Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Giải bài tập vật lý tương đối hẹp

Không những không tìm ra được hệ qui chiếu tuyệt đối mà còn khẳng định lại luận điểm của Maxwell vẻ vận tốc ánh sáng: vận tốc ánh sáng trong chân không là hằng số c=3.10Ÿm/s nó không phụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM TP.HCM

Trang sual gua trinh hoc & Dai hoc cheng cm được hoc vất whibu (Á«gết sát (ý “Trang db

Thuyel tating ác la mat thugét quan thong trong các nganh cát ly hitn dai Nhan thie dase

tim qua trong của nb cừ na wht sự hhuyin khich của Thdy ROANG LAN cm chon để tai

nay dé lam ludn t6t seÁ¿¿A.

Trang (xá vin tất nghiifs cáa các chia lim bad phan:

Phan 2: Phin (ý thuyét chia lim ba chummy , cheng 2 sảc vd “ Thuydt tummy dbi hep cáa Einstein” Can chutng 77 xác ud phumg (út toan hoc mồ ta ly thugét (ương td ( Khéng gian bin chiéu bhing gian Minkowshi).

Churwmng 222 » chink ta ting dung của Thuyét tượng đốt hep cảa trong co hoc.

“Thưa didn ti.

Thdy Cb huting đế» thim va gisife ton sii, chile mbiing sad abt, db em han chink hike thei

Wat lin nite em rim chin think cảm on Thdy ROANG LAN ba guáa đề em trang suét gud

TP 2á Ché Wink Wgay 25 thang OS mam 2007

S422 ‹ Lit Thank Pung

PPP PPP PEPE PPK KOS

LOI OAM, ON,

© Sn sin chan thank cám on 2uj đáy C4 Khoa VÀ

MỤC LỤC:

CHƯƠNG I: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP của EINSTEIN

I.Mối quan hệ giữa hai tiên dé của thuyết tương đối hẹp.

Tính tương đối của sự đồngthời, 0 52255 s2 |

HL,Piệp biên 0i 8 8) | re neaeessasoi 3

M Không thời gian mang tính tương đối qua phép biến

V Công thức hợp t tốc Einstein isaac escent 6

CHƯƠNG II: KHONG THỜI GIAN BON CHIEU _ KHONG

GIAN

MINEDOWSKELGái aGGGk 2G ((GGGGGG02 62A 7

I Không gian bốn chiều 3 2 eee teens T

II.Khoảng bốn chiểu my

Il Tinh bất biến bén oiallieg qua ee biến đổi Konulne 7

BSS gO ES lL.: (›\,,- + HỆ ÔNANNNRRRRRRRSRBSS 8

CHƯƠNG II: CƠ HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH I0

I Xây dựng vecteur vận tốc, vecteur gia tốc bốn chiều: be os II

II.Đông lượng tương đối tính — Khối lượng tương đối tín L2

II Chuyển động của hạt tự do — Các định luật bảo toàn!2

PHAN Â

MỞ ĐẦU: NHU CAU XÂY DỰNG LÝ THUYẾT MỚI 5

CHƯƠNG I: PHÉP BIEN ĐỔI LORENTZ 219 CHƯƠNG II: ĐỘNG HỌC - ĐỘNG LUC HỌC TƯƠNG ĐỐI 37

CHƯƠNG II: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI và LÝ THUYẾT

TRUONG BIBI TỪ ¿ca tbácccuece-cevoooaeeivii so

_ THUYET TƯƠNG aa EINSTEIN

Cuối thế kỷ XIX đầu thế ế kỷ XX khoa 6 bước vào những lĩnh ` vực

nghiên cứu mới và bắt đầu xuất hiện những mâu thuẫn kịch liệt giữa

dữ kiện thực nghiệm với những luận điểm của cơ học Newton Một số

nỗi bật là kết quả của thí nghiệm Michelson-Morley: mục đích chủ yếu

của thí nghiệm này là tìm ra hệ qui chiếu tuyệt đối, vận tốc gió éther nhưng kết quả lại hoàn toàn bất ngờ Không những không tìm ra

được hệ qui chiếu tuyệt đối mà còn khẳng định lại luận điểm của

Maxwell vẻ vận tốc ánh sáng: vận tốc ánh sáng trong chân không là

hằng số (c=3.10Ÿm/s) nó không phụ thuộc vào nguồn phát sáng hay

máy thu.

Để giải quyết những mâu thuần trên các nhà khoa học xây dung hàng

loạt các mô hình: giả thuyết về éther, thuyết của Hertz, thuyết Lorentz,

thuyết xung kích của Ritz Nhưng những thuyết này lại chỉ thõa mãn

trong một phạm vi nhỏ không đúng đối với một số dữ kiện thực nghiệm khác Vì vậy những thuyết này bị lãng quên đi.

Mãi đến 1905 thì mới có một thuyết mới ra đời đó là ” thuyết tương đối hep của Einstein * Nội dung của thuyết chủ yếu tập trung vào hai tiên

để cơ bản mà mối quan hệ giữa hai tiên để này nói lên sự vận động

của không gian, thời gian và sự liên quan chặt chẽ giữa chúng.

L.HAI TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA THUYẾT:

Tiên dé l : Nguyên lý tương đối Einstein: các định luật vật lý( tự nhÌÊR)

điều được phát biểu như nhau trong mọi hệ qui chiếu quán tính, hay về

mặt toán hoc, các phương trình của định luật tự nhiên điều có dạng như

nhau trong mọi hệ qui chiếu quan tính

Tiên để 2 : Tốc độ ánh sáng trong chân không là hằng số trong tất cảcác hệ qui chiếu quán tính, hay phát biếu rõ hơn, tốc độ ánh sáng vềmọi hướng bằng nhau không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn phát

xáng hay máy thu.

II.MÔI QUAN HỆ GIỮA HAI T

ĐỐI TÍNH TƯƠN s NG THỜI:

Từ các tiên dé trên suy ra một loạt kết luận quan trong dé cập đến tinh

chất của không gian và thời gian Trong cơ học Newton không gian và

thời gian được coi là cô lập nhau và tồn tại không gian tuyệt đối và thời

+ V

S122: LU 22442124 TRUNG Trang |

gian tuyệt đối Trong Principia, Newton đã định nghĩa không gian tuyệtđối và thời gian tuyệt đối như sau:

“Absolute, true and mathematical time, of itself and from its own nature,

flows equably without relation to anything external”.

“Absotute space, in its own nature, without relation to anything external,

remains always similar and immovable".

Theo đó ông coi một cách rõ ràng hai sự kiện là đồng thời trong một hệ qui chiếu nào đó thì nó sẽ đồng thời trong tất cả các hệ qui chiếu quán

tính khác Tuy nhiên điều này lai mâu thuẫn với tiên dé thứ hai: về sự

bất biến của vận tốc ánh sáng

Như vậy rõ ràng khi nói đến thời gian và không gian , Newton đã căn

cứ vào tính chất hình học của chúng, tính chất hình học của không gian Euclide 3 chiều.

Như vậy ta cần phải xây dựng một không thời gian khác thỏa tính bất

biến của vận tốc ánh sáng hay nói cách khác là một không thời gian

mô tả hiện tượng vật lý thỏa hai tiên để Einstein.

Ta xét hai vật K và K’ lập thành với các đồng hồ thích hợp tạo nên hệ

qui chiếu quán tính K M K' N

Ta có hệ K' chuyển động so với hệ K với vận tốc ø hướng dọc theo đường thắng nối tâm của hai vật (hình 1) Trên đường thẳng đó ta đặt

hai vat M, N cách đều K’ và liên kết chặt với K" Đối với K hai vật M,

N cùng chuyển đông với vận tốc š, còn đối với K’ thì chúng đứng yên.

Trong cả hai hệ ta chỉ xét một quá trình là quá trình truyền ánh sáng Khi tín hiệu ánh sáng phát ra từ K* và tín hiệu này đạt tới các điểm M,N.

Trong hệ K': vận tốc của ánh sáng theo mọi phương là như nhau và

bằng c Vì vậy trong hệ K’ ánh sáng sẽ đến M, N là đồng thời ( trong

cùng thời điểm t).

Trong hệ K vận tốc của ánh sáng là như nhau theo mọi phương và

bằng c Nhưng trong hệ này vật M tiến về phía tín hiệu, N rời xa tín

hiệu sáng nên thời gian ánh sáng đến M nhỏ hơn thời gian ánh sáng

đến N hay ty < ty.Tif đây rút ra kết luận sau: hai biến cố gọi là đồng

S422: LU THANH TRUNG Trang 2

thời trong hệ K' thì nó lại không đồng thời trong hệ K Như vậy có

nghĩa là thời gian trôi không như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính

khác nhau Cho nên thời gian mang tính tương đối Như thế khi mô tảmột biến cố trong hệ qui chiếu quán tính nào đó cẩn phải chỉ ra nó ở

điểm nào trong không gian đó và thời điểm ở điểm đó Vấn để quan

trọng nếu không gian thành lập bởi các toa độ cách đều nhau và gắnvới những điểm ấy bởi các đồng hồ có thể xác định biến cố xảy ra tại

điểm đã cho được xác lập như thế nào?

Ta có thể dé dàng vạch các dấu toa độ bằng cách dời chỗ cácđơn vị không gian Nhung làm thế nào có thể đồng bộ hóa các đồng

hồ trên 2

Phương pháp đồng bộ hoá:

Ta cứ tưởng rằng có thể thực hiện sự đồng bộ hoá bằng cách: trước tiên

đặt các đồng hồ thành một day va sau đó kiểm tra sự chỉ của chúng rồi

người ta mang nó tới các điểm tương ứng của không gian Tuy nhiên cần phải loại bỏ phương pháp trên vì ta không biết sự chuyển vận của

các đồng hé từ chỗ này đến chỗ khác sẽ ảnh hưởng đến sự chỉ củađồng hé như thế nào Vì vậy ta chỉ có thể tiến hành đồng bộ hoá như

sau : trước tiên đặt các đồng hồ ở những điểm của không gian và sau

đó kiểm tra lại sự chỉ của chúng bằng tín hiệu ánh sáng

Giả sử đồng hồ dat tại A chỉ t, ta phát tín hiệu sáng đến B rỗi quay về

A tại thời điểm t; như vậy thời điểm để đồng hồ tại B chỉ đồng bộ với

A là t= "* tương tự như vậy ta có thể déng bộ hoá tất cả các đồng

hé trong hệ qui chiếu đó

IH,PHEP BIEN DOI LORENTZ

Khoảng những năm 1881-1887, Michelson( 1852-1931) một nhà vật lý

học người Mỹ đã nghiên cứu đo vận tốc của ánh sáng Ông đã làm

thực nghiệm đo vân tốc của ánh sáng theo những chiều khác nhau so

với phương chuyển động của Trái đất trong Thái dương hệ Tuy mục

đích của thí nghiệm là tìm ra hệ qui chiếu tuyệt đối nhưng kết quả thí

nghiệm khẳng định diéu ngược lại là không tổn tại hệ qui chiếu như

vay và vận tốc cua ánh sáng là tuyệt đối đối với mọi hệ qui chiếu quán

tính.

Đầu năm 1893 Lorentz đã tim cách giải thích hiện tượng đó bằng

thuyết éther (vật thể co lại trong hệ qui chiếu quán tính chuyển động

so với éther : éther là một môi trường ki di —

gắn liên với một hệ qui chiếu tuyệt đối nào '

đó).

Bây gid ta xét phép biến đổi Lorentz của hai

hệ sau:

Ta xét hai hệ qui chiếu quán tính K, K’ giả sử ——

K' chuyển động so với hệ K với vận tốc * theo phương trục oF và có

O`y'/ Oy, O'z Oz Vì phương trình Maxwell bất biến đối với phépbiến đổi Lorentz nên mối quan hệ giữa các tọa độ là mối quan hệtuyến tính:

x=x(x,y`,z,t)

y=y(x,y`,z`.tU)

z=zZ(x`,y`,Z,t)

=I(X),y`,Z,t)

nhưng với việc chọn hệ trục toa độ như trên ta có mặt phẳng y=0 trùng

với mặt phẳng y`= 0 còn mặt phẳng z = 0 trùng với z`= 0 Nên suy ra

rằng các toa độ y và y’ phải triệt tiêu đồng thời và độc lập với các giá trị của các toa độ khác nên ta có: y=£.y` do tính bình đẳng của hệ qui

chiếu ta có: y`= e.y.Từ đó suy ra rằng z'=l hay ¢ =+l Vậy y=y'

tương tự Z=z`.

Bây giờ ta tìm mối liên hệ x, t với x’, U: ta thấy y và z không phụthuộc vào x’ và U từ đó suy ra rằng các giá trị x’, cũng không phụthuộc vào y và z nên ta có mối quan hệ sau:

x= X(X',U) t= U(x", U)

Chọn tọa độ O của hệ K có toa độ x = 0 trong hệ K và x`= -v.t’ trong

hệ K' do đó biểu thức x`+v.U phải triệt tiêu đồng thời với toa độ x.

Muốn thế phép biến đổi tuyến tính phải có dạng:

x=y (x'+v.t') =Trong đó y là một hằng số nào đó.Tương tự gốc tọa độ

O' của hệ K" có toa độ xˆ= 0 trong hệ K` và x=v.t trong hệ K nên ta có:

XÌ=z.(Xx-V.U

Xét với tín hiệu ánh sáng x=c.t; x'=c.U,Như vậy :

S122: LU ?24/Ì2024 TRUNG Trang 4

ict ivf 0 0 y ict

IV KHONG THỜI GIAN MANG TÍNH TƯƠNG ĐÔI QUA PHÉP

~* +

BIEN DO

Từ công thức biến đổi Lorentz ta được khoảng cách ,khoảng thời gian

giữa hai sự kiện trong K và K’ :

Al'zx;`-Xxi`=y[(X:- XI) = V.(tạ= tị)|

Ast,’ - tị`=z[( tạ~ tị _Ê@œ- x¡)|

p

Nếu trong hệ K ta có aa: vận tốc liên hệ giửa hai sự kiện thi từ (1)

và (2) ta có: Al’=xy'-x,'=y(a-v) An AU=b'` — t=y Atl — 8 a)

r3

Từ (1) ta thấyrằng Al, Al’ có thể mang dấu tùy ý, AI'=0 khi v=a tức là

hệ K' chuyển động đúng bằng vận tốc liên lạc giữa hai sự kiện thì hai

sự kiện đó sẽ cùng diễn ra tại một điểm trong không gian K' Đó là

tính tương đối của không gian

S124: LU THANH 2114 L 5

Từ công thức (2) thì ta có At’ có dấu phụ thuộc vào dấu của (I— 4)

Ất trái dấu Av do đó ta nói quy luật nhân-quả không đúng cho hệ K’

Từ dây suy ra thời gian mang tính tương đối

V CÔNG THUC HOP TOC EINSTEIN

Trong hệ K giả sử vật chuyển đông @

Trong hệ K` vật sẽ chuyển động với vận tốc #', biết K' chuyển động

so với K với vận tốc ¥ doc theo trục Ox Theo phép biến đổi Lorentz ta

Giả sử nếu có một biến vật lý xảy ra tại một địa điểm có tọa độ xác

định nào đó trong tọa độ Descartes do bằng ba số y' với i = 1.2.3 :tọa

độ này gọi là toa độ không gian Ngoài ra để xác định biến cố trên cẩn

phải có một đồng hé để biết thời điểm xảy ra biến cố đó: tọa độ thời

gian

Như vậy đối với một biến cố xảy ra ta cần biết bốn đại lượng y’, t hay

x,y,z,t như vậy ta có thể xây dựng một hình học bốn chiêu để biểu thi

biến cố vật lý Trong không gian bốn chiều đó một điểm được xác định bởi 4 tou độ trên gọi là điểm thế giới và đường cong trong nó gọi là

đường thế giới Một không gian như vậy gọi là không gian giả Euclide

Muốn xúc định khoảng cách giữa hai điểm trong không gian đó ta cần

đưa ra một metric của không gian đó.

HH, KHOANG 4 CHIEU:

Xét một biến cố truyền ánh sáng từ gốc tọa độ O của hệ quán K đến

một điểm trong không gian có tọa độ 7, t ta được phương trình mặt cầu

sóng có dạng 720 từ đó suy ra x+y? +27 = c`.

Đặt s = xÌ+y` +z` - 7? được gọi khoảng biến cố từ đó suy ra

ds* = dx*+dy*+dz*- cÌ.dẺ như vậy ta chọn không gian bốn chiéu tưởng

tượng có bốn trục tọa độ x, y,z,ict thì ta có ds* = dx?+dy*+dz*+(icdt)’

gọi là metric của không gian.

Không gian Minkowski: là một không gian bốn chiều trên trường phức dùng để xác định một biến cố vật lý và được metric hóa như sau:

ds? = dx*+dy*+dz*- cÝ.dỬ = gy dx'.dx’ với x'= x, x? =y, x" =z, x” =ict và gy

là tensor cơ sở của không gian Minkowski,

I TINH BAT BIEN CUA KHOANG 4 CHIEU QUA PHÉP BIEN

ĐỔI LORENTZ:

Giả sử trong hệ qui chiếu quán tinh K ta có khoảng:

ds*= dx*+dy*+dz*- dt’

Trong hệ K' chuyển động thẳng đều so với hệ K với vận tốc v Qua

phép biến đổi Lorentz ta được:

dx'=yz(dx+v.dU; dy'=dy; đz=dz: dU=y(dt- Zdx);

-_ c

S124: LU THANH TRUNG Trang 7

oy ^ 5 - ~~ ~~ - ¢

Từ đó ta có ds* = ds°dx'+dy?+dzỶ- ode = dx'*+dy'*+đzŠ- dt’,

suy ra:ds* =ds"*,

Như vậy phép biến đổi Lorentz làm bất biến khoảng.

Xét một không gian 4 chiều có các vecteur có dạng:

\ ict, et,

Không gian vecteur trên thỏa tích vô hướng sau:

<A;.A;>= A)’.A,,, = A,„.A‡ =g,.A\.A}.

Gọi vecteur |.V} là một vecteur thuộc không gian trên nên ta có L|AX) =

LÝ) vậy ta có (XI) «(XY|LX) @ (X14) như vậy phép biến đổi Lorent

tạo thành một nhóm L có L`.L z œ

Như ta đã biết ở phần trên không gian M được xây dựng từ khoảng :

ds* = g„dx,dx, như vậy trong không gian M vecteur 4, =(A.iA,)

Xét phép quay trong không gian

M trong đó hai trục Oy va Oz giữ

XÌ4= X¿.coS( ø ) - X;.sIn( ø)

Như vậy ta có X'JŸ + X3” + X3) $x = Xi + KỶ + Xi +X¿

Nên phép quay chuyển H thành H` vẫn bảo toàn khoảng 4 chiểu Từ

phép chuyển trên ta thấy dạng ma trận của phép quay giống như dạng

ma trận của phép biến đổi Lorentz Cho nên phép biến đổi Lorentz

tương đương với phép quay trong không gian 4 chiều Goi là phép quay

Minkowski Nếu ta đặt vecteur Y, =(7.c) thì theo phép biến đổi

Lorentz ta có;

XÌạ=y(Xi+l/.X4): Xã = y.Xe| AX,

S122: LU THANK TRUNG Trang 8

Nếu ta đặt cosg = y.sine = ly f thì phép biến đổi Lorentz đẳng cấu

với phép quay Minkowski Như vậy một vecteur trong không gian 4

chiếu nào đó đều biến đổi giống như một phép quay một vecteur tọa

đô.

SUTH: LU THANK TRUNG Trang 9

vecteur bán kính theo thời gian Ta có @ -< trong cd hoc Newton.

Trong cơ học tương đối ta phải xây dung vecteur vận tốc 4 chiều dựa

vào 2 bất biến là ds’ và dip (gọi là khoảng thời gian riêng) Ta có:dš” =

dx*+dy*+dz*- c,d nên ta có dx, =(để,icdU) như vậy ta có thể định

-gọi là vecteur vận tốc 4 chiều

nghĩa vecteur vận tốc như sau ủ =

hs =; sâu th vi, = : trong đó vecteur vận tốc 4 chiéu có thành

Vậy „= (yiyc ) xét vé tính bất biến thì ta có đs là bất biến dty

cũng bất biến nên ø„ phải là bất biến qua phép biến đổi Lorentz Hay

nói cách khác vecteur vận tốc 4 chiều được xây dựng từ các bất biến cơ

bản thì nó phải thể hiện sự bất biến của vận tốc của ánh sáng trong

Vecteur gia tốc 4 chiéu tương tự như vecteur vận tốc 4 chiểu Ta xây

= Ta G6: du)? eo: Busidiy =O, dựng vecteur gia tốc 4 chiéu: a, =

nên a,.u, =0 Vậy trong không gian 4 chiéu vecteur gia tốc 4 chiều

luôn vuông góc với vecteur vận tốc 4 chiều.

.“

Trong cơ học Newton ta có vecteur động ludng ø=mz, Như vậyvecteur dong lượng 4 chiều có thể được ‘an nghĩa như sau: p, =m,.u,

mà ta có w,* =-c" nên suy ra p’ =- mic’ Do đó p? sẽ bất biến qua phép biến đổi Lorentz, do u, = (y #, iyc) nên suy ra:

p, = (mạy #, mạzy ic) = ( j me); với m= mạ y.

Te đây ta rit ra kết luận E=m c};p¿

IE tw diy ta có SS = Fa PF, với m=y.mẹ; ø=mø Đây chính là

:

phương trình động lực học tương đối tính.

Ta thấy khi £ <0 hay nói cách khác là không có ngoại lực tác dụng thì

2 phương trình trên cho ta định luật bảo toàn năng lượng -động lượng

Do đó vecteur oe lượng 4 chiều còn được gọi là vecteur năng-xung

RE :khối lương tương đối tính Do p=ma nên khi

u =c thì p-»>øœ vim — œ vì p.=(.'Êjnên ta CÓ :

c

lượng Còn m =

pix p?—f—=-mic! = E? =p +mict đây là hệ thức giữa năng lượng,

khối lượng và động lượng.

II é T =

1)Chuyén đông của hat tu do:

Cho hạt tự do bất biến trong trường hợp nay là ds= ¥ds? thành ra tác

theo lộ trình nên êx*(1)=0 ôy”(3)= 0 nên ta được “-`— =0 từ đây suy ra

không.

Bay giờ ta tìm hang số k:

Ta có : S= [Lư =k ficdt, =k cú -Ø dt rút ra ta được L = kicVL— Ø'

2

om

Theo lý thuyết cổ điển ta có Lạ = = T mà theo lý thuyết tương đối

ta có L= kiejÌ<Ø' <i@e-“S” từ đó suy ra k=im Nên ta có:

€ é

› dx

Ta được S= im, [ds thi 68 = im,c TC 2” = OS = mya,

b)Các định luật bảo toàn

Theo thuyết cổ điển, các định luật bảo toàn được suy ra từ diéu kiện bất biến của hệ kín đối với nhóm biến đổi đối xứng và trước hết là

nhóm đối xứng hình học Trong thuyết tương đối thì nhóm đối xứng

hình học là nhóm Poincaré bao gồm đối xứng không -thời gian và cả

nguyên lý tương đối Phép biến đổi vi phân tại lân cận của nhóm

Poincaré ( a” )g6m hai thành phần :thành phần thứ nhất là tịnh tiến và

thành phan thứ hai là phép quay Lorentz

Ox” = dx} + ấ/ät Xét hệ nhiều hat ta có:

&S= >»& = > imu, ax” = 3; imu,„ dc” 1 ` imu., xf OL.

Ta có 5 imu, xf ðf „ = 3 [imu, xf ở „+ imu,, x7 ổi „ |=

> 3 [ imu, x, dL, - imuy x, dL, | vậy ta có

= = Sims : <> [mu x, ~ mu,xX, |

Đặt p, => mu, : gọi là vecteur động lượng M„= 5 [mu,x, -mu,x,] gọi là moment động lương

S222: LU THANA TRUNG Trang 12

Như vậy nếu ta có các tọa độ vòng của nhóm Poincaré thì ta có các

định luật bảo toàn sau :

-Định luật bảo toàn động lượng bốn chiều : p, = 5” mu, =const

-Định luật bảo toàn moment động lượng : M,y=const

Ta có moment đông lượng 3 chiểu : 1 =|z^ ð| cũng bảo toàn giống như cơ học cổ điển

S124: LU THANK TRUNG Trang 13

LUAN VAN TOT NGHIEP ©Š— —~ _ Ø12247:242114 LAN

PHAN II: BAI TAP

S124: LU THANK TRUNG Trang \4

Bài tập!:

Trong thí nghiệm “van tốc tối hậu ” của W.Bertozzi, các điện tử phát

sinh ở Cathode và được gia tốc bởi hiệu điện thế giữa Anode và

Cathode Sự liên hệ giữa động năng T và vận tốc v của điện tử được

tim từ thực nghiệm như sau(IeV=1,6 1ứ '” joule

sai biệt tương đối của v giữa kết quả thực nghiệm và lý thuyết cổ điển ở

Từ những dữ kiện trên ta hãy vẽ sự biến thiên của vỶ theo T:

Đồ Thị Biểu Diển V” Theo T

S122: LU THANK 21H Trang 15

V(m/s) .0,593.[Ú" Fa oH 10" 5.9.10 ¡1,87.10

Theo đồ thị ta có : thì ta thấy Vụạy =c < 5,9.10” ms, đây chính là sự

khác biệt giữa lý thuyết và thực nghiệm

Bài tập 2:

Một cái hộp và nguồn bức xạ có khối hưng M bức xạ ( dưới dạng

photon ) có năng lượng W và động lượng * — được phát ra từ một đầu

của hộp di chuyển đến đầu kia của hộp ( thí nghiệm ảo tưởng của

Einstein năm 1906 ).

IChứng tỏ W= me? ,m khối lượng tương đương của bức xạ

2 một phương trình chuyển hoá năng lượng của mặt trời :

P +D = "He +y.

Trong đó khối lượng của các yếu tố trong phương trình :

m,=1.6724.107" Ke

mp=3,3432.10" Kg

mạy,= 5,0058.10°" Kg Tinh năng lượng của tia gamma.

3) Gọi khối lượng tĩnh của một vật la mạ thì động năng theo cơ cổ điển

là:m,„v2/2 nếu năng lượng của vật di chuyển với vận tốc v có thể viết

như sau W = c’.plv trong đó p= m (v)v Điều đó chứng tỏ

Me

cÌ

Bài giải:

I)Chứng t6 W=mc” trong đó m khối lượng tương đương của bức xạ.

Động lượng của hệ trước khi bức xạ P„ = 0 động lượng của bức xạ W

chuyển đuợc một đoạn là Ax=v.At.

S174: LU THANK TRUNG Trang 16

- —- -.—n ——

_ -————_ GUND: RORNG LAN

Mà hệ trên là cô lập nên ta có m.1 + M.Ax = 0 thé Ax = v.At vào Atta

được l.(m- Lá ) = 0) vậy ta có phương trình sau W=mcỶ.

a

2)Tinh năng luợng của tia gamma:

Ta có khối lượng proton là m,=1,6724.107’Kg, khối luợng Deuton mụ=3.3432.10-Ì”Kg, khối lượng He mụ,=5.0058.10°”Kg, khối lượng sai

biệt là Am=m,+mp - My= 0.0098.10”Kg Chính sự sai biệt này mà

xuất hiện dưới hình thức tia gamma nên năng luợng được tính bằng:

W = Ame* = 0,0098.1077.9.10'° Kg.m°/s`= 8.8.0 “Joule = 5,5 MeV

Trong vật lý cổ điển, ta không khảo sát năng lượng tuyệt đối mà theo

cơ cổ điển ta chỉ khảo sát số hiệu giữa năng lượng và sự chuyển đổi

giữa năng lượng này Như vậy lượng tăng động năng là do ngoại lực

S124: LU THANK TRUNG 18

1+ ld

C°

trong đó v,w là vận tốc tương đối của hai biến đổi dọc theo một trục

1 Từ đây suy ra quy luật hợp thành của nhóm biến đổi Lorentz.

2 Chứng tỏ rằng không có thể lập lại một chuỗi biến đổi vào một biến

đổi để được một vận tốc tương đối lớn hon c.

B, + Bp,Đặt y= r,(l+,8.): p=

| ýI~Ø'\=đ- |I-8'~8j + BEB

-để có vân tốc tương đối lớn hơn c:

Nếu phép biến đổi thoả qui luật trên ta xét ;u = yew tinh dao ham

wv

lo —

-5 : ea le; Lo 1-8 của u theo v và theo w ta có : u TY TXẾ u “BA,

Vì v và w đều dương nên ta có u„„= 0 ; để tìm upg, ta cho u`¿= 0; u'y=

Ú= w=v= c từ đây ta được u, = c Rỏ rang nếu w= v= c thì u,,, = ¢

cho nên nếu ta lập lại nhiều lan phép biến đổi Lorentz theo qui luật

trên thì ta chỉ thu được uj, = c ,không thể tổn tại u„„„ = c.

Bài tập 2:

Trong thành phần của tia vũ trụ có các tỉa và các hạt không bền như

ue mezon hoặc muyzon Các hạt phân rã thành electron(hoặc positron)

và notrino Thời gian sống trung bình do được khi chúng đứng yên là

vào khoảng 2.10's Theo quan niệm cổ điển thì với thời gian này hạt

đi với vận tốc c thì cũng chỉ đi được khoảng 600 m

S124 LU 2244414 TRUNG Trang 20

Tuy nhiên như các quan sắt chứng tỏ các mezon được tạo thành trong

các tia vũ trụ ở độ cao 20 -30 km và di đến mặt đất với số lượng đáng

kể Ta hãy giải thích điều này ?

Ap dụng bằng số : : = 2.10 s vận tốc hạt mezon „ : v= 0.99¢ chuyển

động từ bầu khí quyển xuống mặt đất Giả sử tại mặt đất chỉ còn lại

1% số mezon của dòng ban đầu Hãy xác định độ cao dé.

Bài giải:

Sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm ở trên chứng tỏ rằng lý

thuyết cổ điển không thể áp dụng được cho trường hợp này Để giải

thích điều này phải dựa vào thuyết tương đối tính và kết quả của phép

hiến đổi Lorentz :

Thời gian r= 2.10” s là thời gian riêng đo trên hệ qui chiếu gắn với

mezon , nếu mezon chuyển động so với trái đất thì thời gian mà người

F a r Vv

quan sát được tinh theo công thức Lorentz 1 = que? at et vận tốc

hạt mezon vì vậy không ngạc nhiên vé sự khác biệt trên.

Nếu theo quan điểm người đứng trên mezon thì thấy khoảng cách mà

mezon bay tới mặt đất bị rút gan lại đến 600 m theo công thức :

r=f,xj\- 8 là khoảng cách đo từ mặt đất,

Áp dụng bằng số thời gian hạt méson di chuyển từ độ cao h xuống mặt

đất :

Được tính từ công thức N(t) =Ns.e“.

theo để bài ta có NO „TL 1 aint => t= 2r|n10: thời gia tính theo

N, 100 ¢

hệ qui chiếu gắn với méson Thời gian tính theo hệ qui chiếu gắn với

Trái đất la:t’=t 1-2 Vậy độ cao h được tính bằng h=cU= -„Ê*

Từ đây nói lên một điều là: hiệu ứng tương đối tinh không đáng kể có

thể bỏ qua được khi v<< c

Bài tập 4:

Một người đứng trên xe đang chuyển động với vận tốc tương đối ¡ so

với mặt đất Người trên xe quan sát thấy sét đánh tại điểm A (trước xe)

và điểm B (sau xe) là đông thời Như vậy hỏi người đứng trên mặt đất

thấy sét đánh ở noi nào trước nơi nào sau

Trong hệ K tọa độ biến cố sét đánhlại A là (xX), tụ) tại B (Xa, lạ) Trong

0 nên t¡> ts như vậy sét đánh tai B (sau xe) trước, tại A ( trước xe) sau

theo quan sát viên đứng ở mat dat.

Bài tập 5:

Tọa độ không-thời gian của hai biến cố đo trong hé qui chiếu quán

tính K là E; ( x;=x¿ We )j Ex )=2Xxp, eS =) Trong hệ qui chiếu

quán tính nào thì quan sát viên này thấy hai biến cố trên là đồng thời,

tìm vận tốc của K' so với K và thời gian t` trong K’ để các biến cố đó

xảy ra.

Giả sử K` chuyển động so với K với vận tốc ý doc theo trục Ox.

Theo phép biến đổi Lorentz ta có biến cố E, trong K’:

Vận tốc của một hạt đối với hệ qui chiếu quán tính K’ là ¡ nằm trong

mặt phẳng O'’x’y’ và hợp với trục O’x' một góc 0’ Hệ K’ chuyển

động dọc trục Ox của hệ K Hay

xác định phương vận tốc của hạt

trong hệ K.

Bài giải: Theo dé bài ta có :

Van tốc tương đối của K` so với K

v.,=v,vy=() ,v,=0

-vận tốc của hạt đối với hệ K' :

Uy: = Ux:.COSØ”, Uy= 0Ug:SinØ” ,uz= 0

Theo công thức cộng vận tốc ta được :

M„ +W tty.cos@ '*Y : ¬—¬ x:: = =©——————, tly=.sinØ = u, sin? Ỷ

vu vu, Ũ vu 1+ — l+-—3 =

Một thanh thẳng có chiều dài riéng |, đứng yên trong hệ qui chiếu

quan tính O’, nó nằm trong mặt phẳng O’x’y’ và tạo một góc 0 ' với

trục Ox’ Nếu O’ chuyển động thẳng đều so hệ O với vận tốc ¡ song

song với trục 0x

1 Tìm góc tạo bởi thanh với trục ox được quan sát viên trong hệ qui

chiếu quan tính O quan sát.

2.Tìm chiêu dai của thanh trong trường lợp này

Bài giải:

I.Tính tgØ theo 2`,u

trong hệ qui chiếu quán

tính O' :chiéu dài thanh là

‘lo và tọa độ của nó là :

X`p=l,.cos2 * ; y`g= |o.sind

` Zp=ÚU:¿XA=YlA=Z'AE=

0 Đối với hệ O thanh

chuyển động với vận tốc if

doc theo Ox : vi vay ————————————————

muốn đo chiéu dai thanh bug hệ thì phải đo vị trí hai đầu mút của

thanh phải đồng thời từ đó ta có:

Theo phép biến đổi Lorentz ta được :

x CS“ cv, AHEM LYBEY`6;Z0220n = mg a = A= A Am= Osya=y'a ¡ZA=Z

1B I—#ˆ 6

nên ta có

X.—%,

X'p- XÌA= J8 \ Y`n — Y`A= Yor Ya ï

Từ đây ta được : l,=l,.cos Ø it -f ;l=l,sinø '

S124: LU THANE TRUNG Trang 24

2 Tính chiều dài thanh :

PePel ef cos’ 0 '(1= đ))+lÈ sin’ 0"

Từ đây ta có ; / = lal - B’ cos’ 9 '

Bài 8:

-Thành lập công thitc biến đổi Lorentz cho trường hyp vận tốc của hai

hệ có hướng tùy ý Từ đó rút ra kết quả u-| sry po cha I

Trong đó ¡ và ¡ ` là vận tốc của hat trong hai hệ K va K’ , vận tốc ï

là win tốc của hệ K' so với hệ K.

Bài giải:

I.Thành lập công thức biến đổi Lorentz trong trường hợp lộ _có hướng

tùy Ý :

_Ta thấy trong phép biến đổi Lorentz chỉ có thành phần song song với

phương của vận tốc thì mới thay đổi nên ta phân tích Z.Z làm hai

thành phần :vuông góc , song we với hướng của 7:

Từ (1) ta được :# = a a bé lầu=¬ị “1a: 4 = |S\

S224: LU THAN TRUNG Trang 25

HIỆU UNG DOPPLER và MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VỀ SS433

Nghiên cứu mới đây về quang phổ học các vì sao, dược xếp loại rỏràng trong SS433 thuộc ngân hà chúng ta, những vật này làm xuất

hiện sự tách đôi tuần hoàn theo thời gian của những tia mà nó phát ra

và người ta giã sử trong bài toán nghiên cứu hai mô hình để làm rỏ sự

tách đôi của tia H, được xác định bởi sao này.

1.Mé đầu: Hiệu ứng Doppler:

Một chất điểm di chuyển với vận tốc ở là hằng số dọc theo trục Ox của

hệ qui chiếu Galiléen (R(Ox,y,z)) Gọi ï.y.z là những vecteur don vị

của trục Ox,Oy,Oz Chọn R„(Mx„y„z„) là hệ tâm quán tính của M (hệ

riêng) Trục Ox= Mx, còn My,,Mz, lần lượt song song với trục Oy,Oz,

và người ta ký hiệu ï ,ÿ š, là những vecteur don vị của hệ R„ Đặt

ý =wš và giả sử độ lên dương.

1.Nhớ lại mà không cần chứng minh phép biến đối Lorentz của cùngmột biến cố ,phép biến đổi này biến đổi biến đổi những tọa dé x,y,z,

trong R thành x„y„z„t„ trong R„ Viết sự biến đổi này dưới dạng ma

Ù

trận Đặt Ø = -:y = — với c : vận tốc ánh sáng

2 Chất điểm được xem như là nguồn phát ra những photon có tần số

3 trong R,(tần số riêng) Một quan sát viên đứng trong R nhận những

photon này trong đó chiều và phương truyền của photon trong R được

xác định bởi vecteur đơn vị ii

a) Bằng cách sử dụng công thức biến đổi 4-vecteur năng - xung

lượng của photon xây dựng biểu thức bước sóng của photon truyền dọc

S224: LU THANH TRUNG Trang 26

theo trục is trong Ñ theo ham bước sóng riêng 2, « = theo y và vận

tốc bán kính y,= v¡ của nguồn

b) Chứng tỏ ii(u, uv, u.,) là vecteur don vị chỉ phương truyền củaphoton trong R, là những hàm theo u,, u,, u, Nếu 0, là góc giữa

(š,.u,) và 0 là góc (<a ) tinh tg 0, theo sind và cos0 Giải thích hiện

ti@fIg quang sai.

c).Nghién cứu liện tượng quang sai và hiệu ting Doppler trong các trường hop sau:

V„=1,V,=-V,V.,= 0.

Khao sát trường hop nào là liệu ứng Doppler dọc ,ngang.

3 Người ta chứng minh rằng thuyết tương đối cũng cho cùng một kết

quả như thuyết cổ điển khi v<<c Chứng tỏ rằng : 2 = 2 (\- =)

I.NGHIEN CUU MO HINH SAO ĐÔI:

Một sao đôi thuộc ngân ha chúng ta thì được tạo thành từ hai thànhphần khối lượng m, và m; và người ta giả sử tâm tập trung ở chất

điểm m,, mạ Và chấp nhận rằng mỗi thành phần chỉ chiu tác dụng

lực hấp dẫn bởi phần khác (nghĩa là bỏ tất cả những tác động trường

trgoài).

Sử dụng kết quả nghiền cứu của bài toán hai vật hay giải thích và tìm

vận tốc các thành phần trong sao đôi trong hệ tọa độ cầu Cùng kết quả phần trên ta hãy nghiên cứu các ý tưởng sau:

L)Một quan sát viên đứng ~———————*

trong R nhưng rất xa điểm G

(tâm quán tính của m, và m2)

nhận những photon bước sóng riêng ›, được phát ra

bởi các thành phần của saođôi trong đó phương chiều

truyền thì xác định trong R § F4

bởi vecteur don vi ù song song

S124: LU THANH TRUNG “Trang 27

với mặt phẳng z=0 và làm một góc với trục Ox là o=(x.u) Bang kết quả của phan trên hãy cho biểu thức của độ dài sóng >, +, được

nhận bởi người quan sát này.

2).Những phép do được thực hign trên sao SS433: phát ra He của

Hydrogène (›, -6563A ) chứng tỏ những biéuthiic biến tiên của

¿,¿, là hình sin( Nếu ta giả sử rằng quan sát viên trái đất là quan

sat định trong câu 1).

3) Nguoi ta định nghĩa biên độ tương ứng với những biến đổi độ dài

naa Cho biết những biên độ tương đối của những biến

đổi >, +, thì bằng nhau và có chung giá trị « thì chứng tỏ rằng mạ=

‘ 4

song t=

mạ Vậy tính toán những vận tốc ý, š của mạ và m; theo ham của G,

i (khối lượng rút gọn) và chu kỳ quay T Quan sát viên trái đất biết

chọn điểm (G) nhưng không biết giá trị e (0 < ọ <x) Chứng rằng anh

ta có thể xác định khối lượng m, nhỏ nhất của sao đôi xuất phát từ

những kết quả trước Hãy cho biểu thức của m, theo T,G,c và c Cho

tốc độ biến thiên của 3, và À

4)Bằng những thực nghiệm những biến thiên của và 3, và i, chứng

tỏ rằng những đường cong biểu diễn sự biến thiên này sẽ tự cắt nhau

có = 6798A Chiing tỏ rằng kết quả này với những đường cong của

vấn để trước làm sao người ta nêu ra hiệu ứng này với mẩu được nghiên cứu Người ta giả sử rằng quan sát viên giữ Gx là phương quan

sát Chứng tỏ rằng người ta xác định thành phần vẹ theo Gx của vậntốc tâm khốt lượng sao đôi trong hé Galiléen của người quan sát

Chứng tỏ trong trường hợp này vụ, là hàm ›,^`, và c.

Áp dụng bằng số: Với đồ thị thực nghiệm dién tả 3, và 2 như sau:

Tính toán bằng số đối với sao SS433 so sánh kết quả với khối lượng

mặt trời và khối lượng thiên hà : mụ;=8.I0 “kg Quan sát viên giữ Gx

nhu là phương quan sát tính vị ,v; và tính vận tốc chạy ra xa của vg ;

so sánh kết quả cuối cùng này với vận tốc cực đại của vật trong thiên

hà wụ=2300 km/s Kết luận tính hợp lý của mẩu này được sử dụng

nghiên cứu sao SS433 ;

LH MÔ HINH GIAN NO VAT CHAT:

Bây giờ người ta giả sử vật thé SS433 được tạo thành từ một vật có tam

cu ngu ở gốc hé qui chiếu Galiléen

R(Gx,y,z) phát ra 2 loại vật chất tạo

nguyên tứ Hydrogèene Một trong

những loại nguyên tử này được kích

thích đến vận tốc ý, hướng theo

nửa không gian y < 0 ngược lại Ý,

hướng về nửa không gian dương

trong đó ý, =|ŸŠ, và ý =- ÿ, với

những giá trị không thể bỏ qua được so với c Trục p của ÿ, và ¥, làm

một gốc với trục Gy, sự tiến động rất chậm xung quanh trục này với

vận tốc gốc w hằng sé Nếu © là gốc của hình chiếu p lên mặt phẳng

a

y = 0 với trục Gz; ta có 0-5 và chu kỳ tiến động TT = “Ã ~164 ngày.

(0

Những nguyên tử Hạ phát ra tia Hạ với 2 = 6563A và một quan sát

viên trái đất mà ta giả sử rất xa G và đứng yên trong R quan sát

những photon trong đó phương chiêu truyền trong R được xác định bởi

vecteur song song với mặt phẳng z= 0 sao cho :p=(X,ii), š là vecteur

unitaire của Gx.

1) Sử dung kết quả của (11.2) Chứng tỏ rằng quan sát viên nhận

trong phương u những tia có độ dài sóng >, và À, Tìm >, và 3, là ham theo [Ì,y.\/,@ và 9.

2) Với giá trị nào của 9, thì 2, = 2, Cho y=20", @= 10",

3) Với những giá trị trên tìm 2, và 2, theo thời gian.

BÀI GIẢI

S424: LU 24474 TRUNG hang 29

Ta có phép biến đổi Lorentz đối với tọa độ

ix, =y(x =Ílet) X

+ ` Như vậy nếu ta xem trong hệ R có vecteur X=

2 Trong hệ (R,) một photon 9, phat ra và một quan sát viên đứng trong

(R) nhận photon này có tan số là và phương truyền của nó theo

vecteur đơn vị ũ có (u,.uy,()):

Su,.Su,0) VỚI 0 © 2#

Ta có vecture sóng trong R: k "|

c €

.a)Vecteur năng xung lượng bốn chiéu trong R, được viết như sau:

Pres = (nk,.in °*) ;trong R thi: p, =(nk.in®)

c c

Ap dung phép biến đổi Lorentz ta được :p,„ =(2)p,

k,, =y(k, =8 —”)=y “tu, -p)

Nên ta có : w= mà u,= ũ với & là vecteur đơn vị của trục

S122: LU THANA TRUNG hang 30

Ox; nếu gọi v, = GF thì ta có Bu, = UY thế vào ta được biểu thức sau: