

của đường tròn đơn vi Do đó đường kính vuõng góc với # tại O Ma

rrl!(#) = đ.£7}{P) = ! và ro! cũng là phép biến đối Hyperbolic nên bảo

toàn góc do đó d và | vuõng góc tại giao điểm $

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 21 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Chương 2

Các phép biến đổi Hyperbolic

2.1 Phép biến đổi Hyperbolic và phép biến đổi Möbius

Nhĩ đã để cập ở Chương 1, Gp là tập hợp các phép biến đổi Hyperbolic cùng

với phép hợp ánh xạ tạo thành một nhóm theo nghĩa cầu trúc đại số, nhóm đó

được gọi là nhóm Hyperbolic Và ở chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu vẻ nhóm

(Ớp,s} và tìm hiểu về công thức của một phép biến đối Hyperbolic trong biến

đổi Möbius thông qua việc sử dụng số phức

Cho cho đường tròn («) chứa đường thing Hyperbolic ! có tam là R{a;6) bán

kính z, khi đó, R viết dưới dang số phức là a = a + bí, Ía| > 1 Goi P,Q là các

điểm giới han của ? nên P,Q nằm trên đường tròn đơn vi C

L\

Nhu vậy, tam giác OPR vuông tai P do đó:

OP? + PR? = ORỀ & \ +r? = a? + bỀ =aner = af — 1

Mà chúng ta đã nghiên cứu phép nghịch đảo qua đường tròn trong hình học

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Với mọi z € D qua một phép phản xạ ø với đường tròn (x) chứa [ ta có:

Bồ dé 2.1.1 Một phan za Hyperbolic p qua đường thang Hyperbolic | là một

phan của đường tron Euclid có tâm là œ được rác định bởi phép biến doi

Hyper-bolic

€ xz — Ì

yom te? (1)plz) =

e Ta đã biết h(z) = 7 là phép dội cứng qua trục hoành va fa(z) = az tới

a = cos@+isin@ la phép quay tâm O một góc 0.Khi đó:

a(z) = t20t, oty (2) = tafti(ty'(z))) = 1a(H(82)) = f2(a3) = az

là phan ca Hyperbolic trên đường kink y = tan 0+

Ví dụ 6 Tim pháp biến đổi Hyperbolic ¢ = a; 0 Điết rằng:

o{z) = a®=, vdi a = cos, + isin A

Øa(z) = 9Ÿ, tới 3 = cos a + isin Ôa

Giải:

ø(z) = ơi 0 øa(z) = øi(œa(z)) = m\(63) = «BFE = a28”:,

Vay a = ae: la phép quay quanh tam O trong hinh hoc Euclid.

Với hai phép phan xa Hyperbolic p và ø qua hai đường thang Hyperbolic là

một phần của hai đường tron Euclid có tam lần lượt là a và đ Khi đó, theo bổ

Khĩa luận tot nghiệp Hình học Hyperbolic

Với P(z) = m là một phép biến đổi Mobius Khi đĩ:

g(z) = (zep)(z) =(MePoBoeB)(z) =(NsP)) (vì (Bo B):} =z

: = ‘= é 4: ` > ` 8 =1 `

Như vậy ta cĩ hai ma tran liên kết với N và P lan lượt là ( 1 3 và

a@ -l : ẤN ae ye `` _ ) nên ma tran liên ket với No P la:

1 —a

3 —I a -l — ag-l a—8

1 -3 1 -@ a-B aB-1

: : {a8 — 1)z + œ— 8

Vậy /(z) = z)=(N oP)(z) = P(z} = ——=——=—.ay (2) = (e s2)G) = (N 0 P)G) = Pla) = CĐ rạcT

Day chính là kết quả của định lí sau:

Vậu phản xa Hyperbolic p cĩ phan từ là khả nghịch của chính nĩ

GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh 24 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Mệnh đề 2.1.4 Moi phép biến đối Hyperbolic đều được biểu diễn dưới dang

mot phép biến đối Àlöbius có dang:

Như vậy, mọi phép biến đổi Hyperbolic là phép biến đổi Möbius, câu hỏi được

và A/(0) € D nên Íđ| < |a|.

dat ra ngược lai: "Mọi phép biến đổi Möbius có phải là phép biến đổi Hyperbolichay không?"

Mệnh dé 2.1.5 Trên đĩa D, moi phép biến đổi Mébius M(z) = = = |đ| < la|

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

lay + 8)F ~ a TẾT Vì M(0)0=øz#0

Suy ra (Mop)(z) = (MoN

“———=-Suy ra (Mop)(z) = (MoNoB){z) = (By +a)z—- 5-— n+

Do p là một phản xa Hyperbolic nên ø~! cũng là một phan xa Hyperbolic.

Ma M =(Mop)cp7' nên M là một phản xạ Hyperbolic và được biểu diễnbởi tích của hai phan xạ Hyperbolic.

Hệ quả 2.1.6.

1 Mọi phép biến đổi Aföbius là phép biến đối Hyperbolic

2 Mọi phép biến đổi Hyperbolic đều có thể biểu điển dưới dạng tích của nhiều

hon ba phản ca Hyperbolic.

Chứng minh:

1 Theo định lí 2.1.5, mọi phép biến đổi Mobius được biểu diễn thành tích của

hai phản xạ Hyperbolic Mà tích của hai phản xa Hyperbolic 1a phép biến

đổi Hyperbolie nên mọi phép biến đổi Mobius là phép biến đổi Hyperbolic.

2 Theo nhận xót 2.1.4, một phép biến đổi Hyperbolic có dang:

œz +8

M(z) = ane = (No B}{=)

Với N{z) = 3 = là một phép biến đổi Möbius B(=) = = là một phản

xa Hyperbolic Theo định lí 2.1.5, V được biểu điễn dưới dang tích củahai phản xa Hyperbolic Vậy M được biếu điễn là tích của ba phan xa

Hyperbolic.

2.2 Phép quay và phép tịnh tiến

Nhà đã tiếp cần ở chương 1, một phản xa Hyperbolic trong hình học Hyperbolic

chính là một phép nghịch đảo trong hình học Euclid, một phép nghịch đảo sẽ

bảo toàn độ lớn góc giữa hai đường thăng tuy nhiên vé mặt định hướng củagóc thì không được bảo toàn, eu thể là ảnh sẽ ngược định hướng với tạo ảnh

Do đó, khi thực hiện hai phản xạ Hyperbolic tức là thực hiện một phép biến

hình là tích của hai phép nghịch dao thì sẽ bảo toàn góc và định hướng của hai

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 26 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

đường thang và khi tực hiện ba phan xạ Hyperbolic tức là thực hiện một phép biển hình là tích của ba phép nghịch đảo thì sẽ bảo toàn độ lớn của góc của ảnh

nhưng lại ngược định hướng với tạo ảnh.

Như vay, một phép biến đối Hyperbolic không làm thay đổi định hướng của

góc được gọi là một phép biến đổi Hyperbolic trực tiếp Và ngược lại, một phép

biến đổi Hyperbolic làm thay đổi định hướng của góc được goi là một phép biến

đổi Hyperbolic gián tiếp

1,

Nhận xét 2.2.1.

art 8

ñz+a Một phép biến đổi trực tiếp Hyperbolic p có thể biểu diễn: p(z) =

- Pe, sve - = £)>-s + 1 z 8

Một phép biến đổi gián Hếp Hyperbolic ý có thể biểu điển: @{z} = = : =.

IZ ray

Từ day, chúng ta sẽ quan tam đến phép biến dõi trực tiếp Hyperbolic

Dinh nghĩa 2.2.2 Got ry vi rp là hai phan ca Hyperbolic lần lượt qua hai

đường thang Hyperbolic dị va dạ.

1.

3:

Nếu d) tà dạ cắt nhau tai A € D

Khi đó, phép biến đổi Hyperbolic rạ srạ, biên các điển A # BED thành

các điểm B' ED vai không làm thay đổi định hướng của D Một phép biến

đốt có đặc trung như vay được gọi là một phép quay Hyperbolic Và có

một điểm bat biến - điểm A gọt là tâm của phép quay

Nếu dị va dz song song Tite là dy va dz cắt nhau tai P ¢ D.

Khi dé, phép biến đổi Hyperbolic rạ org, biến các điểm A € D thành các

điểm A’ ED va không làm thay đổi định hướng của D Một pháp biến đối

có đặc trung ah vay được goi là mét phép quay giới han Hyperbolic,

P được goi là tâm của phép quay.

Phép quay giới hạn Hyperbolic không có điểm bat biến, dong thời, ảnh của

các đường thang Hyperbolic nhận P làm điểm giới han là các đường thang

Hyperbolic nhận P làm điểm giới hạn kay nói cách khác ảnh của đường

thang Hyperbolic nhận P làm điểm giới hạn song song với tao ảnh cũng nhận P là điểm giới han.

Nếu dy tà dạ siêu song song

Khi đó, phép biên đối Hyperbolic r, ore, biên các điểm A € D thành các

điểm A’ € PD theo mét hướng chung va không làm thay đổi định hướng của

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 27 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

D Mét phép biến đổi có đặc trung như vay được goi là mét phép tịnh

tiến Hyperbolic.

Phép tịnh tiễn Hyperbolic không cá điểm bat biến trên D va cả trên C

Lưu ý: Phép quay và phép tịnh tiến Hyperbolic không có tính chat khônghoàn toàn tương tự với phép quay và phép tịnh tiến Euclid Cụ thể, tích của hai

phép tịnh tiến Euclid 7) o T2 = 7207), tuy nhiên, tinh chất này lại không đúng đổi với phép tịnh tiến Hyperbolic.

2.3 Dạng chính tắc của một phép biến đổi

phép biến đổi Mobius có dang ø{(z) = với |+| < Jal

2 Nếu không yéu cầu gi hơn ngoài tiệc chỉ ra mét phép biến đổi true tiếp

Hyperbolic p biến a € D thành gốc O, ta có thể chọn ngay K = 1 khi đó

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Mệnh đề 2.3.3 Dang chính tắc của một phép biên đổi trực Hiếp Hyperbolic p

có dang plz) = K : ——, Vi K.aeC, |K| = 1.|a| < 1 Khe đó, nghịch đảo của

— az

, + Kakép biến đổi p là: p72) = 2

phép biên đôi p là: pTM"{z) mak

Ví du 9 Tim dang của phép biến đổi trực tiếp Hyperbolic biển a = _ thành

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

2 Nếu không yêu cầu gì hơn ngoài tiệc chỉ ra một phép biến đổi gián tiếp

Hyper-bolic @ biến a € D thành gốc O, ta có thể chon ngay K = 1 khi đó g(z} = — “

Chương 3

Khoảng cách trong hình học

Hyperbolic

Van dé về khoảng cách giữa hai điểm cũng đã được đặt ra trong bình học Euclid

và đã được định nghĩa, xây dựng một cách chặc chẽ Ta xem xét các điểm thông qua mặt phẳng phức va được biết bởi các công thức sau:

Bồ dé 3.0.1 Trong mét phẳng phúc, khoảng cách Euclid của hai điểm bat kì là

học Euclid chính là có thêm hai tính chất liên quan đến tính đẳng cự thông qua

phép biến đổi Hyperbolic.

3.1 Cong thức khoảng cach

Dinh nghĩa 3.1.1 Trong mứt phang phức khoảng cach Hyperbolic của hai điểm

bat ki trên đĩa đơn viD C © là một ham số d: Dx D — 8) théa các tính chất

sau:

i d{z,, 22) >0 ¥z,2€ D va d(x, 22) =08 24 = %

31

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

6 d(z\,za) = d(M(z), M(=2)}, Va.z2 € DM là một phép biến đổi Hyperbolic.

Giá tre d(z\ 22) được got là độ dai Hyperbolic giữa hat điểm z\ va z¿

Từ định nghĩa trên ta thay, khoáng cách Hyperbolic giữa hai điểm z.z¿ là

khoảng cách Euclid giữa hai điểm z¡, z¿ và thỏa bảo toàn khoảng cách qua phépbiến doi Hyperbolic Từ day, ta có một số kết quả thú vị về công thức của hàm

khoảng cách một cách tương tu như khoảng cách Euclid với hàm khoảng cách đ(zq, 22) = Ízq — z¿| Trước tiền, chúng ta sẽ thực hiện quan sát trên các phép

biến doi trực tiếp Hyperbolic

Gọi d là hàm khoảng cách Hyperbolic trên đĩa đơn vị D Ta lay một phép

biến đối trực tiếp Hyperbolic Mf như sau:

M(z)= 2 =H ,Z€TD

l— 212

Và phép quay # thỏa:

R(z) = |z|.zKhi đó ta có được phép biến déi trực tiếp Hyperbolic N = Re M như sau:

Định lí 3.1.2 Khoảng cách Hyperbolic d(z,,22) được các dink như sau:

tinh chat của một khoảng cách Hyperbolic và đ(z\, z¿} = đ (

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Định lí 3.1.3 Khoảng cách Hyperbolic d(0.z) được rác định như sau:

d(0,z) = tanh (|z|},Vz € D

Kết quả này suy ra hoàn toàn từ định nghĩa Và với định lí này cho chúng

ma mối liên hệ giữa khoảng cách Hyperbolic và khoảng cách Euclid của một

2 ato, 2) = 5m (FI), Vze?D

Ví dụ 10 Tim khoảng cách Hyperbolic giữa các điểm trên đĩa D sau:

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

5 d{0,w + ni) = tanh7! (|n + nị|} = tanh7! (nv2) = —ln | ——— |.(0n + nộ) (In +nil) (nv2) = 5 (3)

Qua quan sát ví dụ thứ 4 và thứ 5 của ví du 10, chúng ta thấy được các tính chất sau.

Tính chất 3.1.5

1 Nếu |z| — 0 thì d(0, z) — |zl

Tức là trên lan cân đủ bé chứa O thì đ{0, z) = |z{ Điều này tương tu vớitình huống trên bé mặt Trái đất, các phần nhỏ của bề mặt Trái dat trong

như mặt phẳng và khoảng cách giữa các điểm của nó là khoảng Euclid.

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 34 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

2 Nếu |z| — 1 thì d(0,z) —+ +00

Điều này có nghĩa là những điểm nằm trên biên có khoảng cách Hyperbolic

"võ cùng xa" rất phù hop với ý tưởng ban đầu của lí thuyết nếu hai đườngthang Hyperbolic song song thì chúng cắt nhau ở vô cùng

3.2 Trung điểm Hyperbolic

Định nghĩa 3.2.1 Diém = được gọi là trưng điểm của đoạn thang Hyperbolic nối œ va khi z nằm trên đoạn thang Hyperbolic ay va théa:

d{z,a) = d(z, 8) = sla 8)

Bài toán đặt ra chính là xác định trung điểm của đoạn thang Hyperbolic nốihai điểm cho trước trong dia đơn vị D Và trong giới hạn của quyển tài liệu này,chúng tôi xin giới thiệu cách xác định trung điểm của các đoạn thang nằm trên

đường kính của đĩa đơn vi.

Phương pháp tìm trung điểm Hyperbolic của hai điểm nằm trên đường đường

kính của đĩa đơn vị D.

Cho hai điểm p,q € Ð với |p| > |ạ| ta sẽ tìm m là trung điểm của đoạn thang

Kháa luận tắt nghiệp Hình học Hyperbolic

Ngược lại, nến p và g nằm khác phía đổi với 0 thì:

d(0, m) = 2(d(0,p) — d(0.4))

B3 Sử dụng |m| = tanh(đ(0,sn)) > m

3.3 Đường tròn Hyperbolic

Tương tự với cách định nghĩa đường tròn trong hình học Puclid, hình học

Hyperbolic cũng định nghĩa đường tròn Hyperbolic là tap hợp các điểm cách

đền một điểm cố định cho trước.

Định nghĩa 3.3.1 Đường tròn Hyperbolic (x) có tam lac bán kính r được rác

định là

{a €D: d(c,a} = r,y = const}

Với định nghia trên, với cach định nghĩa tương tu đường tron trong hình học

Euclid thì hình dang của dường tròn Hyperbolic có tương tự với hình dang của đường tròn Euclid hay không.

Dinh lí 3.3.2 Afoi đường tròn Hyperbohe là đường tròn Euclid trong dia don

301 C là đường tron Hyperbolic có tam là m # 0 Dường kính của đĩa đơn

vị D qua m cat C tại a và b Gọi K là đường trong Euclid nhận ab làm đường

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 36 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

kính và có tam là p Ta chứng minh đường tròn Hypebolie là đường tron Euclid

bằng cách chứng minh đường tròn Hyperbolic Œ trùng với đường tron Euclid K.

Vì m là tâm của C, a € Œ,b€ C và a,m,b thang hang Hyperbolic do đó O là

tâm của C°, a’ € C’.¥ € C’ và a',O, thang hang Hyperbolic Mà O là tâm củadia đơn vi suy ra a’, O,b' thẳng hang Euclid Mac khác C’ cũng chính là đường

tron Euclid nên a'⁄ là đường kính của C".

Bên cạnh đó, a € X,b€ K và ab là đường kính của đường tròn Euclid K suy

ra &° € K“,b € K' và a‘b! là đường kính của đường tròn Euclid RK’.

Suy ra đường tròn Hyperbolic C' trùng với đường tròn Euclid A’ Mà

M{(C) = Œ' = K' = M(K) => C = M7(C") = M7"(M(K)) = (M7! 0 M)(K) = K

Vậy đường tron Hyperbolic cũng chính là đường tròn Euclid Chiểu ngược

lại chứng mình hoàn toàn tương tự.

Nhận xét 3.3.3 Khi nói vé khái niệm đường tron thà có thể hiểu là đường tròn

Hyperbolic hay là đường tron Euclid Tam Hyperbolic va tam Euclid cá thé không

trùng nhau nhung tam Hyperbolic va tâm Euclid cùng uới O thẳng hàng

Ta sẽ quay ngược van dé làm rõ tính chất thứ 3 trong định nghĩa 3.1.1.

Tính chat 3.3.4 d(z, 22) + d(2, z3) > d(z1, 23), ¥21, 22,23 €7

Chitng minh:

Lấy 2), 22,24 € PD Xét phép biến đổi Hyperbolic M thỏa Af(z) = 0,Af{z¿) =

a.M(23) = b Ta sẽ chứng minh đ(0, +} + đ(«,ð) > d(0, b).

Thật vậy, gọi Cy C2 là các đường tròn Hyperbolic đi qua a có tam lẫn lượt

là 0,6 và cắt Ob lin lượt tại e và đ Khi đó, đ(0,a) — d(0,e} và đ(a,b} — đ(4,

Suy ra đ(0,a} + d(a,b) = d(0,e} + d(d.b) 2 d(0.e] + d(c,b} = 4(0,b) Như vậy.

d(z, z2} + đ(za z4} 2 4(zị z3) vì phép biến đổi Hyperbolic Af có tính bảo toàn

khoảng cách.

Nhận xét 3.3.5 Dường cong có độ dài Hyperbolic ngắn nhất giữa hat điểm a

va b nằm trong đĩa D chính là đoạn thang Hyperbolic nốt a tà b

GVHD; TS Nguyễn Hà Thanh 37 SVTH: Võ Trọng Nghĩa

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

3.4 Điểm đối xứng trong Hình hoc Hyperbolic

Trong hình học Euclid, điểm A’ được gọi là đối xứng của A qua đường thang

ä khi 6 là trung trực của đoạn thang AA’ và một phép biến hình biến A thànhA’ được gọi là phép đối xứng trục Dạ Trong hình học Hyperbolic ta cũng định

nghĩa một cách tương tư như vậy

Định nghĩa 3.4.1 Cho điển a € D và đường thắng Hyperbolic d Diễm a’ được

gor là đối rứng Hyperbolic của a qua d khi d tuông góc tại trung điểm Hyperboliccủa đoạn thang Hyperbolic aa’ (hay d là đường trung trực Hyperbolic của aa’)

Khi đó, mét phép biến đối Hyperbolic M biến a thành a’ được qọi là phép đối

xứng truc Hyperbolic.

(C)

Như vay, một vấn dé được đặt ra chính là xác định trục đối xứng và phép đối

xứng truc Hyperbolic của hai điểm cho trước phan biét trong đĩa đơn vị D

Dinh lí 3.4.2 Cho hai điển phan biệt p,q 6 D và |p| # |ạ|, phép đỗi xứng truc

Hyperbolic M biển p thành ạ có true đội xứng d được sác định như sau:

Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie

Khi đó, trục đối xứng d là: 2? + y? — 2az — 3b + 1 = 0, với a = 0 + bï

Ta sẽ quay lại làm rõ các tính chat nổi bật về khoảng cách Hyperbolic.

Định lí 3.5.1 Cho hai điển 2,22 € D, mọi phép biến đổi Hyperbolic M thì

đ(=n 22) = d(4 (zì) Af(za)).

Chứng mình:

Xét biểu thức R{z, 22) = ,zỊ Z2 € D.

Khi đó, đ(2¡ 22) = tanh~!(R{21, 22)} và đ(M(z¡) M(z2)) = tanh? (ROM (21), M(z2})).

Ta sẽ chứng mình (2q, 22) = RUM (2), M (zg) That vậy:

Lay tùy ý 21,22 € D và M € Gp Chọn 1í, M2 € Gp như sau:

Z— 2) A 22 — 2)

Mi: , 2 My{z,) =0 và My(2z2) = [lize 1-1: €ĐЗ Mi(zi) = 0 và My(22) 1—- az

My :z> 2-M@) ene M(M(21)) = 0 và Mo(M(29)) = Ma) - M(a1)

> Rịa, z2) = R(AM(z) AM(z¿))