Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Cấu trúc lại phần đạo hàm - Tích phân và xây dựng mẫu chương đạo hàm cho giáo trình giải tích 1 (Phần 2)

!Ô CC ky thuật tinh đạo hamEa hãy viết lạt hàm số ƒx=x+xvx =x+x”” và áp dụng Quy tắc đạo ham của một tổng, ta được; f'x=11 se Hai cách trên déu cho kết qua giống nhau, do đó, ta cắn chú

!Ô CC ky thuật tinh đạo ham

Ea hãy viết lạt hàm số ƒ(x)=x+xvx =x+x”” và áp dụng Quy

tắc đạo ham của một tổng, ta được;

f'(x)=11 se

Hai cách trên déu cho kết qua giống nhau, do đó, ta cắn chú ý

không phải lúc nao cũng 4p dụng Quy tic đạo ham cúa tích, chỉ

khí nào biếu thức không thể tách thành các tống hay hiệu cúa

nhau.

;.4 Dao ham cua thương

Với ý tưởng xây dựng đạo hàm của một tích NỘI dung này duoc trich din từ

tài tiêu (8) A(wø}=(w+ Au](p+ Ap]}—wo, một cách tương tự, ta cũng có:

TH w_ v(u+Au)—u(v+Av) pAu-wAo

(øj p+Ap v- v(v+Av) v(v+Azv) `

Chia 2 vế cho Ax va cho Ax 0, ta được:

; ca Au Av

f or * A U——- —11—

đ = | = lim _¬ÀỬ m lim OX he

kh h plim ÁN - lim Au „ữu sei đo

bw = g(x)-g(x)=0 vlim (ø+ Av) ư

53

(_ Các kp thuật tinh dao him

Đọo ham cua thương Nếu hai ham số f(x), ¢(x) kha ví thi ta có:

THỊ f{x)z(x)-gx)/0) v

g(x) g(x)

Chủ ý: trong công thức dao ham của thương giứa hat biểu thức

mang đấu trừ nên te phái chú ý thứ tự đạo ham trước sau.

Phát biếu: Dyo ham của một thương thi hằng đạo ham của tử nhân

tới mẫu trừ di đạo ham của mẫu nhân voi tử, tất cá chia cho tấu

bình phương.

VÍ DỤ 5 Đạo ham của thương

x'+x-2 x'+1

Tìm đạo ham của hàm số f(x) = ?

VI DỤ 6 Tinh đạo ham của thương

Tinh đạo ham của ham số g{x)= =

54

‡ Cae Ấy thadt tinh dao ham

và lấy đạo ham của một tổng, ta được

Ta cùng rút ra một kết luận tương tự cho Quy tấc đạo ham một thương, đó là chi 4p dụng khi biếu thức phân số phức tạp, Nếu ta có thé chia tử cho mẫu như Vi du 5+6 thi hãy áp dung Quy tắc đạo ham của tổng (hiệu) để giải thì sé để dang hon

$4 Đạo ham của ham lượng giac

Ham lượng giác là các ham sin, cos, tan, cot gắn với một biến

số X là một đại lượng "póc” với dom vị radian (1z radian = 180"),

la sẻ lan lượt tim đạo hàm của bốn ham lượng giác trên

4.1 Dao ham của ham so sinx

[na hết, hay xét hàm số y=sinr, áp dụng định nghĩa đạo ham, ta có

Ou ky thuật tinh dao ham

ƒ'(x)= lim sin(x +} -sinx

(sinx) =eosx hay 4 (sinx)=c0sx.

Dé hiếu ÿ nghĩa hình học, ta hay về ham số y=sinx và đạo

ham tương ứng cba nó như Hình 3.7

i Cúc kỹ thuật tinh đạo ham

Ung với mốt điểm của đồ thị ở trên, ta tính độ đốc và về được tương ứng hình anh eva đạo hàm bên dưới, và hình bên đưới cùng

chính là dé thị của hàm số cosx

t dụng dé thị đạo ham f(r) của ham /f(x)=sinv (Hình 3,7), hãy tinh độ đốc và vé đồ thị của đạo

im cấp hai và so sánh với dé thị ham /(x)=sinx, Từ đó, có kết luận gì?

vi DỤ †1 Đạo ham của ham lượng giác

Tim dao hàm của ham số y « (vr + x)sinx ? GIAI

Ap dung Quy tác đạo ham mot tích, ta có:

y’ = (Ji + x) sinx t(sinx} (jx + x)

= +1 |sinx +cosx({ Sx +x 2x Wet

HINH 3.8 Đỏ thị của ham số này và đạo hàm tương ứng được che trong

Hình 3.8.

Sau khi trả lời câu hỏi trong phan dao ham của ham số sinx,

ta nhận thấy rằng đỏ thị của đạo hàm y” và ham số f(x)=sinx

doi nhau, nghĩa là f"(x)=-f (x)= -sinx,

Ma /”(x)=[ /'(x)Ï =(eosx}

Từ đó suy ra (cosx)} =—sinx.

Dao ham của ham số y=cosx

L Cae Áy thuật tinh dao ham

— —

lau hỏi

hưng minh dao ham của hàm f(xj=cosx là / {x| sinx bang định nghía ?

1.3 Đao ham của ham so tanx

"Tìm lại công thức đạo ham của tanx bằng định nghĩa ?

¡4.4 Dao ham cua ham so cotx

} Cúc ky thuật tính dạo ham

tan x +(tan” x—sec* x)

=tanx +(tan` x-1-tan? x)

Đạo ham cúa hàm lượng; giác

Tim đạo ham của ham số f(x) yep lai giá trị nào của xX

đường cong này có tiếp tuyến là đường nằm ngàng ?

GIẢI

Áp dụng Quy tắc đạo hàm cúa thương, ta được:

(sec x) (1+ tanx)~(1+tanx) (sec x}

(1+ tanx)

¿ sec x.tan x(1 + tan x}— sec” x.sec x

(1+tanx)’

f'(x)=

Giá trị của x mà đường cong có tiếp tuyến là đưởng thẳng

nằm ngang là giá trị mà dao hàm bang không.

Trong biếu thức của ƒ'(x) ta thấy rằng mẫu số luôn đương, và chủ ý rằng secx = không thé nào bằng 0 Do đỏ, khi

f'(x)=0 sẽ tương đương với tanx-1=0< tanx= 1, hay các giá

trị của Y thỏa man phương trình này là xaitks với keZ (tập

hợp các số nguyên).

Đỏ thị của f(x) và tiếp tuyến tương ứng được về trong Hình

3.11.

59

i Cae Ấy thuật tinh dao ham

——— —

5 Dao ham của ham hợp

[rước khi tìm hiểu Quy tac dao ham cua ham hop ta vẻ dé thị

+, *

-của ham số F(x}=(1-+”) như Hình 3.12.

¬ Trong Hình 3.12, ta thấy tiếp tuyển tại điểm x=@ 1A đưởng

thắng năm ngang (ứng với độ đốc tiếp tuyến tại đó bằng Ú), nghĩa

lÀ đạo ham bằng 0 tại điểm x=0

Điều nay dan đến suy nghĩ trong biếu thức đạo hàm ƒ (x)

phải có dang f'(x)= Ax (A là hàng số hoặc là một biếu thức khác

0) để ki cho / (x}=D thi ta được giá trị x <0 thóa man đó thị

4H 312

của Hinh 3.11

la hãy thứ áp dụng công thức đạo ham của ham da thức cho

ham số F(x) ta được:Ƒ'(x)=5(1—+x) |“, rõ rằng trong biếu thức

này không như chúng ta dự đoán bởi vì FƑ {x) >Ø với mọi x

Vậy chúng ta cắn có một quy tic đế bố sung vào phép tính đạo

ham nay dé nó thóa man các yếu cầu mi ta đạt ra.

Nếu áp dụng công thức đạo hàm đa thức bình thường thi ta đã

coi biếu thức (1—x”} trùng với biến số x Nhưng rõ ring điều này

có vẻ không hợp lý (như đá nói ở trên) Do đó, ta có thế hiểu đơn gián ý tưởng của quy tic đạo ham ham hợp chính là phải có “một

phép toán” nào đó mà sẻ tác động lên (1-x”} dé bố sung vào biếu

thức đạo ham / '(Y} nửa

a cắn định nghia một chút về ham hợp Để đơn giản, ta lấy

cụ thé hàm số f(u)= Vii và hàm số u #(x)=x +1 thì hàm số

F(xì= f¡ g(xì] fog được gọi la ham hop va F(x) -vx” +1.

60

! Cac ky thuật tinh dao ham

=———— =

».2 Quy tac dav chuyên

Có lẻ chúng ta thấc mắc với cái tên “day chuyên”, và chúng ta

sé hiếu rô ý nghĩa của nó hơn ở cuối phn này

Ching ta có thé viết lại biểu thức này đưới dang y! = V} +}

Nhưng ta thấy ki hiệu Letbnitz trong trưởng hop nay cho ta cam

giác trực quan hơn

Do đó, ta có thé tổng quát quy tae này như sau

Quy tốc day chuyên

Nếu g(x) là hàm sổ khả vi tại x và f(u) là hàm số khá vi tại

u=g(x) thì hàm số hop Fe fog được định nghia là

F= f{ g(x)Ì khả vi tại x và F'(x) được xác định bởi

Sứ dụng kí hiệu Letbnitz với y= f(u) và ứ= g(x) là hai ham

xố kha ví ta có

x)= AY ty du

A ber ae tr

Khi cần tính dao ham của một ham số hợp, ta có thé lim tuần

tự theo các hước sau

Bước 1: Xem hàm số cắn lấy đạo ham là “biến x” hay là “ham

số theo biến x”

Bước 2:

Nếu là "biến X”: ta cứ áp dụng các công thức như đã trình bay

ớ các phần trên lấy dao hàm bình thưởng.

6l

J|_ CC ky thuật tinh dao hàm

Nếu LA “ham số theo hiến x" thì dat te hàm số theo biến

x Ap dung các công thức đạo ham đối với "biến # * và nhớ nhận

thêm “dao hàm của ham 6 theo biến x"

Nếu ta có yo f(w),t= g(x), xeh(t) và fg, là các ham số

kha vi Đế tính đạo hàm của ý theo f, ta dp dụng Quy tắc đây

chuyển:

dụ dy du dx

dt = du dx dt’

Đến đây, ta có thế hiếu cải tên “dây chuyển” nghĩa là khi ta

thêm vào một hàm số nữa thị trong phan dao hàm của ham sổ sẽ

thêm vào một liên kết nữa

VÍ DỤ 1 Tính đạo hàm bằng Quy tắc dây chuyển

Tìm đạo hàm của hàm số

a ƒ(x}=vx? b #(x)=(1-x+!}`?

GIẢI

a Với ƒ(x}=xÝx dé dang tinh được ease

b Bước l: vớt F(x)=(1-2°) thi biểu thức trong ngoặc là "hàm số

theo biến x”,

Bước 2: Đặt u=1-x7, suy ra F(u)= 0”, lấy đạo ham hàm số

này theo biến w, ta được o Bu.

Lấy dao ham cia ham u=1-x° theo biến Y, ta được:

du

TIÊN 2x,

Để tìm lại dao hàm của ham F theo biến X, nhân ¿ và dudu dx

lại với nhau:

dF du ‘ A=-10x4—-x1

F(x) aa ote 5u' (~2x)=—10x(1-2") ,

1 Cle Ay thudt tinh dao hamĐến đây, ta đã gidi được câu hỏi ở đâu phần nay, Ta cho

F'(x) = Oo -10x(1-x7)' <0«sx =0, Vậy tại điểm x=0, đạo ham

bằng 0, nghía là tiếp tuyển là đường thang nằm ngang (đô đốc tiếp tuyến bằng 0) Điều này trùng với dé thị của Hình 3.12.

VI DỤ 2 Tinh dao ham bang Quy tắc dây chuyền

‘Tinh đạo hàm của ham số y = cos’ x và ye cosx? ?

GIAI

Trước khí tinh dao ham, ta cắn chú ý hai ham số này khác

nhau Với cos? x, nghĩa là tính giá trị của cosx rối đem bình

phương lên, tương đương vớt (cosx)”, Con với cosa, nghĩa là lấy

giá trị của x đem bình phương lên, rồi lấy cos của giá trị đó.

Với hàm số \/ =cos’ x,

Với những công thức đạo ham & phần trên, ta thấy hàm số này

có dang #, dẫn đến ta phải dat w = cosx => ý ei.

Áp dụng Quy tắc dây chuyển, ta có:

han =(2u).(—sinx)=~2cosx.sinx =—sin2x

Đồ thị của hàm số y=cos*x (1) và đạo hàm của nó (2) được

về trong Hình 3 L3,

Với hàm số = cos+x`.

Cũng tương tự như trên, chúng ta coi ham số nay tương đương

với cosz, điều này din đến ta phải dat w = x”.

Ap dung Quy tắc day chuyền, ta cũng có:

Đô thị của hàm số = cosx” (1°) và đạo hàm của nó (2') được

vẽ trong Hình 3.14

VÍ DỤ 3 Tính đạo ham bằng Quy tac dây chuyển

Tinh đạo ham của hàm số y= (142° i: 2

63

!Ô Các Ấy thuật tinh dao him

im đạo hàm của hâm số y=(34.x+5x°)" và hàm số y =5c0s(4sin(3cot x))?

14 Đạo ham của ham số không ở dạng tường minh

Thật ra, phương pháp này được Trong các phần trước, với ham số y= f(x), việc tính đạo hàm

jot là “Phương pháp tim đạo

lâm cua ham ấn”, với các công thức đá có thì rất dé đàng Một số phương trình tuy

Một hàm số F(x,y) được gọilà — "Chưa được” viết dưới dạng tường minh như là i si tang

lâm ấn khi tốn tại (Xạ,Vạ) làm va vẫn có thé rút theo X bằng cách viết y= +fi-x+ và sử dụng

tho : trinh F x, , =0phương trini ( I Yo) phương pháp dao ham ham hop.

fa Fa (et) 20.

ÌL Các ky thuật tinh dao ham

hai nem “hàm ín” và “đạo

âm của ham ấn” sẽ được nói

ÿ hon trong các chương trinh

lãi tích Hep theo.

lrong một xố trưởng hợp, chẳng hạn với phương trình

x ex'y” « 2vự, ta khó có thế đưa vẻ dạng y=g(x} Do đó, nếuchỉ áp dụng các công thức đã có thi chưa đủ đế giái quyết bài toán,

Ta hãy cũng xét một số ví dụ đế đưa ra phương pháp giải quyết

các bài toán dang này,

Tính dao ham của ham số không tường minh

a Tinh đạo hàm “ của phương trình x” + ` <47

v

b Tim phương trình tiếp tuyến với đường tron x+y! =4 tại

điểm (1, V3}?

GIẢI

a, Khi gập các phương trình mà không thế biếu điển y theo x

thì ta “tiến hành lấy đạo hàm hai vế" theo biến X với chú vw= f(x).

Lấy đạo hàm hai vế phương trình đã cho, ta được:

Vì v= f(x) là một hàm số theo biến x nên theo Quy tắc dây

chuyên, ta có:

Aly") sw) VN,

Thay biểu thức này vào (*), suy ra:

2x 2y ih =0 để St,

Dé viết được phương trình tiếp tuyến, trước hết, ta tìm độ dốc của

tiếp tuyến chính là đạo ham bậc nhất tai điểm (1,v3}, do đó:

m=

ƒ(1-45)<<-65

!, Cúc kỹ thuật tinh dao hàm

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,3 ) là:

1 4

Đó thị của đường tròn x+y ed và tiếp tuyến y= a

được về trong Hình 3.15

VÍ DỤ 2 Đạo hàm của ham số không tưởng minh

Tim đạo ham của ham số y theo biến số x ứng với phương trình

(x-y) =x+y-1?

GIAI

Nếu ta khai triển biếu thức ở về trái thì phương trình này sé

xuất hiện y, y’ gây khó khan cho ta trong việc rút y theo x Do

đó, ta nên sử dụng phương pháp đạo hàm hai vé với chú ý y ham

1 Che Ay thudt tink dao ham

ily dy

3(x- [t+ 1+s.

o> (2x -2y)+(2x- 3u) aro

o> (2x-2y- 11-24 92y

oY 2/~ Pisa

© ae 2y+2x-1

ho phương trình x* +y' = 16, Hay tim y’, ý” trong hai trưởng hop:

Rut y theo x? b Dao ham hai về ?

lật F(x.y)=(x-y) =x=w+1 Hãy kiểm tra điều kiện xác định hàm ấn của phương trình trong Ví du

bằng cách tìm điểm (x,.V„} thỏa mãn F(x,,y,)=0 và iy (ro) #0?

VÍ DỤ 3 Tính đạo hàm của hàm số khóng tường minh

Vi dụ này được trích dẫn từ tài Tim đạo ham dy Fe thi piivờng tri sin(x+y)=y' cosx 7

2 sin(x+y)=cos (x+y) (x+y) =cos(x+y)(1+y)

Ta tinh vế phái, chủ ý sử dung Quy tắc đạo ham của tích

fy cosx)=y’ *f coax +cosx—y?dy

ey iC ~SÌn x)+ cos x.2y.y’.

Do đó

67

§ Cac ky thuật tinh daa ham

cOSÍ x + /}+ cœs{ x + / }.W” y sina + 2u.ự.cœs 1

c [cos(x + w}-2wcosx |” =—uÌ sỉn x~ cœÍ x + w}

VỶ sin x + cosÍ x + }

2wcos x = cœ( Y * I/}

Quy tác lấy dao ham của ham số không viết được dưới dang

tưởng minh

Nếu phương trình F(x,w}=a có thể biếu điển y theo X thị ta

sử dung các công thức đạo ham đã có tính bình thường

thì ta tiển hành “đạo ham 2 về” phương trình trên và nhớ rằng

y là hàm sé theo biến x (y= f{*]).

¡7 Đạo ham cua ham ngược

——“ˆ““——Ễề>r?“he»>—y—.—=ễ—rFk.rcrrvrrrrr—rrm

Trude tiên, ta hãy bất đầu với một hàm số dom gián.

Với hàm số y= f(x) =x+1, cho x=1 tương ứng y= f(1)=2

Nếu biến đổi x =w—1 thi © là một hàm số phụ thuộc vào biến

số và ta có thế ghi x=g(y)=y¥-1, Cũng tương tự, cho =2

tương ứng xe /(2)= Ì

Vậy hai ham số y= f(x) và xe g(y) có mối liên hệ như thế

nào?

Hai hàm số như trên được gọi là hai ham “ngược” của nhau.

Để hiếu rô, ta hay thử làm phép toán don gián sau

Tinh f(g(v)) nghĩa là lấy hàm g(y) thay vào giá trị của biển

x, ta được f(g(v))=(v-1}+l=w Tương tự ta cing có

g(w)= g(/(xÌ)=(x+1)-1=x Ta có thế hiếu: nếu ham f cộng

thêm | và hàm g trừ dit thi cho ta lại hàm số cú Vay hai ham

nay được gọi là hai ham ngược của nhu

‡, Cae ky thuậf tinh deo hin

Với ham số y= ƒ(x)=xÍX, suy ra x=" Đế kiếm tra hai hàm

này có là ham ngược của nhau hay không ta hãy thứ kiếm tra một

trong hai điều kiện của định nghĩa ham ngược Muốn vậy, ta cin

xác định (Y7 LO) = Ve

x=g(w)}=w*

Hiểm tra 1 trong 2 điều Chẳng hạn g(v)= #(ƒ(x))=[ÝE] =x điêu này dẫn đến hai

liện sau:

ham nay là hai ham ngượi của nhau

/{s(v))= w Miễn xác định của y= f(x) = VX ứng với những giá trị x20.

gí f(xÌ}= x.

Miễn xác định cúa x= g()= VÌ ứng với mọi giá trị của ý Nhưng

vi g(y) là hàm ngược của f(x) nên ta chi lấy các giá trị >0

(xem Điều kiện dé có hàm ngược được nói đến trong khung bên

| A Che Ay thudt tinh dao ham

Không phái tất cá hàm số déu có hàm ngược Thực tế, nêu chí

thóa man điều kiện của định nghía thì xe f'(y) chỉ mới được gọi

là “Anh ngược” DE Anh ngược trở thành hâm ngược thi nó phảithóa man điêu kiện sau,

Điều kiện dé ham số có ham ngược

- Để ánh ngược ee ƒ '(w) là một ham số thì ứng với mỗi giá trị

y chi tương img với | giả trị v.

Khi nói đến hàm lượng giác, ta hay nhớ chủ ý đến nghiệm của

nó là mộc “họ” nghiệm Do đó ta chi nói hàm số =sinx chắc chấn nó không có hàm ngược bởi vì có rất nhiễu giá trị góc X mà

chỉ tương ứng một giả trị

Chẳng hạn, y=sinx với x=0, x=z thì y cùng có một giá trị Nhưng nếu chúng ta giới bạn lại ham số nay trong một khoảng nào đó, chấc hắn, nó sẽ chí tôn tại ở một gia trị và đương nhiên nó

ham ngược trong khoảng 0 = xs 5

Ham ngược của y=sinx là x =sin “ý và đọc là arcsin x.

| 70

‡_ Cac ÁV thuật tinh dogo ham

7.2 Dao ham cua ham ngược

Sau khi da biết vẻ hàm ngược, ta hay cùng di tìm cách tinh dao

hãm của nó

Y tưởng của phương pháp nay xuất phát từ Quy tác day chuyén.

Doo ham củo ham ngược

- Nếu gf f(x)}=+x áp dung Quy tắc dây chuyến, ta có

VÍ DỤ 3 Đạo ham của ham ngược

Tìm ham ngược của hàm số y= x’ và đạo ham của nó 7

GIẢI

Vớ w=x`, ta suy ra được hâm ngược là x = NI =v`°

Áp dụng công thức đạo hàm hàm ngược, ta được;

đw 1 1 1 ị

dự dyldx 3x’ 1y}

—- = 4 Các ky thuật tính dao ham

8 Bao ham cua ham lượng gidc ngược

Sau khi ta đã chuẩn bị các công thức vẻ hàm ngược, bay giớ ta

sé sử dụng nó đế tìm công thức đạo hàm cho các ham lượng giác

cos x >0 trong đoạn này.

Với ham số y@sinx, ta có hàm số ngược là x=arcsinw hay

yesin’ y Nhưng ta nhớ rằng mot hàm số chỉ có ham ngược khi

với mối giá trị x chi có một giá trị y tương ứng Do đó x=sin” y

chỉ là hàm ngược của hàm y =sinx chí khi các giá trị X thỏa man

Vi x=sin" y lã ham ngược nên nó thỏa man diéu kiện

f(g(y))=sin(sin" u}= w

2LyLÀÌ|=ser!(ànx)=e (v= f(x) = sin x, x = g(v) = sin ° y)

Muốn tim đạo hàm của ham này, ta ap dụng Quy tic đạo ham

của hàm ngược [rước hết, với = sinx, ta có as =cosx, do đó,

- ax

j dx 1 1 với hàm ngược x=sin y, ta được — « ———— «

dụ dự/dx cosx

i Che Ay thuật tinh dao him

Mà cosx = VÌ ~sinÊ x = Jy", (coax>0 trong khoáng

Dé cho tổng quát, ta gọi hàm ngược của sinx My = aresinx

(Hinh 3.20) Ta cón có thể dùng Quy tác đạo him của ham ấn dé

tìm đạo ham cua nó,

Ta viết lại siny=x và đạo ham hai vé với chú ý ý là ham theo

biến x (y= f(x)} ta đượy:

dy dx cosy fi ~sin® y Jv

6, =%: *)

[cosy > 2 a¥s5

Dao ham của ham số y=arcsinx

- Ham số yesin’x hay y«arcsinx là hàm ngược của ham số

x=siny Do đó

sin(sin’ x)=x, -1<x1

sin (sinx)=x, = Sx : 1

- Đạo ham của ham =arcsinx;

Vớ sin(sin ' x)=x, đật X=sin Ì x=>sinX =x.

VÍ DỤ 1

¡_ Các ky thuật tinh dao him

- Mi 4 (sin ‘x)= L nên dao ham này xác định với các giá dy ‘i ~ x :

trị x thỏa man 1-x7 >(s+x”<1c+-1<x<1.

Đạo ham của ham lượng giác ngược

Cho ham số y = f(x) =aresin{ 2),

a, Tìm miễn xác định của ham f(x)?

đương với hệ bất phương trình sau:

Ma -Issinysl nên -1< <1, điều này trong

Dé giải hệ bất phương trình nay, ta cắn giải từng bất phương

trình (1) và (2) bằng bang xét dấu rồi giao nghiệm của chúng

lại Muốn vay, trước hết, ta cin đưa hat bất phương trình này vẻ

dang f(x)>0, f(x)<0,

Với bất phương trình (1), ta có:

74

! Các kp thuật tinh daa hàm

Từ bang xét đấu, suy ra miễn nghiệm của bất phương trình

Cho 4x7 +x-4=0 và x~2<0, ta tim được các nghiệm

x*1,15 và x=2 Lip bing xét dấu, ta duge:

!L_ Các hy thuật tinh dao ham

Giao (1) va (2) ta tim được nghiệm của hệ bất phương trình

t Hoàn toàn tương tự, dé có ham ngược của cosr, ta cin phải

anew giới han ham nay trong một miễn Đó la Ø< x< x (Hình 3.22).

Ni: \ Goi ham ngược của ham cosy là y= cos’ x hay y «arccosx.

+ \ —VY (vẻ nguyên tắc, nếu tì cÓ y=cosx thì ham ngược tương ứng phải

là x=cœ” ý, nhưng để cho tiện trong việc tính toán, ta gọi ham

HỈNH 3.23

76

Ì CaQc ÁY thu! rah dao hany

ngược một cách tổng quất là =cos 'x hay y=arccosx } (Hình

3.23)

Dé tinh dao ham ta hay viết lại cosy «x va đạo ham hai về với chú ý y= f(x), ta duce:

dy dy 1 1 1

-sin y— =Ì>-—= “=—=ễễE=

dy dy siny 1—cos* y Vi-v

Và miễn xác định của dao ham công là -1< x< 1

Doo ham của ham y=arccosx

8.3 Ham so arctanx va dao ham cua no

Tương tu như ham ngược của sinx và cosx, ta hoàn toàn có

thế định nghia hàm ngược của tanx là yetan'y hay

a 94 z #

=arctan x (Hình 3.23) với _ Sis n

Ta viết lại tanyex và đạo ham hai vế với chú ý ye f(x), ta

Cae kv thuật tính dao ham

Nei cua tanyx

9 Dao ham của ham mũ vỏ ham logarit

9.1 Dao ham ( ud ham sở ©` va a

Ta có hàm số mú y= f(x)=a" , ta hãy áp dụng định nghĩa để

tim đạo ham cúa hàm số này.

Với a=2, z=3 tính toán một số giá trị f'(0), ta được kết

quả như trong bảng sau:

!‡ Cc ky thuật tính đạo ham

0/7177 1.1612 0.0056 11047

Từ bang trên, ta nhân thấy

a’ =(eTM* y <2" Tir đó, thực hiện tính đạo hàm, ta được:

S(2')= (eh) =" £[(Ina)x] =e" Ina

=a@ Ina

Dao ham của ham y=d*

Ta cũng có thế kiểm chứng lại với các trưởng hop a=2,3 mà ta đã

xét Ở trên.

79

i, Cac kỹ thuật tinh dao hàm

Đạo ham của ham mo

Kính đạo ham của hàm sổ y= ƒ(x)= xe? ~2" +7)?

Ta đã di tìm đạo hàm của hàm số yee va yea Bay gid ta

sé di tim đạo ham ham ngược cia hai hàm số này

Ứng vớt y=a’, ta có hàm ngược tương ứng là x =log, y.

Nhưng một cách tổng quát, ta hãy xét ham số y=log,x (đọc là

“logarit cơ xổ a của x’).

Muốn tim đạo hàm của ham số này, ta viết lại a =x và tiến

hành đạo ham hai vế với chú ý y= f(x) ta được:

4 (a7)=1<s a*Ina 5Ÿ ~1dy dx

dy 1 1

-—= ;

dy ina xina

aa Ung với hàm số yee’, ta cũng có ham ngược là x=ln va

(In(-x) x<0 tổng quát, ta cũng xét hàm số =lnx (đọc là “/ogarit nepe cia x

f3 hav logarit tự nhiên của x), Để tìm đạo hàm của ham này, ta chi

3, Cc kỹ thuật tinh dao him

Dao ham của ham y*ln | x Ì

VI DỤ 2 Đạo ham của ham logarit

Tìm đạo ham của ham số =9ln(5x” 2x? +7)?

Quan sát ham số này, ta thấy ngay phái sử dung Quy tấc đây

!,_ Cie ky thuật tah đạo ham

: : 73a] ` — | Teosx ssins(S+lma)

2 fing Same | ene jin 10

COS’ \` COST

VÍ DỤ 4 Đạo ham của ham logarit

Tim đạo ham của ham số y= ((x}= xin|x| ?

Chúng ta đã có hau như đây đủ các quy tắc cúng như công cụ

dé giải quyết các bài toán tính đạo hàm, nhưng nếu khi chúng ta

82

Cac ky thuật tink đạo ham

cin tinh đạo ham của một biếu thức “qua phước tạp” thi Quy cic

được trình bay sau day sẻ rất hina ích.

Giá sử chúng ta cin tính đạo ham của ham số

*

y= f(x)= (x-1Y

Khi gập bài toán nảy ý tướng ban dau sé đưa chúng ta đến

việc sử dụng đũng Quy tác dao ham của một tích và thương, nghíalà:

i '(ax-1Ÿ -[(2x-1)']

dy [(ax-1 j

Về nguyên tác, ta lại áp dụng Quy tấc đạo ham tích cho biếu

thức 2°45 +32 rỏi cử thé lấy đạo ham theo tuần tự.

Nhưng nếu ta gap bài toán cắn tính đạo ham của hàm số

lang iol thật khó nếu chúng ta chỉ áp

dung các Quy tắc tích, thương.

Điêu đó doi hỏi chúng ta cin một Quy tic khác dé giải quyết

các bài toán dang nay một cách nhanh chóng hơn Dé là Quy tte

lấy đạo hàm nhờ nhép lấy logari!

vious Tinh đạo ham bang cách lấy logarit

Tinh đạo hàm của hàm sở y = /(x)=Z—- đế sâr-2, 5£ 252-2

Che Ap thadt tinh dao him

yi 4f 3 d ;

Sin) = 2 [Ina]+ 5 5 [In(% +3x~2})-9-[In(2x~1)]

oot Bu2/1), ưng )-9{ 25 }

Voi Quy the này, tuy cũng không phải dom giản cho lắm

nhưng rô rang nó củng cho ta thêm một Quy tắc cho phép lây đạo ham của một số him xố phic tạp.

\ ax)" 4x? + 5x) +1

im đạo ham của hàm số wsxf và hàm số Nxais-C ¬) =——

x Ix? +4x

Quy tóc tinh đạo ham bang phép lốy logorit

Bước 1: Lấy logarit neper (In) hai vế của ham số

Bước 3: Từ biếu thức vừa tìm được, suy ra biếu thức của ự'.

Trên thực tế, khi cần tính đạo ham cúa một biếu thức, ta cÂn kết

hợp nhudn nhuyền các phương pháp với nhau cùng với một số ky nâng

tính toán nhất định (do luyện tấp nhiều) thi việc tính toán mới that sự

trở nên để đàng.

} Cúc Ay thuật tinh tạo ham

1 Đạo ham của hàng số

a= a) 0.

2 Đạo ham của ham đa thức

Ham số y =x" (với là số thực bất ky) có đạo hàm là

dy

al }=mx""

dx

3 Đạo ham của hang số nhân với ham số tổng, hiệu, tích, thương

Ham số ÿ=€.f(x) (với € là hang số) có đạo ham là

Ham sO y «cotx có đạo hàm là

5 Dao ham của ham hợp

Quy tắc dây chuyên

Nếu y= f(w], w= g(x) thì đạo hàm của hàm hợp y= fog la

6 Đạo ham của ham số không viết được dưới dạng tường minh

Nếu phương trình F(x,y)=@ có thé biếu diễn theo X thi ta sử dụng các công thức đạo hàm đã

có tính bình thường.

Nêu phương trính F(x,y)=a không thế biếu điển theo © thì ta tiến hành “đạo ham 2 vế”

phương trình trên và nhớ rằng y là hàm số theo biến x (y= f(x).

Nếu gf /(x)Ì= x áp dụng Quy tắc day chuyên, ta được:

8 Đạo ham của hàm lượng giác ngược

Hàm số =arcsin x Íw =sin ` x) với s1“ có đạo ham là

‡ CC ky thuật tinh dao ham

9 Đạo hàm của ham mũ va ham logarit

Ham số yee" có đạo ham là

10 Quy tắc tinh đạo ham bằng phép lấy logarit

Bược 1: Lấy logarit népe (In) hai vế ca hàm số,

Bước 2: Lấy đạo ham hai vế với chú ý w= f(x).

Bước 3: Từ biếu thức vừa tim được, suy ra biếu thức của ụ'.

ác công thức được tóm tất trong bảng trên chỉ áp dụng đối với biến x Hãy xây dựng các công thức

én cho ham số là hàm hợp đối với biến u (y= f(u), w= @(x)) theo mẫu sau.

W dự: Đối với ham đa thức y=u", ứ = g{x), Quy tắc dây chuyển cho ta

87

4 Lng dung của dao lu)

-1 Gió trị lớn nhốt ~ nhỏ nhat

Giá trị kim nhất và nhỏ nhất có rất nhiều ứng dung trong thực

tế và được gọi chung lA bai toán 167 wu Ada Chẳng hạn, bài toán

giảm thiểu chi phí trong kinh tế (trình bay trong phan mớ rộng),

hay trong vật ly là bài toán tim gia tốc lớn nhất ma tau không gian

phái chịu

Irướ tiên, ta hãy tìm liếu định nghía và cách tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của ham số, sau đó sé tim hiểu cách tìm giá trí lớn nhất — nhỏ nhất tương ứng với các điểm gọi là điểm tới hạn (xét

.1.1 Cục trị địa phuong

Trong Hinh 4.1, ta thấy có nhiêu điểm cực trị (cực đại và cực

tiếu), tất cá các điểm này déu được gọi là cực trị địa phương nếu ta

chí xét trong một khoảng xung quanh điểm đó Chẳng hạn, đối với

điểm B đưœ gọi là cực đại địa phương xung quanh 8 (khoảng mà

nam trong hình chứ nhật) bởi vì /(B} là lớn nhất trong hình chữ

nhật ấy, ý nghía của tít dja phường chính là xung quanh, lân cận

điểm đó thôi lương tự, điểm A củng được gọi là cực đại địa

phương xung quanh A (trong phạm vì phạm hình chữ nhật) bởi vì

F(A) là lớn nhất trong hình chữ nhật bao quanh điểm A Nếu ta không xét xung quanh điểm A hay B mã xét trên toàn ham số thi

rô ràng f(A)> /(B), lúc đó điểm A sẻ có một cải tên khác mà ta

sé tìm hiểu trong phan kế tiếp

88

4 t nụ dung ca dao ham

Định nghio cục trị địa phương

Giá trị f(a) được gọi là

ey Trong Hình 4.2, ta thay điểm cao nhất của dé thị ham xổ

f(x) ứng với x«=0 và f(0)=5% Điểm thấp nhất của dé thị ứng

với x=2 và f(2)@ 1, Ta gọi điểm (0,5) là điểm cực dai tuyệt doi

và (2,1) là điểm eve déu tuyết đói

Một cách tống quát, ta có

Định nghĩo gid trị lớn nhốt - nhỏ nhốt

Gọi 4 là một điểm thuốc miễn xác định D của ham f(x) Khi

đó f(aì được gọi là:

Cực đại tuyết đối (gid trị lớn nhất) cia ham f(r) trên D nếu

f{a)= M2 f(x) với mọi xe Ð

f(a)= m f(x) với mọi x e D.

Ta còn got cực đại tuyệt đối (CDTD) là ett ợ Jon nhất hav

cực dai toàn cục và cực tiếu tuyệt đổi là g## £z nhá nhật hay cực

tiểu toan cục Cực dai tuyệt đối và cực tiếu tuyệt đối côn được gọi

chung là cực tr tuyệt đói,

Trong Hình 4.3 điểm trong miễn K được got là cực tiếu địa

phương trên khoáng K là vì giá trị nảy là nhỏ nhất trên khoảng K,

84

4 ⁄ụ dyng cúa dao ham

Điểm thuộc miễn L được gọi là cực dat địa phương trên khoảng L.

bởi vì giá trị này lớn nhất trên khoáng L và tương tự, điểm thuộcmiễn M được gọi là cực tiểu địa phương trên khoáng M Nhưng

bây giờ, ta không xét trên các khoảng K, L M má xét trên toàn bộ ham số thi điểm thuộc miền M đạt giá trị nhỏ nhất bởi vì nó là điểm thấp nhất và giá trị này côn được gọi là cực tiếu tuyết đối hay

cực tiếu toàn cục của ham số f(x), Ta công chu ý rằng ham số này

tuy có cực đại địa phương nhưng không có cực đại tuyệt đối

VÍ DỤ 1 Ham số có cực trị địa phương chính la cực trị tuyệt đối

Ta chú ý rằng -1<sin2x<1 nèn cực tiểu tuyết đối (giá trị

nhỏ nhấ) cia hàm sổ wx=sin2r lÀ -1, nghĩa là

sindx=-lor= -Ÿrkx(k Z) Cúng tương tự, cực đại tuyệt đổi

của hàm số y=sin2x là 1, sindy=1eox=T+ka(keZ).

Hay ta có thé nói ham số y ~sin2x có võ sò điểm cực đại địa

phương và đó cũng chính là giá trị cực đại tuyệt đối, võ số cực tiểu

địa phương và cũng là giá trị cực tiểu tuyệt đối.

VÍ DỤ 2 Hàm số có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất

Xét hàm số y=/(x)=-x'+3 được cho trong Hình 4.5 Ta

0,3) thay f(x)s /(0}e>-x°+3<3 Ta có /(0)=3 nên f(x)s3 và

| 4 Ung dung của dao ham

Kữ hinh về, ta thấy han số không có giá trị lớn nhất cùng như

giá tri nhỏ nhất, bởi vị đơn giản hàm số không có điểm cao nhất vàthấp nhất Và ham số này củng không có cực trị địa phương

Chủ ý rằng x=@ là điểm uốn của dé thị chứ không phải cực

trị.

Giá trị lớn nhất = nhỏ nhất trên một khoảng dong

4 3 2

Đô thị của hàm số U=/@)<Š-+®~- —-10 được vẻ trên

khoảng đóng (đoạn) -ó< x<3 (Hinh 4.7)

‘Ta hãy xét tính chất của từng điểm từ trái sang phải.

Với x=-6 thi f(-6)=—30 là giá trị cực tiểu địa phương xungquanh x=-6

Vai x~-5 thi 5< là cực tiểu địa phương xung

quanh x=-5, đồng thời cũng là eft n/kô nhất của hàm số trên

đoạn -6<x<3.

Với x==1 thủ f(-1)-8 là cực đại dia phương xung quanh

x=-1, đồng thởi cũng là gid trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

4 ng dung của dao han

Vậy trong miễn -6 š x < 3, giá trị lon nhất là 5 va giá trị nho

tiến ra vO cue), mà ham số chỉ có giá trị nhỏ nhất là “Z5

Khi ta not gái trị nhỏ nhất nghĩa là ta nói giá trị f(đ} côn nếu ta

muốn nói đến điểm xed thi ta phải nói là ght of nhỏ nhat tại

xs“s4

Mối liên hệ giữ cực trị địa phương va cực trị tuyệt đối

Ham số f(x) đạt cực trị tuyệt đối tại # thú suy ra đạt cực trị địa

phương tai 2.

Ham số f(x) đạt cực trị địa phương tại # thì chưa két luận được

đạt cực trị tuyết đối tại a.

Định ly vé gid trị cực trị

Nếu f(x) liên tục trên khoảng đóng (đoạn) [ø,h] thì f(x) đạt

giá trị lớn nhất (cực đại tuyệt đối) tại f(€) và đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có thé giải thích định lý nay như sau: Một hàm số liên tục

trong đoạn [4,b} thì khi ham số đi từ ø đến è chắc chắn đó thị

phải lên, xuống và trơn (không gay khúc), điều đó chắc chan hàm

số phải có cực trị (cực đại và cực tiếu).

92