I. Tìm dang chính tắc của một pháp biển đổi trực tiếp Hyperbolic biến a =
4.2 Doan thang vuông góc chung
Định nghĩa 4.2.1. Cho hai đường thang Hyperbolic d va d', điểm A € d, điểm Bedt, Doan thang AB được gọi là đoan thang vudng góc chung của d vad! khi
AB vudng góc tới d va ad’.
(Cc)
Định nghĩa này được phát biếu một cách tương tự định nghĩa đoạn vuông góc
chung trong hình học Euclid. Ngoài ra, trong cùng một mặt phẳng, hai đường thing có đoạn vuông góc chung khi và chỉ khi chúng song song với nhau và cô
vô số đoạn vuông góc chung. Chúng ta cũng quan tâm đến tính chat này trong
hình học Hyperbolic.
Dinh lí 4.2.2. Hai đường thang Hyperbolic có đoạn thẳng vudng góc chung khi va chỉ khi chúng siêu song song uối nhau. Doan thẳng tuông góc chưng néu có là duy nhất.
GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh 49 SVTH: Võ Trọng Nghĩa
Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie
Chứng minh: Lấy hai đường thing Hyperbolic d va a’.
1. Chứng minh hai đường thẳng Hyperbolic có đoạn thang vuông góc chung
khi và chỉ khi chúng siêu song song với nhau.
e Chứng minh chiều thuận:
Giả sử d va #' có đoạn thẳng vuông góc chung ta chứng minh d và a’
siêu song song với nhau. Thật vậy:
Gọi AB là đoạn vuụng gúc chung của d và # với AE d.ệ e€ #.
(C)
Ta chọn một phép biển đổi Hyperbolic ? sao cho /(4) = O.£(B) = PB!
và biến đường thang đ thành đường kính của đĩa D và # thành một đường thẳng Hyperbolie là một phản của đường tròn Euelid tâm là R không nằm trong đĩa D. Và O, B',R thẳng hang do OB’ là ảnh của
đoạn vuông góc chung giữa d và ad’, đồng thời O # B’ nên RO > RB’.
suy ra ({ở) và t(a") không giao nhau nên ở và # không giao nhau. Vay d và ở siêu song song với nhau.
e Chứng minh chiều nghịch:
Giả sử d và d’ siêu song song với nhau ta chứng mình d và # có đoan
thang vuông góc chung. Thật vậy:
Goi A, B là hai điểm giới hạn của đường thang Hyperbolic d là một phan của đường trũn Euclid tõm R. A',ỉ! là hai điểm giới han của đường thing Hyperbolic # là một phần của đường tron Euclid tam
R’.
+ Nếu các đường thắng Euclid 4B và 4’B' cắt nhau tại C nằm ngoài
đĩa D.
GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh 50 SVTH: Võ Trọng Nghĩa
Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie
Ta vẽ CT là tiếp tuyến đối với đường tròn đơn vị (C). Khi đó.
(Œ. CT) trực giao với (C). Gọi P,Q lan lượt là giao điểm của (C,CT)
với d và d
Mặt khỏc: ứcyo; = CB.CA = CBUCA = CT? = k.
Khi đó, phép nghịch dao XÃ : A + B.A’ @ BY. Do đó, qua phép nghịch đảo XÃ thì hai đường thắng Hyperbolic d và a’ biến
thành chính nó. Dỏng thời, | x“ÝÍ.. == ~ CF
von) =CBCH = CT?
(CCT) trực giao với (R) và (R’) do đó tén tại đoạn vuông góc
suy ra
chung giữa giữa d và #' là đoan thẳng Hyperbolic PQ.
* Nếu các đường thing Euclid AB và A'B’ song song. Khi đó ORLAB R,O, R! thang hàng.Ẻ 10, nang hàng PQL(R)
ORFLA'B' + } RR'L(R) Pana)
ABJ/A!P RR'L(R) ì
Với P,Q lần lượt là giao điểm của d và # với RR’.
2. Chứng minh đoan thẳng vuông góc chung nếu có là duy nhất.
Gia sử phản chứng có đoạn thang Hyperbolic P’Q‘ là đoan vuõng góc chung thứ hai của d và #. Khi đo, có hai khả tình huống xảy ra:
+ Nếu hai đoạn thang Hyperbolic PQ và P‘Q' không giao nhau. Khi đó, tong bốn góc của tứ giác Hyperbolic PQQ'P" là:
PPO + POO’ +00 + OPP P!PQ + PQQ’ + QQTP' + QIP'E DI 21sa ea ey
GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh 51 SVTH: Võ Trọng Nghĩa
Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie
Diễu này mâu thuẫn với định lí 4.1.3
ằ Nếu hai đoạn thẳng Hyperbolic PQ và P!@' giao nhau tại R. Khi đú, tổng ba góc của tam giác Hyperbolic PQH là:
_—
PQR + (QPR + PRQ =
——
+ ~+ PRQ = r + PRQ > m
wl t2 Í =
Diều này mâu thuẫn với định lí 4.1.3.
Vậy đoạn thang vuửng gúc chung nến cú là duy nhất.
Trong hình học Euclid, đường cao của tam giác đóng vai trò khá đặt biết và rat nhiều tính chất thú vị mà đường cao của tam giác mang lại như tính điện
tích của tam giác, trực tâm của tam giác....Và hình học Hyperbolic cũng quan
tâm đến diéu này. trước tiên là một câu hỏi được đặt ra "Liệu có thể đựng được một đường thing Hyperbolic qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng Hyperbolic cho trước?", câu trả lời được thể hiện trong bố dé sau:
Bo dé 4.2.3. Cho điển P € không nam trên đường thẳng Hyperbolic d. Khi
đó, tồn tại duy nhất một đường thang Hyperbolic Ì qua P vudng góc ớt d.
Chứng minh:
+ Chứng minh sự tồn tại.
Ta chọn một phép biến đổi Hyperbolic M biến P thành O và đ thành d’.
Gọi A, B là các điểm giới hạn của # và # là tâm của đường tròn Euclid chứa #. Gọi X là giao điểm của OR với ở.
Khi đó. OR vuông góc với #' tại X, hay OX là đoạn thắng qua O vuông
góc d’, do đó M~'(OX) là đoạn thang Hyperbolic qua P vuông góc với d.
x Chứng minh sự duy nhất.
Vì có duy nhất OR vuông góc với d’ tại X nên Aƒ~!(OX) là đoạn thẳng
Hyperbolic qua P vuéng góc với d là duy nhất.
Dinh nghĩa 4.2.4. Đường thẳng Hyperbolic d qua A là đỉnh của tam giác Hy-
perbolic ABC va uông góc tới BC tại D. Khi đó, AD được gọt là đường cao của tam giác ABC.
GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh 52 SVTH: Võ Trọng Nghĩa
Kháa luận tắt nghiệp Hình học Hyperbolic
Dinh lí 4.2.5. Cho fam giác Hyperbolic ABC cân tai A va có BAC = 0. Khả đó, độ đài đường cao từ A của tam giác ABC luôn thỏ han lB) (uớt y : (0:7) —
(0;+c0})
Chitng minh:
Ta chon một phép biến đối Hyperbolic M sao cho M(A) = O,M(B) =
B', M(C) = Œ! (B' nam trên trục thực dương). Vi độ dai Hyperbolic AB = AC
_—. ; § ——.
và BAC = 8 nén độ dài Hyperbolic OB’ = ÓC" và P'ÓCŒ! = 0.
——-
Gọi m là đường kính của đĩa Ð sao cho m cũng là đường phân giác của ÓC!
và cắt BC’ tại D'.
GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh 53 SVTH: Võ Trọng Nghĩa
Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie
——-
Xút tam giỏc Euclid OB'C' cõn tại O cú m là đường phõn giỏc của /!ỉC!
nộn m vuụng gúc ỉ'C” suy ra ra đi qua tõm của đường trũn Euclid chứa đường
thing Hyperbolic #!.
Nên m vuông góc với đường thẳng Hyperbolic ĐC! tại D’, hay OD’ là đường
cao của tam giác Hyperbolic OB'C’. Khi đó, AD là đường cao của tam giác ABC (với Af(D) = D',D € BC) và độ dai Hyperbolic AD = OD".
Goi B“,€*“ lần lượt là điểm giới han của đường thing Hyperbolic OB',OC' (B" cùng phía với Ð' .C” cùng phía với C' đối với O). Điểm D” là giao điểm của m với đường thang Hyperbolic P“Œ“. Khi đó, độ dài Hyperbolic OD' < OD".
Gọi R là tam của đường tròn Euclid chứa đường thang Hyperbolic “C*,
A. pe 5 : ~ TOP a @ Quan sat bài toán trong hình học Buclid ta có: ORB’ = 57> nên OB"D" = Ta
——. 1m. Tố
và “DO = = -7 Ap dung định lí sin trong tam giác OB" D", ta có:
sin a8
OD" OB" ; 44
sin a_@\ in me ons in 2w(t _ÈÉ an PC ain ==
4 4 “'\a 4 44
sin (
Ma độ dai Hyperbolic OD" = tanh +(O.D") = tanh”! `
Do đó, AD của tam giác ABC luôn nhỏ hơn ¿(8).