Ở chương trình học bậc phổ thông trung học , những kiến thức về các đường bậc hai được trình bày sơ lược trong sáchgiáo khoa Hình Học Giải Tích Láp 12 và một phan của mônkhảo sát hàm số.
Trang 1BO GIÁO DỤC & ĐÀO TẠOTRƯỜNG PAI HỌC SU PHAM TP HCM
KHOA TOÁN-TIN HOC
=e TS NGUYEN THAI SON
Sinh viên thực hiện : PHAN THỊ HOA
Trang 2Lời nói đâu
Trong việc giảng dạy toán ở trường phổ thông trung học , khảo sát hàm số có những vấn dé liên quan đến việc tìm bao
hình của một họ đường cong hoặc một họ đường thẳng Do đó,tìm hiểu và nghiên cứu Lý Thuyết Bao Hình là rất quan trọng vàrất cần thiết
Đối với bài toán bao hình hiện nay có rất nhiều cách
tiếp cận Trong khi hệ thống hoá những tiếp cận nói trên bằng
nhiều phương pháp thì phương pháp Hình Học Vì Phân & phương
pháp Hình học Xa Ảnh là cách làm phù hợp trong chương trình ở
bậc Đại Học
Ở chương trình học bậc phổ thông trung học , những
kiến thức về các đường bậc hai được trình bày sơ lược trong sáchgiáo khoa Hình Học Giải Tích Láp 12 và một phan của mônkhảo sát hàm số Do đó, việc tìm hiểu sâu sắc những nội dung
nói trên là việc làm rất thiết thực và rất có ích cho việc giảng
day toán ở bậc phổ thông trung học Xuất phát từ những nhận
định trên chúng tôi chọn đề tài “ Giải bài toán bao hình bằng
eS pháp Hinh Hoc Vi Phân & phương pháp Hình Hoc Xạ
nh ”
Thông qua việc nghiên cứu bài toán bao hình - cu thé là
bao hình của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng ,
chúng tôi cũng đầu tư tìm hiểu bài toán quỳ tích và một số tính
chất của đường bậc hai
Khóa luận gồm 3 chương :
Trong chương I, trước khi di vào nêu phương pháp cụ
thể và các bài toán áp dụng việc giải bài toán bao hình của họđường thẳng một tham số trong mặt phẳng bằng phương pháp
Hình Học Vi Phan , chúng tôi trình bày đây đủ Lý Thuyết Bao
Hình của họ đường một tham số trong mặt phẳng gdm định nghĩa
, điều kiện cần và điều kiện đủ
Ở chương Il , bằng cách hệ thống một số kết quả (
dinh nghĩa , định lý, hệ quả ) đã được học trong chương trình
Trang 3hình học cao cấp , chúng tôi đã có được phương pháp và áp
dụng giải một số bài toán bao hình của họ đường thẳng và bài
toán đối ngẫu của nó - bài toán tìm quỹ tích
Mối quan hệ giữa hai phương pháp giải bài toán bao
hình được nêu ở hai chương trước được trình bày cụ thé trongchương Ill bằng những bài toán bao hình sơ cấp giải bằng
phương pháp hình hoc xa ảnh.
Do hạn chế về thời gian và kiến thức , vả lại đây là
lần đâu tiên thực hiện việc nghiên cứa khoa học nên chắc chắn
khóa luận còn nhiều sai sói và hạn chế Em rất mong nhận ¥
kiến đóng góp của Quý Thầy Cô
Em xin chân thành cảm ơn Thây Nguyễn Thái Sơn đã
giảng dạy em trong những năm học qua tao nền kiến thức quý
báu và đã tận tình hướng dẫn cho em hoàn thành khóa luận này
Em cũng chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô và Ban Chủ
Nhiệm Khoa đã giảng dạy em trong quá trình học tập bốn năm
qua và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này
TP HỖ CHÍ MINH , tháng 5 năm 2001
Phan Thị Hoa
Trang 4MỤC LỤC
Lời nói đầu.
CHƯƠNG LPHUONG PHÁP HÌNH HỌC VI PHAN GIẢI
BÀI TOÁN BAO HINH.
§1.Bao hình của họ đường một tham số
trong mặt phẳng.
§2 Bao hình của họ đường thẳng môi tham
số trong mặt phẳng.
CHƯƠNG II;GIẢ! BÀI TOÁN BAO HÌNH VÀ BÀI TOÁN
QUY TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC XA ANH.
CHƯƠNG II: GIẢ! BÀI TOÁN BAO HÌNH SƠ CAP BẰNG
MÔ HÌNH XA ANH CUA MAT PHANG EUCLIDE
Trang 5Chương |: Phương pháp hình học vi phân
Ta gọi đường cong B của mặt phẳng thỏa:
._ Mọi đường C, đều tiếp xúc với B (tại một hay nhiều điểm)
Mọi điểm của B đều là tiếp điểm của nó với một đường €,
là hình bao của họ đường cong (C,) ; <1.
Điểm tiếp xúc của mỗi đường C, với bao hình B gọi là đặc điểm
của €, Nếu M là một đặc điểm của C, thì khi t biến thiên, M vạch nên
bao hình (hoặc một nhánh bao hình nếu C, có nhiều đặc điểm) Nói
cách khác, bao hình là quỹ tích các đặc điểm của C,.
1.2 - Điều kiện cần cho bao hình - Đặc hình:
Ta co, diéu kiện giải tích để bao hình B tổn tại được phát biểu
trong định lý sau:
1.2.1 - Dinh lý;
Nếu họ C, có bao hình, thì các điểm của bao hình phải thuộc đặc
hình với hệ phương trình xác định đặc hình của họ C, là:
Trang 6Chương I: Phương pháp hình học vi phân
LLL LLL AAA LLL LLL LL LL LLL LLL LL LLL LAL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL LLL LLL AAA
Giả sử, M là một điểm thuộc bao hình B tức M nằm trên một
nhánh #®' nào đó của bao hình ZB,
Giả sử, nhánh B’ là quỹ tích của một đặc điểm M(t) trên C, Suy ra, toa
độ điểm M là các hàm số đơn trị và liên tục khả vị đối với biến t:
Ì = x(t)
yey)
(1.2.1)
Đây cũng chính là phương trình tham số của nhánh ® ' C B
Do ®' tiếp xúc với C, tại M(0 nên: x(t), y'{U phải thỏa:
Từ (1.2.3) và (1.2.5) suy ra, điều phải chứng minh.
I.2.2 - Quỹ tích các điểm kỳ dị:
Suy ra, fx + fyy +f, = 0 tại M(x(0, yw) (1.2.7)
Mặt khác, do M là điểm kỳ dị nên ta có tại M(x(U y(U)
f, =0
l: «0 kết hợp (1.2.7)
Suy ra, f, = 0 tại M(x(t), y(U) (1.2.8)
LL LLL LLL LLL LLL LL LBLBLBLLBL LBBB ABBA LLL LLL LLB LLL LALLA LLL LLL ALR
Trang 7Chương |; Phương pháp hình học vị phân
Từ (1.2.6) và (1.2.8) suy ra, quỹ tích điểm kỳ dị cũng thuộc đặc hình
1.2.3 - Đường dừng của họ (Cy) tek:
Định nghĩa: (C,,) là một đường dừng của ho (C,} nếu:
f(x, y,t,) = 0 thỏa V x,y
Với định nghĩa như trên, rõ ràng đường dừng C,, là thuộc đặc
hình của họ (C) yer.
Kétluan; Đặc hình của họ đường (C,) , <1 bao gồm: bao hình, quỹ
tích các điểm kỳ dị và đường dừng của họ
Sau đây, ta nêu ra vài ví dụ áp dụng.
Dễ dàng kiểm tra cả hai đường trên đều thỏa định nghĩa bao
hình Do đó, bao hình của họ vòng tròn trên là toàn bộ đặc hình.
Vídụ2: — Tìm bao hình của họ (C,) ; «2 có phương trình:
Trang 8Chương |: Phương pháp hình học vi phân
LL LLL LBL LALLA ALLL LAL LALLA LARA LEAL LLL LLL LL LLL LLL LLL LLL LL LLL LLL
x+t=0y+t=0
= 4 8
K+l=—ytH =—
9 27
Khử tham số t, ta được đặc hình của ho đường (C,) , = ạ gồm 2
đường thẳng song song có phương trình: y =x và y =x - _
Đạo hàm x,y theo L ta có: đực (1)
Dat f(xy) = (y+UŸ - (x4)
Ta có: f(x(0, y(U) = -3(x() + UỶ = _ (2)
fix(t), y()) = 2(y(Ð) + Ù = = (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có tai (x(t), y(): fx + fyy = 0
Hay fx ph fyy = 0,V (x,y) € dì
Vậy d, thuộc bao hình của họ (C,) ¡ « g
id Ta có quỹ tích điểm kỳ di của họ (C,) ; <p được xác định bởi hệ:
f(x, y,L) = 0 (y+? ~(x+U` =0
=> Qui tích điểm kỳ di của ho (C,), - ạ chính là đường thang d;: y =x
._ Xét tiếp tuyến ở điểm kỳ dị của họ (€,)
Ta có: fx = -6(x+U)
POOL OE LODO EPO E EOL ELL OL ELE DR
ư.ư.*ư k~k.~
Trang 9Chương |: Phương pháp hình học vi phan
LL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL LLL LLL LL LLL LAL LLL LLL LLL LLL ACA LLL LAL ELLA
f,, = 0
t=?
Suy ra, tai điểm kỳ dị (-t, -U ta có: f,, = 0, hy =0, fy, = 2
Suy ra, tại điểm kỳ dị tiếp tuyến của C, là trục Ox.
Vậy đường thẳng do không thuộc bao hình,
Trong bài toán này, đặc hình của họ (C,), gồm hai phan: bao
hình là đường thang y = 2 và quỹ tích điểm kỳ dị: y = x không thuộc
Vậy, quỹ tích điểm kỳ dị cũng chính là đặc hình.
Tiếp tuyến tại điểm kỳ dị (-t,0) chính là trục Ox: y =0Vậy quỳ tích điểm kỳ di thuộc bao hình.
Trong trường hợp này đặc hình, bao hình và quỹ tích điểm kỳ dị
là một.
CLL LL LLB LLB LLL LLL LLL LLL LLL LALLA LALA LLL LLL LAL LLL LLL ELLA
TRANG 7
Trang 10Chương 1: Phương pháp hình học vi phân
ưưưn tk Tờ Lư ư tư MMWVvwMMwWvwvV na aằanandanc.
Nhân xét: Từ các ví dụ trên ta thấy quỹ tích điểm kỳ dị có thể thuộc hoặc không thuộc bao hình Cũng như vậy, đường đừng có thể thuộc
hoặc không thuộc bao hình.
Vậy, các điểm thuộc đặc hình không phải luôn thuộc bao hình.
Hai định lý nêu sau đây cho ta điểu kiện đủ cho bao hình.
1.3 - Điều kiện đủ cho bao hình:
1.3.1 - Dinh lý 1: Nếu (x,, y L,) là một nghiệm của hệ:
thì điểm (x y„) thuộc bao hình
Với diéu kiện (1.3.2) ta có, trong lân cận x yo, L, hệ phương trình (1.3.1) xác định một cách duy nhất: x = x(),y=y() — (1.3.3)
sao cho X(t) = Xe ¥(lo) =y„ Các hàm số x(t), y( khả vi, liên tục và
(1.3.3) là phương trình của một nhánh đặc hình qua điểm (x y,).
Các đạo hàm theo t của x(Ð, y(0 tại điểm t„ cho bởi hệ phương
fen + on =0
trình: (1.3.4)
ex + co X +ít =0
* Nếu fi #0: Do (1.3.2) và (1.3.4) ta có X„,y„ xác định
duy nhất và không đồng thời bằng 0,
Do (1.3.2) ta có £2 fP cing không đồng thời bằng 0.
Phương trình [‡x, + [ÿY, =0 chứng minh sự tiếp xúc tại điểm
Trang 11Chương |: Phương pháp hình hoc vi phân
' ˆ nnx.~ ư.ưư n ng Lư ưu n ng ư ng, SPOOL ư ưa in LLL LE LELL ELROD BODE RA
* Nếu f# =0 thì hệ (1.3.4) cho x, =y, =0 Suy ra, đường (1.3.3) có điểm lùi tại L
Đạo ham theo t hai lần các phương trình (1.3.1) tại x, yo &
vú +Í9y,= 0
Avo
la có: (1.3.5)
Rx +85 Yo + fin = =0
Nếu f°, #0 từ (1.3.5) suy ra x„.y„ không đồng thời bằng 0
và phương trình đầu của (1.3.5) chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm lùi của
(1.3.3) cũng chính là tiếp tuyến của đường €,
Nếu f„ =0, ta tiếp tục quá trình trên và chứng minh được sự
tiếp xúc giữa đường (1.3.3) với Cụ.
1.3.2 - Dinh lý 2: Nếu (x, Yo ts) là một nghiệm của hệ (1.3.1) sao cho
(Xo Yo) là điểm thường trên C„ va £2 #0 thì (xy, y„) là một điểm của
bao hình,
Do fÿ #0 cho nên trong lân cận (x yo, t,) xác định duy nhất
hàm số t(x,y) liên tục sao cho ty = U(X, Yo) và các dao hàm của nó xác
định bởi hệ: { f„ + ht, =0 (1.3.6)
Thay (x,y) vào trong phương trình dau của (1.3.1) ta được phương
trình của đặc hình trong lân cân (Xo, yo, t,) là:
E(x,Y) = Í(x,y, t(x,y)) = 0 (1.3.7)
Các đạo hàm riêng của g(x,y) là:
HH HH TH TT ha an na na aaadaaraananagaadadararaaaaraaaadaaraaraaaaraaradaadaraaaaarauaan
TRANG 9
Trang 12Chương I: Phương pháp hình hoc vi phân
Do (Xo, Yo) là điểm thường suy ra fÝ,f ` không đồng thời bằng 0,
nên g\,gy cũng không đồng thời bằng 0 theo (1.3.8) và ta có:
;Ö = f°
i * chứng tỏ nhánh đặc hình (1.3.7) tiếp xúc với đường C,, của
8y =f,
ho tại điểm (x,, yo)
Ta biết rằng bài toán tim bao hình là một bài toán khó, đòi hỏi
phải có nhiều công cu mạnh để giải Trong §1, chúng ta đã xây dung
được các điểu kiện cần và điều kiện đủ để tìm bao hình,
Sau đây, chúng ta vận dụng các kết quả trên để giải một số bàitoán tìm bao hình thường gặp Cụ thể, chúng ta sẽ đi khảo sát kỉ hơn
về bao hình của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng.
ELLE LLL LLOL ELL LL LLL LLL LL LL LLL LLL LLL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL 22 2 4e e2.
Trang 13SORE OOO LOLOL OPO Ow
Chương |: Phương pháp hình học vi phân
OEE AOL EL EE:
§2 BAO HÌNH CUA MOT HO DUONG THANG TRONG MAT PHANG.
Từ kết quả khảo sát tổng quát về bao hình của ho đường trong
mặt phẳng Chúng ta có thể tóm tắt vấn để bao hình của họ đường
thẳng trong mặt phẳng bằng một định nghĩa và một định lý sau:
2.1 - Định nghĩa:
Cho (D,) ;¿¡ là một họ đường thẳng của mat phẳng có phương
trình: (D) :a(0x + b(Dy + c(t) = 0 Trong đó,
a.bc :IR
a(t b(t
a,b,c thuộc lớp C' và với mọi t € | ta có: a(t) J>
a(U bit
Ta gọi đường cong F của mặt phẳng thỏa:
._ Mọi đường thẳng D, đều tiếp xúc với F
Tao mỗi điểm của F có một tiếp tuyến và tiếp tuyến này là
một đường thẳng thuộc ho (D,), ; ¡.
là hình bao của họ đường thẳng (D) ;c¡
2.2 - Định lý:
Cho (D,) ser là một họ đường thẳng của mat phẳng có phương
trình (D,): a(Òx + b(Dy + c(t) = 0 (2.1) trong đó, a,b,c: 1 => R thuộc lớp
a(t) na
#0 a(t) bit
Từ định lý trên ta thấy thông thường bao hình của họ đường
thẳng (2.1) được xác định bằng cách khử tham số của hệ (2.2) Hay nói cách khác, bao hình của họ đường thẳng là toàn bộ đặc hình.
POOP PAOLA tu kg tư tt nh no
TRANG II
ưx
re
Trang 14Chương |: Phương pháp hình học vi phan
EEO LLL OLE LL ED: POE EEL EEE EOE ELLE LEO OEE L LEAL ELLA L REALE
Mat khác, hệ phương trình (2.2) xác định đặc hình cũng chính là
điều kiện để (2.1) có nghiệm kép theo t
Vậy trong một số trường hợp đặc biệt nếu phương trình của họ
đường thẳng có dang là : môt phương trình bậc hai theo tham số t
A(x,y)Ẻ + B(x,y)L+ C(x,y) = 0 hoặc phương trình bậc ba dạng
L`+ P(x,y)L+ Q(x,y) = 0 hoặc phương trình lượng giác cổ điển.
D(x.y)cost + E(x,y)sint + F(x,y) = 0 thì phương trình bao hình tương
ứng là BÝ(x.y) - 4A(x,y)C(x,y) = 0;
4P Ì(x.y) + 27Q(x,y) = 0;
D(x.y) + E%x.y) = FÈ(x,y)
Bây giờ, ta áp dụng các kết quả đã khảo sát được vận dụng cụthể vào một số bài toán tìm bao hình sau:
2.2.1 - Xác định hình bao của họ đường thẳng (D,), ; ạ có
phương trình Descartes: xch’t + ysh”t - ch’2t = 0.
Trang 15Chương |: Phương phấp hình học vi phân
ưư POLL LLL ELLE LLL tr CO Ung BELO LEO
2.2.2 - Cho Hypebol có phương trình (H): x - y = 1 Hai điểm A, B thuộc (H) sao cho hoành độ điểm B gấp đôi hoành độ của điểm A Xác địnhbao hình của đường thẳng AB.
Chứng minh:
Giả sử, tọa độ điểm A, B trên (H)
có toa độ là AG, “), B(21, s04 # ()),
Suy ra, họ đường thẳng AB thỏa
điểu kiện dé ra có phương trình:
Khử tham số t ta được phương trình của bao hình: xy = s
Nhân xét; - Kiểm tra lại, ta thấy rõ ràng phương trình bao hình chính
là điều kiện để phương trình xác định đường thẳng AB là D(U có
nghiệm kép theo t,
- Với mỗi L € R ta có, tiếp tuyến của hypcbol bao hình: xy = 9/8
tại điểm Ệ tà] là đường D, thuộc họ đường thẳng AB.
2.2.3 - Cho hệ trục tọa độ Descartes vuông góc, hai điểm A thuộc trên
xx’, B thuộc trên yy' sao cho: AB = a > 0 (a cố định) Xác định hình bao của
đường thẳng AB,
Trang 16Chương |: Phương pháp hình học vi phan
ưưư+ n nh ưu ~ ư ko Lư n ng go ưa Tư tỶnỶnnỶ ~ẽz Ta ~~ eee
._ Chọn t làm tham số, ta có: tọa độ cácđiểm A,B là :
A(acost, 0), B(O, sin) tL c R.
Suy ra, phương trình họ đường thẳng
AB là:
Xsint + ycost = acostsint,
Hệ phương trình xác định đặc hình cũng chính là hệ phương trình xác
định bao hình của họ đường thẳng AB là:
la ycost =acostsint
Xcost—ysint = a(cos? t—sin? L)
Giải hệ phương trình trên ta được:
2.2.4 - Tìm bao hình của ho đường thẳng D, D, cắt hai trục của một hệ
trục tọa độ trực chuẩn tại A và B sao cho: OA + OB = a(a là một hằng số)
Phương trình (*) có dạng một phương trình bậc hai theo t, Do đó,
phương trình xác định bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cần va
đủ để phương trình bậc hai (*) có nghiệm kép Đó là: (y - x - a) - 4ax =U.
[Phương trình này được viết lại là: x” + y? ~ 2ax ~ 2ay — 2xy + a* = 0 Kiểm
ALARA LL LBBB LLL ALLELE BELL B LLB LL LL LBB LLL ELLE LLC LA LEER R
Trang 17Chương |: Phương pháp hình học vi phân
- .ư ư ng ưu ưư + OREO LL EOP Cg th tk gu tư kg tư MER
tra được, phương trình bao hình là biếu diễn của một parabol có các yếu tố
Vay phương trình của ho đường thẳng PQ tham số t:
(a? +b? - at) (x = J +ybt=0
> at+ (yb — ax - a? — bŸ)L + (a? + b))x = 0 (*).
Ta có, phương trình trên có dạng một phương trình bậc hai theo I.
Do đó, ta có phương trình bao của họ
đường thẳng PQ chính là phương trìnhđiều kiện để (*) có nghiệp kép:
(yb - ax— a*— bẺ)” — 4a(a* ¬ b)x= 0
AAA AAR ARAL ALLL HH MELA LALA
Trang 18Chương |: Phương pháp hình học vi phân
LLL LL LLL LLL LLL LL LL LLL LEE LLL LLL LLL LLL LLL LE LLL LL LEE LLL LE LLL LE Le
o> ax’ +b’y? — 2abxy ~ 2a(a’ + b?)x ~2b(aŸ + b’)y + (a? +b) =0
Phương trình hình bao có dạng tổng quát của một conic và kiểm tra ta
được đây là phương trình của một Parabol, Có các yếu tố xác định sau:
a? h
- Pung chuẩn A có phương trình: bx + ay = 0.
- Tiêu điểm F(a, b)
~ Trục đối xứng có phương trình: ax ~ by + b* - a? =0
— —
2.2.6- Tìm bao hình của họ đường thẳng d tạo với hai nửa trục Ox, Oy
của hệ trục trực chuẩn một tam giác có điện tích không đổi
Chứng minh:
Giả sử, đường thẳng d lin lượt cắt hai nửa trục Ox,Oy tại A,B
Giả sử, số đo diện tích không đổi dé ra là a (đvdt).
Trang 19Chương |: Phương pháp hình học vị phân
LAL LBL Lưu kg ưu ỡ nu rk k LLL LEE VY TU Lan dd LE OLE ELE L ELE OL LRA OO
Vậy bao hình của họ đường thẳng d là một nửa (nửa dương) hypebol
có phương trình y = a ,x>U,y>0.
x
2.2.7- Tìm bao hình của họ đường thang d lưu động sao cho hình chiếu
H của điểm cố định A xuống D là một đường thang | không qua điểm A.
Ta có, d là đường thang qua H và
vuông góc với AH(-F.0 nén
phương trình của họ đường thang d
Trang 20Chương 1: Phương pháp hình học vi phân
LLL LLL LM AA LAL LALLA POLL LEP EL ALLELE LE LEBEL LOL OD DE
2.2.8- Một điểm M chạy trên Parabol có phương trình (P): yÌ = 2px (p
> 0 cố định ) Giả sử, (T) là tiếp tuyến của (P) tại M và đường thang đối
xứng của (T) qua đường thang song song với yy’ kẻ từ M là (T') Xác định
bao hình của họ đường (T’).
Trang 21Chương |: Phương pháp hình học vi phân
OOOO LL LL LLL LOL LLL LEE ELL LLL LL ELL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL 4926 2 49 2 4e 2446414042222
Phương trình đường thẳng (T°) có dang một phương trình bậc hai theo
ấn L Suy ra, phương trình bao hình của (T') chính là điều kiện để phương
trình bậc hai theo t có nghiệp kép: y* + 6px = 0,
Vay, bao hình của họ đường thẳng (T’) là parabol có phương trình:
(P`): y°=-6px có tính chất sau: trục đối xứng nằm ngang, bể löm quay
về chiều âm, đỉnh là gốc tọa độ, tiêu điểm Fe p 0), đường chuẩn x = 6p.
2.2.9- Điểm M thuộc trên parabol có phương trình y = ax” chiếu M
xuống Oy thành P Gọi N là trung điểm của OM Tìm hình bao của đường
thắng PN.
Chứng mình:
Do M chạy trên parabol (P): y= ax’ nên tọa độ điểm M có dạng:
Mit at’), Suy ra, tọa độ hình chiếu P của M xuống Oy, tọa độ trung điểm N
của OM là: P(O, ab), Me)
Ta có, phương trình đường thang PN là:
Trang 22Chương |: Phương pháp hình học vi phân
* Nếu ts 0, phương trình của ho đường thẳng PN: at’ - axt— y = 0 (*)
có dang một phương trình bậc hai theo t Do đó, ta có ngay phương trình xác
định đặt hình, phương trình xác định bao hình là một và chính là phương
trình điều kiện để (*) có nghiệm kép: a°x* + 4ay = 0
x? =- : y
a
Vậy, theo hình của đường thẳng PN là một parabol có:
Nếu a >0: + Dinh là gốc tọa độ O(0 , 0), trục đối xứng Oy, bể lõmquay về chiều âm, tiêu điểm F (0, - L/a)
Nếu a < 0: + Đỉnh O(0 , 0), trục đối xứng là Oy, bể löm quay vềchiếu dương, tiêu điểm F(0, -1/a)
2.2.10- Một điểm M chuyển động trên đường tròn O đường kính AB,Đường thẳng AM (tương ứng BM) cắt tiếp tuyến với (O) tại B (tương ứng A)tại điểm P (tương ứng Q) Xác định hình bao của đường thắng PQ
- Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn thích hợp sao cho các điểm A, B có
tọa độ : A(-R, 0), B(R, 0)
- Do M di chuyển trên đường tròn đường kính AB nên tọa độ M có dạng
(R cost, R sint), te R R là bán kính của đường tròn (O) = (AB): x” + yŸ= R’, Suy
ra, tiếp tuyến với (O) tại A, B là d, d' có phương trình:
(d) :x=-R (1)
(`) :xz=R (2)
- Ta có phương trình đường thẳng AM,
BM là:
(AM): (sinOx + (cost +l)y + Rsint=0 (3)
(BM): (sinDx + (1 — cosU)y — Roma (4)
Từ (1) và (4) suy ra, toa độ giao diémP=AMxd là P(R, int)
1 + cost
ELL LLL hư tu L LLL LLL ALLE LLL LLL LLL LL LLL ELLE 299229 9 04 2 2 20 MRM
Trang 23Chương 1: Phương pháp hình học vi phân
TH .a POE EOE EOE EEO EEE ROR LOL an
-2R
Từ (2) và (3) suy ra, tọa độ giao điểm Q =BMx d là : Q (-R-——— sin)
cost -Ì
Suy ra phương trình đường thẳng PQ:
(PQ): 2xcostsint + ysin’t ~ 2Rsint=0
Ta có, hệ phương trình xác định đặc hình cũng chính là bao hình của
- Tam đối xứng là gốc tọa độ O(0, 0)
- Hai tiêu điểm F;(0, J3R), FO, -V3R).
2.2.11- Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng biến thiên qua A cắt
BC tại E va CD tại F Gọi I là trung điểm của EB, Tim bao hình đường thẳng
Fi,
PEE ELLE LLLLLL LLL LLL ELLE LLL LLL LLL LLL LLL LLL LLL ELLE LL LLL LLL LL OR
TRANG 21
Trang 24Cc “hương I: Phương pháp hình học vi phân
LLL L ALLEL LLLLLLELLELLLOLEL ELD POE EOE OL LORE LLO OLED OOOO OO
Ta thấy (*) có dạng mốt phương trình bậc hai theo k Do đó, phương
trình hao hình của họ đường thang FI chính là phương trình điều kiện để (*)
Vay , bao hình của đường thẳng FI là đường tròn tâm Ẹ 2) bán kính
` Đây chính là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
2.2.12- Đường tròn tâm C bán kính R không đổi thay đổi và luôn tiếp
xúc với trục hoành và ở trên trục hoành, tiếp điểm là A Định bao hình
đường đối cực D của gốc tọa độ O đối với đường tròn (C).
Chứng minh:
Chọn t làm tham số, tọa độ điểm A cho bởi A(t0)
Suy ra toa độ tâm C của đường tròn (C) là: C(t,R).
Vậy ,đường tròn tâm C bán kính R có phương trình là:
ARAL ALAA LLB LLL LR
Trang 25Chương {- Phương pháp hình học vi phân
-
(C): (x~ UẺ+(y~ R) = RẺ.
Hay xÌ+y”- 2x - 2Ry+ =0.
Quy tắc tách đôi tọa độ cho ta phương trình đường đối cực D của gốc
tọa độ O(0,0) đối với đường tròn (C):
D: t-xt- Ry =0(*).
Phương trình đường đối cực D, có dang một phương trình bậc hai theo
| Do đó, phương trình bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cẩn và
đủ để (*) có nghiệm kép theo t Đó là, x` + 4Ry = 0.
Phương trình bao hình là phương trình của một parabol có các yếu tố
hình của đây cung chung của hai đường tròn (C) và (C’).
Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho trong đó ta có phương trình
đường tròn (C) là: x? + y? = a” và phương trình của đường thẳng D là: y = m.
Chọn t làm tham số, họ đường tròn có bán kính R vuông góc với đường thẳng D có phương trình:
(C): (x—-Uˆ+(y- m=R?
với điều kiện ÏR ~ a|< V +m? <|R+al
y Hay (R - a)?- mˆ << (R+a)-m
thì hai đường tròn (C) và (C) cắt nhau và
giao điểm là nghiệm của hệ:
Trang 26Chương |: Phương pháp hình học vi phân
2m
Đây cũng chính là phương trình tham số của hình bao họ đường thẳng
D, Khử tham số (ta được: x + 2my - RỶ + r= mỶ =0.
Vậy, hao hình của dây cung chung của hai đường tròn (C) và (C’) là
đoạn parabol có phương trình:
x? +2my—-R? +r
(R -a)? ~m?<x? <(R+a) -m?
2 Ế =0
2.2.14- Tìm bao hình đường đối cực của một điểm lưu động M thuộc
đường tròn (O) có phương trình: x? + y> = a> đối với đường tròn (C) có
phương trình: x? + yŸ~ 2Rx = 0 Xét trong hệ trục trực chuẩn.
Chứng minh:
Chọn t làm tham số, tọa độ điểm M cho bởi: M(acost, asinU.
Suy ra, phương trình đường đối cực D của M đối với đường tròn (C) là:
(D): (acost)x + (asinUYy — (x + acosUR = 0 Hay (ax — aR)cost + aysint=Rx = (1)
Ta thấy, phương trình của họ đường thing D, có dạng phương trình
lướng giác cổ điển theo t Phương trình bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm kép theo L.
Đó là: (ax — aR)’ + ay? = RỶxỶ.
Hay: (a* — R*)x* + a°y°— 2aˆRx + a°R* =0 (2).
WM._ - _ -.-n7-e7-2sa2.7-.a.-75-s57-.-ẳỶ.a¬'Ỷarnaadaaradananadadaesaaasaandddel
Trang 27Chương 1: Phương pháp hình học vi phan
OEE MOLLE LEE sẽ“ SOOO OLE LOLOL OLE L OEE OO
Nếu R <a thì phương trình (2) là phương trình của một clip mà phương
e Nếu R =a thì (2) là phương trình của một parahol
Phương trình (2) có thể viết lại như sau:
yÌ ~2Rx+R°=
Parabol này có yếu tế xác định sau:
- Đỉnh {55).
2
Trang 28Chương |: Phương pháp hình học vi phân
SEO EEOOOEE nan a.-a.aananaaa
e Nếu R >a thì (2) là phương trình của một Hypebol
Phương trình này có thể viết lại như sau:
- Đô dài nửa trục ảo là: — _ Trucảothẳng đứng,
Trang 29Chương |: Phương pháp hình học vi phân
LLL LLL LLL LLL LALLA LALLA LAL LLL LLL LLL LAL LLL LLL LL LLL LL LLL LLL LLL
2.2.15- Tìm bao hình của đường thẳng lưu động d biết rằng: quỹ tích
các hình chiếu H của một cố định A xuống d là một vòng tròn (C) không đi
qua A có bán kính là b.
Chứng minh:
Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho: điểm A thuộc trục hoành
Ata.0), Gốc tọa đô O(0,0) chính là tâm vòng tròn (C) Suy ra, tọa độ điểm H
là H(beost, bsinU với L= (OA,OH).
Ta có, phương trình họ đường thẳng d (qua H và vuông góc với
AH =(bcost - a.bsin L)) là:
d: b(x + a)cost + bysint - (bh? + ax) =0
e Phương trình đường thang d có
dạng phương trình lượng giác cổ
điển theo biến L Suy ra, phương
e Nếu lbl > lal thì (*) là phương
trình của clip có tâm đối xứng làgốc tọa độ O(0,0), trục lớn nằmngang, bán kính b, trục nhỏ thẳng
Trang 30Chương |: Phương pháp hình học vi phân
TT LLL SOLED LOLOL LLL LLL LL E OL EE OL LL LLL ALLL LL LAA EO
Nếu Ibi < lai thi bao hình là Hypebol có: tâm đối xứng là gốc tọa đô O(0,0),
trục thực 2b nằm ngang, trục ảo Wa —Eˆ thẳng phương trình hai đường êm
củn là:
ya -#x-—by=0
— (Hinh 2)
Va ~hÈx+by=0
2.2.16- Tim bao hình của các tiếp tuyến D của hyperbol có phương
trình xy = 2 (khi 2 thay đổi) tại những giao điểm của hyperbol với đường
thẳng x + y = Ì
Chứng minh:
Gọi (Xoo) là tọa độ giao điểm của hyperbol có phương trình xy = A
(AS 14) với đường thẳng x + y = 1.
Suy ra, phương trình tiếp tuyến D tại (x v.) với hyperbol là:
X.y + y„x = 2A với Xo, Yo xác định hởi hệ sau:
Ta thấy, phương trình (*) có dạng một phương trình bậc hai theo biến
là x, Vậy, phương trình xác định bao hình của họ đường thẳng (*) chính là
diéu kiện cần và đủ để phương trình của nó có nghiệm kép theo x, Đó là:
(y-—x-2)'- 8x=0
Trang 31Chương bt: Phương pháp hình học vi phan
LLL LLL LL LLL LLL LLM.
Hay xỶ + yÌ— 2xy - 4x — 4y = 0 Ta kiểm tra được phương trình này là
phương trình của một parabol có các yếu tố xác định sau:
- Dinh parabol chính là gốc tọa độ O(0,0)
Trang 32Chương II: Phương pháp hình hoc xa ảnh
EOL LLL LOL LL LL LLL LLL LLL LLL LLL LLL EEL LLL LLL LLL LL LLL LLL LLL
CHUGONGII
GIẢI BÀI TOÁN BAO HÌNH VÀ BÀI TOÁN QUY
TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC XẠ ẢNH
Trong chương I, ta đã giải bài toán bao hình bằng phương
pháp hình học vi phân Qua việc giải các bài toán đó ta rút
ra một nhận xét chung là với công cụ tương đối sơ cấp ta đã
giải được hau hết các bài toán tìm bao hình
Tuy nhiên, như đã nói, việc giải bài toán tim bao hình là
không dễ dàng Chẳng hạn, nếu bài toán đã nêu không được
cho trong hệ trục toa độ Descartes vuông góc thì với công cụ
hình học vị phân việc giải rất khó khăn.
Do đó ,chúng tôi tìm hiểu thêm việc giải bài toán bao
hình bằng phương pháp xa ảnh Ta nhận xét rằng bài toán tìm
bao hình là bài toán đối ngẫu của bài toán tìm quỹ tích Vì
vậy ,trong chương này chúng tôi cùng trình bay song song các
công cụ và giải các bài toán quỹ tích với bài toán bao hình.
§1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BI
1.1 Phép chiếu xuyên tâm và phép phối cảnh
1.1.1 Phép chiếu xuyên tâm :
Trong mặt phẳng xa ảnh P;, ánh xạ xa ảnh f: ( m} > {m'`}
giữa hai hàng điểm có giá là đường thẳng m, m' là phép chiếu xuyên
tâm nếu các đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng luôn đi qua mộtđiểm D cố định Điểm cố định đó gọi là tâm phép chiếu
Kí hiệu : {m} 2 (m').
EO LL LL LLL LLL LLL LLL LLL LL LLL LLL LLL EEL LEE LLL LLL LLL LLL LL LOL LLL LLL LO
TRANG 31
Trang 33Điều kiện cẩn và đủ để ánh xa xạ ảnh giữa hai hàng điểm trởthành phép chiếu xuyên tâm là giao điểm của giá hai hàng điểm là w
ứng
1.1.2 Phép phối cảnh : (Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm)
Trong mặt phẳng xạ ảnh P; , ánh xạ xạ ảnh f: {M] > [M']
giữa hai chùm đường thẳng (M} và {M’} là phép phối cảnh nếu giao
điểm của các cập đường thẳng tương ứng luôn thuộc một đường thẳng
d cố định Đường thẳng đó gọi là trục phối cảnh
và tiếp xúc với hai đường thẳng f(MM'), ['(MM’).
Định ly dao :
Nếu M,M' là hai điểm cố định của một conic và điểm N là
điểm thay đổi trên S thì ánh xa f : {M} —> {M"} từ chùm tâm {M] vào
chùm tâm {M'} sao cho : f(MN) = f(M'`N) là ánh xa xạ ảnh nhưng
không là phép phối cảnh
1.2.2 Dinh lý đối ngẫu của định ly Steiner :
Trong mat phẳng xạ ảnh P;, nếu là ánh xạ xạ ảnh f:{m`} >(m`] giữa hai hàng điểm có giá là các đường thẳng m, m`nhưngkhông là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối các cap điểm
tướng ứng sẽ tiếp với một conic, Conic này tiếp nối với m,m`và đi qua
Trang 34“hương I: Phương pháp hình học xu ảnh
cho fimxn) = m'x n là một ánh xạ xạ ảnh nhưng không phải là phép
chiếu xuyên tâm.
1.3 Phép đối hợp trên đường thang và trên conic:
1.3.1 Phép đối hợp trên đường thẳng :
a Định nghĩa phép đối hợp :
Một phép biến đổi xa ảnh [: P„ > P„ của ánh xạ xạ ảnh là đối
hợp (gọi tất là phép đối hợp ) nếu f° là phép đồng nhất.
Giả sử f: Pạ > P¡ là một phép đối hợp của đường thẳng xạ ánh P,
nhưng không là phép đồng nhất Khi đó ,nếu f có một điểm kép P thì
nó sé có điểm kép thứ hai là Q và với mọi điểm M thuộc P; sé cóđiểm tương ứng M'=f(M) sao cho (P Q MM’) = -I
Vậy, phép đối hợp f: Pị > P\,f # Id thì hoặc nó không có
điểm kép nào hoặc nó có hai điểm kép phân biệt